ensayos ciencia y sociedad - oeiciencia y sociedad ibic: pdz/pb 186 la aritmÉtica del siglo xxi la...

¿Dónde y cuándo comenzaría la fantástica aventura del conoci-miento y uso de los números y de las operaciones con estos? Si bien el ser humano posee un cierto potencial numérico innato, no exclusivo de nuestra especie, hubo un tiempo en el que el hom-bre no conocía los números, ni siquiera modo alguno de conteo, como se desprende de las observaciones de algunas tribus. No obstante, se ha comprobado la característica natural del hom-bre de empezar a contar antes de escribir e incluso de hablar, así como la existencia de algunas especies animales en las que se han encontrado evidencias experimentales de ciertas habilida-des para el conteo. Pero ¿en qué momentos de la historia y de qué manera se ha desarrollado el conocimiento de la aritmética hasta el punto en el que nos encontramos hoy? Esta obra plantea un análisis histórico que nos ayuda a entender la evolución de la aritmética en el mundo desde hace miles de años, siguiendo con más atención la trayectoria de las civilizaciones que más nos han influido.

Natividad Adamuz-Povedano y Rafael Bracho-López son pro-fesores del área de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Córdoba y doctores en Educación por esa misma universidad.

13 E ISBN: 978-84-9097-260-1

ENSAYOS CIENCIA Y SOCIEDAD

IBIC: PDZ/PB

186

LA

AR

ITM

ÉT

ICA

DE

L S

IGLO

XX

I

La aritmética del siglo XXI

Natividad Adamuz-Povedanoy Rafael Bracho-López

186_Losnumeros_ok.indd 1 5/1/17 10:35

E026 aritmetica (8).indd 1 05/01/17 12:58

NATIVIDAD ADAMUZ-POVEDANOProfesora del área de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Córdoba y doc-tora en Educación por la misma universidad. Su campo de trabajo se centra en el desarrollo del sentido numérico en los primeros años de aprendizaje, así como en

la mejora del aprendizaje del cálculo en la Educación Primaria.

RAFAEL BRACHO-LÓPEZProfesor del área de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Córdoba y doctor en Educación por dicha universidad. Colabora con la Administración Educativa andaluza en el uso educativo de las TIC, diseño curricular y formación continua del profesorado. Sus líneas de investigación se centran en el desarrollo del sentido numérico en los primeros años de aprendizaje y la formación del profesorado en el

área de Matemáticas.


Natividad Adamuz-Povedano y Rafael Bracho-López

La aritmética del siglo XXI


SERIE ENSAYOS CIENCIA Y SOCIEDADDIRIGIDA POR JUAN CARLOS TOSCANO

PROYECTO “ALTA DIVULGACIÓN” DE LA CÁTEDRA CTS+I DE LA OEI

© NATIVIDAD ADAMUZ-POVEDANO Y RAFAEL BRACHO-LÓPEZ, 2017

© ORGANIZACIÓN DE ESTADOS IBEROAMERICANOS PARA LA EDUCACIÓN, LA CIENCIA Y LA CULTURA, 2017

© LOS LIBROS DE LA CATARATA, 2017 FUENCARRAL, 70 28004 MADRID TEL. 91 532 20 77 FAX. 91 532 43 34 WWW.CATARATA.ORG

LA ARITMÉTICA DEL SIGLO XXI

ISBN: 978-84-9097-260-1DEPÓSITO LEGAL: M-904-2017IBIC: PDZ/PB

ESTE LIBRO HA SIDO EDITADO PARA SER DISTRIBUIDO. LA INTENCIÓN DE LOS EDITORES ES QUE SEA UTILIZADO LO MÁS AMPLIAMENTE POSI-BLE, QUE SEAN ADQUIRIDOS ORIGINALES PARA PERMITIR LA EDICIÓN DE OTROS NUEVOS Y QUE, DE REPRODUCIR PARTES, SE HAGA CONSTAR EL TÍTULO Y LA AUTORÍA.


ÍNDICE

INTRODUCCIÓN 9

CAPÍTULO 1. NUMERACIÓN. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.

EVOLUCIÓN 15

CAPÍTULO 2. ALGORITMOS DE CÁLCULO 37

CAPÍTULO 3. ALGORITMOS TRANSPARENTES.

CÁLCULO PENSADO 61

BIBLIOGRAFÍA 93


9

INTRODUCCIÓN

¿Dónde y cuándo comenzaría la fantástica aventura del conocimiento y uso de los números y de las operaciones con estos? ¿En lo que ahora identificamos como Asia, en Europa, en América o en algún lugar de África? ¿Hace treinta mil años, en la época del hombre de Cromagnon, hace cincuenta milenios, en la del nean-dertal o hace cien mil años, quinientos mil o incluso un millón de años? Imposible determinarlo.

La historia de los números y de las operaciones se pierde en la prehistoria de la humanidad, pero lo que sí parece demostrado es que, si bien el ser humano posee un cierto potencial numérico innato, no exclusivo de nuestra especie, por cierto, hubo un tiempo en el que el hombre no conocía los números, ni siquiera modo algu-no de conteo, como se desprende de las observaciones de algunas tribus, como los zulúes y los pigmeos de


10

África, los aran-da y los kamilarai de Australia o los boto-cudos de Brasil (Ifrah, 1987). Estos colectivos han con-servado sus formas de vida y organización social propias de hace miles de años prácticamente hasta la era de la globalización y, hasta hace pocos años, se encontraban en ese nivel cero del conocimiento numérico, hasta el punto de que solo empleaban dos nombres de números propia-mente dichos: uno para la unidad y otro para el dos. Más allá, todo les parecía impreciso y empleaban expresiones que podrían traducirse como varios, muchos, etc.

