especificación de tipos abstractos - umajmmb/ttaadd/temaiii.pdf · 2013. 11. 5. · valores...

Especificación de Tipos Abstractos de Datos

Método algebraico:Los universos de datos como dominios de un álgebra

Especificaciones Algebraicas 2

Introducción

Lenguajes de programaciónSignatura básica: operaciones y propiedadesRepresentación dada

Diseño descendenteSignatura propia del dominio del problemaEspecificación y representación

Modelo de datos: Álgebras multidominioEspecificación de álgebras: Lógica ecuacional


Especificación de álgebras

Declaración de dominiosDeclaración de operacionesAxiomas para las operaciones:

Relaciones de igualdadRelaciones de pertenenciaFórmulas condicionadas:

stswmjvunittswmjvuni

jjii

jjii

:):]..1[()]..1[('):]..1[()]..1[(

⇒⋅∈∀∧=⋅∈∀

=⇒⋅∈∀∧=⋅∈∀


Valores lógicos (I)Universo : BoolFunciones:v : -> Boolf : -> Boolnot_ : Bool -> Bool_and_: Bool Bool -> Bool_or_ : Bool Bool -> BoolAxiomas:not v = fnot f = vX : Bool => not(not X) = X

X : Bool => X and v = X

X : Bool => X and f = f

X Y : Bool => X and Y = Y and X

X Y Z : Bool =>

(X and Y) and Z = X and (Y and Z)

X : Bool => X or v = v

X : Bool => X or f = X

X Y : Bool => X or Y = Y or X

X Y Z : Bool =>

(X or Y) or Z = X or (Y or Z)

X Y Z : Bool =>

X and (Y or Z) = (X and Y) or (X and Z)

X Y Z : Bool =>

X or (Y and Z) = (X or Y) and (X or Z)

...


Significado de una especificación

Modelo: Cualquier álgebra que cumpla los axiomas

Modelo generados por términos: Cada elemento del álgebra está representado por algún término de la especificación

Modelo inicial: Modelo generado por términos con el mayor número de elementos


Reglas de cálculo para la igualdad y la pertenencia

stswmjvuni

stswmjvunitt

swmjvunittswmjvuni

ttfttftttt

tttttt

tttttt

jjii

jjii

jjii

jjii

nn

nn

:|:]..1[|;]..1[|

:):]..1[()]..1[( : defórmula cada Para '|

:]..1[|;]..1[|'):]..1[()]..1[( : defórmula cada Para

)',,'(),,(|'|;;'|

''|'''|;'|

'|'|

|

11

11

σσσσ

σσσσσ

−Γ⋅∈∀−Γ=⋅∈∀−Γ

⇒⋅∈∀∧=⋅∈∀Γ=−Γ

⋅∈∀−Γ=⋅∈∀−Γ

=⇒⋅∈∀∧=⋅∈∀Γ=−Γ

=−Γ=−Γ=−Γ

=−Γ=−Γ=−Γ=−Γ=−Γ


Regla de inducción estructural

Aplicable a modelos generados por términos

tttt def de propio subtérmino'' ⇔≺

)(|))())'('('(|

,

,,

tPTttPtPttTtTt

s

ss

⋅∈∀−Γ⇒⇒⋅∈∀⋅∈∀−Γ

Σ

ΣΣ ≺


Regla de inducción estructural

Forma de aplicación:Demostrar la propiedad P(t) para los términos t que no tienen subtérminos del mismo tipo.Demostrar la propiedad P(t) para los términos t con subtérminos del mismo tipo asumiendo como hipótesis de inducción que la propiedad se cumple para dichos subtérminos.


Valores lógicos (II)

Universo : BoolFunciones:

v : -> Boolf : -> Bool

not_ : Bool -> Bool_and_: Bool Bool -> Bool_or_ : Bool Bool -> Bool

Axiomas:not v = f not f = vX : Bool => X and v = X

X : Bool => X and f = f

X : Bool => X or v = v

X : Bool => X or f = X


Valores lógicos (III)

Demostrar para la especificación anterior:1. Que para todo término t:Bool, t=v ó t=f2. Que para todo término t:Bool, not(not t) = t3. Que para X Y : Bool, X and Y = Y and X

Estilo Constructivo


Construcción de Especificaciones: Estilo Constructivo

Para cada universo s :Seleccionar una familia libre de generadoras Gs, o conjunto mínimo de operaciones constructoras tal que:

cada valor del correspondiente dominio As del álgebra que se quiere especificar se pueda expresar mediante un único término construido con operaciones de Gs.

