escuela tÉcnica superior de ingenieros...

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA Y

MÉTODOS INFORMÁTICOS

Asignatura: PROGRAMACIÓN Y MÉTODOS NUMÉRICOS

Tema: INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Prof. Carlos Conde Lázaro Prof. Arturo Hidalgo López Prof. Alfredo López Benito

Marzo, 2007

ii

ÍNDICE Pág. 1. INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN. ………………………………… 1 2. GENERALIDADES SOBRE LAS FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN

NUMÉRICA. ………………………………….……..…………….. 6 3. FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA DE TIPO INTERPO-

LATORIO. ………………………………………………............... 11

4. EXPRESIONES DEL ERROR DE LAS FÓRMULAS DE INTEGRA- CIÓN NUMÉRICA. …………………………………………... 18 5. ALGUNAS FÓRMULAS DE DERIVACIÓN NUMÉRICA DE TIPO INTERPOLATORIO USUALES PARA APROXIMAR PRIME-

RAS DERIVADAS ……………………………………………….. 29 5.1. Fórmulas con dos puntos de soporte. ……………………. 29 5.1.1. Casos particulares. ………………………………. 31 5.2. Fórmulas con tres puntos de soporte. ……………………. 33 5.2.1. Casos particulares con soporte equidistante. . 36 6. OTROS MÉTODOS PARA LA OBTENCIÓN DE FÓRMULAS DE DERIVACIÓN NUMÉRICA DE TIPO INTERPOLATORIO. …. 39 6.1. Mediante la combinación de desarrollos en serie

de Taylor. ……………………………………..…………… 39 6.2. Método de coeficientes indeterminados. …………………. 43 7. FÓRMULAS DE DERIVACIÓN NUMÉRICA DE TIPO INTERPO- LATORIO PARA LA APROXIMACIÓN DE DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. ……………………………………………. 47 7.1. Obtención de fórmulas de derivación de tipo interpolatorio mediante el método de los coeficientes indetermi-

nados. ………………………………………………………. 63 8. MEJORA DE LA PRECISIÓN DE LAS FÓRMULAS DE DERIVA- CIÓN NUMÉRICA. MÉTODO DE EXTRAPOLACIÓN DE

RICHARDASON. …………………………………………………… 67

BIBLIOGRAFÍA SOBRE EL TEMA. …………………………………….. 74

Programación y Métodos Numéricos Integración numérica

1

1. Introducción y motivación Nos centramos en este tema en el estudio de fórmulas que nos permitan obtener un valor aproximado de la integral definida de una función real de una variable en un intervalo (a, b). Como ya se comentó en la introducción histórica que se hizo al tema dedicado a la interpolación polinómica, el origen de estas fórmulas puede ubicarse en los orígenes del cálculo diferencial e integral que tuvo lugar en el siglo XVII. Así, de forma análoga a lo que ya señalamos respecto a la derivación numérica, la principal idea que subyace en las técnicas de integración numérica está muy vinculada a la interpolación y se podría resumir en lo siguiente: Si de una función f(x) se conocen sus valores en un determinado soporte de puntos, puede “aproximarse” la función f(x) por otra función p(x) que la interpole en dicho soporte y, como consecuencia, sustituir el

valor ∫b

a

f(x)·dx por el valor ∫b

a

p(x)·dx . Esta idea tan simple puede

proporcionarnos un valor aproximado de la integral buscada. No obstante el valor exacto podrá ser diferente del así calculado por lo que también convendrá analizar con detalle el error cometido. Entre las distintas técnicas de interpolación existentes nos centraremos en las técnicas de interpolación polinómica de Lagrange a partir de las cuales obtendremos las fórmulas de integración numérica objeto de este tema. No obstante conviene indicar que para otras técnicas de interpolación podrían diseñarse otras fórmulas de integración numérica siguiendo un camino análogo al que desarrollaremos en apartados posteriores. Conviene además tener presente el significado geométrico de la integral

definida. En este sentido recodemos que el valor de ∫b

a

f(x)·dx puede

interpretarse como el área que se encierra entre el grafo de f(x) y el eje de abscisas en el tramo (a, b) asignándose valor positivo al área encerrada por la parte del grafo correspondiente a valores positivos de f(x) y valor negativo a la encerrada por la parte del grafo correspondiente a valores de f(x) negativos.

Integración numérica. Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo López

2

Una de las primeras fórmulas que nos permiten aproximar una integral definida consiste en aproximar el área que encierra el grafo de una función por el área de un rectángulo que tenga como base el segmento (a, b) y por altura el valor de f(x) en algún punto x* de [a, b] lo que nos conduce a que

( )≈ −∫b

a

f(x)·dx f x * ·(b a) . Surgen así de manera intuitiva diferentes fórmulas

numéricas con un soporte de un punto (el punto x*). Entre ellas, las más populares son las conocidas con el nombre de fórmula del punto medio (cuando se toma x* = (a+b)/2), la formula del rectángulo soportado en el extremo izquierdo del intervalo (cuando se toma x* = a) o la fórmula del rectángulo soportado en el extremo derecho del intervalo (cuando se toma x* = b). La figura siguiente ilustra el área evaluada si se utiliza la fórmula del punto medio.

a b

f(x)

b

a

f(x)·dx∫

a b(a+b)/2

f(x)


3

Utilizar un único punto del soporte puede ser lo más simple pero no siepre es lo más preciso. La mejora de la precisión implica el incremento del número de puntos en el soporte pudiendo entonces optarse por dos caminos: la integración de un polinomio interpolador de mayor grado (lo que da lugar a fórmulas de integración numérica de mayor orden que se conocen con el nombre de fórmulas simples) o la subdivisión del segmento (a, b) en diferentes subdominios de integración usando en cada uno de elos un número de puntos de integración relativamente bajo (lo que da lugar a las fórmulas de integración numérica compuestas). De ambos tipos de fórmulas nos ocuparemos con detalle más adelante pero por el momento ilustramos la idea de las fórmulas de integración simples con la fórmula conocida con el nombre de fórmula del trapecio que utiliza dos puntos de soporte (x0 = a y x1 = b) y sustituye el área encerrada por f(x) en (a, b) por el área del trapecio dibujado en la figura

siguiente , es decir +≈ −∫

b

a

f(a) f(b)f(x)·dx ·(b a)2

:

Asimismo ilustramos la idea de las fórmulas de integración compuestas con la fórmula conocida con el nombre de fórmula del punto medio compuesta que utiliza dos puntos de soporte (x0 = a y x1 = b) y sustituye el área encerrada por f(x) en (a, b) por el área de los dos rectángulos dibujados en la figura siguiente:

a b

f(x)


4

De esta manera los puntos de soporte usados son x0 = +3·a b2

y +=1

a 3·bx2

obteniéndose como fórmula de integración numérica:

+− −≈ + = −∫

b0 1

0 1a

f(x ) f(x )(b a) (b a)f(x)·dx f(x )· f(x )· (b a)·2 2 2

Ejemplos:

1º) Para la función f(x) = x se tiene que: =∫1

0

1x·dx2

. La fórmula del punto medio

aplicada al cálculo de esta integral nos proporciona el valor:

= − =pmed1V f(1/ 2)·(1 0)2

es decir, el valor exacto de la integral. La misma integral evaluada por alguna de las fórmulas del rectángulo se aproximaría por: Con soporte en el extremo izquierdo: − = − =rectV f(0)·(1 0) 0 Con soporte en el extremo derecho : + = − =rectV f(1)·(1 0) 1

cometiéndose en ambos casos un error de integración numérica.

a b

f(x)

(3a+b)/4 (a+3b)/4(a+b)/2


5

2º) Para la función f(x) = x2 se tiene que: =∫1

2

0

1x ·dx3

. La fórmula del punto

medio aplicada al cálculo de esta integral nos proporciona el valor:

= − =pmed1V f(1/ 2)·(1 0)4

que difiere del valor exacto. La misma integral evaluada por alguna de las fórmulas del rectángulo se aproximaría por: Con soporte en el extremo izquierdo: − = − =rectV f(0)·(1 0) 0 Con soporte en el extremo derecho : + = − =rectV f(1)·(1 0) 1

cometiéndose en ambos casos un error de integración numérica. La fórmula del trapecio nos proporciona el valor:

+= − =trap

f(0) f(1) 1V ·(1 0)2 2

cometiéndose también un error de integración. Por último, la fórmula del punto medio compuesta nos conduce a:

+= − =pmed _ c

f(1/ 4) f(3 / 4) 10V (1 0)·2 32

que tampoco nos proporciona el valor correcto de la integral (aunque, entre los hallados, es el valor más próximo al correcto).

• Cabe distinguir, al menos, dos fuentes de error en las técnicas de derivación numérica. La primera de ellas, que se designa habitualmente como error del método o error de truncatura, es debida a sustituir la expresión exacta de la integral (a través del cálculo del límite de las sumas de Riemann) por una fórmula en la que se combinan valores de la función en un número finito de puntos. La segunda fuente de error es debida a los errores de redondeo que se cometen en las operaciones que contemple la fórmula numérica. En este tema también nos ocuparemos de analizar la primera de las fuentes de error remitiendo al primero de los temas de esta asignatura al lector que esté interesado en el análisis de los errores de redondeo.


6

2. Generalidades sobre las fórmulas de integración numérica Sea f(x) una función definida en un cierto intervalo (a, b) de la recta real. Consideremos además un soporte1 de (n+1) puntos {x0, x1, ..., xn} en el que se suponen conocidos los valores de la función f(x). Por simplicidad supondremos además, en todo cuanto sigue, que los puntos del soporte son todos ellos distintos y están ordenados de menor a mayor es decir que: x0 < x1 < ... < xn. Definición 2.1.

Siendo f(x) una función de la que se conocen sus valores en el soporte de (n+1) puntos {x0 , x1, ...., xn}, se denomina fórmula de integración numérica para aproximar el valor de la integral de f(x) en el intervalo (a, b) de puntos considerado, a toda expresión de la forma:

≈∫b

a

f(x)·dx = c0.f(x0) + c1.f(x1)+ …. + cn.f(xn) = n

i ii 0

c .f(x )=∑

donde c0, c1, …, cn son (n+1) escalares denominados coeficientes (o pesos) de la fórmula de derivación

• NOTA: La fórmula de integración que se acaba de definir puede decirse que es una fórmula de lagrangiana pues en ella sólo intervienen valores de la función f en los puntos del soporte. Podrían considerarse fórmulas más generales, hermitianas, en las que el valor de la integral fuese obtenido a partir del valor de la función f y de algunas de sus derivadas en los puntos del soporte. No obstante, estas últimas fórmulas tienen un uso mucho menos frecuente que las de tipo lagrangiano y es por ello que en este tema nos limitaremos a considerar como fórmulas de integración numérica tan sólo a las que hacen intervenir los valores de la función en los puntos del soporte.

● En general el valor exacto de la integral y el valor aproximado diferirán, cometiéndose un error aun en el caso de que se operase sin introducir errores de redondeo en los cálculos. Es por ello que junto a la definición de una fórmula numérica conviene precisar de forma rigurosa la definición del error que con ella se comete. En este sentido se introduce la siguiente definición:

1 Aunque, para mejorar la precisión de los cálculos, frecuentemente los puntos del soporte se toman en el intervalo (a, b) no es necesario que así suceda.


7

Definición 2.2.

Siendo V la aproximación del valor de ∫b

a

f(x)·dx que se obtiene operando

sin error de redondeo según la fórmula de integración numérica:

f’(x*) ≈ '*f =

=

≈ = ∑∫b n

i ii 0a

f(x)·dx V c .f(x )

se denomina error de truncamiento de la fórmula en el intervalo (a,b)

al valor Rf((a,b)) = −∫b

a

f(x)·dx V

• Según esta definición que se acaba de dar, es obvio que se verifica:

= +∫b

fa

f(x)·dx V R ((a,b))

En el análisis del error de truncamiento de las fórmulas de derivación numérica se perseguirá encontrar cotas del valor de este error de integración numérica Rf((a,b)) válidas para cualquier intervalo de integración (a, b). Ejemplo: Siendo {x0 , x1 } un soporte formado por los dos puntos x0 = a y x1 = b, y denotando por h a la longitud del intervalo (a, b), h = b – a, la fórmula del trapecio introducida en el apartado anterior se puede escribir como:

≈ = +∫b

a

hf(x)·dx V ·(f(a) f(b))2

que es una fórmula en la que sus coeficientes son c0 = (h/2) y c1 = (h/2). Si se designa por F(x) a una primitiva de f(x) con lo que:

= −∫b

a

f(x)·dx F(b) F(a)

Una forma de acotar el error de truncamiento de esta fórmula, si se supone que F(x) es al menos de clase C3((a, b)), (es decir que f(x) se supone, al menos, de clase C2((a, b)) ) consiste en considerar el desarrollo de Taylor siguiente:

F(b) = F(a+h) = F(a) + h.F’(a) + + θ2h .F"(a .h)

2 (0,1)θ ∈

de donde:

− = + + + θ2 3h hF(b) F(a) h·F'(a) ·F"(a) .F'''(a .h)

2 6 (0,1)θ ∈

que, como F’(x) = f(x) y F”(x) = f’(x), se puede escribir en la forma:


8

= − = + + + θ∫b 2 3

a

h hf(x)·dx F(b) F(a) h·f(a) ·f '(a) ·f '(a .h)2 6

(0,1)θ ∈

Por otra parte, al verificarse que:

f(b) = f(a+h) = f(a) + h·f’(a) +(h2/2)· f’(a+µ·h) µ ∈ (0,1)

se tiene que:

= + = + + + + µ =2h h hV ·(f(a) f(b)) ·(f(a) f(a) h·f '(a) ·f "(a ·h))

2 2 2

= + + + µ2 3h hh·f(a) ·f '(a) ·f "(a ·h)

2 4 µ ∈ (0,1)

Por tanto:

( )= − = + θ − + µ∫b 3

fa

hR ((a,b)) f(x)·dx V . 4·f "(a .h) 6·f "(a .h)24

θ µ ∈, (0,1)

• Las fórmulas de integración numérica suelen diseñarse de forma que sean exactas para determinados tipos de funciones, es decir para que al aplicarlas a la estimación de las integrales de tales funciones, independientemente del intervalo de integración (a, b) que se considere, se obtenga el valor exacto de la integral siendo nulo el error de truncatura que la fórmula introduce. Más concretamente puede darse la definición siguiente: Definición 2.3.

Se dice que la fórmula de integración numérica:

=

≈ = ∑∫b n

i ii 0a

f(x)·dx V c .f(x )

es exacta de orden k para la familia de funciones { }ϕ ϕ ϕ0 1 k(x), (x),..., (x),.... cuando es nulo el error de truncatura cometido al

aplicar la fórmula para la estimación de la integral de cualquiera de las (k+1) primeras funciones de la familia y en cualquier intervalo de integración (a, b), es decir: ϕ = ∀ ∈

kR ((a,b)) 0 a,b R

• Propiedad 2.1.

Si la fórmula de integración numérica =

≈ = ∑∫b n

i ii 0a

f(x)·dx V c .f(x ) es exacta

de orden k para la familia de funciones { }ϕ ϕ ϕ0 1 k(x), (x),..., (x),.... entonces

es exacta para cualquier combinación lineal de las (k+1) primeras funciones de la familia


9

Demostración: Si la fórmula es exacta de orden k para la familia de funciones { }ϕ ϕ ϕ0 1 k(x), (x),..., (x),.... se podrá escribir que:

=

ϕ = ϕ ∀ ∈∑∫b n

j i j ii 0a

(x)·dx c . (x ) a,b R

Por otra parte, una función cualquiera que sea combinación lineal de las (k+1) primeras funciones de la familia será de la forma:

k

0 0 1 1 k k j jj 0

f(x) (x) (x) ..... (x) (x)=

= α ⋅ ϕ + α ⋅ ϕ + + α ⋅ ϕ = α ⋅ ϕ∑

por lo que su integral sobre cualquier intervalo (a, b) se puede expresar como:

= = =

⎛ ⎞= α ⋅ ϕ = α ⋅ ⋅ ϕ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑∫ ∫

b bk k n

j j j i j ij 0 j 0 i 0a a

f(x)·dx (x)·dx c (x )

= = =

⎛ ⎞= ⋅ α ⋅ ϕ = ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑

n k n

i j j i i ii 0 j 0 i 0

c (x ) c f(x )

y puesto que la aplicación de la fórmula de integración numérica a la función f(x) en cualquier punto x conduce a que:

=

≈ = ∑∫b n

i ii 0a

f(x)·dx V c .f(x )

puede concluirse que: = ∀ ∈fR (x) 0 a,b R

Esto demuestra que la fórmula es exacta para cualquier función f(x) que sea combinación lineal de las (k+1) primeras funciones de la familia de funciones considerada.

c.q.d. Las fórmulas de integración numérica más utilizadas en la práctica son exactas, de algún orden k, para la familia de funciones formada por los monomios, es decir: {1, x, x2, ...,xk, ....}. En este tema nos referiremos en exclusiva a esta familia de funciones y por ello cuando digamos que una fórmula es de orden k se sobreentenderá que “es de orden k para la familia de los monomios”, es decir que permite estimar sin error alguno la integral de cualquier función polinómica de grado menor o igual que k extendida a cualquier intervalo (a, b).


10

Ejemplo:

La fórmula del trapecio: ( )−≈ = +∫

b

a

(b a)f(x)·dx V · f(a) f(b)2

aplicada al monomio

f(x) = 1 proporciona el valor exacto de la integral ya que:

( )−− = = = + = −∫

b

a

(b a)(b a) 1·dx V · 1 1 (b a)2

Asimismo para la función p(x) = x se tiene que:

( )− − −= = = + =∫

b2 2 2 2

a

(b a ) (b a) (b a )x·dx V · b a2 2 2

Pero para la función q(x) = x2, en general, ya no coincidirá el valor de la integral en (a, b) con el valor estimado mediante la fórmula del trapecio ya que:

−

=∫b 3 3

2

a

(b a )x ·dx3

y:

( )−= +2 2(b a)V · b a

2

por lo que, salvo que a = b, ≠ ∫b

2

a

V x ·dx . En consecuencia, como se señaló

anteriormente, la fórmula es de orden 1 permitiendo integrar sin error cualquier polinomio de grado menor o igual que 1.


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3. Fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio. Las fórmulas más utilizadas en la práctica se buscan de forma tal que sean exactas para polinomios de grado menor o igual que n, es decir de orden n. Una manera natural de construir fórmulas exactas de orden n consiste en recordar que el polinomio interpolador de Lagrange, pn(x), sobre un soporte de (n+1) puntos de una función f(x) que sea polinómica de grado menor o igual que n coincide con dicha función2. Por ello es equivalente derivar el polinomio f(x) que derivar su polinomio interpolador pn(x). A todas las fórmulas de derivación que se obtienen derivando la expresión del polinomio interpolador de Lagrange se las denomina fórmulas de derivación de tipo interpolatorio. Más concretamente: Definición 3.1.

Se denomina fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio

(de Lagrange) para aproximar el valor de ∫b

a

f(x)·dx a cualquier fórmula

obtenida integrando en (a, b) la expresión del polinomio interpolador de Lagrange construido sobre un soporte de puntos distintos.

● NOTA: Obsérvese que en la definición anterior se ha escrito entre paréntesis “de Lagrange”. En efecto podría pensarse en integrar también la expresión del polinomio interpolador de Hermite obteniéndose otros tipos de fórmulas de integración de tipo interpolatorio. Puesto que nosotros sólo nos vamos a referir a las fórmulas que se obtienen al integrar la expresión del polinomio interpolador de Lagrange omitiremos en lo sucesivo la coletilla “de Lagrange” y simplemente diremos fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio.

• Una fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio puede inferirse de cualquiera de las expresiones del polinomio interpolador pues recuérdese que el polinomio interpolador de Lagrange de una función sobre un soporte de (n+1) puntos es único. Utilizando la fórmula de Lagrange puede deducirse la expresión de los pesos que intervienen en las fórmula de integración de tipo interpolatorio. En efecto, se verifica la siguiente propiedad:

2 Consúltese, por ejemplo, el tema dedicado a la Interpolación de Lagrange elaborado por A. Hidalgo y C. Conde en los apuntes de esta misma asignatura.


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Propiedad 3.1. La condición necesaria y suficiente para que la fórmula de integración

numérica =

≈ = ∑∫b n

i ii 0a

f(x)·dx V c .f(x ) sea de tipo interpolatorio es que sus

coeficientes satisfagan las siguientes igualdades:

= ∫b

i ia

c L (x)·dx (i = 0, 1, ..., n)

donde se ha denotado por Li(x) a los (n+1) polinomios de base de Lagrange3 sobre el soporte {x0, x1, ..., xn}.

Demostración: a) Demostremos en primer lugar que si la fórmula es de tipo interpolatorio entonces sus coeficientes satisfacen las igualdades dadas en el enunciado. Para ello se tiene que la expresión detallada del polinomio interpolador de Lagrange pn(x) de una función f(x) sobre el soporte de (n+1) puntos {x0, x1, ..., xn} en función de los (n+1) polinomios de base de Lagrange { }n

i i 0L (x)

= es:

n

n i ii 0

f(x) p (x) f(x ) L (x)=

≈ = ⋅∑

de donde, en cualquier intervalo de integración (a, b) puede considerarse la aproximación:

=

⎛ ⎞≈ = ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∫ ∫ ∫

b b bn

n i ii 0a a a

f(x)·dx p (x)·dx L (x)·dx f(x )

Esta fórmula es una fórmula de derivación numérica en la que los coeficientes de la fórmula están dados por la expresión:

= ∫b

i ia

c L (x)·dx

b) Demostremos ahora que si los coeficientes de la fórmula de integración

=

≈ = ∑∫b n

i ii 0a

f(x)·dx V c .f(x ) satisfacen las igualdades = ∫b

i ia

c L (x)·dx (i = 0, .., n),

entonces la fórmula es de tipo interpolatorio. En efecto, considerando que el polinomio interpolador de Lagrange de f(x) en el soporte {x0, ..., xn} se puede

3 Recuérdese que: n n

i j i jj 0 j 0j i j i

L (x) (x x ) (x x )= =≠ ≠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∏ ∏ (i = 0, 1, ..., n)


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expresar como: pn(x) = =∑

n

i ii 0

f(x )·L (x) se tiene que si los coeficientes verifican las

igualdades contempladas en el enunciado:

= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

b b bn n n

i i i i i ii 0 i 0 i 0a a a

f(x)·dx V c ·f(x ) L (x)·dx ·f(x ) f(x )·L (x)·dx

=

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∫ ∫

b bn

i i ni 0a a

f(x )·L (x) ·dx p (x)·dx

lo que demuestra que el valor aproximado se puede obtener integrando el polinomio interpolador de f(x) y que por tanto la fórmula es de tipo interpolatorio.

c.q.d. La propiedad anterior, que caracteriza las fórmulas de tipo interpolatorio, nos permite obtener otras igualdades que deben satisfacer los coeficientes de las fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio. Por ejemplo se tiene que: Propiedad 3.2.

En toda fórmula de derivación numérica de tipo interpolatorio

=

≈ = ∑∫b n

i ii 0a

f(x)·dx V c .f(x ) se verifica que: n

ii 0

c (b a)=

= −∑

Demostración: Puesto que según las propiedades de los polinomios de base de Lagrange se

verifica que: n

ii 0

L (x) 1=

=∑ x∀ , es obvio que en las fórmulas de tipo

interpolatorio:

= = =

⎛ ⎞= = = = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

b b bn n n

i i ii 0 i 0 i 0a a a

c L (x)·dx L (x) ·dx 1·dx b a

c.q.d.

Ocupémonos ahora de analizar el orden de exactitud de las fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio. Denotando por (x)ε a la función

error de interpolación cometido al aproximar f(x) por su polinomio interpolador de Lagrange pn(x) sobre el soporte de (n+1) puntos considerado, se verifica que:

f(x) = pn(x) + (x)ε ∀ ∈x (a,b)


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por lo que:

( )= + ε = + ε∫ ∫ ∫ ∫b b b b

n na a a a

f(x)·dx p (x) (x) ·dx p (x)·dx (x)·dx

lo que nos conduce a poder expresar el error de la fórmula de integración numérica mediante:

= ε∫b

fa

R ((a,b)) (x)·dx

En el caso particular en que f(x) sea un polinomio de grado menor o igual que n se verificará que f(x) ≡ pn(x) y por tanto (x)ε = 0 x∀ , resultando que la

fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio construida sobre un soporte de (n+1) puntos es exacta para cualquier polinomio de grado menor o igual que n. En resumen, al menos, es exacta de orden n. Este hecho nos permite incluir a las fórmulas de integración numéricas de tipo interpolatorio construidas sobre un soporte de (n+1) puntos en el conjunto de fórmulas de integración exactas de orden n. Pero aún puede precisarse más puesto que además toda fórmula exacta de orden n construida sobre un soporte de (n+1) puntos debe ser necesariamente de tipo interpolatorio. Este hecho se demuestra en el siguiente teorema. Teorema 3.1.

