Procesamiento Digital de Seales

Tarea 03 - Sistemas Discretos, Transformada Z y

Aplicaciones en Sistemas LTI

Nicolas Vicencio M., Pablo Araneda C., Javier Silva G.

nvicencio12@alumnos.utalca.cl, paraneda@alumnos.utalca.cl, jsilva12@alumnos.utalca.cl

Resumen

Hoy en da y en la naturaleza la mayora de los sistemas y fenmenos que se pueden encontrar son del tipo discreto,

resulta muy difcil encontrar algn sistema de tipo continuo, por lo que se hace necesario conocer como funcionan los

sistemas discretos y las seales de prueba que existen para aplicar a dichos sistemas, es por esto que se dan a conocer

en el presente documento.

1. INTRODUCCIN

La siguiente tarea del mdulo consiste principalmente en estudiar de forma conceptual los sistemas en tiempo

discreto, para poder llevar a cabo esto se investigara de acuerdo a lo que es la naturaleza del sistema, tipos de seales

discretas, clasificaciones, entre otros, adems del anlisis de sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI), divisin

en sistemas FIR e IIR, la transformada Z y sus aplicaciones para los sistemas LTI.

Para poder llevar a cabo este informe se respondern algunas preguntas conceptuales de los temas ya mencionados

con el fin de que a futuro se puedan aplicar los distintos conceptos de forma experimental en la prxima sesin de

laboratorio.

Para poder realizar lo antes mencionado es necesario llevar a cabo una pequea investigacin, tomando como base de

estudio el texto gua presentado en la clase, el cual ser descrito en la bibliografa, adems de distintos documentos

que se pueden encontrar en la web.

2. SEALES Y SISTEMAS DISCRETOS EN EL TIEMPO

2-A. Describa en detalle qu son las seales discretas en el tiempo y cmo se clasifican.

Una seal discreta en el tiempo x(n) es una funcin de una variable independiente (n) entera, en donde la seal no

est definida para los instantes que se encuentran entre dos muestras sucesivas. La seal discreta en el tiempo est

definida para < n

Figura 1. Representacin grfica de seal discreta en el tiempo.

Adems de la representacin grfica, tambin existen otras alternativas para representar una seal de tiempo discreto.

Representacin funcional:

Representacin tabular:

Representacin como secuencia: n = 0 se representa con el smbolo

A continuacin se presentan una serie de seales discretas en el tiempo, cuyo uso es muy frecuente en los sistemas.

1) Seal unitaria o impulso (n):

Figura 2. Representacin grfica seal unitaria discreta.

2) Seal escaln unidad u(n):

Figura 3. Representacin grfica seal escaln discreto.

3) Seal rampa unidad ur(n):

Figura 4. Representacin grfica seal rampa discreto.

2-A.1 Clasificacin de seales discretas

Segn la naturaleza de las seales discretas, estas se pueden clasificar de la siguiente manera

a) Seales de energa y seales de potencia

Para entender este concepto es necesario saber cmo se calcula la energa E y la potencia media P de una seal.

E =

n=

|x(n)|2

P = lmN

1

2N + 1

Nn=N

|x(n)|2

Si se define la energa ahora en un intervalo finito N

b) Seales peridicas y aperidicas

Una seal x(n) es peridica solo si se cumple que:

x(n+N) = x(n), para todo n

Si no existe ningn valor de N que satisfaga la ecuacin, se dice que la seal no es peridica o es aperidica. Para el

caso en concreto de una seal sinusoidal de la forma x(n) = Asen(2pif0n), esta es peridica solo si f0 es un numero

racional. A su vez la potencia media de la seal corresponde a la potencia media calculada en un solo periodo y su

expresin viene dada por:

P =1

N

N1n=0

|x(n)|2

En consecuencia las seales peridicas son seales de potencia.

c) Seales simtricas (pares) y seales asimtricas (impares)

Una seal simtrica (par) debe cumplir con la siguiente condicin: x(-n) = x(n), por el contrario una seal asimtrica

(impar) cumple la siguiente condicin: x(-n) = -x(n). Seales pares e impares respectivamente se pueden apreciar en

las siguientes figuras.

Figura 5. Ejemplo de seal simtrica (par).

Figura 6. Ejemplo de seal Asimtrica (impar).

2-B. Describa en detalle qu es un sistema discreto, especificando el diagrama de bloques de los sistemas discretos

en el tiempo, su clasificacin y cmo se interconectan.

Un sistema discreto en el tiempo es un conjunto de operaciones que se aplican sobre una seal discreta de entrada

x(n) con el fin de generar una seal discreta de salida y(n). El sistema se encarga de transformar la entrada en una

salida, mediante la siguiente relacin:

y(n) = T [x(n)]

Donde T representa el tipo de transformacin.