Definir las demás operaciones actuando sobre términos construidos con operaciones de Gs.


Construcción de Especificaciones: Ejemplo del Estilo Constructivo

Valores LógicosUniverso: BooleanosGeneradores:

v : -> Booleanosf : -> Booleanos

Términos generados:{v,f}

Números NaturalesUniverso: NatGeneradores:

0 : -> Nats : Nat -> Nat

Términos generados:{0, s(0), s(s(0)), s(s(s(0))),

... }


Construcción de Especificaciones:Definición de operaciones

FormasUna única ecuación en cuya parte izquierda aparece la operación con variables en sus argumentos.

Varias ecuaciones en cuyas partes izquierdas aparece la operación, controladas por patrones en alguno de sus argumentos o por condiciones para establecer un análisis de casos exhaustivo.


Álgebra de valores lógicos:

Universo Booleanos .Funciones

v : -> Booleanos .f : -> Booleanos .not_ : Booleanos -> Booleanos ._and_ : Booleanos Booleanos -> Booleanos ._or_ : Booleanos Booleanos -> Booleanos .

Axiomasnot v = f . not f = v .X: Booleanos => X and v = X .X: Booleanos => X and f = f .X: Booleanos => X or v = v .X: Booleanos => X or f = X .


Álgebra de números naturales

Universo Nat .Funciones

0 : -> Nat .s : Nat -> Nat ._+_ : Nat Nat -> Nat ._*_ : Nat Nat -> Nat .

AxiomasN : Nat => 0+N = N .N M : Nat => s(M) + N = s(M+N) .N : Nat => 0*N = 0 .N M : Nat => s(M) * N = (M*N)+N .


Álgebra de números naturales con valores lógicos (I)

Universos Booleanos Nat .Funciones

v : -> Booleanos .f : -> Booleanos .0 : -> Nat .s : Nat -> Nat ._+_ : Nat Nat -> Nat ._*_ : Nat Nat -> Nat . _= Booleanos .


Álgebra de números naturales con valores lógicos (II)

AxiomasN : Nat => 0+N = N .N M : Nat => s(M) + N = s(M+N) .N : Nat => 0*N = 0 .N M : Nat => s(M) * N = (M*N)+N .N : Nat => 0 =< N = v .N : Nat => s(N) =< 0 = f .N M : Nat => s(M) =< s(N) = M =< N .


Construcción de Especificaciones:Definición de operaciones parciales

Reducción del dominio:Se introduce un subuniverso del dominioSe buscan generadores para este subuniversos : Nat -> NatNz .P : NatNz => P : Nat ._div_ : Nat NatNz -> Nat .

Ampliación del recorrido:Se introduce un superuniverso para el recorridoTodos los resultados pertenecen al superuniversoSe indica cuándo es correcto un resultadoN : Nat => N : Nat? ._-_ : Nat Nat -> Nat? .M N : Nat, (N =< M) = v => M - N : Nat .


Álgebra de números naturales con valores lógicos (III)

Universos Booleanos Nat NatNz Nat? .Funciones

...s : Nat -> NatNz ...._-_ : Nat Nat -> Nat? . _div_ : Nat NatNz -> Nat .

Axiomas...P : NatNz => P : Nat . N : Nat => N : Nat? .M N : Nat, N= M - N : Nat .N : Nat => N - 0 = N .M N : Nat => s(M) - s(N) = M - N .M : Nat, N : NatNz, N= M div N = 0 .M : Nat, N : NatNz, N= M div N = s((M - N) div N).


Construcción de Especificaciones:Operaciones inmersoras

Operaciones auxiliares en la definición de otras operaciones.

Son más generales (tienen más parámetros).Son más simples de definir.Bajo ciertas condiciones realizan el mismo cálculo.


