escuela politÉcnic nacionaa l especializacion ......balanceados de lineas d e transmisiÓn. tesis...
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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
ESPECIALIZACION DE ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
DISEfíO Y CONSTRUCCIÓN DE DN EQUIPO PARA DETERMINAR LA
RELACIÓN DE ONDA ESTACIONARIA EN SISTEMAS
BALANCEADOS DE LINEAS DE TRANSMISIÓN.
TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TITULO DE INGENIERO
EN ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
LUIS EFREN DÍAZ VILLACIS
E.P.N. / 1993
r
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CERTIFICO QUE LA PRESENTE TESIS HASIDO DESARROLLADA EN SO TOTALIDAD
POR EL Sr. LUIS EFREN DÍAZ VILLACIS
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DEDICATORIA
A LAS PERSONAS QUE MAS QUIERO,RESPETO Y ADMIRO:MIS PADRES Y MI HERMANA.
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AGRADECIMIENTO
A MIS PROFESORES Y DE MANERA MUY
PARTICULAR AL SE80R ING. MARIO CEVALLOSPOR SO VALIOSA CONTRIBUCIÓN Y AYUDA EN LA
DIRECCIÓN DE ESTA TESIS.AL SESOR DON MIGUEL VILLACIS POR SUCOLABORACIÓN, APOYO Y PACIENCIA.A LA EMPRESA ECUATRONIX Y EN ESPECIAL A
PATRICIO VILLACIS POR SU DESINTERESADA
AYUDA.UN RECONOCIMIENTO DE PROFUNDA GRATITUD
PARA TODOS MIS AMIGOS Y COMPAÑEROS DE
TRABAJO.
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Í N D I C E
NUMERAL DESCRIPCIÓN PAGINA
C A P I T U L O I
1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
1.1 Estudio de Líneas de Transmisión en
Alta Frecuencia. Métodos Analiticos.. 1
1.1.1 Principios y fundamentos de teoría
electromagnética 4
1.1.2 Principios y fundamentos de la
teoría de circuitos eléctricos 11
1.2 Análisis de Circuitos con Elementos
Distribuidos 12
1.2.1 Postulados 12
1.2.2 Símbolos de los coeficientes y de las
variables de circuito distribuido.... 14
1.3 Ecuaciones Diferenciales de la Línea
de Transmisión 18
1.3.1 Ecuaciones diferenciales en una línea
de transmisión en el dominio del
tiempo 19
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Í N D I C E
HUMERAL DESCRIPCIÓN PAGINA
1.3.2 Ecuaciones diferenciales de una linea
transmisión para el caso sinusoidal.. 22
1.3.3 Soluciones de las ecuaciones
diferenciales de la linea de
transmisión 24
1.4 Ondas Viajeras y Ondas Estacionarias
en la Linea de Transmisión 28
1.4.1 Interpretación de las ecuaciones que
definen a la ondas viajeras 30
1.4.2 Relación entre las ondas incidente
y la reflejada. ( Coeficiente de
Reflexión ) 36
1.4.3 Ondas estacionarias en la linea de
transmisión. 40
1.4.4 Análisis y significado de las ondas
estacionarias 41
1.4.5 Importancia práctica de las
observaciones de las ondas
estacionarias 46
1.4.6 Efectos adversos de las ondas
estacionarias 48
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Í N D I C E
NUMERAL DESCRIPCIÓN PAGINA
C A P I T U L O I I
2, LINEA BALANCEADA O DE CONDUCTORES
PARALELOS 51
2. 1 Introducción 51
2.2 Características de Lineas de
Transmisión Balanceadas 52
2.3 Dispositivos de Adaptación de
Sistemas Balanceados a Desbalanceados 57
2.3.1 Introducción 57
2.3.2 Clasificación . , . 59
2.4 Balun de Banda Ancha 60
2.4.1 Análisis de balun de banda ancha 62
2.4.2 Ejemplos típicos de balun de banda
ancha 70
C A P I T U L O III
3. MEDICIONES DE ONDA ESTACIONARIA 77
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Í N D I C E
NUMERAL DESCRIPCIÓN PAGINA
3. 1 Métodos de Evaluación y Dispositivos
de Medida para Onda Estacionaria 77
3.2 Dispositivos de Medida para Onda
Estacionaria 78
3.2.1 Detector de ondas estacionarias para
sistemas balanceados 78
3.2.2 Detector de ondas estacionarias para
sistemas desbalanceados 79
3.3 Estudio de las Características
Fundamentales de la Línea Ranurada
y de su Funcionamiento 83
C A P I T U L O IV
4. DISEffO Y CONSTEDCCION 93
4.1 Especificaciones Técnicas para el
Diseño 93
4.2 Diseño de la Línea Ranurada
Balanceada 95
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Í N D I C E
NUMERAL DESCRIPCIÓN PAGINA
4.2.1 Criterios generales de diseño 95
4.2.2 Impedancia característica de la línea
ranurada balanceada 99
4.2.3 Rango de frecuencias de operación de
la línea ranurada balanceada 112
4.3 Diseño de Elementos Adicionales 113
4.3.1 Diseño de la punta de prueba 113
4.3.2 Diseño del balun de banda ancha 115
4.3.3 Diseño del filtro pasabajos 128
4.4 Construcción del Equipo Diseñado 135
4.4.1 Construcción de la línea ranurada
balanceada 135
4.4.2 Construcción de la punta de prueba... 140
4.4.3 Construcción del balun de banda ancha 141
4.4.4 Construcción del filtro pasabajos.... 147
4.4.5 Precauciones 152
C A P I T U L O V
PRUEBAS, MEDICIONES Y RESULTADOS 154
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Í N D I C E
NUMERAL DESCRIPCIÓN PAGINA
5. 1 Introducción 154
5.1.1 Determinación de la longitud de
onda " A" 154
5.1.2 Determinación de la Relación de Onda
Estacionaria " SWR " 155
5.1.3 Determinación de la impedancia en el
terminal de carga de la linea
ranurada 159
5.1.4 Determinación de Zo, a y Kv de
una línea de transmisión 162
5.1.5 Determinación de la impedancia de
carga "Zr" en una línea de
transmisión si se conoce el valor
de su impedancia de entrada "Zin".,., 163
5.2 Pruebas Experimentales 165
5.2.1 Pruebas preliminares 165
5.2.2 Prueba para la determinación del
Patrón de Onda Estacionaria 166
5.2.3 Pruebas para determinar el
equilibrio de la línea ranurada
construida 178
5.3 Mediciones y Resultados 180
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Í N D I C E
NUMERAL DESCRIPCIÓN PAGINA
5.4 Análisis de los Resultados . , 199
5.4.1 Análisis de los resultados
experimentales obtenidos en la
medición de una impedancia de
carga "Zr" 199
5.4.2 Análisis de los resultados
experimentales obtenidos para las
muestras de "Cables Balanceados" 200
5.4.3 Análisis de los resultados
experimentales obtenidos para la
antena "Dipolo Simple" 202
5.4.4 Análisis de los resultados
experimentales obtenidos para la
antena "Dipolo Doblado" 205
5.5 Costo Estimativo del Equipo 208
C A P I T U L O V I
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 212
6. 1 Conclusiones 212
6.2 Recomendaciones 219
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Í N D I C E
DESCRIPCIÓN PAGINA
A P É N D I C E
APÉNDICE A Características Técnicas de Lineas de
Transmisión en Alta Frecuencia 222
APÉNDICE B Características Técnicas de la Línea
Ranurada Coaxial Tipo 874 - LBB y
del BALÓN Tipo 874 - ÜB............, 223
APÉNDICE C Características Técnicas de Materiales
Ferromagnéticos.
Tabla de Calibres de Alambres o Hilos
Conductores 224
B I B L I O G R A F Í A 225
-
INTRODUOOION
Los sistemas de transmisión de señales eléctricas se
dividen estructuralmente en dos grupos, dependiendo si estas
señales son guiadas a lo largo de una trayectoria por una
linea física material, o si son propagadas libremente a
través de la atmósfera terrestre o en el espacio. En el
primer grupo se incluyen, básicamente, las líneas de
transmisión de alto voltaje que enlasan estaciones
generadoras con centros de consumo; estas líneas de
transmisión que se extienden en los centros urbanos y
rurales proporcionan Kilovatios y Megavatios de potencia a
usuarios domésticos e industriales. Dentro de este grupo se
tienen también las líneas de baja potencia empleadas
principalmente para la transmisión de algún tipo de señal de
información; ejemplos de ellas son las líneas paralelas,
generalmente aéreas, para transmisión de señales
telefónicas, las líneas de transmisión coaxiales y de par
blindado, que generalmente son subterráneas y que permiten
llevar señales en cable multicanal para servicios de
telefonía y televisión. El segundo grupo de sistemas de
transmisión permite transportar todo tipo de señales de
comunicaciones que incluyen principalmente telefonía a larga
distancia y televisión y transmisión de datos, entre otros;
en cuyo caso se trabaja con altas frecuencias que van desde
-
los Megahertzios hasta varios Gigahertzios.
Cada uno de estos sistemas de transmisión de señales
y potencia eléctrica tiene sus propiedades y características
propias, las mismas que permiten definir parámetros y leyes
que rigen su comportamiento básico; y justamente las
investigaciones que a nivel de Ingeniería se han realizado
al respecto son las que han permitido en los últimos años un
acelerado desarrollo en este campo y gracias al cual en la
actualidad la humanidad entera puede acogerse a los
beneficios y ventajas de los Sistemas de Transmisión de
Potencia Eléctrica y principalmente de los modernos Sistemas
de Comunicación existentes en todo el mundo.
De lo anteriormente expuesto se deduce que los
Sistemas de Transmisión de Señales y Potencia Eléctrica
constituyen por sí solos una de las más grandes aportaciones
tecnológicas de la Ingeniería a la civilización moderna; por
tal motivo, el efectuar un trabajo que conlleve
intrínsicamente un estudio detallado de las líneas de
transmisión, resulta interesante y provechoso. Por otro
lado, y frente a la necesidad de dar a los estudiantes de la
Facultad de Ingeniería Eléctrica la oportunidad de estudiar,
analizar y sobre todo de investigar a nivel de laboratorio
las características de las líneas de transmisión, surge la
inquietud de construir un equipo que nos permita determinar
experimentalmente las principales propiedades eléctricas de
los Sistemas Balanceados de Transmisión en base a la
observación, análisis y evaluación de la Relación de Onda
-
Estacionaria - ROE, más comunmente denominada SWR (Standing
Wave Ratio). Estas son básicamente las rasones que motivan
e impulsan la realisación de esta Tesis.
