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ESTABILIDAD IV

TEMA 1

ECUACIONES BASICAS DE LA ELASTICIDAD

TRIDIMENSIONAL

Dr. Bibiana Luccioni

Colaboración: Ing. Abel Jacinto

Ing. Sergio Gutiérrez

Ing. Facundo Isla

2016

Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional

1

INTRODUCCIÓN

La Teoría de la Elasticidad, comúnmente llamada Elasticidad en forma breve, es la

rama de la Mecánica de los Sólidos que trata los estados de tensión y deformación producidos

por fuerzas externas o cambios de temperatura en sólidos elásticos.

La Teoría de la Elasticidad permite analizar las tensiones, deformaciones y

desplazamientos de elementos estructurales (o elementos de máquinas) dentro del

comportamiento elástico, con el objeto de verificar la resistencia, rigidez y estabilidad. Difiere

de la Resistencia de Materiales en el tipo de elementos estudiados y en los métodos de análisis

utilizados.

A modo de ejemplo, en Resistencia de Materiales se estudian tensiones y

desplazamientos en sistemas estructurales formados por barras: reticulados o pórticos, rectos o

curvos. Sin embargo, hay otro tipo de elementos estructurales que no tienen forma de barras,

como es el caso de bloques, placas, cáscaras, diques y fundaciones. Para analizar este tipo de

elementos se recurre a la Teoría de la Elasticidad.

Por otro lado, los elementos tipo barra pueden estudiase, tanto dentro de la

Resistencia de Materiales, como dentro de la Teoría de la Elasticidad. La diferencia está en los

métodos de análisis empleados en cada caso. Cuando se estudia un elemento de este tipo

sometido a carga dentro del marco de la Resistencia de Materiales, deben hacerse ciertas

hipótesis respecto a las condiciones de deformación y a la distribución de tensiones. Estas

hipótesis permiten simplificar la solución matemática del problema pero, en general, conducen

inevitablemente a cierto grado de inexactitud en los resultados. En la Teoría de la Elasticidad,

en cambio, el estudio de elementos de barra no requiere ninguna hipótesis adicional. De esta

manera, los resultados obtenidos son más precisos y pueden ser utilizados para verificar la

aproximación de los resultados obtenidos mediante la Resistencia de Materiales.

A modo de ejemplo, cuando en Resistencia de Materiales se analiza el problema de

una viga recta bajo cargas transversales, se supone que una sección plana permanece plana

luego de la deformación. Esto conduce a una distribución lineal de las tensiones en la sección

transversal. En la Teoría de la Elasticidad, en cambio, se puede resolver el mismo problema sin

necesidad de esa hipótesis y se puede probar que, si la altura de la viga no es mucho menor que

la longitud, la distribución de tensiones se aparta bastante de la distribución lineal y la tensión

máxima resulta considerablemente mayor que la evaluada con la hipótesis de las secciones

planas.

Antes del siglo XX, los sistemas de barras se analizaban formalmente dentro del

campo de la Mecánica Estructural y no dentro de la Teoría de la Elasticidad. Ahora, en cambio,

muchos ingenieros utilizan una aplicación conjunta de ambas ramas de la Mecánica de los

Sólidos, lo que posibilita la obtención de soluciones para problemas elásticos complicados.

Aunque estas soluciones son aproximadas, son lo suficientemente precisas para aplicaciones

ingenieriles como el diseño. Un ejemplo claro de la utilización conjunta de la Mecánica

Estructural y de la Teoría de la Elasticidad es el Método de los Elementos Finitos desarrollado

en los últimos 40 años. Este método permite resolver problemas de la Teoría de la Elasticidad

discretizando el cuerpo en cuestión y luego aplicando el método de las fuerzas o el método de

los desplazamientos desarrollados en Mecánica Estructural.

En realidad, lo que se debe hacer en el diseño de elementos estructurales es aplicar

en cada caso, el método de solución que permita obtener la mejor solución a menor costo.

Para evaluar las tensiones, deformaciones y desplazamientos en un problema elástico

se deben derivar una serie de ecuaciones básicas y condiciones de borde. Sin embargo, si

durante este proceso de derivación se consideran todos los factores que intervienen en el

problema que se está analizando, los resultados obtenidos serán tan complicados que no tendrán

aplicación práctica. Es por ello que resulta conveniente hacer algunas hipótesis simplificativas


2

básicas sobre las propiedades de los cuerpos estudiados y sobre el rango del estudio realizado.

De esta manera, se puede despreciar la influencia de ciertos factores de menor importancia con

el fin de simplificar las ecuaciones.

En este curso se trabaja en el marco de la Teoría de la Elasticidad Lineal de Sólidos

Isótropos y en pequeñas deformaciones. Las hipótesis son las siguientes:

a) Elasticidad lineal: Elasticidad es la propiedad de los cuerpos debido a la cual las

deformaciones producidas por las cargas desaparecen al retirar las cargas. La mayoría de

los materiales ingenieriles poseen, dentro de cierto rango, la propiedad de elasticidad. La

elasticidad significa que si las fuerzas que producen la deformación no superan cierto

límite, la deformación desaparece al retirar las cargas. En otras palabras, elasticidad es la

propiedad de los cuerpos de recuperar su estado al quitar las cargas.

En esta asignatura se supone que los cuerpos son perfectamente elásticos, es decir, que

recuperan su forma al dejar de actuar las cargas. La teoría de la elasticidad admite

distintos tipos de relaciones entre fuerzas y deformaciones. Sin embargo, en este curso,

se supone, además, que la relación entre tensiones y deformaciones es lineal. Por eso se

dice que se hace la hipótesis de elasticidad lineal. Bajo esta hipótesis, las constantes

elásticas no dependen de las magnitudes de las tensiones ni de las deformaciones. Para el

caso de un ensayo de tracción uniaxial de una barra de material elástico lineal como la de

la Fig.1, se obtiene una curva fuerza-alargamiento lineal como la que se muestra en la

misma figura. En este caso se trata de linealidad física o material. Cuando este

comportamiento no es lineal se tiene no linealidad material

Figura 1. Curva carga – desplazamiento de una barra de material elástico lineal.

b) Continuidad: El cuerpo es continuo, esto es, todo el volumen está ocupado por materia,

sin vacíos. Esta hipótesis permite representar las cantidades físicas del cuerpo, como

tensiones, deformaciones y desplazamientos, mediante funciones continuas de las

coordenadas espaciales. En realidad, todos los materiales ingenieriles están formados por

partículas elementales y no cumplen con esta hipótesis. Un ejemplo típico es el suelo. Sin

embargo, se puede aceptar que esta hipótesis no conduce a errores significativos cuando

las dimensiones de la pieza considerada son grandes con relación al tamaño de las

partículas y a la distancia entre partículas vecinas.

c) Homogeneidad: El material es homogéneo de modo que las propiedades elásticas son las

mismas en todo el cuerpo. Cualquier volumen elemental extraído del cuerpo tiene las

mismas propiedades elásticas que el resto del cuerpo. Bajo esta hipótesis, se puede

analizar un volumen elemental aislado del cuerpo y luego aplicar los resultados del

análisis a todo el cuerpo.


3

d) Isotropía: El cuerpo es isótropo, es decir las propiedades elásticas son iguales en todas las

direcciones.

La mayoría de los materiales ingenieriles no satisfacen estas hipótesis

completamente. Por ejemplo, cuando se estudia en microscopio el acero estructural, se puede

ver que está constituido por distintos tipos de cristales con diversas orientaciones. Pareciera ser

que el material está lejos de ser homogéneo e isótropo. Sin embargo, como las dimensiones de

un cristal son mucho menores que las de las piezas generalmente estudiadas y, además, como

los cristales están orientados aleatoriamente, el comportamiento de una pieza de acero, en

promedio, parece justificar la hipótesis de homogeneidad e isotropía.

Hay otros casos, en cambio, en los cuales la hipótesis de isotropía puede conducir a

serios errores. Es el caso de los metales sometidos a grandes deformaciones previas que inducen

anisotropía en los mismos o el caso de la madera.

En muchas oportunidades se hace una hipótesis adicional para obtener ecuaciones

diferenciales lineales:

e) Los desplazamientos y las deformaciones son pequeños, lo cual significa que las

componentes de desplazamiento son pequeñas en relación con las dimensiones originales

y que las componentes de deformación son mucho menores que la unidad. Esto permite

formular las ecuaciones de equilibrio del cuerpo deformado utilizando las dimensiones y

ángulos del cuerpo indeformado y despreciar productos de pequeñas cantidades. Como

resultado de esta hipótesis se obtienen ecuaciones algebraicas y ecuaciones diferenciales

lineales.

Cuando esta hipótesis no se cumple se habla de no linealidad geométrica.

Problema: Analizar la validez de las hipótesis a) a d) en el caso del hormigón, hormigón

armado y suelos.

TENSIONES

FUERZAS EXTERNAS

En la Teoría de la Elasticidad se consideran fuerzas externas a aquellas fuerzas que

actúan sobre el cuerpo, es decir a las acciones. No se incluyen dentro de las fuerzas externas a

aquellas fuerzas normalmente denominadas reacciones que, en principio, salvo en problemas

triviales, no se conocen antes de resolver el problema. Las fuerzas externas que actúan en los

cuerpos pueden ser de dos tipos: fuerzas volumétricas o másicas y fuerzas de superficie.

a) Fuerzas volumétricas o másicas: Son aquellas fuerzas externas distribuidas en el volumen

del cuerpo, como el caso de las fuerzas gravitatorias o fuerzas de inercia en cuerpos en

movimiento.

Considérese un punto P en un sólido y considérese un volumen elemental V alrededor

del mismo. Supóngase que la fuerza elemental que actúa en V es Q

, entonces la fuerza

volumétrica promedio será VQ /

(ver Fig.2). Si se supone que las fuerzas

volumétricas están distribuidas en forma continua en el sólido considerado y se contrae

V hacia el punto P , la cantidad VQ /

tiende a cierto límite F

:

FV

QlimV

0


4

Figura 2. Fuerzas volumétricas.

Esta cantidad vectorial F

es el vector de fuerzas volumétricas en P . Como V es

una cantidad escalar, Q

indica la dirección de F

. Las proyecciones de F

sobre los ejes x - y

- z se denotan con X , Y y Z respectivamente y son las denominadas componentes de fuerzas

volumétricas en P . Estas componentes son consideradas positivas o negativas según actúen en

la dirección positiva o negativa de los ejes correspondientes y tienen unidades [F/L3].

b) Fuerzas de superficie: En este caso se debe hacer una distinción cuidadosa entre

superficies exteriores y superficies interiores. Una superficie exterior es una superficie

cualquiera que forma parte de la superficie límite del cuerpo. Por ejemplo, la superficie que

limita la cavidad interna de un recipiente que contiene líquidos a alta presión es una

superficie externa. Las superficies internas, en cambio, son creadas por cortes imaginarios

del medio continuo.

En este punto, en el que se estudia la clasificación de las fuerzas externas, interesan

las fuerzas de superficie actuantes en superficies externas.

Las fuerzas externas de superficie son aquellas del tipo carga distribuida por unidad

de superficie, presión o presión hidrostática.

Considérese un punto P en una superficie externa de un sólido y considérese un área

elemental S alrededor del mismo. Supóngase que la fuerza elemental que actúa en S

es Q

, entonces la fuerza de superficie promedio será SQ /

. Si se supone que las

fuerzas de superficie están distribuidas en forma continua sobre la superficie del sólido

considerado y se contrae S hacia el punto P , la cantidad SQ /

tenderá a cierto límite

F

:

FS

QlimS

0

Esta cantidad vectorial F

es el vector de fuerzas de superficie en P . Como S es

una cantidad escalar, Q

indica la dirección de F

. Las proyecciones de F

sobre los ejes x - y

- z se denotan con X , Y y Z respectivamente y son las denominadas componentes de fuerzas

de superficie en P . Estas componentes son consideradas positivas o negativas según actúen en

la dirección positiva o negativa de los ejes correspondientes y tienen unidades [F/L2].


5

Figura 3. Fuerzas de superficie.

Problemas:

Pensar ejemplos de fuerzas másicas y de superficie en problemas reales.

Identificar las componentes de fuerzas másicas producidas por el peso propio

de un cuerpo.