La condición necesaria y suficiente para que una fórmula de integración numérica construida sobre un soporte de (n+1) puntos,

=

≈ = ∑∫b n

i ii 0a

f(x)·dx V c .f(x ) , sea exacta de orden n es que sea de tipo

interpolatorio. Demostración:

a) Demostremos en primer lugar que la condición recogida en el enunciado del teorema es suficiente, es decir que si la fórmula construida sobre el soporte de (n+1) puntos es de tipo interpolatorio entonces es exacta de orden n. Para ello basta con recapitular los razonamientos anteriormente realizados. En efecto, si f(x) es una función polinómica, de grado menor o igual que n, su polinomio interpolador de Lagrange sobre el soporte de (n+1) puntos coincide con la función y por tanto:

f(x) = pn(x) x∀


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por lo que =∫ ∫b b

a a

f(x)·dx p(x)·dx ∀ ∈a,b R . Ello demuestra que la fórmula

es exacta sea cual sea el polinomio f(x) de grado menor o igual que n al que se aplique. En particular lo será cuando se aplique los (n+1) primeros monomios {1, x, ..., xn} y por ello será exacta de grado n.

b) Demostremos ahora que la condición anterior también es necesaria, es decir que si la fórmula es exacta de orden n entonces también es de tipo interpolatorio. Para ello partimos del hecho de que, al ser la fórmula exacta de orden n, para cualquier función polinómica de grado menor o igual que n, p(x), se debe verificar que:

=

= ∑∫b n

i ii 0a

p(x) c .p(x )

Por otra parte, puesto que hemos considerado que p(x) es un polinomio de grado menor o igual que n, se verificará que el polinomio interpolador de p(x) en el soporte de (n+1) puntos coincidirá con p(x) y por tanto p(x) se puede expresar como:

n

i ii 0

p(x) p(x ).L (x)=

= ∑

de donde su integral en (a, b) estará dada por:

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∫ ∫

b bn

i ii 0a a

p(x)·dx L (x)·dx ·p(x )

Identificando las dos expresiones de la integral de p(x) en (a, b) se tiene que:

= =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∫

bn n

i i i ii 0 i 0 a

c ·p(x ) L (x)·dx ·p(x )

Esta igualdad debe ser satisfecha para cualquier polinomio p(x) que sea de grado menor o igual que n. Por tanto deberá verificarse también en el caso de que consideremos como p(x) cualquiera de los (n+1) polinomios de base de Lagrange construidos sobre el soporte { }n

i i 0x

=. Recordemos

además que los polinomios de base de Lagrange verificaban:

i j

0 si i jL (x )

1 si i=j≠⎧

= ⎨⎩


16

Por tanto, particularizando la igualdad antes obtenida para L0(x) se tiene que:

= =

⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∫ ∫

b bn n

i 0 i i 0 i 0 0i 0 i 0 a a

c .L (x ) L (x)·dx .L (x ) c L (x)·dx

Al hacerlo para el polinomio L1(x) resultará que:

= =

⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∫ ∫

b bn n

i 1 i i 1 i 1 1i 0 i 0 a a

c .L (x ) L (x)·dx .L (x ) c L (x)·dx

Y en general al particularizar para cualquier polinomio de base Lj(x) obtendremos que:

= =

⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∫ ∫

b bn n

i j i i j i j ji 0 i 0 a a

c .L (x ) L (x)·dx .L (x ) c L (x)·dx

c.q.d. Ejemplos: 1º) Si se considera un soporte formado por los tres puntos {x0 = a x1 = (a+b)/2 , x2= b } el polinomio interpolador de una función f(x) en dicho soporte será (utilizando la fórmula de Newton):

p2(x) = f(a)+ f[a ,(a+b)/2]·(x-a)+ f[a ,(a+b)/2, b]·(x-a)·(x-(a+b)/2) La fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio sobre el soporte considerado estará dada por:

− −≈ = = − + +

−∫ ∫b b 2

12

a a

f(x ) f(a) (b a)f(x)·dx V p (x)·dx f(a)·(b a) 2· ·(b a) 2

− ++ − −

− ∫b

112

a

f(b) 2·f(x ) f(a)2· · (x a)·(x x )·dx(b a)

Esta última integral puede calcularse fácilmente por partes:

⎛ ⎤− −− − = − − =⎜ ⎥

⎝ ⎦∫ ∫

bb b2 2

1 1a aa

(x a) (x a)(x a)·(x x )·dx ·(x x ) ·dx2 2

− − −− − =

2 3 3

1(b a) (b a) (b a)·(b x )

2 6 6

Con ello, finalmente resulta:

⎛ ⎞− +⎛ ⎞≈ = = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫b b

2a a

(b a) a bf(x)·dx V p (x)·dx · f(a) 4·f f(b)6 2


17

Esta fórmula, conocida con el nombre de fórmula de Simpson, equivale a integrar en el intervalo (a, b) la parábola que pasa por los puntos (a, f(a)), ((a+b)/2, f((a+b)/2) ) y (b, f(b)). La figura siguiente recoge, junto al grafo de la función f(x) el grafo del polinomio de segundo grado, p2(x) que interpola a f(x).

Interpretación gráfica de la fórmula de Simpson

Obviamente esta fórmula permitirá integrar sin error ninguno funciones polinómicas de grado menor o igual que 2 (ya que el polinomio interpolador de Lagrange de cualquier función polinómica de grado menor o igual que 2 es la propia función). Luego, al menos es una fórmula exacta de orden 2. Como veremos más adelante la fórmula de Simpson es de un orden de exactitud mayor que el que se acaba de señalar (es decir, también permitirá integrar sin error ninguno funciones polinómicas de grado 3).

a b (a+b)/2

f(x) p2(x)


18

4. Relación entre el orden de exactitud y la posición de los puntos del soporte en las fórmulas de tipo interpolatorio Según se ha demostrado en el apartado anterior toda fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio construida sobre un soporte de (n+1) puntos es, al menos, exacta de orden n. Pero si los puntos del soporte no se eligen de forma arbitraria y se ubican en posiciones predeterminadas es posible aumentar el orden de exactitud de la fórmula de integración numérica. En este sentido, el teorema siguiente permite relacionar la posición de los puntos del soporte con el orden de exactitud de las fórmulas de tipo interpolatorio. Teorema 4.1 Una condición necesaria y suficiente para que la fórmula de integración

numérica de tipo interpolatorio:=

≈ = ∑∫b n

i ii 0a

f(x)·dx V c ·f(x ) sea exacta de orden

(n+q) es que se verifiquen las q igualdades:

=

− =∏∫b n

kj

j 0a

x · (x x )·dx 0 (k = 0, .., q-1)

Demostración: a) Demostremos que la condición dada es necesaria, es decir que si la fórmula es exacta de orden (n+q) entonces se verifican las q igualdades dadas en el enunciado. En primer lugar observemos que al ser la fórmula exacta de orden (n+q) será exacta para todo polinomio de grado menor o igual que (n+q) y, en particular para los de grado menor o igual que n. Ello, en virtud del teorema XX, implica que la fórmula es de tipo interpolatorio. Por otra parte es obvio que para cualquier valor entero no negativo del índice k

inferior o igual a (q-1), las funciones =

−∏n

kj

j 0

x · (x x ) son funciones polinómicas de

grado menor o igual a (n+q). Por tanto, al haber supuesto que la fórmula es de orden (n+q) se podrán calcular sus integrales sin error usando la fórmula considerada. Es decir:

== =

∀ ∈ ≤ ≤ − − = − =∑∏ ∏∫b n nn

k kj i i i j

i 0j 0 j 0a

k / 0 k (q 1) : x · (x x )·dx c ·x · (x x ) 0

lo cual demuestra que las q condiciones se verifican.


19

b) Demostremos ahora que las q condiciones dadas son también suficientes, es decir que si estas condiciones se verifican entonces la fórmula de tipo interpolatorio es de orden (n+q). Para ello observemos que al ser una fórmula de tipo interpolatorio y estar construida sobre un soporte de (n+1) puntos será exacta para todo polinomio de grado menor o igual que n. En particular lo será para los (n+1) polinomios de base de Lagrange asociados al soporte {x0, ..., xn} que denotaremos por L0(x), L1(x), ..., Ln(x). Estos polinomios, al ser una base del espacio de polinomios de grado menor o igual que n, forman un conjunto de polinomios linealmente independientes. Recordemos además que en las fórmulas de tipo interpolatorio se verifica que sus coeficientes ci responden a la expresión:

= =∫b

i ia

c L (x)·dx (i 0,...,n)

Por otra parte denotemos por ϕk(x) (k = 0, .., q-1) a los q polinomios dados por:

=

ϕ = −∏n

kk j

j 0

(x) x · (x x )

Es evidente que ϕk (x) es un polinomio de grado (n+k+1), por lo que estos q

polinomios son linealmente independientes entre sí y además también son linealmente independientes de { L0(x), L1(x), ..., Ln(x) }. En resumen el conjunto { L0(x), L1(x), ..., Ln(x) , ϕ0(x), ..., ϕq-1(x)} es un conjunto de (n+q+1) polinomios linealmente independientes de grado menor o igual que (n+q). Por tanto es una base del espacio Pn+q formado por todos los polinomios de grado menor o igual a (n+q). Ello implica que cualquier polinomio p(x) de Pn+q puede expresarse de manera única en la forma:

−

= =

= α + β ϕ∑ ∑q 1n

i i k ki 0 k 0

p(x) ·L (x) · (x)

por lo que: −

+= =

∀ ∈ = α + β ϕ∑ ∑∫ ∫ ∫b b bq 1n

n q i i k ki 0 k 0a a a

p P : p(x)·dx · L (x)·dx · (x)·dx

En esta expresión las integrales ϕ∫b

ka

(x)·dx son nulas por la hipótesis de la que

hemos partido. Y como = =∫b

i ia

c L (x)·dx (i 0,...,n) resulta que:


20

+=

∀ ∈ = α∑∫b n

n q i ii 0a

p P : p(x)·dx c ·

Por último observemos que si −

= =

= α + β ϕ∑ ∑q 1n

i i k ki 0 k 0

p(x) ·L (x) · (x) se verifica para

cualquier punto del soporte que: −

= =

= α + β ϕ = α =∑ ∑q 1n

j i i j k k j ji 0 k 0

p(x ) ·L (x ) · (x ) ( j 0,...,n)

lo que nos permite escribir que:

+=

∀ ∈ = ∑∫b n

n q i ii 0a

p P : p(x)·dx c ·p(x )

y por tanto concluir que la fórmula es exacta de orden (n+q). c.q.d.

Ejemplos: 1º. Si se utiliza un soporte de un único punto x0 la fórmula de tipo interpolatorio correspondiente responde a la expresión:

b

0a

f(x)·dx f(x )·(b a)≈ −∫

Esta fórmula, sea cual sea la elección que se haga de x0, siempre será, al menos, de orden de exactitud 0 (es decir permite evaluar sin error las integrales de los polinomios de grado 0 –las funciones que toman el mismo valor en todas las abscisas de la recta real-). Si se desea que la fórmula sea de orden de exactitud 1 el punto del soporte no podrá ser elegido arbitrariamente y deberá ubicarse en una abscisa tal que:

( ) ( ) ( )b b2 2 2

0 0 0 0aa

1 1(x x )·dx 0 · x x 0 · b x a x 02 2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = ⇔ − = ⇔ − − − = ⇔⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫

0 0(b x ) (a x )⇔ − = ± −

De las dos posibilidades que nos ofrece esta igualdad la que tiene signo “+” nos conduciría a que: b - x0 = a – x0 ⇔ b = a, lo que nos indica que la fórmula sería de orden 1 tomando arbitrariamente x0 si se aplica sobre intervalos de integración que se reduzcan a un único punto (cosa que no tiene interés práctico alguno pues en ese caso el valor de la integral siempre será nulo). Sin embargo la opción (b – x0) = -(a – x0) nos resulta de mayor utilidad pues en ese caso x0 = (a+b)/2. En otros términos la fórmula del punto medio es de orden 1 en tanto que las demás elecciones de la abscisa x0 conducen a fórmulas que sólo son de orden 0.


21

¿Podría construirse alguna fórmula de integración numérica con un único punto de soporte que fuese de orden 2?. Comprobemos que no es posible. En efecto, si tal fórmula existiese debería ser de tipo interpolatorio (pues al ser de orden 2 debería permitie integrar sin error cualquier polinomio de grado menor o igual que 2, y en concreto los polinomios de grado 0 por lo que debería ser de tipo interpolatorio). Y además, si tal fórmula existiera debería verificar las igualdades:

b

0a

(x x )·dx 0− =∫ y b

0a

x·(x x )·dx 0− =∫

La primera de estas igualdades, según hemos visto anteriormente, nos conduciría a que x0 = (a+b)/2. Pero para esta elección de x0 se tendría que:

b3

a

a b 1x·(x )·dx ·(b a)2 12+

− = −∫

que sólo puede anularse en el caso particular en que a = b. ●

2º. El polinomio interpolador de Lagrange de una función f(x) construido sobre un soporte de dos puntos {x0, x1} puede expresarse usando la fórmula de Newton como:

1 01 0 0

1 0

f(x ) f(x )p (x) f(x ) ·(x x )x x

−= + −

−

La fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio correspondiente es entonces:

b b

1a a

f(x)·dx p (x)·dx≈ =∫ ∫

2 2 2 20 0 0 0

0 11 0 1 0

(b x ) (a x ) (b x ) (a x )(b a) f(x ) ·f(x )2·(x x ) 2·(x x )

⎛ ⎞− − − − − −= − − +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Con tal de que sean diferentes pueden elegirse arbitrariamente las abscisas {x0, x1} siendo la correspondiente fórmula de integración numérica de orden de exactitud 1 (es decir que permiten calcular sin error las integrales de todo polinomio de grado menor o igual que 1). Es muy frecuente que, por comodidad, se elija x0 = a y x1 = b (obteniéndose así la denominada fórmula del trapecio que ya fue introducida en ejemplos del primer apartado). Pero esta elección, desde el punto de vista del orden de exactitud de la fórmula, puede no ser la más adecuada.


22

En efecto, si se desea que con 2 puntos de soporte la fórmula correspondiente sea de orden 2 ya no podremos elegir arbitrariamente la posición de los dos puntos. Tan sólo se podrá elegir (casi arbitrariamente) la posición de uno de ellos estando la posición del otro determinada a partir de entonces. En efecto, para que la fórmula fuese de orden 2 los puntos del soporte deben satisfacer:

b

0 1a

(x x )·(x x )·dx 0− − =∫

de donde integrando por partes se tiene que: 2 2 3 3

0 1 0 1 0 01 1(b x ) ·(b x ) (a x ) ·(a x ) · (b x ) (a x ) 02 6

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − − − − − − − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Al disponerse de una ecuación y dos incógnitas, puede elegirse una de ellas quedando entonces la otra supeditada a que se verifique la ecuación. Por ejemplo, considerando que a ≠ b, si se toma x0 = a la abscisa x1 debería tomarse según:

[ ]2

2 31 1

1 1 (b a)(b a) ·(b x ) · (b a) 0 · 3·(b x ) (b a) 02 6 6

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − − = ⇔ − − − = ⇔⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1a 2·bx

3+

⇔ =

Muchas otras elecciones de la posición de x0 serían posibles. Y para cada una de ellas se obtendría una posición en la que ubicar x1. Pero no todas las elecciones de la posición de un punto estarían permitidas pues alguna de ellas puede hacer que la única solución de la ecuación sea b = a (lo cual no tiene interés práctico alguno). Proponemos al lector que verifique que en este caso eso sucede únicamente si se toma uno de los puntos en la posición (a+b)/2.

En resumen, si se sacrifica la libertad de elegir arbitrariamente la posición de los dos puntos del soporte pueden construirse fórmulas de integración numérica de orden de exactitud 2. ¿Sería posible incrementar una unidad el orden de la fórmula?. Veremos más adelante que sí es posible encontrar fórmulas de integración numérica construidas sobre un soporte de 2 puntos que sean exactas de orden 3 (la llamada fórmula de integración gaussiana con soporte de 2 puntos).

●


23

3º. La fórmula de Simpson hallada en uno de los ejemplos anteriores es: ⎛ ⎞− +⎛ ⎞≈ + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠∫b

a

(b a) a bf(x)·dx · f(a) 4·f f(b)6 2

Al estar construida sobre un soporte de 3 puntos puede afirmarse que, al menos es de orden de exactitud 2. Pero ¿será de mayor orden?. Para demostrar que sí verifiquemos que:

=

+− = − − − =∏∫ ∫

b b2

jj 0a a

a b(x x )·dx (x a)·(x )·(x b)·dx2

0

El cálculo de la integral anterior puede realizarse de forma cómoda considerando el cambio de variable que transforma el intervalo [-1 , 1] en el intervalo de integración [a, b], es decir el cambio:

a b b ax ·2 2+ −

= + ξ

Con este cambio se tiene que

(x – a) = b a·( 1)2−

ξ + , a b b ax ·2 2+ −⎛ ⎞− = ξ⎜ ⎟

⎝ ⎠ y (x – b) = b a·( 1)

2−

ξ −

siendo además: b adx ·d

2−

= ξ

Por tanto: 4b b 12

jj 0a a 1

a b b a(x x )·dx (x a)·(x )·(x b)·dx · ( 1)· ·( 1)·d2 2= −

+ −⎛ ⎞− = − − − = ξ + ξ ξ − ξ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∏∫ ∫ ∫

4 411 13 4 2

1 11

b a b a 1 1· ( )·d · · · 02 2 4 2− −

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ ⎤= ξ − ξ ξ = ξ − ξ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎦ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

Ello nos indica que la fórmula es de orden de exactitud 3. Verifiquemos que no es de orden 4. En efecto, con el mismo cambio de variable se tiene ahora que:

4b 12

jj 0a 1

b a a b b ax· (x x )·dx · ( · )·( 1)· ·( 1)·d2 2 2= −

− + −⎛ ⎞− = + ξ ξ + ξ ξ − ξ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∏∫ ∫

4 51 1

1 1

b a a b b a· · ( 1)· ·( 1)·d · ·( 1)· ·( 1)·d2 2 2− −

− + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ξ + ξ ξ − ξ + ξ ξ + ξ ξ − ξ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

5 5 1 1 514 2 5 3

1 11

b a b a 1 1 4 b a0 · ( )·d · · · · 02 2 5 3 15 2− −−

⎛ ⎞− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ ⎤ ⎛ ⎞= + ξ − ξ ξ = ξ − ξ = ≠⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫

lo que demuestra que no es una fórmula de orden 4.

•


24

El teorema 4.1 nos muestra la forma de proceder en la elección de los puntos del soporte de una fórmula de tipo interpolatorio de manera que su orden de exactitud sea (n+q). En efecto basta para ello con que se verifiquen las

ecuaciones: b n

ki

i 0a

x · (x x )·dx 0=

− =∏∫ (k = 0, ..., q-1). Ello podría hacernos pensar

en la posibilidad de elegir q arbitrariamente elevado construyendo así fórmulas de integración con n puntos de soporte que sean del orden de exactitud que se desee. No obstante debe observarse que los puntos del soporte son (n+1) y

que cada una de las ecuaciones (no lineales) b n

ki

i 0a

x · (x x )·dx 0=

− =∏∫ puede servir

para fijar la posición (o posiciones) de uno de ellos con lo cual no se podrían imponer más de (n+1) condiciones. Este razonamiento parece indicar que en la práctica el entero q que interviene en el teorema anterior sólo puede tomar valores comprendidos entre 0 y n. En otros términos, parece que no puede haber fórmulas de integración construidas sobre un soporte de n puntos que presenten un orden de exactitud mayor que (2·n+1). Este hecho se demuestra de forma más rigurosa en el siguiente teorema: Teorema 4.2. No existe ninguna fórmula de integración numérica construida sobre un soporte de (n+1) puntos distintos que tenga un orden de exactitud mayor a (2·n+1). Demostración: Para demostrar este teorema bastará con encontrar un polinomio de grado (2·n+2) que no pueda ser integrado de manera exacta por ninguna fórmula de

integración numérica de la forma b n

i ii 0a

f(x)·dx c ·f(x )=

≈ ∑∫ .

Y en efecto así sucede para el polinomio:

p2n+2(x) = 2n

ii 0

(x x )=

⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠∏ (x-x0)2·.....·(x-xn)2

Comprobémoslo utilizando la técnica de reducción al absurdo. En primer lugar observemos que el polinomio p2n+2(x) no es el polinomio idénticamente nulo y que, al ser el cuadrado de un polinomio de grado 2·n+1, su integral en cualquier domino (a, b) es siempre estrictamente positiva. Supongamos entonces que la fórmula de integración fuese de orden (2·n+2) y consideremos el polinomio:

rn+1(x) = n

n n 1i 0 n 0 1 n

i 0

(x x ) (x x )·....·(x x ) ·x ... ·x x +

=

− = − − = α + α + + α +∏


25

Si la fórmula fuese de orden (2·n+2) se debería verificar, el teorema 3.2 para el valor q = n+2, es decir que se deberían satisfacer las relaciones:

b nk

ii 0a

x · (x x )·dx 0=

− =∏∫ (k = 0, ..., n+1)

Pero ello implicaría que entonces: b b bn n

2n 2 n 1 i 0 ii 0 i 0a a a

p (x)·dx r (x)· (x x )·dx · (x x )·dx ......+ += =

= − = α − + +∏ ∏∫ ∫ ∫

b bn nn n 1

n i ii 0 i 0a a

· x · (x x )·dx x · (x x )·dx 0+

= =

+α − + − =∏ ∏∫ ∫

lo cual es falso pues como se razonó anteriormente la integral de p2n+2(x) siempre es estrictamente positiva. Por tanto es absurdo suponer que la fórmula considerada es de orden (2·n+2).

c.q.d. Ejercicio propuesto: a) Considérese el polinomio de grado 7º p7(x) = x7 – 2·x y el soporte de 3 puntos {x0 = 0, x1 = z, x2 = 1} donde z es alguna abscisa del intervalo (0, 1). ¿Existe alguna elección posible del valor de z para el que la fórmula de tipo

interpolatorio b

0 0 1 1 2 2a

f(x)·dx c ·f(x ) c ·f(x ) c ·f(x )≈ + +∫ permita calcular de manera

exacta el valor 1

70

p (x)·dx∫ ?.

b) Demuestra que para cualquier solución de la ecuación 4·z6 – 9·z + 5 = 0 la fórmula de tipo interpolatorio {0, z, 1} permite calcular el valor exacto de la

integral 1

70

p (x)·dx∫ .

c) Una solución de la ecuación del apartado b) es z = 0.57095177..... Obtén la fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio correspondiente y verifica

que efectivamente con ella se puede calcular sin error el valor de 1

70

p (x)·dx∫ .

d) La fórmula obtenida en el apartado anterior ¿de que órden de exactitud es?. Al permitir calcular la integral en (0, 1) del polinomio p7(x) ¿será de orden 7?. ¿Por qué?.


26

5. Análisis del error en las fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio. En el apartado anterior se analizó el orden de exactitud de las fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio. Conocer que el orden de exactitud de una fórmula es m nos indica que cualquier polinomio de grado menor o igual que m puede ser integrado con ella sin cometer error alguno. Pero, en principio, no nos dice nada sobre el error que se comete al aplicarla al cálculo de la integral de una función cuya expresión no sea polinómica de grado menor o igual que m. Es por ello necesario que analicemos más detalladamente a qué expresiones responde el error de integración numérica cuando las fórmulas se aplican a una función f(x) genérica. El proceso seguido para obtener las fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio nos conduce de forma natural a que el error de cada fórmula de integración así determinada es igual a la integral de la función de error

interpolación: Rf((a, b))= ε∫b

a

(x)·dx . Recordando las expresiones del error de

interpolación de Lagrange, para una fórmula de integración de tipo

interpolatorio de la forma =

≈ ∑∫b n

i ii 0a

f(x)·dx c ·f(x ) , la igualdad anterior puede

rescribirse en las formas: += ξ − −

+ ∫b

(n 1f x 0 n

a

1R ((a,b)) · f ( )·(x x )·...·(x x )·dx(n 1)!

o

[ ]= − −∫b

f 0 1 n 0 na

R ((a,b)) f x ,x ,...,x ,x ·(x x )·...·(x x )·dx

Las expresiones anteriores, teniendo un interés teórico, son de difícil aplicación práctica (habitualmente no se conoce la función que a cada abscisa x le hace corresponder el punto ξx, o no se dispone de una expresión sencilla para la diferencia dividida de la segunda fórmula). Es por ello que las expresiones anteriores son utilizadas para obtener cotas del error. Así, si se supone que f(x) es una función de clase Cn+1((a, b)) y se denota por M a una cota superior del valor absoluto de su derivada (n+1)-ésima en el intervalo (a, b), de la primera de las expresiones anteriores se obtiene que:

b n

f ii 0a

R ((a,b)) K· (x x )·dx=

≤ −∏∫

donde K = M / (n+1)!.


27

La integración de las expresiones del error de interpolación que utilizan diferencias divididas nos permitiría obtener fórmulas del error para diferentes fórmulas de integración numérica4. Existe otra vía, basada en el uso de desarrollos en serie de Taylor, que permite obtener las expresiones del error de integración numérica. Es por eso que lo que resta de este apartado lo dedicaremos a determinar una expresión de fácil aplicación advirtiendo de antemano al lector que más que la fórmula que finalmente determinemos, en la práctica es el método que vamos a seguir el que tiene interés práctico. NOTA: Antes de centrarnos en este objetivo recordemos que si f(x) es una función continua en un intervalo (a, b) y con sus (m+1) primeras derivadas continuas en (a, b), siendo x y z puntos de (a, b), puede expresarse el valor de la función en x mediante la fórmula de Taylor:

f(x) = pm(x) + rm+1(x) donde pm(x) es el polinomio de Taylor de grado m (para la función f(x) y el punto z) dado por:

2 m km(m (k

mk 0

(x z) (x z) (x z)p (x) f(z) (x z)·f '(z) ·f "(z) .... ·f (z) ·f (z)2! m! k!=

− − −= + − + + + = ∑

y rm+1(x) es el denominado resto de Taylor de orden (m+1). Si f fuese infinitamente derivable el resto estaría dado por:

k(k

m 1k m 1

(x z)r (x) ·f (z)k!

∞

+= +

−= ∑

En lugar de utilizar esta expresión del resto de Taylor, que contempla una suma de infinitos términos, es más útil buscar expresiones equivalentes del resto. En este sentido recordemos que si la función es de clase Cm+1(a, b) existe algún punto ξ en (a, b) con ayuda del cual se puede obtener la expresión en forma diferencial del resto de Taylor, dada por:

m 1(m 1

m 1(x z)r (x) ·f ( )(m 1)!

++

+−

= ξ+

4 Puede consultarse para mayor detalle, por ejemplo, F. Michavila y C. Conde (1987) “Métodos de Aproximación” Ed. Depto. De Matemática Aplicada y Métodos Informáticos – ETSI Minas – Univ. Politécnica de Madrid.


28

Recordemos asimismo que existe una tercera forma de expresar el resto, denominada expresión integral del resto de Taylor, y que es:

x(m 1 m

m 1z

1r (x) · f (t)·(t z) ·dtm!

++ = −∫

Dejamos como ejercicio propuesto al lector justificar la equivalencia de estas tres expresiones del resto de Taylor. Nosotros utilizaremos cualquiera de ellas, según la utilidad que en cada momento tenga una u otra.

• Consideremos una fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio b n

i ii 0a

f(x)·dx V c ·f(x )=

≈ = ∑∫ construida sobre un soporte de (n+1) puntos distintos

{x0 < x1 < ....< xn} que sea de orden de exactitud m > n. Supondremos en todo cuanto sigue que dicha fórmula se aplica al cálculo aproximado del valor de la integral en (a, b) de una función f(x) suficientemente regular en (α, β)5, donde α = Mín(x0 , a) y β = Máx(xn , b). Asimismo denotaremos por F(x) a una función que sea primitiva de f(x), es decir tal que: f(x) = F’(x) (y más generalmente que f(k(x) = F(k+1(x) (k = 0, ..., m) ). Con esta notación el valor exacto de la integral es:

b

a

f(x)·dx F(b) F(a)= −∫

Si se denota por h a la longitud del intervalo de integración, bajo las hipótesis de regularidad realizadas anteriormente:

b 2

a

hf(x)·dx F(b) F(a) F(a h) F(a) h·F'(a) ·F"(a) .....2

= − = + − = + + +∫

m 1 m 2(m 1 (m 2h h·F (a) ·F (a) ....

(m 1)! (m 2)!