También se ha comprobado la característica natural del hombre de empezar a contar antes de comenzar a escribir e incluso a hablar, así como la existencia de algu-nas especies animales en las que se han encontrado evi-dencias experimentales de ciertas habilidades para el conteo, como es el caso del cuervo, con el que se ha reali-zado el siguiente experimento (Sáenz, 2005): en un huerto frecuentado por un ejemplar se construye una caseta con la intención de cazarlo. Estando el cuervo en el huerto, se le ofrece comida en el exterior de la caseta al mismo tiempo que dos personas se esconden en el interior. Sale una de las personas, pero el animal sigue esperando sin acercarse a buscar la comida hasta que sale la segunda persona, mo -mento en el cual se acerca a buscar el alimento. El experi-mento se repite con tres y cuatro personas y el cuervo sigue sin acercarse hasta que se retira la última persona. Sin embargo, al repetir el experimento con cinco personas o más, el animal pierde la cuenta y se acerca cuando todavía quedan personas en el interior de la caseta.

Luego parece que no somos los únicos seres numé-ricos por naturaleza, aunque probablemente sí seamos


11

los que podamos desarrollar o al menos hayamos desa-rrollado mayor dominio de los números y de sus propie-dades y operaciones en particular, así como de otros aspectos del conocimiento matemático y científico en general.

Pero ¿en qué momentos de la historia y de qué manera se ha desarrollado el conocimiento de la arit-mética hasta el punto en el que nos encontramos hoy día? Evidentemente, este desarrollo se ha producido en función de las necesidades del ser humano y de manera casi paralela a los desarrollos de otros saberes, aunque probablemente un poco por delante, tal y como comen-tábamos antes para el caso del conocimiento numérico y de la escritura. Por otro lado, de la mano de los avances culturales, comerciales, industriales, científicos y tec-nológicos que ha experimentado la humanidad en los últimos siglos y, sobre todo, en las últimas décadas, el avance en el desarrollo de la aritmética y el cálculo no ha sido ni mucho menos lineal, sino que la aceleración en el conocimiento ha sido mucho mayor en los últimos tiempos.

Otra cuestión importante a tener en cuenta tiene que ver con la historia de las diferentes culturas y con el intercambio y la comunicación entre esa diversidad cul-tural más o menos marcada según los tiempos. Desde que tenemos cierto conocimiento de la historia de la numeración, hace miles de años, hasta ahora, han cam-biado mucho las cosas. En tiempos más remotos existie-ron culturas más o menos influyentes o predominantes en lo político y en lo social, pero no siempre este pode-río estuvo relacionado con los avances en los sistemas


12

de numeración y en las operaciones aritméticas (Gómez, 1998).

Por otro lado, de la mano del desarrollo, ha ido con-vergiendo y extendiéndose el conocimiento de la arit-mética, del álgebra y de la matemática en general, como el de otras ramas científicas, hasta que en la actualidad, prácticamente en todo el mundo civilizado, los números y las operaciones con ellos se usan de manera muy pare-cida, a excepción de algunas culturas más celosas de su valioso legado científico y cultural. De esta forma, los algoritmos tradicionales tal y como los conocemos desde hace más de un siglo y tal y como se siguen enseñando hoy día en la mayoría de las escuelas de casi todo el mundo, salvo pequeñas diferencias, siguen siendo el refe-rente universal. Sin embargo, si bien no cabe duda de que estos algoritmos han cumplido con unas funciona-lidades incuestionables durante muchos años, desde la irrupción de las calculadoras en la década de los setenta del siglo pasado cada vez se vienen utilizando menos en la práctica y la gran mayoría de los investigadores en Educación Matemática se vienen cuestionando en las últimas décadas su idoneidad en los tiempos que corren (Martínez, 2001). Y es que las sumas, restas, multiplica-ciones y divisiones que nos enseñaron en la escuela, por no hablar de las raíces cuadradas, nos sirvieron durante años para hacer cálculos más o menos complicados, pero carecen de significado para la mayoría de nosotros y desde luego no fomentan el denominado sentido numé-rico, entendido como el dominio reflexivo de las rela-ciones numéricas que se pueden expresar en capacida-des como: habilidad para descomponer números de


13

forma natural, comprender y utilizar la estructura del sistema de numeración decimal y utilizar las propiedades de las operaciones y las relaciones entre ellas para reali-zar cálculos mentales y razonados (Bracho-López, 2013).

Por todo ello, entendemos que se hace necesaria una transformación metodológica en lo relativo a la aritmética escolar que se centre en un aprendizaje sig-nificativo del sistema de numeración decimal y en el fomento del cálculo mental o razonado y flexible, algo en lo que se está avanzando considerablemente en los últimos años.

En el presente trabajo nos planteamos un análisis histórico que nos ayude a entender la evolución de la aritmética en el mundo desde alrededor del 4000 a. C., cuando encontramos las primeras referencias, hasta nuestros días, siguiendo con más atención la trayectoria de las civilizaciones que más nos han influido. Presen -taremos un planeamiento del cálculo basado en el cono-cimiento profundo del sistema de numeración decimal y orientado hacia el desarrollo de la competencia matemá-tica que se demanda en la actualidad, y para terminar, realizaremos un pequeño estudio comparativo de los algoritmos tradicionales y otras alternativas, tanto histó-ricas como actuales.