¿Qué sucede con las fuerzas concentradas o distribuidas en una línea?.

Identificar cuáles son las fuerzas externas, de qué tipo son, y cuánto valen sus

componentes, en distintas estructuras y elementos estructurales.

VECTOR TENSION

Hasta ahora se ha tratado únicamente el tema de fuerzas externas. Bajo la acción de

fuerzas externas, se producirán fuerzas internas entre las distintas partes del cuerpo. Para

estudiar estas fuerzas se corta al cuerpo mediante una superficie imaginaria m - n.

Considérese un cuerpo en equilibrio bajo la acción de fuerzas externas como el de la Fig. 4a.


6

Figura 4. Definición de vector tensión.

A continuación, supóngase que se lo divide en dos partes A y B mediante una

sección m - n. Si se considera la parte A , se puede afirmar que está en equilibrio debido a las

fuerzas que actúan en ella y las actuantes en m - n (que representan las acciones de la parte B

sobre la A ). Normalmente, estas últimas se definen por su intensidad, es decir la fuerza por

unidad de área en la que actúan (vector tensión) y no están uniformemente distribuidas.

El vector tensión representa entonces la fuerza por unidad de área que hace la parte

B sobre la parte A en un determinado punto P y en una determinada área que está

caracterizada por su normal N

. Es un vector que tiene la dirección de la resultante de fuerzas

en esa área Q

y magnitud de fuerza por unidad de área. Se calcula como:

S

Q

dS

Qdp

S

N

0lim

N

z

N

y

N

x

N

p

p

p

p

Como por el punto P se pueden definir infinitas superficies caracterizadas por

normales N

distintas entre sí, se pueden definir infinitos vectores tensión en un mismo punto.

Esto muestra la necesidad de especificar la superficie en la cuál se está calculando el vector

tensión, que queda identificada mediante la dirección de la normal externa a la misma N

(vector unitario en la dirección de la normal externa, es decir, 1N

)

COMPONENTES DE TENSIÓN

Considérense ahora tres elementos de superficie normales a los ejes coordenados

pasando por un punto P como se muestra en la Fig. 5 (los planos se han desplazado levemente

para hacer más claro el dibujo). En correspondencia con esos tres planos se pueden definir tres

vectores tensión para el punto P : zyx ppp

,, que representan los vectores tensión en planos

normales a los ejes x - y - z respectivamente (ver Fig. 5).

Cada uno de esos vectores tensión tiene, además, tres componentes según cada uno

de los ejes coordenados como se indica a continuación.

Componentes

Vector tensión en un plano perpendicular al eje x: xp

pxx px

y pxz

Vector tensión en un plano perpendicular al eje y: yp

p yx p y

y p yz

Vector tensión en un plano perpendicular al eje z: zp

pzx pz

y pzz


7

Figura 5. Vectores tensión en tres planos ortogonales.

Estas seis componentes se denominan componentes de tensión y suelen agruparse en

forma de matriz formando el denominado tensor de tensiones:

z

z

z

y

z

x

y

z

y

y

y

x

x

z

x

y

x

x

ppp

ppp

ppp

σ

O sea que las componentes del tensor de tensiones en un punto P representan las

componentes en la dirección de los ejes coordenados de los tres vectores tensión que actúan en

planos normales a los ejes coordenados en el punto.

En general, para las componentes de tensión se usa la siguiente notación:

zzyzx

yzyyx

xzxyx

σ

Se adopta la letra para las tensiones normales (elementos de la diagonal) y para

las tensiones tangenciales. El primer subíndice indica la dirección de la perpendicular al plano

en el que actúa la tensión y el segundo la dirección de la componente.

El tensor de tensiones define completamente el estado de tensiones de un punto.

Convención de direcciones y signos:

Componente normal: Es positiva si es de tracción y negativa si es de compresión.

Componente tangencial: Cuando la normal saliente al plano considerado coincide con el sentido

positivo del eje de coordenadas, las componentes en dicho plano tienen signo positivo si sus

sentidos coinciden con los sentidos positivos de los otros ejes de coordenadas y negativo en

caso contrario.

Para definir un vector (por ejemplo fuerza) hacen falta tres componentes. Para definir

el estado tensional hacen falta nueve (o seis como se verá más adelante) componentes. El

concepto de tensión es más complejo que el de fuerza. El tensor de tensiones contiene más

información que el vector tensión. Un tensor difiere de un vector en la forma como cambian

sus componentes cuando cambia el sistema de referencia. Se verá más adelante que las

componentes de tensión no se transforman como fuerzas.


8

Simetría del tensor de tensiones

Como se vio hasta ahora, para definir el estado tensional en un punto hacen falta tres

componentes de tensión normal y seis de tensión tangencial, nueve en total. Se demostrará ahora

que las componentes de tensión tangencial se pueden reducir a tres porque las componentes con

índices en posición inversa son iguales entre sí.

Para ello se analiza el equilibrio del elemento diferencial de dimensiones dx - dy - dz

de la Fig. 6 y se plantea el equilibrio de momentos respecto a ejes paralelos a los ejes

coordenados que pasan por el centro del prisma:

Figura 6. Prisma diferencial.

Momento respecto a:

Eje paralelo al eje x: 0 dydxdzdzdxdydA

yz

dA

zy yzzy

Eje paralelo al eje y: zxxz

Eje paralelo al eje z: yxxy

Por lo tanto el tensor de tensiones es simétrico.

Las seis cantidades x , y , z , yxxy , zxxz , yzzy son suficientes para

definir las tensiones que actúan en tres planos coordenados pasando por un punto.

No sólo los valores de las tensiones tangenciales son iguales según las ecuaciones

anteriores, sino que además quedan definidos los sentidos de cada una de ellas de acuerdo a la

convención de signos utilizada.

VECTOR TENSIÓN EN UN PLANO DE INCLINACIÓN CUALQUIERA

Supóngase el tetraedro diferencial de la Fig. 7 alrededor del punto O . Si las tensiones

varían en forma continua, las tensiones en el tetraedro aproximan las tensiones en O cuando

las dimensiones de tetraedro tienden a cero.

Supóngase un plano inclinado cualquiera, definido por la orientación de su normal

N

. Los ángulos que forma la normal al plano con los ejes coordenados son:

xN,

yN,

zN ,


9

y los cosenos de esos ángulos son:

xNl ,coscos

yNm ,coscos

zNn ,coscos

y se denominan cosenos directores de la normal al plano.

Las componentes de la normal al plano resultan:

llxNNN x 1,cos

mmyNNN y 1,cos

nnzNNN z 1,cos

y son directamente los cosenos directores porque N

es un vector unitario.

Entonces el vector unitario normal al plano puede escribirse como:

n

m

l

N

Figura 7. Vector tensión en un plano cualquiera.

Su norma vale 1, esto es:

1222 nml

Se llama Np

al vector tensión en el plano de normal N

:

Nz

Ny

Nx

N

p

p

p

p

Sus componentes se pueden obtener mediante ecuaciones de equilibrio de fuerzas.

Para ello, es necesario calcular las áreas donde actúan los vectores tensión:

ACBAArea

mAmCBAAreaCAOArea


10

lAlCBAAreaBCOArea

nAnCBAAreaBAOArea

Se plantea entonces el equilibrio de fuerzas en la dirección de los ejes coordenados:

0 0 ApnAmAlAF N

xzxyxxx

nmlpF zxyxx

N

xx 0

nmlpF zyyxy

N

yy 0

nmlpF zyzxz

N

zz 0

Escrito en forma matricial:

n

m

l

NN

p

p

p

p

zyzxz

zyyxy

zxyxx

T

N

z

N

y

N

x

N

Esta última ecuación se denomina fórmula de Cauchy.

Comentario. ¿Para qué sirve conocer el vector tensión en una superficie de normal N

?.

Por ejemplo, para poder plantear condiciones de borde en un contorno sometido a fuerzas por

unidad de superficie. El vector tensión, que representa la resultante de las fuerzas internas,

debe ser igual a las fuerzas externas por unidad de superficie.

Ejemplo

Supóngase que se quiere encontrar el vector tensión en un plano perpendicular al eje x (OBC)

0

0

1

N

xz

xy

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

N

z

N

y

N

x

N

p

p

p

p

0

0

1

que son justamente las tensiones que actúan en un plano perpendicular al eje x.

TENSOR DE TENSIONES EN UN SISTEMA GIRADO RESPECTO AL SISTEMA

ORIGINAL

Supóngase que se conocen las componentes del tensor de tensiones en un sistema x

- y - z, y se quieren calcular las componentes en un sistema girado respecto a éste definido por

los ejes x’ - y’ - z’ como se indica en la Fig. 8.


11

Figura 8. Tensor de tensiones en un sistema de coordenadas girado.

La rotación de los ejes queda definida por tres ángulos independientes que indican el

giro de un sistema respecto a otro. Existen distintas convenciones para definir esos ángulos.

Considérese en primer lugar un elemento de superficie normal a x´. (ver Fig. 9).

Los cosenos directores de la normal al plano están dados por

)´,cos(

)´,cos(

)´,cos(´

zx

yx

xx

N x

Figura 9. Vector tensión en la cara normal al eje x’.


12

El vector tensión en ese plano puede calcularse usando la fórmula de Cauchy:

´' xTx Np

)´,cos()´,cos()´,cos(´ zxyxxxp zxyxx

x

x

)´,cos()´,cos()´,cos(´ zxyxxxp zyyxy

x

y

)´,cos()´,cos()´,cos(´ zxyxxxp zyzxz

x

z

De manera análoga podrían calcularse los vectores tensión en los dos otros planos

inclinados, normales a y’ y z’ respectivamente:

´' yTy Np

´' zTz Np

Condensando lo anterior y llamando:

)´,cos( xxaxx )´,cos( yxaxy )´,cos( zxaxz

xz

xy

xx

x

z

x

y

x

x

x

a

a

a

p

p

p

p ´

´

´

'

yz

yy

yx

y

z

y

y

y

x

y

a

a

a

p

p

p

p ´

´

´

'

zz

zy

zx

z

z

z

y

z

x

z

a

a

a

p

p

p

p ´

´

´

'

Pero las componentes de los vectores tensión en tres planos perpendiculares a los

nuevos ejes son las componentes de dichos vectores tensión referidas al sistema de coordenadas

original. Dicho de otra forma, son las proyecciones de dichos vectores en los ejes x - y - z, como

se indica en la Fig. 9. Para definir el tensor de tensiones en el sistema rotado, interesa conocer

las componentes en el nuevo sistema. Esto se puede calcular proyectando cada una de las

componentes en la dirección de los nuevos ejes:

'´

´

´

'''

'''

'''

´

´

´

'

' x

x

z

x

y

x

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zz

x

zzy

x

yzx

x

x

yz

x

zyy

x

yyx

x

x

xz

x

zxy

x

yxx

x

x

x

z

x

y

x

x

x pA

p

p

p

aaa

aaa

aaa

apapap

apapap

apapap

p

p

p

p

Con

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

aaa

aaa

aaa

A Matriz de rotación.

En realidad, los nueve elementos de esta matriz no son independientes entre sí porque

dependen de los tres ángulos usados para definir la rotación.

De manera análoga:


13

'´

´

´

´

´

´

'

' y

y

z

y

y

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

y

z

y

y

y

x

y pA

p

p

p

aaa

aaa

aaa

p

p

p

p

'´

´

´

´

´

´

'

' z

z

z

z

y

z

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

z

z

y

z

x

z pA

p

p

p

aaa

aaa

aaa

p

p

p

p

El tensor de tensiones en el sistema rotado será

tt

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

t

tz

ty

tx

tt

z

tt

y

tt

x

tz

ty

tx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

z

z

z

y

z

x

y

z

y

y

y

x

x

z

x

y

x

x

AAA

aaa

aaa

aaa

A

p

p

p

Ap

Ap

Ap

p

p

p

ppp

ppp

ppp

'''

'''

'''

''

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

σ

tAA '

TENSIÓN NORMAL Y TENSIÓN TANGENCIAL EN UN PLANO DE NORMAL N

Para encontrar la tensión normal y tangencial en un plano de normal N

se debe

proyectar el vector tensión en la dirección de la normal al plano y de la tangente respectivamente

(ver Fig. 10).