Técnicas de inmersión:Debilitamiento de la postcondición

Buscar una función tal querealice un cálculo más simple,en algún caso extremo el cálculo sea directo,en general, los resultados de llamadas recursivas más simples faciliten el cálculo original.

Se procede debilitando la postcondiciónparametrizando alguna subexpresión que sirva para controlar el grado de aproximación al cálculo buscado,incorporando esta subexpresión como argumento a la función inmersora y sus condiciones de dominio a la precondición.



Raíz cuadrada por defecto:Función inicial:

Postcondición: margen de error como parámetro

Función inmersora:

Relación entre ambas:

)}1)(1(,*{)(}:{ ++



Definición de rz(N,A):Para márgenes de error suficientemente grandes, 0 es una raíz válida.

N:Nat, A:NatNz, A*A= rz(N,A) = 0 .Se puede obtener una raíz con un margen de error A a partir de otra con margen A+A.

N:Nat, A:NatNz, (rz(N,A+A)+A)*(rz(N,A+A)+A)=rz(N,A) = rz(N,A+A) + A .

N:Nat, A:NatNz, (rz(N,A+A)+A)*(rz(N,A+A)+A)=


Técnicas de inmersión:Refuerzo de la precondición

Buscar una función tal queRealice el mismo cálculo con información adicional dada mediante algún parámetro.En algún caso extremo la información del parámetro sea suficiente para obtener el resultado.En los demás casos se pueda delegar el cálculo en alguna llamadarecursiva mejorando la información del parámetro.

Se procede incorporando algún parámetro que represen-te un cálculo parcial o una aproximación del resultado

Este parámetro de obtiene de la postcondición a partir de alguna expresión relacionada con el resultado.La postcondición se separa en una conjunción de dos fórmulas, una pasa a la precondición y la otra a controlar el caso base.



Raíz cuadrada por defecto:Función inicial:

Postcondición: el resultado como parámetro

Función inmersora:

Relación entre ambas:

)}1)(1(,*{)(}:{ ++



Definición de rz’(N,A):Para controlar el caso trivial: N


Ventajas del estilo constructivo

Los valores de cada universo se pueden representar de forma única como términos con las generadoras.Las ecuaciones reducen las aplicaciones de las opera-ciones a términos con las generadoras.Ejecución simbólica de expresiones aplicando las ecuaciones como reglas de reescritura.Consistencia y completitud controlables sintácticamente.Razonamiento por inducción estructural reducible a términos con las generadoras.


Simplificaciones sintácticas

Ordenación de universos:T X:T’

Declaración de variables: VAR X ... Z : TFunciones con el mismo perfil:

f g : T1 ... Tk -> TEcuaciones sobre términos booleanos:e, en lugar de, e = v y not e, en lugar de, e = fConstrucción alternativa:

C => t = si c entonces a si no b fin, en lugar de, C c = v => t = a

C c = f => t = b

Estilo Semiconstructivo


Construcción de Especificaciones:Estilo Semiconstructivo

Para cada universo s :Una familia mínima Gs de generadoras, tal que cada valor del dominio As se pueda expresar mediante uno o varios términos construidos con operaciones de Gs.Una equivalencia entre representaciones distintas de un mismo valor. Los valores serán las clases de equivalencia de términos construidos con las generadoras.Las demás operaciones se definen actuando sobre términos construidos con operaciones de Gs., de manera que a representaciones equivalentes les correspondan resultados equivalentes.


Construcción de Especificaciones: Ejemplo del Estilo Semiconstructivo

Números EnterosUniverso: Ent Generadores:

0 : -> Ents : Ent -> Entp: Ent -> Ent

Ecuaciones:VAR X:Ent s(p(X)) = Xp(s(X)) = X

Términos:0, s(0), s(s(0)), ... p(0), p(p(0)), ... s(p(0)), s(p(p(0))), ...

