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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA

ÁLGEBRA LINEAL

HOJA DE EJERCICIOS 12018 A

EJERCICIOS:

1. Dadas las siguientes matrices:

A =

1 −3 6

4 1 −6

7 9 2

, B =

−2 5 −9

3 −4 1

−1 −4 −6

y C =

7 4 2

−5 −2 −2

1 5 7

.

Calcule: A − 2B, 3B − 2A, 2A − B + 2C y C − A − B.

2. Dadas las siguientes matrices:

A =

2 4 −1

0 3 2

−1 0 −2

, B =

1 1

1 1

1 1

y C =

10 −2 0

1 5 −1

3 2 0

.

Hallar A + 2C, 5A − 3C, AB, B⊺A⊺, (A + I3)2, AC y CA.

3. Demuestre que:

• (A + B) + C = A + (B + C)

• α(A + B) = αA + αB

• (AB)C = A(BC)

• A(B + C) = AB + AC

4. Calcule el producto de las siguientes matrices:

(

3 −2

1 4

)(

−5 6

1 3

) (

−4 5 1

0 4 2

)

3 −1 1

5 6 4

0 1 2

2 −3 5

1 0 6

1 3 1

1 4 6

−2 3 5

1 0 4

5. Sea A =

(

5 0

2 α

)

. Determine el valor de α para el cual A es una raíz del polinomio f (x) = x2− 25.

6. Demuestre que(

α 1

0 α

)n

=

(

αn nα

n−1

0 αn

)

donde n ∈ N y α ∈ R.

7. Suponga que un grupo de personas ha contraído una enfermedad contagiosa. Estas personas tienen contacto con

un segundo grupo que, a su vez, tiene contacto con un tercer grupo. Si A representa el número de contactos entre

el grupo contagioso y los miembros del grupo 2, y si B representa los contactos entre los grupos 2 y 3.

A =

(

1 0 1 0 1

0 1 1 0 1

)

B =

1 0 0 1 0 1

0 1 1 0 0 1

0 1 1 0 1 0

0 0 1 1 0 0

1 1 0 0 0 0

• ¿Cuántas personas hay en cada grupo?

• Encuentre la matriz de contactos indirectos entre los grupos 1 y 3.

8. Calcule A2, A3, A4 y A5 donde

A =

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

1

9. Una matriz de probabilidad es una matriz cuadrada que tiene dos propiedades:

a) Todos sus elementos son no negativos.

b) La suma de los elementos en cada renglón es 1.

Las siguientes matrices P y Q son matrices de probabilidad. Muestre que el producto PQ es una matriz de proba-

bilidades.

P =

1

3

1

3

1

31

4

1

2

1

40 0 1

Q =

1

6

1

6

2

31

8

3

8

5

81

5

3

5

1

5

10. Se ha organizado un torneo de tenis de la siguiente manera: cada uno de los n tenistas juega contra todos los

demás y se registran los resultados en la matriz R de n × n de la siguiente forma:

Rij =

1 si el tenista i le gana al tenista j,

0 si el tenista i pierde contra el tenista j,

0 si i = j,

después, se le asigna al tenista i la calificación:

Si =n

∑j=1

Rij +1

2

n

∑j=1

(Rij)2.

• Para un torneo entre cuatro tenistas

R =

0 1 0 0

0 0 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

Clasifique a los tenistas según sus calificaciones.

• Interprete el significado de la calificación.

11. Dada la matriz

A =

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8

.

Determine el rango de A.

12. Demostrar que la matriz A es equivalente por filas a la matriz B.

A =

2 −3 5

1 0 6

1 3 1

B =

1 4 6

−2 3 5

1 0 4

2



ÁLGEBRA LINEAL

HOJA DE EJERCICIOS NÚMERO 2

SEMESTRE 2018 A

EJERCICIOS:

1. Resuelva el siguiente sistema:

x2 + 5x3 = −4

x1 + 4x2 + 3x3 = −2

2x1 + 7x2 + x3 = −2


x1 − 5x2 + 4x3 = −3

2x1 − 7x2 + 3x3 = −2

−2x1 + x2 + 7x3 = −1


x1 − 3x3 = 8

2x1 + 2x2 + 9x3 = 7

x2 + 5x3 = −2


2x1 − 6x3 = −8

x2 + 2x3 = 3

3x1 + 6x2 − 2x3 = −4

5. Indique el conjunto solución del sistema descrito en las siguientes matrices ampliadas:

(A|b) =

1 −3 0 −1 0 −2

0 1 0 0 −4 1

0 0 0 1 9 4

0 0 0 0 0 0

(C|d) =

1 0 −5 0 −8 3

0 1 4 −1 0 6

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0

6. Dados los siguientes sistemas de ecuaciones indique según corresponda:

• ¿Cuándo el sistema tiene única solución? Calcule la misma.

• ¿Cuándo el sistema tiene infinitas soluciones? Indique el conjunto solución.

• ¿Cuándo el sistema no tiene soluciones?

Para ello considere los siguientes sistemas de ecuaciones:

λx1 + x2 + x3 = 1

x1 + λx2 + x3 = λ

x1 + x2 + x3 = λ2

y,

αx1 + (α − 3)x2 + 4x3 = 0

−x1 + 2αx2 + (α + 1)x3 = 0

−2x1 − 2x2 + x3 = 0

7. Demuestre que si A y B son invertibles y C = AB, entonces C es invertible y C−1 = B−1 A−1.

8. Suponga que A es una matriz n × m y B es una matriz m × p. Demuestre que:

• (A⊺)⊺ = A

• (AB)⊺ = B⊺A⊺

• Si A y B tienen la misma dimensión n × m, entonces (A + B)⊺ = A⊺ + B⊺.

1

• Si A es invertible, entonces A⊺ es invertible y

(A⊺)−1 =(

A−1)⊺

9. Calcule la inversa de las siguientes matrices:

A =

1 −3 0 −2

3 −12 −2 −6

−2 10 2 5

−1 6 1 3

B =

1 2 0 0

2 3 −3 0

0 −3 −2 4

0 0 4 4

10. Dadas las matrices A y B calcule la matriz P que verifica A = PB.

A =

8 16 16

4 32 18

−64 −64 −12

B =

1 1 1

0 2 3

5 5 1

11. Demuestre que para todo número real θ la siguiente matriz S es invertible y calcule su inversa.

S =

sen(θ) cos(θ) 0

cos(θ) − sen(θ) 0

0 0 1

12. En un zoológico hay aves ( de dos patas) y bestias (de cuatro patas). Si el zoológico contiene 60 cabezas y 200 patas,

¿cuántas aves y bestias viven en él?