Figura 10. Tensión normal y tangencial en un plano.


14

La tensión normal es la proyección del vector sobre la normal, esto es:

),cos( Npp NNN

Recordando que el producto escalar (indicado por un punto) de los vectores tensión

y normal es:

),cos(

1

NpNpNp NNN

y teniendo en cuenta que el vector N

es unitario, la proyección del vector tensión sobre la

normal se puede escribir directamente como el producto escalar de dicho vector por el vector

N

npmplpNpNp N

z

N

y

N

x

tNNN

Introduciendo la fórmula de Cauchy, esta ecuación puede escribirse también como:

nmlnmlnmlNNNp yzzxxyzyx

ttNN 2 2 2222

La expresión de la tensión tangencial puede deducirse teniendo en cuenta que el

vector tensión es la resultante de la tensión normal y tangencial y que ambas son ortogonales.

Usando el teorema de Pitágoras:

22 NNNp

de donde:

22NNN p

DIRECCIONES PRINCIPALES DE TENSIÓN Y TENSIONES PRINCIPALES

Se mencionó antes que, con la fórmula de Cauchy, se puede encontrar el vector

tensión Np

para cada uno de los infinitos planos de normal N

que pasan por un punto. Ese

vector puede descomponerse en la dirección normal al plano y en la dirección tangencial al

plano. Interesa determinar aquellos planos para los cuales Np

tiene la dirección de la normal

al plano ( 0N ) o, dicho de otra forma, aquellos planos para los cuales el vector tensión es

normal al plano. En esos planos la tensión normal N es máxima y la tensión tangencial N es

nula. Dichos planos se denominan planos principales de tensión y las normales a los mismos,

se llaman direcciones principales de tensión. Las tensiones normales que actúan en dichos

planos se denominan tensiones principales.

En resumen:

Los planos principales de tensión son planos en los cuales las tensiones normales

son máximas y las tensiones tangenciales son nulas.

Las direcciones principales de tensión son las direcciones de las normales a los

planos en los cuales las tensiones normales son máximas y las tensiones tangenciales son nulas.

Las tensiones principales son las tensiones normales máximas que ocurren en planos

donde se anulan las tensiones tangenciales.


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Figura 11. Tensiones principales y direcciones principales de tensión.

Supóngase que el plano inclinado de la Fig. 11 es un plano principal. Entonces el

vector tensión tiene la misma dirección que la normal al plano y la tensión normal N es

directamente la norma del vector tensión.

Si se designan:

N

a las direcciones principales de tensión N a las tensiones principales

El vector tensión se puede escribir

N

n

m

l

p

p

p

p NN

N

z

N

y

N

x

N

Pero, por la fórmula de Cauchy se tenía también que:

NpTN

Igualando ambas expresiones, se tiene:

0

0

NIN

NN

NN

NT

NT

NT

donde I es la matriz identidad de 3x3.

Sacando factor común:

0 NINT

Este es un sistema de ecuaciones que permitiría encontrar las tres componentes de

N . Pero no se conoce tampoco el valor de N . En realidad, se trata de un problema de


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autovalores. Una condición necesaria y suficiente para que este problema tenga solución N

distinta de la trivial es que el determinante de la matriz de coeficientes del sistema sea nulo.

Esto es:

0 IN

El desarrollo del determinante conduce a la siguiente ecuación característica:

03.2

2

1

3 III

donde:

trI zyx 1

zzx

xzx

zzy

yzy

yyx

xyxI

2

det3 I

I1, I2 e I3 se denominan invariantes de tensión porque son independientes del sistema

de referencia. La ecuación característica es independiente del sistema de referencia.

Se puede demostrar que esta ecuación tiene tres raíces reales que resultan

independientes del sistema de referencia y que son justamente las tensiones principales que se

estaban buscando. Generalmente, por convención, las tensiones principales se denominan

321

Reemplazando cada uno de estos tres valores en la ecuación 0 NINT

, se obtienen las componentes de los 3 vectores N

correspondientes que indican las tres

direcciones principales y que son mutuamente ortogonales.

Si se conocen las tensiones principales y las direcciones principales de tensión queda

determinado el estado de tensiones en el punto.

Como las tensiones tangenciales son nulas en los planos principales, el tensor de

tensiones tiene la siguiente forma cuando se lo refiere a las direcciones principales de tensión:

3

2

1

00

00

00

Referidos a las direcciones principales, los invariantes de tensión resultan:

3211 I

1332212 I

3213 I

TENSIONES DE CORTE MÁXIMAS

De igual manera que existen planos en los que la tensión normal N es máxima y la

tensión tangencial N es nula, también existen algunos planos en los que N es máxima. En

esos planos la tensión normal no es necesariamente nula. Las normales a dichos planos se

denominan direcciones principales de corte. Se puede demostrar (se desarrolla en el Anexo)


17

que las direcciones principales de corte están giradas 45º respecto de las direcciones principales

de tensión y los valores de las tensiones máximas de corte están dados por

2

21max

,

2

32max

,

2

31

max

TENSOR DESVIADOR DE TENSIONES

Para algunos fines, resulta conveniente descomponer el tensor de tensiones en

una parte hidrostática pura (igual presión en todas las direcciones) y una parte desviadora que

indica cuánto se desvía el estado tensional del estado hidrostático. Se escribe entonces

desviadoraparte

cahidrostátiparte

m SI

33

1Izyx

m

Tensión media

S

mzzyzx

yzmyyx

xzxymx

m

m

m

zzyzx

yzyyx

xzxyx

00

00

00

Donde S es el tensor desviador de tensiones que se puede calcular como:

mIS

mzzyzx

yzmyyx

xzxymx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

SSS

SSS

SSS

S

Al igual que para el caso del tensor de tensiones, existen ciertas direcciones para las

cuales las componentes de la diagonal del tensor desviador de tensiones son máximas y el resto

nulas. Estas direcciones se denominan direcciones principales del tensor desviador de tensiones.

El procedimiento utilizado para calcular las direcciones y tensiones desviadoras principales es

totalmente análogo al utilizado para calcular las tensiones principales y direcciones principales

de tensión.

Debe observarse que la suma de las componentes de la diagonal del tensor desviador

de tensiones es nula ( 01 zyx SSSJ ). Esto muestra que la presión hidrostática o la

presión media de un estado puramente desviador es nula.

Las direcciones principales del tensor desviador de tensiones coinciden con las del

tensor de tensiones porque ambos tensores se diferencian en un estado hidrostático que no

modifica las direcciones principales. Esto se puede ver claramente si se expresa el tensor de

tensiones en las direcciones principales de tensión:

3

2

1

00

00

00

Y ahora se calcula el tensor desviador de tensiones en esas direcciones:


18

3

00

00

00321

3

2

1

m

m

m

m

S

Observando la forma del tensor desviador de tensiones en las direcciones principales

de tensión, con elementos nulos fuera de la diagonal, se puede concluir que las direcciones

principales de tensión son también direcciones principales del tensor desviador de tensiones.

Es decir que las direcciones principales de y S son coincidentes.

CUÁDRICA DE CAUCHY

Como ya se vio anteriormente, la tensión normal en un plano puede calcularse como:

npmplp zyx

N

Reemplazando las componentes del vector tensión por las calculadas mediante la

fórmula de Cauchy, resulta:

nlmnlmnml xzyzxyzyx

N 222222

Interesa ver cómo varía N cuando varía N

(normal al plano)

Considérese un vector en la dirección de N

cuya longitud r es inversamente

proporcional a la raíz cuadrada del valor absoluto de N

N

kr

k : constante

Las coordenadas del extremo de este vector serían

lrx mry nrz

Despejando de las ecuaciones anteriores

2

2

r

kN

r

xl

r

ym

r

zn

Reemplazando en la expresión de la tensión normal

2222

2

2

2

2

2

2

2

222r

zx

r

zy

r

yx

r

z

r

y

r

x

r

kxzyzxyzyx

Multiplicando ambos miembros por 2r

xzyzxyzyxk xzyzxyzyx 2222222

Esta es la ecuación de una cuádrica que se denomina cuádrica de Cauchy. A medida

que el plano de normal N

rota, el extremo del vector r

se mueve sobre una superficie de


19

segundo grado como esta. El vector tensión tiene la dirección de la normal a la cuádrica n

en

el punto definido por el extremo del vector r

y 2

2

2

2

OP

k

r

kN (ver Fig. 12).

Figura 12. Cuádrica de Cauchy

Siempre es posible encontrar ejes x - y - z tales que los productos cruzados se anulen.

Esos son justamente los ejes principales de tensión

ELIPSOIDE DE LAMÉ

Supóngase que se toman direcciones de referencia coincidentes con las direcciones

principales de tensión. Ver Figura 13.

Figura 13. Vector tensión en un plano de normal N

usando como ejes de referencia las direcciones

principales de tensión.


20

La normal al plano es

n

m

l

N

y el tensor de tensiones referido a las direcciones

principales de tensión es

3

2

1

00

00

00

Aplicando la fórmula de Cauchy se obtiene

n

m

l

N

p

p

p

pT

3

2

1

3

2

1

00

00

00

lp 11 mp 22 np 33

de donde:

1

1

pl

2

2

pm

3

3

pn

Como N

es un vector unitario

1222 nml

Reemplazando l , m y n por los valores anteriores:

1

2

3

3

2

2

2

2

1

1

ppp

Esta es la ecuación de un elipsoide que se denomina Elipsoide de tensiones (Elipsoide

de Lamé). Sus semiejes son las tensiones principales (ver Fig. 14).

Cuando el plano de normal N

rota, el extremo del vector p se mueve sobre ese

elipsoide. Si dos de las tensiones son iguales se tiene un elipsoide de revolución. Si las tres

tensiones son iguales se tiene una esfera.

Figura 14. Elipsoide de Lamé.


21

ECUACIONES DE EQUILIBRIO

Hasta ahora se vio cómo varían las tensiones en un punto al variar la inclinación del

plano considerado. Interesa saber ahora qué sucede cuando se pasa de un punto a otro del

espacio. ¿Cómo varían las tensiones?

Para ello se plantea el equilibrio de un prisma diferencial de caras paralelas a los

planos coordenados considerando la variación de las tensiones de una cara a otra del prisma. Se

supone que las tensiones varían en forma continua en el interior del cuerpo (ver Fig. 15).

Tensiones en las caras de normal negativa

Tensiones en las caras de normal positiva

Figura 15. Equilibrio de un prisma diferencial

Si se plantea el equilibrio de fuerzas en la dirección x , se tiene


22

0

0

Xdxdydzdxdydzz

dxdzdyy

dydzdxx

F

zxzx

zx

yx

yx

yxxx

xx

Simplificando resulta:

0

X

zyxzxyxx

Planteando, de manera análoga, el equilibrio de fuerzas en las otras dos direcciones

se llega a las tres ecuaciones de equilibrio:

0

0

0

Zyxz

Yzxy

Xzyx

yzxzz

zyxyy

zxyxx

en V

Estas ecuaciones se deben satisfacer en todos los puntos del volumen V del sólido.

En la superficie externa las tensiones deben estar en equilibrio con las fuerzas externas que

actúan en la superficie del cuerpo. Esto permite plantear las condiciones de borde en aquellas

partes de la frontera externa donde se conocen las fuerzas de superficie.

CONDICIONES DE BORDE

Sean ZYX ,, las componentes de las fuerzas por unidad de superficie actuantes en

la superficie externa S . En esa superficie se debe cumplir que:

Np N

Z

Y

X

en S

Desarrollando

nmlX zxyxx

nlmY zyxyy en S

mlnZ yzxzz

Donde nml ,, son los cosenos directores de la normal a la superficie.

Si se trata de encontrar el estado de tensiones de un cuerpo sometido a la acción de

las fuerzas dadas se deben resolver las ecuaciones diferenciales y la solución debe cumplir las

condiciones de borde en tensión. Pero son sólo tres ecuaciones con seis incógnitas, es decir no

son insuficientes.