Clases de equivalencia:{0, s(p(0)), p(s(0)), ... }{s(0), s(s(p(0)), s(p(s(0))),...}{p(0), p(s(p(0)), p(p(s(0))),...}


Especificación de los Números Enteros. Términos

s(s(s(0)))s(s(0))

p(s(s(0))s(0)

s(p(s(0)))p(s(0))

p(p(s(0)))0

s(s(p(0)))s(p(0))

p(s(p(0)))p(0)

p(p(0))

Cam

inos

en

un á

rbol

bin

ario


Especificación de los Números Enteros. Clases de eq.

s(s(s(0)))

s(s(0))

s(0) {p(s(s(0)), s(p(s(0))), s(s(p(0)))}

0 {p(s(0)), s(p(0))}

p(0) {p(p(s(0))), p(s(p(0))), s(p(p(0)))}

p(p(0))

p(p(p(0)))


Especificación de los Números Enteros. Operaciones

_+_ _-_ _*_ : Ent Ent -> EntVAR Z Z’ : Ent

0 + Z = Zs(Z’) + Z = s(Z’ + Z)p(Z’) + Z = p(Z’ + Z)

Z - 0 = ZZ - s(Z’) = p(Z - Z’)Z - p(Z’) = s(Z - Z’)

0 * Z = Zs(Z’) * Z = (Z’ * Z) + Zp(Z’) * Z = (Z’ * Z) - Z


Especificación de los Números Enteros. Relaciones

Neg < Ent Pos < Entp(0) : Neg s(0) : Pos

Z : Neg => p(Z) : Neg Z : Pos => s(Z) : Pos

_ Booleanos

VAR Z Z’ : Ent

Z’ - Z : Pos => Z < Z’ = v

Z’ - Z : Neg => Z < Z’ = f

Z’ - Z = 0 => Z < Z’ = f

Demostrar que |- Z : Ent => (Z = 0) ∨ (Z : Pos) ∨ (Z : Neg)

Patrones para construir tipos abstractos de datos


Enumeración

Para especificar universos con un número muy reducido de valores

Universo T

Generadorasv1 : -> T...vk : -> T

Ejemplos: Valores lógicos, Notas musicales, ...


Suma directa

Para especificar universos T que se puedan con-siderar la unión disjunta de otros T1, ..., TnUniversos

T T1 ... TnT1 < T... Tn < T

Generadoras-- las de cada universo T1, ..., Tn


Producto Cartesiano

Para especificar universos T que se puedan con-siderar productos cartesianos de otros T1, ..., Tn

UniversosT T1 ... Tn

Generadoras(_,...,_) : T1 ... Tn -> T-- Todas las de T1 ... Tn

Operacionespr1 : T -> T1...prn : T -> Tn...

Ejemplos: Vectores y Puntos del plano con coor-denadas enteras

Axiomas VAR t1 : T1 ... VAR tn : Tn

pr1(t1,...,tn) = t1...prn(t1,...,tn) = tn...


Cociente

Para especificar universos T cuyos valores se puedan identificar con las clases de valores de otro universo T’ respecto a una cierta relación de equivalenciaUniverso

T Generadoras-- las de T’ como generadoras de T

Axiomas-- ecuaciones entre términos con las generadoras

Ejemplos: Números Racionales, Rectas del plano Ent2


Recursión

Los patrones recursivos aparecen cuando un universo T se puede considerar suma directa de otros universos en cuyas definiciones aparece T.Ejemplos:ListaNatNv = Nat | (Nat x ListaNatNv)ArbolHNat = Nat | (ArbolHNat x ArbolHNat)

ArbolGNat = Nat x BosqueNatBosqueNat = Nil | (ArbolGNat x BosqueNat)


Especificaciones jerarquizadas I

Mecanismo para especificar álgebras complejas con varios dominios. Consiste en:

Dar especificaciones individuales de los dominios independientes.Especificar los dominios dependientes de otros apoyándose en las especificaciones de los otros.

Condiciones:Las especificaciones de los dominios dependientes no deben ampliar ni reducir los conjuntos de valores de los dominios en los que se apoyan.


Especificaciones jerarquizadas II

Requiere:Una noción de módulo que permita individualizar especificaciones y mantener bibliotecas de especificaciones.Un mecanismo de importación de unos módulos dentro de otros que permita utilizar especificaciones dadas sin tener que repetirlas.No establecer dependencias circulares entre módulos de una biblioteca.