13. Una tienda de helados vende sólo helados con soda y malteadas. Se pone 1 onza de leche condensada y 4 onzas de

helado en un helado con soda, y 1 onza de leche condensada y 3 onzas de helado en una malteada. Si la tienda usa

4 galones de helado y 5 cuartos de leche condensada en un día, ¿cuántos helados con soda y cuántas malteadas

vende? Note que 1 cuarto = 32 onzas, 1 galón = 4 cuartos.

14. Una fábrica de automóviles realiza dos tipos de vehículos: manuales (M) y automáticos (A), y pos cada tipo se

tiene los modelos B1, B2, B3 y B4. El porcentaje de vehículos defectuosos es el 2 % en el modelo B1, el 5 % en el

modelo B2, el 8 % en el modelo B3 y el 10 % en el modelo B4. La producción mensual de vehículos según el modelo

en relación con el tipo de vehículo es:

A =

300 200

400 250

250 180

500 300

Calcule la matriz que expresa el número de vehículos manuales, automáticos, en buen estado y defectuosos en

la fábrica.

15. Determine las temperaturas en los puntos interiores Ti, i ∈ {1, 2, 3, 4} para la placa que se muestra en la siguiente

figura:

2



ÁLGEBRA LINEAL

HOJA DE EJERCICIOS NO. 03

SEMESTRE 2018 A

EJERCICIOS:

1. Calcule el determinante de las siguientes matrices:

1 2 3 −1

4 5 6 −2

7 8 9 1

−1 1 2 3

1 15 14 4

12 6 7 9

8 10 11 5

13 3 2 10

2. Sea A una matriz n × n. Calcule el determinante de A

A =

1 1 0 · · · 0 0

0 1 1 · · · 0 0...

.... . .

. . ....

...

0 0 0 · · · 1 1

1 0 0 · · · 0 1

3. Sin calcular el valor del determinante, determine si:∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 2 0

3 8 2 3

1 7 2 2

3 1 3 5

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

es divisible para 13.

4. Calcular el siguiente determinante:∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Y1 Y2 Y3

Y′

1 Y′

2 Y′

3

Y′′

1 Y′′

2 Y′′

3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

donde se tiene

• Y1 = cos(x) + 2 sen(x)

• Y2 = cos(x)

• Y3 = sen(x)

5. Utilizando propiedades de los determinantes, calcule los siguientes determinantes:∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 + x 1 1 1

1 1 − x 1 1

1 1 1 + z 1

1 1 1 1 − z

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 1

a b c

a2 b2 c2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

6. Considere la función

f (x) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b −2a 3b

−1 x 0 0

0 −1 x 0

0 0 −1 x

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Sabiendo que f (0) = −3 y f (1) = f (−1). Determine a y b.

1

7. Calcular el siguiente determinante, utilizando propiedades de los determinantes:

|B| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a − b − c 2a 2a

2b b − a − c 2b

2c 2c c − a − b

∣

∣

∣

∣

∣

∣

8. Si se conoce que:

det(A) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x y z

5 0 3

1 1 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 1

encuentre el valor del determinante de B

det(B) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x y z

2x + 5 2y 3 + 2z

1 + x 1 + y z + 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

9. Dadas las matrices A y B verifique que:

• det(A) = det(A⊺)

• det(A)det(B) = det(AB)

• det(5A) = 125 det(A)

A =

5 25 15

−3 15 45

0 5 −5

B =

1 −1 −1

0 −1 15

0 0 −15

10. Sean A y B matrices n × n. Demuestre o refute que:

• det(A + B) = det(A) + det(B)

• det(AB) = det(A)det(B)

• Si A no tiene inversa, la matriz AB no tiene inversa para toda matriz B.

11. Sean

A =

sen(π

2 ) sec(π

3 ) sen(π

2 )

cos(2π) sen(π) cos(π

3 )

− cos(π) sen(2π) cos(π

3 )

y B =

log(1) log2(14 ) 0

log2(14 ) log3(9) 0

log3(9) ln(e) ln(e)

Calcular∣

∣

∣

∣

A⊺ +1

2B

∣

∣

∣

∣

.

12. ¿Para qué valores de a la matriz C es invertible? Una vez determinados indique la inversa de C−1.

C =

a 1 1

a a a − 1

−a a − 2 a + 3

13. ¿Para qué valores de a y b la matriz C es invertible? Una vez determinados indique la inversa de C−1.

C =

1 a b

1 a + 1 −a + b

1 a + 1 1 − a + b

14. ¿Para qué valores de λ la matriz A es invertible?

A =

λ 2 1

1 λ − 1 1

1 0 1

15. Resuelva el siguiente sistema utilizando Regla de Cramer:

x1 + x3 = 2

2x1 + 2x2 + 5x3 = 4

x1 + 4x2 + 8x3 = 0

2

16. Use la Regla de Cramer para resolver el siguiente sistema

x + y + z = 11

2x − 6y − z = 13

3x + 4y + 2z = 0

17. Use la Regla de Cramer para resolver el siguiente sistema

3x − 2y + = 7

3y + 2z = 6

−2x + 3z = −1

18. Hallar α ∈ R tal que el siguiente sistema tenga solución única:

3x − 2y = 1

y + αz = 0

αx − 2y + z = α

19. Use la Regla de Cramer para resolver el siguiente sistema con α, β ∈ R

x + y + z = 1

x + y = α

y + z = β

20. Use la Regla de Cramer para resolver el siguiente sistema con m ∈ R

(1 − m)x + 2y − 2z = 1

(m − 1)x − y + z = 1

(2m − 2) − 2y + (4 − m)z = −2

21. Utilizando la siguiente figura

• Demuestre utilizando trigonometría elemental que:

c cos(A) + a cos(C) = b

b cos(A) + a cos(B) = c

c cos(B) + b cos(C) = a

• Si se considera que el sistema anterior es un sistema con tres ecuaciones y tres incógnitas: cos(A), cos(B) y

cos(C), demuestre que el determinante del sistema es diferente de cero.

• Utilice la Regla de Cramer para despejar cos(C).

• Utilizando el punto anterior, pruebe la Ley de Cosenos

c2 = a2 + b2− 2ab cos(C)

3



ÁLGEBRA LINEAL


SEMESTRE 2018 A

EJERCICIOS:

1. Determine si el conjunto V es cerrado bajo las operaciones ⊕ y ⊙

a) V = {(0, x, y) ∈ R3}, (0, x, y)⊕ (0, x∗, y∗) = (0, x + x∗, y + y∗) y c ⊙ (0, y, z) = (0, y, cz).

b) V = {A ∈ M2×2|ajj = a}, donde a ∈ R, ⊕ es la suma matricial y ⊙ es la multiplicación por un escalar.