15

CAPÍTULO 1

NUMERACIÓN. SISTEMAS DE NUMERACIÓN. EVOLUCIÓN

Una de las primeras cuestiones que surgen cuando uno piensa en hablar de numeración y de la evolución de los distintos sistemas de numeración es: ¿qué es el núme-ro? Animamos al lector a que se pare un instante a pen-sar qué respondería a esta cuestión antes de seguir leyendo.

El concepto de número es un concepto difícil de definir, una de las nociones que en matemáticas deno-minamos nociones primitivas; todos entendemos lo que son, podemos identificarlos fácilmente y los maneja-mos, pero son muy difíciles de definir.

Si echamos mano del Diccionario de la Real Academia Española podemos encontrar hasta 14 acepciones para la palabra “número”. Centrándonos en las que están re -lacionadas con las matemáticas, que es lo que nos com -pete en este caso, vemos (RAE, 2012):


16

Del lat. numĕrus.1. m Expresión de una cantidad con relación a su unidad.2. m Signo o conjunto de signos con que se representa el número.3. m Cantidad de personas o cosas de determinada especie.4. m Condición, categoría, situación o clase de personas o cosas.

A veces, la dificultad de definir el concepto se pone de manifiesto en hechos como que la RAE incorpore el térmi-no en sí en su propia definición, como sucede en la segun-da acepción. Por tanto, vemos que no es concepto fácil de definir. Podemos pensar entonces que, por muy complica-dos que fueran los cálculos que quisiéramos imaginar con números, más complicado es definirlos. En su libro, Ian Stewart (2008) habla sobre los números en unos términos que dan idea de la complejidad que encierran:

Los números cuentan cosas, pero no son cosas: podemos coger dos tazas, pero no podemos coger el número dos. Los números se deno-tan por símbolos, pero no son símbolos: diferentes culturas utilizan diferentes símbolos para el mismo número. Los números son abs-tractos, y sin embargo nuestra sociedad se basa en ellos y no funcio-naría sin ellos. Los números son una construcción mental, y sin embargo tenemos la sensación de que seguirían teniendo significa-do incluso si la humanidad fuera barrida por una catástrofe mundial y no quedara ninguna mente para contemplarlos (p. 11).

La cuestión es que, sepamos definir con propiedad, o no, qué es un número, esto no nos impide usarlos cada día en multitud de situaciones, aunque no seamos cons-cientes de ello. Desde que nos levantamos hasta que nos acostamos, e incluso durmiendo, hay infinidad de


17

procesos que tienen su base en los números. El origen de este proceso se remonta a miles de años atrás, cuan-do los primeros pobladores de nuestro planeta se apo-yaban en las manos y pies y en las fichas de arcillas, las muescas en los huesos o las grabaciones en las tablillas para afrontar sus primeros escarceos numéricos, aunque para autores como Dantzig (2007), el origen del concepto de número no está tan claro, ya que se plantea si es algo que surgió de la experiencia o si, en realidad, la experien-cia sirvió para poner de manifiesto lo que ya estaba en la mente primitiva. Sin duda, esta es una importante cues-tión sobre la que podemos hacer especulaciones metafí-sicas, pero tampoco se trata de uno de los objetivos fun-damentales de este trabajo. En nuestro caso, partiremos de la idea de que el concepto de número surge de la expe-riencia, y como tal, con el paso del tiempo y el fruto de esa experiencia, se ha ido transformando.

Hagamos un pequeño repaso por esa evolución hasta llegar a los numerales tal y como los conocemos hoy día.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

En la época primitiva, nuestros antecesores no tenían desarrollado un sentido numérico mucho mayor que el que pueden presentar algunos pájaros o algunos insectos. Pero, a diferencia de estos animales, la especie humana ha sabido hacerse con herramientas o mecanismos que le han permitido suplir esa limitada percepción. El conteo o lo que conocemos como el


18

principio de correspondencia han tenido un papel fun-damental en ese desarrollo.

Las civilizaciones primitivas buscaban modelos para representar las cantidades en su entorno más inmediato: como hemos comentado anteriormente, las primeras referencias fueron los dedos de la mano y de los pies, y cuando estos no eran suficientes usaban piedras o marcas en huesos o palos. Ahí empiezan a aparecer los primeros agrupamientos, que en la mayoría de los casos empezaron a hacerse de cinco en cinco para facilitar el conteo, es decir, se usaba una base quinaria. Boyer (1999) recoge datos de una investigación a este respecto hecha con cien-tos de tribus de indios del norte de América y en la que encontró que la mayoría de ellos usaban una base decimal o quinaria, apenas un 1% usaban una base ternaria y menos de un tercio usaban base binaria. Parece entonces que ha habido cierta tendencia natural a usar la base deci-mal y la quinaria a lo largo de la historia.

Otra cuestión relevante, que, pensamos, surge poste-riormente a los símbolos, es qué nombres se les ha dado a los números. En un principio, esos nombres hacían refe-rencia a significantes externos cercanos, como represen-tar al dos con las alas de un pájaro, a la hoja del trébol para el tres, las patas de un animal para representar el cuatro o los dedos de la mano para representar el cinco. Y siempre hacían referencia a cosas concretas, “dos árboles”, “tres huevos”. Lo concreto siempre ha precedido a lo abstracto. La necesidad de discriminar entre lo que representa esa hoja de trébol y la propia hoja ha hecho que poco a poco, en ese proceso de abstracción, se hayan dejado de usar términos de ese tipo hasta llegar a los términos abstractos.


