NÚMEROSENTEROS

Ilse Peña BriceñoIlse Peña BriceñoIlse Peña BriceñoIlse Peña Briceño

El conjunto de los números enteros está formado por los naturales, negativos y el ceroZ= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales como un subconjunto de los números enteros

N C ZN C Z

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros es un conjunto infinito

El conjunto de los números enteros es un conjunto discreto, por que entre 2 números enteros cualesquiera existe un numero finito de números enteros

El conjunto de los números enteros NO tiene primer elemento ni último elemento

En el conjunto de los números enteros, todo número negativo es menor que cualquier número positivo o nulo

Suma de números enteros

Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

3 + 5 = 8(−3) + (−5) = − 8

Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

− 3 + 5 = 23 + (−5) = − 2

SUS PROPIEDADESInterna:

a + b 3 + (−5)

Elemento opuestoa + (-a) = 0

5 + (−5) = 0 −(−5) = 5

Asociativa:(a + b) + c = a + (b + c) ·

(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]5 − 5 = 2 + (− 2)

0 = 0

Elemento neutro:

a + 0 = a (−5) + 0 = − 5

Conmutativa:a + b = b + a

2 + (− 5) = (− 5) + 2− 3 = − 3

Resta de números enteros

La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (-b) 7 − 5 = 2

7 − (−5) = 7 + 5 = 12

SUS PROPIEDADES

Interna:a − b E Z

10 − (−5) E Z

No es Conmutativa:a - b ≠ b - a5 − 2 ≠ 2 − 5

Multiplicación de números enteros

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

+ por + = +- por - = ++ por - = -- por + = -

•2 · 5 = 10 •(−2) · (−5) = 10 •

•2 · (−5) = − 10

•

•(−2) · 5 = − 10•

SUS PROPIEDADESInterna:

a · b E Z2 · (−5) E Z

Asociativa:(a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]6 · (−5) = 2 · (−15)

-30 = -30

Conmutativa:a · b = b · a

2 · (−5) = (−5) · 2 -10 = -10

Elemento neutro:

a ·1 = a (−5)· 1 = (−5)

Distributiva:a · (b + c) = a · b + a · c (−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2)· 8 =- 6 - 10-16 = -16

Sacar factor común:

a · b + a · c = a · (b + c) (−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) ·

(3 + 5)

NÚMEROS PRIMOS

Son aquellos números reales solamente divisibles por 1 y por si mismo, sin incluir el 1, sólo dando una división exacta.

  Algunos de ellos: {2, 3, 5, 7, 11, 13,...} 

NÚMEROS COMPUESTOS

Números posibles de descomponer en factores de potencias de números primos. Tiene 2 ó más factores.

DIVISIBILIDADUn número a se puede dividir por otro número b (o también, a es divisible por b), cuando con el número de unidades que indique el número a se puedan hacer tantos números como indique el número b, teniendo todos estos grupos el mismo número de unidades

FACTORIZARFactorizar o descomponer un número en factores primos es expresar el número como un producto de números primos Los números compuestos se pueden escribir como producto de números más pequeños

Un número es DIVISOR de otro si cuando dividimos el segundo entre el primero, el resto de la división es 0.Por ejemplo, decimos que 5 es divisor de 10 porque al dividir 10 entre 5 la división es exacta; da 2 y queda de resto 0.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Por 2: un número es divisible por dos si termina en cero o en cifra par

Por 3: un número es divisible por tres, si la suma de sus cifras es múltiplo de tres

Por 4: las dos últimas cifras tienen que ser dos ceros o un número múltiplo de 4

Por 5: un número es divisible por cinco cuando acaba en cero o en cinco

Por 6: tiene que ser divisible por 2 y por 3

Por 9: un número es divisible por nueve cuando la suma de sus cifras es múltiplo de nueve

Por 10: tiene que terminar en cero. de manera similar, si termina en 00 es divisible por 100; si termina en 000 es divisible por 1000

Por 11: un número es divisible por once cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupa la posición par y la suma de las cifras que ocupan la posición impar son múltiplo de once

Por 100: un número es divisible por cien cuando las dos últimas cifras son 00

Máximo común divisor (M.C.D.)

EL M.C.D. de varios números es el mayor de sus divisores comunes.

Para calcular el M.C.D. de varios números naturales, se descomponen en sus factores primos, y se obtiene el producto de sus factores primos comunes afectados del menor exponente.

2412 6 3 1 0

22231

24= 2.2.2.3.1=2 .33 3015 4 1 0

2351

30=2.3.5

M.C.D. (24,30)= 2.3=6

Si no hay factores comunes el MC.D. es 1

Mínimo común múltiplo (M.C.M.)

EL M.C.M. de varios números es el menor de sus múltiplos comunes distintos de cero.

Para calcular el M.C.M. de varios números naturales, es el producto de los factores comunes y no comunes elevados a su mayor potencia.

2412 6 3 1 0

22231

24= 2.2.2.3.1=2 .33 3015 4 1 0

2351

30=2.3.5

M.C.M. (24,30)= 2 .3.5=8.3.5=1203

Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5…

Un múltiplo común es si tienes dos (o más) números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el mismo valor en las dos listas, esos son los múltiplos comunes a los dos

números. Ejemplo de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44…