2. Determine si el conjunto dado, junto con las operaciones dadas es un espacio vectorial. Si no lo es, enumere las

propiedades que no verifica.

a) V = {(x, y, z) ∈ R3}, (x, y, z)⊕ (x∗, y∗, z∗) = (x + x∗, y + y∗, z + z∗) y c ⊙ (x, y, z) = (x, 1, z)

b) V = R, u ⊕ v = 2u − v y c ⊙ u = cu

c) V = R, u ⊕ v = uv y c ⊙ u = uc

3. ¿Es W subespacio vectorial del espacio vectorial (R2, R,+, ·)? Siendo:

a) W = {(x, y) ∈ R2| 2x + y = 0}

b) W = {(x, y) ∈ R2| xy = 1}

4. ¿Es W subespacio vectorial del espacio vectorial (R3, R,+, ·)? Siendo:

a) W = {(x, y, z) ∈ R3| |x|+ |y| = z}

b) W = {(x, y, z) ∈ R3| x + y ≥ z}

c) W = {(x, y, z) ∈ R3| x2 = y}

d) W =

(x, y, z) ∈ R3| det(A) = 0 y A =

1 2 x

−1 0 z

−1 10 y

e) W =

(x, y, z) ∈ R3| det(A) = 0 y A =

1 1 −x

2 −1 z

−1 3 y

Sugerencia: no calcule |A|.

5. ¿Es W subespacio vectorial del espacio vectorial (P2[x], R,+, ·)? Siendo:

a) W = {a + bx + cx2∈ P2[x] | b + c = a − 2}

b) W = {p(x) ∈ P2[x] | (p(x))2> 0}

c) W = {p(x) ∈ P2[x] | p′(1) = p′(−2)}

6. ¿Es W subespacio vectorial del espacio vectorial (Mn×n, R,+, ·)? Siendo:

a) W = {A ∈ Mn×n | det(A) = 0}

b) W = {A ∈ Mn×n | Tr(A) = 0}

c) W = {A ∈ Mn×n | A es simétrica}

d) W = {A ∈ Mn×n | A es no singular}

e) W = {A ∈ Mn×n | A es diagonal}

7. Sean W1, W2 dos subespacios vectoriales de V. Demostrar que W1 ∪ W2 es sub espacio vectorial de V si y solo si

W1 ⊆ W2 o W2 ⊆ W1 .

8. Sean u, v, w ∈ V un espacio vectorial. Muestre que si u + v = u + w, entonces v = w.

9. Sean u ∈ V un espacio vectorial y a, b ∈ K. Muestre que si u 6= 0 y au = bu, entonces a = b.

10. Sean A una matriz m × n y b ∈ Rm no nulo. ¿Es el conjunto W = {x ∈ R

n|Ax = b} un subespacio vectorial?

Justifique su respuesta.

1

Sol. Hj4 Álgebra Lineal - Y. CuveroSaturday, June 2, 2018 7:10 AM

Álgebra lineal - Y. Cuvero página 1



ÁLGEBRA LINEAL


SEMESTRE 2018 A

EJERCICIOS:

1. Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

x + 3y− 4z− 2t = 0

x− y + z + t = 0

−x− y + 5z + 3t = 0

{

2x + 2y− 3z− t = 0

2y− z + t = 0

• Calcular el conjunto solución W1 y W2 de cada sistema de Rn.

• Determinar el subespacio vectorial W1 ∩W2.

• ¿Es W1 ∪W2 un subespacio vectorial?

2. Determinar si el siguiente conjunto es linealmente independiente o no.

• En R2: A =

{(

−10

−6

)

,

(

−10

−6

)

,

(

5

9

)}

• En R3: B =

1

2

3

,

−1

1

−1

,

4

−1

1

• En P2[x] : C = {−x, x2− 2x, 3x + 5x2

}

• EnM2×2 : D =

{(

2 −1

4 1

)

,

(

0 −3

1 5

)

,

(

4 1

7 −5

)}

.

• En C[0, 1]: E = {ex, e−x}.

3. Determine las condiciones sobre a, b, c y d tal que los vectores

(

a

b

)

y

(

c

d

)

sean linealmente dependientes.

4. Determine los valores de m para que S sea linealmente independiente y dependiente respectivamente.

S = {1−mx + x2, 2 + 2x−mx3, m− 2x3, 1 + x−mx2 + x3}

5. ¿p(x) = −2x2− 8x− 6 es una combinación lineal de x2

− x + 1 y x2 + 3x + 4?

6. Encuentre todas las matrices

(

a b

c d

)

que se pueden expresar como combinación lineal de:

(

1 −1

−1 0

) (

0 3

3 0

) (

1 −2

0 3

)

7. Sea V un espacio vectorial sobre K, y sean v1, v2, v3, v4 ∈ V. Demostrar que las siguientes condiciones son equiva-

lentes.

• El sistema {v1, v2, v3, v4} es linealmente independiente.

• El sistema {v1 + v4, v2 + v4, v3 + v4, v4} es linealmente independiente.

8. Sea A una matriz cuadrada n× n cuyas columnas son los vectores v1, v2, . . . , vn. Demuestre que v1, v2, . . . , vn son

linealmente independientes si y sólo si la forma escalonada por filas de A no contiene filas de ceros.

9. Encuentre el rango y la nulidad de las siguientes matrices:

−3 1

3 −2

−1 1

1 −1 2

3 1 4

−1 0 4

1 −1 2 3

0 1 4 3

1 0 6 5

1 −1 2 3

0 1 0 1

1 0 1 0

0 0 0 1

1

10. Encuentre la base para el espacio generado por los conjuntos de vectores dados:

• (1,−1,−5), (3, 2, 0), (−2, 1, 7)

• (1,−2, 3), (2,−1, 4), (3,−3, 3), (2, 1, 0)

• (3, 0,−6), (−1,−1,−1), (4,−2,−14)

11. Sea A una matriz de m × n. Suponga que para todo y ∈ Rm existe una x ∈ R

n al que Ax = y. Demuestre que

ρ(A) = m.

12. En el espacio vectorial (P2[x], R,+, ), si S = {1 + 2x− x2,−1 + αx + βx2,−2− 4x + (α2 + α)x2}

• ¿Para qué valores de α y β es S un espacio linealmente dependiente? Hallar una relación de dependencia.

• ¿Para qué valores de α y β, S es linealmente independiente?

• Hallar 〈S〉 en cada caso del literal (a).

13. Sea {u1, · · · , un} un conjunto linealmente independiente de vectores en un espacio vectorial V sobre K. Sea

w = α1u1 + α2u2 + . . . + αnun

con αi ∈ K para i ∈ {1, 2, . . . , n}. Demostrar que {u1, w, u3, . . . , un} es linealmente independiente si y solo si α2 6= 0.