19

Así es como empiezan a surgir los sistemas de numeración, como una herramienta para facilitar el manejo de las cantidades, independientemente de lo que representen esas cantidades. Podemos decir enton-ces que tienen por objeto expresar verbal y gráficamen-te los infinitos números naturales mediante el menor número de palabras y signos. De este modo, un sistema de numeración es un conjunto finito de signos y reglas que nos permiten expresar cualquier cantidad, siguien-do las reglas establecidas. Los principios que rigen los sistemas de numeración son los siguientes.

Principio aditivo

El valor de un número se obtiene como suma del valor de todos los signos utilizados en su representación. Dentro de este principio podemos encontrar diferentes formas de representación de los números. Así, pode-mos tener una representación simple, que consiste en describir la cantidad apilando piedras o haciendo mues-cas sobre un palo: “tantas piedras como ovejas”. Se caracteriza por la repetición uniforme de un solo sím-bolo. Su principal inconveniente es cómo representar o leer números grandes.

FIGURA 1

REPRESENTACIÓN DEL NÚMERO 8

Con el agrupamiento simple, se reduce en cierto modo el problema anterior agrupando los elementos, como puede verse en la figura 2.


20

FIGURA 2

REPRESENTACIÓN DEL NÚMERO 12

El agrupamiento simple se caracteriza por la elec-ción de una base para el agrupamiento (6 en el ejem-plo) y por la presencia de dos clases de símbolos: los símbolos para las unidades y los símbolos para los grupos de unidades. Sigue presentando el inconveniente de qué hacer con números mucho más grandes.

Y por último, el agrupamiento múltiple está caracte-rizado por la presencia de un símbolo distinto para cada una de las potencias de la base. No hay un límite para la cantidad de símbolos, pero sí para las repeticiones de los símbolos, como máximo los que indica la base elegida para el agrupamiento. Como ejemplo de este tipo veremos más adelante el sistema de numeración egipcio.

Principio multiplicativo

Utiliza dos clases de símbolos, unos para la potencia de la base y otros en función multiplicadora. Suprime la repetición de los símbolos que presentaban los sistemas de agrupamiento múltiple. Es el caso del sistema de numeración chino.

Principio de posición

El valor de un signo o cifra es relativo, es decir, depende del lugar que ocupe en la escritura del número. Prescinde de los símbolos que representan a las potencias de la base según


21

un criterio de orden. El mejor ejemplo para este principio es nuestro sistema de numeración decimal.

Estos principios de numeración no surgieron de un plumazo, sino que la evolución de las sociedades hizo que fueran creándose a demanda de las necesidades.

En muchas civilizaciones se crearon sistemas de representación de los números naturales en base a las dis-tintas posiciones de los dedos y las manos. Griegos, roma-nos, árabes, hindús, entre otros, fueron pueblos, que ade-más de los sistemas de numeración escritos, usaron los “finger numbers” (figura 3). En la Edad Media, había una representación de números menores al 100 en base a dife-rentes posiciones de los dedos, que era bastante conocida y aceptada. Con números mayores ya no había tanto consen-so. Como curiosidad, podemos decir que en el siglo XVIII, un monje inglés recopiló una descripción de los números hasta un millón usando los dedos de las manos combina-dos con diferentes posiciones en el cuerpo.

FIGURA 3

NÚMEROS REPRESENTADOS CON LOS DEDOS

Fuente: Dantzig (2007).


22

Según Bernardo Gómez (1998) podemos distinguir cuatro periodos importantes en la evolución y forma-ción de los sistemas de numeración:

• Periodo inicial, que abarca las culturas del Pale -olítico y principio del Neolítico. Época de marcas en los huesos para contar animales o para esta-blecer un calendario lunar. Cada objeto era repre-sentado con un signo.

• Periodo de las culturas de la Edad de Bronce, que abarca unos tres mil años comenzando alrede-dor del 6000 a. C. En esta época se produce un gran avance porque en algunas civilizaciones aparecen los agrupamientos. Ahora el hombre ya no vive de lo que caza, sino que se desarrollan la agricultura y la ganadería, por tanto, empieza a tener unas necesidades que ya no se cubrían con el uso de las marcas en los huesos o los gui-jarros. De esta época tenemos, por ejemplo, los sistemas de numeración egipcios o babilónicos.

• Tercer periodo o periodo alfabético, que empieza con los inicios de la Edad del Hierro. Como su nom-bre indica, se empieza a usar el alfabeto para representar los números. Cada vez se va redu-ciendo más el conjunto de signos empleados y se empieza a tener en cuenta la posición de los signos. Es en esta época cuando los griegos desarrollan su sistema de numeración.

• Cuarto periodo, que abarca la era cristiana y el imperio musulmán. Se consolida el principio de posición y se incorpora el cero en un sentido


23

ordinal. En este periodo se producen unos hitos importantes: la aparición de los números indo-arábigos de la mano de Fibonacci y el uso del ábaco para el cálculo.

FIGURA 4

LÍNEA DE TIEMPO DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Este es un recorrido muy simple que nos permite situarnos en la historia (figura 4). Veamos ahora qué nos aportaron cada uno de estos sistemas de numera-ción que hemos mencionado.

Sistema de numeración egipcio

Sistema de numeración babilónico

Sistema de numeración romano

Sistema de numeración maya

Sistema de numeración árabe

Sistema de numeración chino

Sistema de numeración griego

Sistema de numeración hindú

Sistema de numeración decimal

3000 a. C.

1800 a. C.

1500 a. C.

750 a. C.

600 a. C.

400 a. C.