La estructura interna del sistema puede desconocerse, lo que comnmente se llama una caja negra, de tal manera

que la nica manera de interactuar con el sistema sea mediante la entrada y la salida, reconociendo que estos dos se

relacionan entre si mediante una transformacin T. Una manera bastante sencilla de relacionar la entrada y la salida

en un sistema es mediante los diagramas de bloques. A continuacin se definirn algunos de los bloques mas bsicos

utilizados.

2-B1. Sumador: El sumador realiza secuencias de sumas de seales para dar obtener como resultado una seal de

salida y(n).

Figura 7. Representacin grfica de un sumador.

2-B2. Multiplicador por una constante: Se aade un factor de escala a la entrada.

Figura 8. Representacin grfica de un Multiplicador por una constante.

2-B3. Multiplicador de seales: Se multiplican dos o ms secuencias de seales para dar forma a una secuencia

de salida que corresponde al producto entre las seales de entrada.

Figura 9. Representacin grfica de un Multiplicador de seales.

2-B4. Elemento de retardo unitario: Este elemento retarda en una muestra la seal que pasa a travs de este. Si la

seal de entrada es x(n), la seal de salida ser x(n-1) = y(n). Tiene un especial uso en la aplicacin de la transformada

Z.

Figura 10. Representacin grfica de un retardo unitario.

2-B5. Elemento de adelanto unitario: Un sistema de adelanto unitario desplaza la entrada una muestra hacia

adelante. Si la seal de entrada es x(n), la seal de salida ser x(n+1) = y(n). En sistemas de tiempo real, es imposible

usar este principio, pues solo es conocido el valor instantneo de la muestra. Para poder aplicar este concepto, es

necesario contar con sistemas de memoria, como por ejemplo el de las computadoras. Tiene un especial uso en la

aplicacin de la transformada Z.

Figura 11. Representacin grfica de un adelanto unitario.

2-B.6 Clasificacin de los sistemas discretos en el tiempo

Las tcnicas matemticas que se empleen en el anlisis de los sistemas, dependern en gran medida de su clasificacin,

es por ello que es importante definir ciertas propiedades que diferenciarn unos de otros. A continuacin se definirn

groso modo algunos tipos de sistemas discretos:

a) Sistemas estticos y dinmicos

Un sistema es esttico o sin memoria, si su salida en cualquier instante depende solamente de la muestra tomada en

ese mismo instante. Si la salida adems depende de muestras futuras y/o pasadas, se dice que el sistema es dinmico

o con memoria.

b) Sistemas variantes e invariantes en el tiempo

El sistema es invariante en el tiempo, solo si sus caractersticas entrada salida no cambian con el tiempo. Si a

la entrada se le agrega un retardo, entonces la salida tambin tendr un retardo, el cual no afectara las cualidades

intrnsecas del sistema. Para saber si un sistema es invariante en el tiempo, basta con excitar un sistema en un instante

de muestra n, luego agregar algn retardo k y comparar ambas salidas. Ahora basta comprobar que la condicin

anterior no se cumple para un valor de k para de inmediato decir que el sistema vara con el tiempo.

c) Sistemas lineales y no lineales

Un sistema lineal es aquel sistema que satisface el principio de superposicin y de homogeneidad. Estos principios

se resumen matemticamente de la siguiente manera:

Figura 12. Principios de linealidad.

Ahora si el sistema no complace alguno de los dos principios anteriores, se dice que el sistema es no lineal.

d) Sistemas causales y no causales

Un sistema discreto causal es aquel sistema en donde su salida depende solo de los valores actuales y anteriores de

las muestras. Ahora si la salida del sistema depende adems de los valores futuros de la entrada, se dice que el sistema

es no causal. Es imposible tener un sistema no causal en tiempo real, pero si es posible tener un sistema no causal no

en tiempo real, lo que se conoce como offine.

e) Sistemas estables e inestables

La estabilidad de un sistema es sumamente importante, puesto que si el sistema no es estable, al momento de

llevarlo a la prctica este se comportar de manera errtica e imprevisible. El sistema es estable si y solo si toda

entrada acotada genera una salida acotada. Esto permite conocer el comportamiento de un sistema frente a un rango

acotado en la entrada. Un ejemplo clsico es notar que un avin tendr turbulencia si el viento sobrepasa el umbral

acotado al momento del diseo. Ahora, por el contrario, si para una determinada secuencia de entrada, la salida no

est acotada, el sistema es inestable.