Para lograr este objetivo se requiere en principio
conocer los parámetros eléctricos que caracterizan y definen
a las líneas de transmisión; por lo tanto los primeros
capítulos de esta Tesis concentran su atención al análisis
de los fundamentos teóricos de las Líneas de Transmisión en
Alta Frecuencia, análisis que abarca un estudio detallado
tanto de las Ecuaciones de Maxwell como de Circuitos
Eléctricos, enfocado y aplicado en forma específica a una
Línea de Transmisión Balanceada; dando especialmente énfasis
al estudio y análisis de las Ondas Estacionarias, ya que su
observación y medición en sistemas de transmisión de alta
frecuencia proporciona un procedimiento sencillo y preciso
para medir algunas características importantes de líneas de
transmisión, tales como impedancia, atenuación, velocidad de
propagación, etc., debido a que en alta frecuencia los
puentes de impedancia y otras técnicas fallan en cuanto a
simplicidad y exactitud.
Este proyecto pretende además dar los criterios
básicos de diseño y construcción de un medidor de Relación
de Onda Estacionaria para sistemas balanceados, siendo el
objetivo final el de presentar los resultados experimentales
obtenidos con el equipo construido y efectuar en forma
simultánea un análisis comparativo con los valores
especificados y normalizados en textos y manuales. Además se
-
espera, en primera instancia, que este trabajo ofrezca la
posibilidad de ser utilizado como equipo para prácticas de
laboratorio, y que además constituya la base para futuros
trabajos relacionados con la observación y evaluación de las
principales características de líneas de transmisión y
antenas balanceadas, en vista de que el Departamento de
Electrónica y Telecomunicaciones de la Facultad de
Ingeniería Eléctrica tiene interés en crear un laboratorio
para efectuar experimentaciones a nivel de Sistemas de
Transmisión, Propagación y Antenas.
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CAJPITOLO
1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
1.1 Estudio de Líneas de Transmisión en Alta
Frecuencia. Métodos Analíticos.
1.2 Análisis de Circuitos con Elementos
Distribuidos.
1 . 3 Ecuaciones Diferenciales de la Línea de
Transmisión.
1.4 Ondas Viajeras y Ondas Estacionarias en laLínea de Transmisión.
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3_ . B-OISTDAMEISITOS TEÓRICOS
. ±
La teoría moderna de transmisión en telecomunicaciones
divide a las ondas electromagnéticas en Ondas Guiadas o
Dirigidas y No guiadas o Libres. En la transmisión dirigida,
las componentes eléctrica y magnética del campo quedan
confinadas al interior de una cierta región limitada
físicamente como sería, por ejemplo, una línea de
transmisión o una guía de ondas, en contraste con la
transmisión libre, en la cual no existe tal limitación.
Una antena emisora de radio, por ejemplo, constituye una
fuente de ondas electromagnéticas libres.
La solución general del problema de la propagación
electromagnética, tanto si se trata de ondas libres como
guiadas, se puede formular aplicando un sistema de
ecuaciones llamadas "Ecuaciones de Maxwell", e introduciendo
ciertas condiciones de contorno dependientes del problema en
cuestión, con el reconocimiento explícito de que los campos
-
2
eléctrico y magnético del problema en si, son las variables
físicas primarias. La propagación de ondas electromagnéticas
a lo largo de las lineas de transmisión es un caso
particular del problema general, y si no se trata en la
forma indicada se debe a que se pueden reducir materialmente
las dificultades y complicaciones, tratando el problema de
la linea de transmisión como problema de circuitos. En
este caso el método analítico se lo conoce como "Análisis de
Elementos de Circuito Concentrados", el cual emplea el
concepto idealizado de resistencias, inductancias y
capacitancias como elementos de dos terminales, para
representar las funciones localizadas de disipación y
almacenamiento de energía en el campo electromagnético;
siendo, los voltajes y corrientes que están relacionados por
medio de expresiones integrales o diferenciales a los campos
eléctrico y magnético, las variables eléctricas primarias.
El método es un sustituto adecuado para la teoría
electromagnética, cuando las dimensiones de un circuito son
suficientemente pequeñas, de modo que ningún cambio
apreciable ocurrirá en el voltaje o en la corriente, en
cualquier punto, durante el tiempo que las ondas
electromagnéticas requieren para propagarse a través del
circuito total. El criterio en cuanto a tamaño es
lógicamente una función de la frecuencia. A las
frecuencias de las líneas de potencia (60 Hz), el método de
análisis de elementos concentrados es aplicable con gran
exactitud a circuitos de varios kilómetros de longitud,
mientras que a las frecuencias de microonda este método no
-
3
es útil para analizar un circuito de menos de una pulgada.
Se observa entonces que los ingenieros eléctricos y
electrónicos pueden contar con dos métodos o procedimientos
diferentes para analizar matemáticamente el comportamiento
de una Línea de Transmisión; sin embargo, fuera de las
técnicas de la "Teoría Electromagnética" y del "Análisis por
Concentración de los Elementos del Circuito", los ingenieros hacen
uso de un tercer método analítico para problemas eléctricos,
el cual combina definiciones y criterios característicos de
cada uno de los otros dos métodos. Este método extiende la
aplicación de los conceptos del análisis por concentración
de los elementos del circuito, a circuitos que son
infinitamente largos en una dimensión pero que deben ser
restringidos y uniformes en las otras dimensiones a través
de su longitud. El análisis expone la propagación de ondas
de las variables voltaje y corriente, similar a las ondas
electromagnéticas, que son soluciones de las Ecuaciones de
Maxwell. Este tercer método se lo conoce como "Análisis de
Circuitos Distribuidos". Justamente este método de análisis será
el que se utilize para estudiar las propiedades eléctricas
de una Línea de Transmisión Balanceada constituida por dos
conductores uniformes paralelos.
Puesto que el Análisis de Circuitos Distribuidos
involucra a dos métodos distintos, es importante estudiar
independientemente los conceptos básicos de cada uno de
estos dos métodos, ya que éstos tienen definiciones y
-
4
criterios propios que se deben comprender adecuadamente.
1.1.1 PRINCIPIOS Y FUNDAMENTOS DE TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA
Los aspectos que se van a tratar en este punto
pretender servir de introducción a las Ecuaciones de Maxwell
y a algunas de sus aplicaciones. Su aplicación a las
Lineas de Transmisión no es, en modo alguno, rigurosa ni
completa, intentándose aquí establecer una primera relación
entre la teoría del campo electromagnético y la teoría de
circuitos, y además describir modos de transmisión distintos
del asociado a la línea de transmisión clásica.
Las cuatro variables que describen al campo
electromagnético son los siguientes:
E = intensidad de campo eléctrico
H = intensidad de campo magnético
D = inducción o desplazamiento eléctrico
B = inducción magnética
Sin embargo, como bastan dos campos para describir el
campo electromagnético, se desarrolla la teoría utilizando
únicamente los campos E y B.
-
Las principales unidades electromagnéticas y su
respectiva notación se presentan en el siguiente cuadro:
CANTIDAD
longitud
masa
tiempo
corriente eléctrica
fuerza
energía
potencia
frecuencia
longitud de onda
carga eléctrica
densidad de carga
densidad de corriente
potencial escalar
campo eléctrico
SÍMBOLO
1
m
t
I
F
U
W
f
AqfJV
E
UNIDAD
metro
kilogramo
segundo
ampere
newton
joule
watt
hertz
metros
coulomb
voltio
desplazamiento eléctrico D
resistencia
conductividad
capacidad
permitívidad
flujo magnético
inducción magnética
campo magnético
inductancia
permeabilidad
R
cr
C
€
$
B
H
L
M
ohmio
siemen/metro
faradio
weber
tesla
henrio
ABREVIACIÓN
m
kg
s
A
N
J
W
Hz
m
C
C/m3
A/m*
V
V/m
C/ma
Q
(l/Q)/m
F
F/m
Wb
T=Wb/ma
A/m
H
H/m
Se debe especificar también la notación y el valor de
algunas constantes fundamentales que se utilizarán en el
-
desarrollo del análisis matemático de las líneas de
transmisión. Entre ellas tenemos:
CANTIDAD
velocidad de la luz
en el vacio
permitividad del vacio
permeabilidad del vacío
SÍMBOLO
c
€o
0̂
VALOR
3xl08
8,8544xlO"12
1.2566X1Q-6
UNIDADES
m/s
CVNrn»
mkg/C*
Una clase importante de interacción entre las
partículas fundamentales que componen la materia es la
llamada interacción electromagnética,, la cual está
relacionada con una propiedad característica de cada
partícula que se denomina carga eléctrica. Para describir
la interacción electromagnética, se introduce la noción de
campo electromagnético, caracterizado por dos vectores, el
campo eléctrico E y la inducción magnética B , tales que la
fuerza que se ejerce sobre una carga eléctrica es:
Esta es la Ecuación de Fuerza de Lorentz. F es la fuerza que
ejerce el campo electromagnético sobre un punto material de
carga q y velocidad V. Los campos eléctrico E y magnético
B están a su vez determinados por las posiciones de las
cargas y por sus movimientos (o corrientes ) . La separación
del campo electromagnético en sus componentes eléctrica y
roagnét ica depende de 1 mov imiento re lat ivo de 1 obse rvador y
de las cargas que producen el campo. La teoría del campo
electromagnético está condensada en cuatro leyes . Se
-
denominan "Ecuaciones de Maxwell" porque fue Maxwell quien,
además de formular la cuarta ley, se dio cuenta que, junto
con la Ecuación de la Fuerza de Lorents, constituían la
estructura básica de la teoría de las interacciones
electromagnéticas. La carga eléctrica q y la corriente I
se denominan las fuentes del campo electromagnético ya que,
dados los valores de q y de I, las ecuaciones de Maxwell nos
permiten calcular el campo eléctrico E y la inducción
magnética B.