+ ++ ++ + +

+ + =

2 m 1 k 1

(m (k

k m 1

h h hh·f(a) ·f '(a) ..... ·f (a) ·f (a)2 (m 1)! (k 1)!

+ +∞

= +

= + + + ++ +∑ ( I )

5 Más concretamente supondremos que la función f(x) posee tantas derivadas continuas en (α, β) como sean necesarias en los desarrollos que de ella se realicen. Posteriormente nos ocuparemos del caso en el que esto no suceda.


29

La idea que resume el análisis del error que se va a realizar consiste en comparar el valor exacto dado por ( I ) con el que nos proporciona la fórmula de integración considerada. Para ello deberán desarrollarse en serie de Taylor, en torno al punto “a” todos los valores f(xi) que en dicha fórmula intervienen. De forma más concreta, denotemos por { }0 1 n, ,...,θ θ θ a los n números reales dados

por: i

ix a

h−

= θ (i = 0, ..., n)

Es evidente que entonces xi = a + θi·h, lo cual, utilizando la fórmula de los desarrollos en serie de Taylor, nos permite rescribir la fórmula de integración numérica de la forma:

b n n

i i i ii 0 i 0a

f(x)·dx V c ·f(x ) c ·f(a ·h)= =

≈ = = + θ =∑ ∑∫

2 2 m m k kn

(m (ki i ii i

i 0 k m 1

·h ·h ·hc · f(a) ·h·f '(a) ·f "(a) ... ·f (a) ·f (a)2 m! k!

∞

= = +

⎛ ⎞⎡ ⎤θ θ θ= + θ + + + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠

∑ ∑

k k k km n n

(k (ki ii i

k 0 i 0 k m 1 i 0

·h ·hc · ·f (a) c · ·f (a)k! k!

∞

= = = + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞θ θ= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ (II)

Los coeficientes de los primeros (m+1) sumandos del desarrollo anterior pueden ser expresados de manera que se facilite la comparación con el valor exacto a través de la siguiente propiedad: Propiedad 5.1.

Si la fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio =

≈ ∑∫b n

i ii 0a

f(x)·dx c ·f(x )

es de orden m, con la notación utilizada anteriormente, se verifica que: k k k 1ni

ii 0

·h hc · (k 0,...,m)k! (k 1)!

+

=

θ= =

+∑

Demostración: Por ser la fórmula de orden m podrá calcularse de forma exacta con ella el valor de la integral en (a, b) de cualquier función polinómica de grado menor o igual que k. En concreto si, para cualquier valor entero del índice k que sea menor o igual que m, se denota por pk(x) al polinomio de grado k dado por la expresión: pk(x) = (x – a)k / k!, se tendrá que:


30

b b kk ni

k ii 0a a

(x a)(x a)p (x)·dx ·dx c ·k! k!=

−−= = ∑∫ ∫ k / 0 k m∀ ∈ ≤ ≤

Por otra parte, con la notación utilizada anteriormente, θi·h = (xi – a) por lo que k k ki i·h (x a)k! k!

θ −= . Ello nos muestra que:

b b k kk ni

k ii 0a a

·h(x a)p (x)·dx ·dx c ·k! k!=

θ−= = ∑∫ ∫ k / 0 k m∀ ∈ ≤ ≤

Y dado que el valor exacto de la integral de pk(x) es: bb b k k 1 k 1 k 1

ka a a

(x a) 1 (x a) (b a) hp (x)·dx ·dx ·k! k! k 1 (k 1)! (k 1)!

+ + +⎡ ⎤− − −= = = =⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

∫ ∫

la identificación de ambas expresiones que reflejan el valor exacto de la integral nos conduce a que:

k / 0 k m∀ ∈ ≤ ≤ : k k k 1ni

ii 0

·h hc ·k! (k 1)!

+

=

θ=

+∑

c.q.d. Esta propiedad junto con los desarrollos realizados anteriormente nos permite obtener una expresión del error de integración numérica tal y como se hace en el siguiente teorema: Teorema 5.1. Siendo:

• b n

i ii 0a


≈ = ∑∫ una fórmula de integración numérica construida

sobre un soporte de (n+1) puntos {x0 < x1 < ...< xn} y con un orden de exactitud m > n,

• (α,β) un intervalo de la recta real tal que α = Mín(x0 ,a) y β = Máx(xn ,b) , • f(x) una función de clase C∞(α, β) , • h el valor dado por h = (b-a) • { }0 n,...,θ θ un conjunto de (n+1) números enteros tales que

i ix a ·h (i 0,...,n)= + θ =

se verifica que el error de integración numérica de la fórmula aplicada a la

evaluación de b

a

f(x)·dx∫ está dado por:

Rf((a, b)) = b k n

k (ki i

k m 1 i 0a

h hf(x)·dx V · c · ·f (a)k! k 1

∞

= + =

⎛ ⎞− = − θ⎜ ⎟+⎝ ⎠

∑ ∑∫


31

Demostración: La propiedad 5.1 permite expresar el valor aproximado de la integral de f(x) dado por la expresión (II) como:

b k 1 k km n(k (ki

ik 0 k m 1 i 0a

h ·hf(x)·dx V ·f (a) c · ·f (a)(k 1)! k!

+ ∞

= = + =

⎛ ⎞θ≈ = + ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑∫ ( III )

Restando del valor exacto de la integral, dado por ( I ), el valor aproximado dado por ( III ) se obtiene:

Rf((a, b))= b k 1 k kn

(k (kii

k m 1 k m 1 i 0a

h ·hf(x)·dx V ·f (a) c · ·f (a)(k 1)! k!

+∞ ∞

= + = + =

⎛ ⎞θ− = − =⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑∫

k n

k (ki i

k m 1 i 0

h h· c · ·f (a)k! (k 1)

∞

= + =

⎛ ⎞= − θ⎜ ⎟+⎝ ⎠

∑ ∑

c.q.d. La estimación del error que se acaba de obtener queda en forma de un sumatorio de infinitos términos. De forma análoga a lo que sucedía con los restos de los desarrollos de Cauchy, puede demostrarse6 que siendo f(x) una función de clase Cm+1((α, β)) la expresión del error anterior puede reducirse al primero de los sumandos que en ella intervienen si se sustituye el valor de la derivada en “a” por el valor de la misma derivada en un punto concreto del intervalo (α, β). En otros términos, en las condiciones del teorema precedente, existe algún punto ( )a,bξ ∈ tal que:

m 1 nm 1 (m 1

f i ii 0

h hR ((a,b)) · c · ·f ( )m 1! (m 2)

++ +

=

⎛ ⎞= − θ ξ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

∑

Ejemplos: 1º. Según se demostró en el primero de los ejemplos realizado al final del apartado anterior, la fórmula del punto medio:

+⎛ ⎞≈ −⎜ ⎟⎝ ⎠∫

b

a

a bf ( x )·dx f ·(b a)2

6 Consúltese, por ejemplo, J.F. Steffensen , Interpolation (2nd edition), Ed. Chelsea 1950.


32

es una fórmula con un orden de exactitud 1. Si dicha fórmula se aplica al cálculo de la integral sobre (a, b) de una función de clase C2((a,b)) el error de integración numérica estará dado por:

⎛ ⎞= − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

22 "

f 0 0h hR ((a,b)) · c · ·f ( ) (a,b)2 ! 3

θ ξ ξ

Como en este caso c0 = (b-a) = h, y 012

θ = puede concluirse que existe algún

punto ξ en (a, b) para el que el error cometido con la fórmula del punto medio está dado por:

⎛ ⎞= − = ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3"

fh h 1 hR ((a,b)) · h· ·f ( ) ·f "( ) (a,b )2 3 4 24

ξ ξ ξ

● 2º. Para la fórmula de Simpson

⎡ ⎤− +⎛ ⎞≈ + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫b

a

(b a) a bf ( x )·dx · f (a ) 4·f f (b )6 2

se demostró en ejemplos anteriores que su orden de exactitud era m = 3. El error de integración numérica que se comete con esta fórmula al integrar funciones de clase C4((a, b)) está dado por:

⎛ ⎞= − − − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

44 4 4 ( iv

f 0 0 1 1 2 2h hR ((a,b)) · c · c · c · ·f ( ) (a,b )4 ! 5

θ θ θ ξ ξ

Como en este caso c0 = c2 = (b-a)/6 = h/6, c1 = 4·(b-a)/6 , 0 0θ = , 112

θ = y

2 1θ = puede concluirse que existe algún punto ξ en (a, b) para el que el error

cometido con la fórmula del punto medio está dado por: ⎛ ⎞= − − = − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

4 5( iv ( iv

fh h 4·h 1 h hR ((a,b)) · · ·f ( ) ·f ( ) (a,b)24 5 6 16 6 2880

ξ ξ ξ

Este error se expresa en ocasiones en función de la distancia entre los puntos del soporte, H, que puede relacionarse con la longitud del intervalo en la forma H = h/2, o lo que es igual, h = 2·H. Si en la expresión anterior se remplaza “h” por “2·H” se tiene que:

= − ∈5

( ivf

HR ((a,b)) ·f ( ) (a,b)90

ξ ξ

•


33

La fórmula del error de integración numérica que se ha utilizado permite expresarlo en función de la derivada de orden (m+1) de la función f(x) que se integra evaluada en un punto “ξ” que habitualmente no es fácil de determinar. Por otra parte, no proporciona información sobre el error cuando la fórmula se aplica a la evaluación de integrales de funciones que no tengan la regularidad exigida, es decir que no sean de clase Cm+1((α, β)). EN esos caso podemos preguntarnos ¿cuál es la expresión del error de integración? Los teoremas y corolario siguiente dan respuesta a la pregunta anterior en esas situaciones (si bien, si se aplican al caso de funciones suficientemente regulares, conducen a cotas mayores que las obtenidas con el teorema 5.1). Teorema 5.2. Siendo:

• f una función de clase C0(a, b),

• b n

i ii 0a


≈ = ∑∫ una fórmula de integración numérica de tipo

interpolatorio construida sobre un soporte de (n+1) puntos {x0, ..., xn} y con un orden de exactitud m > n,

• h el valor dado por h = (b-a) • pk(x) cualquier polinomio de grado k siendo k < m

se verifica que el error de integración numérica de la fórmula aplicada a la

evaluación de b

a

f(x)·dx∫ está acotado por:

n

f i kx (a,b)i 0

R ((a,b)) (h c )·Sup f(x) p (x)∈=

≤ + −∑

Demostración: En primer lugar recordemos que al ser k < m la fórmula de integración considerada, al ser de orden de exactitud m, permite integrar sin error la integral en (a, b) del polinomio pk(x), es decir:

b n

k i k ii 0a

p (x)·dx c ·p (x )=

= ∑∫

Ello nos permite escribir que:


34

b b bn n n

f i i i i k i k ii 0 i 0 i 0a a a

R ((a,b)) f(x)·dx c ·f(x ) f(x)·dx c ·f(x ) p (x)·dx c ·p (x )= = =

= − = − − + =∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

b n

k i i k ii 0a

(f(x) p (x))·dx c ·(f(x ) p (x ))=

− − − ≤∑∫

b n

k i i k ii 0a

(f(x) p (x))·dx c ·(f(x ) p (x ))=

≤ − + − ≤∑∫

b n

k i i k ii 0a

f(x) p (x)·dx c ·(f(x ) p (x ))=

≤ − + − ≤∑∫

( )

b n

k i i k ix a,b i 0a

Sup f(x) p (x)· dx c · f(x ) p (x )∈ =

≤ − + − ≤∑∫

( )

n

k ix a,b i 0Sup f(x) p (x)· h c∈ =

⎛ ⎞≤ − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

c.q.d. Una consecuencia inmediata del teorema anterior es la recogida en el siguiente corolario (que tiene utilidad en numerosas fórmulas utilizadas frecuentemente). Corolario 5.1. Bajo las mismas hipótesis realizadas en el teorema 5.2, si además la fórmula de integración numérica tiene todos sus coeficientes no negativos (ci > 0 , i = 0, ..., n)se verifica que:

f kx (a,b)

R ((a,b)) 2·h·Sup f(x) p (x)∈

≤ −

Demostración: Es evidente sin más que considerar que si ningún coeficiente es negativo y la fórmula es de tipo interpolatorio:

n n

i ii 0 i 0

c c (b a) h= =

= = − =∑ ∑

por lo que la cota del teorema 5.2. se convierte en la aquí considerada. c.q.d.

Obsérvese que las cotas dadas en el teorema 5.2 y en su corolario 5.1 no hacen intervenir las derivadas de la función f(x). Pero, al referirse a cualquier polinomio pk(x), no permiten establecer cotas en las que intervengan potencias de la longitud del intervalo de integración. Para obtenerlas basta con considerar como pk(x) el polinomio obtenido con los k primeros sumandos del desarrollo


35

en serie de Taylor de la propia función f(x). Más concretamente se tiene el siguiente teorema: Teorema 5.3. Siendo:

• f(x) una función de clase Ck+1((a, b)) con k menor o igual que m,

• b n

i ii 0a


≈ = ∑∫ una fórmula de integración numérica de tipo

interpolatorio construida sobre un soporte de (n+1) puntos {x0, ..., xn} y con un oden de exactitud m > n,

• h el valor dado por h = (b-a) se verifica que el error de integración numérica de la fórmula aplicada a la

evaluación de b

a

f(x)·dx∫ está acotado por:

k 1n

(k 1f i

x (a,b)i 0

1 hR ((a,b)) (h c )· · ·Sup f (x)(k 1)! 2

++

∈=

⎛ ⎞≤ + ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∑ ( IV)

Si además no es negativo ningún coeficiente de la fórmula de integración numérica, la acotación anterior resulta ser:

k 1(k 1

fx (a,b)

2·h hR ((a,b)) · ·Sup f (x)(k 1)! 2

++

∈

⎛ ⎞≤ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ (V)

Demostración: Denotemos por pk(x) al polinomio formado por los (k+1) primeros términos del desarrollo en serie de Taylor de la función f(x) en torno al punto medio del intervalo (a, b) que denotaremos por x*=(a+b)/2, es decir:

2 k(k

k(x x*) (x x*)p (x) f(x*) (x x*)·f '(x*) ·f "(x*) ... ·f (x*)

2 k!− −

= + − + + +

El resto de este desarrollo truncado de Taylor estará dado por la expresión:

k 1* (k 1k 1 x

(x x*)r (x) ·f ( )(k 1)!

++

+−

= ξ+

donde ξx es algún punto intermedio entre x y x*.


36

Se tiene entonces que: k 1

* (k 1k k 1

x (a,b) x (a,b) x (a,b)

h 1Sup f(x) p (x) Sup r (x) · ·Sup f (x)2 (k 1)!

++

+∈ ∈ ∈

⎛ ⎞− = ≤ ⎜ ⎟ +⎝ ⎠

Aplicando entonces el teorema 5.2 para esta elección del polinomio pk(x) se tiene demostrada la acotación (IV). Análogamente, para demostrar la acotación (V) basta con aplicar el corolario 5.1. para el polinomio de Taylor pk(x)

c.q.d. Obsérvese que en el teorema que se acaba de demostrar se obtienen cotas de error para funciones f(x) que sean (k+1) veces continuamente diferenciables con k pudiendo valer 0, 1, ..., m. Sólo estarían fuera de estas acotaciones del error los casos en que f(x) no fuese continua o siendo una función continua no tuviera derivadas continuas en (a, b). Para dichos casos, se aplicaría directamente la cota del teorema 5.2 (o, en su caso, la del corolario 5.1) . Ejemplos:

1º. La fórmula del trapecio ( )b

a

b af(x)·dx · f(a) f(b)2−

≈ +∫ es una fórmula de

integración numérica con un orden de exactitud igual a 1 (esto es, permite integrar sin error cualquier polinomio de grado menor o igual que 1). El corolario 5.1. y el teorema 5.3 nos permiten afirmar que según la regularidad de la función a la que se aplique esta fórmula, una cota del error de integración será la recogida en la tabla siguiente: Regularidad Cota de error 0f C ((a,b))∈

x (a,b)2·h·Sup f(x)

∈

1f C ((a,b))∈ 2

x (a,b)h ·Sup f '(x)

∈

Si la función fuese de regularidad C2((a, b)) el teorema 5.3. nos conduce a la expresión:

2f C ((a,b))∈ Rf (a,b) < 3

x (a,b)

h ·Sup f "(x)4 ∈

Obsérvese que en este último caso el teorema 5.1. sí sería aplicable y conduciría a una cota menor que la anterior.

●


37

2º. La fórmula de Simpson b

a

b a a bf(x)·dx · f(a) 4·f f(b)6 2

⎛ ⎞− +⎛ ⎞≈ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ es una

fórmula de integración numérica con un orden de exactitud igual a 3 (esto es, permite integrar sin error cualquier polinomio de grado menor o igual que 3). El corolario 5.1. y el teorema 5.3 nos permiten afirmar que según la regularidad de la función a la que se aplique esta fórmula, una cota del error de integración será la recogida en la tabla siguiente: Regularidad Cota de error

0f C ((a,b))∈ x (a,b)

2·h·Sup f(x)∈

1f C ((a,b))∈ 2

x (a,b)h ·Sup f '(x)

∈

2f C ((a,b))∈ 3

x (a,b)

h ·Sup f "(x)4 ∈

3f C ((a,b))∈ 4

x (a,b)

h ·Sup f '''(x)24 ∈

En el caso de que la función f fuese de regularidad C4(a,b) el teorema 5.3. conduce a una cota del error dada por:

4f C ((a,b))∈ Rf (a, b) <5

(iv

x (a,b)

h ·Sup f (x)192 ∈

Obsérvese que en esta última situación el teorema 5.1. conduce a la cota del error (véase el ejemplo 2º tras la demostración del teorema aludido):

Rf (a, b) =5

(iv

x (a,b)

h ·Sup f (x)2880 ∈

• Las expresiones del error de integración numérica así como las cotas del mismo permiten concluir que el error de integración numérica dependerá de:

a) La posición de los puntos del soporte de integración, pues dicha posición determinará el orden de exactitud de la fórmula y cuanto mayor sea dicho orden de exactitud mayor podrá ser el grado del polinomio de Taylor usado en la obtención del error.

b) De la longitud del intervalo de integración, pues esta longitud, elevada a la potencia correspondiente, interviene directamente en las expresiones del error y en sus acotaciones.

c) De la regularidad de la función que se integra, pues en la medida que sea más veces continuamente diferenciable mayor podrá ser el grado del polinomio de Taylor usado en la obtención de las expresiones y acotaciones del error de integración numérica.


38

6. Obtención de fórmulas de integración numérica. 6.1. El uso de un intervalo de referencia. Para simplificar los cálculos en la determinación de fórmulas de integración numérica y de su error es recomendable realizar los cálculos sobre un intervalo de referencia y posteriormente generalizarla mediante el oportuno cambio de variable que transforme el intervalo de referencia elegido en un intervalo genérico [a, b]. En los subapartados siguientes nos centraremos en tres métodos (equivalentes entre sí) que nos permitirán determinar las fórmulas de tipo interpolatorio en cualquier intervalo. En este nos ocuparemos de detallar el proceso a seguir para poder transformar una fórmula que se conozca en el intervalo de referencia en otra fórmula válida para cualquier intervalo [a, b]. Frecuentemente se utiliza como intervalo de referencia el intervalo [-1, 1]. En ese caso, denotando por t a la variable independiente en [-1, 1] y por x a la variable independiente en [a, b] , el cambio de variable a considerar7 es:

a b b ax ·t2 2+ −

= +

por lo que: b adx ·dt

2−

=

y: b 1

a 1

b a a b b af(x)·dx · f ·t ·dt2 2 2−

− + −⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

De esta forma si se conoce una fórmula de integración numérica en [-1, 1] de la forma:

1 n

i ii 01

g(t)·dt ·g(t )=−

= γ∑∫

la fórmula correspondiente en [a, b] sería:

b 1 n

i ii 0a 1

b a a b b a b a a b b af(x)·dx · f ·t ·dt · ·f ·t2 2 2 2 2 2=−

− + − − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ≈ γ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑∫ ∫

por lo que los puntos de integración en [a, b] serían 7 En el caso más general, un intervalo [α, β] puede transformarse linealmente en [a, b]

utilizando el cambio de variable: [ ]− −= + ∈

− −·a ·b b ax ·t t ,β α α ββ α β α


39

i ia b b ax ·t (i 0,...,n)

2 2+ −

= + =

y los pesos:

i ib ac ·

2−

= γ

En cuanto al error de integración, si se conoce su expresión en [-1, 1] puede determinarse la fórmula del error en [a, b] mediante:

b n

f i ii 0a

R ((a,b)) f(x)·dx c ·f(x )=

= − =∑∫

1 n

i ii 01

b a a b b a a b b a· f ·t ·dt ·f ·t2 2 2 2 2=−

⎛ ⎞− + − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − γ + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑∫

1 n

i i gi 01

b a b a· g(t)·dt ·g(t ) ·R (( 1,1))2 2=−

⎛ ⎞− −⎛ ⎞= − γ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑∫

donde se ha denotado por g(t) a la función a b b ag(t) f ·t2 2+ −⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Si la fórmula es de orden m, en la expresión del error Rg((-1,1)) aparecerá la derivada de orden (m+1) de la función g(t) evaluada en un cierto punto tξ. Esta derivada debe ser relacionada con la derivada de orden (m+1) de f(x) utilizando para ello la regla de la cadena. Más concretamente:

a b b ag(t) f ·t2 2+ −⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ dg b a df a b b ag'(t) (t) · ·t

dt 2 dx 2 2− + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22 2

2 2

d g b a d f a b b ag"(t) (t) · ·tdt 2 dx 2 2

− + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

33 3

3 3

d g b a d f a b b ag'''(t) (t) · ·tdt 2 dx 2 2

− + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.............................................................

m 1m 1 m 1

(m 1m 1 m 1

d g b a d f a b b ag (t) (t) · ·tdt 2 dx 2 2

++ ++

+ +

− + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


40

por lo que llamando a b b a·t2 2 ξ+ −

ξ = + se tendrá que:

m 1

(m 1 (m 1b ag (t ) ·f ( )2

++ +

ξ−⎛ ⎞= ξ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ilustremos este proceso con un ejemplo. Ejemplo: Considérese la fórmula de integración numérica8 de tipo interpolatorio sobre el intervalo [-1, 1]:

−

≈ − + − + +∫1

1

1g( t )·dt ·(g( 1) 3·g( 1 / 3 ) 3·g(1 / 3 ) g(1))4

con la que se comete un error de integración numérica dado por la expresión:

( )−− = ∈ −( iv

g2R (( 1,1)) ·g ( t ) t 1,1

405 ξ ξ

Determinemos la fórmula de integración numérica correspondiente si se integra en un intervalo genérico [a, b]. En el intervalo [-1, 1] los 4 puntos del soporte utilizados son:

{t0 = -1, t1 = -1/3, t2 = 1/3, t3 = 1} Por ello los puntos del soporte en [a, b] son:

+ − + −= + = − =0 0

a b b a a b b ax ·t a2 2 2 2

+ − + − += + = − =1 1

a b b a a b b a 2·a bx ·t2 2 2 6 3

+ − + − += + = + =2 2

a b b a a b b a a 2·bx ·t2 2 2 6 3

+ − + −= + = + =3 3

a b b a a b b ax ·t b2 2 2 2

8 En un ejemplo del apartado 6.3. se deducirá la fórmula aquí considerada (llamada “regal de 3/8”) así como la expresión de su error sobre el intervalo (-1, 1).


41

Análogamente los pesos de la fórmula en [a, b] se obtienen mediante:

− − −= = =0 0

b a b a 1 b ac · ·2 2 4 8

γ , − − −= = =1 1

b a b a 3 3·(b a)c · ·2 2 4 8

γ

− − −= = =2 2

b a b a 3 3·(b a)c · ·2 2 4 8

γ , − − −= = =3 3

b a b a 1 b ac · ·2 2 4 8

γ

por lo que la fórmula buscada resulta:

⎛ ⎞− + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫b

a

b a 2·a b a 2·bf ( x )·dx · f (a) 3·f 3·f f (b )8 3 3

Esta fórmula se conoce habitualmente con el nombre de “regla de 3/8”. El error que con

ella se comete se obtendrá mediante:

− − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 5( iv ( iv

fb a 2 b a (b a)R ((a,b)) · · ·f ( ) ·f ( )

2 405 2 6480ξ ξ

NOTA: En muchas ocasiones, cuando se usan soportes equidistantes, el error se expresa en función de la distancia entre los puntos del soporte en lugar de la longitud del intervalo de integración. En este caso H = (b-a)/3 , o lo que es lo mismo (b-a) = 3·H lo que nos conduciría a que el error de integración numérica podría expresarse también mediante:

−=

5( iv

f3·HR ((a,b)) ·f ( )80

ξ

Ejercicio propuesto: Detallar el proceso que permite obtener fórmulas de integración numérica sobre un intervalo genérico [a, b] a partir de fórmulas de integración conocidas en un intervalo de referencia [α, β]. Desarrollar también la expresión que proporciona el error válida en [a, b] a partir del conocimiento de la expresión del error en el intervalo de referencia [α, β]. Particularícese las expresiones anteriormente obtenidas al caso en el que se considere como intervalo de referencia el [0, 1].