23

EXPRESION VECTORIAL DE LAS COMPONENTES DEL TENSOR DE

TENSIONES

Como el tensor de tensiones es simétrico, sólo hacen falta definir seis de sus

componentes para definir el estado tensional. Muchas veces, a los fines de almacenar en forma

más eficiente las componentes de tensión y simplificar la notación, se ordena las componentes

de tensión en un vector como sigue:

xz

yz

xy

x

y

x

No existe una convención definida para el orden de las componentes dentro de este

vector. Se debe tener en cuenta, además, que las componentes de tensión forman un tensor de

rango dos o matriz, para el cual son válidas todas las operaciones definidas anteriormente.

Dichas operaciones no se pueden extrapolar directamente a la forma vectorial.

DEFORMACIONES

INTRODUCCIÓN

En general, cuando los puntos de un cuerpo se desplazan, dependiendo de cómo

varían los desplazamientos en el interior del cuerpo, se puede generar un movimiento de cuerpo

rígido (desplazamiento y giro sin deformación) y una deformación. En este punto se estudian

las deformaciones que están relacionadas con el cambio de distancia entre dos puntos. Para ello

se hacen las siguientes hipótesis:

Los desplazamientos son pequeños y varían en forma continua en el volumen del

cuerpo.

Las deformaciones son pequeñas.

DESPLAZAMIENTOS

Figura 16: Desplazamiento de un punto.


24

El desplazamiento de un punto P que lo lleva a la posición P se puede definir

mediante el siguiente vector:

w

v

u

U

En general, ),,( zyxuu , ),,( zyxvv , ),,( zyxww .

DEFORMACIÓN EN UN PUNTO

La deformación está relacionada con el cambio de la distancia entre los puntos del

cuerpo. Para medir la deformación en un punto se estudia, entonces, cómo cambia la distancia

entre ese punto y un punto separado una longitud diferencial en una cierta dirección.

Considérese el segmento diferencial PQ de la Fig. 17 y supóngase que luego de la

deformación resulta en ''QP

Figura 17. Deformación de un segmento diferencial.

En la Fig. 17 se indican las coordenadas de los puntos P y Q antes y después de la

deformación.

Debido a la hipótesis de que los desplazamientos varían en forma continua, se puede

escribir que:

dzz

udy

y

udx

x

udu

dzz

vdy

y

vdx

x

vdv

dzz

wdy

y

wdx

x

wdw

La longitud del segmento PQ antes de la deformación está dada por:

2222dzdydxPQ

Si l , m y n son los cosenos directores de PQ


25

PQ

dxl

PQ

dym

PQ

dzn

Luego de la deformación la norma de ''QP vale:

222

2222''

dzz

wdy

y

wdx

x

wdzdz

z

vdy

y

vdx

x

vdydz

z

udy

y

udx

x

udx

dwdzdvdydudxQP

Si se llama a la deformación por unidad de longitud del segmento PQ , se puede

escribir:

222

222)1(''

dzz

wdy

y

wdx

x

wdzdz

z

vdy

y

vdx

x

vdydz

z

udy

y

udx

x

udx

PQQP

Dividiendo esta última expresión por 2

PQ y teniendo en cuenta las expresiones de

l , m y n anteriores, se llega a:

222

222

2

111

)1(

nz

wm

y

wl

x

wn

z

vm

y

vl

x

vn

z

um

y

ul

x

u

nz

wm

y

wl

x

wnn

z

vm

y

vl

x

vmn

z

um

y

ul

x

ul

Desarrollando:

nz

wm

y

wn

z

wl

x

wm

y

wl

x

wn

z

wm

y

wl

x

w

nz

vm

y

vn

z

v

x

vll

x

vm

y

vn

z

vm

y

vl

x

v

nz

um

y

un

z

u

x

ulm

y

u

x

uln

z

um

y

ul

x

u

121221

122121

21212121

2

222

2

2

22

22

2

2

2

Debido a la hipótesis de pequeñas deformaciones se pueden despreciar los productos

de derivadas y 2 . Resulta entonces:

y

wmn

x

wnl

z

vmn

x

vlm

z

unl

y

ulm

z

wn

y

vm

x

ul

222

TENSOR DE DEFORMACIONES

La ecuación anterior puede escribirse en forma más compacta como sigue:

222

22222 yzxzxy

zyx mn2

lnlmnml

Donde:


26

y

w

z

v

x

w

z

u

x

v

y

u

z

w

y

v

x

u

yzxzxy

zyx

Son las componentes de deformación que pueden acomodarse en un tensor,

denominado tensor de deformaciones, de la siguiente manera:

z

yzxz

yz

y

xy

xzxy

x

22

22

22

Este tensor es simétrico por definición.

Las componentes x , y y z se denominan deformaciones normales, mientras que

xy , xz y yz se denominan deformaciones angulares. Se verá más adelante que esta

denominación está relacioanda con la interpretación geométrica de las respectivas componentes

de deformación.

La ecuación que define la deformación del segmento PQ puede escribirse en forma

resumida como sigue:

NNt

donde ttnmlN indica la dirección del segmento. Esto implica que, conocido el tensor

de deformaciones, se puede calcular la deformación en cualquier dirección. Si el tensor de

deformaciones es nulo en todos los puntos de un cuerpo, el cuerpo experimenta un movimiento

de cuerpo rígido.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS COMPONENTES DE DEFORMACIÓN

La ecuación NNt puede particularizarse para calcular la deformación en

la dirección de los ejes coordenados como sigue:

Eje x : 0,0,1 nml x

Eje y : 0,1,0 nml y

Eje z : 1,0,0 nml z

Esto significa que las deformaciones normales indican deformaciones específicas en

la dirección de los ejes coordenados.

A estas mismas conclusiones podría llegarse si se analiza la deformación de un

elemento diferencial de volumen en la dirección de los ejes coordenados. A modo de ejemplo,

considérese un elemento diferencial dx - dy en el plano x - y como el de la Fig. 18.


27

Figura 18. Deformación específica en la dirección x.

La deformación específica en la dirección x está dada por:

x

f

x

u

dx

dxdxx

udx

l

ll

0

0

De manera análoga puede probarse para las otras direcciones.

Para interpretar el sentido geométrico de las deformaciones angulares considérese un

elemento diferencial dx - dy en el plano x - y como el que se ilustra en la Fig. 19.

Figura 19. Deformación angular en el plano x - y.

y

u

x

v

x

v

y

u

representa lo que cambia un ángulo originalmente recto en la dirección de los ejes x - y, por

efecto de la deformación. De manera que las deformaciones angulares representan las

distorsiones de los ángulos originalmente rectos en los planos correspondientes.

Adicionalmente, en la Fig. 20 se puede ver que el cambio de volumen por unidad de

volumen puede escribirse como:

z

w

y

v

x

u

dxdydz

dxdydzdzz

wdzdy

y

vdydx

x

udx

V

VV f

v

))()((

0

0


28

Figura 20. Deformación volumétrica.

TENSOR DE DEFORMACIONES EN UN SISTEMA DE REFERENCIA GIRADO

El tensor de deformaciones, al igual que el tensor de tensiones, es un tensor de rango

dos. Sus componentes varían cuando cambia el sistema de referencia de la misma forma que

cambian las componentes del tensor de tensiones.

Considérense dos sistemas de referencia x - y - z y x´ - y´ - z´, este último girado

respecto al anterior. La orientación del sistema x´ - y´ - z´ respecto del sistema x - y - z queda

definida por la matriz de rotación:

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

aaa

aaa

aaa

A

cuyos elementos son los cosenos de los ángulos que forman los ejes x´ - y´ - z´ con los ejes x -

y - z. Esto es

)´,cos( xxaxx )´,cos( yxaxy )´,cos( zxaxz

)´,cos( xya yx )´,cos( yya yy )´,cos( zya yz

)´,cos( xzazx )´,cos( yzazy )´,cos( zzazz

El tensor de deformaciones en el sistema x´ - y´ - z´ se expresa como:

tAA

DEFORMACIONES PRINCIPALES Y DIRECCIONES PRINCIPALES DE

DEFORMACIÓN

Observando la ecuación NNt , se puede ver que la deformación específica

en un punto depende de la dirección considerada. Hay ciertas direcciones para las cuales esa

deformación es máxima. Esas direcciones se denominan direcciones principales de

deformación y en los planos normales a esas direcciones las deformaciones angulares son nulas.

El procedimiento para encontrar las deformaciones principales y las direcciones

principales de deformación es totalmente análogo al utilizado para calcular las tensiones

principales y las direcciones principales de tensión.

Se obtiene el siguiente problema de autovalores:

0 NIN

Donde N es la deformación específica en la dirección N .


29

La condición necesaria y suficiente para que esta ecuación tenga solución distinta de

la tribial es que:

0 IN

Desarrollando este determinante, se llega a la siguiente ecuación característica:

03.2

2

1

3 III

donde:

vzyx trI 1

z

xz

xz

x

z

yz

yz

y

y

xy

xy

x

I

2

2

2

2

2

22

det3 I

321 ,, III se denominan invariantes del tensor de deformaciones porque son

independientes del sistema de referencia. La ecuación característica es independiente del

sistema de referencia.

Se puede demostrar que esta ecuación tiene tres raíces reales que resultan

independientes del sistema de referencia y que son justamente las deformaciones principales

que se estaban buscando. Generalmente, por convención, las deformaciones principales se

denominan:

321

Reemplazando cada uno de estos tres valores en la ecuación 0 NIN ,

se obtienen las componentes de los tres vectores N

correspondientes que indican las tres

direcciones principales de deformación y que son mutuamente ortogonales.

Si se conocen las deformaciones principales y las direcciones principales de

deformación, queda determinado el estado de deformaciones en el punto.

Como las deformaciones angulares son nulas en los planos principales, el tensor de

deformaciones tiene la siguiente forma cuando se usan como ejes de referencia las direcciones

principales de deformación:

3

2

1

00

00

00

Referidos a las direcciones principales, los invariantes de deformación se pueden

escribir como:

3211 I

1332212 I

3213 I

TENSOR DESVIADOR DE DEFORMACIONES

Todo estado de deformación puede descomponerse en dos partes: una parte

relacionada con el cambio de volumen y una parte relacionada con el cambio de forma. Esta

descomposición es útil cuando se plantean las relaciones tensión-deformación porque en

muchos materiales estos dos tipos de deformaciones son originados por distintos tipos de

tensiones.


30

Esta descomposición del tensor de deformaciones se expresa como:

desviadoraparte

avolumétricparte

v eI 3

3Izyxv Deformación volumétrica

322

232

223

300

03

0

003

22

22

22

v

z

yzxz

yzv

y

xy

xzxyv

x

v

v

v

z

yzxz

yz

y

xy

xzxy

x

La parte volumétrica 3

vI

representa un cambio de volumen sin cambio de forma.

Se tiene la misma deformación específica en todas las direcciones.

La parte desviadora de la deformación está dada por el tensor desviador de

deformaciones e que se puede calcular como:

3

vIe

322

232

223

v

z

yzxz

yzv

y

xy

xzxyv

x

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

eee

eee

eee

e

El tensor desviador de deformaciones produce el cambio de forma. La suma de los

elementos de la diagonal de este tensor es nula lo cual confirma que un estado de deformaciones

puramente desviador no produce deformaciones volumétricas. Es decir 0 zzyyxx eee .

EXPRESIÓN VECTORIAL DE LAS COMPONENTES DEL TENSOR DE

DEFORMACIONES

De manera análoga al caso de las tensiones, y teniendo en cuenta la simetría del

tensor de deformaciones, Sus componentes se pueden almacenar en un vector de la siguiente

forma:

xz

yz

xy

x

x

x

Debe observarse que, en este caso, las componentes del vector no coinciden con las

del tensor. La diferencia aparece en el factor ½ de las deformaciones angulares. Es importante


31

tener en cuenta que todas las ecuaciones antes desarrolladas se refieren al tensor con el factor

½.

Por otro lado, como en el caso de las tensiones, no existe una única convención para

ordenar las componentes de deformación en el vector.

ECUACIONES CINEMÁTICAS

Las seis ecuaciones

y

w

z

v

x

w

z

u

x

v

y

u

z

w

y

v

x

u

yzxzxy

zyx

que relacionan las componentes del tensor de deformaciones con derivadas de las componentes

de desplazamiento se denominan ecuaciones cinemáticas. De las mismas se puede deducir que

si los desplazamientos son funciones lineales de las coordenadas, se tiene un estado de

deformación homogéneo en el que la deformación en una dirección dada no varía de punto a

punto. Este estado de deformación se caracteriza porque los planos se mantienen planos, las

rectas paralelas permanencen paralelas y las esferas se convierten en elipsoides. En casos más

generales, la deformación varía sobre el volumen. Ejemplos de deformación no homogénea son

la flexión y torsión de vigas.