2-B.7 Interconexin de sistemas discretos

Los sistemas discretos pueden combinarse para formar sistemas ms grandes. Existen dos opciones para realizar este

proceso, la primera es mediante el mtodo de cascada y la segunda mediante el mtodo en paralelo.

a) Conexin en Cascada

En la interconexin en cascada, la salida del primer sistema es:

y1(n) = T1[x(n)]

Y la salida del segundo sistema es:

y(n) = T2[y1(n)] = T2T1[x(n)]

Observe que los sistemas T1yT2 pueden combinarse o consolidarse en un nico sistema global

Tc = T1T2

En consecuencia, podemos expresar la salida del sistema combinado cmo:

y(n) = Tc[x(n)]

b) Conexin en Paralelo

y3(n) = y1(n) + y2(n)

y3(n) = T1[x(n)] + T2[x(n)]

y3(n) = (T1 + T2)[x(n)]

y3(n) = Tp[x(n)]

ConTp = T1 + T2

Las siguientes figuras muestran los tipos de conexiones respectivas.

Figura 13. Conexin en cascada.

Figura 14. Conexin en paralelo.

2-C. Describa en detalle cmo analizar sistemas lineales

Existen dos mtodos para saber el comportamiento o respuesta de un sistema frente a una determinada entrada x(n).

El primer mtodo consiste en la resolucin directa de la ecuacin de diferencias. Para un sistema Lineal invariante en

el tiempo (LTI), la salida del sistema y(n) viene dada por la siguiente ecuacin general:

y(n) = Nk=1

aky(n k) +Mk=0

bkx(n k)

Donde akybk son parmetros constantes especficos del sistema.

El segundo mtodo consiste en analizar el sistema de acuerdo a las diferentes entradas que este contenga, de tal

manera que sea ms fcil ver la respuesta del sistema frente a cada entrada por separado, que analizarlas en conjunto.

Mediante el principio de superposicin es correcto deducir que la entrada total consiste en la suma de las entradas y

que la salida final tambin consiste en la sumatoria de respuestas. Matemticamente se expresa de la siguiente manera:

x(n) =k

ckxk(n)

La entrada total consiste en la suma de las diferentes entradas, siendo ck una constante ponderada, producto de la

suma de entradas xk(n). Considerando ahora que la respuesta a cxk(n) es cyk(n), se tiene lo siguiente:

yk(n) = T [xk(n)]

La respuesta total entonces es:

y(n) = T [x(n)] = T [k

ckxk(n)]y(n) =k

ckT [xk(n)]y(n) =k

ckyk(n)

2-D. Describa en detalle cmo descomponer en impulsos una seal discreta en el tiempo

Una seal discreta en el tiempo se puede escribir como una sumatoria de impulsos. El principio es bsico y consiste

en ponderar el valor de x(n) a un impulso con un cierto retardo (k). Considerando que un impulso con retraso k

(n k) es unitario siempre y cuando n = k. Por lo tanto si se multiplica este impulso por el valor de x(k), entoncesx(n) = x(k). Ahora si se tratara este concepto como una sumatoria de impulsos, entonces se obtendra la misma seal

x(n) original, aludiendo a que para un cierto valor n, todos los valores de la sumatoria serian 0, a excepcin del

valor del instante n = k, que correspondera al valor unitario de impulso, ponderado con x (k). La ecuacin es la

siguiente:

y(n) =

k=

x(k)(n k)

Mediante un ejemplo es posible apreciar el concepto con mayor claridad:

Six(n) = 2, 4, 0, 3

De la secuencia se sabe que: x(1) = 2, x(0) = 4, x(1) = 0yx(2) = 3. Aplicando la definicin de sumatoria deimpulsos: x(n) = 2(n+ 1) + 4(n) + 3(n 2).

2-E. Defina la convolucin, estableciendo sus propiedades fundamentales

La convolucin es un mtodo que sirve para calcular la respuesta de un sistema LTI en reposo, frente a cualquier

tipo de entrada x(n). La frmula para la convolucin discreta es la siguiente:

y(n) =

k=

x(n k)h(k)

Donde x(n) es la entrada del sistema, h(n) es la respuesta del sistema frente a entrada tipo impulso e y(n) es la

salida del sistema en respuesta a la seal de entrada x(n). Para evaluar la formula, se deben tomar en cuenta cuatro

procesos: reflexin, desplazamiento, multiplicacin y suma. La operacin de convolucin se expresa con un * de la

siguiente manera:

y(n) = x(n) h(n) =

k=x(k)h(n k)

A continuacin se definen las propiedades ms importantes de la convolucin discreta:

2-E1. Propiedad de identidad y desplazamiento: El impulso es el elemento identidad de la convolucin.

y(n) = x(n) (n) = x(n)

Por otro lado, si se desplaza el impulso una cantidad k, la convolucin se desplaza a su vez una cantidad k.

x(n) (n) = y(n k) = x(n k)

2-E2. Ley conmutativa: Como ya se adelant:

x(n) h(n) = h(n) x(n)

2-E3. Ley asociativa: El orden no altera el producto

[x(n) h1(n)] h2(n) = x(n) [h1(n) h2(n)]

2-E4. Ley distributiva: Se obtiene la misma respuesta cuando se multiplica un conjunto por otro conjunto que

cuando se hace cada multiplicacin por separado.