Las Ecuaciones de Maxwell las podemos presentar en
forma resumida a través del siguiente cuadro:
LEY FORMA
INTEGRAL
FORMA
DIFERENCIAL
1°. Ley de Gauss parael campo eléctrico
2P. Ley de Gauss parael campo magnético
3°. Ley de Faraday -Henry
4S Ley de Ampere -Maxwell
- O
dt
div E -
div B = O
rot E = - dadt
dtdS
dt
(1) Marcelo Alonso - Edward Finn
FÍSICA, VOLUMEN II: CAMPOS Y ONDAS
Pgs. 680 , 681 , 682
-
8
En el espacio libre o vacío, donde no hay ni cargas ni
corrientes, las ecuaciones de Maxwell son algo más simples,
siendo su forma diferencial:
1Q div ¥ = O
2Q div 'E - O
32 rot ~E - -d~B/dt
42 rot B = €Q p0 dE/dt
La síntesis de las interacciones electromagnéticas que
expresan las Ecuaciones de Maxwell es uno de los mayores
logros de la física y es lo que coloca estas interacciones
en una posición privilegiada. Son las mejor comprendidas
de todas las interacciones y las únicas que, hasta ahora, se
pueden expresar en una forma matemática cerrada. Esto es muy
importante, puesto que gran parte del desarrollo de nuestra
civilización ha sido posible gracias a la comprensión de las
interacciones electromagnéticas.
Se dice que los si temas de transmisión de ondas son
"guías de ondas", aunque usualmente se restringe este término
a los sistemas cilindricos huecos, rectangulares y
circulares de las Figuras 1.1.1 (a) y (b). Los sistemas
de guías de ondas de dos conductores ejemplificados por las
líneas de alambres paralelos y coaxiales de las Figuras
1.1.1 (c) y (d) se conocen comúnmente como "Líneas de
Transmisión"; sin embargo, en sentido estricto, también son
guías de ondas.
-
(a)
(c)
Figura 1.1.1
Guías de Onda y Líneas de Transmisión
Un análisis completo de las propiedades de transmisión
de cualquier sistema de guías de onda se puede hacer
empezando con las Ecuaciones de Maxwell e investigando una
solución sujeta a las condiciones de borde impuestas por las
características propias del sistema de guías de onda
analizado. Tal análisis revela los modos de transmisión en
la guía de onda, los cuales se pueden clasificar básicamente
en dos grupos: Modo Transversal Magnético y Modo Transversal
Eléctrico y que se los designa como "Modo TM" y "Modo TE"
respectivamente. En cualquier estructura de líneas de
transmisión hay un número infinito de estos modos cada uno
con sus propios patrones específicos de campos magnéticos y
eléctricos.
-
10
Cualquier modo, TM o TE, se puede propagar sobre una
línea de transmisión particular solamente a frecuencias por
encima de una de corte mínima (frecuencia de corte), la cual
se calcula separadamente para cada modo a partir de las
dimensiones de la línea de transmisión. Para guías de onda
huecas, la frecuencia más baja a la que se propaga la
energía en forma de ondas es función del tamaño de las guías
de ondas, pero para s istemas de transmis ion de dos
conductores como la línea coaxial, se ve que es posible la
propagación desde la frecuencia cero ( de ) mediante el
Modo Dominante Transversal Electromagnético designado como
"Modo TEM". Aunque el modo TEM es el más importante en
líneas de transmisión de dos conductores, los modos TM y TE
también pueden propagarse; sin embargo, estos últimos se
desvanecen por debajo de sus frecuencias de corte que para
líneas coaxiales ordinarias ocurren en las frecuencias
superiores y más allá de las microondas. Por tanto los
modos TM y TE en las líneas de dos conductores no tienen
aplicaciones útiles a la transmisión de señales o de
potencia, así que se omiten del estudio detallado.
El modo TEM difiere de los modos TM y TE en que los
campos magnético y eléctrico son transversales a la
dirección de propagación (longitud de los conductores) y no
hay otra frecuencia de corte diferente de cero.
Los patrones de campo magnético y eléctrico para el
modo TEM en un sistema de transmisión de dos conductores,
-
11de alambres paralelos o coaxiales, se muestran en la Figura
1.1.1 (e) y (f), respectivamente; y representan la única
distribución posible de los campos magnético y eléctrico que
pueden satisfacer las leyes básicas de electromagnetismo
para conductores de esta forma geométrica.
(e) (f)
campo Hcampo E
Figura 1.1.1
Patrón de Campo Electromagnético de un Sistemade Transmisión de dos Conductores
1.1.2 PRINCIPIOS Y FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE CIRCUITOS
ELÉCTRICOS
El análisis de elementos de circuitos concentrados
permitirá representar a una linea de transmisión en un
circuito cuadripolar constituido por elementos pasivos
-
12
(resistencias, bobinas y condensadores 5. El estudio y
comportamiento de este circuito equivalente se fundamenta en
las Leyes de Kirchhoff.
cute
1.2.1 POSTULADOS
El análisis de circuitos distribuidos de lineas de
transmisión uniformes se deriva aplicando las leyes básicas
del análisis de circuitos eléctricos a sistemas descritos
por los siguientes postulados:
El sistema o línea uniforme consiste de dos
conductores rectos y paralelos.
Las corrientes en los conductores de la línea fluyen
únicamente en la dirección de la longitud de la línea.
En la intersección de cualquier plano transversal con
los conductores de una línea de transmisión, las
corrientes instantáneas totales en los dos conductores
son iguales en magnitud, pero fluyen en direcciones
opuestas.
-
13
En la intersección de cualquier plano transversal con
los conductores de la línea hay un valor de diferencia
de potencial único entre los conductores, en cualquier
instante, que es igual a la integral de línea del
campo eléctrico a lo largo de todas las trayectorias
en el plano transversal, entre cualquier punto sobre
la periferia de uno de los conductores y cualquier
punto sobre la periferia del otro.
El comportamiento eléctrico de la línea se describe
completamente por cuatro coeficientes del circuito
eléctrico distribuido, cuyos valores por unidad de
longitud de la línea son constantes en cualquier parte
de ésta. Estos coeficientes del circuito eléctrico
son resistencias e inductancias uniformemente
distribuidas, como elementos del circuito, en serie
a lo largo de la línea, junto con capacitancias y
conductancias de escape uniformemente distribuidas,
como elementos de circuito, en paralelo a lo largo de
la línea.
(1) Robert Chipman
TEORÍA Y PROBLEMAS DE LINEAS DE TRANSMISIÓN
Pgs. 10 , 11 , 12
-
14
1.2.2 SÍMBOLOS DE LOS COEFICIENTES Y DE LAS VARIABLES DE
CIRCUITO DISTRIBUIDO
En base a los postulados enunciados anteriormente, el
circuito equivalente de una línea de transmisión de una
longitud eléctrica muy pequeña x̂/ /\1 se lo puede
representar a través del esquema que se señala en la FiguraA A A A
1.2.2.a, en la que R, L, G y C representan los parámetros
por unidad de longitud de una línea de transmisión
uniformemente distribuida .
AxR
AxG
AxL
J- AxC
Ax
Figura 1.2.2.a
Circuito equivalente de una porción infinitesimalde una línea de transmisión uniforme
En la práctica, esta aproximación se la consigue
haciendo que la longitud física de la línea sea mucho menor
que la longitud de onda, a la frecuencia de trabajo.
-
15/\» /S /S
R, L, G y C son los símbolos acerca de los cuales hay
uniformidad de notación sobre líneas de transmisión, y en
forma específica se los define así:
/sR es la resistencia total en serie de la línea de
transmisión por unidad de longitud, incluyendo ambos/\s de la línea. En unidades MKS, R viene
dada en ohmios/metro.A
L es la inductancia total en serie de la línea de
transmisión por unidad de longitud, incluyendo la
inductancia debida al flujo magnético interno y
externo a los conductores de la línea. En unidadess\, L viene dada en henrios/metro.
/*\ es la conductancia paralela de la línea de
transmisión por unidad de longitud. En unidades MKS,/**G viene dada en mhos/metro./sC es la capacidad en paralelo de la línea de
transmisión por unidad de longitud. En unidades MKS,AC viene dada en faradios/metro.
Es importante señalar que si el espacio entre los
conductores de una línea de transmisión está lleno con un
material que produce pérdidas magnéticas, es decir, que
convierte la energía del campo electromagnético en calor, en
una proporción equivalente al cuadrado del campo magnético,/N
estas pérdidas se representarán como una contribución de R/\n el circuito equivalente. Por otro lado, G es la
representación de las pérdidas que son proporcionales al
-
16
cuadrado del voltaje entre los conductores, o al cuadrado
del campo eléctrico. Además, debe observarse que losA A A /\ ímbolos R, L, G y C de la manera como se los define,
significan resistencia, inductancia, conductancia y
capacitancia por unidad de longitud de un circuito con
cuatro terminales o cuadripolar con una longitud diferente
de cero.
Las variables dependientes en el análisis de circuitos
distribuidos de líneas de transmisión son el voltaje y la
corriente. Estas variables son funciones del tiempo en
cualquier punto de la línea y funciones de su posición en la
línea en cualquier instante. Considerando que en una línea
de transmisión, sólo una de las tres dimensiones que definen
el espacio es comparable con la Longitud de Onda
(Referirse a la Figura 1.2.2.b, los valores instantáneos
de voltaje y de corriente son definidos de la siguiente
manera:
v(t,x) = voltaje instantáneo en un punto específico sobre
la línea de transmisión, es decir el voltaje o
diferencia de potencial en el tiempo t y
coordenada x
i(t,x) = corriente instantánea en un punto específico
sobre la línea de transmisión, es decir la
corriente en el tiempo t y coordenada x
-
17
Figura 1.2.2.b
En caso de que los valores de voltaje y corriente
sean expresados en forma fasorial, es decir por medio de
números complejos, dichos valores son definidos de la
siguiente manera:
V(x) = V = valor rms complejo de un voltaje o diferencia de
potencial de amplitud constante armónicamente
variable, en la coordenada x
I(x) - I = valor rms complejo de una corriente de amplitud
constante armónicamente variable, en la
coordenada x
-
18
. 3 Di:£te:ir«srac;:L.5iIL
-
19
longitud. De estos cuatro parámetros eléctricos, sonA A A
inevitables C y L; C porque los conductores de la lineaA
representan electrodos de un condensador y L debido a la
concatenación del flujo magnético. Los parámetros R y G
pueden ser minimisables al máximo, de tal forma de
considerarlos despreciables,
A A A S*
Los parámetros distribuidos R, L, G y C no son
funciones independientes de la frecuencia, ni tampoco
funciones simples de la misma, por lo que, al realiaar un
análisis matemático de la linea de transmisión se obtendrán
ecuaciones difíciles de resolver; sin embargo, se puede
A A Asolucionar o idealizar este problema, suponiendo a R, L, G
A
y C constantes con un valor dado para una frecuencia
específica.
