estabilidad del circuito de control en un control de procesos

8/18/2019 Estabilidad Del Circuito de Control en un control de procesos

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DISEÑO DE UN SISTEMA DE

CONTROL CONRETROALIMENTACIÓN Retroalimentación o realimentación, es

un mecanismo por el cual una ciertaproporción de la salida de un sistema se

redirige a la entrada, con objeto decontrolar su comportamiento.

La realimentación permite el control de

un sistema y que el mismo tomemedidas de corrección con base en lainformación realimentada.


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Para revisar el concepto de retroalimentación utilizaremos el siguientediagrama:


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El objetivo es mantener la temperatura desalida del fluido que se procesa, T

0(t), en

el valor que se desea o punto de control,T0fijo(t), en presencia de variables en elflujo del fluido que se procesa, F(t) y la

temperatura de entrada, Ti(t).

La variable que se puede ajustar paracontrolar la temperatura de salida es el

flujo de vapor, Fs(t), ya que determina lacantidad de energía que se suministra enel proceso del fluido.


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DIAGRAMA DE BLOQUES DEL CIRCUITO DE CONTROLDE TEMPERATURA DEL NTERCAMBIADOR DE CALOR

Gv(S) = F. Transf. De la válvula de control.(kg/s)/mAH(S) = F. Transf. Del sensor-transmisor, mA/C

Ksp = Factor de escala para el punto de control de latemperatura, mA/C


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Con el fin de conservar la simpleza del diagrama, se incluye la ganancia constante del transductorcorriente a presión (I/P) en la función de transferencia de la válvula de control Gv(S). La ganancia deltransductor es:

∆

∆=

15 3

20 4 = 0,75

FUNCION DE TRANSFERENCIA DE CIRCUITO CERRADO

En el diagrama anterior, vimos que hay una señal de salida, T0(S) , tres señales de entrada, el punto de control T0fijo(S), y dosperturbaciones, Ti(S) y F(S).

Escribimos las ecuaciones de cada bloque del diagrama:

Señal de error:

=

(1)

Variable manipulada:

= (2)

Flujo de vapor:

= (3)

Temperatura de salida:

= (4)

Señal de Transmisor: = (5)


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A continuación se supone que el flujo de proceso y elpunto de control no varían, es decir, sus variables dedesviación son cero.

Y todas las variables intermedias se eliminan mediantela combinación de las ecuaciones anteriores paraobtener la relación entre T0(s) y Ti(s):

Esta ecuación se puede reordenar de la manerasiguiente:

Si se hace Ti(s) = 0 y T0fijo(s) = 0 y se combinan de laecuación (1) a la (5), se obtiene la función detransferencia de circuito cerrado entre el flujo delproceso y la temperatura de salida:


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Finalmente al hacer Ti(s) = 0 y F(s) = 0, y combinar con la ecuación (1)a la (5), se obtiene la función de transferencia de circuito cerradoentre el punto de control y la temperatura de salida.

El denominador es uno más el producto de las funciones de transferenciade todos los bloques del circuito; mientras que el numerador de cada

función de transferencia es el producto de los bloques que están sobre latrayectoria directa entre la entrada específica y la salida del circuito.Estos resultados se aplican a cualquier diagrama de bloques que contieneun solo circuito.El denominador de la función de transferencia de circuito cerrado delcircuito de control por retroalimentación es independiente de la

ubicación de la entrada en el circuito y, por lo tanto, característica delcircuito. Como sabemos la respuesta sin forzamiento del circuito y suestabilidad dependen de las raíces de la ecuación que se obtiene cuandoel denominador de la función de transferencia del circuito se iguala acero.

Esta es la ecuación característica del circuito.


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Se supone que la ecuación característica se puedereducir a un polinomio de grado n en la variablede la transformada de Laplace, si:1

=

−− ⋯

= 0 (11)

• Los otros elementos que forman parte de laecuación característica son en sensor-transmisor,la válvula de control y aquella parte del procesoque afecta la respuesta de las variablescontrolada a la variable manipulada, es decir,

GS(s).• Las funciones de transferencia del proceso que se

relacionan con las perturbaciones [ GT(s) y GF (s)] no son parte de la ecuación característica.