x(n) [h1(n) + h2(n)] = x(n) h1(n) + x(n) h2(n)

2-F. Describa en detalle qu son los sistemas lineales invariantes en el tiempo

Un sistema lineal e invariante en el tiempo es aquel, que como su nombre lo indica, es lineal e invariante en el

tiempo. Para que un sistema sea de tipo lineal debe cumplir el principio de superposicin, dicho con palabras el

principio de superposicin es aquel que la respuesta a una suma ponderada de seales es igual a la suma de las

respuestas ponderadas, en forma de ecuacin debera cumplir que:

T [a1x1(n) + a2x2(n)] = a1T [x1(n)] + a2T [x2(n)]

Para cualesquiera seales x1(n) y x2(n) y cualesquiera valores de a1 y a2. Por su parte un sistema invariante en el

tiempo es aquel en el cual sus parmetros y su caracterstica entrada-salida no cambia con el tiempo. Supongamos que

tenemos un sistema T en reposo, que lo excitamos con una seal x(n) y produce una seal y(n), entonces, podemos

denotar esto de la siguiente manera:

y(n) = T [x(n)]

Entonces, en forma de ecuacin, un sistema es invariante en el tiempo si y slo si:

x(n) T y(n)x(n k) T y(n k)

En combinacin ambas propiedades obtendramos un diagrama de bloques como el siguiente:

Figura 15. Sistema lineal invariante en el tiempo en diagrama de bloques.

2-G. Describa en detalle qu es un sistema FIR y un sistema IIR

Un sistema FIR es aquel que posee una respuesta impulso de duracin finita, de hecho, de ah proviene su nombre

(FIR: finite-duration impulse response), mientras que por su parte, los sistema IIR o infinite-duration impulse response

son aquellos que tienen una respuesta impulso de duracin infinita, esto quiere decir, que la salida tendr un nmero

infinito de trminos no nulos, es decir, una vez aplicada la entrada impulso nunca vuelve al reposo; a diferencia de los

sistemas FIR, en los cuales la respuesta impulsa posee un nmero finito de trminos no nulos dentro de un intervalo,

fuera de dicho intervalo la respuesta impulso es nula.

Analizando los sistemas FIR, estos simplifica bastante las cosas, ya que su salida descrita con la convolucin quedara

simplemente como:

y(n) =

M1k=0

h(k)x(n k)

Si se observa dicha expresin se puede apreciar que la salida en cualquier instante n es una combinacin lineal de

las muestras de la seal de entrada x(n), x(n-1), . . . , x(n-M-1), es decir, el sistema solo pondera las M muestras de la

seal ms recientes y suma los M productos resultantes. Dicho sistema solo le interesan los M muestras ms recientes

de la seal de entrada y se desecha de las dems muestras, entonces, se podra decir que posee una memoria de M

elementos.

Por su parte, en los sistemas IIR, su salida descrita con la convolucin queda descrita de la siguiente forma:

y(n) =

k=0

h(k)x(n k)

Es decir, a diferencia de los sistemas FIR, la sumatoria de la expresin anterior implica todas las muestras actuales

y anteriores, por eso decimos que dicho sistema tiene memoria infinita.

Cabe destacar que la implementacin prctica de un sistema IIR descrita a travs de la convolucin es imposible ya

que requiere un nmero infinito de memoria y operaciones aritmticas, la nica forma de implementarlos es a travs

de mtodos alternativos a la convolucin, dicho mtodo forma una familia de sistemas IIR que son las ecuaciones

de diferencias, las cuales nos entregan clculos confiables y eficientes. A travs de este mtodo podemos crear filtros

digitales y modelar sistemas fsicos.

2-H. Describa en detalle los sistemas discretos en el tiempo recursivos y no recursivos. Presente un ejemplo de cada

caso.

En general, para conocer la salida de un sistema implica realizar la convolucin de la seal de entrada y la respuesta

impulso, y esto, a su vez, implica conocer el valor de seal de entrada actual y los valores de la seal de entrada

pasados, esto es muy engorroso y difcil de realizar, ya que a medida que crece el tiempo cada vez se va necesitando

ms y ms memoria, a veces resulta mucho ms til establecer que la salida de un sistema dependiera del valor de

la seal y utilizar algn valor de la salida ya calculado anteriormente, esto facilitara enormemente los clculos e

iteraciones y se necesitara solo almacenar el valor de la salida actual y los valores de x(n) desde n >= n0(n0 es el

instante de la iteracin), de esta forma nacen los sistemas recursivos.

Dicho de otra manera, un sistema recursivo es aquel en donde su salida y(n) en un instante n depende de cualquier

nmero de valores pasados de la salida y(n-1), y(n-2),. . . , etc. Un ejemplo de esto es la forma en que las computadoras

calculan la raz cuadrada de algn nmero, para calcular la raz cuadrada del nmero A positivo viene dada por:

sn =1

2(sn1 +

A

sn1), n = 0, 1, 2, 3, . . .