14. Sean W1 y W2 es subespacio vectorial de un espacio vectorial V sobre K de dimensión finita tal que V = W1 ⊕W2.

Demuestre que si S = {u1, . . . , um} ⊆ W1 y T = {w1, . . . , wn} ⊆ W2 son linealmente independientes. Entonces

{u1, u2, . . . , um, w1, . . . , wn} son linealmente independientes.

15. Indique un conjunto generador diferente al usual de R2, R

3 y R4.

16. Sean S = {(1, 2), (0, 1)} y T = {(1, 1), (2, 3)} bases para R2. Sean v = (1, 5) y w = (5, 4).

• Determine los vectores de coordenadas de v y w con respecto a la base T.

• ¿Cuál es la matriz de transición PS←T de la base de T a la base S?

• Determine los vectores de coordenadas de v y w con respecto a S.

• Determine directamente los vectores de coordenadas de v y w con respecto a S.

• Determine la matriz de transición QT←S de la base de S a la base de T.

• Determine los vectores de coordenadas de v y w con respecto a T utilizando QT←S. Compare las respuestas

con el primer literal.

17. Sean S =

{(

−1 −1

0 1

)

,

(

1 0

0 1

)

,

(

0 −1

0 0

)(

1 0

1 0

)}

y T =

{

(

(

1 1

0 0

)

,

(

1 0

1 −1

)

,

(

1 0

0 0

)(

0 0

1 1

)}

bases para

M2×2. Sean v =

(

0 0

3 −1

)

y w =

(

−2 3

−1 3

)

.

• Determine los vectores de coordenadas de v y w con respecto a la base T.

• ¿Cuál es la matriz de transición PS←T de la base de T a la base S?

• Determine los vectores de coordenadas de v y w con respecto a S.

• Determine directamente los vectores de coordenadas de v y w con respecto a S.

• Determine la matriz de transición QT←S de la base de S a la base de T.

• Determine los vectores de coordenadas de v y w con respecto a T utilizando QT←S. Compare las respuestas

con el primer literal.

18. Demuestre que el rango de una matriz diagonal es igual al número de componentes diferentes de cero en la

diagonal.

19. Demuestre que para cualquier matriz A, ρ(A) = ρ(A⊺).

20. Sea A una matriz de m × n y sean B y C matrices invertibles de m × m y n × n, respectivamente. Pruebe que

ρ(A) = ρ(BA) = ρ(AC). Es decir, si se multiplica una matriz por una matriz invertible, el rango no cambia.

21. Si A es una matriz de n× n, demuestre que ρ(A) < n si y sólo si existe un vector x ∈ Rn tal que x 6= 0 y Ax = 0.

2

Sol. Hj5 Y. CuveroSaturday, June 2, 2018 11:10 AM




ÁLGEBRA LINEAL


SEMESTRE 2018 A

EJERCICIOS:

1. Determine si los siguientes conjuntos son linealmente independientes.

a)

{(

2

3

)

,

(

4

−6

)}

b)

1

−4

2

,

0

2

−1

,

2

−10

5

c) En P3 : {1, 2 − x2, 3 − x, 7x2− 8x}

d) En M2×2 :

{(

1 −1

0 0

)(

1 1

0 0

)(

0 0

1 1

)(

0 0

1 −1

)}

2. Escriba el vector dado en términos de los otros vectores básicos dados.

a) En R2 : x =

(

2

−1

)

;

{(

1

2

)

,

(

−1

2

)}

b) En P2[x] : 4 + x2; {1 + x2, 1 + x, 1}

c) En M2×2 :

(

3 1

0 1

)

;

{(

1 1

0 0

)

,

(

1 −1

0 0

)

,

(

0 0

1 1

)

,

(

0 0

1 −1

)

.

}

3. En los ejercicios siguientes determine si el conjunto dado es un espacio vectorial. Si lo es, determine su dimensión.

Si es finita, encuentre una base para él.

a) Los vectores (x, y, z) ∈ R3 que satisfacen que x + 2y − z = 0.

b) Los vectores (x, y, z, w) ∈ R4 que satisfacen x + y + z + w = 0.

c) EL conjunto de matrices triangulares superiores n × n bajo las operaciones de suma de matrices y multipli-

cación por un escalar.

d) El conjunto de polinomios de grado 5.

e) El conjunto S = { f ∈ C[0, 2] : f (2) = 0}

1



ÁLGEBRA LINEAL


SEMESTRE 2018 A

EJERCICIOS:

1. Sea V = (Mn×n, R,+, ·). Demuestre que 〈A, B〉 = tr(AB⊺) es producto interno de V.

2. Sean a, b, c ∈ R. Sea V = (P2[x], R,+, ·) espacio vectorial. Demuestre que 〈p, q〉 = p(a)q(a) + p(b)q(b) + p(c)q(c)

es producto interno de V.

3. Sea V = (R2, R,+, ·). Demuestre que 〈x, y〉 = 〈(x1, x2), (y1, y2)〉 = x1y1 + 3x2y2 es producto interno de V.

4. Sea V = (R2, R,+, ·). Sea Q ∈ M2×2 tal que Q = Q⊺. Encuentre condiciones sobre Q para que 〈u, v〉 = u⊺Qy sea

un producto interno sobre V.

5. Sea V = (R2, R,+, ·). ¿Es 〈x, y〉 = 〈(x1, x2), (y1, y2)〉 = x1y1 − x2y2 un producto interno sobre V?

6. ¿Cuál de los siguientes conjuntos son ortogonales?

a) (1,−1, 2), (0, 2,−1), (−1, 1, 1)

b) (1, 2,−1, 1), (0,−1,−2, 0), (1, 0, 0,−1)

c) (0, 1, 0,−1), (1, 0, 1, 1), (−1, 1,−1, 2)

7. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son ortonormales?

a)

{(

1

3,

2

3,

2

3

)

,

(

2

3,

1

3,−

2

3

)

,

(

2

3,−

2

3,

1

3

)}

b)

{(

1√

2, 0,−

1√

2

)

,

(

1√

3,

1√

3,

1√

3

)

, (0, 1, 0)

}

c) {(0, 2, 2, 1) , (1, 1,−2, 2) , (0,−2, 1, 2)}

8. Considere el espacio vectorial de R3.

a) Sean u = (1, 1,−2) y v = (a,−1, 2). ¿Para qué valores de a son ortogonales los vectores u y v?

b) Sean u =(

1√

2, 0,− 1

√

2

)

y v =(

a, 1√

2,−b

)

¿Para qué valores de a y b el conjunto (u, v) es ortonormal?