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−

− ⋯

= … . . ( ) = 0

Donde , −, …. Son los coeficientes

del polinomio.se pueden encontrar

las n raíces de estepolinomio y factorizarcomo sigue

Donde , , …. sonlas raíces de la

ecuación

característica.De la ecuación, setiene:

=

1 ()

se substituye eldenominador por laecuación (1-12), y sesupone que los otrostérminos aparecen a

causa de la función deforzamiento de entrada

():

=( )

… . . ( )(


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Entonces se puede expandir esta expresiónen fracciones parciales:

=

⋯

( )

Donde , , …. son los coeficientesconstantes que se determinan con elmétodo de expansión de fraccionesparciales. Al invertir esta expresión con laayuda de la tabla de transformadas deLaplace, se obtiene:

=

⋯

( )


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R(s) + E(s) M(s) C(s)

-

Gc(s) G(s)CIRCUITOCERRADO

Si l t t d ti d i it bi t t l b l


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Siempre es menor que la constante de tiempo de circuito abierto ; en otras palabras, elcircuito siempre responde mas rápido que el sistema original, pero no coincide con el puntode control en estado estacionario, es decir, hay una desviación para un escalón unitario en elpunto de control.

()1

Se substituye en la función de transferencia y se expande por fracciones parciales paraobtener.

() =`

` 1

1

=

`

``

` 1

Al invertir resulta:() =

` 1 −

() =

1 1 − +

Aquí se ve que, conforme t ∞, =

+

Puesto que el cambio en el punto de fijación es 1.0 (cambio de escalón unitario), el erros se expresamediante:

() = () () = 1.0

1 1 − +

conforme t ∞

() = 1

1 =

1

1

CIRCUITO

CERRADO


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ESTABILIDAD DELCIRCUITO DE CONTROL

PRIMERA EXPOSICIONSEGUNDA EXPOSICION


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PRIMERA EXPOSICION

Estabilidad de los Sistemas en LazoCerrado Es la importancia en Control Automático


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Los transitorios de la salida se pueden relacionarcon las raíces de la ecuación característica.

Estabilidad puede definirse en términos

matemáticos más precisos de la siguiente forma: Un sistema es estable si las raíces de la ecuación

característica son reales negativas o complejasconjugadas con parte real negativa. O dicho en

forma más compacta, si todas las raíces seencuentran en el semiplano izquierdo de la variablecompleja s.


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Si alguna raíz se ubica en el eje imaginario, se obtiene unsistema con estabilidad marginal, es decir, un sistema quese halla en el límite entre la estabilidad y la inestabilidad.


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Como se trata de un polinomio, las raíces no se pueden calcularcon una fórmula explícita, salvo escasas excepciones.

Observando la ecuación característica [1], queda en evidenciaque las raíces, dependen del Gc(s), esto es, del controlador.

Como se sabe, se pueden elegir el tipo de controlador (función de

transferencia) y el valor de sus parámetros (sintonización).

Si el proceso y los elementos de medición y actuación ya estánfijados, se puede concluir entonces que la estabilidad del sistemade control dependerá de una juiciosa elección del tipo ysintonización del controlador.


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Criterio de Estabilidad de Routh

Para decidir si un sistema en lazo cerrado es estable solo se requieresaber si existen raíces de la ecuación característica en el semiplanoderecho, y no es necesario conocer su valor.

El Test de Routh permite identificar el número de raíces en elsemiplano derecho a través de un procedimiento relativamentesimple.

Primero se debe expresar el numerador de la ecuación característicaen forma polinomial:

a0 sea positiva, de lo contrario, debe multiplicarse los miembros de laecuación por –1.


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PASO 1 (condición necesaria)

El polinomio debe ser completo, esto es, ningún ai debeser nulo, de lo contrario, al menos una raíz seencontrará en el semiplano derecho.

Si alguno de los coeficientes a1, a0 , a1 , a 2 , ..., a n-1 ,a n es negativo, entonces al menos una raíz se ubica enel semiplano derecho y no es necesario ningún análisisadicional se requiere. Más aún, el número de cambiosde signos es igual a la cantidad de raíces en elsemiplano derecho (Teorema de los signos deDescartes).


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PASO 2 (condición suficiente)

Si todos los coeficientes a1, a 0 , a1 , a 2 , ..., a n-1 , a n son positivos se debeconstruir el Arreglo de Routh que posee n filas:


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Los coeficientes de las filas subsiguientes se computan con loscoeficientes de las dos filas inmediatas anteriores. Por ejemplo, la tercerafila se construye con las siguientes operaciones:


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Las fórmulas para el cómputo de los distintos elementos del Arreglo deRouth son:


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Este procedimiento continúa hasta que se completa la filaenésima. El arreglo final tiene una estructura triangular.