300 a. C.

750 d. C.

800 d. C.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 10 100 1.000 10.000 100.000 106

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 20 30 40 50 60 70 80 90

100 1.000

0 1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

15 16 17 18 19

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

100 1.000 10.000 100.000 1.000.000

1 5 10 50 100 500 1.000 5.000 10.000

1

5

9

13

17

30

2

6

10

14

18

40

3

7

11

15

19

50

4

8

12

16

20

60


24

LOS EGIPCIOS

Los antiguos egipcios fueron una gran civilización, con ex -traordinarios logros a nivel arquitectónico, como podemos comprobar a día de hoy. Sin embargo, sus logros en el campo de las matemáticas no fueron tan importantes. Su sistema de numeración se rige por el principio aditivo, usando distintos símbolos para cada potencia de 10 (figura 5).

FIGURA 5

SÍMBOLOS DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIO

1 10 100 1.000 10.000 100.000 106

Se usaban tantos de cada uno como fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orien-tación de las figuras según el caso.

FIGURA 6

NÚMERO 20.331 EN EGIPCIO

También intentaron representar fracciones, aun-que sin un criterio homogéneo a lo largo del periodo de uso de su sistema de numeración. Hay evidencias, por ejemplo, de la asociación de fracciones especiales con

2 · 10.000 + 3 · 10 + 1 = 20.331


25

partes del ojo de cobra1. Una nomenclatura poco fun-cional, que no tuvo transferencia a otras culturas.

FIGURA 7

REPRESENTACIONES DE FRACCIONES CON PARTES DEL OJO DE COBRA

= El ojo completo

= 1/2 = 1/4

= 1/8

= 1/16

= 1/32= 1/64

Fuente: Stewart (2008).

Los babilonios fueron un pueblo muy destacado en lo que a la numeración se refiere. Se han encontrado alrededor de un millón de tablillas de arcilla babilónicas, de las cua-les muchas están dedicadas a las matemáticas y a la astro-nomía, disciplinas en las que destacaron (Stewart, 2008).

FIGURA 8

SÍMBOLOS BABILÓNICOS

Fuente: Wikipedia.

1. Símbolo de la cultura egipcia al que se le atribuían propiedades relacionadas con la prosperidad, la salud, el tránsito al otro mundo y el renacer.


26

Para esta civilización fue suficiente con dos símbo-los para representar cualquier número; una cuña verti-cal para representar el número 1 y una cuña horizontal para representar el número 10.

Se ponían tantos signos del 1 como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo. A partir de ahí se siguen usando esos dos símbolos para represen-tar todos los números hasta llegar al 59. Es en ese momento cuando el símbolo del uno pasa a valer 60. Por eso decimos que el sistema de numeración babilónico es de base 60 o sexagesimal. Entonces, un número como el que se muestra en la figura 9 sería:

1·602+57·601+46 = 7.066

FIGURA 9

NÚMERO 7.066 EN BABILÓNICO

A día de hoy todavía tenemos en vigor el sistema de numeración sexagesimal para medir el tiempo.

Los babilonios consiguieron un sistema de numeración bastante avanzado, se han encontrado pruebas del uso de fracciones y de lo que sería el equivalente a nuestra coma decimal, que en su caso se trataría más bien de una coma “sexagesimal”.


27

SISTEMA DE NUMERACIÓN CHINO

No hay un consenso entre los historiadores sobre la aparición de las primeras referencias matemáticas en las civilizaciones de China. En lo que sí parece que hay acuerdo es en que podría haber un gran legado chino de no ser por las interrupciones a las que se vieron some-tidos. En el año 213 a. C., por ejemplo, el emperador chino reinante ordenó quemar todos los libros. Hechos como este ponen freno a lo que pudiera haber sido un fructífero legado (Bo yer, 1999).

El sistema de numeración chino es esencial-mente decimal, aunque se utilizaron dos sistemas de notación distintos: uno con predominio del prin -cipio multiplicativo y otro con predominio del prin ci pio posicional.

El multiplicativo cuenta con símbolos distintos para representar los números del 1 al 10 y otros símbo-los para representar las sucesivas potencias de 10. El orden de escritura se hace fundamental, los símbolos en la posición par se multiplican por sus sucesores. El multiplicador uno no lo escribían.

FIGURA 10

SÍMBOLOS DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN EMINENTEMENTE MULTIPLICATIVO


28

Veamos un ejemplo:

FIGURA 11

NÚMERO 4.836 EN CHINO

El sistema de numeración chino con predominio del principio posicional se conoce como los “numerales con varillas”. En realidad, no eran solo símbolos, sino que los administradores o contables llevaban una bolsa con sus varillas de bambú para hacer sus cálculos. Eran muy hábiles en su manejo, y es aquí donde se encuen-tran los orígenes de los ábacos que se siguen utilizando hoy en día.

Utilizaban estos 18 símbolos de forma alterna de izquierda a derecha. La primera vez que aparece un sím-bolo para representar una posición vacía, esto es, el cero, es en el año 1247, usando un símbolo redondo para representar esa ausencia (Boyer, 1999).

FIGURA 12

NUMERALES CHINOS CON VARILLAS

4 · 1.000 + 8 · 100 + 3 · 10 + 6 = 4.836

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9


29

LOS ROMANOS

El sistema de numeración romano es bastante conocido actualmente, de hecho, forma parte de los contenidos del área de matemáticas en muchos currículos actuales. Se emplea habitualmente, por ejemplo, para hacer refe-rencia a los siglos, en capítulos de libros, en escenas de obras teatrales, etc. Usa letras mayúsculas a las que se ha asignado un valor numérico.