9. Construya una base ortonormal para el subespacio vectorial dado:

a) En R2, comenzando con los vectores básicos

{(

1

1

)

,

(

−1

1

)}

.

b) En R2, comenzando con los vectores básicos

{(

a

b

)

,

(

c

d

)}

donde ad − bc 6= 0.

c) H = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 3t, y = 4t, z = 0, t ∈ R}

d) L = {(x, y, z) ∈ R3 : x = t, y = 2t, z = 2t, t ∈ R}

e) L ={

(x, y, z) ∈ R3 : x

a = y, b = zc , abc 6= 0

}

.

f ) H ={

(a, b, c, d, e) ∈ R5 : 2a − 3b + c + 4d − e = 0

}

1



ÁLGEBRA LINEAL


SEMESTRE 2018 A

EJERCICIOS:

1. Demuestre o refute si las siguientes funciones son un producto interno:

a) 〈x, y〉 =n

∑j=1

xjyj en Cn.

b) 〈x, y〉 =n

∑j=1

xjyj en Cn.

c) 〈x, y〉 = 2x1x2 + 3y1y2 en R2.

d) 〈x, y〉 = 5x1y1 + 2x2y2 en R2.

e) 〈 f , g〉 = f ′(0) + g′(0) en C′[0, 1]

f ) 〈p, q〉 =∫ 1

0p(x)q(x)dx en P2[x]

2. Responda verdadero o falso en cada caso y justifique su respuesta:

a) En R2, ‖cx‖ = c‖x‖

b) Todo conjunto de vectores en R3 que contiene dos vectores linealmente independientes es linealmente inde-

pendientes.

c) El espacio solución del sistema homogéneo Ax = 0 es generado por las columnas de A.

d) Si las columnas de una matriz de n × n forma una base para Rn también forman una base las filas.

e) Si A es una matriz de 8 × 8 tal que el sistema homogéneo Ax = 0 tiene solamente la solución trivial entonces

rang(A) < 8.

f ) Todo conjunto ortonormal de cinco vectores en R5 es una base para R

5.

3. Hallar el complemento ortogonal de los siguientes subespacios de V.

a) V = R3. S =

{

(x1, x2, x3) ∈ R3|2x1 − x2 = 0

}

considerando el producto interno usual.

b) V = R3. S = 〈{(1, 2, 1)}〉.

1) Utilizando el producto interno usual.

2) Para el producto interno definido como

〈x, y〉 = x1y1 + 2x2y2 + x3y3 − x2y2 − x2y1

c) V = R4. S = 〈{(1, 1, 0,−1), (−1, 1, 1, 0), (2,−1, 1, 1)}〉 considerando el producto interno usual.

d) V = R4. S =

{

(x, y, z, w) ∈ R4|x + y + z = 0 2y + 3z − w = 0

}

4. Sea S = {u = (1,−1, 1), v = (2, 1, 1), w = (1, 0, 1)} una base de R3. Conociendo que ‖u‖ = ‖w‖, y que 〈v, u+ v〉 =

0, 〈v, w〉 = 0 y 〈u, w〉 = 4. Tome en cuenta que el producto interno no es el usual.

5. Determine una base ortonormal para el siguiente conjunto de vectores x tales que Ax = 0 y Bx = 0, donde

A =

(

1 0 5 −2

0 1 −2 −5

)

B =

(

1 0 5 −2

0 1 −2 4

)

6. El subespacio W se describe mediante las ecuaciones:

2x1 + x2 + 3x3 − x4 = 0

3x1 + 2x2 − 2x4 = 0

3x1 + x2 + 9x3 − x4 = 0

Calcule el complemento ortogonal de W.

1

7. Se dan un subespacio H y un vector v. Calcule: proyHv, una base ortonormal de H⊥ y escriba v como h + p donde

h ∈ H y p ∈ H⊥.

a) H =

{(

x

y

)

∈ R2 : x + y = 0

}

y v =

(

−1

2

)

b) H =

{(

x

y

)

∈ R2 : ax + by = 0

}

y v =

(

a

b

)

c) H =

x

y

z

∈ R3 : 3x + y − z = 0

y v =

1

1

1

d) H =

x

y

z

w

∈ R4 : 2x − y + 3z − w = 0

y v =

1

−1

2

3

8. Encuentre la mejor recta que se ajusta a los puntos dados:

a) {(5,−3), (2,−4), (−3, 6)}

b) {(1, 3), (4, 6), (−2, 5), (3,−1)}

9. Encuentre el mejor ajuste cuadrático para los puntos dados:

a) {(2,−5), (3, 0), (1, 1), (4,−2)}

b) {(1,−1), (3,−6), (5, 2), (−3, 1), (7, 4)}

10. Encuentre la mejor aproximación cúbica para los puntos {(−1, 2), (−2,−1), (−3, 5), (1,−1), (−3, 2)}

2



ÁLGEBRA LINEAL


SEMESTRE 2018 A

EJERCICIOS:

1. Identifique las funciones que definen un producto interno:

a) 〈x, y〉 = ax1y1 + bx2y2 en R2 donde a, b ∈ R.

b) 〈x, y〉 = ax1y1 + bx2y2 en R2 donde a, b > 0.

c) 〈 f , g〉 = max{ f (t)g(t) : t ∈ [0, 1]} en C[0, 1].

2. Suponga que 〈x, y〉 = x1y1 + x2y2 − ax1y2 − bx2y1 en R2 define un producto interno. Determine que condiciones

debe satisfacer los reales a y b.

3. Sean 〈, 〉1 y 〈, 〉2 dos productos internos sobre R2. Muestre o refute: Si x y y son ortogonales con 〈, 〉1, entonces

también lo son con 〈, 〉2. Si z es unitario con 〈, 〉1, entonces también es unitario con 〈, 〉2.

4. Se define el producto interno

〈, 〉 : R2× R

2−→ R

(x, y) 7−→ 3x1y1 + 4x2y2 − 2x1y2 − x2y1.

Sea x ∈ R2 tal que es unitario y es ortogonal a (1, 5). Determine el vector x.

5. Sea el conjunto {u1, u2, . . . , un} ortonormal de Rn. Demuestre que dicho conjunto es linealmente independiente y

por ende una base de Rn. ¿Este resultado se mantiene si el conjunto solo es ortogonal?

6. Sea F = {A ∈ Mn×n(R) : 2A − At = 0}. Muestre que F es un espacio vectorial y calcule su dimensión. Para n = 3

halle una base ortonormal de F.