Examinando los coeficientes de la primera columna delarreglo a0 , a1 , b1 , c1 ,...e1 ,f1 , g1 si algún coeficientees negativo, al menos una raíz está en el semiplanoderecho y el sistema será inestable. Más aún, el númerode cambios de signos indica la cantidad de raíces en talsemiplano.


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Aplicación del Criterio de Routh

Para ver las posibilidades de estudio de brinda el Test de Routh, sepropone estudiar un sistema en lazo cerrado caracterizado por lasfunciones de transferencia de la Figura 5.


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En este caso, las funciones de transferencia delos distintos elementos del lazo tienenparámetros que pueden haber sido obtenidos deensayos (identificación) o a partir de modelosmatemáticos. Se las asume que ambasconstantes de tiempo son positivas (situaciónnormal en los procesos).

El controlador es elegido del tipo integral puro ysu único parámetro de sintonía es TI (tiempointegral). El interrogante que se trata deresponder es ¿qué rangos de valores se le podráasignar a TI de modo que el sistema tenga uncomportamiento estable?

Es interesante acotar que no se ha incluidoninguna información sobre las perturbaciones quepueden afectar al sistema. Hay que recordar quela estabilidad del sistema en lazo cerradodepende exclusivamente de los elementos dellazo.


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Para estudiar la estabilidad debe plantearse la ecuación característica:

reduciendo a común denominador resulta:


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Para que este cociente sea igual a cero, elnumerador debe ser igual a cero. En

consecuencia, la ecuación a la que hay queaplicar el análisis de Routh es:

Como es evidente, el polinomio es completo.Para asegurar que no existan cambios de signoen los coeficientes es menester que se cumplaque


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PASO 2 Se debe construir el arreglo de Routh que constará

de cuatro filas, siendo las dos primeras construidascon los coeficientes del polinomio original y restose obtiene con las operaciones descriptas antes.


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Inspeccionando la primera columna, para que no existancambios de signos y en consecuencia pueda asegurarse laestabilidad, surge una segunda condición:

y como el denominador es mayor que cero, para que se

cumpla esta restricción deberá ser

y por lo tanto

De esta forma, si el producto de las ganancias espositivo, el valor de tiempo integral mínimoadmisible sería: y correspondería a un sistema conestabilidad crítica o marginal (respuesta aperturbaciones con oscilaciones sostenidas).


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Es conveniente hacer una observación en este punto. El criterio de

estabilidad de Routh permite hacer un tratamiento matemático formaly relacionar los parámetros de las funciones de transferencia con losdel controlador, estableciendo los límites y las restricciones. Esto no sepodría hacer con el mero cómputo numérico de las raíces de laecuación que solo aportaría información para valores determinados delos parámetros (en este caso ganancias, constantes de tiempo y

tiempo integral).


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Un sistema es estable si su salida permanece limitada parauna entrada limitada.

La mayoría de los procesos industriales son estables a circuito abiertoes decir son estables cuando no forman parte de un circuito de

control por retroalimentación, o sea la salida se mueve de un estadoa otro debido a los cambios en las señales de entrada.

Ej: en un proceso inestable a circuito abierto es el tanque exotérmico dereacción con agitación en el cual algunas veces existe un punto deoperación inestable en el que al incrementar la temperatura , se produceun incremento en la tasa de reacción con el consecuente incremento en latasa de liberación de calor , ocasionando un incremento en latemperatura.

SEGUNDA EXPOSICIONINTRODUCCIÓN


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•La estabilidad vuelve a ser considerablecuando el proceso forma parte de uncircuito de control por retroalimentación

debido, a que las variaciones en las señalesse refuerzan unas a otras conforme viajansobre el circuito y ocasionan que la salida y todas las otras señales en el circuito se vuelvan ilimitadas.

Aun paraprocesos

estables

A circuitoabierto


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La ilustración mas sencilla de un circuito deretroalimentación inestable es el controladorcuya acción de dirección es opuesta a la quedebería ser . Ejm:

Si la salida del controlador se incrementara al

aumentar la temperatura el circuito es inestableporque al abrir la válvula de vapor se provoca unincremento de la temperatura

En este caso, se necesita un controlador deacción inversa cuya salida decremente cuando latemperatura se incremente , de manera que secierre la valvula de vapor y baje la temperatura.