FIGURA 13

SÍMBOLOS DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1.000

Estos símbolos se clasifican en dos grupos; los sím-bolos primarios (I, X, C, M), que se pueden repetir hasta tres veces y los símbolos secundarios (D, L, V) que no se pueden repetir. Este sistema de numeración se articula en torno a las siguientes reglas:

• Una cifra a la izquierda de otra de mayor valor que ella se resta del valor, y si va a la derecha, se suma, pero teniendo en cuenta que la letra I solo se puede colocar a la izquierda de V o de X; la letra X solo se puede colocar a la izquierda de L o de C, y la letra C a la izquierda de D o de M.

• Los símbolos secundarios V, L, D no se pueden colocar a la izquierda para restar.


30

• Si colocamos una raya encima de las letras, se representa un valor 1000 veces mayor. Si se po -nen dos rayas, queda multiplicado por un millón.

FIGURA 14

NÚMERO 2.650 EN ROMANO

MMDCL = 1.000 + 1.000 + 500 + 100 + 50 = 2.650

LOS GRIEGOS

El mundo griego tuvo una gran trascendencia porque marcó un hito en la forma de conocimiento, ya que entre otras cosas, se crearon grandes escuelas de pensamiento. Sin embargo, sus logros en lo que a los sistemas de nume-ración se refieren no fueron muy trascendentes. Por otro lado, también está menos documentada la numeración griega; así, mientras hace más de mil años que aparecen las tablillas cuneiformes de los babilónicos y los papiros egipcios, en cambio, apenas tenemos referencias de pri-mera mano de los sistemas de numeración del pueblo griego.

FIGURA 15

SÍMBOLOS DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN GRIEGO

El sistema de numeración griego más antiguo fue el acrofónico, llamado así porque a excepción del símbolo para el 1, los demás procedían de la primera letra de

1 5 10 50 100 500 1.000 5.000 10.000


31

cada número en escritura arcaica. Sigue el principio aditivo, de base decimal. Los símbolos de 50, 500 y 5.000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1.000 al de 5, por tanto, también está usando el principio mul-tiplicativo.

Así, si queremos escribir el número 2.765 necesita-remos dos símbolos de 1.000, uno de 500, dos de 100, uno de 50, uno de 10 y uno de 5, como vemos en la figu-ra 16.

FIGURA 16

NÚMERO 2.765 EN GRIEGO

LOS MAYAS

Los mayas idearon un sistema de base 20 en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 202, 203…, según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe en vertical, empezando desde abajo por el orden de magni-tud menor. Tienen cero, representado por el caparazón de la tortuga.

Así, si queremos expresar el número 520, ten-dremos que colocar de abajo hacia arriba los sím-bolos correspondientes, como puede verse en la figura 18.

2.000 + 500 + 200 + 50 + 10 + 5 = 2.765


32

FIGURA 17

SÍMBOLOS DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN MAYA

FIGURA 18

NÚMERO 520 EN MAYA

SISTEMA DE NUMERACIÓN HINDÚ

El origen de nuestro sistema de numeración podemos encontrarlo en el sistema de numeración Brahmi de los hindús. Este sistema data del siglo III a. C.; contaba con un símbolo para cada número del 1 al 9 y símbolos espe-ciales para las decenas completas, esto es, 10, 20, 30…, 90, así como para el 100 y el 1.000, lo que lo hace un sistema parecido al griego. Era un sistema de numera-ción decimal, pero no posicional.

0 1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

15 16 17 18 19

1 · 202 = 400

6 · 201 = 120

0 · 200 = 0


33

FIGURA 19

SISTEMA DE NUMERACIÓN HINDÚ

Fuente: escuelapedia.com

Posteriormente, sobre el siglo IX, este sistema se simplificó considerablemente, quedando solo los símbolos hasta el 9 y otro símbolo más para el cero, convirtiéndose así en un sistema posicional de base diez. Es lo que conocemos como el sistema de nume-ración Nagari. Este sistema facilitaba enormemente tanto el cálculo como la escritura. Los matemáticos hindúes consiguieron, tras un largo proceso, tomar conciencia de la importancia del cero como ausencia de cantidad, como valor nulo y como el elemento que “guardaba el sitio” en la escritura de un número. Como decimos, esto fue un largo proceso en la histo-ria. Aunque los babilonios tuvieron esa idea de dejar un espacio, especialmente cuidado, para denotar la usencia de cantidad, esa idea no se mantuvo a lo largo del tiempo: hasta que fue nuevamente rescatada por los hindúes. El primer uso del cero, tal y como lo entendemos hoy día, se encuentra en una tablilla datada en el 876 (Stewart, 2008).


34

FIGURA 20

SISTEMA DE NUMERACIÓN NAGARI, SIGLO IX

Fuente: astillasderealidad.blogspot.co.uk

SISTEMA DE NUMERACIÓN ARÁBIGO

Los eruditos árabes empezaron a utilizar el sistema de numeración hindú, pero rápidamente su uso se fue extendiendo entre comerciantes, ya que era un sistema simple para la escritura de números. Podríamos decir que la universalización del sistema hindú dentro del mundo árabe vino de la mano de Al-Khwarizmi, en el 825, con su libro Algoritmi de numero indorum. Como curiosidad, podemos decir que la palabra algoritmo encuentra su origen precisamente en el nombre de este erudito árabe.