MOVIMIENTO DE CUERPO RÍGIDO

Se dice que un cuerpo sufre un movimiento de cuerpo rígido cuando el mismo se

desplaza sin deformarse. Una condición necesaria y suficiente para que un cuerpo se desplace

como cuerpo rígido es que todas las componentes del tensor de deformaciones se anulen

0 en todo el volumen del cuerpo.

En general, ese desplazamiento de cuerpo rígido se puede descomponer en una

traslación más una rotación como se ilustra en la Fig. 21.

Figura 21. Movimiento de cuerpo rígido.


32

Considérense los puntos P y Q de la Fig. 22 separados una longitud diferencial. La

diferencia entre los desplazamientos de ambos puntos está dada por:

dzz

udy

y

udx

x

udu

dzz

vdy

y

vdx

x

vdv

dzz

wdy

y

wdx

x

wdw

Las expresiones anteriores se pueden escribir también como:

dzx

w

z

udy

x

v

y

udz

x

w

z

udy

x

v

y

udx

x

udu

2

1

2

1

2

1

2

1

dzy

w

z

vdx

y

u

x

vdz

y

w

z

vdy

y

vdx

y

u

x

vdv

2

1

2

1

2

1

2

1

dyz

v

y

wdx

z

u

x

wdz

z

wdy

z

v

y

wdx

z

u

x

wdw

2

1

2

1

2

1

2

1

Figura 22. Desplazamiento diferencial.

Esto también puede escribirse como:

dzdydzdydxdu yzxzxyx 2

1

2

1

dxdzdzdxdydv zxyzyxy 2

1

2

1

dydxdydxdzdw xyzyzxz 2

1

2

1

Donde zyx ,, son las components del vector rotación definidas como sigue:


33

y

u

x

v

x

w

z

u

z

v

y

w

z

x

x

2

1

2

1

2

1

z

y

x

Las componentes zyx ,, indican el giro alrededor de los ejes respectivos.

Es decir, que el movimiento relativo entre los dos puntos P y Q se debe a la

deformación y a la rotación. El desplazamiento de cuerpo rígido no produce cambio en la

distancia entre dos puntos, ya que en ese caso todos los puntos se desplazan lo mismo.

Si las deformaciones son nulas, el movimiento puede expresarse como un

desplazamiento de cuerpo rígido dado por ooo wvu ,, que son constantes y una rotación de

cuerpo rígido como sigue:

zyuu yzo

xzvv zxo

yxww xyo

La Fig. 21 representa esquemáticamente un movimiento de cuerpo rígido en el plano

x - y.

ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD

Si se conoce el campo de desplazamientos wvu ,, , se pueden determinar las seis

componentes de deformación xzyzxyzyx ,,,,, utilizando las ecuaciones cinemáticas.

Si se plantea el problema inverso, no ocurre lo mismo. Supóngase que se conocen las

seis componentes de deformación y se quieren calcular los tres desplazamientos wvu ,, . Para

ello habría que integrar las ecuaciones cinemáticas. Allí aparece el problema de que se tienen

seis ecuaciones con tres incógnitas. Es probable que si las deformaciones están fijadas

arbitrariamente, el problema planteado no tenga una solución única para los desplazamientos.

Esto llevaría a que la solución matemática conduzca a dos valores distintos para el

desplazamiento de un mismo punto. Como se está tratando materiales continuos esto no es

aceptable. Hay que asegurar que la solución resulte un campo de desplazamientos simplemente

valuado. Para ello, se observa que, en realidad, las seis ecuaciones cinemáticas no son

independientes entre sí. Si se las relaciona se llega a las condiciones que deben cumplir las

componentes de deformación para que se pueda encontrar un campo de desplazamientos

simplemente valuado. Esas condiciones se denominan condiciones de compatibilidad. Son seis

ecuaciones que representan condiciones suficientes para que el campo de desplazamiento sea

continuo en cuerpos simplemente conexos.

Estas condiciones pueden obtenerse relacionando las ecuaciones cinemáticas entre

sí. Si se derivan las ecuaciones cinemáticas

y

w

z

v

x

w

z

u

x

v

y

u

z

w

y

v

x

u

yzxzxy

zyx


34

se llega a:

2

3

2

2

yx

u

y

x

2

3

2

2

xy

v

x

y

2

3

2

32

xy

v

yx

u

yx

xy

Es decir que

2

2

2

22

xyyx

yxxy

De la misma manera pueden obtenerse las cinco ecuaciones restantes para llegar a

escribir la seis ecuaciones de compatibilidad siguientes:

2

2

2

22

xyyx

yxxy

2

2

2

22

yzzy

zyyz

2

2

2

22

xzzx

zxxz

zyxxzy

xyxzyzx2

2

zxyyzx

xyyzxzy 2

2

xyzzyx

yzxzxyz2

2

Si se cumplen estas seis ecuaciones de compatibilidad se pueden integrar las

ecuaciones cinemáticas pero no se asegura la unicidad del campo de desplazamientos. Se

obtienen infinitos campos que difieren entre sí en movimientos de cuerpo rígido.

CONDICIONES DE BORDE CINEMÁTICAS

En la mayoría de los problemas de Ingeniería Civil, los elementos estudiados no

pueden moverse libremente como cuerpos rígidos sino que su movimiento de cuerpo rígido está

limitado por los vínculos del elemento que fijan condiciones que deben cumplir los

desplazamientos. Es decir que hay una cierta parte de la frontera uS en donde se conocen los

desplazamientos. Esto es:

ww

Svv

uu

u

en


35

En uS , como consecuencia de las restricciones de apoyo, aparecen reacciones. Estas

reacciones que, en general, no se conocen a priori, no se consideran en la solución del problema

sino que se calculan.

RELACIONES TENSIÓN-DEFORMACIÓN

INTRODUCCIÓN

El problema a resolver consiste en encontrar las tensiones, deformaciones y

desplazamientos en un elemento sometido a cargas externas. Si se hace un resumen de las

incógnitas y ecuaciones que se tienen en este problema:

INCÓGNITAS:

6 Componentes de tensión yzxzxyzyx ,,,,,

6 Componentes de deformación yzxzxyzyx ,,,,,

3 componentes de desplazamientos: wvu ,,

_________________________________________

Total de Incógnitas: 15

ECUACIONES

3 Ecuaciones de equilibrio

6 Ecuaciones cinemáticas

_________________________________________

Total de Ecuaciones: 9

Es claro que el número de ecuaciones disponible no es suficiente. Debe tenerse en

cuenta que por ahora no se ha considerado en ningún momento el material del elemento que se

está analizando. Justamente, las ecuaciones que están faltando son las que caracterizan el

comportamiento mecánico del material. Son las denominadas ecuaciones constitutivas que

establecen las relaciones entre tensiones y deformaciones resultantes de la constitución interna

del material.

LEY DE HOOKE GENERALIZADA

La forma más simple de la ecuaciones constitutivas o relaciones tensión-deformación

corresponde al comportamiento elástico lineal. Si se admite que el material tiene un

comportamiento elástico lineal como se mencionó al comienzo del curso, las tensiones están

relacionadas linealmente con las deformaciones. Las ecuaciones constitutivas correspondientes

se denominan Ley de Hooke generalizada que sería una generalización de la Ley de Hooke

uniaxial E para el caso en que se tienen seis componentes de tensión y seis de

deformación o sea al caso multiaxial.

Si además se hace la hipótesis de isotropía del material, la Ley de Hooke generalizada

se puede escribir en términos de dos constantes independientes como sigue:

zyxxE

1

zxyyE

1


36

yxzzE

1

GE

xyxy

xy

)1(2

GE

yzyz

yz

)1(2

GE

xzxz

xz

)1(2

Donde E es el módulo de Young o módulo de elasticidad, es el coeficiente de

Poisson y )1(2

E

G el módulo de corte.

Si se consideran las componentes de tensión y de deformación como componentes

de vectores, estas ecuaciones pueden expresarse como:

xz

yz

xy

z

y

x

C

xz

yz

xy

z

y

x

G

G

G

EEE

EEE

EEE

1

100000

01

0000

001

000

0001

0001

0001

1

C

Donde 1C es la matriz de flexibilidad del material.

O también se puede escribir la relación inversa :

C

donde

2

2100000

02

210000

002

21000

0001

0001

0001

211

EC

es la matriz de rigidez del material.

También se puede escribir la Ley de Hooke generalizada de la siguiente forma,

desacoplando la parte hidrostática-volumétrica de la parte desviadora en los tensores de tensión

y deformación:

vm K Tensión media proporcional a la deformación volumétrica


37

eGS 2 Tensor desviador de tensiones proporcional al tensor desviador de

deformaciones

K es el módulo de compresibilidad volumétrico y puede expresarse en función de

las otras constantes elásticas como:

213

EK

Otra forma de escribir la Ley de Hooke generalizada es:

GIv 2

Donde y G (módulo de corte) son también llamadas constantes de Lamé:

2113

2

EGK

Observación:

Para materiales elásticos lineales isótropos las direcciones principales de tensión coinciden con

las direcciones principales de deformación. Esto se puede demostrar fácilmente si se analiza la

forma matricial de las relaciones tensión-deformación:

xz

yz

xy

z

y

x

C

xz

yz

xy

z

y

x

G

G

G

EEE

EEE

EEE

1

100000

01

0000

001

000

0001

0001

0001

En las direcciones principales de tensión se tiene:


38

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

100000

01

0000

001

000

0001

0001

0001

3

2

1

123

312

321

3

2

1

1

E

E

E

G

G

G

EEE

EEE

EEE

C

Las componentes de deformación angular resultan nulas y por tanto estas

direcciones son también direcciones principales de deformación.

Esto también se puede demostrar a partir de la expresión eGS 2 que muestra

que los tensores desviador de tensiones y desviador de deformaciones son proporcionales y, por

lo tanto, tienen las mismas direcciones principales. Como, a su vez, las direcciones principales

del tensor de tensiones coinciden con las del desviador de tensiones y las direcciones principales

del tensor de deformaciones coinciden con las del desviador de deformaciones, se puede

concluir que las direcciones principales de deformación coinciden con las direcciones

principales de tensión.

Esta conclusión sólo puede asegurarse en el caso de materiales lineales elásticos

isótropos y no puede extrapolarse a otro tipo de materiales con relaciones tensión-deformación

distintas.

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA

INTRODUCCIÓN

El problema a resolver consiste en encontrar las tensiones, deformaciones y

desplazamientos en un elemento bajo cargas y condiciones de apoyo conocidas.

Existen básicamente dos formas de abordar este tipo de problemas: analíticamente o

numéricamente.

Hay muy pocos problemas elásticos que se pueden resolver analíticamente. Muchas

veces se recurre a métodos semi-inversos en los que, en base a algún tipo de observación, se

propone parte de la solución y se busca el resto de manera que se satisfagan las ecuaciones

diferenciales del problema y las condiciones de borde. Dentro del Tema 1, se verán algunas

formas clásicas de abordar la solución analítica de problemas tridimensionales así como

principios que son de suma utilidad en la solución de problemas elásticos.

La solución numérica es siempre aproximada y se tratará en el Tema 3 en el que se

desarrollará la solución mediante el método de diferencias finitas y el método de elementos

finitos.


39

RESUMEN DE ECUACIONES E INCÓGNITAS

Si se hace un resumen de las incógnitas y ecuaciones que se tienen en este problema:

INCÓGNITAS:

6 Componentes de tensión yzxzxyzyx ,,,,,

6 Componentes de deformación yzxzxyzyx ,,,,,

3 componentes de desplazamientos: wvu ,,

_________________________________________

Total de Incógnitas: 15

ECUACIONES

3 Ecuaciones de equilibrio

0

0

0

Zyxz

Yzxy

Xzyx

yzxzz

zyxyy

zxyxx

6 Ecuaciones cinemáticas

y

w

z

v

x

w

z

u

x

v

y

u

z

w

y

v

x

u

yzxzxy

zyx

6 Ecuaciones constitutivas

zyxxE

1

zxyyE

1

yxzzE

1

G

xy

xy

G

yz

yz

G

xz

xz

_________________________________________

Total de Ecuaciones: 15

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. Además, se debe observar

que se trata de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Esto es el resultado

de las hipótesis simplificativas realizadas al comienzo, en particular, de las hipótesis de

comportamiento elástico lineal y pequeñas deformaciones.