Con sn1 una primera aproximacin de la raz de A.

A medida que la iteracin converge sn sn1, entonces podemos fcilmente deducirA sn

Si se desea calcular la raz de A = 2 y se indica el valor inicial y(-1) = 1, se obtendr los siguientes valores: y(0)

= 3/2, y(1) = 1.4166667, y(2) = 1.4142157, as se puede aproximar al valor real de la raz de 2.

Por otra parte, un sistema no recursivo es aquel en donde la salida y(n) solo depende de los valores de la entrada

actual y los valores de la entrada pasadas, un ejemplo de dicho sistema puede ser el descrito por la ecuacin:y(n) =

x(n) + cos(2pin)x(n 1)

Se puede destacar que los sistemas recursivos para calcular y(n0) necesitamos conocer todos los valores anteriores

a esta, y(1), y(2), . . . , y(n0 1), en cambio, para los sistemas no recursivos podemos calcular y(n0) sin tener losvalores anteriores, es decir, en un sistema recursivo la salida se calcula en orden, y(1), y(2),. . . , y(n), mientras que en

un sistema no recursivo el clculo de la salida puede ser de cualquier forma, y(100), y(1), y(500), y(5), . . . , etc. lo

que en algunas aplicaciones prcticas resulta muy til.

A continuacin se puede observar grficamente la diferencia entre un sistema recursivo y no recursivo.

Figura 16. Sistema no recursivo (a) y sistema recursivo (b).

2-I. Describa en detalle los sistemas lineales invariantes en el tiempo caracterizados por ecuaciones en diferencias

de coeficientes constantes. Presente un ejemplo.

En los casos anteriores definimos la salida del sistema en funcin de su respuesta impulso, ahora vamos a definir la

salida de un sistema mediante su relacin entrada-salida denominada ecuacin de diferencias con coeficientes constantes,

esta es una familia de los sistemas LTI y llevan la siguiente forma:

Nk=0

aky(n k) =Mk=0

bkx(n k)

En donde N es el orden de la ecuacin.

Los sistemas descritos de esta forma son una subclase de los sistemas recursivos y no recursivos. La salida de los

sistemas descritos con este tipo de ecuaciones siempre cuentan con dos partes, una parte que contiene la condicin

inicial y(-1) y otra parte que contiene la respuesta del sistema a la entrada x(n).

Si el sistema se encuentra inicialmente en reposo, entonces su memoria (su valor para el estado y(n-1)) debe ser nula,

por lo tanto, se puede deducir que y(-1) = 0. Entonces se puede decir que un sistema recursivo esta en reposo si sus

condiciones iniciales son nulas, entonces, se hace necesario definir el concepto de respuesta para el estado cero que se

denota por yzs(n) que corresponde a la parte de la respuesta total en donde las condiciones iniciales son nulas, tambin

conocida como respuesta forzada. Por otra parte, si el sistema no se encuentra inicialmente en reposo (y(1) 6= 0) yse le aplica una entrada x(n) = 0, entonces nace una nueva definicin, la respuesta para la entrada nula o respuesta

natural (tambin conocida por respuesta homognea) la cual se designa por yzi(n) y corresponde a la parte de la

respuesta total en donde las condiciones iniciales son no nulas y la entrada x(n) se hace nula, esto implica que dicha

respuesta es independiente de la entrada. A partir de estas dos definiciones anteriores se puede obtener la respuesta

total del sistema realizando la simple suma de ambas respuesta.

ytotal(n) = yzs(n) + yzi(n)

Ahora, con estas definiciones preliminares se puede comprobar que el sistema descrito por las ecuaciones de diferencia

con coeficientes constantes es lineal si y slo si cumple estos tres requisitos:

1. La respuesta total es igual a la suma de la respuesta de entrada nula y en estado nulo.

2. El principio de superposicin se aplica para la respuesta del estado nula (lineal para el estado nulo)

3. El principio de superposicin se aplica para la respuesta de entrada nula (lineal para entrada nula)

Cualquier sistema que no satisfaga estos tres requisitos es no lineal.

Para demostrar que el sistema descrito por la ecuacin de diferencia con coeficientes constantes es invariante en el

tiempo, basta con solo mirar la ecuacin y se puede apreciar que es invariante en el tiempo, ya que ai son constantes

independientes del tiempo, en caso contrario, si una de estas variables depende del tiempo el sistema es inmediatamente

variante en el tiempo ya que sus propiedades cambian a medida que avanza el tiempo, esto se puede extrapolar para

una mayor gama de sistemas y decir que un sistema recursivo descrito por una ecuacin de diferencias de coeficientes

constantes es lineal e invariante en el tiempo.

A modo de ejemplo consideremos el sistema recursivo definido mediante la siguiente ecuacin de entrada-salida:

y(n) = ay(n 1) + x(n)

Descrito en diagrama de estados quedara de la siguiente forma:

Figura 17. Diagrama de bloques de un sistema recursivo simple.