1.3.1 ECUACIONES DIFERENCIALES EN UNA LINEA DE TRANSMISIÓN
EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
El circuito equivalente de una porción infinitesimal
de una linea de transmisión uniforme en el dominio del
tiempo, se encuentra representado en la Figura 1.3.1.
-
20
i(x.t)
v(x,t)
i(x.t)X
RAx
A:
LAx
i(x+Ax,t)
, t)
Figura 1.3.1
Circuito equivalente de una porción infinitesimal deuna línea de transmisión uniforme en
el dominio del tiempo
Se observa que el voltaje de salida de la sección
infinitesimal fc^x) difiere del voltaje de entrada debido
a la caída de voltaje en serie a través de la resistencia y
de la inductancia. Por otro lado, se observa también que la
corriente de salida difiere de la corriente de entrada
debido a las corrientes que fluyen a través de la
conductancia y capacitancia paralelas. Aplicando las Leyes
de Kirchhoff, y utilizando las cantidades instantáneas
definidas en el anterior esquema, las relaciones de voltaje
y corriente de esta sección infinitesimal de línea de
transmisión, pueden expresarse a través de las siguientes
ecuaciones:
-
21
v(x+Ax,t)-v(x,t) = Av(x,t) = -RAx i(x,t)-LAx difx.tl (1.1)dt
i(x+Ax,t)-i(x,t) = Ai(x,t) - -GAx v(x,t)-CAx dvfx.t) (1.2)dt
Dividiendo cada una de estas dos ecuaciones para x y
luego haciendo que Ax tienda a cero (considerando que la
eección Ax es infinitesimal), se obtienen las siguientes
ecuaciones diferenciales parciales:
dvfx.tl = -R i(x,t) - L difx.t) (1.3)dx dt
difx.t) = -G v(x,t) - C dvfx.t) (1.4)dx dt
Derivando la ecuación (1.3) respecto a "x" y la
ecuación (1.4) respecto a "t" ; y combinando estos
resultados se obtiene:
dzvfx.t) = LC d'vfx.tl + (RC+LG) dvfx.t) + RG v(x,t) (1.5)dx2 dt2 dt
De igual modo, derivando la ecuación (1.3) respecto a
"t" y la ecuación (1.4) respecto a "x" , y siguiendo un
procedimiento similar, se llega a obtener la siguiente
relación:
d'ifx ti = LC dai(x.t1 + (RC+LG) difx.tl + RG i(x,t) (1.6)dx¿ dtz dt
-
22
Las ecuaciones (1.5) y (1.6) constituyen dos
ecuaciones diferenciales de segundo orden del mismo tipo;
sin embargo, la solución de cada una de ellas es distinta,
puesto que las condiciones de borde para el voltaje y para
la corriente son diferentes. Matemáticamente resulta
complicado resolver estas dos ecuaciones, aun cuando se
cmsidere que R, L, G y C son parámetros constantes; a no
ter de que algunos de estos cuatro parámetros lo
consideremos despreciable. Así pues, en el caso de
considerar a una línea de transmisión como una línea ideal,
es decir sin pérdidas, se tendrá que los valores de R y G
son nulos y por lo tanto las ecuaciones (1.5) y (1.6) se
simplificarán, obteniéndose las siguientes ecuaciones:
dav(x.t) = LC dzvfx.t> (1.7)J-,2 A + '¿
d'ifx.t) = LC d2i(x.t^ (1.8)dxz dtz
1.3.2 ECUACIONES DIFERENCIALES EN UNA LINEA DE TRANSMISIÓN
PARA EL CASO SINUSOIDAL
Considerando variación sinusoidal en tiempo del tipo:
v(t) = V e W
i(t) = I e jwt
y definiendo la impedancia y admitancia distribuidas por las
siguientes relaciones matemáticas:
-
23
Z = R -t- jwL
Y = G + jwC
e introduciendo estas relaciones en las ecuaciones (1.5) y
(1.6) se obtiene:
d2 V(x) ejytt = Z Y V(x)dx2
d2 I(x) eW = Z Ydx2
Eliminando, por comodidad, la variación temporal
puesto que es la misma en ambos miembros, se tiene
finalmente:
d2V/dx2 = Z Y V (1-9)
d2I/dx2 = Z Y I (1.10)
Conjunto que se conoce con el nombre de ecuación de
ondas para una línea de transmisión.
Las ecuaciones (1.9) y (1.10) tienen una forma mucho
más elemental que las ecuaciones (1.5) y (1.6), y sus
soluciones en términos de V e I, como funciones fasorialee
de x, se pueden escribir directamente en expresiones
simples.
Considerando el caso de una línea ideal, es decir que
-
24
los valores de R y G son nulos, las ecuaciones (1.9) y
(1.10) se simplifican y se obtendrá:
d2V/dx2 ~ - w2 L C V (1.11)
d2I/dx2 ~ - w2 L C I (1,12)
1.3.3 SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA LINEA
DE TRANSMISIÓN
Las soluciones completas de las ecuaciones (1.9) y
(1.10) son:
V(x) = YJ e * + V2 e " x (1.13)
(1.14)
V(x) e I(x) son el fasor de voltaje y el fasor de
corriente respectivamente, en cualquier coordenada x sobre
la línea. Vj, V%> I j e 1% son también f asores y son el
conjunto de dos coeficientes arbitrarios que intervienen en
la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias de
segundo orden, que están relacionados entre si por las
ecuaciones:
2 Vi e ™ = 2 Vz/Y* Ii e
2 T7 ^~ *£IX — O \/*7 /V1 ^ «Y^ e - ~¿ VZ»/ i lg e
-
25
de donde se obtiene que:
Vj = VZ/Y' Ij (1.15)
V2 = -Vz/7 I2 (1.16)
Generalmente, dentro del estudio de ondas armónicas de
avances progresivos en Líneas de Transmisión, a los términos
VZY y YZ/Y se los suele remplazar por los símbolos o y Zo
respectivamente, que se los conoce como "Constante de
Propagación" e "Impedancia Caracte¿3 stica" , siendo evidente que
estos dos términos serán , en general, cantidades complejas.
La Constante de Propagación X determina la manera
como se propagan las ondas de voltaje y de corriente a lo
largo de la línea de transmisión. / constituye un valor
que depende de los parámteros propios de la línea y de la
frecuencia y por lo tanto no debería ser llamada Constante
sino Función de Propagación. Matemáticamente la Constante de
Propagación se define a través de la siguiente relación:
= V(R+JwL)(G+jwC)',
y per tratarse de una cantidad compleja puede ser expresada
también de la siguiente forma:
^ = a + JÍ3 ,
donde a es una cantidad positiva llamada "Constante de
Atenuación" y Í3 es la "Constante de Fase". La Constante de
Atenuación (a) básicamente indica la manera en que se
atenúan las ondas de voltaje y de corriente a medida que
-
26
avanzan a lo largo de la línea de transmisión; en la mayoria
de libros, a se denomina Constante de Atenuación de la
línea, pero como ésta varía con la frecuencia, la
implicación de la palabra Constante no es satisfactoria y
por lo tanto al valor de a se le llama Coeficiente de
Atenuación de la línea, a viene expresado en unidades de
Nrper por unidad de longitud, siendo el Néper, por
definición, una medida logarítmica de la razón de dos
magnitudes de voltaje ó de dos magnitudes de corriente
cuando se usa el logaritmo en base e. La Constante de Fase
(13) determina la variación de la fase de los fasores voltaje
y corriente a medida que estas ondas avanzan a lo largo de
la línea de transmisión. Al valor de 0 también se lo conoce
como Factor de Fase ó Coeficiente de Propagación de Fase de
la línea y se lo mide en unidades de radianes por unidad de
longitud.
La Impedancia Característica (Zo) de una Línea de
transmisión es una cantidad muy importante que gobierna
directamente las relaciones fasoriales entre voltajes y
corrientes armónicos en la línea. Matemáticamente la
Impedancia Característica se la define a través de la
siguiente relación:
Zo = \/Z/Y = 1/(R+jwL)/(G+jwC) ',
y por tratarse de una cantidad compleja puede ser expresada
también de la siguiente forma:
Zo = Ro + j Xo.
-
27
La Impedancia Característica (Zo) de una iínea de
transmisión constituye una cantidad muy importante que
gobierna directamente las relaciones fasoriales entre
voltajes y corrientes armónicos en la línea. Zo es sin
embargo un parámetro un poco intangible, ya que no existe
en la línea en un sentido simple y obvio. El valor Zo no
puede ser medido directamente con un puente de medida de
ímpedancias, haciendo una medida simple de impedancia, sobre
una longitud única y arbitraria de la línea. No obstante, Zo
se puede calcular a partir de los coeficientes de circuito
distribuido de la línea a cualquier frecuencia usando la
relación matemática citada anteriormente. Para ciertas
condiciones idealizadas se puede determinar directamente Zo
a partir de las dimensiones y del material de la línea,
usando fórmulas desarrolladas en base a un análisis
electromagnético de la línea, fórmulas que se utilizarán
posteriormente en otro capítulo. Es importante señalar
también que Zo es independiente de la longitud de la línea
y de la naturaleza de la carga de la línea de transmisión.
Incluyendo estas definiciones en las ecuaciones
(1.13), (1.14), (1.15) y (1^16), se llega a obtener las
siguientes relaciones :
V(x) = V{ e ^x + V2 e "̂ (1.17)
I(x) = Ij e yi + I2 e '** (1.18)
siendo : Vj = Zo I j y V2 = -Zo
-
28
La ecuación (1.18) puede ser expresada también de la
siguiente forma:
I(x) - l/Zo (Vj e*** - V2 e"'1) (1.19)
^ . «4 OncLsiei Visijesarsis y
Todas las distribuciones posibles de voltajes
armónicos de tiempo de frecuencia única, sobre una línea de
transmisión uniforme se escriben por medio de la ecuación:
V(x) = V{ e *** + V2 e '** (1.20)
donde Vj y V2 son fasores de voltaje arbitrarios que se deben
determinar por medio de condiciones de borde en los extremos
de la línea y Ü" = a + j£.