40

En aquellos casos en que se resuelva el problema en tensiones o deformaciones se

deben usar también las seis ecuaciones de compatibilidad de deformaciones para asegurar que

el campo de desplazamiento sea simplemente valuado.

Se dispone además de las condiciones de borde del problema:

CONDICIONES DE BORDE

Estas condiciones se plantean siempre en la frontera externa de los cuerpos analizados y

permiten calcular las constantes de integración que surgen al resolver las ecuaciones

diferenciales del problema. La frontera externa S tiene una parte uS en donde se conocen los

desplazamientos y una parte S en donde se conocen las fuerzas externas por unidad de

superficie. Siempre se cumple que SSS u lo cual quiere decir que en la frontera externa

se conocen o los desplazamientos o las fuerzas externas por unidad de superficie.

Las condiciones de borde se resumen como sigue:

Condiciones de borde en desplazamientos:

ww

vv

uu

en uS

Condiciones de borde en tensiones:

FN en S

o escrito en forma desarrollada:

Xnml zxyxx

Ynlm zyxyy en S

Zmln yzxzz

ECUACIONES DE NAVIER

Este procedimiento consiste en resolver el problema en desplazamientos. Para ello

se busca escribir las ecuaciones de equilibrio:

0

0

0

Zyxz

Yzxy

Xzyx

yzxzz

zyxyy

zxyxx

en términos de desplazamientos.

Las tensiones pueden expresarse en función de las deformaciones a través de la Ley

de Hooke generalizada:

GIv 2


41

xzxz

yzyz

xy

xy

xy

zvz

yvy

xvx

G

G

GG

G

G

G

22

2

2

2

Si ahora se usan las ecuaciones cinemáticas, se pueden escribir las deformaciones en

términos de derivadas de los desplazamientos y llegar así a una relación entre tensiones y

derivadas de desplazamientos:

x

w

z

uG

y

w

z

vG

x

v

y

uG

z

wG

y

vG

x

uG

xz

yz

xy

vz

vy

vx

2

2

2

con z

w

y

v

x

uv

Estas ecuaciones se denominan Ecuaciones de Lamé. Si se reemplazan las mismas

en las ecuaciones de equilibrio, se obtiene para la 1ª ecuación:

022

2

22

2

2

2

2

X

zx

w

z

uG

yx

v

y

uG

x

uG

xv

Simplificando y teniendo en cuenta que:

zx

w

yx

v

x

u

x

v

22

2

2

se llega a :

0

2

2

2

2

2

2

2

Xz

u

y

u

x

uG

xG

u

v

Reemplazando uz

u

y

u

x

u 2

2

2

2

2

2

2

y procediendo de manera similar con las

otras dos ecuaciones, se llega a las siguientes tres ecuaciones que se denominan Ecuaciones de

Navier y que son las ecuaciones de equilibrio escritas en términos de desplazamientos


42

0

0

0

2

2

2

ZwGz

G

YvGy

G

XuGx

G

v

v

v

Estas son tres ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden en términos de los

desplazamientos. Para resolver estas ecuaciones es necesario tener en cuenta las condiciones de

borde en uS y en S .

a)

ww

vv

uu

en uS b) FN en S

Para poder usar las condiciones b) en el problema planteado es necesario expresar las

tensiones en términos de los desplazamientos como se hizo al comienzo de este punto. Estas

ecuaciones pueden escribirse en forma sintética como sigue:

t

v

v

UUGI

GI

2

12

2

donde

z

w

y

w

x

w

z

v

y

v

x

v

z

u

y

u

x

u

U

En definitiva, parte de las condiciones de borde se expresan en términos de los

desplazamientos y parte en términos de derivadas de los desplazamientos.

Resumiendo: Las Ecuaciones de Navier son ecuaciones de equilibrio en términos de

desplazamientos. Se busca una solución en desplazamientos que además cumpla con todas las

condiciones de borde del problema. Con las ecuaciones cinemáticas se pueden hallar las

deformaciones y luego, con la Ley de Hooke generalizada, las tensiones.

ECUACIONES DE BELTRAMI MITCHELL

Este procedimiento consiste en intentar resolver el problema en tensiones. Si se

toman las ecuaciones de equilibrio, se las resuelve para encontrar las tensiones y luego las

deformaciones a través de la Ley de Hooke generalizada, la solución no será única. La solución

que corresponde a un campo de desplazamientos continuos es aquella solución que satisface,

además de las ecuaciones de equilibrio, las ecuaciones compatibilidad de deformaciones.

Se debe buscar entonces la solución (en tensiones) de las ecuaciones de equilibrio:


43

0

0

0

Zyxz

Yzxy

Xzyx

yzxzz

zyxyy

zxyxx

que además satisfaga las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones:

2

2

2

22

xyyx

yxxy

2

2

2

22

yzzy

zyyz

2

2

2

22

xzzx

zxxz

zyxxzy

xyxzyzx2

2

zxyyzx

xyyzxzy 2

2

xyzzyx

yzxzxyz2

2

Para ello es necesario escribir estas últimas ecuaciones en términos de tensiones

usando la Ley de Hooke generalizada:

zyxxE

1

zxyyE

1

yxzzE

1

G

xy

xy

G

yz

yz

G

xz

xz

Reemplazando en la 2ª de las ecuaciones de compatibilidad se tiene:

zyyz

yzzy

2

2

2

2

2

zyG

E

yyyzzz

yzyxzzxy

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

zyz

I

z

I

yz

yzzy

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

2

121 (1)


44

Teniendo en cuenta la 3ª y 2ª ecuación de equilibrio:

Yxyz

Zxzy

xyyzy

xzzyz

Derivando la primera de estas ecuaciones respecto a z y sumándola con la derivada

de la segunda respecto a y , se obtiene:

y

Y

yxz

Z

zxyzzy

xyxzyzyz

22

2

2

2

22

2 (2)

De la 1ª ecuación de equilibrio:

02

2

x

X

xzyx

xzxyx

Reemplazando en la ecuación (2), resulta

z

Z

y

Y

x

X

yzxzy

yzxyz

2

2

2

2

2

22

2

Reemplazando en la ecuación (1):

z

Z

y

Y

x

X

yzxz

I

y

I

yz

yzxzy

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

2

11

Llamando: 2

2

2

2

2

22

zyx

z

Z

y

Y

x

X

x

II

x

II x 11

2

1

2

1

2

2

1

2

2

1

2 (3)

Se puede llegar a dos ecuaciones similares

z

Z

y

Y

x

X

y

II

y

II y 11

2

1

2

1

2

2

1

2

2

1

2

z

Z

y

Y

x

X

z

II

z

II z 11

2

1

2

1

2

2

1

2

2

1

2

Sumando las tres últimas ecuaciones y despejando, se obtiene:

z

Z

y

Y

x

XI

1

12

La ecuación (3) puede escribirse como:

z

Z

y

Y

x

XI

x

Ix 11 1

2

2

1

2

2

Reemplazando el valor de 1

2 I encontrado:

z

Z

y

Y

x

X

z

Z

y

Y

x

X

x

Ix

1

1

11

2

1

2

2

Reordenando esta ecuación y procediendo de manera similar con las otras ecuaciones

de compatibilidad, se llega a las 6 ecuaciones de compatibilidad escritas en términos de

tensiones:


45

x

X

z

Z

y

Y

x

X

x

Ix

2

11

12

1

2

2

y

Y

z

Z

y

Y

x

X

y

Iy

2

11

12

1

2

2

z

Z

z

Z

y

Y

x

X

z

Iz

2

11

12

1

2

2

y

Y

x

X

yx

Ixy

1

2

2

1

1

z

Z

y

Y

zy

Iyz

1

2

2

1

1

z

Z

x

X

zx

Ixz

1

2

2

1

1

Estas seis ecuaciones se denominan ecuaciones de Beltrami Mitchell.

Además de las ecuaciones de equilibrio y las condiciones de borde en S , las

tensiones deben cumplir las ecuaciones de Beltrami Mitchell. Como estas ecuaciones sólo

tienen derivadas segundas, si las fuerzas externas son tales que se pueden cumplir las

ecuaciones de equilibrio y las condiciones de borde con tensiones constantes o que varían

linealmente, estas ecuaciones de compatibilidad se satisfacen trivialmente y la solución hallada

con las ecuaciones de equilibrio es la solución de problema.

Una vez encontradas las tensiones que cumplen las ecuaciones de equilibrio, las

condiciones de borde en S y las ecuaciones de Beltrami Mitchell, se pueden hallar las

deformaciones con la Ley de Hooke generalizada y los desplazamientos, integrando las

ecuaciones cinemáticas. Aparecen allí constantes de integración de manera que se tienen

infinitas soluciones que difieren entre sí en movimientos de cuerpo rígido. Para encontrar la

solución es necesario usar las condiciones de borde en uS

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

La solución de un problema dado requiere obtener las componentes de tensión o los

desplazamientos que satisfacen el conjunto de ecuaciones diferenciales y las condiciones de

borde.

Si se elige, por ejemplo, trabajar con tensiones, se deben satisfacer las ecuaciones de

equilibrio, las ecuaciones de compatibilidad y las condiciones de borde.

Supóngase que es el tensor de tensiones determinado a partir de las fuerzas

volumétricas F y las fuerzas de superficie F .

Supóngase además que ' es el tensor de tensiones determinado a partir de las

fuerzas volumétricas 'F y las fuerzas de superficie 'F para el mismo elemento.

Entonces ' es el tensor de tensiones que está en equilibrio con las fuerzas

volumétricas F + 'F y las fuerzas de superficie F + 'F

Esto se cumple porque, tanto las ecuaciones diferenciales, como las condiciones de

borde son lineales.

Este principio se puede demostrar analizando, por ejemplo, las ecuaciones de

equilibrio:


46

Si está en equilibrio con las fuerzas volumétricas F , se cumple la 1ª de las

ecuaciones de equilibrio:

0

X

zyxzxyxx

Si ' está en equilibrio con las fuerzas volumétricas 'F , la 1ª ecuación de

equilibrio se escribe:

0''''

X

zyx

zxyxx

Sumando ambas ecuaciones:

0'

'''

XX

zyx

zxzxyxyxxx

Se pueden escribir de manera similar el resto de las ecuaciones de equilibrio

Además, si cumple con las condiciones de borde en S

Xnml zxyxx

Y si ' cumple con las condiciones de borde en S

'''' Xnml zxyxx

Sumando estas últimas dos ecuaciones:

'''' XXnml zxzxyxyxxx

Se pueden escribir también, de manera similar, el resto de las condiciones de borde

en S .

Lo mismo ocurre con las ecuaciones de compatibilidad, de manera que '

satisface todas las ecuaciones y condiciones que determinan las tensiones debidas a las fuerzas

volumétricas F + 'F y las fuerzas de superficie F + 'F

Cuando se plantean las condiciones de borde en fuerzas no se distingue entre la

configuración inicial del borde y la configuración deformada. Esto vale sólo en el caso de

pequeñas deformaciones. Para el caso de grandes deformaciones, las ecuaciones diferenciales

del problema dejan de ser lineales y no vale el principio de superposición.

Tampoco vale el principio de superposición si el comportamiento del material no es

elástico lineal.

Cuando es aplicable, el principio de superposición resulta de suma utilidad en la

solución de problemas elásticos, ya que permite obtener la solución a un problema complejo

como suma de soluciones a problemas más simples.

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN

El trabajo realizado para deformar un elemento de volumen y almacenado en él, se

denomina energía específica de deformación. Se supone que el elemento permanece elástico y

no se desarrolla energía cinética.

La ley de conservación de la energía establece que el trabajo no depende del orden

en que se aplican las fuerzas sino de sus magnitudes finales.


