Números Enteros

Sea R, N y sea a R. Se dice que a es un número entero si satisface alguna

de las siguientes condiciones:

i) a = 0 ii) a N iii) - a N

Z= {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, …} Z= N U {0} U {-x / x N} Z=Z+ U Z- U {0}

En el conjunto Z están definidas las operaciones

adición “+” y multiplicación “ .”

son operaciones cerradas en Z

a Z , b Z , c Z , a + b Z ; a.b Z

La propiedad conmutativa: a + b = b + a ; a.b = b.a La propiedad asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c ; a.(b.c)=(a.b).c Existencia de elementos neutros: a + 0 = a ; a.1= a Distributividad de la multiplicación respecto de la adición: a.(b + c)= a.b + a.c , (b + c).a= b.a + c.a Elemento inverso aditivo u opuesto para cada entero: Para cada entero a existe (-a) entero tal que a + (-a)=0

Divisibilidad de números enteros.

Si a Z y b Z con b 0, diremos que b divide

a a si y sólo si existe un número entero c tal que

a = b.c.

b│a : b divide a a, b es divisor o factor de a o

a es un múltiplo de b.

b │a : b no divide a a

El conjunto Z no es cerrado respecto de la división de enteros

Si a es cero, su único múltiplo es el cero, en caso contrario

a admite infinitos múltiplos enteros: 0, ±a, ±2a, ….

0 es múltiplo de cualquier entero.

Todo entero no nulo tiene un número finito de divisores.

Si a│b, entonces a│-b, -a│b y -a│-b, con lo que

deducimos que alcanza con estudiar las relaciones de

divisibilidad existentes entre los números naturales.

Si a Z - {-1; 1} entonces a admite por lo menos los

divisores a; -a; 1 y -1.

Un número entero a es par si 2│a, en otro caso es impar.

Sea p Z, p es un número primo si p admite

exactamente cuatro divisores: p, - p, 1, -1.

El conjunto de los números naturales, N , queda

ordenado por la divisibilidad. El conjunto de los números enteros, Z , NO queda

ordenado por la divisibilidad (no se verifica la propiedad

antisimétrica)

2 es un número par y primo.

1 es un número impar y no es primo.

0 es par y no es primo.

Si a 0, 1, -1 y no es primo, a se dice compuesto.

Todo número entero a de Z-{1;-1} es divisible por un número

primo.

Sean a, b, c Z, se verifica:

- Si a ≠ 0 aa

Si a ≠ 0 y a1 a = 1

- Si a ≠ 0 b ≠ 0 y ab bc ac,

- Si a ≠ 0 y ab ac ab + c

- ab ac abx+cy donde x, y Z

- Si a ≠ 0 y ab ab.c

- Si a ≠ 0 ab -ab -a-b ab

- Si a ≠ 0, b ≠ 0 y ab ba a = b

- a 1a

Sean a, b, c Z, se verifica:

- Si a ≠ 0 aa , Demostración: como a=a.1 y 1 Z aa - Si a ≠ 0 y a1 a = 1

- Si a ≠ 0 b ≠ 0 y ab bc ac, Demostración: si ab k1 Z luego b=a.k1

si bc k2 Z luego c = b.k2

reemplazando el valor de b tenemos que c=a.(k1.k2) siendo k1.k2 Z ac - Si a ≠ 0 y ab ac ab + c

- ab ac abx+cy donde x, y Z Demostración: si ab b = a.k1 y si ac c = a.k2 con k1 y k2 Z, luego xb+yc = x(a k1)+ y(a.k2 ) = a(xk1+y k2),

como (xk1+y k2) Z abx+cy

Sean a, b, c Z, se verifica:

- Si a ≠ 0 y ab ab.c c Z, Demostración: si ab k1 Z tal que b=a.k1 multiplicando a

ambos lados de la igualdad, por c Z obtenemos c.b = c.a.k1

donde b.c = a.(k1c) siendo (k1.c) Z ab.c

- Si a ≠ 0 ab -ab -a-b ab

- Si a ≠ 0, b ≠ 0 y ab ba a = b

- a 1a , Demostración: como a=1.a y a Z 1a

Ej: Demuestre la validez de las siguientes afirmaciones:

• la suma de tres enteros consecutivos es múltiplo de 3.

• 4 divide a la suma de dos números impares consecutivos.

Sean z,n Z: z = n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3 (n+1) = 3k con k = n+1 Z

3 | z

Sean z,k Z: z = (2k+1) + (2k+3) = 4k + 4 = 4 (k+1) = 4K con K = k+1 Z

4 | z

• La suma de tres números impares consecutivos es

divisible por 3 pero no por 6.

• 8 es factor del producto de dos números pares

consecutivos.

Sean z,k Z:

z = (2k+1) + (2k+3) + (2k+5) = 6k + 9 = 3 (2k+3) = 3K con K = 2k+3 Z

3 | z

z = 6k + 9 = 6k + 6 + 3 = 6 (k+1) + 3 6 | z

Sean z,k, K Z:

z = 2k .2(k+1) = 4k (k+1) = 4(k2+ k)

si k es impar k2 es impar k2+ k es par k2+ k = 2K,

si k es par k2 es par k2+ k es par k2+ k = 2K,

z = = 4(k2+ k) = 4 . 2K = 8 K 8 | z

Todos hemos aprendido a efectuar la división de dos números enteros

división entera Este método de cálculo permite decidir si d divide a D

Una breve descripción puede ser la siguiente: se trata de

aproximar de la mejor manera posible a D por un múltiplo de d, la diferencia entre D y dicho múltiplo es lo que llamaremos resto de la división que será nulo en el caso que D sea múltiplo de d

Algoritmo de la división en Z Sean a Z y b Z, con a ≠ 0, existen y son únicos los

enteros q y r tales que:

b = aq + r con 0 ≤ r < │a│ a se llama divisor, b es el dividendo, q es el cociente y

r resto de la división de b por a.

Ej: Un número natural n excede en 15 a un cierto

múltiplo de 28. ¿Cuál es el resto de dividirlo por 7?

Ej: Sabiendo que el resto de la división de un

número entero a por 7 es 5, calcule el resto de la

división por 7 de 2.a

Rta: 1

Rta: 3

n = 28 k + 15 = 7. 4 k + 7.2 + 1 = 7 (4k + 2) + 1

2.a = 2(7q +5) = 7 . 2q + 7 + 3 = 7 ( 2q + 1) + 3

Si u│v y v│w entonces u │w.

Dos números enteros arrojan el mismo resto al ser divididos

por n si y sólo si su diferencia es un múltiplo de n.

si a│b y a│c entonces a│b+c.

si a│b±c y a│b entonces a│c.