Especificaciones genéricas

Mecanismo para construir patrones de especificaciones jerarquizadas.Consiste en:

Especificaciones jerarquizadas parametrizadas en algún/os módulo/s importado/s, junto con

Especificaciones débiles del/los parámetro/s.Requieren:

Un mecanismo de instanciación de parámetros.

Introducción a MAUDEIntroducción a MAUDE


Introducción a Maude

Maude es un lenguaje de especificación algebraica de tipos abstractos de datos con construcciones modulares para:

especificaciones jerarquizadas;especificaciones de parámetros;especificaciones genéricas;instanciaciones de parámetros.

Que permite la ejecución/reducción simbólica de expresiones de una especificación.


Especificaciones Jerarquizadas

Módulo: Cuerpo:fmod nombre is (decl. de importaciones)*

cuerpo (decl. de universos)*endfm (decl. de subuniversos)*

(decl. de operaciones)*(decl. de variables)*(decl. de axiomas)*

Nota: Todas las declaraciones terminan con espacio y punto


Cuerpo de un módulo

Declaración de importaciones:including M .protecting M .

Declaración de universos:sort S .sorts S1 S2 S3 .

Declaración de subuniversos:subsort S1 < S2 .

subsorts S1 < S2 < S3 .subsorts S1 < S2 S3 < S4 .

Declaración de variables:var X : S .vars X Y : S .

Declaración de operaciones:op p : -> S [ctor] .op p : S1 S2 -> S .op _p_ : S1 S2 -> S .ops p q : S1 S2 -> S .

Declaración de ecuaciones: eq t1 = t2 .ceq t1 = t2 if b .

Declaración de pertenencias:mb t : S .cmb t : S if b .

(b booleano con ==,=/=, : )


Valores lógicos

fmod BOOL issort Bool .ops true false : -> Bool [ctor] .op not_ : Bool -> Bool .ops _and_ _or_ : Bool Bool -> Bool .var X : Bool .eq not true = false .eq not false = true .eq X and true = X .eq X and false = false .eq X or true = true .eq X or false = X .

endfm


Números Naturales I

fmod NAT issorts NatNz Nat Nat? .subsorts NatNz < Nat < Nat? .op z : -> Nat [ctor] .op s_ : Nat -> NatNz [ctor] .ops _+_ _*_ : Nat Nat -> Nat .op _-_ : Nat Nat -> Nat? .ops _div_ _mod_ : Nat NatNz -> Nat .op mcd : Nat Nat -> Nat? .op raiz : Nat -> Nat .op rz : Nat Nat -> Nat? .ops _ Nat .


Números Naturales II

vars M N : Nat . var P : NatNz .eq z + N = N .eq (s M) + N = s (M + N) .eq z * N = z .eq (s M) * N = (M * N) + N .cmb M - N : Nat if N


Números Naturales III

eq raiz(N) = rz(N, z) .cmb rz(N, M) : Nat if (M * M)


Números Enteros I

fmod ENT issorts Ent Pos PosNz .subsorts PosNz < Pos < Ent .

op z : -> Pos [ctor] .ops s_ p_ : Ent -> Ent [ctor] .

ops _+_ _-_ _*_ : Ent Ent -> Ent .op abs : Ent -> Pos .op _div_ : Pos PosNz -> Pos .op mcd : Pos Pos -> Pos .ops _


Números Enteros II

mb s Pz : PosNz .

eq s (p E) = E . eq p (s E) = E .

eq z + E2 = E2 .eq (s E1) + E2 = s (E1 + E2) .eq (p E1) + E2 = p (E1 + E2) .

eq E1 - z = E1 .eq E1 - (s E2) = p (E1 - E2) .eq E1 - (p E2) = s (E1 - E2) .

eq z * E2 = z .eq (s E1) * E2 = (E1 * E2) + E2 . eq (p E1) * E2 = (E1 * E2) - E2 .


Números Enteros III

eq abs(Pz) = Pz .eq abs(E) = abs(z - E) .ceq Pz div P = z if Pz < P .ceq Pz div P = s ((Pz - P) div P) if P


Ejercicios

Especificar un módulo para el tipo DiaSemana.

Construir una especificación jerárquica para una geometría vectorial del plano con puntos, vectores y rectas con coordenadas enteras.

Construir una especificación jerárquica para los números racionales.