47

Si las fuerzas y las componentes de tensión aumentan simultáneamente en la misma

proporción, la energía por unidad de volumen es:

xzxzyzyzxyxyzzyyxxoW

2

1

La energía de deformación total se obtiene integrando sobre el volumen:

dxdydzWWV

o

Este es el trabajo realizado por las fuerzas internas durante la carga.

También puede escribirse: CWtt

o2

1

2

1

Se cumple que

oW

UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN

Interesa saber si un determinado problema planteado tiene solución o no y si esa

solución es única. Este problema tiene dos partes:

1)¿Se espera desde el punto de vista físico una respuesta única?

2)¿Tiene la formulación matemática del problema solución única?

Muchas veces el problema físico no tiene solución única. Ejemplo: Problema de

pandeo. Para encontrar la solución de ese tipo de problemas se recurre a la termodinámica.

La pregunta 2) es un problema que debe ser resuelto por las matemáticas.

Bajo las hipótesis de partida del curso, si un problema elástico tiene solución, esa

solución es única.

En lo que sigue se presenta la prueba de unicidad de la solución debida a Kirchhoff.

Es una prueba por el absurdo.

Considérese que existen dos soluciones:

Supóngase que ' es una solución para las fuerzas volumétricas F y las fuerzas

de superficie F y supóngase que " es también solución para las mismas fuerzas.

Entonces, por ejemplo:

0'''

X

zyx

zxyxx

y

0"""

X

zyx

zxyxx

Restando:

0

"'"'"'

zyx

zxzxyxyxxx

También:

Xnml zxyxx '''

y

Xnml zxyxx """

Restando:


48

0"'"'"' nml zxzxyxyxxx

De manera idéntica se puede proceder con el resto de las ecuaciones de equilibrio y

de las condiciones de borde en S . Entonces la distribución de tensiones ' - " corresponde

a fuerzas de volumen y fuerzas de superficie nulas y por tanto se concluye que el trabajo de las

fuerzas externas es nulo y la energía de deformación es nula:

0"'"'2

1 dVCdVWW

V

t

V

o

Pero como oW es siempre positiva, la integral solo se anula si oW es nula en todos

los puntos del volumen. Esto requiere que ' - " sea nulo en todo el volumen, o sea ' =

" y por lo tanto ' = " .

O sea que las dos soluciones ' y " son idénticas lo cual prueba la unicidad de

la solución.

PRINCIPIO DE SAINT VENANT

De acuerdo al principio de Saint Venant, las deformaciones producidas en un cuerpo

por la aplicación en una pequeña superficie de fuerzas estáticamente equivalentes a fuerza y

momento nulo, son despreciables a distancias grandes comparadas con las dimensiones lineales

de esa zona.

Este principio se usa mucho para simplificar la solución de problemas de mecánica

de los sólidos. En el caso de materiales elástico lineales se lo puede usar en combinación con

el principio de superposición para reemplazar un sistema de fuerzas por uno estáticamente

equivalente.

Ejemplo:

Sistema a resolver Fuerzas estáticamente Idénticas deformaciones

Nulas que en el sistema original

0


49

TEMA 1 - ANEXO

DETERMINACIÓN DE LAS TENSIONES PRINCIPALES DE CORTE

En general, interesa determinar las direcciones principales de corte y los valores de las

tensiones principales de corte. Una forma relativamente sencilla de encontrar las direcciones

principales de corte es encontrar la orientación de dichas direcciones respecto de las direcciones

principales de tensión, es decir, respecto de aquellas direcciones normales a los planos en los

cuales las tensiones normales son máximas y las tensiones tangenciales son nulas.

Considérense entonces el estado de tensiones en las direcciones principales de tensión

y un plano inclinado respecto a esas direcciones, identificado por su normal �⃗⃗� . Se busca

determinar, la orientación �⃗⃗� para la cual la tensión tangencial (𝜏𝑁) es máxima.

El vector tensión en el plano de normal (�⃗⃗� ) se

calcula utilizando la regla de Cauchy:

𝑝 𝑁 = {𝑝𝑁} = [𝜎] {𝑁} = [𝜎1 0 00 𝜎2 00 0 𝜎3

] {𝑁}

𝑝 𝑁 = {𝜎1 𝑙𝜎2 𝑚𝜎3 𝑛

} 𝐸𝑐. 𝐴1

El vector tensión tiene la siguiente norma:

‖𝑝 𝑁‖ = √𝜎12 𝑙2 + 𝜎2

2 𝑚2 + 𝜎32 𝑛2 𝐸𝑐. 𝐴2

En general, su dirección no coincide con la normal al plano, sino que tiene una componente

normal al plano, la tensión normal, dada por:

𝜎𝑁 = {𝑝𝑁}𝑡 {𝑁} = 𝜎1 𝑙2 + 𝜎2 𝑚

2 + 𝜎3 𝑛2 𝐸𝑐. 𝐴3

y una componente tangencial al plano, la tensión tangencial, dada por:

𝜏𝑁 = √‖𝑝 𝑁‖2 − (𝜎𝑁)2 𝐸𝑐. 𝐴4

(𝜏𝑁)2 = ‖𝑝 𝑁‖2 − (𝜎𝑁)2

(𝜏𝑁)2 = 𝜎12 𝑙2 + 𝜎2

2 𝑚2 + 𝜎32 𝑛2 − (𝜎1 𝑙

2 + 𝜎2 𝑚2 + 𝜎3 𝑛

2)2 𝐸𝑐. 𝐴5

A partir de las expresiones en Ec.A4 o Ec.A5, se pueden determinar las direcciones (�⃗⃗� ) para

las cuales la tensión tangencial es máxima. En otras palabras, se pueden determinar los cosenos

directores de la normal al plano: 𝑙, 𝑚 y 𝑛 para los cuales la tensión tangencial es máxima.

Con este fin se deben determinar los valores de l, m y n para los cuales:

�⃗⃗�

2

3

𝜎1 𝜎2

𝜎3 1

𝑝 𝑁


50

𝜕𝜏𝑁

𝜕𝑙= 0,

𝜕𝜏𝑁

𝜕𝑚= 0 y

𝜕𝜏𝑁

𝜕𝑛= 0

Estas derivadas resultan algo complicadas porque incluyen una raíz cuadrada. Se observa, sin

embargo, que:

𝜕(𝜏𝑁)2

𝜕𝑙= 2 𝜏𝑁

𝜕𝜏𝑁

𝜕𝑙

𝜕(𝜏𝑁)2

𝜕𝑚= 2 𝜏𝑁

𝜕𝜏𝑁

𝜕𝑚

𝜕(𝜏𝑁)2

𝜕𝑛= 2 𝜏𝑁

𝜕𝜏𝑁

𝜕𝑛

De tal manera que si 𝜏𝑁 ≠ 0 :

𝜕(𝜏𝑁)2

𝜕𝑙= 0 →

𝜕𝜏𝑁

𝜕𝑙= 0,

𝜕(𝜏𝑁)2

𝜕𝑚= 0 →

𝜕𝜏𝑁

𝜕𝑚= 0, y

𝜕(𝜏𝑁)2

𝜕𝑛= 0 →

𝜕𝜏𝑁

𝜕𝑛= 0,

Entonces, en lugar de buscar los valores de l, m y n para los cuales se anulan las derivadas de

𝜏𝑁, se pueden determinar los valores de l, m y n que hacen nulas las siguientes derivadas

parciales para 𝜏𝑁 ≠ 0.

𝜕(𝜏𝑁)2

𝜕𝑙= 0,

𝜕(𝜏𝑁)2

𝜕𝑚= 0 y

𝜕(𝜏𝑁)2

𝜕𝑛= 0 𝐸𝑐. 𝐴6, 𝐸𝑐. 𝐴7 y 𝐸𝑐. 𝐴8

Pero los cosenos directores no son independientes entre sí, porque el vector �⃗⃗� es un vector

unitario. Es decir que:

𝑙2 + 𝑚2 + 𝑛2 = 1

Esto permite disminuir el número de variables poniendo uno de los cosenos en función de los

otros dos. Existen distintas alternativas para ello y deben ser planteadas para obtener la solución

completa del problema planteado.

Planteo 1

Se considera 𝑛 en función de 𝑙 y 𝑚:

𝑛2 = 1 − 𝑙2 − 𝑚2 𝐸𝑐. 𝐴9

Se reemplaza Ec.A9 en Ec.A5 y se obtiene:

(𝜏𝑁)2 = 𝜎12 𝑙2 + 𝜎2

2 𝑚2 + 𝜎32 (1 − 𝑙2 − 𝑚2) − [𝜎1 𝑙

2 + 𝜎2 𝑚2 + 𝜎3 (1 − 𝑙2 − 𝑚2)]2

(𝜏𝑁)2 = 𝜎12 𝑙2 + 𝜎2

2 𝑚2 + 𝜎32 − 𝜎3

2 𝑙2 − 𝜎32 𝑚2 − (𝜎1 𝑙

2 + 𝜎2 𝑚2 + 𝜎3 − 𝜎3 𝑙

2 − 𝜎3 𝑚2)2

(𝜏𝑁)2 = (𝜎12 − 𝜎3

2) 𝑙2 + (𝜎22 − 𝜎3

2) 𝑚2 + 𝜎32 − [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙

2 + (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚2 + 𝜎3]

2

𝐸𝑐. 𝐴10

Se deriva Ec.A10 respecto de 𝑙 y respecto de 𝑚, y se iguala a cero.

Derivando respecto de 𝑙 se tiene:


51

𝜕(𝜏𝑁)2

𝜕𝑙= 2 (𝜎1

2 − 𝜎32) 𝑙 − 2 [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙

2 + (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚2 + 𝜎3] 2 (𝜎1 − 𝜎3) 𝑙

𝜕(𝜏𝑁)2

𝜕𝑙= 2 𝑙 {(𝜎1

2 − 𝜎32) − 2 [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙

2 + (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚2 + 𝜎3] (𝜎1 − 𝜎3)} = 0

2 𝑙 {(𝜎1 − 𝜎3) (𝜎1 + 𝜎3) − 2 [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙2 + (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚

2 + 𝜎3] (𝜎1 − 𝜎3)} = 0

2 𝑙 (𝜎1 − 𝜎3) {(𝜎1 + 𝜎3) − 2 [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙2 + (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚

2 + 𝜎3]} = 0

𝑙 (𝜎1 − 𝜎3) {(𝜎1 + 𝜎3) − 2 [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙2 + (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚

2 + 𝜎3]} = 0 𝐸𝑐. 𝐴11

Derivando respecto de 𝑚 se tiene:

𝜕(𝜏𝑁)2

𝜕𝑚= 2 (𝜎2

2 − 𝜎32) 𝑚 − 2 [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙

2 + (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚2 + 𝜎3] 2 (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚

𝜕(𝜏𝑁)2

𝜕𝑚= 2 𝑚 {(𝜎2

2 − 𝜎32) − 2 [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙

2 + (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚2 + 𝜎3] (𝜎2 − 𝜎3)} = 0

2 𝑚 {(𝜎2 − 𝜎3) (𝜎2 + 𝜎3) − 2 [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙2 + (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚

2 + 𝜎3] (𝜎2 − 𝜎3)} = 0

2 𝑚 (𝜎2 − 𝜎3) {(𝜎2 + 𝜎3) − 2 [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙2 + (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚

2 + 𝜎3]} = 0

𝑚 (𝜎2 − 𝜎3) {(𝜎2 + 𝜎3) − 2 [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙2 + (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚

2 + 𝜎3]} = 0 𝐸𝑐. 𝐴12

Las ecuaciones Ec.A11 y Ec.A12 son dos ecuaciones de segundo grado en l y m. Como tales,

tienen más de una solución en l y m. A continuación se analizan las distintas soluciones posibles.

Caso a:

Una solución posible de Ec.A11 es 𝑙 = 0. Si se reemplaza esta solución en Ec.A12, se puede

obtener 𝑚.