FIGURA 21

SISTEMA DE NUMERACIÓN ÁRABE

٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

El sistema de numeración indoarábigo se introduce en Europa en el siglo XI de la mano de Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, aunque hicieron falta algunos siglos para que este sistema de numeración se extendiera a toda Europa.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0


35

Otro hito importante en la historia de nuestro siste-ma de numeración decimal se encuentra en el holandés Simon Stevin, quien estudió la notación indoarábiga introducida en Europa por Fibonacci. Al parecer, encontró muy engorrosa la notación que usaban para las fracciones, en cambio le gustaba mucho la simpli-cidad de la notación usada por los babilónicos, aunque presentaba el inconveniente se ser en base sexagesi-mal, por lo que decidió combinar lo mejor de los dos sistemas: la simplicidad de la notación babilónica con la base 10 del sistema indoarábigo, es decir, inventó los números decimales.

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

Por último, en este breve recorrido por la historia, en la que por supuesto hemos ido obviando gran canti-dad de datos, llegamos a nuestro sistema de numera-ción de cimal.

Está formado por diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que se escriben en línea horizontal, sin dejar espacios. Cada posición, de derecha a izquierda, corresponde a una potencia entera de 10, partiendo del exponente 0.

FIGURA 22

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

24.578 = 2·104 + 4·103 + 5·102 + 7·101 + 8·100


36

Sus características principales son:

• Es de base diez, de ahí su nombre. Esto significa que diez unidades de un orden constituyen una unidad en el orden superior.

• Introduce y usa el cero. El cero indica ausencia de unidades en el lugar en que se encuentre, por tanto, en todos los sistemas posicionales se hace muy necesario.

• Es aditivo, porque el número equivale a la suma de las cifras (considerando el valor de la posición que ocupan).

• Es multiplicativo, porque cada cifra es un factor que multiplica a cada potencia de la base.

• Es posicional, porque el valor de cada cifra es relativo, depende del lugar que ocupe.

• Las cifras se colocan de derecha a izquierda en orden creciente de valor.


37

CAPÍTULO 2

ALGORITMOS DE CÁLCULO

¿Cuánto tiempo hace que no realiza una cuenta con lápiz y papel? Si el lector o lectora no está relacionado con el ámbito educativo o no tiene hijos e hijas en edades esco-lares, nos aventuraríamos a decir que probablemente mucho, mucho tiempo. Se nos vienen a la mente imáge-nes de nuestra infancia, cuando nos mandaban a comprar a la tienda de al lado de casa, y la tendera o el tendero tenía una increíble habilidad calculando el importe a pagar, simplemente deslizaba el bolígrafo sobre el papel de estraza en el que había ido apuntando el valor de los productos, y cuando llegaba abajo, anotaba la cifra corres-pondiente y repetía la operación con la columna de al lado. Sin duda entonces, el manejo de las cuatro opera-ciones básicas era fundamental para su trabajo.

Si nos trasladamos en el tiempo desde ese recuerdo a la actualidad y nos situamos en la tienda del barrio, si


38

todavía existe una tiendecita en el barrio, la situa-ción será bien distinta. El dependiente o dependien-ta tendrá un ordenador, con un lector de códigos de barras, nos dirá el importe a pagar casi en el mismo tiempo que nos lo decía el tendero o tendera de anta-ño, pero sin hacer una sola cuenta, es más, introduci-rá la cantidad de dinero que le damos para pagar y el programa de ordenador le dirá cuánto nos tiene que devolver.

Creemos que estaremos de acuerdo en que la vida ha cambiado mucho en el intervalo de tiempo de 30 o 35 años que puede separar ambas situaciones. Es evidente que las necesidades de la sociedad actual son muy dis-tintas de las de aquella época.

Si ahora hacemos ese viaje en el tiempo, en lugar de a la tienda, a la escuela, ¿qué creen que nos pode-mos encontrar? ¿Se percibirá ese avance? ¿Se estará enseñando de forma diferente a los niños y niñas de aquella época que a los de ahora? Sin lugar a dudas, en general, sí. Pero si nos remitimos al ámbito que aquí nos trae, podemos decir que ha habido pocos cambios. En lo que se refiere a la aritmética escolar, en la mayo-ría de las escuelas se sigue enseñando y aprendiendo las cuatro reglas de la misma manera que lo hicimos nosotros, nuestros padres y nuestros abuelos.

Sin duda, lo algoritmos de lápiz y papel surgen a partir de las necesidades de la especie humana en cada momento. Nos parece interesante hacer un breve reco-rrido a lo largo de la historia para conocer cómo apare-cen las diferentes formas de calcular en las distintas épocas y culturas.


39

EVOLUCIÓN HISTÓRICA DE LOS ALGORITMOS DE CÁLCULO

La palabra “cálculo” toma su origen en el latín calculus, que significaba contar con piedras. El origen del cálculo viene de la mano de la evolución de la especie humana. Encontramos prueba de ello en las distintas civilizacio-nes que han existido a lo largo de la historia. Las necesi-dades para el cálculo venían principalmente por el intercambio o lo que posteriormente serían las relacio-nes comerciales, por un lado, y por otro, de la necesidad de tener un calendario que les permitiera tener en cuenta las estaciones o las crecidas de los ríos para sus cultivos.

Por otro lado, como hemos mencionado anterior-mente, la palabra algoritmo es un legado de Al-Khwa -rizmi, un erudito árabe que recopiló gran parte del cono-cimiento griego e hindú para darlo a conocer al mundo árabe. Según el Diccionario de la Real Academia Española (DRAE, 2012) un algoritmo es un conjunto ordenado y finito de operaciones que permite hallar la solución de un problema. En su segunda acepción aparece método y notación en las distintas formas del cálculo.

