Definición de base y dimensión de un espacio vectorial.

Base: La base del espacio vectorial tiene que ser linealmente independiente y un generador del espacio vectorial.

Base canónica: base que solo contienen 1 y 0 positivos.

Para obtener la canónica se dan valores de cero a vas variables por turnos.

Ejemplo:

{ {a x2+bx+c|a ,b , c∈R }}

Turno 1: a=1 b=0 c=0

Turno 2: a=0 b=1 c=0

Turno 3: a=0 b=0 c=1

Base natural: Bases cuyos valores sean diferentes o contengan números aparte de 0 y 1.

Dimensión: Es el número de vectores que se genera de la base, la dimensión es del espacio vectorial.

*Si la base tiene “n” vectores, la dimensión es “n”.

*Si la base solo contiene al vector 0 la dimensión es cero ya que es un conjunto linealmente independiente.

*Si la base tiene uno o dos vectores más que la dimensión, entonces el conjunto pasa a ser linealmente dependiente y no es base.

ESPACIOS VECTORIALES Un espacio vectorial V es un conjunto de vectores junto con dos operaciones, la suma y la multiplicación por un escalar, que satisfacen las siguientes propiedades:

Propiedades de la suma de vectores.

Sean , , vectores en V

1) La suma es otro vector en V

2) , es decir, la suma es conmutativa

3) , es decir, la suma es asociativa

4) Existe un vector cero en V, tal que

5) Para todo vector existe un vector , tal que , y se denomina el inverso aditivo-

Propiedades de la multiplicación por un escalar.

Sean y vectores en V, c y d constantes (escalares)

1) El vector es un vector en V

2)

3) . Los incisos 2 y 3 representan la propiedad distributiva.

4)

5) Para todo vector , , tal que , y se denomina el inverso aditivo

Ejemplo.

El conjunto de puntos en que están en la recta , ¿es un espacio vectorial?

Este conjunto de vectores lo podemos escribir de la forma . Sean

y ,En este caso, la suma

Ejercicio:

A) ¿Constituyen los vectores v1(1,2,3), v2(2,-1,0) y v3(1,1,0) una base de R3?B) Hallar las coordenadas de (2,4,6) en dicha base.

A=(1 2 32 −1 01 1 0) R(A)= Número de vectores linealmente independientes

R(A)= Dimensión

Los tres vectores serán linealmente independientes si el rango es 3.

|1 2 32 −1 01 1 0|=0+0+6+3+0+0=9≠0

R(A)= 3….. los vectores son independientes.

¿Conjunto de generadores?

Son conjuntos de generadores si somos capaces de obtener cualquier vector (x,y,z) como combinación lineal de los 3 vectores dados (la combinación lineal es multiplicar a los vectores por parámetros que son números).

1.1.3. Conjunto solución de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales un ejemplo de espacio vectorial.

Ejemplo 1.−2 x1+4 x2+5x3=0; 5x1 + x2 − 3x3 = 0;

6x1 − x2 + 4x3 = 0.

Solución.

[−2 4 55 1 −36 −1 4 ] [ 5 1 −3

−2 4 56 −1 4 ]R1+= 2R2 [ 1 9 7

−2 4 56 −1 4 ]

R2+¿2 R1; R3+¿−6 R1

[1 9 70 22 190 −55 −38]R3∗¿2 [1 9 7

0 22 190 −110 −76]R3+¿5R2 [1 9 7

0 22 190 0 19]

Ahora la matriz del sistema es escalonada, y el número de los renglones no nulos es R= 3 = n. Por eso el sistema es compatible determinado, esto es, la única solución es la trivial: x = 0. En este ejemplo no hay sentido hacer la comprobación para x = 0. Sería más importante comprobar que la matriz del sistema en forma escalonada efectivamente tiene 3 renglones no nulos (en otras palabras, que el rango del sistema es igual a 3), pero en este momento del curso no tenemos métodos para comprobarlo.

Ejemplo 2.

x1+2x2−4 x3=0 ;2 x1+7 x2+3 x3=0.

Solución:

[1 2 −42 7 3 ]R2+¿−2R1 [1 2 −4

0 3 11 ]R2∗¿ 13

[1 2 −4

0 1113 ]R2+¿−2R1

[1 0−343

0 1113

]Aquí r = 2, n = 3, r < n, por lo tanto el sistema es compatible indeterminado.

x1=343x3 ;

x2=−113x3 .

Lasolució ngeneral se puede escribir en forma :

x=[343x3

−113x3

x3]= x33 [ 34−11

3 ] , x3ϵ R

Cada solución es un múltiplo de la solución básica u=[33 −11 3 ]. Comprobación para la solución básica:

[1 2 −42 7 3 ][ 34−11

3 ]=[34 −22 −1268 −77 +9 ]=[00 ]

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUATITLÁN

1. ESPACIOS VECTORIALES

PRFESOR: GONZALO GUADALUPE PACHECO ESTRADA

ALUMNOs: RODRÍGUEZ CARRANZA BRUNO JESÚS

Ríos Lopez Mario enrique

Algebra lineal

GRUPO: 2206