La variación armónica de tiempo del voltaje está
representada por un factor de multiplicación implícito e^ ,
donde w/27t es la frecuencia de la señal en Hertzios (Hs) .
Vp = w/|3 es la velocidad de fase de las ondas de voltaje,
271/0 es su longitud de onda, y a representa la atenuación de
ellas.
-
29
Se estableció también que, la ecuación correspondiente
para las distribuciones posibles de corrientes armónicas es:
I(x) = 1/Zo ( - V2 e '** ) (1.21)
donde Zo es la impedancia característica de la línea de
tvansmisión. Las ondas de corriente tienen la misma
irecuencia, velocidad de fase, longitud de onda y atenuación
que las ondas de voltaje.
Las ecuaciones (1.20) y (1.21) se refieren
específicamente al circuito de la línea de transmisión de la
Figura 1.4.
(•Seneradc
7.s¿iB
~~vv —Vg
Circuil
> j
:c
Ca
I f-ií)*• ! Í 7
fVoo : "t
t1
1
\ id-x) x
1
Figura 1 . 4
> básico de una Línea de Transm
rga
isión
-
30
La tensión y la corriente que existen en una línea de
transmisión, tal como las dan las ecuaciones (1.20) y
(1.21), pueden ser convenientemente expresadas como las
sumas de las tensiones y corrientes de dos ondas. Una de
esas ondas viene a ser una onda progresiva que viaja hacia
el extremo receptor, o de carga, de la línea, y es llamada
"C-nda Incidente" sobre la carga terminal, porque incide sobre
ella. De la segunda onda puede decirse que viaja desde la
carga hacia el extremo de la línea conectada al generador;
se la llama "Onda Reflejada", y genérase en la carga como
consecuencia de la reflexión de parte de la onda incidente.
Estas dos ondas reciben el nombre genérico de "Ondas Viajeras
de la Línea de Transmisión" y se caracterizan por ser dos ondas
idénticas en cuanto a su naturaleza, excepto por las
diferencias que derivan del hecho de propagarse en sentidos
opuestos.
1.4.1 INTERPRETACIÓN DE LAS ECUACIONES QUE DEFINEN A LAS
ONDAS VIAJERAS
Para poder interpretar y comprender más fácilmente el
significado de las ecuaciones que definen a las Ondas
Viajeras, se expresa a las ecuaciones (1.20) y (1.21) de la
siguiente forma:
-
31
V(x) = Vi e*x + V2 e''1 = V + V" (1.22)
I(x) = 1/Zo (Vl eíx + V2 e"*1) - I' + I" (1.23)
La Onda Incidente consiste en la componente de tensión
V de la ecuación (1.22) asociada con la componente de
corriente I ' de la ecuación ( 1 . 23) . En un lugar cualquiera
cíe la linea, se tiene para esta onda la siguiente relación:
Zo = V / I" (1.24)
La magnitud |V | de la onda incidente es mayor a
medida que la distancia x de la carga aumenta, de acuerdo
con la relación:
= \V\\ (1-25)
donde Vj es el valor vectorial de la tensión de la onda
incidente en el extremo receptor de la línea, y a es la
constante de atenuación . La cantidad ax , atenuación total
de la linea, recibe el nombre de atenuación de la linea.
La fase de la onda incidente avanza £ radianes por
unidad de distancia desde la carga; 3 es la constante de
fase. En consecuencia, la posición de fase de la onda
incidente a la distancia x de la carga está adelantada con
respecto a la posición de fase en la carga en Í3x radianes.
-
32
La onda incidente de la línea de transmisión queda por
lo tanto descrita como una tensión acompañada por una
corriente que está en fase y es proporcional a la tensión.
Dícese de la onda incidente que viaja hacia la carga
porque se hace más pequeña a medida que se acerca a la carga
y porque su fase a una distancia dada del generador
corresponde a la fase que existía en el generador en un
tiempo anterior, proporcional a la distancia. Estas son
propiedades de una onda que se aleja de su fuente.
La Onda Reflejada es idéntica a la incidente, excepto
por que viaja hacia el generador. La onda reflejada consiste
así en la componente de tensión V" de la ecuación (1.22)
asociada con una componente de corriente I" de la ecuación
(1.23) ,tal que en cualquier punto de la línea se cumpla la
siguiente relacion:
Zo = - ( V" / I" ) (1.26)
Esta ecuación difiere de la ecuación (1.24) sólo por
el fcigno negativo, el que es consecuencia del hecho de que
la corriente de la onda reflejada viaja hacia el generador,
mientras que la corriente de la onda incidente lo hace
hacia la carga.
La magnitud |V"| de la onda reflejada es más pequeña
a medida que la onda se aleja de la carga, es decir, a
-
33
medida que x aumenta, de acuerdo con la relación:
= |V2 e ' l = |V2 e - * ! = |V2| e'31 (1.27)
donde V2 es el valor vectorial de la tensión de la onda
reflejada en la carga. La ecuación (1.27) es similar a la
ecuación (1.25), excepto por el signo negativo en el
exponente; este signo indica que la magnitud decrece al
aumentar la distancia x a la carga.
La fase de la onda reflejada se retrasa el ángulo 3
por cada unidad de longitud que la onda recorre desde la
carga hacia el generador. Asi, la onda reflejada, a la
distancia x de la carga, está atrasada con respecto a la
posición de fase en la carga en el ángulo |3x radianes.
Como consecuencia de estas propiedades, la onda
reflejada de una linea de transmisión queda descrita como
una tensión acompañada de una corriente proporcional a la
tensión y que fluye en el sentido de alejarse de la carga.
El significado de las ecuaciones que definen a la onda
incidente y a la onda reflejada puede ser ilustrado a través
de la Figura 1.4.1 que se presenta a continuación:
-
34
GeneradorZg
T*3¿
T I f£/" fe £et
J 1 i
t£c
1
fet>1
f£
-
35
entonces se refleja parcial ó totalmente.
En el caso de la línea de transmisión, si un
interruptor se cierra en el tiempo t=0 para conectar la
fuente Vs al circuito de la Figura 1.4, ondas de voltaje y
corriente comenzarán a avanzar a lo largo de la línea en la
dirección de x. Si cuando alcanza el extremo de la línea,
la impedancia terminal de carga Zr conectada allí, requiere
diferentes relaciones de magnitud y fase entre el voltaje y
la corriente de las relaciones que existen para las ondas
que llegan, entonces se presentarán ondas de voltaje y
corrientes reflejadas en la terminación. Los valores
fasoriales de las ondas reflejadas serán tales que cuando
éstas se combinan con los valores fasorialee de las ondas de
llegada, las condiciones de borde en la terminación,
impuestas por la impedancia conectada Zr, serán satisfechas.
Las ondas reflejadas de voltaje y corriente regresarán a lo
largo de la línea de transmisión al punto generador, y en
general, serán reflejadas parcialmente allí, dependiendo de
las condiciones de borde establecidas por la impedancia de
la fuente Zg.
Si para las ecuaciones (1.20) y (1.21) se considera
que Vj = O , es decir que se tienen líneas de transmisión en
las cuales las ondas avanzan en una sola dirección (hacia la
carga) ; tendremos el caso de una "Línea de Transmisión Sin Ondas
Reflejadas". En este caso, se define a la línea de
transmisión como "Línea Infinita", ya que si una línea
-
36
hipotética fuera infinitamente larga, ninguna onda reflejada
retornarla en un tiempo finito después de conectar la fuente
de señal, o alternativamente, para un valor finito del
factor a la magnitud de las ondas de voltaje y corriente
reflejadas hacia atrás a lo largo de una longitud infinita
de la línea seria necesariamente igual a cero. Sin embargo,
e"1, concepto de una Linea Infinita, es un concepto ambiguo;
y por lo tanto se utiliza con mayor claridad el concepto de
una Línea Sin Ondas Reflejadas.
De experimentaciones realizadas en una línea de
transmisión se ha logrado deducir que el único valor de
impedancia que se puede conectar como carga terminal sobre
una línea de transmisión y que constituye una terminación no
reflexiva, es una impedancia igual a la impedancia
característica de la línea ( Zr = Zo).
1.4.2 RELACIÓN ENTRE LAS ONDAS INCIDENTE Y REFLEJADA
(COEFICIENTE DE REFLEXIÓN)
Las ondas reflejadas en una línea de transmisión se
presentan siempre y cuando la impedancia terminal de carga
no sea igual a la impedancia característica de la línea. La
razón fasorial de la onda de voltaje reflejada al valor
fasorial de la onda de voltaje incidente en los terminales
-
37
de la carga, se define como "Coeficiente de Reflexión" en la
carga y se lo simboliza como /r. Matemáticamente se tiene:
= V2V Vi e ¡rx !v v 1 e i x=o
/r = V2 / YÍ (1.28)
El coeficiente de reflexión J r tiene magnitud y
fase, de modo que es una cantidad vectorial. Para los casos
más generales de impedancia terminal de carga Zr , es decir
cortocircuito y circuito abierto, rr toma los siguientes
valores :
Cortocircuito
V2 = -Vi
/ce = V2/Vt = -Vl/Vl = -1 => | feo |=1 y Í£cs. = 180°
Circuito abierto
^ Vl
fea = V2/V{ = Vj/Vj = 1 => | fea|=1 y l^ca = 0
Para determinar el valor de r r en función de la
impedancia terminal de carga Zr y de la impedancia
característica de la línea de transmisión Zo, se efectúa el
siguiente análisis matemático:
-
38
Las ecuaciones (1.20) y (1.21) en la carga terminal, es
decir, cuando x=0, se traducen en las siguientes relaciones:
Vr = Vt + V2
Ir = 1/Zo ( Y! - V2)
Relacionando estas dos expresiones se tiene:
Zr = Vr / Ir = ( V j + V 2 ) / ( l / Z o ) ( V 1 - V2)
zr = zo (Y! + v2) / (Vj - v2)Zr (Y! - v2) = zo (Y! + v2)
YJ (Zr - Zo) = V2 (Zr + Zo)
V2/Vj = (Zr - Z o ) / ( Z r + Zo)
= (Zr /Zo - l ) / (Zr /Zo + 1)
Por lo tanto se obtiene que:
Pr = (Zr/Zo - l)/(Zr/Zo + 1) (1.29)
Si sustituimos en esta ecuación el valor de Zr por
Zo , se tendrá que f r será igual a cero , es decir que no
existirá reflexión, ratificando de esta forma el hecho de
que 3l único valor de impedancia que se puede conectar como
carga terminal en una linea de transmisión para que no
exista reflexión es una impedancia igual a la impedancia
característica Zo .