Si se aplica una entrada x(n) al sistema para n 0, la salida del sistema dada por la ecuacin viene dada por:

y(0) = ay(1) + x(0)y(1) = ay(0) + x(1) = a2y(1) + ax(0) + x(1)

y(2) = ay(1) + x(2) = a3y(1) + a2x(0) + ax(1) + x(2)y(n) = ay(n 1) + x(n)

y(n) = an+1y(1) + anx(0) + an1x(1) + ...+ ax(n 1) + x(n)

O escrito de manera ms compacta:

y(n) = a(n+ 1)y(1) +nk=0

akx(n k), n 0

De la ecuacin anterior podemos obtener las respuestas de estado y entrada nula, en donde:

yzs(n) =

nk=0

akx(n k), n 0yzi(n) = an+1y(1)

2-J. Describa en detalle cmo implementar los sistemas discretos en el tiempo.

Los sistemas discretos en el tiempo tienen un proceso de implementacin que generalmente va de la mano con el

diseo, ya que estos son trabajados de forma conjunta producto de que el diseo es impulsado a base de las limitaciones

que posee el mtodo de implementacin al aplicarlo, limitaciones que generalmente se asocian a los costos, hardware,

tamao y otros requerimientos especficos. Es por esto que los sistemas discretos en el tiempo se pueden implementar

a base de los distintos mtodos utilizados para la realizacin de sistemas LTI.

2-K. Describa en detalle la correlacin y cules son sus propiedades.

La correlacin es una herramienta que consiste en la medicin de la similitud entre dos secuencias con el fin de

obtener alguna informacin que nos ayude a resolver algn tipo de problemtica, esto permite utilizar la correlacin

en variadas ramas de la ingeniera, tales como en radares, comunicaciones digitales, geologa, entre otras. En trminos

ms prcticos esto se puede representar de la siguiente forma. Si se tienen dos seales x(n) e y(n) las cuales se necesita

comparar, se puede determinar x(n) un muestreo de la seal transmitida e y(n) el muestreo de la seal recibida. Al

recibir y comparar estas seales, se estarn obteniendo respuestas. En el caso de los radares, se obtendr informacin

importante respecto de la distancia que se tiene con un objeto, es decir se sabr si este se acerca o se aleja o simplemente

si el objeto se encuentra en alguna posicin.

Figura 18. Funcionamiento Radar.

A base de la definicin de correlacin se pueden encontrar la correlacin cruzada y la autocorrelacin.

La autocorrelacin se define como la correlacin cruzada de la seal consigo misma y es de gran utilidad para

descubrir elementos repetitivos dentro de una seal. Considerando que la autocorrelacin se define a base de la

correlacin cruzada, esta se puede explicar de la siguiente manera. Si se tiene dos seales x(n) e y(n), la seal

cruzada se define por:

rxy(n) =

i=

x(i+ n)y(i), n = 0,1,2, ...

En donde ( n ) representa el desplazamiento en el tiempo y los subndices x e y indican cuales son las seales que

han sido correlacionadas. Por lo tanto se tiene:

ryx(n) =

i=

y(i+ n)x(i) = rxy(n)

Donde ryx(n) es la correlacin de rxy(n) reflejada en n = 0.

Es to es lo que hace la diferencia a la correlacin de la convulsin, ya que la convulsin no se refleja, sin embargo

en lo dems funcionan de la misma manera, se desplaza la segunda seal, se desarrolla la secuencia del producto y

luego la suma. Adems si x(n) = y(n) entonces se obtiene la correlacin y la secuencia seria la siguiente:

rxx(n) =

i=

x(i)x(i n) =

i=x(i+ n)x(i)

2-K.1 Propiedades de la correlacin

Las propiedades para la autocorrelacin y la correlacin cruzada se pueden definir de la siguiente manera:

Sean x(n)ey(n) dos seales con energa finita

La energa de la seal se representa por:

w(k) = ak(n) + by(k n)

Lo que lleva a:

k=

[ax(k) + by(k n)]2 = a2rxx(0) + b2ryy(0) + 2abrxy(n)

As, rxx(0) = Ex es la energa de x(n). ryy(0) = Ey , es la energa de y(n). Bajo la condicin de que la expresin

anterior debe ser positiva, adems considerando b 6= 0.Al dividir la expresin por b2 se obtiene:

(a

b)2rxx(0) + ryy(0) + 2

a

brxy(n) 0

Las variables serian a y b, y los crecientes ryy(0), 2rxy(n)yrxx(0), considerando esto, para que nuestros resultados

no sean negativos, el discriminante debe ser negativo.