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Con anterioridad se vio que la respuesta de un circuito de control a una cierta entrada se puederepresentar mediante :

Donde :C(t) : es la salida del circuito o variable controlada

r1,r2………rn :son las raíces de la ecuación característica del circuito


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Si se supone que los términos de entrada permanecen limitados conforme se

incremente el tiempo, la estabilidad del circuito requiere que también lostérminos de la respuesta sin forzamiento permanezcan limitados segúnincrementa el tiempo, esto depende de las raíces de la ecuación característica yse puede expresar:

La parte real de las raíces complejas asi como las raíces reales, deben ser negativas, para que los términos correspondientes de la respuesta tiendan a cero


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Para que el circuito de control con retroalimentación sea estable ,todas las raíces de su ecuación característica deben ser números

reales negativos o números complejos con partes reales negativas.

Para que el circuito de control con retroalimentación sea estable , todas lasraíces de su ecuación característica deben caer en la mitad izquierda delplano s, que también se conoce como plano izquierdo.

Definiendo en el plano complejo s, como una grafica dedos dimensiones, con el eje horizontal para la partereal de las raíces y el vertical para la imaginaria


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Prueba de Routh

La prueba de Routh es unprocedimiento paradeterminar el número deraíces de un polinomio

con parte real positiva sinnecesidad de encontrar

realmente las raíces por mètodos

iterativos.

puesto que para que un sistemasea estable se requiere que

ninguna de las raíces

de su ecuación característicatenga parte real positiva

la prueba de Routh esbastante

útil para determinar laestabilidad


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La mecánica dela prueba de

Routh se puede

presentar comosigue dado unpolinomio de

grado n

y la prueba deRouth es de lomás útiles pararesolver dicho

problema:

generalmentela ganancia delcontrolador-dentro de los

cuales elcircuito esestable,


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Arreglo de Routh

donde a son los coeficientes del polinomio; se debe determinar cuántasraíces tienen parte real positiva:

en el cual, los datos de la fila n + 1, se calculan mediante:

Fila 1 . . . 0

Fila 2 . . . 0

Fila 3 . . . 0 0

Fila 4 . . . 0 0 Fila n 0 0 0 0

Fila n+1 0 0 0 0 0


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y así, sucesivamente. El proceso se continúahasta que todos los términos nuevos sean

cero.

Una vez que se completa el arreglo, se puede

determinar el número de raíces con parte realpositiva del polinomio, mediante el conteo dela cantidad de cambios de signo en la columnaextrema izquierda del arreglo; en otraspalabras, para que todas las raíces del

polinomio estén en el plano s izquierdo, todoslos términos en la columna izquierda delarreglo deben tener el mismo signo.


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Ejemplo. Determinación de la gananciaultima de un controlador de temperaturamediante la prueba de Routh. Se supone quelas funciones de transferencia de los

diferentes elementos del circuito de controlde temperatura de la figura 6-3 como sigue:

Intercambiador


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La respuesta del intercambiador al flujo de vapor tiene una ganancia de50°C (Kg/s) y una constante de tiempo de 30 s

Sensor-transmisorEl sensor transmisor tiene una escala calibrada de 50 a 150°C

y una constante de tiempo de 10 s

ál l d l


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Válvula de control

La válvula de control tiene una capacidad máxima de 1.6 Kg/s de vapor,características lineales y constantes de tiempo 3 s

Controlador El controlador es proporcional


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Entonces el problema es

determinar la gananciaúltima de controlador, esdecir, el valor de Kc al cual elcircuito se vuelve

marginalmente estable


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Solución: La ecuación característica se obtiene de la ecuación (6-10)

1 110 1

× 5030 1

× 0.0163 1

× = 0

Ahora se debe reordenar la ecuación deforma polinómica:


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El siguiente paso es preparar el arreglo de Routh:

P l i it d t l t bl t d l té i d l l


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Para que el circuito de control sea estable todos los términos de la columnade la izquierda deben tener el mismo signo, positivo en este caso, y para estose requiere que:


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En este caso el límite inferior de Kc, es negativo pero no tiene importanciapuesto que una ganancia negativa indica que la acción del controlador no esla correcta (se abre la válvula de vapor al incrementarse la temperatura). Ellímite superior de la ganancia del controlador es la ganancia última que se

busca:

Esto indica que al ajustar el controlador proporcional para este circuito la


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Esto indica que al ajustar el controlador proporcional para este circuito, laganancia no debe exceder de 23.8 ni reducirse la banda proporcional pordebajo de 100/23.8 = 42 %

En la sección procedente se vio que la desviación o error de estado

estacionario inherente a los controladores proporcionales se puedes reducirmediantes el incremento de la ganancia del controlador, aquí se ve que laestabilidad impone un límite a la magnitud de la ganancia. Es de interésestudiar la manera en que afectan a la ganancia los otros parámetros delcircuito.

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