Aun cuando la ecuación (1.29) está expresada en
términos que se refieren a la situación en la carga, la
-
39
relación V"/V' de las tensiones de la onda reflejada y de la
onda incidente en un punto cualquiera de la linea, puede
considerarse como el coeficiente de reflexión en ese punto.
Por lo tanto , para cualquier punto x de la linea de
transmisión se tendrá que el Coeficiente de Reflexión en
dicho punto matemáticamente es igual a:
Px - V e'*1 / Y eíx = (7/V e'2'1
Px - Pr e'2** (1.30)
Analizando la ecuación ( 1 . 30) se puede ver que la
magnitud de x es menor que la magnitud de Pr y que / x
está retrazado en fase en relación a rr.
Considerando que Zr = Zo (Vl + V2)/(Vj - V2) y
que rr = ^i/^\ se puede llegar a e ablecer la siguiente
relación:
Zr = Zo (14- /r) / (1 - Pr) (1.31)
La ecuación (1.31) puede hacerse extensiva para
determinar la impedancia en cualquier punto de la linea,
teniéndose la siguiente relación matemática :
Zx = Zo (1-f Px) / (1 - Px) (1.32)
-
40
1.4.3 ONDAS ESTACIONARIAS EN LA LINEA DE TRANSMISIÓN
Cuando una onda radiada incide en un cambio abrupto
del medio, o en una superficie limite, parte de la onda es
reflejada, y toda ella es reflejada en caso de encontrar un
plano de perfecta conductividad. Se ha observado que en
algunos puntos de la trayectoria la onda reflejada tiende a
interferir destructivamente a la onda incidente, mientras
que en otros puntos tiende a interferir constructivamente.
El efecto neto es la creación aparente de una tercera onda,
llamada Onda Estacionaria, que permanece en posición fija
mientras las ondas incidente y reflejada se desplazan a lo
largo de la línea de transmisión. La conclusión de este
fenómeno es que se ha creado a lo largo de la trayectoria de
la línea de transmisión una característica de Interferencia.
Por lo tanto se deduce que siempre que dos ondas de
idénticas frecuencias avancen en direcciones opuestas en un
sistema de transmisión, se presenta el "Fenómeno de
Interferencia" o de "Ondas Estacionarias". La magnitud de cada
fascr de onda variable en lugar de disminuir en forma
continua exponencialmente desde la fuente a los terminales
de carga del sistema, como sucede cuando hay solamente una
onda presente, exhibe máximos y mínimos periódicos a lo
largo del sistema, a intervalos determinados por la longitud
de onda de las ondas individuales. El efecto se presenta, en
su forma más evidente, cuando las dos ondas que se dirigen
-
41
en direcciones opuestas tienen una amplitud igual y entonces
el sistema de transmisión tiene una atenuación de cero.
1.4.4 ANÁLISIS Y SIGNIFICADO DE LAS ONDAS ESTACIONARIAS
Las ecuaciones (1.20) y (1.21) se pueden escribir
de otra forma para incluir explícitamente el coeficiente de
reflexión. Para el caso de la expresión matemática que
define al Voltaje en la línea de transmisión se tiene:
V(x) =
V(x) =
Para el análisis de la onda estacionaria se considera
el caso de una línea de transmisión sin pérdidas (a=0) a
través de la cual viajan dos ondas de igual magnitud y en
direcciones opuestas, es decir con el coeficiente de
reflexión igual a la unidad. Entonces:
V(x) = Vt ( e* + e -j&x)
V(x) = 2 VI eos Í3x
La magmitud del voltaje como una función de la
posición a lo largo de la línea es: !V(x)| = A Icos 3xí
donde A es un factor de escala determinado por el circuito
-
42
total de la Figura 1.4 .
En la Figura 1.4.4 que se presenta a continuación se
observa una gráfica de la ecuación ¡V(x)j = A ¡COB 0x ¡
!V(x)¡
x
Figura 1.4.4
A esta gráfica generalmente se la conoce como "Patrón
de Onda Estacionaria" sobre una línea de transmisión. La
ordenada de la gráfica en cualquier posición x sobre la
línea es proporcional al voltaje que se mediría entre los
conductores de la línea, en esa sección transversal, por
medio de un voltímetro ac o de un instrumento indicador
similar. Según la gráfica y la ecuación se puede ver que
existe una secuencia de puntos o posiciones donde el voltaje
es cero todo el tiempo. La separación de un par consecutivo
de estos nodos es igual a TC , es decir igual a 1/2 de la
longitud de onda. Se observa también que existe entre los
-
43
puntos de voltaje cero unos puntos donde el fasor de la
magnitud del voltaje es máximo y es dos veces el valor para
cada una de las ondas individuales de avance. Se concluye
entonces que las dos ondas se combinan con interferencia
constructiva en los puntos de máximo voltaje y con
interferencia destructiva en los puntos de voltaje nulo. El
voltaje instantáneo en cualquier punto oscila armónicamente
con el tiempo a la frecuencia de la señal, pero la amplitud
de la oscilación tiene un rango desde cero en los nodos
consecutivos a un máximo en los puntos intermedios.
Es importante señalar que se puede efectuar un
análisis similar con respecto a la magnitud de la corriente
en función de la posición, en cuyo caso se obteniene un
patrón de onda estacionaria igual al de voltaje, pero
defasado rc/2.
Para este análisis se ha considerado el caso más
general y únicamente en lo referente al patrón de onda
estacionaria de voltaje; pero en la práctica existen líneas
de transmisión con pérdidas (líneas con valores de
atenuación significativos) y diversas impedancias de carga,
cada una de las cuales puede originar un patrón de onda
estacionaria particular tanto de voltaje como de corriente.
Es así como se han realisado estudios y análisis para
ciertos tipos de cargas muy comunes y referenciales, como
por ejemplo: cortocircuito, circuito abierto, impedancia de
carga acoplada a la línea de transmisión y otras,
-
44
considerando líneas con y sin pérdidas y de esta manera ha
sido posible obtener sus respectivos Patrones de Onda
Estacionaria de Voltaje y Corriente . Referirse a las
siguientes Figuras:
(&) CARGA EN CIRCUITO ABIERTO CARGA
•f -r-f' I ^j¿
(b) ¡MPÉOANCIADE CARGA « CARGA
(C) IMPEDANCIADi
CíT'JlMPEDANCIA DECARGA.Z^/JT CARGA
3X/4 X/2 X / 4 C A R Q ADE CARGA» O
(f) 1MPEDANCIA D€ CARGA INDUCTIVA PURA
CARGAí IMPCPANCIA OE CARÜA CAPACITIVA PURA
Figura 1.4.4 (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g)
Tipos de distribuciones de tensión y de corrientesproducidos en una linea de transmisión sin pérdidas
por diferentes impedancias de carga
-
45
Figura 1.4.4 (h)
Diatribución de tensión y de corriente en una líneade transmisión con pérdidas producida por una
impedancia de carga Zr diferente de Zo
Figura 1.4.4 (i)
Patrón de Onda Eatacionaria de Voltaje sobre unauna línea de transmisión con una atenuación
conaiderable por longitud de onda
-
46
Respecto a las Figuras 1.4.4 (h) y 1.4.4 (i) , en
las cuales se muestra la Configuración de Onda Estacionaria
de Voltaje y Corriente para una línea de transmisión con
pérdidas, es importante señalar que si el valor de
atenuación es significativo, tal que "al » 1", el patrón
de onda estacionaria tiende a desaparecer, en cuyo caso se
tiene la denominada Línea Infinita.
1.4.5 IMPORTANCIA PRACTICA DE LAS OBSERVACIONES DE LAS
ONDAS ESTACIONARIAS
En los sistemas de transmisión de alta frecuencia la
observación y medición de patronee de onda estacionaria de
voltaje o corriente, constituye una técnica experimental de
gran importancia por las siguientes rasones:
Cuando la función a que se destina el circuito de
línea de transmisión de la Figura 1.4, es la de llevar
potencia o señales de una fuente a una carga en forma
eficiente, la existencia de ondas estacionarias de voltaje
y corriente sobre la línea, puede afectar el trabajo
ejecutado por el circuito de diferentes maneras. Las
observaciones de la onda estacionaria suministran datos
-
47
convenientes y directos a partir de los cuales se puede
calcular o estimar la magnitud de estos diferentes efectos
negativos. Las medidas de onda estacionaria son rápidas y
se pueden llevar a cabo con facilidad, de tal manera, que
éstas también se pueda usar para supervisar el trabajo
ejecutado por un circuito mientras que se hacen ajustes para
^ograr las condiciones óptimas de transmisión.
Se puede derivar una expresión analítica que relacione
los aspectos cuantitativos de un patrón de onda estacionaria
sobre una línea de transmisión uniforme al valor normalizado
de la impedancia terminal de carga Zr/Zo, conectada a la
línea y el factor de propagación o~ a+j0 de la línea.
Conectando valores conocidos de Zr/Zo (circuito abierto,
cortocircuito, etc.), a la línea, el factor de atenuación a
y la velocidad de fase v_=w/3 se pueden encontrar a partir
de medidas sobre el patrón de onda estacionaria. Cuando a y
3 se conocen, el valor normalizado de cualquier impedancia
terminal de carga conocida Zr/Zo, conectada a la línea, se
puede calcular a partir de detalles sobre el patrón de onda
estacionaria que produce. "Las observaciones sobre la onda
estacionaria entonces, dan un procedimiento de medida de
impedancia simple y preciso en un rango de altas frecuencias
donde los puentes de impedancia y otras técnicas fallan en
cuanto a simplicidad y precisión".
-
48
1.4-6 EFECTOS ADVERSOS DE LAS ONDAS ESTACIONARIAS
La formación de ondas estacionaria en un circuito de
línea de transmisión de la forma mostrada en la Figura 1.4,
es sinónimo de la presencia de ondas reflejadas sobre la
]inea, donde las ondas reflejadas son causadas por la
impedancia de carga terminal cuando ésta no es igual a la
impedancia característica de la línea. En líneas de
transmisión prácticas de alta frecuencia para las cuales la
atenuación por longitud de onda es baja y el ángulo de fase
de la impedancia característica es pequeño, las ondas
estacionarias pueden ser las responsables de cualquiera de
los siguientes efectos adversos:
En los puntos máximos del patrón de onda estacionaria
de voltaje,localizados periódicamente cada media longitud de
onda el voltaje entre los conductores de la línea sobrepasa
el valor requerido para suministrar la misma cantidad de
potencia a una impedancia de carga no reflexiva Zr=Zo. La
ruptura causada por voltaje o por un calentamiento local del
dieléctrico en el espacio interconductor reduce la capacidad
de potencia de la línea.
