Espacio métrico

Espacio Métrico

Espacio Métrico

Espacio Métrico

Distancias entre dos puntos

La DISTANCIA entre dos puntos P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2) es

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1,d P P x x y y z z

2 2 2, 0 1 1 0 0 1 3d P Q

Ejemplo.- Calcular la distancia entre los

puntos P(1,0,1) y Q(0,1,0)

Distancias de un punto a un plano

La DISTANCIA de un punto P(a,b,c) a un plano : A x + B y + C z + D = 0

(utilizando el producto escalar ) se cumplirá

1 2

1 2 3

2 2 2

2 2 2

3

cos ,

,

,

, , , ,

Siendo , , un punto del p la

n AP n AP n AP

n d P

n APd P

n

A B C a a b a c a

A B C

A a B b C c D

A C

A a a a

B

����������������������������������������������������������������� �����

������������� �

no

y de la recta perpendicular que pasa po r P

Distancias de un punto a un plano

Ejemplo.- Calcular la distancia del punto P(3,2,-1) a un plano : 2x-y-2z+3=0

2 22

2 3 1 2 2 1 3, 3

2 1 2d P

Distancias entre planos paralelos

Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, basta con que tomemos

un punto cualquiera de un plano, y calculemos la distancia de dicho punto al

segundo plano.

Ejemplo.- Calcular la distancia entre los planos

1 : 9x-5y-7z+15=0

2 : (x,y,z) = (3,3,3) + (1,-1,2) + (3,4,1)

1 2 1 2 22

9 3 5 3 7 3 15 6, ,

1559 5 7d d P

Los dos planos son paralelos, ya que sus vectores normales son

proporcionales, es decir (9,-5,-7) = (-1) . (-9,5,7) = (-1).[ (1,-1,2) x (3,4,1)].

Tomando un punto de 2, por ejemplo P(3,3,3), se cumplirá

Distancias entre recta y plano paralelos

Para calcular la distancia entre una recta y un plano paralelos, basta con que

tomemos un punto cualquiera de la recta, y calculemos la distancia de dicho

punto al plano.

Ejemplo.- Calcular la distancia entre la recta y el plano

r : (x,y,z) = (1,3,-4) + (2,3,10)

: 4x + 4y - 2z -3 =0

22 2

4 1 4 3 2 4 3 7, ,

24 4 2d r d P

Dado que la recta y el plano son paralelas, ya que el producto escalar del

vector director de la recta y el vector normal es cero, es decir:

(2,3,10) (4,4,-2) = 0

Tomando un punto de r, por ejemplo P(1,3,-4), se cumplirá

Distancias de un punto a una recta

La DISTANCIA de un punto P(x0,y0,z0) a la recta r de vector director u, que

pasa por un punto A(a1,a2,a3), (utilizando el producto vectorial x ) se cumplirá

1 2 3 0 1 0 2 0 3

2 2 21 2 3

1 2 3

,

,

,

, , , ,

Siendo , , un punto de la rec

ta r

u AP u AP sen u AP

u d P r

u APd P r

u

u u u x a y

A a a a

a z a

u u u

����������������������������������������������������������������� �����

������������� �

Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas r y s, basta con que

tomemos un punto cualquiera de P de r y hallemos d(P,r)

Distancias de un punto a una recta

Ejemplo.- Calcular la distancia entre la recta y el punto

r : (x,y,z) = (2,3,4) + (-1,2,1)

P(3,-3,1)

2 2 2

1,2,1 1,6,3 10,

31 2 1

u PAd P r

u

������������� �

Dado que P(3,-3,1) no es un punto de r, como se puede comprobar

sustituyendo en la ecuación, Tomando A(2,3,4) se cumplirá

Distancias entre dos rectas que se cruzan

La DISTANCIA entre dos rectas r y s, que se cruzan, (utilizando el producto

mixto [ ] ), si Pr y Ps son dos puntos cualesquiera de r y s se cumplirá

( , ) cos ,

, ,

S

i r y

r s r s r s

r s r s

r s

r s r s

r s r s r s r s

r s r s

d r s P P u u P P

u u P PP P

u u P P

u u P P u u P P

u u u u

������������������������������������������

������������������������������������������

����������������������������

���������������������������� ������������������������������������������

����������������������������

s son coplanarias es , , 0r s r su u P P ������������������������������������������

Distancias de un punto a una recta

Ejemplo.- Calcular la distancia entre las rectas

2 3 2: : 5

5 2 3 2 3

x y z x zr y s y

22 2

5 2 3

2 1 3

, , 0 7 6 1 3 3,

5 2 3

2 1 3

84 84

913 9 1

r r r s

r r

u u P Pd r s

u u i j k

������������������������������������������

����������������������������

Tomando Pr(7,-1,3) y Ps(0,6,3), será

Producto vectorial

Producto vectorial

Producto vectorial

Producto mixto

Producto mixto

Perpendicular común a dos rectas que se cruzan

Perpendicular común a dos rectas que se cruzan

Mas ayuda del tema de la página

Matemática de DESCARTES del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)

En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página

Matemática de GAUSS del Ministerio

de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)

En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página

lasmatemáticas.es

Videos del profesor

Dr. Juan Medina Molina

(http://www.dmae.upct.es/~juan/mate

maticas.htm)

En la siguiente diapósitiva