42

6.2. Mediante la integración del polinomio interpolador. La definición dada de las fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio nos permite obtener tales fórmulas mediante la integración del polinomio interpolador de f(x) en el soporte de puntos considerados, A estos efectos recordemos que es indiferente la fórmula por la que se haya calculado dicho polinomio pudiendo utilizarse en cada caso aquella que más convenga para reducir el volumen de cálculo. Así, denotando por Li(x) al i-ésimo polinomio de base de Lagrange sobre el soporte {x0, ..., xn} y por f[x0, .., xi] a la diferencia dividida de orden i de la función f(x) en los (i+1) primeros puntos del soporte, la misma fórmula de integración numérica puede obtenerse mediante las expresiones siguientes (correspondientes al uso de la fórmula de Lagrange o de Newton para el cálculo del polinomio interpolador):

b b bn

n i ii 0a a a

f(x)·dx p (x)·dx L (x)·dx ·f(x )=

⎛ ⎞≈ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∫ ∫ ∫

b b b i 1n

n 0 0 i ii 1 k 0a a a

f(x)·dx p (x)·dx f(x )·(b a) f[x ,...,x ]· (x x )·dx−

= =

≈ = − + −∑ ∏∫ ∫ ∫

Y si el soporte fuese equidistante, denotando por H a la distancia entre puntos consecutivos del soporte, esta misma fórmula puede ser obtenida utilizando diferencias finitas progresivas o regresivas mediante:

b b bi i 1n0

n 0 iii 1 k 0a a a

ff(x)·dx p (x)·dx f(x )·(b a) · (x x )·dxi!·H

−

= =

∆≈ = − + −∑ ∏∫ ∫ ∫

b b bi i 1n

in 0 ii

i 1 k 0a a a

ff(x)·dx p (x)·dx f(x )·(b a) · (x x )·dxi!·H

−

= =

∇≈ = − + −∑ ∏∫ ∫ ∫

Ejemplo: Siendo H un valor real estrictamente positivo, consideremos el soporte x0 = -H, x1 = H/2 y x2 = H y determinemos la fórmula de integración numérica que

permite calcular el valor aproximado de H/ 2

H/ 2

f(x)·dx−∫ . Para ello podemos

expresar el polinomio interpolador de Lagrange de la función f(x) como:

− − + −+ −= − + + =

−2 2 2 2

H H( x )·( x H ) ( x H )·( x )( x H )·( x H )2 2p ( x ) f ( H )· f (H / 2 )· f (H )·3·H 3·H / 4 H


43

( )⎛ ⎞= − − + − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2 2 22 2

1 3 1 4f ( H )· · x ·H·x ·H f (H / 2 )· · x H3·H 2 2 3·H

⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟⎝ ⎠

2 22

1 1 1f (H )· · x ·H·x ·HH 2 2

Integrando esta expresión se tiene que:

( )− −

≈ = − + −∫ ∫H / 2 H / 2

2H / 2 H / 2

Hf ( x )·dx p ( x )·dx · 7·f ( H ) 44·f (H / 2 ) 15·f (H )36

Esta es una fórmula de tipo interpolatorio construida sobre un soporte de 3 puntos y por ello será, al menos, de orden 2. El error que se comete con ella, si se aplica a funciones de clase C∞((-H, H)) puede estimarse combinando desarrollos en serie de Taylor en torno a algún punto del intervalo de integración. Así si se desarrolla en torno a 0 resultará que el valor exacto de la integral podrá expresarse como:

−

= − − = + + + +∫H / 2 2 3

H / 2

H H Hf ( x )·dx F(H / 2 ) F( H / 2 ) F(0 ) ·F '(0 ) ·F"(0 ) ·F '''(0 )2 8 48

+

+ + + − + − + −4 5 2 3

( iv ( ivH H H H H·F (0 ) ·F (0 ) ... F(0 ) ·F '(0 ) ·F"(0 ) ·F '''(0 )384 3840 2 8 48

− + − = + + +4 5 3 5

( iv (v ( ivH H H H·F (0 ) ·F (0 ) ... H·f (0 ) ·f "(0 ) ·f (0 ) ...384 3840 24 1920

Y el valor aproximado se expresa por:

( )−

= − + − =∫H / 2

2H / 2

Hp ( x )·dx · 7·f ( H ) 44·f (H / 2 ) 15·f (H )36

= (H/36)·⎡

− + − + −⎢⎣

2 3 4( iv7·H 7·H 7·H7·f (0 ) 7·H·f '(0 ) ·f "(0 ) ·f '''(0 ) ·f (0 ) ...

2 6 24

+ + + + + +2 3 4

( iv44·H 44·H 44·H 44·H44·f (0 ) ·f '(0 ) ·f "(0 ) ·f '''(0 ) ·f (0 ) ...2 8 48 384

2 3 415 15 1515 0 15 0 0 0 02 6 24

⎤− − − − − − =⎥

⎦( iv·H ·H ·H·f ( ) ·H·f '( ) ·f "( ) ·f '''( ) ·f ( ) ...

= + − − +3 4 5

( ivH 11·H 7·HH·f (0 ) ·f ''(0 ) ·f '''(0 ) ·f (0 ) ...24 144 1152

La comparación de las expresiones anteriores nos conduce a que:

− −

− = − = +∫ ∫H / 2 H / 2

4f 2

H / 2 H / 2

11R (( H / 2,H / 2 )) f ( x )·dx p ( x )·dx ·H ·f '''(0 ) ...144


44

Si f(x) es de clase C3((-H, H)) existe algún punto ξ en (-H, H) para el que la expresión anterior puede escribirse en la forma:

− = 4f

11R (( H / 2,H / 2 )) ·H ·f '''( )192

ξ

Si f(x) tuviera una regularidad inferior o igual a C3((-H, H)) el error de integración de la fórmula puede acotarse (véase el teorema 5.3 en el apartado anterior) por alguna de las expresiones siguientes: Regularidad Cota de error

3f C (( H,H))∈ − 4

x ( H / 2,H / 2)

H · Sup f '''(x)24 ∈ −

2f C (( H,H))∈ − 3

x ( H / 2,H / 2)

H · Sup f "(x)4 ∈ −

1f C (( H,H))∈ − 2

x ( H / 2,H / 2)H · Sup f '(x)

∈ −

0f C (( H,H))∈ − x ( H / 2,H / 2)

2·H· Sup f(x)∈ −

Ejercicio propuesto: a) Obtén la fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio que aproxima

el valor de −∫1

1

g( t )·dt utilizando el soporte {t0 = -2, t1 = 1, t2 = 2}.

b) Obtén la expresión del error de integración cometido con la fórmula hallada en el apartado anterior. c) A partir de las expresiones halladas en los apartados anteriores, y según lo explicado en el apartado 6.1, determina la fórmula correspondiente válida para aproximar integrales en un intervalo genérico (a, b) así como la fórmula del error de integración. d) Particulariza las expresiones halladas en el apartado anterior al intervalo (-H/2, H/2) y compáralas con la fórmula de integración numérica y la fórmula del error halladas en el ejemplo resuelto más arriba. Infiere de todo lo anterior un procedimiento para determinar fórmulas de integración numérica y analizar el error con ellas cometido que se base en el cálculo del polinomio interpolador y en el uso de un intervalo de referencia.


45

6.3. Método de coeficientes indeterminados. Este método de construcción de fórmulas de integración numérica se basa en

considerar que si la fórmula b n

i ii 0a

f(x)·dx c ·f(x )=

≈ ∑∫ es exacta de orden m > n

entonces debe permitir calcular sin error las integrales de los monomios {1, x, ..., xn, ..., xm} por lo que eligiendo (n+1) de dichos monomios puede construirse

un sistema lineal de (n+1) ecuaciones de la formab n

k ki i

i 0a

x ·dx c ·x=

= ∑∫ cuya

resolución nos proporcione los valores de los coeficientes {c0, ..., cn}. Por otra parte, una vez hallados los coeficientes de la fórmula, el error de integración, al ser de la forma:

m 2 (m 1fR ((a,b)) C·(b a) ·f ( )+ += − ξ ,

puede ser concretado también si se aplica la fórmula al monomio xm+1 pues en ese caso:

b nm 1 m 1 m 2

i ii 0a

x ·dx c ·x C·(b a) ·(m 1)!+ + +

=

= + − + ⇒∑∫

b nm 1 m 1

i ii 0a

m 2

x ·dx c ·xC

(m 1)!·(b a)

+ +

=+

−⇒ =

+ −

∑∫

Si no se conoce a priori el orden de la fórmula, se usan los (n+1) primeros monomios para determinar los valores de los coeficientes de la fórmula y se prueba con los siguientes hasta encontrar el primero de ellos que permite determinar un valor no nulo de la constante C usada en la expresión del error. Dicho monomio es el que permitirá determinar el orden de exactitud de la fórmula. En este método es especialmente cómodo trabajar en el intervalo de referencia [-1, 1] determinando la fórmula en el intervalo de referencia: 1 n

m 2 (m 1i i

i 01

g(t)·dt ·g(t ) C·2 ·g (t )+ +ξ

=−

= γ +∑∫ . En efecto, en ese caso las integrales de

los monomios de potencia impar son siempre nulas y las del monomios de potencia par, k, están dadas por 2/(k+1). Por ello el sistema que proporciona los pesos de la fórmula es:

+

= =−

− −= γ = ⇒ = γ =

+∑ ∑∫1 k 1n n

k k ki i i i

i 0 i 01

1 ( 1)t ·dt ·t (k 0,..,n) ·t (k 0,..,n)k 1


46

Además la constante C de la fórmula del error de integración sobre el intervalo [-1, 1] es en este caso:

++ + +

= =−+ +

− −− γ − γ+= =

+ +

∑ ∑∫1 n m 2 n

m 1 m 1 m 1i i i i

i 0 i 01m 2 m 2

1 ( 1)t ·dt ·t ·t(m 2)C

(m 1)!·2 (m 1)!·2 Una vez determinadas las fórmulas en [-1, 1] se seguirá el proceso descrito en 6.1 para generalizarlas a un intervalo [a, b] genérico. Ilustremos esta forma de proceder con un ejemplo. Ejemplo: Determinemos la fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio que se soporta en un conjunto de 4 puntos uniformemente distribuidos en [a, b]. En el intervalo [-1, 1] los 4 puntos del soporte serán:

{t0 = -1, t1 = -1/3, t2 = 1/3, t3 = 1} Al haber 4 puntos la fórmula de integración de tipo interpolatorio será al menos de orden 3, es decir permitirá integrar sin error los 4 primeros monomios { 1, t, t2, t3}. Por tanto, en el intervalo [-1, 1] dicha fórmula verificará:

−

= = + + +∫1

0 1 2 31

1·dt 2 γ γ γ γ

−

= = − − + +∫1

0 1 2 31

1 1t·dt 0 · ·3 3

γ γ γ γ

−

= = + + +∫1

20 1 2 3

1

2 1 1t ·dt · ·3 9 9

γ γ γ γ

−

= = − − + +∫1

30 1 2 3

1

1 1t ·dt 0 · ·27 27

γ γ γ γ

Las ecuaciones anteriores nos proporcionan los valores 0 314

γ = γ = , 1 234

γ = γ =

por lo que la fórmula en [-1, 1] es:

−

≈ − + − + +∫1

1

1g( t )·dt ·(g( 1) 3·g( 1 / 3 ) 3·g(1 / 3 ) g(1))4

Determinemos el error de integración en este intervalo de referencia. Para ello aplicaremos la fórmula al siguiente monomio obteniendo:


47

5 5

4 414

t t1

2 1 1 1 14t ·dt · 1 3· 3· 1 R (( 1,1)) R (( 1,1))5 4 3 3 27−

⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + + + + − = + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫

de donde: −− = − =4t

2 14 16R (( 1,1))5 27 135

.

Al no ser un error nulo puede asegurarse que la fórmula es de orden 3 y por ello el error para una función genérica debe responder a la expresión:

− = − − =5 ( iv ( ivfR (( 1,1)) C·(1 ( 1)) ·f ( ) C·32·f ( )ξ ξ . Si se aplica esta expresión a la

función t4 se verifica que: 4 11 32 32 4 768− = = =( ivt

R (( , )) C·( )·f ( ) C·( )·( !) C·ξ .

Comparando las dos expresiones obtenidas para 4tR (( 1,1))− puede concluirse

que la constante que interviene en la expresión del error toma el valor:

C = − − −= =

16 16 1135·768 103680 6480

lo que nos conduce a que el error en (-1, 1) puede expresarse por:

− −− = =( iv ( iv

g1 2R (( 1,1)) ·32·g ( t ) ·g ( t )

6480 405ξ ξ

Una vez obtenida la fórmula de integración numérica y la de su error en (-1, 1) su transformación en las correspondientes fórmulas válidas en un intervalo genérico [a, b] puede consultarse en el ejemplo con el que ilustrábamos el apartado 6.1, obteniéndose:

⎛ ⎞− + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫b

a

b a 2·a b a 2·bf ( x )·dx · f (a) 3·f 3·f f (b )8 3 3

y:

( )− −= ∈

5( iv

f(b a)R ((a,b)) ·f ( ) a,b6480

ξ ξ

Esta fórmula de integración se conoce habitualmente con el nombre de “regla de 3/8” y el error que con ella se comete, al ser el soporte equidistante, es frecuente que sea expresado como:

−=

5( iv

f3·HR ((a,b)) ·f ( )80

ξ

donde H = (b-a)/3 es la distancia entre puntos consecutivos del soporte.

•


48

En resumen, si se tiene en cuenta que

1k

1

2 si k es part dt k 1

0 si k es impar−

⎧⎪= +⎨⎪⎩

∫

para que la fórmula de integración 1 n

i ii 01

g(t)dt g(t )=−

≈ γ∑∫ sea exacta para todos los

monomios de la familia {1, t, t2, ...., tm} debe verificarse que:

0

0 1 2 n 12 2 2 20 1 2 n 23 3 3 30 1 2 n 3

m m m m0 1 2 n n

21 1 1 ... ... ... 1 0t t t ... ... ... t 2t t t ... ... ... t 3t t t ... ... ... t... ... ... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ... ... ...t t t ... ... ... t

γ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪γ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪γ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ =γ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ γ⎩ ⎭⎣ ⎦

m 1

0......

1 ( 1)m 1

+

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪− −⎪ ⎪⎪ ⎪+⎩ ⎭

Si se consideran n puntos diferentes del soporte y n = m, el sistema anterior tendrá (n+1) ecuaciones y (n+1) incógnitas, siendo la matriz del sistema una matriz regular (pues obsérvese que su determinante es de tipo Vandermonde y es no nulo). Si m > n el sistema anterior podrá tener solución única (en el caso de que el rango de la matriz ampliada del sistema continúe siendo (n+1)) o no tenerla (en el caso contrario). Expresado de otra forma, la elección de un soporte con (n+1) puntos diferentes asegura al menos que las fórmulas sean de orden n pero, para ciertas elecciones de los (n+1) puntos del soporte podrían obtenerse fórmulas de orden m > n. En apartados posteriores, en los que se abordarán las fórmulas de Newton-Cotes y de Gauss, analizaremos con mayor detalle las condiciones que deben satisfacer los puntos del soporte para garantizar órdenes de exactitud superiores a n.


49

6.4. Combinación de desarrollos en serie de Taylor. Un tercer camino usado para determinar fórmulas de integración numérica, así como las expresiones del error que con ellas se comete, consiste en identificar los primeros términos de los desarrollos en serie de Taylor del valor exacto de la integral que se quiere aproximar con el de la fórmula que se quiere determinar. De forma más concreta, si la fórmula se construye sobre un soporte de (n+1) puntos las igualdades obtenidas de identificar los (n+1) primeros términos de ambos desarrollos proporcionará los coeficientes de la fórmula. Y la diferencia entre los siguientes términos no nulos de ambos desarrollos servirá para obtener la expresión del error de integración. Nótese que esta manera de proceder es válida para ser aplicada a funciones f(x) para las que existan tantas derivadas como se utilicen en los desarrollos. No obstante, tal y como se indicó al obtener cotas del error en el apartado 4, si la función que se quiere integrar no tiene la regularidad necesaria, la fórmula sigue siendo válida mientras que la expresión del error es la que carece de sentido en esa situación y debe ser sustituida por la cota de error correspondiente a la regularidad que tenga la función. A continuación detallamos este método de obtención de fórmulas de integración numérica. Los desarrollos que realizaremos se harán todos ellos en torno a un punto “z” de un intervalo [α, β] que incluya tanto al intervalo de integración [a, b] como a los (n+1) puntos del soporte. Suponiendo que f(x) es una función suficientemente regular y que F(x) es una primitiva de f(x), el valor exacto de la integral de f(x) en [a, b] puede desarrollarse en serie de Taylor en torno a un punto “z” de la forma siguiente:

∞ ∞

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= − = + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑∫

b i i(i (i

i 1 i 1a

(b z) (a z)f(x)·dx F(b) F(a) F(z) ·F (z) F(z) ·F (z)i! i!

+ +∞

=

− − −=

+∑i 1 i 1

(i

i 0

(b z) (a z) ·f (z)i 1!

Por otra parte si se quiere construir un fórmula de integración numérica sobre un soporte {x0, x1, ..., xn} de la forma:

=

≈ = ∑∫b n

j jj 0a

f(x)·dx V c ·f(x )


50

puede expresarse el valor aproximado que proporcione la fórmula por la expresión:

∞ ∞

= = = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ ∑

i in n nj j(i (i

j j j jj 0 j 0 i 0 i 0 j 1

(x z) (x z)V c ·f(x ) c · ·f (z) c · ·f (z)

i! i!

Identificando los coeficientes que multiplican a las derivadas del mismo orden en los desarrollos del valor exacto y del valor aproximado se tienen las ecuaciones:

+ +

=

−− − −= =

+ ∑ii 1 i 1 n

jj

j 1

(x z)(b z) (a z) c · (i 0,1,.....)i 1! i!

Cuanto mayor sea el orden de derivación de los términos de ambos desarrollos que coincidan mayor será el orden de exactitud de la fórmula. Pero para ello sólo disponemos de la libertad de elección de los (n+1) pesos de la fórmula de integración. Por ello el sistema9 que nos proporciona estos coeficientes es el siguiente:

+ +

=

−− − −= =

+ ∑ii 1 i 1 n

jj

j 1

(x z)(b z) (a z) c · (i 0,1,....n)i 1! i!

Con el valor que se haya determinado para los pesos {c0, c1, ..., cn} coincidirán m coeficientes de los desarrollos en serie de Taylor. Ello indicará que el orden de exactitud de la fórmula es m y que, si se aplica a funciones f(x) que sean al menos de clase Cm+1((a,b)), existirá algún punto ξ en (a, b) para el que el error de la fórmula puede expresarse mediante:

++ ++

=

⎛ ⎞−− − −= − ξ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

∑m 1m 2 m 2 n

j (m 1f j

j 1

(x z)(b z) (a z)R ((a,b)) c · ·f ( )(m 2)! (m 1)!

Las expresiones de los pesos y del error que se acaban de obtener se simplifican considerablemente si se aplican al intervalo de referencia [a, b] = [-1, 1] y se toma como punto en torno al cual realizar los desarrollos de Taylor el punto z = 0. De esta manera, denotando por γi a los pesos de la fórmula válida para (-1, 1), por g(t) a la función a la que se aplique y por {t0, ..., tn} al soporte, el sistema de ecuaciones que proporciona los pesos está dado por:

+ +

=

− −= γ =

+ ∑ii 1 i 1 n

jj

j 1

(t )(1) ( 1) · (i 0,1,....n)i 1! i!

9 Obviamente se podría formar un sistema con un número menor de ecuaciones que dejase algunos pesos libres (y a los que se podría asignar cualquier valor). Pero ello conduciría a fórmulas con un orden de exactitud inferior a n y por tanto no serían de tipo interpolatorio. Por este motivo no contemplamos aquí dicha posibilidad.


51

y el error por: ++ +

+ξ

=

⎛ ⎞−− = − γ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

∑m 1m 2 m 2 n

j (m 1g j

j 1

(t )(1) (1)R (( 1,1)) · ·g (t )(m 2)! (m 1)!

Las fórmulas así obtenidas, válidas para el intervalo de referencia, deben ser generalizada para un intervalo (a, b) cualquiera siguiendo el proceso detallado en el apartado 6.1. NOTA: Fácilmente puede comprobarse que estas expresiones son equivalentes a las proporcionadas por el método de coeficientes indeterminados.

● Ilustremos este proceso con un ejemplo. Ejemplo: Determinemos una fórmula de integración numérica, del mayor orden de

exactitud posible, que aproxime el valor de b

a

f ( x )·dx∫ y que esté construida

sobre el soporte 0 1 23·a b a b a 3·bx ,x ,x

4 2 4+ + +⎧ ⎫= = =⎨ ⎬

⎩ ⎭.

Si trabajamos inicialmente en el intervalo [-1, 1] los puntos del soporte correspondientes a esta fórmula son: {t0 = -½ , t1 = 0, t2 = ½ } y la fórmula de integración será de la forma:

11 1

2 20 1 21

g( t )·dt V ·g( ) ·g(0 ) ·g( )γ γ γ−

−

≈ = + +∫

Los primeros términos del desarrollo en serie de Taylor, en torno a 0, del valor exacto de la integral, llamando G(t) a una primitiva de g(t) y suponiendo que g(t) es suficientemente regular, son:

1

1

g( t )·dt G(1) G( 1)−

= − − =∫

( iv (v1 1 1 1G(0 ) G'(0 ) ·G"(0 ) ·G'''(0 ) ·G (0 ) ·G (0 ) ...2 6 24 120

+ + + + + +

( iv ( v1 1 1 1G(0 ) G'(0 ) ·G"(0 ) ·G'''(0 ) ·G (0 ) ·G (0 ) ...2 6 24 120

− + − + − + − =

( iv1 12·g(0 ) ·g"(0 ) ·g (0 ) ...3 60

= + + −


52

El desarrollo del valor aproximado nos conduce a: 1 1

2 20 1 2V ·g( ) ·g(0 ) ·g( )γ γ γ−= + + = 2 3 41 1 1

( iv2 2 20 0 0120 0

·( ) ·( ) ·( )·g(0 ) ·( )·g '(0 ) ·g"(0 ) ·g '''(0 ) ·g (0 ) ...2 6 24

γ γ γγ γ= − + − + − +

1·g(0 )γ+ + 2 3 41 1 1

( iv2 2 22 2 2122 2

·( ) ·( ) ·( )·g(0 ) ·( )·g '(0 ) ·g"(0 ) ·g '''(0 ) ·g (0 ) ...2 6 24

γ γ γγ γ+ + + + + − =

( ) ( )0 1 2 0 2 0 21 1( )·g(0 ) · ·g '(0 ) · ·g"(0 )2 8

γ γ γ γ γ γ γ= + + + − + + + +

( iv0 2 0 2

1 1·( )·g '''(0 ) ·( )·g (0 ) ...48 384

γ γ γ γ+ − + + + +

Identificando los coeficientes de los desarrollos que multiplican a g(0), g’(0) y g”(0) se tiene que:

0 1 2

0 2

0 2

2 ( )10 · ( )2

1 1· ( )3 8

γ γ γ

γ γ

γ γ

⎧⎪ = + +⎪⎪ = − +⎨⎪⎪ = +⎪⎩

La resolución del sistema anterior nos conduce a que: 0 243

γ γ= = y 12

3γ −

=

por lo que la fórmula buscada en [-1, 1] es: 1

1 12 2

1

2g(t )·dt V ·(2·g( ) g(0 ) g( ))3

−

−

≈ = − +∫

El error de integración numérica, en el intervalo [-1, 1] puede determinarse restando el desarrollo del valor aproximado del desarrollo del valor exacto, obteniéndose:

1( iv

g1

1 4 4 1 1 8R (( 1,1)) g( t )·dt V · ·g '''(0 ) · ·g (0 ) ...48 3 3 60 384 3−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − = − − + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

( iv7 ·g (0 ) ....720

= +

Al haberse anulado el coeficiente en g’’’(0) y no el de g(iv(0) puede concluirse que la fórmula es de orden de exactitud 4. Además, si g(x) es al menos de clase C4((-1, 1)) el error de integración está dado por:

( ivg

7R (( 1,1)) ·g ( t )720 ξ− = t ( 1,1)ξ ∈ −


53

Una vez obtenidos la fórmula y su error en el intervalo [-1, 1] determinemos las expresiones válidas para cualquier intervalo de integración [a, b]. Los puntos de integración se corresponden con:

( )120

a b b a 3·a bx ·2 2 4

−+ − +

= + =

( )1a b b a a bx · 0

2 2 2+ − +

= + =

( )122

a b b a a 3·bx ·2 2 4+ − +

= + =

y los pesos:

0b a 4 2·(b a)c ·

2 3 3− −⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

1b a 2 (b a)c ·

2 3 3− − −⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

2b a 4 2·(b a)c ·

2 3 3− −⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

lo que nos proporciona la fórmula:

b

a

(b a) a bf ( x )·dx V · 2·f (a) f 2·f (b)3 2

⎛ ⎞− +⎛ ⎞≈ = − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫

En cuanto al error, utilizando la fórmula obtenida en el apartado 6.1, si f(x) es al menos de clase C4((a,b)) resulta:

4 5( iv ( iv

fb a 7 b a 7·(b a)R ((a,b)) · · ·f ( ) ·f ( )

2 720 2 23040ξ ξ− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

donde a b b a·t2 2 ξξ + −

= + es un punto de (a, b).

NOTAS: 1ª. A menudo el error se expresa en función de la distancia H entre puntos consecutivos del soporte equidistante. Como en este caso H = (b-a) / 4, se tiene que (b-a) = 4·H por lo que una expresión equivalente del error que se acaba de determinar sería:

5( iv

f14·HR ((a,b)) ·f ( )

45ξ=

2ª. A fórmula hallada en este ejemplo se conoce con el nombre de “fórmula de Newton-Cotes abierta con 3 puntos de soporte”.


54

7. Fórmulas de integración numérica de Newton – Cotes. Entre las fórmulas de integración numérica que se pueden construir, las más frecuentemente usadas son:

a) o bien aquellas que siendo de tipo interpolatorio tienen el mayor orden de exactitud posible (llamadas fórmulas de Gauss)

b) o bien aquellas que siendo de tipo interpolatorio utilizan un soporte

equidistante y centrado en el intervalo de integración (a, b) (llamadas fórmulas de Newton – Cotes).

En el apartado 8º nos ocuparemos de las fórmulas de Gauss y dedicamos este al estudio de las fórmulas de Newton – Cotes. Las fórmulas de Newton – Cotes tienen a su favor la simplicidad en la elección de los puntos que forman el soporte. Como principal desventaja puede señalarse que su orden de exactitud está cerca de los valores más pequeños que pueden tomar las fórmulas de tipo interpolatorio (como veremos un poco más adelante, el orden de exactitud de las fórmulas de Newton – Cotes que utilizan (n+1) puntos de soporte es n ó (n+1) dependiendo de que n sea impar o par respectivamente)10. Esta familia de fórmulas se suele subdividir en los dos grupos siguientes:

• Fórmulas de Newton - Cotes cerradas: son aquellas fórmulas de integración de tipo interpolatorio en las que el soporte de integración es equidistante e incluye, como primer y último puntos del soporte, a los extremos del intervalo de integración. De forma más concreta, la fórmula de Newton – Cotes cerrada con (n+1) puntos de soporte que permite calcular el valor aproximado de b

a

f(x)·dx∫ utiliza un soporte equidistante en el que la distancia

entre puntos está dada por el valor H = (b-a)/n obteniéndose las abscisas usadas como soporte mediante: xi = a + i·H (i = 0, .., n).

10 No obstante debe señalarse que el inconveniente debido a un bajo orden de exactitud de las fórmulas de Newton-Cotes puede combatirse utilizando fórmulas de integración compuestas, que se estudiarán en el apartado 9º de este tema, y que básicamente consisten en fragmentar el intervalo de integración (a, b) en subintervalos de menor longitud aplicando las fórmulas de integración correspondientes a dichos subintervalos.


55

• Fórmulas de Newton – Cotes abiertas11: son aquellas fórmulas de integración de tipo interpolatorio en las que el soporte de integración es equidistante y centrado en (a, b) pero no incluye a los extremos del intervalo de integración. De forma más concreta, la fórmula de Newton – Cotes abierta con (n+1) puntos de soporte

que permite calcular el valor aproximado de b

a

f(x)·dx∫ , utiliza un

soporte equidistante en el que la distancia entre puntos está dada por el valor H = (b-a)/(n+2) obteniéndose las abscisas usadas como soporte mediante la expresión: xi = a + (i+1)·H (i = 0, .., n).