4(rxy)2(0) 4rxx(0)ryy(0) 0 |rxy(n)|

rxx(0)ryy(0)

ExEy

Luego, al conseiderar que:

|rxx(n)| Ex

En donde la auto correlacin alcanza su mximo valor es para el retardo 0, en donde el resultado es simtrico. El

escalado de la seal por un escalar, escala de la misma manera la correlacin, por lo que no es relevante sino el anlisis

de la correlacin, es por ello que puede normalizarse para obtener valores entre [1, 1] de la siguiente manera:

xx(n) =rxx(n)rxx(0)

Y en correlacin cruzada se normaliza:

xy(n) =rxy(n)

rxx(0)ryy(0)

Luego como ryx(n) = rxy(n) cumple para la auto correlacin rxx(n) = rxx(n) indicando que es una funcin par.

3. LA TRANSFORMADA Z

3-A. Describa en detalle la transformada Z y sus propiedades

La transformada z es una herramienta matemtica que permite convertir una seal discreta definida en el dominio

del tiempo, en una representacin en el dominio de la frecuencia. La transformada z no es mas que una variacin de

la transformada "S"de Laplace. La regin de convergencia (ROC) define el rango para el cual una variable x(n)converge.

El potencial de la transformada z se da por las propiedades que esta posee, las cuales se presentan a continuacin:

3-A1. Linealidad: Si se tiene:

x1(n) zX1(z)x2(n) zX2(z)

Entonces:

x(n) = a1x1(n) + a2x2(n) zX(z) = a1X1(z) + a2X2(z)

Si se tiene cualquier constante (a1ya2), se puede obtener rpidamente la demostracin de esta propiedad a base de

los principios de la linealidad. Esta propiedad se puede generalizar para un nmero arbitrario de seales. En palabras

simples se puede explicar a base de que la transformada z de una combinacin de seales es igual a la combinacin

lineal de sus transformadas z, de esta forma esta propiedad nos sirve para encontrar la transformada z de una seal

expresando la seal como una suma de seales elementales de transformadas z conocidas.

3-A2. Desplazamiento temporal: Si se tiene que:

x(n) zX(z)

Entonces:

x(n k) zzkX(z)

Donde:

ROC{zn0X(z)} = ROC{X(z)}

Con la posible eliminacin de zeta igual a cero o el punto en el infinito. Se tiene:

zn0x(n) zX(zz0

)

Con:

ROC{X( zz0

)} = |z0|ROC{X(z)}

En un desplazamiento temporal introduce un decaimiento exponencial en el dominio transformado Z. La ROC en

general no se ve alterada.

3-A3. Diferenciacion de X(z): Si se considera:

x(n) zX(z)

Se tiene que:

nx(n) z zdX(z)dz

Con:

ROC{z dX(z)dz } = ROC{X(z)}

3-A4. Conjugacion: Si se considera:

x(n) zX(z)

Se tiene que:

x(n) zX(z), ROC{X(z)} = ROC{X(z)}

3-A5. Reflexion temporal: Si se tiene:

x(n) zX(z)

Se puede escribir:

x(n) zX(1/z), ROC{X(z)} =1

ROC{X(z)}

3-A6. Convolucin: Si se considera que:

x(n) zX(z)y(n) zY (z)

Entonces:

z(n) = x(n) y(n) zX(z)Y (z)

Donde:

ROC{X(z)Y (z)} ROC{X(z)} ROC{Y (z)}

la ROC de X(z) e Y (z) puede contener a ROC{X(z)}ROC{Y (z)}. Esto se debe a que puede haber cancelacionesentre polos y ceros.

Esta propiedad se puede considerar como la propiedad central de la transformada Z para realizar anlisis de sistemas LTI

3-A7. Teorema del valor inicial y final: sea x(n) tal que es cero para n < 0. Entonces se puede considerar:

x(0) = lmzX(z)

Adems si existe lmn x(n), Se tiene que:

lmnx(n) = lmz1

(z 1)X(z)

3-B. Describa en detalle cmo se analiza en el dominio Z los sistemas LTI

Los sistemas LTI se pueden analizar considerando distintos puntos, entre estos se puede encontrar:

1. Respuesta de los sistemas con funciones racionales:

Si se considera un sistema polo-zero descrito por la siguiente ecuacin:

y(n) = Nk=1

aky(n k) +Nk=0

bkx(n k)

Cuya funcin de transferencia es:

H(z) =

Mk=0 bkz

k

1 +N

k=1 bkzk

Adems de debe suponer la seal de entrada x(n) con una transformada zX(z) de la forma:

x(z) =N(z)

Q(z)

Si se tiene cero como condicin inicial, la transformada de la salida tendra la forma:

Y (z) = H(z)X(z) =B(z)N(z)

A(z)Q(z)

Bajo condiciones dadas se puede expresar el sistema en fracciones parciales:

Y (z) =

Nk=1

Ak1 pkz1 +

Lk=1

Qk1 qkz1

Su inversa se puede expresar como:

y(n) =

Nk=1

Akpku(n) +

Lk=1

Qk(qk)nu(n)

Se puede observar que la salida esta dividida en dos partes en donde la primera funcin de polos pk, se denomina

como una respuesta natural del sistema, con una influencia de la entrada a travs de los factores Ak. La segunda parte

de la funcin es denominada como respuesta forzada del sistema qk de la entrada. La influencia del sistema sobre esta

respuesta se ejerce a travs de los factores de escala Qd.