7. Para el espacio vectorial P [x] donde p(x), q(x) ∈ P [x], tales que p(x) = a1x + a0 y q(x) = b1x + b0; se define el

producto interno:

〈p, q〉 = a1b1 + a0b1 + a1b0 + 8a0b0

Sean los vectores p(x) = −1 + 4x y q(x) = 5 + 2x, calcule 〈p, q〉 y ‖p − q‖.

8. Sea V = (M2×2, R,+, ·) donde M2×2 es el conjunto de matrices simétricas, se define la función:

〈A, B〉 = tr(AB) ∀ A, B ∈ M2×2

a) Demostrar que 〈A, B〉 define un producto interno en V.

b) Calcular una base ortonormal para V a partir de la base usual (canónica) de V.

c) Sea B =

{(

1 0

0 0

)

,

(

0 −3

−3 0

)

,

(

−2 0

0 1

)}

, determinar si B es ortogonal usando el producto interno

anterior. Si no lo es, construir una base ortogonal a partir de B.

9. Probar la Teorema de Pitágoras. Sea V un espacio vectorial definido con producto interno, probar que u, v ∈ V,

cumplen que:

‖u + v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2

si y sólo si 〈u, v〉 = 0.

10. Probar la Ley del Paralelogramo, dada por:

‖u + v‖2 + ‖u − v‖2 = 2‖u‖2 + 2‖v‖2

para dos vectores cualesquiera en un espacio vectorial con producto interno.

1

11. Sea u, v ∈ V espacio vectorial euclídeo. Demuestre o refute que si:

‖u‖ = ‖v‖ entonces (u + v) ⊥ (u − v)

12. Sea el conjunto B = {(1, 1, 0); (−1, 1, 2); (1,−1, 1)} una base ortogonal de R3. Calcular las coordenadas del vector

u = (1, 2, 1) respecto a la base B:

a) Usando el método directo de operaciones fila.

b) Usando el producto interno usual.

13. Determinar una base ortonormal del complemento ortogonal de W, donde:

W = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 + x3 = 0, x2 − x4 = 0}.

14. Determinar una base ortonormal del complemento ortogonal de W, donde:

W =

{(

a b

0 c

)

∈ M2×2 : a, b, c ∈ R

}

.

15. Para el espacio vectorial P2[x], considere el producto interno

< f , g >=3

∑i=1

f (i)g(i),

para todo f , g ∈ P2[x]. Determinar una base ortonormal del complemento ortogonal de W, donde:

W = {ax2 + bx + c ∈ P2[x] : a − b + c = 0}.

16. Para el espacio vectorial P2[x], considere el producto interno

〈 f , g〉 =∫ 1

−1f (x)g(x) dx,

para todo f , g ∈ P2[x]. Determinar una base ortonormal del complemento ortogonal de W, donde:

W = {ax2 + bx + c ∈ P2[x] : a − b + c = 0}.

17. En (C2, C, +, ·), determinar una base ortonormal del complemento ortogonal de W.

W = 〈{(1, 1 + i), (i, 1)}〉.

18. En el espacio vectorial C(1, 3), dotado del producto interno:

〈 f , g〉 =∫ 3

1f (x)g(x) dx,

para todo f , g ∈ C(1, 3). Para f (x) =1

xcon x ∈ (1, 3), muestre que el polinomio constante g más próximo a f es

g(x) =1

2ln(3). Calcule ‖ f − g‖2.

19. Sean u1 y u2 dos vectores ortonormales en Rn. Demuestre que |u1 − u2| =√

2

20. Encuentre una condición sobre los números a y b tales que

{(

a

b

)

,

(

b

−a

)}

y

{(

a

b

)

,

(

−b

a

)}

formen una

base ortonormal en R2.

21. En los siguientes problemas se dan un subespacio vectorial H y un vector v realizar los siguientes enunciados:

a) Calcular proyHv

b) Encuentre una base ortonormal para H⊥

c) Escriba v como h + p donde h ∈ H y p ∈ H⊥

• H =

x

y

z

∈ R3 :

x

2=

y

3=

z

4

v =

1

1

1

• H =

x

y

z

∈ R3 : x − y + z = 0

v =

1

−1

2

2

• H =

x

y

z

w

∈ R4 : x = 3t, y = −2t, z = t, w = −t, t ∈ R

v =

1

2

0

−1

• H =

x

y

z

w

∈ R4 : 2x − y + 3z − w = 0

v =

1

−1

2

3

22. El distribuidor de un nuevo automóvil ha obtenido los siguientes datos:

Número de semanas Ventas brutas

después de la presentación por semana

del automóvil (millones de dólares)

1 0.8

2 0.5

3 3.2

4 4.3

5 4

6 5.1

7 4.3

8 3.8

9 1.2

10 0.8.

Sea x los ingresos brutos por semana (en millones de dólares) y t las semanas después de la presentación del

automóvil.

a) Determine un polinomio cuadrático mediante mínimos cuadrados que describa el comportamiento de los

datos.

b) Utilice el polinomio encontrado para determinar los ingresos brutos 12 semanas después de la presentación

del automóvil.

23. Una organización obtiene los siguientes datos que relacionan el número de agentes de ventas con las ventas anules.

Número de agentes de ventas Ventas anuales (millones de dólares)

5 2.3

6 3.2

7 4.1

8 5.0

9 6.1

10 7.2

Sean x el número de agentes de ventas y y las ventas anuales (en millones de dólares).

a) Determine la recta que describe los datos mediante el método de mínimos cuadrados.

b) Utilice la ecuación obtenida en el literal anterior para estime las ventas anuales cuando se cuenta con 14

agentes.

24. Demuestre que las siguientes funciones son transformaciones lineales:

a) Tomemos:

f : R4

→ R2

x

y

z

w

7→ f

x

y

z

w

=

(

x + z

y + w

)

b) Sea B ∈ Mn×n es una matriz constante dada.

f : Mn×n → Mn×m

A 7→ f (A) = AB

3

c) Sea Dn el conjunto de todas las matrices diagonales de dimensión n × n.

f : Dn → Dn

A 7→ f (A) = A2

d) Sea Dn el conjunto de todas las matrices diagonales de dimensión n × n.

f : Dn → Dn

A 7→ f (A) = A + I

e) Tomemos:

f : P2[x] → P1[x]

a0 + a1x + a2x27→ f (a0 + a1x + a2x2) = a1 + a2x

f ) Considere:

f : Mn×n → R

A 7→ f (A) = det(A)

4

Repaso capítulo 6Saturday, July 14, 2018 7:14 AM

Álgebra lineal Y. Cuvero página 1



ÁLGEBRA LINEAL


SEMESTRE 2018 A

EJERCICIOS:

1. Determinar si las siguientes funciones son aplicaciones lineales:

a) f : R3→ R

2, f (x1, x2, x3) =

(

x2 − 3x1 +√

2x3, x1 −1

2x2

)

b) f : R2→ R

3, f (x1, x2) = (x1 − x2, 2x2, 1 + x1)

c) f : M2×3 → R3, f

(

a11 a12 a13

a21 a22 a23

)

= 3a13 − a23, a11 + 2a22 − a23, a22 − a12

d) f : M2×2 → M2×2; f (A) = BA, donde B =

{(

1 0

3 1

)}

.

e) f : C1[0, 1] → C[0, 1]; f (u) = u′.