Obsérvese que en este tipo de fórmulas, sean abiertas o cerradas, el soporte es simétrico respecto al punto medio del intervalo de integración (a, b). Ello quiere decir que si n es par (número de puntos impar) el punto xn/2 coincide con el punto medio del intervalo de integración y los punto x(n/2)-j y x(n/2)+j ( j = 1, ..., n/2) están a la misma distancia del punto central xn/2. Y si el valor de n es impar (esto es el número de puntos es par) el punto medio no pertenece al soporte pero está a la misma distancia de xj que de xn-j (j = 0, ...,(n-1)/2). La simetría del soporte respecto al punto medio del intervalo de integración implica además ciertas igualdades entre los pesos de la fórmula de integración correspondiente como se demostrará posteriormente. Antes de ello observemos que las fórmulas de Newton-Cotes en un intervalo genérico [a, b]

11 En algunos textos las fórmulas de Newton-Cotes abiertas también se denominan como fórmulas de Steffensen

xn/2 x(n/2)+1 x(n/2)+2 x(n/2)-1 x(n/2)-2

H H

2·H 2·H

pmed xn-(n-1)/2

H/2 H/2

3·H/2

xn-((n-1)/2)+1 x((n-1)/2)-1 x(n-1)/2

3·H/2


56

pueden ser obtenidas a partir de las fórmulas de Newton-Cotes definidas en el intervalo de referencia [-1, 1] siguiendo el proceso detallado en el apartado 6.1. En efecto, se verifica la siguiente propiedad: Propiedad 7.1. Siendo:

( )1 n

i ii 01

f( )d ·f=−

ξ ξ = γ ξ∑∫

una fórmula de Newton-Cotes de (n+1) puntos definida en el intervalo [-1, 1] se verifica que los pesos de la fórmula fórmula de Newton-Cotes de (n+1) puntos en un intervalo genérico [a, b]

( )b n

i ii 0a

f(x)dx c ·f x=

= ∑∫

pueden obtenerse como imágenes de los puntos ξi mediante el cambio de variable que transforma [-1, 1] en [a, b] dado por la aplicación afín:

a b b ax ·2 2+ −

= + ξ

y los pesos de integración mediante:

i ib ac ·

2−

= γ

Demostración: La distancia entre dos puntos con subíndice consecutivo en el soporte de la fórmula usada en [a, b] es:

( )i 1 i i 1 ib a b ax x

2 2+ +− −

− = ξ − ξ = λ

donde λ es la distancia entre puntos cosecutivos del soporte en [-1, 1]. Más concretamente:

Si la fórmula es cerrada: 2n

λ = y i 1 ib ax x

n+−

− =

Si la fórmula es abierta: 2n 2

λ =+

y i 1 ib ax xn 2+

−− =

+

Luego el soporte de la fórmula en [a, b] también es equidistante. Por otra parte, el punto ξ* = 0 es el punto medio del intervalo [-1, 1] y tiene por imagen en el intervalo [a, b] el punto x* = (a+b)/2 que es punto medio del intervalo [a, b]. Ello nos permite comprobar que si ξi y ξj son dos puntos simétricos respecto a 0 sus imágenes también lo son respecto al punto medio de [a, b]. En efecto siendo µ el valor µ = ξi – ξ* = ξ* - ξj se tiene que:


57

− − −− = ξ − = µ = − ξ = −i i j j

b a b a b ax x* ( 0) (0 ) x * x2 2 2

lo que demuestra que el soporte {x0, ..., xn} es un soporte equidistante simétrico respecto al punto medio. Por último, puesto que {ξ0, ..., ξ n} es un soporte de una fórmula de Newton-Cotes en [-1, 1] se verificará que:

≤ η = ξ − − = − ξ1 n0 ( 1) 1 de donde se tiene que:

( )+ − + − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + ξ − + − = ξ + = η =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 1a b b a a b b a b a b ax a ( 1) 1

2 2 2 2 2 2

( )− + − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ξ = + − + ξ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

n n nb a a b b a a b b a1 1 b x

2 2 2 2 2

lo que demuestra que el soporte, además, es centrado en [a, b]. En resumen que es el soporte de una fórmula de Newton-Cotes de (n+1) puntos. Para verificar la expresión que permite obtener los pesos de integración, denotemos por ξi ( )L (i = 0, ..., n) a los (n+1) polinomios de base de Lagrange

definidos sobre el soporte {ξ0, ..., ξ n} y por Li(x) (i = 0, ..., n) a los (n+1) polinomios de base de Lagrange definidos sobre el soporte {x0, ...., xn}. Según la propiedad 3.1. los pesos de las fórmulas consideradas en cada intervalo responden a la expresión:

−

γ = ξ ξ∫1

i i1

( )dL y = ∫b

i ia

c L (x)dx (i = 0, ..., n)

Realizando en la expresión de los pesos ci el cambio de variable que estamos considerando, se tiene que:

−

− + −⎛ ⎞= = + ξ ξ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

b 1

i i ia 1

b a a b b ac L (x)dx L d2 2 2

Notando que + −⎛ ⎞+ ξ⎜ ⎟⎝ ⎠

ia b b aL

2 2 es un polinomio en la variable ξ de grado

menor o igual a (n+1) y que verifica que:

=⎧+ −⎛ ⎞+ ξ = = ⎨⎜ ⎟ ≠⎝ ⎠ ⎩i j i j

1 si i ja b b aL L (x )2 2 0 si i j

(0 < i,j < n)

puede concluirse que + −⎛ ⎞+ ξ = ξ⎜ ⎟⎝ ⎠

i ia b b aL ( )

2 2L (i = 0, …, n), y por tanto que:

−

− −= = ξ ξ = γ∫ ∫

b 1

i i i ia 1

b a b ac L (x)dx ( )d2 2

L


58

c.q.d. Como ya señalamos anteriormente, la simetría respecto al punto medio del intervalo de los puntos tomados como soporte en las fórmulas de Newton-Cotes hace que este tipo de fórmulas gocen de ciertas propiedades. Algunas de ellas se recogen en los dos teoremas siguientes. Teorema 7.1.

Sea =

≈ ∑∫b n

i ii 0a

f(x)·dx c ·f(x ) una fórmula de Newton – Cotes. Se verifica entonces

que:

• Si n es par: c(n/2)-i = c(n/2)+i (i = 0, ..., (n/2)-1) • Si n es impar: ci = cn-i (i = 0, ..., (n-1)/2)

Demostración: a) Caso en el que n es par (número impar de puntos de soporte). La idea en la que se basa esta demostración consiste en referir las abscisas al punto medio del intervalo (a, b) que, en este caso es el punto central del soporte. Más concretamente, denotemos por k al valor k = n/2, y por reordenemos los puntos del soporte en la forma:

ξ0 = xn/2 , ξj = x(n/2)+j (j = -k, -k+1, ...., -1, 1, ..., k-1, k)

Designando por H a la distancia entre puntos consecutivos del soporte se tiene que:

n2j x j·Hξ = + (-k < j < k)

y para cualquier abscisa x existirá un único numero real t tal que:

n2

n2

x xx x t·H t

H−

= + ⇔ =

Análogamente para los extremos del intervalo de integración,“a” y “b”, existirán dos valores α y β (con el mismo valor absoluto pero con signo contrario) tales que:

n2

n2

a xa x ·H

H−

= + α ⇔ α = , n

2n

2

b xb x ·H

H−

= + β ⇔ β =


59

Con esta notación los polinomios de base de Lagrange asociados al soporte estarán dados por las expresiones:

( )( )

( )( )

( )( )n

2

k k kj

i ij k j k j ki jj i j i j i

x t j ·H t jL (x) L (x t·H)

i j ·H i j=− =− =−≠ ≠ ≠

− ξ − −= + = = =

− −ξ − ξ∏ ∏ ∏ (-k < i < k)

Si se considera un valor no nulo del índice i se verifica fácilmente que:

i n / 2 i n / 2L (x t·H) L (x t·H)−+ = − (i = -k, ..., -1, 1, ..., k)

En efecto:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )n

2

k k k

ij k j k j kj i j i,j i j i,j i

t j t j t i t j t iL (x t·H) · ·

i j i j i i i j 2·i=− =− =−≠ ≠ ≠− ≠ ≠−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∏ ∏ ∏

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )n

2

k k k

ij k j k j kj i j i,j i j i,j i

t j t j t i t j t iL (x t·H) · ·

i j i j i i i j 2·i−=− =− =−≠− ≠− ≠ ≠ ≠−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − − − − − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∏ ∏ ∏

( )( )

( )k

j kj i,j i

t j t i·

i j 2·i=−≠ ≠−

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟= ⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

∏

y llamando “m” a “-j”:

x0 ξ-k

x(n/2)-2 ξ-2

x(n/2)-1 ξ-1

x(n/2) ξ0

x(n/2)+1 ξ1

x(n/2)+2 ξ2

xn ξk

.... ....

H H

2·H2·H

k·H k·H

a b

β·H α·H


60

( )( )

( ) ( )( )

( )n n

2 2

k k

i im k m k

m i,m i m i,m i

t m t i t m t iL (x t·H) · · L (x t·H)

i m 2·i i m 2·i

−

−= =−

≠− ≠ ≠− ≠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∏ ∏

Esta igualdad nos conduce a que:

( ) ( )n n2 2

b

i i ia

L (x)·dx L x t·H ·H·dt L x t·H ·H·dtβ α

α β

= + = − − =∫ ∫ ∫

( ) ( )n n2 2

b

i i ia

L x t·H ·H·dt L x t·H ·H·dt L (x)·dxβα

− − −β α

= − + = + =∫ ∫ ∫

Por último, recordando que los pesos de una fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio son la integral definida en (a, b) de los polinomios de base de Lagrange correspondientes al soporte utilizado, es evidente que se verifica el teorema para el caso en que n es par. b) Caso en el que n es impar (número par de puntos de soporte). La demostración es análoga a la del caso anterior, con la única diferencia de que ahora el punto medio del intervalo de integración no es un punto del soporte. De forma más concreta, siendo z = (a+b)/2 el punto medio del intervalo de integración y denotando por H a la distancia entre puntos del soporte se considera el cambio de variable:

ξ−j ξj

L-j(x) Lj(x)

1

ξ0


61

= +Hx z t·2

De esta forma existirán dos valores α y β (con el mismo valor absoluto pero con signo contrario) tales que:

−= + α ⇔ α =

a za z ·HH

, −= + β ⇔ β =

b zb z ·HH

Además, para aligerar la notación, siendo k el valor k = (n+1)/2, reordenaremos el soporte en la forma:

ξj = xj+k (j = -k, -k+1, ...,-1)

ξj = xj+k-1 (j = 1, 2, ...,k-1, k) verificándose que:

ξ = + +jHz (2·j 1)·2

(j = -k, -k+1, ..., -1)

ξ = + −jHz (2·j 1)·2

(j = 1, 2, …, k-1, k)

Con esta notación, siguiendo un proceso análogo al desarrollado en el caso anterior de esta demostración12, se verifica fácilmente que:

−∀ ∈ + = −R i it : L (z t·H/ 2) L (z t·H/ 2) (i = 1, 2, …, k)

12 Se dejan los detalles como ejercicio propuesto al lector.

x0 ξ-k

x((n-1)/2)-1 ξ-2

x(n-1)/2 ξ-1

z

x((n+1)/2 ξ1

x(n+3)/2 ξ2

xn ξk

.... ....

H/2

a b

β·H β·H =- α·H

H/2

3·H/23·H/2

(2·k-1)·H/2(2·k-1)·H/2


62

Esta igualdad nos conduce a que: β α

α β

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

b

i i ia

H H H HL (x)·dx L z t· · ·dt L z t· · ·dt2 2 2 2

βα

− − −β α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

b

i i ia

H H H HL z t· · ·dt L z t· · ·dt L (x)·dx2 2 2 2

Por último, recordando que los pesos de una fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio son la integral definida en (a, b) de los polinomios de base de Lagrange correspondientes al soporte utilizado, es evidente que se verifica el teorema también para el caso en que n es impar.

c.q.d.

Ejemplos: 1º) La fórmula del trapecio, obtenida en apartados anteriores,

−≈ +∫

b

a

(b a)f ( x )·dx ·( f (a) f (b))2

es una fórmula de Newton - Cotes cerrada con dos puntos de soporte (n = 1). En este caso x0 = a y x1 = b, por lo que la distancia entre puntos del soporte es H = b – a lo que nos permite escribir la fórmula como:

≈ +∫b

0 1a

H Hf ( x )·dx ·f ( x ) ·f ( x )2 2

pudiendo comprobarse que, tal y como asegura el teorema 7.1., los pesos de la fórmula verifican:

c0 = c1 = H/2

ξ-j ξj ξ-1 ξ1 ..... .....

L-j(x) Lj(x) 1


63

2º. La fórmula de Simpson, también deducida en apartados anteriores,

− +⎛ ⎞≈ + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

b

a

(b a) a bf ( x )·dx ·( f (a) 4·f f (b ))6 2

es una fórmula de Newton – Cotes cerrada con tres puntos de soporte (n = 2). Ahora el soporte está dado por caso x0 = a , x1 = (a+b)/2 y x2 = b, por lo que la distancia entre puntos del soporte es H = (b – a)/2 lo que nos permite escribir la fórmula como:

≈ + +∫b

0 1 2a

H H Hf ( x )·dx ·f ( x ) 4· ·f ( x ) ·f ( x )3 3 3

pudiendo comprobarse que, tal y como asegura el teorema 7.1., los pesos de la fórmula verifican:

c0 = c2 3º. La fórmula de Newton – Cotes abierta con 4 puntos de soporte (n = 3), en un intervalo genérico (a, b), utiliza un soporte en el que la distancia entre puntos consecutivos está dada por:

H = (b – a) / ( n+2) = (b-a)/5 por lo que los puntos del soporte serán:

+= + =0

4·a bx a H5

, += + =1

3·a 2·bx a 2·H5

,

+= + =2

2·a 3·bx a 3·H5

, += + =3

a 4·bx a 4·H5

Utilizando cualquiera de los métodos presentados en el apartado anterior puede obtenerse fácilmente la fórmula:

≈ + + +∫b

0 1 2 3a

55·H 5·H 5·H 55·Hf ( x )·dx ·f ( x ) ·f ( x ) ·f ( x ) ·f ( x )24 24 24 24

Nuevamente puede comprobarse que, tal y como asegura el teorema 7.1., los pesos de la fórmula verifican:

c0 = c3 y c1 = c2

•


64

Las fórmulas de Newton-Cotes construidas sobre un soporte de (n+1) puntos, al ser de tipo interpolatorio, son fórmulas exactas para todo polinomio de grado menor o igual que n (es decir son fórmulas de orden n). No obstante la simetría en los puntos del soporte respecto al punto medio del intervalo de integración hace que en el caso de que n sea par el orden se vea incrementado en una unidad. Este hecho se demuestra en el teorema siguiente: Terorema 7.2. Si n es par, el orden de exactitud de una fórmula de integración de Newton-Cotes construida sobre un soporte de (n+1) puntos es (n+1). Demostración: Toda fórmula de Newton – Cotes construida sobre un soporte de (n+1) puntos, al ser de tipo interpolatorio, es al menos de orden n. Ello, según la definición de orden de exactitud dada en apartados anteriores implica que permiten calcular sin error ninguno las integrales sobre cualquier intervalo acotado (a, b) de cualquier polinomio de grado menor o igual que n (o, lo que es equivalente, de todos los monomios { 1, x, ..., xn}). Por tanto, para demostrar este teorema, basta con demostrar que si n es par la fórmula también permite integrar sin error el monomio x(n+1). Realizaremos esta demostración, en una primera etapa, sobre el intervalo [-1, 1] y posteriormente la generalizaremos a un intervalo genérico [a, b]. a) Demostremos que en el intervalo [-1, 1] la fórmula permite calcular sin error

la integral del monomio ξ(n+1) . Es evidente que, al ser n par +

−

ξ ξ∫1

n 1

1

d = 0. Por

otra parte, dada la simetría del soporte de las fórmulas de Newton – Cotes respecto al punto central y según el teorema 7.1., denotando por γi ( i = 0, ..., n) a los pesos de la fórmula en [-1, 1], se verifica:

n(n 1)

i ii 0

· 0+

=

γ ξ =∑

lo que nos conduce a que si n es par: 1 n

(n 1) (n 1)i i

i 01

0 d+ +

=−

= ξ ξ = γ ξ∑∫

b) Demostremos que la fórmula es exacta para el cálculo de +∫b

n 1

a

x dx en

cualquier intervalo [a, b].


65

El valor de +∫b

n 1

a

x dx puede calcularse transformando el intervalo de integración

[-1, 1] en [a, b] mediante el cambio de variable: x = ((a+b)/2) + ((b-1)/2)·ξ por lo que:

(n 1)b 1n 1

a 1

b a a b b ax dx d2 2 2

++

−

− + −⎛ ⎞= + ξ ξ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

pudiendo evaluarse de forma exacta la integral en [-1, 1] del polinomo de grado

(n+1) dado por (n 1)a b b a

2 2

++ −⎛ ⎞+ ξ⎜ ⎟

⎝ ⎠mediante la fórmula de Newton-Cotes, es

decir: (n 1) (n 1)b 1 n

n 1i i

i 0a 1

b a a b b a b a a b b ax dx d2 2 2 2 2 2

+ ++

=−

− + − − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ξ ξ = γ + ξ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑∫ ∫

y puesto que, según la propiedad 7.1., los puntos de integración xi en el intervalo [a, b] son las imágnes de los puntos ξi mediante el cambio de variable considerado y que los pesos ci en el intervalo [a, b] se obtienen mediante la expresión ci = ((b-a)/2)·γi, se tiene finalmente que:

(n 1)b n nn 1 n

i i i ii 0 i 0a

b a a b b ax dx c ·x2 2 2

++

= =

− + −⎛ ⎞= γ + ξ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑∫

lo que demuestra que la fórmula es de orden (n+1).

c.q.d. NOTA: Antes de presentar las fórmulas de Newton-Cotes más usuales, conviene señalar que en las fórmulas de Newton – Cotes el valor absoluto del coeficiente de mayor valor absoluto crece con el número de puntos que se utilizan. Además, para las fórmulas cerradas con más de 8 puntos los signos de los coeficecientes se alternan (hasta ese número de puntos son todos positivos).Para las abiertas la alternacia de signos se produce ya para n = 2. La unión de estos dos hechos implica que las fórmulas de Newton-Cotes con más de 8 puntos de soporte sean muy sensibles a los errores de redondeo y en la práctica tengan un uso muy esporádico.


66

7.1. Fórmulas de Newton-Cotes cerradas Como se señaló anteriormente estas fórmulas de tipo interpolatorio permiten aproximar el valor de una integral definida en el intervalo [a, b] tomando los (n+1) puntos del soporte en la forma:

xi = a + i·H (i = 0, 1, …, n) siendo H = (b-a)/n. Para obtener las fórmulas correspondientes a cada valor de “n” pueden utilizarse cualquiera de los procedimientos detallados en el apartado 6. Si se expresa la fórmula en la forma:

=

−= α +∑∫

b n

i i fi 0a

b af(x)dx ·f(x ) R ((a,b))D

la tabla siguiente recoge, para distintos valores de n, los parámetros que definen cada una de las fórmulas correspondientes (así como, en su caso, el nombre13 por el que habitualmente se conoce a la fórmula). En la columna referente al error de la fórmula de integración, la expresión que aparece es válida sólo en el caso en que se suponga que la función f(x) es suficientemente regular en el intervalo (a, b) (más concretamente de clase Cn+1((a, b)) si n es impar y Cn+2((a, b)) si n es par). Si la función f(x) tuviera menor regularidad la expresión del error correspondiente debería estimarse según lo desarrollado en el apartado 5º.

( )( )( )( )( )( )

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

3

5 (iv

5 (iv

7 (vi

7 (vi

9 (viii

1 1 1 2 H /12 ·f ''( ) Trapecio

2 1 4 1 6 H / 90 ·f ( ) Simpson

3 1 3 3 1 8 3H / 80 ·f ( ) Regla 3 / 8

4 7 32 12 32 7 90 8H / 945 ·f ( ) Milne

5 19 75 50 50 75 19 288 275H /12096 ·f ( )

6 41 216 27 272 27 216 41 840 9H /1400 ·f ( ) Weddle

NOTAS: 1ª. Puesto que, como se demostró previamente, las fórmulas construidas para n par tienen el mismo orden de exactitud que las construidas con un un punto más, habitualmente se utilizan más las fórmulas en las que n es par , es decir

13 La fórmula obtenida con n = 3, en la tabla llamada “regla 3/8”, es citada también como “regla de 3/8 de Newton”. Asimismo, en la literatura francesa la fórmula obtenida para n = 4, aquí llamada “fórmula de Milne”, es denominada frecuentemente “fórmula de Boole-Villarceu”.

n αj (j=0, ..., n) D Rf((a,b) Nombre


67

las fórmulas de Simpson, Milne y Weddle. Junto a ellas, por su simplicidad, también es muy utilizada en la práctica la fórmula del trapecio. 2ª. El utilizar valores de n mayores a 7 conduce a fórmulas muy sensibles a los errores de redondeo y que prácticamente no son usadas. Por otra parte14, no puede demostrarse la convergencia de estas fórmulas cuando n tiende a infinito hacia el valor exacto de la integral ni aun en el caso de que la función a integrar sea de clase ∞C ((a,b)) . Por ello estas fórmulas son usadas, con un

número de puntos de soporte inferior a 7, para obtener a partir de ellas las denominadas fórmulas de cuadratura compuesta (que serán desarrolladas en el apartado 9º y que, en síntesis, consisten en aplicarlas sobre una partición del intervalo de integración (a, b) en subintervalos de menor longitud). 7.2. Fórmulas de Newton-Cotes abiertas (o fórmulas de Steffensen) Esta familia de fórmulas de tipo interpolatorio permiten aproximar el valor de una integral definida en el intervalo [a, b] tomando los (n+1) puntos del soporte en la forma:

xi = a + (i+1)·H (i = 0, 1, …, n) siendo H = (b-a)/(n+2). Para obtener las fórmulas correspondientes a cada valor de “n” pueden utilizarse cualquiera de los procedimientos detallados en el apartado 6. Si se expresa la fórmula en la forma:

=

−= α +∑∫

b n

i i fi 0a

b af(x)dx ·f(x ) R ((a,b))D

la tabla siguiente recoge, para distintos valores de n, los parámetros que definen cada una de las fórmulas correspondientes. En la columna referente al error de la fórmula de integración, la expresión que aparece es válida sólo en el caso en que se suponga que la función f(x) es suficientemente regular en el intervalo (a, b) (más concretamente de clase Cn+1((a, b)) si n es impar y Cn+2((a, b)) si n es par o nulo). Si la función f(x) tuviera menor regularidad la expresión del error correspondiente debería estimarse según lo desarrollado en el apartado 5º.

14 Consúltese, por ejemplo, M. Crouzeix y A. L. Mignot “Analyse numérique des équations differentielles” Ed. Masson (1984).


68

( )( )( )( )

ξ

ξ

− ξ

ξ

3

3

5 (iv

5 (iv

0 1 1 H / 3 ·f "( )

1 1 1 2 3H / 4 ·f "( )

2 2 1 2 3 14H / 45 ·f ( )

3 11 1 1 11 24 95H /144 ·f ( )

La fórmula obtenida para n = 0, muy utilizada en la práctica por su simplicidad, se conoce con el nombre de fórmula del punto medio (o de Poncelet). NOTA: Puesto que, como se demostró previamente, las fórmulas construidas para n par tienen el mismo orden de exactitud que las construidas con un punto más, habitualmente se utilizan más las fórmulas en las que n es par. Ejemplos: 1º) Obtengamos la fórmula de Newton - Cotes abierta con 5 puntos de soporte (n = 4) en el intervalo [0, 1]. Para ello sabemos que los puntos del soporte serán:

t0 = 1/6, t1 = 2/6, t2 = 3/6, t3 = 4/6 y t4 = 5/6 siendo la fórmula de la forma:

=

= γ +∑∫1 4

i i gi 00

g(t)dt g(t ) R ((0,1))

Puesto que esta fórmula debe ser exacta, al menos, para todo polinomio de grado menor o igual que 4, los coeficientes de la fórmula pueden obtenerse de las igualdades a las que conduce su aplicación a los monomios {1, t, t2, t3, t4}, es decir de las ecuaciones:

=

γ = ⇔ γ + γ + γ + γ + γ =+∑ ∫

14k k k k k k k

i i 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4i 0 0

1t t dt t · t · t · t · t ·k 1

(k = 0, 1, 2, 3, 4)

Se obtiene así el sistema:

n αj (j=0, ..., n) D Rf((a,b)


69

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎪ ⎪γ⎧ ⎫ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ γ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎜ ⎟=γ⎨ ⎬ ⎨⎝ ⎠⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ γ ⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎜ ⎟γ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭⎢ ⎥

⎪⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎪⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

0

1

2

3

4

11 1 1 1 111 2 3 4 526 6 6 6 611 4 9 16 25336 36 36 36 36

1 8 27 64 125 1216 216 216 216 216 4

1 16 81 256 625 11296 1296 1296 1296 1296 5

⎪⎪⎪⎪⎪

cuya única solución es:

γ =01120

, −γ =1

1420

, γ =22620

, −γ =3

1420

y γ =41120

Según el teorema 7.2, sabemos que esta fórmula es exacta también para los polinomios de grado 5 (ya que n es par). Por tanto para hallar la expresión del error de la fórmula la aplicaremos a t6, obteniendo que:

( )( )⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − + − + + ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ 6

6 6 6 6 616

t0

1 1 1 2 3 4 5t dt 11· 14· 26· 14· 11· R 0,17 20 6 6 6 6 6

⇒ = + ⇒ =6 6t t

1 1105 41R ((0,1)) R ((0,1))7 7776 54432

Si se compara este valor con el correspondiente a la expresión:

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

6

76 67

6t

d (t ) 1 5R ((0,1)) K·H · K· ·6! K·dt 6 1944

se obtiene que =41K

140.