En los máximos del patrón de onda estacionaria de la
corriente localizados entre los máximos de voltaje, la
corriente en los conductores de la línea sobrepasa el valor
requerido para suministrar la misma cantidad de potencia a
-
49
una carga de impedancia no reflexiva. La capacidad de
potencia de la linea está limitada por un calentamiento
local de los conductores de la línea y se reduce por tanto.
En la presencia de ondas estacionarias las pérdidas
por longitud de onda, tanto en la resistencia distribuida R
como en la conductancia distribuida G de la línea, son más
grandes de lo que serían si la misma cantidad de potencia
fuera entregada a una carga no reflexiva.
La presencia de ondas estacionarias en una línea de
transmisión significa que Zr no es igual a Zo. De acuerdo
a la siguiente ecuación:
Zin/Zo = ((Zr/Zo) + tanh(a+j3)l) / (1 + (Zr/Zo) tanh(a+j0)l)
se concluye que la impedancia de entrada de una línea de
transmisión variará con la longitud física de la línea
(expresada en longitudes de onda). La eficiencia en la
transferencia de potencia desde la fuente hasta los
terminales de entrada en la línea, variará por lo tanto a lo
largo del ancho de banda de operación del sistema. El efecto
se puede incrementar si la impedancia de carga terminal Zr,
tiene una componente reactiva la cual es en si misma una
función de frecuencia.
Si la impedancia de la fuente Zg es igual a Zo en el
circuito de la Figura 1.4, entonces se entregará máxima
-
50
potencia a la impedancia terminal de carga Zr=2o y la
presencia de ondas estacionarias en la línea es una
evidencia positiva de que el rendimiento de transmisión no
es óptimo. Sin embargo, cuando la impedancia de la fuente no
es igual a la impedancia caracateristica de la línea, esta
conclusión no se aplica.
-
CAPITULO
2. LINEA BALANCEADA O DE CONDUCTORES
PARALELOS
2 .1 Int roducción.
2.2 Características de Líneas de Transmisión
Balanceadas.
2.3 Dispositivos de Adaptación de Sistemas
Balanceados a Desbalanceados.2.4 Balun de Banda Ancha.
-
CAJPITUI.O XI
2. LINEA BALANCEADA O DE
CONDUCTORES PARALELOS
Existen diferentes tipos de línea de transmisión. Cada
uno tiene ventajas y desventajas, y la selección de un tipo
específico depende principalmente de los requisitos
establecidos en cada caso.
Las líneas de transmisión más usadas comunmente en la
industria y en el hogar son el "Cable Coaxial" y el "Cable
Bifilar", El Cable Coaxial está constituido esencialmente
por un conductor exterior, en forma de tubo metálico y uno
interior, aislado y centrado con gran precisión dentro del
primero. El aislamiento entre los conductores exterior e
interior se logra por medio de espaciadores dieléctricos o
bien por medio de un dieléctrico sólido y continuo. La
ventaja principal que tienen los cables coaxiales es su
capacidad para eliminar las pérdidas por radiación. Ninguna
radiación, puede propagarse más allá del conductor exterior,
por lo que este cable coaxial constituye una línea
perfectamente blindada. Se utiliza para conectar antenas
exteriores de transmisores y receptores y como alambre
-
52
aislado de conexión de entrada para osciloscopios de alta
frecuencia y generadores de señal. Por el contrario, el
Cable Bifilar que constituye una línea de transmisión
balanceada y está compuesta por dos conductores idénticos
paralelos separados y rodeados por material dieléctrico.
Las líneas de transmisión de alambres paralelos, medidas por
el número de kilómetros en operación práctica, constituyen
la gran mayoría de las instalaciones de líneas de
transmisión. Las líneas telefónicas sobre postes y los
conductores de alimentación de la antena de un televisor son
los ejemplos más comunes. En la práctica, la línea paralela
Twinex está disponible con impedancias características
seleccionables desde 75 a 600 ohmios.
De entre estos dos tipos de líneas de transmisión,
interesa estudiar con mayor detalle y profundidad la
estructura física y las principales características
eléctricas del Cable Bifilar Balanceado.
Uno de los tipos más comunes de línea de transmisión
balanceada es la "Línea de ÓOB conductores paralelos con
dieléctrico aire", que se caracteriza por cuanto sus
conductores se mantienen fijos a determinada distancia por
-
53
medio de espaciadores aislantes. Este tipo de linea es
relativamente barata y eficiente, pero no evita las pérdidas
que causa la radiación y no se puede usar cerca de objetos
metálicos.
Al mismo tipo pertenece la linea de doble conductor,
r:e hilos revestidos de una delgada cinta de po lie ti leño,
para mantener igual la separación de los hilos conductores;
asi es la conocida "Línea Bifilar" utilizada entre la antena
receptora de televisión y el propio receptor; su impedancia
característica está determinada por el diámetro y el
espaciamiento de los conductores. Las líneas que se fabrican
para las antenas receptoras de televisión generalmente son
de 75 y de 300 ohmios.
Otro tipo común de línea de transmisión es la de "Par
Protegido" que consiste de dos conductores debidamente
aislados y retorcidos. El torcido mantiene los conductores
a una distancia relativamente constante y, al mismo tiempo,
los protege contra los efectos que pudieran tener los campos
cercanos magnéticos y eléctricos, ya que la disposición de
los conductores tiende a anular cualquier corriente o
voltaje inducidos. La impedancia característica de los
pares trenzados varía entre 70 y 100 ohmios.
A otro tipo de línea se les llama de "Par Blindado o
Línea Tnin Axial". Tiene dos conductores paralelos separados
entre sí y rodeados de dieléctrico sólido. Los conductores
-
54
están blindados eléctricamente por medio de un trenzado de
cobre que rodea al dieléctrico. La ventaja principal del par
blindado es que ambos conductores están perfectamente
equilibrados a tierra por medio del trenzado y están
protegidos contra señales parásitas.
En general, la geometría básica de un Cable Bifilar
Balanceado se muestra en la Figura 2.2,
L=2a
B---t
Figura 2.2
Cable Bifilar Balanceado
La impedancia característica "Zo" de una línea de
transmisión de conductores par los está determinada,
conforme lo señalado anteriormente, por los coeficientes de
circuito distribuido de la línea y la frecuencia de la
señal. Sin embargo, para líneas de transmisión con alambres
paralelos y con conductores circulares sólidos idénticos, se
debe considerar que la falta de simetría cilindrica
(existente en los cables coaxiales) añade una complicación
al sistema de transmisión. Los efectos de esta distorsión de
simetría se conocen como "Efecto de Proximidad".
-
55
Matemáticamente se define como "Proximidad" de los
conductores a la razón de la separación de sus centros, al
diámetro de cada uno de ellos, es decir: Proximidad - s/2a.
La cantidad por la cual el efecto de proximidad aumenta la
resistencia distribuida, depende del material, del radio de
los conductores y de la frecuencia, y, obviamente de la
vroxiraidad. En circuitos DC no hay efecto de proximidad
aunque los conductores estén virtualmente en contacto en sus
superficies adyascentes. En circuitos AC y especialmente a
frecuencias altas, el efecto de proximidad debe ser
considerado ya que aumenta notablemente el valor de la
resistencia distribuida de la línea de transmisión. No
obstante, para separaciones axiales mayores de 10 ó 12
diámetros de conductor, el efecto de proximidad se puede
despreciar a todas las frecuencias. '1
Si en una línea de transmisión bifilar de conductores
paralelos sólidos se cumple que s » 2a, es decir s/2a > 1,
con lo cual se minimiza el efecto de proximidad , se tiene
que el valor de su impedancia característica viene dado por
(1) Robert Chipman
TEORÍA Y PROBLEMAS DE LINEAS DE TRANSMISIÓN
Pag. 106
-
una de las dos siguientes ecuaciones:
Zo = 120 log (s/a) ohmios
Zo - 276 log (s/a) ohmios
Analizando estas expresiones se puede ver que la
impedancia característica (Zo) de la línea de transmisión de
conductores paralelos se define por su geometría y el
material dieléctrico que rodea a los conductores, donde "s"
y "a" están definidas en la Figura 2.2 y deben estar en las
mismas unidades . ' 1 . Como el diléctrico normalmente es
aire para líneas de conductores paralelos , los efectos del
dieléctrico aire ya están incluidos en el coeficiente
constante 276.
La Zo de la línea de conductores paralelos también
está influenciada por variables adicionales, tales como:
proximidad de tierra o plano metálico , blindaje metálico
rodeando al alambre y ya sea que la línea esté en el plano
horizontal o vertical con respecto a tierra. Así pues, en la
práctica existen una variedad de líneas de transmisión
balanceadas, cada una de las cuales presenta un valor
(1) Howard W. Sams & Co.
REFERENCE DATA FOR ENGINEERS : RADIO , ELECTRONICS ,
COMPUTER ÁN COMMUNICATIONS
Pag. 29-21
-
57
determinado de su impedancia caracteristica, valor que ha
sido deducido a partir de la consideración de una linea
básica de dos conductores paralelos con dieléctrico aire,
tal cual podemos observar en el APÉNDICE A.
2 . 3 D±.̂ :E>Of3á--fc:L-vô cite AxfLsi;E>"t"0.c2 iLcSn do
2.3.1 INTRODUCCIÓN
De manera p neral, se puede afirmar que la carga
práctica más importante para una linea de transmisión en
alta frecuencia es la antena, que en la mayoría de los casos
será del tipo balanceado, es decir de construcción simétrica
con respecto al punto de alimentación. Por otro lado,
normalmente las señales captadas por la antena son muy
débiles, de modo que es importante transferirlas de la
antena al receptor, con la mínima pérdida de energía; ésto
significa que la adaptación de impedancia entre la antena y
la línea de transmisión debe ser óptima.