2. Respuesta de los Sistemas de polo-cero con condiciones iniciales distintas de cero

Si se considera que la seal x(n) es aplicada a sistema polo-zero en n=0. Esto es asumir que la seal es causal. Al

mismo tiempo consideremos que la transformada Z del lado derecho del eje x es:

Y +(z) = Nk=1

akzk[Y +(z) +

kn=1

y(n)zn] +Lk=0

bkzkX+(z)

La cual se puede expresada de la siguiente manera:

Y +(z) =

Mk=0 bkz

k

1 +N

k=1 akzkX(z) +

Nk=1 akz

kkn=1 y(n)zn

1 +N

k=1 akzk

Y +(z) = H(z)X(z) + N0(z)A(z)

Donde:

N0(z) = Nk=1

akzk

kn=1

y(n)zn

Con la respuesta estable:

Yzs(z) = H(z)X(z)

Por tanto la respuesta total es la suma de los dos componentes de la salida, esto se puede expresar en el dominio

del tiempo como:

y(n) = yzs(n) + yzi(n)

Donde el denominador es A(z), los polos son pi, con i=1,2,3,. . . ,n. En consecuencia la respuesta a entrada nula tiene

la forma:

yzi(n) =

Nk=1

Dk(pk)nu(n)

La respuesta total tiene la forma:

y(n) =N

k=1A1k(pk)

nu(n) +L

k=1Qk(qk)nu(n)

Por definicin:

A1k = Ak +Dk

Esto demuestra que el efecto de las condiciones iniciales, se altera la respuesta natural de los sistemas.

3. La respuesta Transiente y estacionaria

La respuesta natural de un sistema causal tiene la siguiente forma:

yrnatural(n) =

Nk=1

Ak(pk)nu(n)

En esta ecuacin pk, con k = 1, 2, ..., N son los polos del sistema y Ak son los factores de escala, los cuales

dependen de las condiciones iniciales y de las caractersticas de la secuencia de entrada. Si |pk| < 1 para todoslos k, la respuesta yrnatural decae a cero minetras que n tiende a infinito. En este caso se tiene como resultado la

respuesta natural llamada respuesta transiente. La relacin con que yrnatural(n) decae a cero depende de la magnitud

de la posicin de los polos. Si todos los polos tienen magnitudes pequeas, la decadencia es muy rpida. Por otro

lado, si los uno o ms polos son localizados cerca del crculo unitario, implica que yrnatural(n) decae lentamente y la

transigente permanece por ms tiempo. La respuesta forzada del sistema tiene la forma:

yfr(n) =L

k=1Qk(qk)nu(n)

donde qk, para k = 1, 2, , ..., N son polos en la funcin forzada y Qk son factores de escala que dependen de las

condiciones iniciales y de las caractersticas del sistema. Si todos los polos de la seal de entrada estn dentro del circulo

unitario, yfr(n) decaer hacia cero a medida que n se aproxima al infinito, al igual que en el caso de la respuesta natural.

4. Causalidad y estabilidad Un sistema se dice causal si:

h(n) = 0 para n < 0

Segn la estabilidad, un sistema es estable si:n=|h(n)| |r| el sistema es causal.Si |z| > |r| < 1 el sistema es causal y estable.

CONCLUSIONES

En la tarea realizada se tuvo como principal desafo el estudio de los distintos concepts relacionados a los sistemas de

seales discretas. Para esto fue necesario el estudio e investigacin a travs de distintas herramientas que nos dieran a

conocer tanto los distintos tipos de sistemas discretos, su naturaleza, incluyendo aspectos asociados a sistemas lineales

invariantes en el tiempo (LTI) y su divisin en sistemas FIR e IIR, la transformada Z y sus aplicaciones al anlisis de

sistemas LTI.

Para poder analizar los distintos tipos de seales es necesario llevar a cabo una pequea investigacin de los distintos

conceptos, la cual se realiz tomando como base el texto gua del curso tratamiento digital de seales, lo cual fue

complementado con distintos textos de internet. Para poder llevar a cabo un trabajo con seales en tiempo discreto,

se requiere de mltiples herramientas y un previo conocimiento de la teora de seales discretas, sistemas discreto y

como operan. Esto fundamental poder entender de cierta forma los modelamientos y comportamientos al procesar una

seal en este tipo de sistemas.

BIBLIOGRAFA

[1] John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis, "Tratamiento digital de seales", Pearson, Vol. 4