𝑚 (𝜎2 − 𝜎3) {(𝜎2 + 𝜎3) − 2 [(𝜎2 − 𝜎3) 𝑚2 + 𝜎3]} = 0

𝑚 (𝜎2 − 𝜎3) [𝜎2 + 𝜎3 − 2 (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚2 − 2 𝜎3] = 0

𝑚 (𝜎2 − 𝜎3) [𝜎2 − 2 (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚2 − 𝜎3] = 0

𝑚 (𝜎2 − 𝜎3) [(𝜎2 − 𝜎3) − 2 (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚2] = 0

𝑚 (𝜎2 − 𝜎3)2 (1 − 2 𝑚2) = 0

Una solución de esta última ecuación sería 𝑚 = 0. Sin embargo, la solución 𝑙 = 𝑚 = 0 no

interesa, porque reemplazando en Ec.A10 daría 𝜏𝑁 = 0 , solución que no interesa ya que se

buscan los valores de l, m y n que hacen nulas las derivadas parciales de 𝜏𝑁2para 𝜏𝑁 ≠ 0.

Si 𝑚 ≠ 0, entonces debe ser (𝜎2 − 𝜎3)2 (1 − 2 𝑚2) = 0 𝐸𝑐. 𝐴13


52

La expresión Ec.A13 debe ser válida para cualquier 𝜎2 y 𝜎3, entonces la única solución posible

es:

(1 − 2 𝑚2) = 0 → 𝑚 = ±1

√2

Reemplazando 𝑙 = 0 y 𝑚 = ±1

√2 en Ec.A9, se tiene

𝑛2 = 1 − 𝑙2 − 𝑚2 → 𝑛2 = 1 − (±1

√2)2

= 1 −1

2=

1

2 → 𝑛 = ±

1

√2

Entonces los cosenos directores de la normal a un plano (a) en donde la tensión tangencial es

máxima son:

𝑙 = 0, 𝑚 = ±1

√2 y 𝑛 = ±

1

√2

Caso b:

De Ec.A12 se tiene que una solución posible es 𝑚 = 0. Si se reemplaza esta solución en Ec.A11

y se obtiene 𝑙. 𝑙 (𝜎1 − 𝜎3) {(𝜎1 + 𝜎3) − 2 [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙

2 + 𝜎3]} = 0

𝑙 (𝜎1 − 𝜎3) [𝜎1 + 𝜎3 − 2 (𝜎1 − 𝜎3) 𝑙2 − 2 𝜎3] = 0

𝑙 (𝜎1 − 𝜎3) [𝜎1 − 2 (𝜎1 − 𝜎3) 𝑙2 − 𝜎3] = 0

𝑙 (𝜎1 − 𝜎3) [(𝜎1 − 𝜎3) − 2 (𝜎1 − 𝜎3) 𝑙2] = 0

𝑙 (𝜎1 − 𝜎3)2 (1 − 2 𝑙2) = 0

Se considera que 𝑙 ≠ 0 → (𝜎1 − 𝜎3)2 (1 − 2 𝑙2) = 0 𝐸𝑐. 𝐴14


es:

(1 − 2 𝑙2) = 0 → 𝑙 = ±1

√2

Reemplazando 𝑙 = ±1

√2 y 𝑚 = 0 en Ec.A9, se tiene

𝑛2 = 1 − 𝑙2 − 𝑚2 → 𝑛2 = 1 − (±1

√2)2

= 1 −1

2=

1

2 → 𝑛 = ±

1

√2

Entonces los cosenos directores del la normal a un plano (b) en donde la tensión tangencial es

máxima, son:

𝑙 = ±1

√2, 𝑚 = 0 y 𝑛 = ±

1

√2

Planteo 2

Se considera 𝑚 en función de 𝑙 y 𝑛:

𝑚2 = 1 − 𝑙2 − 𝑛2 𝐸𝑐. 𝐴15

Se reemplaza Ec.A15 en Ec.A5 y se obtiene:

(𝜏𝑁)2 = 𝜎12 𝑙2 + 𝜎2

2 (1 − 𝑙2 − 𝑛2) + 𝜎32 𝑛2 − (𝜎1 𝑙

2 + 𝜎2 (1 − 𝑙2 − 𝑛2) + 𝜎3 𝑛2)2


53

(𝜏𝑁)2 = 𝜎12 𝑙2 + 𝜎2

2 − 𝜎22 𝑙2 − 𝜎2

2 𝑛2 + 𝜎32 𝑛2 − (𝜎1 𝑙

2 + 𝜎2 − 𝜎2 𝑙2 − 𝜎2 𝑛

2 + 𝜎3 𝑛2)2

(𝜏𝑁)2 = (𝜎12 − 𝜎2

2) 𝑙2 + 𝜎22 + (𝜎3

2 − 𝜎22) 𝑛2 − [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙

2 + 𝜎2 + (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛2]2

𝐸𝑐. 𝐴16

Se deriva Ec.A16 respecto de 𝑙 y respecto de 𝑛, y se iguala a cero:

Derivando respecto de 𝑙 se obtiene

𝜕(𝜏𝑁)2

𝜕𝑙= 2 (𝜎1

2 − 𝜎22) 𝑙 − 2 [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙

2 + 𝜎2 + (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛2] 2 (𝜎1 − 𝜎2) 𝑙

𝜕(𝜏𝑁)2

𝜕𝑙= 2 𝑙 {(𝜎1

2 − 𝜎22) − 2 [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙

2 + 𝜎2 + (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛2] (𝜎1 − 𝜎2)} = 0

2 𝑙 {(𝜎1 − 𝜎2) (𝜎1 + 𝜎2) − 2 [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙2 + 𝜎2 + (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛

2] (𝜎1 − 𝜎2)} = 0

2 𝑙 (𝜎1 − 𝜎2) {(𝜎1 + 𝜎2) − 2 [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙2 + 𝜎2 + (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛

2]} = 0

𝑙 (𝜎1 − 𝜎2) {(𝜎1 + 𝜎2) − 2 [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙2 + 𝜎2 + (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛

2]} = 0 𝐸𝑐. 𝐴17

Derivando respecto de 𝑛 se obtiene

𝜕(𝜏𝑁)2

𝜕𝑛= 2 (𝜎3

2 − 𝜎22) 𝑛 − 2 [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙

2 + 𝜎2 + (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛2] 2 (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛

𝜕(𝜏𝑁)2

𝜕𝑛= 2 𝑛 {(𝜎3

2 − 𝜎22) − 2 [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙

2 + 𝜎2 + (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛2] (𝜎3 − 𝜎2)} = 0

2 𝑛 {(𝜎3 − 𝜎2) (𝜎3 + 𝜎2) − 2 [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙2 + 𝜎2 + (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛

2] (𝜎3 − 𝜎2)} = 0

2 𝑛 (𝜎3 − 𝜎2) {(𝜎3 + 𝜎2) − 2 [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙2 + 𝜎2 + (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛

2]} = 0

𝑛 (𝜎3 − 𝜎2) {(𝜎3 + 𝜎2) − 2 [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙2 + 𝜎2 + (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛

2]} = 0 𝐸𝑐. 𝐴18

Una solución posible de Ec.A17 es 𝑙 = 0. Si se reemplaza esta solución en Ec.A18 se obtienen

las mismas soluciones obtenidas en el Caso a del Planteo 1.

Caso c:

Una solución posible de Ec.A18 es 𝑛 = 0. Si se reemplaza esta solución en Ec.A17, se puede

obtener l.

𝑙 (𝜎1 − 𝜎2) {(𝜎1 + 𝜎2) − 2 [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙2 + 𝜎2]} = 0

𝑙 (𝜎1 − 𝜎2) [𝜎1 + 𝜎2 − 2 (𝜎1 − 𝜎2) 𝑙2 − 2 𝜎2] = 0

𝑙 (𝜎1 − 𝜎2) [𝜎1 − 2 (𝜎1 − 𝜎2) 𝑙2 − 𝜎2] = 0

𝑙 (𝜎1 − 𝜎2) [(𝜎1 − 𝜎2) − 2 (𝜎1 − 𝜎2) 𝑙2] = 0

𝑙 (𝜎1 − 𝜎2)2 (1 − 2 𝑙2) = 0

Se considera que 𝑙 ≠ 0 → (𝜎1 − 𝜎2)2 (1 − 2 𝑙2) = 0 𝐸𝑐. 𝐴19


54


es:

(1 − 2 𝑙2) = 0 → 𝑙 = ±1

√2

Reemplazando 𝑙 = ±1

√2 y 𝑛 = 0 en Ec.A9, se tiene

𝑚2 = 1 − 𝑙2 − 𝑛2 → 𝑚2 = 1 − (±1

√2)2

= 1 −1

2=

1

2 → 𝑚 = ±

1

√2

Entonces los cosenos directores de la normal a un plano (c) en que la tensión tangencial es

máxima son:

𝑙 = ±1

√2, 𝑚 = ±

1

√2 y 𝑛 = 0

Tensiones Tangenciales Máximas

Determinados los cosenos directores de las normales a los planos en los cuales las

tensiones tangenciales son máximas, se pueden determinar dichas tensiones tangenciales

máximas reemplazando los cosenos directores encontrados para cada caso en la expresión

Ec.A5.

Caso a:

𝑙 = 0, 𝑚 = ±1

√2 y 𝑛 = ±

1

√2

(𝜏𝑁)𝑚á𝑥2 = 𝜎2

2 (±1

√2)2

+ 𝜎32 (±

1

√2)2

− (𝜎2 (±1

√2)2

+ 𝜎3 (±1

√2)2

)

2

(𝜏𝑁)𝑚á𝑥2 = 𝜎2

2 1

2+ 𝜎3

2 1

2− (𝜎2

1

2+ 𝜎3

1

2)2

(𝜏𝑁)𝑚á𝑥2 =

1

2 𝜎2

2 +1

2 𝜎3

2 −1

4 (𝜎2 + 𝜎3)

2


1

2 𝜎2

2 +1

2 𝜎3

2 −1

4 𝜎2

2 −1

2 𝜎2 𝜎3 −

1

4 𝜎3

2


1

4 𝜎2

2 +1

4 𝜎3

2 −1

2 𝜎2 𝜎3 =

1

4 (𝜎2

2 + 𝜎32 − 2 𝜎2 𝜎3)


1

4 (𝜎2 − 𝜎3)

2

(𝜏𝑁)𝑚á𝑥 = √1

4 (𝜎2 − 𝜎3)2 =

√(𝜎2 − 𝜎3)2

2 =

|𝜎2 − 𝜎3|

2= 𝜏𝑚á𝑥


55

La tensión tangencial máxima en el caso a, resulta:

𝜏𝑚á𝑥 =|𝜎2 − 𝜎3|

2 𝐸𝑐. 𝐴20

Caso b:

Se procede de manera similar al caso a y se obtiene la siguiente tensión tangencial máxima.


2 𝐸𝑐. 𝐴21

Caso c:

Se procede de manera similar al caso a y se obtiene la siguiente tensión tangencial máxima.


2 𝐸𝑐. 𝐴22


56

RESUMEN

TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS Y LOS PLANOS DONDE ACTÚAN

Caso a

Caso b

Caso c

En todos los casos el plano indicado donde actúa la tensión tangencial máxima, corresponde a

cosenos directores que tienen igual signo y son positivos. Los cosenos directores que tienen

igual signo y son negativos, corresponden a un plano paralelo al mencionado pero con normal

de sentido opuesto y donde, también el sentido de la tensión tangencial será opuesto. El plano

indicado en línea de trazo, corresponden a cosenos directores de signos cruzados.

𝑙 = 0

𝑚 = ±1

√2

𝑛 = ±1

√2

Cosenos directores:

𝜏𝑚á𝑥 =|σ2 − σ3|

2

2

3

45º

𝜎1

𝜎2

𝜎3 1

�⃗⃗�

𝜏𝑚á𝑥

Tensión tangencial:

𝑚 = 0

𝑛 = ±1

√2

Cosenos directores: Tensión tangencial:


2

𝑙 = ±1

√2

2

3

45º

𝜎1 𝜎2

𝜎3 1

�⃗⃗�

𝜏𝑚á𝑥

𝑛 = 0

𝑚 = ±1

√2

Cosenos directores:

𝑙 = ±1

√2

2

3

45º

𝜎1 𝜎2

𝜎3 1

�⃗⃗�

𝜏𝑚á𝑥

Tensión tangencial:


2

estabilidad iv tema 1 · distintos tipos de relaciones entre fuerzas y deformaciones. ... del...

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