2º) Generalicemos la fórmula obtenida en el ejemplo anterior para poder aplicarla al cálculo aproximado de integrales sobre un intervalo genérico (a, b). Puesto que la aplicación afín que transforma [0, 1] en [a, b] está dada por:

x = a + t·(b-a) se tiene que los puntos del soporte de integración en (a, b) serán:

+=0

5a bx6

, +=1

4a 2bx6

, +=2

3a 3bx6

, +=3

2a 4bx6

y +=4

a 5bx6

Los pesos de la fórmula se obtendrán multiplicando el jacobiano de la transformación, (es decir (b-a)) por los pesos de la fórmula hallada para el intervalo de referencia [0, 1]. Ello nos conduce a que:


70

= = −0 411c c (b a)20

, −= = −1 3

14c c (b a)20

, = −226c (b a)20

pudiendo escribirse la fórmula buscada en la forma: ⎛ ⎞− + + + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫b

a

(b a) 5a b 2a b a b a 2b a 5bf(x)dx · 11·f 14·f 26·f 14·f 11·f20 6 3 2 3 6

En cuanto al error cometido en un intervalo genérico su expresión, según se mostró en el apartado 6.1., será:

−⎛ ⎞= ξ⎜ ⎟⎝ ⎠

7(vi

f41 b aR ((a,b)) · ·f ( )

140 6 ξ ∈ (a,b)

3º) Apliquemos la fórmula obtenida en el ejemplo anterior al cálculo de

∫3

x

0

e cos(x)dx y comparemos con su valor exacto15.

En [0, 3] los 5 puntos del soporte de la fórmula de Newton-Cotes abierta son: x0 = ½ , x1 = 1, x2 = 3

2 , x3 = 2 y x4 = 52

En ellos los valores de la función f(x) = excos(x), redondeando hasta el 8 decimal, son: f0 = 1.44688904, f1 = 1.46869394, f2 = 0.31702214, f3 = -3.07493232, f4 = -9.75992726 por lo que:

( )≈ − + − + ≈∫3

x0 1 2 3 4

0

3e cos(x)dx · 11·f 14·f 26·f 14·f 11·f20

-9.10702610

Puesto que el valor exacto de esta integral es –9.02502985... el error cometido es: Error = Vexacto – Vaproximado = 0.08199625... Comparemos con la cota a la que nos conduciría la expresión de fR ((0,3))

antes obtenida. Para ello, en este caso se tiene que f(vi(x) = 8·ex·sen(x) cuyo valor máximo en el intervalo (0, 3) se alcanza en x* = 3π/4 . En este punto f(vi(x*) = 59.68390828 y por tanto:

⎛ ⎞≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠

7

f41 3R ((0,3)) · ·59.68390828

140 60.1365535...

cota que es mayor que el error realmente cometido.

15 Se deja como ejercicio propuesto al lector verificar que:

3x 3

0

1 1e cos( x )dx e (cos(3 ) sen(3 )) 9.02502985...2 2

= + − ≈ −∫


71

8. Fórmulas de cuadratura gaussiana. Según se ha demostrado previamente, todas las fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio, construidas sobre un soporte de (n+1) distintos son tienen garantizado un orden de exactitud de valor, al menos, n. Si no se necesita que la fórmula sea de mayor orden, pueden tomarse los (n+1) puntos del soporte libremente. No obstante, si se renuncia a tomar los puntos arbitrariamente y se escogen en posiciones determinadas dentro del intervalo de integración (a, b) puede aumentarse el orden de la fórmula. Un ejemplo de ello, analizado en el apartado anterior, son las fórmulas de Newton-Cotes construidas con soportes con un número impar de puntos (es decir con n par) que garantizan un orden de valor (n+1). El objetivo de este apartado es presentar una familia de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio que tienen órdenes de exactitud superiores a n. Tales fórmulas reciben el nombre del matemático alemán que, en la primera mitad del siglo XIX las obtuvo: Johan Carl Friedrich Gauss. Como se demostró anteriormente (teorema 4.1. del apartado 4º), una condición necesaria y suficiente para que una fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio sea de orden (n+q) es que se verifiquen las q igualdades siguientes:

=

− =∏∫b n

ki

i 0a

x (x x )·dx 0 (k = 0, ..., q-1). (S1)

Por tanto la idea que subyace en la obtención de fórmulas de orden (n+q) consiste en determinar soportes de interpolación con (n+1) puntos de forma que se satisfagan las ecuaciones no lineales que forman el sistema (S1). Pero (recuérdese el teorema 4.2. demostrado en el 4º apartado) el valor de q no puede superar el de (n+1) pues, de forma simplificada, ello nos conduciría a que el sistema anterior tiene más ecuaciones que incógnitas no admitiendo solución. En otros términos parece factible poder obtener fórmulas que, construidas sobre un soporte de (n+1) puntos tengan órdenes de exactitud n, (n+1), (n+2), ...., o (2n+1). Pero antes de poder afirmar esto es necesario demostrar que el sistema (S1) admite alguna solución para cualquier valor de q comprendido entre 1 y (n+1). Nosotros demostraremos este hecho sólo para el caso en que q toma el mayor de los valores posibles, es decir en el caso q = n+1. En dicho caso, además, el sistema (S1) admite una solución única formada por puntos de (a, b).


72

Teorema 8.1. Existe una única elección posible de los puntos del soporte { } =

ni i 0

x que hace

que la fórmula de integración de tipo interpolatorio:

=

= +∑∫b n

i i fi 0a

f(x)dx c f(x ) R ((a,b))

sea exacta para todo polinomio de grado menor o igual que (2n+1). Además los puntos de dicho soporte son distintos entre sí y pertenecen todos ellos al intervalo (a, b). Demostración: a) Demostremos en primer lugar la existencia de un único soporte que hace que la fórmula sea de orden (2n+1). Ello es equivalente a demostrar que existe

un único polinomio de la forma =

−∏n

ii 0

(x x ) verificando el sistema de ecuaciones:

=

− =∏∫b n

ki

i 0a

x (x x )·dx 0 (k = 0, 1, ..., n) (S2)

El polinomio =

−∏n

ii 0

(x x ) es un polinomio de grado (n+1) con coeficiente director

igual a la unidad. Por tanto podrá expresarse en la forma:

=

−∏n

ii 0

(x x ) = a0 + a1·x + a2·x2 + .... + an·xn + xn+1

Considerando esta expresión del polinomio, el sistema (S2) puede escribirse en la forma:

+

+ +

+

⎧ ⎫− = + +⎪ ⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪− = + +⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

− = + +⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

b b bn 1 n

n 0a a ab b b

n 2 n 1n 0

a a a

b b b2n 1 2n n

n 0a a a

x dx a x dx ... a dx

x dx a x dx ... a xdx

............... ... ................ ... .............

x dx a x dx ... a x dx

(S3)

Para que este sistema con las (n+1) incógnitas {a0, a1, ..., an} admita solución única es condición necesaria y suficiente que la matriz del sistema tenga rango (n+1), es decir que las filas de la matriz del sistema sean linealmente independientes. Demostremos, por reducción al absurdo, que esto es así. En efecto, si las filas de la matriz del sistema fuesen linealmente dependientes, existirían (n+1) escalares {β0 , β1, ..., βn} no todos nulos tales que:


73

( ) ( )+β + β + + β = β + β + + β =∫ ∫b b

n n 1 2n n n0 1 n 0 1 n

a a

·x ·x ... ·x dx x ·x ... ·x dx 0

( ) ( )− − −β + β + + β = β + β + + β =∫ ∫b b

n 1 n 2n 1 n 1 n0 1 n 0 1 n

a a

·x ·x ... ·x dx x ·x ... ·x dx 0

......................................... .................................. ....

( )β + β + + β =∫b

n0 1 n

a

·x ... ·x dx 0

Multiplicando la primera de las igualdades anteriores por βn , la segunda por βn-1, y así sucesivamente hasta llegar a la última que se multiplicaría por β0, y sumando las (n+1) igualdades obtenidas se tendría entonces que:

( )β + β + + β =∫b

2n0 1 n

a

·x ... ·x dx 0

lo cual sólo sería posible si β0 = β1 = ... = βn = 0 en contra de la suposición de que no todos ellos eran nulos. Por tanto las filas de la matriz del sistema (S3) son linealmente independientes y ello garantiza que existe un único juego de coeficientes {a0, a1, ..., an} que

hace que el polinomio =

−∏n

ii 0

(x x ) = (a0 + a1·x + a2·x2 + .... + an·xn + xn+1)

satisfaga el sistema (S2). Las raíces de dicho polinomio serán los puntos del soporte de la fórmula de integración considerada en el enunciado. b) Demostremos ahora que las (n+1) raíces del polinomio que verifica (S2) son todas diferentes y pertenecientes al intervalo (a, b). En efecto, denotemos por r al número de raíces de multiplicidad impar que pertenecen a (a, b). Como consecuencia directa del teorema fundamental del Álgebra es evidente que r no puede ser superior a (n+1). Demostremos entonces, nuevamente por reducción al absurdo, que r tampoco puede ser inferior a (n+1). En efecto, si r ≤ n , ordenando las raíces de forma que {x0, .., xr-1} fuesen las r raíces pertenecientes a (a, b) podemos considerar el polinomio:

−

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∏ ∏r 1 n

k ik 0 i 0

q(x) (x x ) · (x x ) si 0 < r < n

=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∏

n

ii 0

q(x) (x x ) si r = 0


74

El polinomio q(x) así definido es un polinomio de grado superior a n e inferior a (2n+1) y con todas sus raíces pertenecientes a (a, b) con multiplicidad par. Ello implicaría que el signo de q(x) en el intervalo (a, b) permanece constante.

Pero, por otra parte, si 0 < r < n escribiendo el polinomio −

=

−∏r 1

kk 0

(x x ) en la forma

−−

−=

− = λ + λ + + λ +∏r 1

r 1 rk 0 1 r 1

k 0(x x ) x ... x x

se tendría que: −

−= = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= λ − + λ − + + λ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∏ ∏ ∏ ∏

n n n nr 1 r

0 i 1 i r 1 i ii 0 i 0 i 0 i 0

q(x) (x x ) x (x x ) ... x (x x ) x (x x )

por lo que:

−

= = =

⎛ ⎞= λ − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∏ ∏∫ ∫ ∫

b b bn nr 1k r

k i ik 0 i 0 i 0a a a

q(x)dx x (x x ) x (x x )

siendo nulas, al verificarse el sistema (S2), todas las integrales que aparecen en la expresión anterior.

Y si r = 0 se tendría que =

= −∏∫ ∫b b n

ii 0a a

q(x)dx (x x )dx que también sería nula al

verificarse la primera de las ecuaciones de (S2) En resumen, si r < n se habría encontrado un polinomio q(x) de grado superior

a n e inferior a (2n+1) que no cambia de signo en (a, b) y tal que =∫b

a

q(x)dx 0

lo cual es absurdo (pues sólo podría suceder si q(x) fuese el polinomio idénticamente nulo y en ese caso su grado no sería superior a n).

En conclusión el único polinomio =

−∏n

ii 0

(x x ) que satisface el sistema (S2)

posee (n+1) raíces de multiplicidad impar en (a, b). Y como la suma de las multiplicidades de las raíces debe coincidir con el grado del polinomio, se tiene demostrado que estas raíces son además de multiplicidad 1.

c.q.d. Definición Se denominan fórmulas de cuadratura gaussiana a todas las fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio construidas sobre soportes de (n+1) puntos elegidos de forma que sean solución del sistema (S2).


75

Según la definición que se acaba de dar el proceso de construcción de una fórmula de cuadratura gaussiana se reduce a: 1º) Determinar los puntos del soporte resolviendo el sistema (S2)

2º) Determinar los pesos { } =

ni i 0

c de la fórmula de integración como las

integrales de los respectivos polinomios de base de Lagrange asociados al soporte de integración (o por cualquier otro método de los descritos en el apartado 6º).

3º) Determinar el error de integración numérica en la forma + += − ξ2n 3 (2n 2

fR ((a,b)) K·(b a) ·f ( ) según alguno de los procedimientos

presentados en el apartado 6º. Es habitual obtener estas fórmulas en un intervalo de referencia (frecuentemente el (-1, 1)) y posteriormente extenderlas a un intervalo genérico (a, b) tal como se analizó en el subapartado 6.1. Ilustremos este proceso con algún ejemplo. Ejemplos: 1º) Construyamos la fórmula de cuadratura gaussiana con un punto de soporte que permite evaluar integrales en el intervalo [a, b]. El punto del soporte debe ser tomado de tal forma que:

− =∫b

0a

(x x )dx 0 ⎡ ⎤⇔ − − − = ⇔⎣ ⎦2 2

0 01 (b x ) (a x ) 02

+⎡ ⎤⇔ − − − = ⇔ =⎣ ⎦2 2

0 01 a bb a 2(b a)x 0 x2 2

Es decir, en este caso la fórmula buscada es la fórmula del punto medio que ya ha sido analizada en apartados anteriores. 2º) Construyamos la fórmula de cuadratura gaussiana con 2 puntos de soporte (n = 1) que permite aproximar integrales definidas en (-1, 1). En este caso deben satisfacerse las dos ecuaciones:

1

0 11

( t t )( t t )dt 0−

− − =∫ 0 122t t 03

⇔ + =

1

0 11

t( t t )( t t )dt 0−

− − =∫ 0 12 ( t t ) 03

⇔ − + =


76

De la segunda ecuación se deduce quetx0 = -t1 y con ello la primera ecuación

conduce a que 01t3

−= y 1

1t3

= .

La fórmula de cuadratura gaussiana así construida se sabe que será exacta para todo polinomio de grado menor o igual que 3 = (2n+1). En particular es exacta para los monomios {1, t, t2, t3}. De plantear la exactidud de los valores aproximados y exactos para dos cualquiera de estos monomios se obtendrán los coeficientes de la fórmula buscada. Por ejemplo, si se consideran los dos primeros se tiene que:

1

0 1 0 11

dt ·1 ·1 2γ γ γ γ−

= + ⇔ = +∫

( )1

0 1 0 11

1 1 1tdt · · 03 3 3

γ γ γ γ−

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⇔ = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

De la segunda igualdad se tiene que γ0 = γ1 y entrando con este resultado en la primera igualdad resulta finalmente que γ0 = γ1 = 1. Por tanto la fórmula de cuadratura gaussiana con 2 puntos de soporte es:

1

1

1 1g(t )·dt g g3 3−

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

El error que con ella se comete podría obtenerse aplicando la fórmula al primer monomio para el que no es exacta y buscando dicho error en la forma:

( )5 ( ivgR (( 1,1)) K·H ·g ξ− =

No obstante, en este tipo de fórmulas la expresión del error es preferible buscarla no ya en función de la distancia entre los puntos de integración (que no son equidistantes) sino en función de la longitud del intervalo de integación lo que en este caso nos conduce a buscar el error en la forma:

Rg((-1, 1)) = K·25·g(iv(ξ) Aplicándolo a la función g(t) = t4 se tiene que:

4

4 4

t

2 1 1 8K·32·4 ! R (( 1,1))5 453 3

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

de donde: =1K

4320.

NOTA: A partir de la anterior puede obtenerse fácilmente la fórmula gaussiana con 2 puntos aplicable en un intervalo de integración genérico (a, b):


77

b

a

(b a) a b b a a b b af ( x )dx · f f2 2 22 3 2 3

⎛ ⎞− + − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫

con la que se comete un error dado por:

5( iv

f(b a)R ·f ( ) (a,b)

4320ξ ξ−

= ∈

3º) Construyamos la fórmula gaussiana que utilizando 3 puntos de soporte permite aproximar integrales sobre el intervalo (-1, 1). En este caso (n = 2) deben satisfacerse las tres ecuaciones:

1

0 1 21

( t t )( t t )( t t )dt 0−

− − − =∫ 0 1 2 0 1 22 ( t t t ) 2t t t 03

⇔ − + + − =

1

0 1 21

t( t t )( t t )( t t )dt 0−

− − − =∫ ( )0 1 2 0 12 2t t t ( t t ) 03 5

⇔ + + + =

12

0 1 21

t ( t t )( t t )( t t )dt 0−

− − − =∫ 0 1 2 0 1 22 2( t t t ) t t t 05 3

⇔ − + + − =

De la primera y tercera ecuaciones es fácil obtener que

t0 + t1 + t2 = 0 t0 · t1 · t2 = 0

lo que nos permite asegurar que algún punto está en la abscisa nula (llamemos a este t1) y con ello que los otros dos son simétricos respecto a él (es decir que t0 = -t2). Con ello la segunda ecuación se puede rescribir en la forma:

22

2 2t 03 5

− + =

de donde finalmente se obtiene que: 13t5

= − , t1 = 0 y 23t5

=

La fórmula de cuadratura gaussiana así construida se sabe que será exacta para todo polinomio de grado menor o igual que 5 = (2n+1). En particular es exacta para los monomios {1, t, t2, t3, t4, t5}. De plantear la exactidud de los valores aproximados y exactos para tres cualesquiera de estos monomios se


78

obtendrán los coeficientes de la fórmula buscada. Por ejemplo, si se consideran los tres primeros se tiene que:

1

0 1 2 0 1 21

1dt ·1 ·1 ·1 2γ γ γ γ γ γ−

= + + ⇔ = + +∫

( )1

0 1 2 0 11

3 3 3t·dt · ·0 · 05 5 5

γ γ γ γ γ−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + ⇔ = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

( )2 21

2 20 1 2 0 1

1

3 3 2 3t dt · ·0 ·5 5 3 5

γ γ γ γ γ−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + ⇔ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

De la segunda igualdad se tiene que γ0 = γ2 y entrando con este resultado en la tercera igualdad resulta que γ0 = γ2 = 5

9 . Con estos valores la primera igualdad obliga a que γ1 = 8

9 . Por tanto la fórmula de cuadratura gaussiana con 3 puntos

de soporte es: 1

1

1 3 3g(t )·dt 5·g 8·g(0 ) 5·g9 5 5−

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ − + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

El error que con ella se comete podría obtenerse aplicando la fórmula al primer monomio para el que no es exacta y buscando dicho error en la forma:

Rg((-1, 1)) = K·27·g(vi(ξ) Aplicándolo a la función g(t) = t6 se tiene que:

6

6 6

t

2 1 3 3 8K·128·6 ! R (( 1,1)) 5· 8·0 5·7 9 5 5 175

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= − = − − + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

de donde: 3K2016000

= .

NOTA: A partir de la anterior puede obtenerse fácilmente la fórmula gaussiana con 3 puntos aplicable en un intervalo de integración genérico (a, b):

( ) ( )⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −− + +⎜ ⎟≈ − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫b

a

3 b a 3 b a(b a) a b a bf(x)dx · 5·f 8·f(0) 5·f18 2 22 5 2 5

con la que se comete un error dado por: −

= ξ ξ ∈7

(vif

(b a)R ·f ( ) (a,b)2016000

•


79

Como ponen de manifiesto los ejemplos anteriores, la principal dificultad a la hora de determinar una fórmula de integración gaussiana consiste en resolver el sistema de ecuaciones no lineales que proporciona los puntos y el sistema de ecuaciones lineales que proporciona los pesos correspondientes. No obstante este trabajo se puede ver aligerado considerablemente si se dispone de la ubicación de los puntos de soporte y de los pesos correspondientes en un intervalo de referencia. En la bibliografía16 pueden encontrarse tablas en la que se proporcionan estos puntos para distintos valores de n. La tabla siguiente recoge la posición de los puntos de integración (redondeando sus valores a los 10 primeros decimales significativos) así como la de los pesos correspondientes en el intervalo [-1, 1] para las fórmulas con n comprendido entre 0 y 4.

n1

j j1j 0

g( t ).dt .g( t )γ−

=

≈ ∑∫

n . . jt (j = 0, ..., n). . jγ (j = 0, ..., n).

0 (1 pto.) 0.0000000000 2.0000000000

1 (2 ptos.) -0.5773502691 1.0000000000

0.5773502691 1.0000000000

2(3 ptos.) -0.7745966692 0.5555555556 0.0000000000 0.8888888889 0.7745966692 0.5555555556

3 (4 ptos.) -0.8611363116 0.3478548451 -0.3399810436 0.6521451548 0.3399810436 0.6521451548

0.8611363116 0.3478548451

4 (5 ptos.) -0.9061798459 0.2369268850 -0.5384693101 0.4786286705 0.0000000000 0.5688888889

0.5384693101 0.4786286705 0.9061798459 0.2369268850

16 Puede consultarse, por ejemplo, O.C. Zienckiewicz “El método de los elementos finitos” Ed. Reverté (19XX) para encontrar una tabla más completa que la que aquí incluimos.


80

NOTAS: 1ª. A diferencia de lo que sucedía en las fórmulas de Newton-Cotes, las fórmulas de integración gaussiana tienen siempre todos sus pesos positivos. Por motivos (cuya explicación detallada excede los objetivos que nos hemos marcado con estos apuntes) este hecho les confiere una gran estabilidad frente a los errores de redondeo pudiendo ser utilizadas fórmulas gaussianas con valores de n elevados cuando se desea tener una gran precisión en los cálculos. 2ª. Los fundamentos de las fórmulas de integración gaussiana, en un marco más general, están estrechamente ligados a la teoría de los polinomios ortogonales. Su estudio desborda los límites que nos hemos marcado al elaborar estos apuntes y por ello no entraremos en detalle en estos aspectos. Pero conviene señalar que para funciones ω(x) suficientemente buenas es posibles demostrar que existen sucesiones de polinomios ortogonales17 { }k k 0Q ( x ) ∞

=, siendo Qk(x) de grado k, con todas sus raíces distintas y en (a, b),

verificando que:

bk

n 1a

x ( x )·Q ( x )·dx 0ω + =∫ (k = 0, ...,n)

Si se construye una fórmula de cuadratura de tipo interpolatorio soportada en las raíces de uno de tales polinomios, Qn+1(x), puede demostrarse que dicha

fórmula permite calcular sin error las integrales b

na

p ( x )· ( x )·dxω∫ siempre que

pn(x) sea un polinomio de grado menor o igual que (2n+1). En el caso particular en que a = -1, b = 1 y ( x ) 1ω ≡ la familia de polinomios

ortogonales { }k k 0Q ( x ) ∞

= es la formada por los polinomios de Legendre18. En

dicho caso las fórmulas de integración numérica que se obtienen son la

17 En este contexto diremos que dos polinomios p(x) y q(x) son ortogonales si verifican que

b

a

( x )·p( x )·q( x )·dx 0ω =∫

18 Los polinomios de Legendre se definen de forma recursiva, a partir de Q0(x)=1, imponiendo

la condición de que Qk(x) sea de grado k y verifique que 1

k j1

Q ( x )·Q ( x )·dx 0−

=∫ . Toman su

nombre del matemático francés Adrien Marie Legendre (París, 1752 – París, 1833) quien los introdujo en un trabajo sobre la forma de los planetas publicado en 1784.


81

fórmulas de Gauss que se acaban de presentar particularizadas al intervalo [-1, 1]. Por dicho motivo estas fórmulas se denominan también fórmulas de Gauss-Legendre. Para otras elecciones de los límites del intervalo de integración y de la función ( x )ω se obtienen otras familias de fórmulas tales como las de Gauss-Chebyshev19 (con ]a, b[ = ]-1, 1[ y 2 1 / 2( x ) (1 x )ω −= − ), Gauss-Hermite20

(con ]a, b[ = ]-∞ , ∞ [ y 2x( x ) eω −= ), Gauss-Laguerre21 (con ]a, b[=]0 , ∞ [ y

x( x ) x eαω −= ), .... El estudio detallado de este tipo de fórmulas, de gran interés

cuando se trabaja con funciones singulares o en intervalos no acotados, exigiría la introducción de numerosos conceptos previos sobre aproximación polinómica y sobrepasaría ampliamente el marco de estos apuntes. Por ello remitimos al lector interesado a la bibliografía recogida al final de este tema para un estudio más profundo de estas familias de fórmulas de integración. 2ª. En cuanto hemos desarrollado anteriormente nos hemos centrado en las fórmulas que usando (n+1) puntos de soporte proporcionan el mayor orden de exactitud posible(orden (2n+1)). Pero existen también fórmulas que usando (n+1) puntos de soporte tienen órdenes de exactitud mayores que n e inferiores a (2n+1). Dichas fórmulas se obtienen tomando un soporte que satisfaga el sistema (S1) dándole a q algún valor comprendido entre 1 y n. El sistema de ecuaciones no lineales que así se obtiene tiene menos ecuaciones (q) que incógnitas (los (n+1) puntos del soporte) lo cual permite tomar casi arbitrariamente (n+1-q) puntos y en función de dicha elección determinar los q puntos restantes para que la fórmula tenga el orden requerido. Ejemplos de tales fórmulas son las llamadas fórmulas de Gauss-Lobatto en las que se obliga a que x0=a y xn = b obteniendo los (n-1) puntos restantes mediante la resolución del sistema (S1) con q = n-1 (y obteniéndose por ello fórmulas de orden (2n-1) cuando se usan (n+1) puntos de soporte) o las fórmulas de Gauss - Radau a izquierda (resp. a derecha) en las que se fija x0 = a (resp. xn = b) obteniéndose los n puntos restantes resolviendo el sistema (S1) con q = n y obteniéndose así fórmulas de orden 2n.

19 En honor al matemático ruso Pafnuty Lvovich Chebyshev (Okatovo (Rusia), 1821 – San Petersburgo (Rusia) 1894) quien introdujo los polinomios que llevan su nombre en una publicación de 1854. 20 En honor al matemático francés Charles Hermite (Dieuze (Francia), 1822 – París, 1901)quien los introdujo en sus trabajos para demostrar la irracionalidad del número e publicados en 1873. 21 En honor al matemático francés Edmond Nicolas Laguerre (Bar-le-Duc (Francia), 1834 – Bar-le-Duc 1886) ya que dichos polinomios son soluciones de la denominada ecuación diferencial de Laguerre.