Aparte de las consideraciones de adaptación de la
impedancia verdadera de la antena en el punto de
-
alimentación con la impedancia característica de la línea
(si tal adpatación es necesaria), toda antena balanceada
debe ser alimentada por medio de una línea de transmisión
también balanceada, para preservar la simetría con respecto
a masa y evitar dificulatades que nacen de la presencia de
corrientes no balanceadas en la línea, y la consiguiente
radiación indeseada de la misma línea de transmisión.
Si, como sucede frecuentemente, la antena debe alimentarse
mediante línea coaxial, la que es inherentemente
desbalanceada, es necesario recurrir a algún método adecuado
para conectar la línea a la antena sin alterar la simetría
de esta última. Esto exige un circuito capaz de separar
la carga balanceada de la línea no balanceada y de permitir,
al mismo tiempo, la transferencia eficaz de la potencia.
Los dispositivos que cumplen esta finalidad se conocen
como "Transformadores o Adaptadores de Impedancia Simétricos-
Asimétricos" ó más comunmente llamados "BALUHES".
La palabra "BALUN" proviene de una contracción de los
términos ingleses BALanced to UNbalanced.
Hay muchas maneras de lograr el balanceo requerido de
impedancias, por lo tanto el método que se escoja en cada
caso dependerá de factores tales como la frecuencia de
operación, el grado de desequilibrio de impedancias y la
intensidad de la señal.
-
2.3.2 CLASIFICACIÓN
Los Balunes se pueden clasificar de acuerdo a varios
factores, como por ejemplo su construcción y su aplicación,
pero principalmente se los clasifica de acuerdo a su
respuesta de frecuencia. Así pues, se dividen básicamente
en dos tipos generales de balunes:
Balunes Lineales o de Banda Estrecha
Balunes de Banda Ancha
Los "Balunes Lineales o de Banda Estrecha" por lo general
están formados de secciones de líneas de transmisión de una
longitud de onda determinada, y, por lo tanto trabajan y
responden únicamente a una frecuencia predeterminada o en
las cercanías próximas. Referirse a la Figura 2.3.2,
nP£ I ÍU2OOKA
itlNBALANCETD UNE
BALANCE3 LINE
TYPtl 2 COLINEAH BALUN
-J
Figura 2.3.2
Tipos de Balun de Banda Estrecha
-
60
Los "Balunes de Banda Ancha", como su nombre lo indica,
trabajan y responden dentro de un rango de frecuencia
bastante amplio. Generalmente los balunes de banda ancha
pueden estar construidos con una sección de linea de
transmisión arrollada en forma de bobina, ya sea con núcleo
de aire o núcleo de ferrita. Con un diseño correcto se
consigue una separación de frecuencia de 10 ó 20 a
1 y el dispositivo puede ser de varias relaciones de
transformación. El ancho de banda de este tipo de balun
está determinado en el extremo de baja frecuencia del margen
de funcionamiento por la inductancia de los arrollamientos
y en el extremo de alta frecuencia por la capacidad
distribuida del diseño. Si se utiliza un núcleo de ferrita
en el dispositivo, hay que tener cuidado para limitar el
nivel de la señal a fin de que no se produzca saturación.
De estos 2 tipos de balunes, interesa estudiar y
analizar con mayor profundidad los Balunes de Banda Ancha.
. 4 Beilum cl
-
- te/2-* e ~ * i . O . U J . O 1
ENTRADA _—.•";:" ~ SALIDA ENTRADA ' . ~ SALIDApnmnri t
-e/3
SALIDA
ENTRADA
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* e.? -»
ENTRADA
-e.?-»
SALIDA
Figura 2.4
Específicamente se tiene:
A Inversión de Fase. Relación de Transformación 1 a 1
B Equilibrio a Desequilibrio. Relación de Transformación 1 a 1
C Equilibrio a Equilibrio. Relación de Transformación 1 a 4
D Desequilibrio a Desequilibrio. Relación de transformación 1 a 4
D Equilibrio a Equilibrio. Relación de Transformación 1 a 9E Desequilibrio a Desequilibrio. Relación de Transformación 1 a 9
Generalmente se puede emplear un balun de dos
arrollamientos para inversión de fase, o para el paso de
equilibrio a desequilibrio. Un balun con una relación de
-
62
transformación de 1 a 4 requiere 3 o 4 arrollamientos
conectados en paralelo como se indica en la Figura anterior.
Con el mismo diseño básico y arrollamientos conectados en
serie en lugar de paralelo, se puede conseguir una
transformación de impedancias de 1 a 9 .
Se observa entonces que, el balun de banda ancha
fundamenta su diseño y construcción en lineas de transmisión
arrolladas a manera de bobinas; y, dependiendo del rango de
frecuencias en que van a trabajar, este arrollamineto de la
línea de transmisión se lo realisa sobre núcleos de aire ó
sobre núcleos de f err ita. Por otro lado, es importante
indicar que de acuerdo a las diversas aplicaciones que se
presentan en el campo de ingeniería y principalmente en el
campo de radioaficionados, se necesitarán adaptadores
reductores de impedancias y adaptadores subidores ó
multiplicadores de impedancia.
2.4.1 ANÁLISIS DEL BALUN DE BANDA ANCHA
De lo anteriormente expuesto, se observa que la
relación de transformación de este tipo de balunes
normalmente es de 1 a 1, de 1 a 4 ó de 1 a 9; es decir de
" 1 a na " , donde n es un número entero y representa el
número de líneas de transmisión arrolladas a manera de
bobinas en núcleos de aire o de f err ita. De los estudios
sobre Balunes de Banda Ancha que realizó "G. GuanaLla" y que
-
63
más tarde publicó ("Novel Matching Systems for High
Frequencies" , Brown-Boveri Review), se conoce que éstos
fueron enfocados directamente hacia el desarrollo de
Adaptadores y Transformadores de Impedancia de Banda Ancha.
Inicialmente su objetivo fue el de obtener acoplamiento
entre una impedancia balanceada de 960 ohmios y una
j.npedancia desbalanceada de 60 ohmios en el rango de 100 MHz
a 200 MHz. Guanella incorporó 4 lineas de transmisión de
240 ohmios en un arreglo serie-paralelo, obteniendo un Balun
de relación 16:1. Su técnica se basa esencialmente en la
suma de voltajes en fase en el lado de alta impedancia del
transformador. Posteriormente, y a raíz de este primer
diseño, Guanella presenta el resultado de nuevas
investigaciones que realizó alrededor de este tema.
La Figura 2.4.la muestra el esquema de un
transformador Guanella 1:4.
Figura 2.4.1 a
Transformador de Impedancias tipo GuanellaRelación de Transformación = 1:4
-
64
Las 2 líneas de transmisión están en paralelo en el
lado de baja impedancia y en serie en el lado de alta
iropedancia. Con una simple conexión a tierra, como la
mostrada en la Figura, el transformador actúa como un balun
de subida con una carga flotante. Con la tierra conectada al
terminal 2 en vez de a los terminales 1 o 5, éste actúa como
r.n balun de bajada con una carga flotante. El trabajo en
alta frecuencia es determinado por la optimización de las
características de impedancia de la línea de transmisión.
Por la simetría del esquema, ésto es evidente para cada
línea de transmisión vistas en una mitad de la carga. Por
eso, para lineas acopladas, y desde la máxima respuesta de
frecuencia, el valor óptimo de la impedancia característica
es Zo = RL/2. Sin algunos otros efectos parásitos, los
cuales no son absorvidos dentro de la impedancia
característica, este transformador, como indicó Guanella en
su articulo, permitió una transformación independiente de la
frecuencia. Líneas que tienen una suficiente separación
entre sus devanados bifllares en el núcleo, actúan como un
transformador ideal cercano.
Para una línea de transmisión sin pérdidas se tiene
que :
Zin = Zo Zr + .i Zo tg Bl
Zo + j Zr tg 01
donde:
-
65
Zo = impedancia característica de la linea de transmisión
Zr = impedancia de carga
1 = longitud de la línea de transmisión
13 = 2 ir /^
Al observar la Figura 2.4.1.a ,para cada una de las 2
líneas de transmisión, se tiene que:
Zin = Zo fRL/2) + i Zo tg BlZo + j (RL/2) tg 31
Como las dos líneas de transmisión en el lado de baja
están en paralelo y como son iguales, se tiene que:
Zin paralelo = Zin / 2
Entonces: Zin paralelo = (Zo/2) (RL/2^ + .1 Zo tg BlZo + j (RL/2) tg Bl
Con un valor óptimo de Zo - RL/2 para una carga
resistiva, la ecuación anterior se reduce a:
Zin paralelo = RL /4
Así pues, para más de dos líneas de transmisión se
tendrá:
Zin - RL / n*
donde n = número de líneas de transmisión
-
66
Con tres líneas de transmisión se obtiene un
transformador de relación 1:9.
Recíprocamente, puede ser visto por inspección que,
cuando miramos desde el lado de alta impadancia, se tiene
que:
Zin = na . RL
donde RL sería la impedancia baja en el lado izquierdo del
circuito. * 1
Sin embargo, para ciertas aplicaciones es necesario
conseguir una relación de tranformación diferente a "1:na".
En estos casos, que son menos comunes, se pueden
interconectar dos o más balunes en arreglos especiales para
proveer relaciones de transformación diferentes a las
usuales.
Basado en el Análisis de Guanella, "O.L. Euthroff" da
a conocer otra técnica para obtener Transformadores de
Impedancia de Banda Ancha ("Some Broad-Band Transformers",
Proc IRÉ ) . En resumen, su diseño considera el voltaje
directo y el voltaje transversal retrazado en una simple
línea de transmisión. Sus investigaciones implicaron
(1) Jerry Sevick - The American Radio Relay League
TRANSMISSION LINE TRANSFORMERS
Pgs. 1-5 , 1-6 , 1-7
-
67
aplicaciones de pequeña señal, utilizando líneas de finos
alambres arrollados en núcleos muy pequeños de alta
permeabilidad. Dado que las líneas de transmisión eran muy
cortas bajo estas condiciones, Ruthroff fue capaz de
demostrar que estos transformadores tenían un rango de
frecuencia esencialmente plano desde 500 KHz a 100 MHz.
La Figura 2.4.1.b muestra el esquema de alta
frecuencia de un Transformador de Impedancia Ruthroff 1:4,
(A) ünun y (B) balun.
t.+ U t.
CVJi , T- v^2« *
(A)
Figura 2.4.l.b
Transformador de impedancia tipo RuthroffRelación de Transformación = 1:4(A) desbalanceado-desbalanceado(B) balanceado-desbalanceado