2. Sea f ∈ L(V, W) sea {v1, v2, . . . , vn} una base para V y suponga que f (vk) = 0, ∀k ∈ {1, 2, . . . , n}. Demuestre que

f es la transformación lineal nula.

3. Sea f ∈ L(R3, R3), f (x, y, z) = (x + 2y − z, 2x + 3y + z, 3y − 9z)

a) Calcular (x, y, z) ∈ R3 tal que f (x, y, z) = (1, 2, 0).

b) Existe algún (x, y, z) ∈ R3 tal que f (x, y, z) = (1, 1, 0).

4. Encuentre todas las transformaciones lineales de R2 en R

2 que transforman la recta y = ax en la recta y = bx.

5. Defina f : C ′[0, 1] → C[0, 1] por f (u(x)) = xu′(x). Encuentre el núcleo y la imagen de f .

6. Sean A =

(

3 −3 21

−2 −2 −2

)

y b =

−8

6

2

y c =

(

−9

−2

)

7. ¿El vector c pertenece a la imagen de f ?

8. ¿El vector b pertenece al núcleo de f ?

9. Sea f ∈ L(R2, R2) definida por f (x, y) = (−12x − 12y,−3x − 3y). Encuentre un vector w que no pertenezca a la

imagen de f .

10. Sea f ∈ L(R3, R3) definida por f (x, y, z) = (x − y, x − z, z − x). Encuentre un vector w que no pertenezca a la

imagen de f .

11. Sea A f =

−2 8 6

2 −8 −6

−1 4 3

. Encuentre la base del espacio nulo de la transformación lineal f , donde f (x) = A f x.

12. Sea A f =

−2 −8 −6

1 −6 −2

−1 −6 2

−2 −14 −4

. Encuentre la base del espacio nulo de la transformación lineal f , donde f (x) = A f x.

13. Sea f ∈ L(P1[t], R2) definida por

f (a + bt) =

(

a + b

3a + 4b

)

a) Demuestre que f es un isomorfismo.

1

b) Hallar f−1 (explícitamente).

14. Si α ∈ R, sea f ∈ L(R3, R3) definida por

f

x

y

z

=

x + αy + z

2x + y + 2z

x + (α − 1)y + 2z

a) Hallar los valores α ∈ R para que f sea biyectiva.

b) Si α = 1, ¿ f es biyectiva?. En caso afirmativo, hallar f−1 (explícitamente).

c) Para el caso en que f no sea biyectiva, halle el núcleo y la imagen de f , y bases de estos espacios.

15. Indique si los enunciados siguientes son verdaderos o falsos.

a) Sea f ∈ L(R2n, Rn), entonces f puede ser inyectiva.

b) Sea f ∈ L(M3×1, R3), entonces f es un isomorfismo de M2×2 sobre R

4.

c) Sea f ∈ L(V, W) un isomorfismo, entonces nu f 6= {0V}.

d) Sea m ∈ Z+, entonces existe un n ∈ Z

+ tal que Rn sea isomorfo a Mm×m.

16. Demuestre que la función f : Pn[x] → Pn[x] definida por

f (p(x)) = xp′(x),

no es un isomorfismo de Pn[x] sobre Pn[x].

17. Demuestre o refute:

a) Todo isomorfismo es una isometría.

b) Todo isometría es un isomorfismo.

18. Dadas las siguientes matrices asociadas a una aplicación lineal. Identifique si la aplicación lineal es un isomorfis-

mo, una isometría o nínguna de las dos.

a) A1 =

(

3 4

2 2

)

b) A2 =

(

2 2

−2 2

)

c) A3 =

1 5

−2 4

−1 0

d) A4 =

(

1 2 3

−1 2 4

)

e) A5 =

(

5 2

2 1

)

f ) A6 =

(

1 1

−1 1

)

g) A7 =1

2

(√

3 1

−1√

3

)

19. Dadas las transformaciones lineales pruebe o refute si son o no son isometrías:

a)T1 : R

2−→ R

3

x 7−→ (x1 − x2, x2, x1 + 2x2)

b)T2 : R

3−→ R

3

x 7−→ (x1,−x3, 2x2)

c)T3 : R

2−→ R

2

x 7−→ (5x2,−4x2)

2



ÁLGEBRA LINEAL


SEMESTRE 2018 A

EJERCICIOS:

1. Determine en cada caso si la función T de V en W dada es una transformación lineal.

a) T : R2−→ R

2; T

(

x

y

)

=

(

x2

y2

)

.

b) T : Rn−→ R

2; T

x1

x2...

xn

=

(

|x1|

xn

)

.

c) T : Mm×n −→ Mq×n; T(A) = BA, donde B es una matriz fija de q x m.

2. Dado el espacio vectorial P2[x] sobre R

Si B = {1 − x, x2− 2, 3 + x − x2

} y S = {3 − x2, 1 + 2x, 3} que pertenecen a P2(x)

Hallar la matriz de transición de B a S.

3. Sea f ∈ L(R2, R3) tal que f (x, y) =

(

αx +y

2,

x

2+ αy

)

a) ¿Para qué valores de α ∈ R f es biyectiva?

b) Hallar Nu( f ), Img( f ) y sus respectivas bases.

c) Si α = 0 y B = {(1, 1), (0,−1)}. Calcule [ f ]BCBC

y [ f ]BB y una matriz P tal que, B = P−1 AP.

4. Dadas las bases B1 = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)} B2 = {1, 1− t, 1− t− t2}, definida de R

3 a P2[x] respectivamente.

Sea A =

1 0 1

−1 1 0

1 −1 1

. Determine [ f ]BC2BC1

tal que A−1 = [ f ]B2B1

, donde BC1 y BC2 son bases canónicas de

R3 y P2[x] respectivamente.

5. Sea T : R2→ R

2 una transformación lineal tal que T(1, 0) = (1, 1) y T(0, 1) = (2,−1). Encuentre T(5,−2) y luego

halle una forma explícita de T(x) para x ∈ R2.

6. Sea T : R2→ R

3 una transformación lineal tal que T(1, 1) = (1, 0, 2) y T(1,−1) = (−1, 2, 2). Encuentre T(−2, 1) y

luego halle una forma explícita de T(x) para x ∈ R2.