82

9. Fórmulas de cuadratura compuestas. Los errores cometidos con las fórmulas de integración de tipo interpolatorio al calcular integrales en un intervalo (a, b) tienen expresiones en las que interviene (b-a)m donde m es un entero relacionado con el número de puntos (n+1) que forman el soporte sobre el que se construye la fórmula. Ello hace que en general no pueda asegurarse la convergencia del valor aproximado hacia el exacto cuando el número de puntos del soporte se hace tender hacia infinito. Junto a ello, debemos recordar que fórmulas como las de Newton – Cotes se vuelven muy sensibles a los errores de redondeo cuando se eleva el número de puntos de sus soportes. Todo ello indica que, antes que incrementar arbitrariamente el numero de puntos de soporte de una fórmula, es más eficiente a la hora de mejorar la precisión de los valores aproximados subdividir el intervalo de integración (a, b) en M subintervalos de menor longitud y aplicar en cada uno de ellos fórmulas con un número relativamente bajo de puntos de soporte. Dedicaremos este apartado a detallar cómo se realiza este proceso y a analizar las fórmulas resultantes. Dado el intervalo de integración (a, b) denotaremos por {z0 = a < z1 < z2 < ... < zM-1 < zM = b) a (M+1) puntos de [a, b] y designaremos por Ij al intervalo (zj-1 , zj) con 1 ≤ j ≤ M. Obviamente se verifica que:

j

j 1

zb M

j 1a z

f ( x )dx f ( x )dx−

=

= ∑∫ ∫ (1)

Con esta notación, se denominan fórmulas de cuadratura compuestas a todas aquellas fórmulas que se obtienen como resultado de aproximar los valores de

las integrales j

j 1

z

z

f ( x )dx−

∫ que aparecen en la expresión (1) mediante una

fórmula de tipo interpolatorio. Más concretamente, si en cada intervalo Ij se utiliza una fórmula con (nj +1) puntos de integración de la forma:

j j

j 1

z n

j ,i j ,i f j 1 ji 0z

f ( x )dx c ·f ( x ) R (( z ,z ))−

−=

= +∑∫

se obtendrá la fórmula de cuadratura compuesta:

a = z0 z1 z2 zj-1 zj zM-1

zM = b

I1 I2 Ij IM


83

jnb M M

i , j i , j f j 1 jj 1 i 0 j 1a

f ( x )dx c ·f ( x ) R ((z ,z ))−= = =

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑∫

En esta expresión, el término:

jnM

j ,i j ,ij 1 i 0

V c ·f ( x )= =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

es el valor aproximado de b

a

f ( x )dx∫ al que conduce la fórmula compuesta

mientras que el último sumatorio proporcionará el error de la fórmula de integración:

M

f f j 1 jj 1

R ((a,b)) R (( z ,z ))−=

= ∑

Si el punto zj coincidiera con el último de los puntos de integración de la fórmula elegida sobre el intervalo Ij y con el primero de los de la fórmula seleccionada para Ij+1 los pesos con los que se ve afectado en ambas fórmulas se sumarán en el proceso que se acaba de describir. Aunque pueden obtenerse fórmulas compuestas utilizando diferentes fórmulas “simples” de integración en cada subintervalo Ij, las fórmulas más utilizadas en la práctica son aquellas que utilizan la misma fórmula de integración para el cálculo de todas las integrales sobre los intervalos Ij. En este tipo de fórmulas será en las que nos centraremos en cuanto sigue. Antes de abordar casos generales, ilustremos el procedimiento que acabamos de describir con algunos ejemplos concretos. Ejemplos: 1º) Fórmula del trapecio compuesta. Es la que se obtiene de integrar en cada intervalo Ij mediante la fórmula del trapecio. Recordando que:

j

j 1

z 3j j 1 j j 1

j 1 j j j j 1 jz

( z z ) ( z z )f ( x )dx · f ( z ) f ( z ) f "( ) ( z ,z )

2 12ξ ξ

−

− −− −

− −⎡ ⎤= + + ∈⎣ ⎦∫

el proceso anterior nos conduce a la denominada fórmula del trapecio compuesta dada por:

( )b M M

j j 1 3j 1 j j j 1 j

j 1 j 1a

( z z ) 1f ( x )dx f ( z ) f ( z ) ( z z ) ·f ''( )2 12

ξ−− −

= =

−= + + −∑ ∑∫

pudiendo escribirse el valor aproximado al que conduce la fórmula del trapecio compuesta como:


84

b M 1

1 0 M M 10 M j 1 j 1 j

j 1a

z z z zf ( x )dx V f ( z ) f ( z ) ( z z )f ( z )2 2

−−

+ −=

⎡ ⎤− −≈ = + + −⎢ ⎥

⎣ ⎦∑∫

y el error de la fórmula, si 2f C ((a,b))∈ , como:

M3

f j j 1 jj 1

1R ((a,b)) ( z z ) ·f ''( )12

ξ−=

= −∑

En el caso particular en que los puntos { }M

j j 0z

= estén uniformemente repartidos

en (a, b), denotando por h a la distancia entre dos puntos consecutivos, la fórmula anterior puede simplificarse y escribirse como:

b 3M 1 M

j jj 1 j 1a

f (a ) f (b ) hf ( x )dx h· f ( z ) f ''( )2 12

ξ−

= =

⎡ ⎤+= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ ∑∫

Más adelante analizaremos cómo puede simplificarse la expresión del término de error de la expresión anterior. 2º. Fórmula de Simpson compuesta. Es la que se obtiene de integrar en cada intervalo Ij mediante la fórmula del trapecio. Recordando que:

j

j 1

z 5j j 1 j 1 j j j 1 ( iv

j 1 j j j j 1 jz

( z z ) z z (z z )f ( x )dx · f ( z ) 4f f ( z ) f ( ) ( z ,z )

6 2 2880ξ ξ

−

− − −− −

− ⎡ + ⎤ −⎛ ⎞= + + + ∈⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦∫

la suma de las integrales sobre cada subintervalo nos conduce a la denominada fórmula de Simpson compuesta dada por:

b M Mj j 1 j 1 j 5 ( iv

j 1 j j j 1 jj 1 j 1a

( z z ) z z 1f ( x )dx f ( z ) 4f f ( z ) ( z z ) ·f ( )6 2 2880

ξ− −− −

= =

− ⎛ + ⎞⎛ ⎞= + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑∫

El valor de la integral es aproximado con la fórmula de Simpson compuesta por:

b M 1 Mj 1 j 1 j j 1 j 1 j1 M 1

jj 1 j 0a

( z z ) ( z z ) z z(z a) (b z )f ( x )dx V f (a) f (b) f ( z ) 2 f6 6 6 3 2

−+ − − −−

= =

⎛ − − + ⎞⎛ ⎞− −≈ = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑∫

cometiéndose un error que, si 4f C ((a,b))∈ , se puede expresar como:

M

5 ( ivf j j 1 j

j 1

1R ((a,b)) ( z z ) ·f ( )2880

ξ−=

= −∑


85

En el caso particular en que los puntos { }Mj j 0

z=

estén uniformemente repartidos

en (a, b), denotando por h a la distancia entre dos puntos consecutivos, la fórmula anterior puede escribirse como:

b 5M 1 M Mj 1 j ( iv

j jj 1 j 1 j 1a

z zh hf ( x )dx · f (a) f (b) 2 f ( z ) 4 f f ( )6 2 2880

ξ−

−

= = =

⎡ + ⎤⎛ ⎞= + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ∑ ∑∫

Más adelante analizaremos cómo puede simplificarse la expresión del término de error de la expresión anterior.

• En general, si se utiliza una misma fórmula con (n+1) puntos para calcular las integrales sobre cada subintervalo, se denota por { xj,0, xj,1, ..., xj,n} a los n puntos de integración sobre el intervalo Ij, por {cj,0, cj,1, ..., cj,n} a los correspondientes pesos de la fórmula en el intervalo Ij y se admite que en cada subintervalo Ij el error de la fórmula responde a una expresión de la forma:

( )q ( pf j 1 j j j 1 j j j 1 jR (( z ,z )) K·( z z ) ·f ( z ,z )ξ ξ− − −= − ∈

se aproximará el valor de la integral por: M n

j ,i j ,ij 1 i 0

V c ·f ( x )= =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

y se cometerá un error dado por la expresión: M

q ( pf j j 1 j

j 1R ((a,b)) K (z z ) ·f ( )ξ−

=

= −∑ j j 1 j( z ,z ) ( j 1,...,M )ξ −∈ =

En la expresión del error que se acaba de escribir, los valores de (zj – zj-1)q siempre será positivo. Denotando por hj = (zj – zj-1) a la longitud del intervalo Ij la expresión de error puede rescribirse como:

Mq ( p

f j jj 1

R ((a,b )) K h ·f ( )ξ=

= ∑ j j 1 j( z ,z ) ( j 1,...,M )ξ −∈ =

La obtención de una expresión más simple del error (en la que se elimine el sumatorio que aparece en la igualdad anterior) se basa en el siguiente teorema: Teorema 9.1. Siendo g(x) una función continua en un intervalo [a, b] y dados M puntos { }M

j j 1ξ

=

del intervalo [a, b] y M números reales { }Mj j 1

α=

todos ellos del mismo signo y no

nulos, existe al menos un punto (a,b)ξ ∈ para el que se verifica que:


86

M

j jj 1

g( ) g( )α ξ α ξ=

=∑

donde M

jj 1

α α=

= ∑ .

Demostración: Al ser g(x) una función continua y haber considerado el intervalo [a, b] cerrado, el segundo teorema de Weierstrass22 asegura que la función g(x) alcanzará un valor máximo y un valor mínimo en [a, b], verificándose para cualquier punto ξ∈ [a, b] que:

( )x [ a,b ] x [ a,b ]min g( x ) g max g( x )ξ∈ ∈

≤ ≤

En particular para cada uno de los puntos { }Mj j 1

ξ=

se verifica:

( )ix [ a,b ] x [ a,b ]

min g( x ) g max g( x )ξ∈ ∈

≤ ≤ (j = 1, ..., M) (1)

a) Si los números { }M

j j 1α

= fuesen todos ellos positivos, las desigualdades dadas

por la expresión (1) implican que:

( ) ( ) ( )j j i jx [ a,b ] x [ a,b ]min g( x ) g max g( x )α α ξ α∈ ∈

≤ ≤ (j = 1, ..., M)

que sumadas para todos los valores permitidos al índice j y denotando por α al

número estrictamente positivo M

jj 1

α α=

= ∑ conducen a que:

( ) ( )( ) ( )M M n

j j j jx [ a,b ] x [ a,b ]j 1 j 1 j 1min g( x ) g max g( x )α α ξ α∈ ∈

= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ≤ ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑

( ) ( )( ) ( )M

j jx [ a,b ] x [ a,b ]j 1min g( x ) g max g( x )α α ξ α∈ ∈

=

⇔ ≤ ≤ ⇔∑

( )M

j jx [ a,b ] x [ a,b ]j 1

1min g( x ) g max g( x )α ξα∈ ∈

=

⇔ ≤ ≤∑

Luego ( )M

j jj 1

1 gα ξα =

∑ tiene un valor intermedio entre el menor y el mayor valor

de g(x) en [a, b]. Al ser g(x) continua ese valor intermedio será alcanzado en, al menos un punto de [a, b]. Denotemos por ξ a uno de los puntos en los que la

función g tome este valor intermedio. Se verifica entonces que:

22 Segundo teorema de Weierstrass: “Toda función continua definida en un intervalo cerrado alcanza un valor máximo y un valor mínimo en algunos puntos de dicho intervalo”.


87

[ ] ( )M

j j1

1a,b / g( ) gξ ξ α ξα

∃ ∈ = ∑

o lo que es lo mismo: [ ] ( )M

j j1

a,b / g g( )ξ α ξ α ξ∃ ∈ =∑ .

b) Si los números { }M

j j 1α

= fuesen todos ellos negativos, las desigualdades

dadas por la expresión (1) implican que:

( ) ( ) ( )j j i jx [ a,b ] x [ a,b ]min g( x ) g max g( x )α α ξ α∈ ∈

≥ ≥ (j = 1, ..., M)

que sumadas para todos los valores permitidos al índice j y denotando por α al

número estrictamente negativo M

jj 1

α α=

= ∑ conducen a que:

( ) ( )( ) ( )M M n

j j j jx [ a,b ] x [ a,b ]j 1 j 1 j 1min g( x ) g max g( x )α α ξ α∈ ∈

= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≥ ≥ ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑

( ) ( )( ) ( )M

j jx [ a,b ] x [ a,b ]j 1min g( x ) g max g( x )α α ξ α∈ ∈

=

⇔ ≥ ≥ ⇔∑

( )M

j jx [ a,b ] x [ a,b ]j 1

1min g( x ) g max g( x )α ξα∈ ∈

=

⇔ ≤ ≤∑

Utilizando el mismo razonamiento que en el caso a), se concluye que también en este caso:

[ ] ( )M

j j1

a,b / g g( )ξ α ξ α ξ∃ ∈ =∑

c.q.d. El teorema anterior permite demostrar fácilmente el siguiente teorema: Teorema 9.2. Sea f una función de clase Cp([a, b]), donde el entero p es el índice que aparece en la expresión de la fórmula de integración compuesta:

b M n Mq ( p

j ,i j ,i j jj 1 i 0 j 1a

( x )dx c ( x ) K h ( )ϕ ϕ ϕ ξ= = =

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑∫

Se verifica entonces que existe algún punto [ a,b ]ξ ∈ tal que el error de la

fórmula de integración al aplicarla al cálculo de b

b

f ( x )dx∫ está dado por:

Mq ( p

f jj 1

R ((a,b)) K· h ·f ( )ξ=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑


88

Demostración: Es una consecuencia inmediata del teorema 9.1 si en él se toma como función g(x) a la función f(p(x) y la secuencia de números positivos { }Mq

j j j 1hα

== .

c.q.d. En el caso particular en que todos los subintervalos Ij = [zj-1, zj] tengan la misma longitud (h = hj , 1 < j < M) la expresión del error puede simplificarse aún más ya que:

M Mq ( p q ( p q ( p

f jj 1 j 1

R ((a,b)) K· h ·f ( ) K· h ·f ( ) K·(M·h )·f ( )ξ ξ ξ= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑

y teniendo en cuenta que en este caso (b-a) = M·h, resulta finalmente la expresión:

q 1 ( pfR ((a,b)) K·(b a)·h f ( )ξ−= −

Si la longitud de los subintervalos Ij no fuese la misma, puede denotarse por h a la mayor de ellas, j1 j M

h max h≤ ≤

= , y acotarse la expresión del error como sigue:

M Mq ( p q 1 ( p

f j jj 1 j 1

R ((a,b)) K· h ·f ( ) K· h ·h ·f ( )ξ ξ−

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ≤ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑

M

q 1 ( p q 1 ( pj

j 1K·h · h ·f ( ) K(b a)h f ( )ξ ξ− −

=

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

Ejemplos 1º. Si la función que se integra f(x) es de clase C2([a, b]), la fórmula del trapecio compuesta obtenida en ejemplos anteriores, presenta un error de integración que puede expresarse por

M3

f j jj 1

1R ((a,b)) h ·f ''( )12

ξ=

= ∑

Este error, según el teorema 9.2, puede expresarse en la forma:

M3

f jj 1

1R ((a,b)) h f "( ) [ a,b]12

ξ ξ=

⎛ ⎞= ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠∑


89

En el caso de que todos los subintervalos tengan la misma longitud la expresión del error se simplifica a:

2f

(b a)R ((a,b)) h f "( ) [ a,b ]12

ξ ξ−= ∈

Y si los subintervalos Ij tienen longitudes diferentes, denotando por h a la mayor de las longitudes hj de los subintervalos Ij , el error puede acotarse por:

2f

( b a)R ((a,b )) h f "( ) [ a,b ]12

ξ ξ−≤ ∈

2º. Si se calcula el valor de la integral en (a, b) de una función que sea de clase C4([a, b]) mediante la fórmula de Simpson compuesta (obtenida en ejemplos anteriores) el error de integración se expresa por

( )M

5 ( ivf j j

j 1

1R ((a,b)) h ·f ( )2880

ξ=

= ∑

El teorema 9.2. nos permite rescribir esta expresión del error en la forma:

M5 ( iv

f jj 1

1R ((a,b)) h ·f ( ) (a,b)2880

ξ ξ=

⎛ ⎞= ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

Si las longitudes de todos los subintervalos Ij en los que se subdivide (a, b) es la misma, la expresión del error puede simplificarse en la forma:

4 ( ivf

( b a)R ((a,b )) h ·f ( ) (a,b )2880

ξ ξ−= ∈

Y si la longitud de los subintervalos Ij no es constante, el error de integración está acotado por:

4 ( ivf

( b a)R ((a,b )) h · f ( ) (a,b )2880

ξ ξ−≤ ∈

donde se ha denotado por h a la mayor de las longitudes de los subintervalos Ij, es decir ( )j1 j M

h max h≤ ≤

= .

• NOTA:


90

Obsérvese que la acotación realizada para el error de integración de las fórmulas compuestas hace intervenir la potencia (q-1)-ésima de la longitud del mayor de los M subintervalos en que se subdivide el intervalo inicial de integración. Ello asegura, a diferencia de lo que sucedía con las fórmulas “simples”, que haciendo tender la longitud de los subintervalos hacia cero el valor aproximado tenderá hacia el valor exacto de la integral. En otros términos, con las fórmulas compuestas puede asegurarse la convergencia hacia el valor exacto. Ejercicios propuestos 1º) Obtener la fórmula de Milne compuesta así como la expresión de su error y una cota del mismo. 2º) Obtener la fórmula compuesta que utiliza en cada subintervalo de integración una fórmula de Newton-Cotes abierta con 4 puntos de soporte. Obtener también la expresión de su error y una cota del mismo. 3º) a) Utilizar la fórmula del trapecio compuesta para calcular el valor de:

( )3 / 4

x

0

sen e dxπ

π∫

Realícense los cálculos con 3, 6 y 12 subintervalos de igual longitud. b) Repítase el apartado anterior pero utilizando ahora la fórmula de Simpson compuesta.


91

10. El método de Romberg. Consideremos la fórmula compuesta del trapecio obtenida en el apartado anterior, con una subdivisión del intervalo de integración (a, b) en M subintervalos (zi-1, zi) (i = 1, ..., M) todos ellos de la misma longitud h:

b M 1

jj 1a

f (a ) f (b )f ( x )dx h· f ( z )2

−

=

⎡ ⎤+≈ +⎢ ⎥

⎣ ⎦∑∫

Según se dedujo en el apartado anterior, si la función f(x)que se integra es de clase

C2(([a, b]), el error de integración numérica cometido con esta fórmula puede

expresarse, mediante:

−= ξ ξ ∈2

f(b a)R ((a,b)) h f "( ) [a,b]

12

que brevemente lo expresaremos diciendo que el error es de orden O(h2). Esto nos indica que si el número de subintervalos considerados fuese el doble, 2M, el error de integración se reduciría, aproximadamente, a la cuarta parte. Y si el número de subintervalos fuese el triple (reduciendo la longitud de cada subintervalo a la tercera parte) el error se reduciría a la novena parte. En general, el error cometido con (k·M) subintervalos será, aproximadamente, (1/k2) veces el error cometido con sólo M subintervalos. Ello justifica que cuando el número de subintervalos (de la misma longitud) tienda a infinito el valor aproximado, teóricamente23, tienda al valor exacto de la integral. Ejemplo: La figura siguiente recoge la evolución del error de integración numérica cometido al aplicar la fórmula del trapecio compuesta a la estimación de la

integral x

0

e sen( x )dxπ

∫ subdividiendo el intervalo [0, π] en m subintervalos y

asignando a m los valores m = 1, 2, ...., 10. Puede apreciarse en dicha gráfica la reducción cuadrática del error.

23 Decimos teóricamente pues al incrementar el número de subintervalos también se incrementa el número de operaciones y con ello, si se opera en aritmética decimal finita, el error de redondeo.


92

Evolución del error de integración numérica obtenido al aplicar la

fórmula del trapecio compuesta con m subintervalos a x

0

e sen( x )dxπ

∫

• En la práctica, por una parte, no se puede operar con “infinitos” subintervalos y, por otra, el incremento del número de operaciones (en aritmética finita) conlleva el aumentar de manera indiscriminada el número de intervalos introduzca, a partir de un determinado valor, errores de redondeo que sean mayores que la ganancia derivada de la reducción de la longitud de los subintervalos conduciendo a resultados peores que los obtenidos con una subdivisión menos fina. Ejemplo: La figura siguiente recoge el comportamiento “errático” del error de integración

numérica cometido al aproximar x

0

e sen( x )dxπ

∫ con la fórmula del trapecio

compuesta utilizando subdivisiones en m subintervalos de igual longitud y con valores de m comprendidos entre 1400 y 1500 subintervalos. Los cálculos fueron realizados con el programa MAPLE 7 utilizando 6 dígitos significativos.

m

Error


93

Evolución del error de integración numérica obtenido al aplicar la

fórmula del trapecio compuesta con m subintervalos a x

0

e sen( x )dxπ

∫

•

Es interesante disponer de fórmulas compuestas con un error de mayor orden para que así incrementos “moderados” del número de subintervalos conlleven reducciones mayores del error de integración numérica. Algunas de tales fórmulas pueden obtenerse según se describió en el apartado anterior y presentan un error de orden superior a 2 (como las de Simpson compuesta, regla de “3/8” de Newton compuesta, Weddle compuesta, ....). Pero también necesitan un mayor número de puntos en cada subintervalo y, con ello, un mayor volumen de operaciones. Una estrategia alternativa, basada en el método del trapecio, para incrementar el orden del error en las fórmulas de integración es el método de Romberg en el que combinando aproximaciones de menor orden pueden obtenerse nuevas aproximaciones más precisas del valor exacto de la integral que se quiere calcular. Este método se basa en la denominada fórmula del sumatorio de Euler-Maclaurin que nos permite expresar el error de integración cometido con la fórmula del trapecio compuesta de una manera más útil para nuestros objetivos. Por ello, antes de abordar el método de Romberg propiamente dicho, pasamos a presentar la fórmula de Euler-Maclaurin en el próximo subapartado.

m

Error


94

10.1 La fórmula del sumatorio de Euler-Maclaurin Consideremos una función f(ξ) suficientemente regular (en un sentido que explicitaremos más adelante) en el intervalo [0, 1] y sea p1(ξ) un polinomio de primer grado cuya primera derivada sea la función unidad es decir de la forma p1(ξ) = ξ + α1, donde, en principio, α1 puede ser cualquier constante real arbitrariamente elegida. Con esta notación obviamente se verifica que:

= ξ ξ = ξ ξ = ξ ξ ξ∫ ∫ ∫1 1 1

exac 10 0 0

V f( )d 1·f( )d p '( )·f( )d

Integrando por partes se obtiene:

]= ξ ξ − ξ ξ ξ∫1

1exac 1 10

0

V p ( )·f( ) p ( )·f '( )d

Sea ahora p2(ξ) cualquier polinomio de segundo grado cuya primera derivada sea p1(ξ), es decir p2(ξ) = (½)ξ 2 + α1· ξ + α2, pudiendo elegirse, en principio, α2 arbitrariamente. Con esta notación se tiene que:

] ] ]= ξ ξ − ξ ξ ξ = ξ ξ − ξ ξ + ξ ξ ξ∫ ∫1 1

1 1 1exac 1 2 1 2 20 0 0

0 0

V p ( )·f( ) p '( )·f '( )d p ( )·f( ) p ( )·f '( ) p ( )·f "( )d

Este proceso puede generalizarse considerando una sucesión de polinomios { }∞

=ξk k 1

p ( ) , definidos a partir del polinomio p1(ξ) y tales que −ξ = ξk k 1p '( ) p ( ) ,

obteniéndose que, para todo entero positivo r, si f(ξ) es de clase Cr((0,1)):

− −

=

⎤= ξ ξ = − ξ ξ + − ξ ξ ξ⎦∑∫ ∫1 1r 1( j 1) ( j 1 r (r

exac j r0j 10 0

V f( )d ( 1) ·p ( )·f ( ) ( 1) p '( )·f ( )d (1)

La expresión (1) puede simplificarse si la familia de polinomios { }∞

=ξk k 1

p ( ) se

elige adecuadamente. Para ello observemos que los polinomios pk(ξ) (0 < k) que se han utilizado presentan un conjunto de constantes α1, α2, ..., αk, ... que pueden tomar cualquier valor. Para definir de manera más concreta los polinomios que interesan a nuestros objetivos asignaremos valor a dichas constantes imponiendo algunas condiciones adicionales sobre los polinomios. Concretamente impondremos que:


95

ξ ξ =∫1

k0

p ( )d 0 (k = 1, 2, ...)

Ello nos conduce a que el primero de los polinomios de esta familia debe ser

ξ = ξ − 121p ( ) . El cálculo del segundo puede realizarse en la forma:

ξ

ξ = − + = ξ − +∫ 21 12 22 2 2

1/ 2

1p ( ) (z )dz C ( ) C2

debiendo verificarse que:

ξ − ξ − −⎛ ⎞ξ + = ⇒ = − ξ = − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

31 12 21 12 2

2 20 0

( ) ( ) 1 1 1d C ·1 0 C d ·22 2 6 2 24

por lo que:

⎛ ⎞ξ = ξ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21 1 1p ( )2 2 24

El polinomio p3(ξ) puede obtenerse de manera similar mediante:

ξ ⎛ ⎞ξ = − − + = ξ − − ξ − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 2 31 1 1

2 2 23 3 31/ 2

1 1 1 1p ( ) (z ) dz C ( ) ( ) C2 24 3! 24

donde la constante C3 se escoge de forma que:

ξ ξ = = ⇒ =∫1

3 3 30

p ( )d 2·C 0 C 0

por lo que:

ξ = ξ − − ξ −31 12 23

1 1p ( ) ( ) ( )3! 24

En general, podemos admitir que para un determinado valor del entero k se verifica que:

( ) −− −

=

ξ = β ξ −∑k

2 j 1122k 1 2k 1,j

j 1p ( )

y que p2k-1(0) = p2k-1(1) = 0. Observemos que esto sucede para k = 2 (polinomio p3(ξ)) con β3,1 = -1/24 y β3,2 = 1/6. Se tiene definiría entonces el siguiente polinomio de la familia, p2k(ξ), mediante:


96

( )−

=

βξ = ξ − +∑

k2 j2k 1,j 1

22k 2kj 1

p ( ) C2j

que es una función par en (ξ – ½) (es decir que p2k(½+t) = p2k(½-t) ). El valor de

la constante se determinará de manera que ξ ξ =∫1

2k0

p ( )d 0 . Denotemos por

−+

ββ = 2k 1,j

2k,j 1 2j (j = 1, ..., k) y por β =2k,1 2kC .

Análogamente el siguiente polinomio de la familia, p2k+1(ξ), se determina por:

( )+

−+ +

=

βξ = ξ − +

−∑k 1

2 j 12k,j 122k 1 2k 1

j 1p ( ) C

2j 1

debiendo verificarse ahora que:

( )+

−+ + +

=

βξ ξ = ⇒ ξ − ξ + ⇒ =

−∑∫ ∫1 1k 1

2 j 12k,j 122k 1 2k 1 2k 1

j 10 0

p ( )d 0 d C C 02j 1

por lo que llamando +

ββ =

+2k,j

2k 1,j 2j 1 (j = 1, ..., k+1) se podrá escribir p2k+1(ξ) en la

forma:

( )+

−+

=

ξ = β ξ −∑k 1

2 j 1122k 1 2k,j

j 1p ( )

que es una función impar en (ξ – ½) (es decir que p2k+1(½+t) = -p2k+1(½-t) ) de expresión análoga a aquella de la que partimos para p2k-1(ξ). Utilizando el hecho de que p2k-1(0) = p2k-1(1) = 0 y la relación entre los coeficientes de los polinomios p2k-1(ξ) y de p2k+1(ξ), fácilmente se verifica además que p2k+1(0) = p2k+1(1) = 0. En resumen, bajo las condiciones en que hemos definido la familia de polinomios { }∞

=ξj j 1

p ( ) , se verifica que los polinomios con subíndice par son

funciones pares en (ξ – ½) para los que se verifica que p2k (0) = p2k (1) = ρ2k mientras que los polinomios de subíndice impar son funciones impares en (ξ – ½) para los que p2k-1(0) = -p2k+1(1) y, además para k > 1 los polinomios de subíndice impar satisfacen que p2k-1(0) = p2k-1(1) = 0 siendo p1(1) = -p1(0) = ½ .