Módulos predefinidos I

fmod BOOL is sort Bool .op true : -> Bool [ctor] .op false : -> Bool [ctor].op _and_ : Bool Bool -> Bool [... prec 55] .op _or_ : Bool Bool -> Bool [... prec 59] .op _xor_ : Bool Bool -> Bool [... prec 57] .op not_ : Bool -> Bool [... prec 53] .op _implies_ : Bool Bool -> Bool [... prec 61] ....

endfm


Módulos predefinidos II

fmod MACHINE-INT is sorts MachineInt NzMachineInt .subsort NzMachineInt < MachineInt .

...op -_ : MachineInt -> MachineInt [... prec 15] .ops _+_ _-_ : MachineInt MachineInt -> MachineInt [... prec 33] .op _*_ : MachineInt MachineInt -> MachineInt [... prec 31] .ops _/_ _%_ : MachineInt NzMachineInt -> MachineInt [... prec 31] ....ops __ _>=_ : MachineInt MachineInt -> Bool [... prec 37] ....

endfm


Especificaciones de Parámetros

Teoría:fth nombre is cuerpo endth

Ejemplos:fth TRIV is fth TOTSET issort Elt . sort Elt .

endth op _ Bool .vars E1 E2 E3 : Elt .eq E1 < E1 = false .ceq E1 < E2 = true if E1 < E3 and E3 < E2 .ceq E1 < E2 or E2 < E1 = true if E1 =/= E2 .

endth


Especificaciones Genéricas

fmod nombre [X :: ] isprotecting .sort S[X] .subsort S.X < S[X] .

...

...endfm


Instanciaciones de Parámetros

Enfoques de módulos como casos particulares de teorías:

view nombre from to issort to ....op to ....

endv


Instanciación de una especificación genérica

Obtención del módulo resultante de una instaciaciónfmod nombre is

protecting [n. de enfoque]endfm

Esta instanciación se puede realizar dentro de cualquier módulo a la vez que se realiza su importación.

Especificación de Tipos Abstractos de DatosIntroducciónEspecificación de álgebrasValores lógicos (I)Significado de una especificaciónReglas de cálculo para la igualdad y la pertenenciaRegla de inducción estructuralRegla de inducción estructuralValores lógicos (II)Valores lógicos (III)Construcción de Especificaciones: Estilo ConstructivoConstrucción de Especificaciones: Ejemplo del Estilo ConstructivoConstrucción de Especificaciones:Definición de operacionesÁlgebra de valores lógicos:Álgebra de números naturalesÁlgebra de números naturales con valores lógicos (I)Álgebra de números naturales con valores lógicos (II)Construcción de Especificaciones:Definición de operaciones parcialesÁlgebra de números naturales con valores lógicos (III)Construcción de Especificaciones:Operaciones inmersorasTécnicas de inmersión:Debilitamiento de la postcondiciónTécnicas de inmersión:Debilitamiento de la postcondiciónTécnicas de inmersión:Debilitamiento de la postcondiciónTécnicas de inmersión:Refuerzo de la precondiciónTécnicas de inmersión:Refuerzo de la precondiciónTécnicas de inmersión:Refuerzo de la precondiciónVentajas del estilo constructivoSimplificaciones sintácticasConstrucción de Especificaciones:Estilo SemiconstructivoConstrucción de Especificaciones: Ejemplo del Estilo SemiconstructivoEspecificación de los Números Enteros. TérminosEspecificación de los Números Enteros. Clases de eq.Especificación de los Números Enteros. OperacionesEspecificación de los Números Enteros. RelacionesEnumeraciónSuma directaProducto CartesianoCocienteRecursiónEspecificaciones jerarquizadas IEspecificaciones jerarquizadas IIEspecificaciones genéricasIntroducción a MaudeEspecificaciones JerarquizadasCuerpo de un móduloValores lógicosNúmeros Naturales INúmeros Naturales IINúmeros Naturales IIINúmeros Enteros INúmeros Enteros IINúmeros Enteros IIIEjerciciosMódulos predefinidos IMódulos predefinidos IIEspecificaciones de ParámetrosEspecificaciones GenéricasInstanciaciones de ParámetrosInstanciación de una especificación genérica

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