7. Sea T : P2[x] → R2 una transformación lineal tal que T(1 + 2x) = (2, 1), T(3) = (6,−1) y T(1 + x + x2) = (3, 1).

Encuentre T(x2− 2) y luego halle una forma explícita de T(a + bx + cx2) para a, b, c ∈ R.

8. Dada la transformación linealT : R

3−→ R

3

x 7−→ (x1 − x2, x3 + x2, x1).

Determine el núcleo e imagen de T y luego halle una base para cada uno. Verifique que se cumple el teorema de

la dimensión.

9. Dada la transformación linealT : P2[x] −→ R

3

a + bx + cx27−→ (a − b, a + c, b).


la dimensión.

1

10. Dada la transformación linealT : M2×2 −→ R

2(

a b

c d

)

7−→ (a − 2b, b − 2a).


la dimensión.

11. Dada la transformación lineal inyectiva

T : R2−→ R

3

x 7−→ (αx2 − x1, x1 + 2x2)

donde α ∈ R. Determine los valores posibles de α.

12. Dada la transformación linealT : C[−1, 1] −→ R

f 7−→

∫ 1

−1f (x) dx.

Muestre que si f es impar, entonces f ∈ nu(T). Encuentre g ∈ C[−1, 1] tal que g ∈ nu(T) pero que g no sea impar.

13. Dada la transformación linealT : C1[−1, 1] −→ R

f 7−→ f ′.

Determine el núcleo de T y deduzca si T es inyectiva.

14. Dada la transformación linealT : R

3−→ R

3

x 7−→ (x2, x1 + x2, x2 − x3).

Determine la imagen de T sin calcular el núcleo.

15. Dada la transformación lineal

T : P2[x] −→ P3[x]

a + bx + cx27−→ c + ax + bx2 + (a − c)x3

Determine la imagen de T sin calcular el núcleo.

16. Dada la transformación linealT : P1[x] −→ P1[x]

a + bx 7−→ b + ax

Determine el núcleo y la imagen de T. Determine su T es inyectiva y sobreyectiva.

17. Sea f : R3−→ P2[t] definida como:

f (a, b, c) = a + αb + (a + b − c)t + (αa + c + β)t2

a) Determine los valores de α y β para que f sea una transformación lineal.

b) Para α = −1 y β = 0 determine si f es un isomorfismo y f−1 si existe.

18. Sea la transformación lineal f : M2×2 −→ M2×2 definida como:

f (A) = AT− A , ∀A ∈ M2×2

Calcular el núcleo de f , la imagen de f y determine si f es un isomorfismo.

19. Sea la transformación lineal f : M −→ R donde:

M =

{(

x y

y z

)

∈ Matrices Simétricas : x, y, z ∈ R

}

y se conoce:

f

(

1 0

0 −1

)

= −7 f

(

2 1

1 1

)

= 7 f

(

−2 −2

−2 3

)

= 14

a) Calcule el valor de f

(

x y

y z

)

para todo

(

x y

y z

)

∈ M.

b) Determine el núcleo de f y si f un isomorfismo.

2

20. Sean A, B ∈ Mn×n dos matrices ortogonales. Demuestre que f ∈ L(Rn, Rn) definida por f (x) = ABx es una

isometría.

21. Para x, y ∈ Rn con x y y no nulos, defina el ángulo entre x y y como ∢(x, y) = arc cos

(

〈x, y〉

‖x‖‖y‖

)

. Demuestre que

si f ∈ L(Rn, Rn) es una isometría, entonces f preserva los ángulos.

22. Sea f ∈ L(Rn, Rn) una isometría definida por f (x) = Ax. Demuestre que g ∈ L(Rn, R

n) definida por g(x) =

A−1x es una isometría.

23. Calcule los valores y espacio característico asociados de la matriz A =

4 0 0

−10 1 −4

−5 2 −5

.

24. Calcule los valores y espacio característico asociados de la matriz A =

2 0 0

−10 −3 0

−5 0 −3

25. La matriz A =

1 −1 0

−4 −3 −1

k 0 0

tiene tres valores reales si y solo si a ≤ k ≤ b. Determine los valores de a y b.

3



ÁLGEBRA LINEAL

REPASO NO. 01

SEMESTRE 2018 A

EJERCICIOS:

1. Dada la matriz A indique las operaciones de fila necesarias para llevarla a una matriz escalonada reducida por

filas. ¿La matriz es invertible?

A =

5 0 3

2 1 7

3 0 1

2. Sea x ∈ R. Halle los valores de x para que la matriz A dada cumpla que rang(A) = 3 y rang(A) 6= 3, donde

A =

x −x 1

−x x −x

1 −x x

3. Hallar el rango de la matriz A =

1 0 1 0 −1

0 −1 0 0 0

0 0 1 0 1

−1 0 0 −1 0

0 0 1 0 1

.

4. Sea A =

1 λ − 1 1

λ 2 1

1 0 4

• ¿Para qué valores de λ, la matriz A es invertible?

• Calcule la inversa de A.

• Si λ = 5 y b =

2

3

5

, resuelva el sistema Ax = b.

• Si C =

1 0 1

2 1 0

3 2 7

. Determine P tal que A = PC.

5. Calcule el determinante de∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 − x 1 1

1 − x 1 1 1

1 1 1 + z 1

1 1 1 1 + z

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

6. Demuestre que∣

∣

∣

∣

∣

∣

d a b + c

d b a + c

d c a + b

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

7. Si

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x 3 1

y 0 1

z 2 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 2 calcule el siguiente determinante

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x y z

3x + 3 3y 3z + 2

x + 1 y + 1 z + 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

8. Demuestre que

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x + y y + z z + x

p + q q + r r + p

a + b b + c c + a

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x y z

p q r

a b c

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

1

9. Hallar x ∈ R tal que

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 1

1 x 1

1 1 x2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 1.

10. Para cada sistema de ecuaciones lineal, indicar:

a) Cuando el sistema tiene solución única. Hallar la solución.

b) Cuando el sistema tiene infinitas soluciones. Hallar solución.

c) Cuando el sistema no tiene solución.

(2m + 2)x + (m − 1)y + (m + 3)z = 2m + 2

(m − 1)y − (m − 1)z = 0

mx + y − z = m + 1

(λ − 1)x + y − z = λ

(λ − 1)x + (m + 2)y + (m + 1)z = m

(−2m − 2)y − (m + 4)z = 2λ − m2− m

y

(2a + 2)x1 + (a − 1)x2 + (a + 3)x3 = −2

(a − 1)x2 − (a − 1)x3 = 0

2x1 + x2 − x3 = −1

2

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