97

Estos hechos nos permiten rescribir (1), para cualquier valor entero positivo del índice k en la forma:

[ ] − −

=

⎡ ⎤= ξ ξ = + + ρ − + ξ ξ ξ⎣ ⎦∑∫ ∫1 1k

(2 j 1 (2 j 1 (2kexac 2 j 2k

j 10 0

1V f( )d f(0) f(1) · f (1) f (0) p '( )·f ( )d2

(2)

donde ρ = =2 j 2 j 2 jp (0) p (1) (j = 1, 2, ...).

La expresión (2) proporciona el valor exacto de la integral ξ ξ∫1

0

f( )d . Si siendo m

un entero no negativo se desea calcular la integral de una función f(t) de clase C2k([m, m+1]) en el intervalo [m, m+1] la expresión (2) puede adaptarse fácilmente sin más que considerar el cambio de variable t = m + x que transforma [0,1] en [m, m+1]. Con él se tiene que:

[ ]+

−

=

⎡ ⎤= + + + ρ + − + ξ + ξ ξ⎣ ⎦∑∫ ∫m 1 1k

(2 j 1 (2k2 j 2k

j 1m 0

1f(t)dt f(m) f(m 1) · f (m 1) f(m) p ( )f (m )d2

A su vez esta expresión puede usarse para calcular el valor de la integral de f(t) en un intervalo [0, N] donde N es un entero positivo24. En efecto basta para ello considerar que:

+−

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∫ ∫

N m 1N 1

m 00 m

f(t)dt f(t)dt

por lo que, aplicando la expresión anterior a cada una de las integrales en [m, m+1] y sumando se tiene que:

− −

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + − + + ρ − +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦∑∫

N k(2 j 1 (2 j 1

2kj 10

1 1f(t)dt f(0) f(1) ... f(N 1) f(N) · f (N) f (0)2 2

( )+ ξ ξ + + ξ + + − + ξ ξ∫1

(2k (2k (2k2k

0

p ( )· f ( ) f (1 ) ... f (N 1 ) d

De esta expresión se infiere que, si f es una función de clase C2k([0, N]):

24 No insistiremos más en detallar que la función f(t) debe ser al menos de clase C2k([0, N]) para que la expresión utilizada tenga sentido.


98

− −

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + − + = − ρ − −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦∑∫

N k(2 j 1 (2 j 1

2kj 10

1 1f(0) f(1) ... f(N 1) f(N) f(t)dt · f (N) f (0)2 2

( )− ξ ξ + + ξ + + − + ξ ξ∫1

(2k (2k (2k2k

0

p ( )· f ( ) f (1 ) ... f (N 1 ) d (3)

La expresión (3) se conoce como fórmula del sumatorio de Euler – Maclaurin25. Para k = 1 la fórmula anterior se escribe como:

[ ]⎡ ⎤+ + + − + = − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫N

0

1 1 1f(0) f(1) ... f(N 1) f(N) f(t)dt · f '(N) f '(0)2 2 12

( )− ξ ξ + + ξ + + − + ξ ξ∫1

20

p ( )· f "( ) f "(1 ) ... f "(N 1 ) d (4)

Y para k = 2:

[ ]⎡ ⎤+ + + − + = − − +⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫N

0

1 1 1f(0) f(1) ... f(N 1) f(N) f(t)dt · f '(N) f '(0)2 2 12

[ ] ( )+ − − ξ ξ + + ξ + + − + ξ ξ∫1

(iv (iv (iv4

0

1 · f '''(N) f '''(0) p ( )· f ( ) f (1 ) ... f (N 1 ) d720

(5)

La utilidad de la fórmula de Euler-Maclaurin para mejorar la precisión de las fórmulas de integración radica en que el término que está a la izquierda de la igualdad se corresponde con la fórmula del trapecio compuesta aplicada al intervalo [0, N] y con N subintervalos de longitud unidad. Ello hace que sea fácilmente adaptable a intervalos [a, b] genéricos si estos se subdividen en subintervalos de la misma longitud y se opera con la fórmula del trapecio compuesta. En esta idea se basa el método de Romberg que desarrollamos en el subapartado siguiente. 25 En honor a los dos matemáticos que, al parecer de forma independiente, la descubrieron y publicaron: Leonhard Euler (Basilea (Suiza) 1707 – San Petersburgo (Rusia) 1783) quien le comunicó en una carta de 1736 a James Stirling este proceso para calcular sumatorios indicándole que lo había presentado anteriormente en conferencias impartidas en la Academia de San Petersburgo, y Colin Maclaurin (Kilmodam (Escocia) 1698 –Edimburgo (Escocia) 1746) quien la publicó en 1742 en su obra “Treatise of fluxions”· si bien el propio James Stirling había comunicado 4 años antes a Euler que Maclaurin había demostrado también dicha fórmula. Tanto Euler como Maclaurin obtuvieron esta fórmula no ya para el cálculo de integrales sino para el cálculo de sumas parciales de series numéricas.


99

10.2. El método de Romberg.

En primer lugar observemos que el cambio de variable −= +

b ax a tM

es una

aplicación afín que permite transformar el intervalo [0, M] en el intervalo [a, b] de forma tal que al valor de t correspondiente al entero 0 < i < M le corresponde el punto zi = a + i·h siendo h = (b-a)/M. Con esta notación, siendo k un entero no negativo y f una función de clase C2k((a, b)), el uso del cambio de variable x = a + t·h y de la fórmula de Euler-Maclaurin (3) nos permite escribir que:

−⎡ ⎤= + = + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

b M

1 M 1a 0

1 1f(x)dx h f(a th)dt h f(a) f(z ) ... f(z ) f(b)2 2

+ −

− − +

= =

⎛ ⎞⎡ ⎤ρ − + ξ + ξ ξ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠∑ ∑∫

1k M 12j (2 j 1 (2 j 1 2k 1 (2k

2k 2k ij 1 i 00

·h · f (b) f (a) h · p ( )· f (z ) d (6)

Los primeros términos de este desarrollo pueden escribirse en la forma:

−⎡ ⎤= + + + + + −⎢ ⎥⎣ ⎦∫

b

1 2 M 1a

1 1f(x)dx h· f(a) f(z ) f(z ) .. f(z ) f(b)2 2

[ ] [ ]− − + − −2 4h hf '(b) f '(a) f '''(b) f '''(a)

12 720....

El primer sumando a la derecha de la igualdad puede interpretarse como el valor aproximado que proporciona la fórmula del trapecio compuesta cuando se aplica al cálculo la integral definida de f(x) en el intervalo (a, b) subdividiéndolo en M subintervalos de idéntica longitud “h”. Denotando por V0,M a dicho valor aproximado, se tiene que:

[ ] [ ]= = − − + − −∫b 2 4

exac 0,Ma

h hV f(x)dx V f '(b) f '(a) f '''(b) f '''(a) ...12 720

(7)

Si el método del trapecio se hubiera aplicado con el doble se subintervalos, todos ellos de la misma longitud “h/2”, el mismo razonamiento nos conduciría a que:


100

[ ] [ ]= = − − + − − =∫b 2 4h h

2 2exac 0,2M

a

( ) ( )V f(x)dx V f '(b) f '(a) f '''(b) f '''(a) ...12 720

[ ] [ ]= − − + − −2 4

0,2Mh hV f '(b) f '(a) f '''(b) f '''(a) ...48 11520

(8)

Si la expresión (8) se multiplica por 4 se tiene que:

[ ] [ ]= − − + − −2 4

exac 0,2Mh h4V 4V f '(b) f '(a) f '''(b) f '''(a) ...12 2880

(9)

de donde, restando (7) de (9) se tiene que:

[ ]⎛ ⎞= − + − − + ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

4exac 0,2M 0,M

1 13·V 4V V h · f '''(b) f '''(a) ...2880 720

[ ]−⇒ = − − +

40,2M 0,M

exac4V V hV · f '''(b) f '''(a) ...

3 2880

La expresión anterior nos muestra que si se calcula la aproximación de ∫b

a

f(x)dx

mediante la fórmula del trapecio compuesta primero con M subintervalos iguales (de longitud h suficientemente pequeña y obteniendo V0,M) y posteriormente con 2M subintervalos iguales (de longitud h/2 y obteniendo V0,2M) puede refinarse la aproximación tomando como valor aproximado de la

integral el valor dado por la expresión: −

≈∫b

0,2M 0,M1,2M

a

4V Vf(x)dx V

3 ya que de

esta forma se comete un error del orden de O(h4) en lugar de O(h2). Esta forma de proceder es la que se conoce habitualmente con el nombre de método de Romberg. Para aligerar la notación denotaremos en cuanto sigue a las aproximaciones obtenidas mediante el método del trapecio compuesto con (2j·M) subintervalos como V0,j y a las obtenidas mediante la fórmula de Romberg partiendo de V0,j-1 y V0,j por V1,j, es decir: V1,j = (4V0,j – V0,j-1)/3 = V0,j – (V0,j – V0,j-1)/3. Con esta notación V0,0 se corresponde con el valor que anteriormente hemos denotado V0,M. Análogamente V0,1 es el valor hasta aquí denotado por V0,2M y el valor V1,1 (antes denotado V1,2M) se obtiene mediante:

V1,1 = (4·V0,1 – V0,0)/3 = V0,1 + (V0,1 – V0,0)/3.


101

Ejemplo: Consideremos la función f(x) = sen(x)(x – ½ )(x- 3

2 ). La familia de funciones

primitivas de f(x) esta dada por la expresión:

( )⎛ ⎞= + − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

25F(x) cos(x)· 2x x sen(x)· 2x 2) C4

y su integral en [0, 2] tiene el valor:

= − + =∫2

0

5f(x)dx (cos(2) 1) 2sen(2) 0.048411307967...4

La tabla siguiente recoge, en su segunda columna, los valores aproximados con 10 dígitos, de la integral obtenida al aplicar la fórmula del trapecio al cálculo de esta integral dividiendo [0, 2] en n= 2j subintervalos de la misma longitud y asignando a n los valores 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 y 512. Denotando por V0,j a dichos valores, la tercera columna recoge los valores a los que conduce la aplicación de la fórmula de Romberg dados por V1,j = ( ) −1

3 t,n t,n / 2(4·V V ) para j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

n V0,j V1,j . 1 0.6819730700 2 0.1306187888 -0.0531659716 4 0.0653093944 0.0435395963 8 0.0524215628 0.0481256189 16 0.0494006897 0.0483937320 32 0.0486578328 0.0484102138 64 0.0484728879 0.0484112396 128 0.0484266997 0.0484113036 256 0.0484151560 0.0484113081 512 0.0484122697 0.0484113077 En ella puede observarse cómo con la corrección propuesta por Romberg se alcanza una precisión en los 2 primeros decimales para n = 4 (mientras que la fórmula del trapecio sin esta corrección exigiría subdividir el intervalo [0, 2] en 16 subintervalos para poder obtener el segundo decimal correcto). La precisión en los tres primeros decimales se alcanza usando el método de Romberg con 8 subintervalos (frente a los 32 necesarios si no se usa esta fórmula). Los 5 primeros decimales exigen 32 subintervalos si se utiliza la fórmula de Romberg o 256 si no se utiliza.

•


102

El método de Romberg puede generalizarse para, a partir de las aproximaciones:

−= 0,1 0,0

1,14V V

V3

y −

= 0,2 0,11,2

4V VV

3 (j=1, 2, ....)

obtener una aproximación +2,j 1V más precisa que las anteriores. En efecto,

según se obtuvo anteriormente:

[ ]= − − +4

exac 1,1hV V · f '''(b) f '''(a) ...

2880

por lo que, de manera análoga:

[ ]= − − +4

exac 1,2(h / 2)V V · f '''(b) f '''(a) ...2880

Restando a la segunda expresión multiplicada por 16 la primera expresión se tiene que:

= − + 6exac 1,2 1,115V 16V V O(h )

por lo que:

−

= 1,2 1,12,2

16V VV

15

es una aproximación de orden O(h6) más precisa que las aproximaciones V1,1 y V1,2. En general, si se utilizan las aproximaciones obtenidas con (2j-2·M), (2j-1·M) y (2j·M) intervalos se tendrá

−−

= 1,j 1,j 12,j

16V VV

15 (j > 1)

aproximándose, para funciones de clase C6([a, b]), la sucesión de valores

{ }∞

=2,j j 2V hacia el valor exacto con una velocidad de convergencia O(h6).

Ejemplo: Con la misma función f(x) = sen(x)(x – ½ )(x- 3

2 ) la tabla siguiente recoge las

aproximaciones obtenidas al utilizar 2 veces el método de Romberg, habiéndose denotado por V2,j a las segundas aproximaciones de Romberg que figuran en la cuarta columna:


103

n V0,j V1,j V2,j . 1 0.6819730700 2 0.1306187888 -0.0531659716 4 0.0653093944 0.0435395963 0.0499866341 8 0.0524215628 0.0481256189 0.0484313537 16 0.0494006897 0.0483937320 0.0484116062 32 0.0486578328 0.0484102138 0.0484113126 64 0.0484728879 0.0484112396 0.0484113080 128 0.0484266997 0.0484113036 0.0484113078 256 0.0484151560 0.0484113081 0.0484113083 512 0.0484122697 0.0484113077 0.0484113076 Los valores anteriores puede compararse con el valor exacto para comprobar la mejoría en la precisión que proporciona la reiteración del proceso de Romberg26.

• De forma más general, el método de Romberg calcula la tabla:

0,0

0,1 1,1

0,2 1,2 2,2

0,3 1,3 2,3 3,3

0,4 1,4 2,4 3,4 4,4

VV VV V VV V V VV V V V V... ... ... ... ... ...

donde, dado un valor de M, los valores de la primera columna V0,j se obtienen

se obtiene aproximando ∫b

a

f(x)dx mediante la fórmula del trapecio compuesta

con (2jM) subintervalos y los valores Vk,j de la columna k-ésima se obtienen a partir de los valores de la columna anterior mediante la fórmula:

− − −−=

−

kk 1,j k 1,j 1

k,j k

4 V VV

4 1 ( k = 1, 2, ...; j = k, k+1, ...)

26 De hecho los tres últimos valores empeoran la aproximación obtenida para n = 128. Ello es debido a la influencia de los errores de redondeo cometidos al operar sólo con 10 decimales. Consúltense los apuntes sobre errores de redondeo para analizar la influencia de este tipo de errores en los cálculos.


104

Los razonamientos previamente realizados muestran que, si la función f(x) es de clase C2k([a, b]), los valores de la columna k-ésima convergen hacia el valor exacto de la integral con una velocidad del orden O(h2(k+1)). NOTA 1ª: 1ª) El método de Romberg permite calcular de forma precisa las integrales de numerosas funciones con un número relativamente bajo de subintervalos (16, 32 o 64 suelen ser suficientes). No obstante debemos insistir en que para que ello ocurra la función que se integra debe ser lo suficientemente regular sobre el intervalo en que se integra (de clase C2k([,a, b])). Si esta regularidad no tiene lugar el método de Romberg pierde su eficacia. Es más, si la función f(x) está “cerca” de ser singular (es decir si en ciertas zonas algunas derivadas de f(x) tienen valores absolutos elevados) el método también puede perder su eficiencia originando columnas de valores { }k , j j k

V∞

= que, en sus primeros

valores, convergen hacia el valor exacto de la solución con una velocidad de convergencia del mismo orden que las columnas anteriores. Ello implica que en dichos casos deben considerarse particiones más finas del intervalo de integración incrementándose así el coste computacional (y dando lugar a que los errores de redondeo puedan tener presencia significativa en los resultados). Este hecho se pone de manifiesto en el ejemplo siguiente. Ejemplos:

Evaluemos numéricamente 1 x

0

(e 1) dxe 1

α

α

−−∫ donde α es una constante real

positiva. El valor exacto de esta integral es:

( )( )

1x

exac0

e ( 1)(e x )V(e 1) e 1

αα

α α

ααα α

− +⎤−= =⎥− −⎦

La función a integrar, f(x) = xe 1

e 1

α

α

−−

, es una función de clase C∞([0, 1]) pues su

derivada derivada de orden k, f(k(x) = k

xee 1

αα

α−

es una función continua en el

intervalo [0, 1] sea cual sea el valor de k. Pero para valores suficientemente

elevados de α la primera derivada de esta función, f’(x) = xee 1

αα

α−

, puede

tomar grandes valores en torno al punto 1 (del orden de α) siendo dichos valores pequeños para valores suficientemente alejados por la izquierda de 1


105

(del orden de α / (eα-1)). En resumen, para valores suficientemente elevados de a la función pasa de valores casi nulos a valores próximos a 1 en una estrecha franja del intervalo [0, 1] (llamada en ocasiones “capa límite”). Las figuras siguientes recogen el grafo de las funciones f(x) correspondientes a los valores α = 1, α = 50 y α = 300 e ilustran este hecho.

Por dicho motivo el método de Romberg pierde eficacia a medida que se elva el valor de α en la expresión de la función f(x) a integrar. Por ejemplo, para el valor α = 300 los primeros valores de la tabla de Romberg obtenidos con 2j intervalos (j = 0, 1, ..., 8) son los siguientes:

0, j 1, j 2 , j 3 , j 4 , jj V V V V V0 0.51 0.25 0.16666672 0.125 0.0833333 0.07777783 0.0625 0.0416667 0.0388889 0.03827164 0.0312500 0.0208333 0.0194444 0.0191358 0.00189855 0.0156277 0.0104202 0.0097260 0.0095717 0.00949646 0.0079577 0.0054011 0.0050665 0.0049925 0.00495657 0.0047356 0.0036615 0.0035456 0.0035214 0.0035098

α = 1 α = 50 α = 300

f(x) = (eαx-1)/(eα-1)


106

Puede observarse que en todas las columnas, al reducir el tamaño de los subintervalos a la mitad, el error se va reduciendo a, aproximadamente, la mitad. Esta situación cambia para columnas más a la derecha o para filas a partir de la correspondiente a j = 7; en otros términos, el método de Romberg comienza a ser eficaz para un valor suficientemente elevado del número de subintervalos (a partir de 256) cuando se comienza a aproximar con suficiente precisión la capa límite. Obsérvese que en el ejemplo anterior, a la vista de la gráfica de la función, hubiera bastado con refinar la partición en torno a la capa límite cercana a la abscisa x = 1, no obteniéndose mejora sustancial de los valores aproximados con las subdivisiones cercanas a la abscisa x = 0. Ello muestra que en la práctica es interesante poder disponer de detectores del error en cada subintervalo para refinar sólo aquellos en los que la precisión obtenida no sea admisible. En la “nota 5ª” volveremos sobre este aspecto. NOTA 2ª: La integración mediante la regla del trapecio compuesta de funciones periódicas sobre un intervalo que se corresponda con un número entero de periodos no gana nada con la aplicación del método de Romberg, aun en el caso en que la función periódica sea de clase C∞. En efecto, si se reconsidera la expresión (6)

−⎡ ⎤= + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫

b

1 M 1a

1 1f(x)dx h f(a) f(z ) ... f(z ) f(b)2 2

−− − +

= =

⎛ ⎞⎡ ⎤+ ρ − + ξ + ξ ξ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠∑ ∑∫

1k M 12j (2 j 1 (2 j 1 2k 1 (2k

2k 2k ij 1 i 00

·h · f (b) f (a) h · p ( )· f (z ) d

y se asume que f(x) es de clase C∞([a,b]), y que |b-a| es igual a un número entero de ciclos (y por tanto se verificará que f(a) = f(b) y f(i(a) = f(i(b) ∀i>1) el orden del error puede hacerse tan elevado como se quiera al ser nulo, para

cualquier valor de k que se escoja, el sumatorio − −

=

⎡ ⎤ρ −⎣ ⎦∑k

2 j (2 j 1 (2 j 12k

j 1·h · f (b) f (a) .

En otros términos, la propia fórmula del trapecio compuesta es, en esta situación, de orden tan elevado como se desee. Este hecho se ilustra con el siguiente ejemplo.


107

Ejemplo: La tabla siguiente recoge, usando 2j subintervalos m, las aproximaciones del

valor de ( )2

0

4 cos( x )* (1 sen(2x ) dxπ

+ +∫ , cuyo valor exacto es 8π.

j V0, j V1, j V2, j V3, j V4, j

0 10

221 83

3622 8 845

226783 8 8 82835

57834024 8 8 8 8722925

π

π π

π π π

π π π π

π π π π π

Puede observarse que los valores exactos ya son obtenidos al aplicar la fórmula del trapecio con 2 subintervalos, no produciéndose por ello mejora en la precisión al utilizar el algoritmo de Romberg. La figura de la función (y del proceso de integración usando la fórmula del trapecio) puede ilustrar el motivo de la exactitud de los valores obtenidos con la fórmula numérica. Así cuando se opera con un único intervalo (j = 1) el área se sobre-estima no compensándose el área calculada en exceso (área del rectángulo dibujado que está sobre el grafo de la curva) con el área no computada (área bajo el grafo de la curva y sobre el lado superior del rectángulo).


108

Pero cuando se calcula con un número mayor de subintervalos el área calculada en exceso es compensada con el área comprendida entre el grafo y los lados superiores de los trapecios.

NOTA 3ª: Consideremos, para un determinado valor de M, la aproximación V0,0 de

∫b

a

f(x)dx obtenida por el método del trapecio compuesto al subdividir [a, b] en

los M subintervalos de idéntica longitud [zi-1, zi] (i = 1, ..., M) con zj = a + j·h (j = 0, .., M) y siendo h = (b-a)/M. Dicha aproximación está dada por:

−

=

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦∑M 1

0,0 ij 1

1V h· (f(a) f(b)) f(z )2

Si ahora se duplica el número de subintervalos, dividiendo cada uno de ellos en dos y se vuelve a aplicar la fórmula del trapecio compuesta se tendrá que:

− −+

= =

⎡ ⎤+⎛ ⎞= + + + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ∑M 1 M 1

i i 10,1 i

i 1 i 0

h 1 z zV · (f(a) f(b)) f(z ) f2 2 2

Estas dos aproximaciones son las que se han utilizado para obtener el primer valor “refinado” mediante el método de Romberg:

− −+

= =

− ⎡ ⎤+⎛ ⎞= = + + + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ∑M 1 M 1

0,1 0,0 i i 11,1 i

i 1 i 0

4V V h z zV · f(a) f(b) 2· f(z ) 4 f3 6 2


109

que se corresponde con la aproximación que se habría obtenido al aplicar la fórmula de Simpson compuesta con los M intervalos. El mismo razonamiento muestra que en general V1,j coincide con el valor obtenido al aplicar la fórmula de Simpson compuesta con (2(j-1)M) subintervalos. Ejercicio propuesto:

a) Demostrar que los valores V2,j obtenidos en el algoritmo de Romberg se corresponden con los que se obtendrían al aproximar la integral a calcular mediante la fórmula de Milne compuesta si se subdivide el intervalo de integración en (2(j-2)·M) subintervalos de igual longitud.

b) Demostrar que los valores Vk,j con k>2 no se corresponden con los que se obtendrían con fórmulas de Newton_Cotes compuestas.

NOTA 4ª: Con la notación utilizada precedentemente, la fórmula del punto medio compuesta utilizada con una subdivisión del intervalo de integración en los M subintervalos [zj-1, zj] (j = 1, .., M), todos ellos de longitud h puede escribirse como:

b Mj 1 j0 1 1 2 M 1 M

Mj 1a

z zz z z z z zf ( x )dx P h· f f ... f h f2 2 2 2

−−

=

+⎛ ⎞⎡ + ⎤+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ = + + + = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠∑∫

Se usan en esta fórmula los puntos medios de los intervalos. Obsérvese que estos puntos (junto a los extremos de los intervalos) eran los utilizados cuando se calculaba V0,1. Ello nos permite ver que entre el valor PM obtenido por la fórmula del punto medio compuesta con M subintervalos, el valor V0,0 obtenido por la fórmula del trapecio compuesta con M subintervalos y y el valor V0,1 obtenido por la fórmula del trapecio compuesta con 2M subintervalos existe la relación:

V0,1 = (½)·(V0,0 + PM) o, equivalentemente: PM = 2V0,1 – V0,0. Utilizando las relaciones (7) y (8) es posible escribir entonces, si f(x) es suficientemente regular en [a, b], que:

PM = b

a

f ( x )dx∫ + λ2·h2 + λ 4·h4 + λ 6·h6 + …+ λ2k·h2k + ....


110

donde las primeras constantes tienen los valores:

2 4f '(b ) f '(a) f '''(a ) f '''(b ), , ....

48 11520λ λ− −

= =

Ello permite desarrollar una alternativa al método de Romberg que se presentó anteriormente, conocida con el nombre de método de Romberg del punto medio, y que es similar a aquella pero inicializando la tabla con una primera columna en la que figuran los valores P0,j correspondientes al cálculo de la integral mediante la fórmula del punto medio compuesta con (2jM) subintervalos. Esta alternativa tiene especial interés cuando se integra sobre intervalos abiertos (a, b) no estando definida la función f(x) en alguno de los extremos de dicho intervalo. NOTA 5ª: En el software comercial la subdivisión de intervalos y el refinamiento de los valores aproximados mediante el algoritmo de Romberg suelen realizarse de manera adaptativa, esto es, refinando sólo en aquellas zonas en que es necesario al no verificarse criterios de precisión impuestos por el usuario. Para ello se realiza una primera subdivisión del intervalo de integración en N tramos y se procede a evaluar una aproximación de la integral en cada subintervalo (muy frecuentemente usando el método de Romberg con un bajo número (16, 32 ó 64) de subintervalos en cada tramo). Tras ello se estima el error de integración en cada tramo (ya sea subdividiendo cada uno de ellos en 2 y comparando los valores obtenidos con los anteriores o por otras vías que involucran la estimación de los mayores y menores valores de las derivadas de la función en cada tramo). En aquellos tramos en los que se haya obtenido una precisión aceptable se dan por buenos los valores de sus respectivas integrales. En el resto de los tramos se procede a subdividirlos y a aplicar en cada uno de los nuevos subtramos el algoritmo de Romberg. Puede consultarse Shampine, Allen y Pruess (1997) para obtener más detalles sobre el software comercial.


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[5]. HENRICI, P. (1982) Essentials of numerical analysis with pocket

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Depto. de Mat. Aplic. Y Mét. Informáticos. – Univ. Politécnica de Madrid. [7]. SHAMPINE, L.F., ALLEN, R.C. y PRUESS, S (1997). Fundamentals of

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Ed. Prentice Hall. [10]. VIAÑO, J.M. y BURGUERA, M. (2000) Lecciones de métodos

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escuela tÉcnica superior de ingenieros...

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