Por tanto, cuando nos referimos a los algoritmos de cálculo, estamos hablando de métodos y notaciones establecidas tradicionalmente para realizar las cuatro operaciones básicas, esto es, la adición, la sustracción, la multiplicación y la división.

En contra de lo que pudiera pensarse, los algorit-mos de lápiz y papel no han evolucionado de una forma universal, en el sentido de que no en todos los países se


40

ha llegado a los mismos algoritmos escritos. Esta idea tiene que ver con la idea preconcebida sobre las mate-máticas como algo universal, independiente del idioma o la cultura, cuando realmente no es así. Podemos encontrar multitud de manifestaciones culturales den-tro de las matemáticas, de hecho, hay una disciplina que estudia estos fenómenos, la etnomatemática.

Son muchos y todos interesantes los métodos utiliza-dos a través de los tiempos y en las distintas culturas para realizar las diferentes operaciones algebraicas. Todos estos métodos han ido derivando hasta los algoritmos aprendidos en la escuela primaria en nuestra historia reciente. Veamos algunos casos a modo de ejemplos.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Fueron varias civilizaciones las que empezaron apoyan-do sus cálculos en elementos físicos como piedras, mar-cas, palillos, etc. Quizás uno de los elementos más cono-cidos y con un uso más amplio entre las distintas civilizaciones sea el ábaco, en sus diferentes versiones. Su nombre viene de la palabra griega abax o abakion, que significa tablero con tierra para calcular o dibujar. Con el tiempo fue evolucionando y la arena se sustituyó por marcas de líneas rectas que servían para guiar las bolitas que representaban a los números (Davis, 1989). Ejemplo de este tipo de ábaco es el romano, hecho de metal con ranuras por las que se movían las bolas (figura 23). Este ábaco, además, disponía de unos marcadores para las fracciones que eran en base 12 debido al sistema moneta-rio y de medidas de peso que tenían.


41

FIGURA 23

ÁBACO ROMANO

Los ábacos fueron evolucionando y las hendiduras fueron sustituidas por alambres a través de los cuales se podían mover las bolas engarzadas. Los modelos más conocidos actualmente son el ábaco chico llamado suan-phan y el japonés, soroban, aunque existen algunas dife-rencias entre ellos. El ábaco chino tiene 5 bolas abajo y dos arriba. En cambio, el ábaco japonés actual dispone de cuatro bolas abajo y una arriba.

Los primeros libros impresos sobre aritmética, en muchos casos, incluían tanto instrucciones para reali-zar los cálculos con el ábaco como para realizarlos por escrito, prueba de ello encontramos en 1522 con la publicación de Adam Riese de su libro Rechnung auff der Linien und Federn (Calculando con líneas y con lápiz) o el libro de Robert Recorde The Ground of Artes publica-do en 1540 (Struik, 1967).

Una debilidad que presenta el cálculo con el ábaco es que no deja constancia del proceso, ya que ca da paso borra al anterior. Aunque, sin duda alguna,


42

históricamente ha constituido una ayuda mecánica fun-damental para el cálculo hasta que fueron apareciendo otros métodos.

Hoy día vuelve a estar en auge el uso del ábaco de la mano de algunas iniciativas comerciales como la de Aloha Metal Arithmetic.

Si nos centramos en los algoritmos escritos para la suma y la sustracción, encontramos que el algoritmo para la adición es el que más similitudes presenta tanto en sus orígenes como en su evolución. En la mayoría de los países, los sumandos se disponen en forma vertical, respetando las posiciones de los distintos órdenes de magnitud. Las diferencias que encontramos suelen estar en el lugar que colocamos las “llevadas”, pero no afectan al concepto, ya que en todos los casos se refiere a un traspaso entre los diferentes órdenes de magnitud. Así, por ejemplo, en países como Reino Unido, se suele dejar una línea libre debajo de los sumandos para colo-car las que nos llevamos (figura 24 [b]). En cambio, en países como España, se suele colocar encima del primer sumando (figura 24 [a]).

FIGURA 24

ALGORITMOS ESCRITOS PARA LA ADICIÓN

1 1 1 1 7 3

+ 1 7 3 + 2 5 8

2 5 8 1 1 1

4 3 1 4 3 1

(a) (b)


43

En cambio, en la sustracción sí encontramos más diferencias. A simple vista, estas diferencias afectan solo al lugar donde hacemos las anotaciones parciales que necesitamos recordar durante el proceso, lo que antes hemos llamado “llevadas”, nombre que cambia de unos países a otros, incluso dentro de países que com-parten el mismo idioma. En la figura 25 vemos dos algo-ritmos distintos, el (a) es el usado más frecuentemente en países como España, aunque últimamente hay una tendencia a ir cambiando hacia el (b), pero no es una ten-dencia generalizada. En ese caso el proceso empieza de derecha a izquierda: se piensa “¿cuántas van de ocho hasta doce?”. “Cuatro”. Anoto y digo “me llevo una”, esa que me llevo la anoto al lado de la cifra siguiente del sus-traendo y pienso “cuatro y una, cinco. De cinco hasta trece, ocho. Y me llevo una”. Anoto la que me he llevado y voy repitiendo el proceso.

Se puede observar que es un proceso con cierta abs-tracción, porque no contamos qué está pasando en rea-lidad, de ahí los problemas que conlleva introducirlo en la escuela. Crea mucha confusión entre los niños y niñas porque no entienden qué está pasando ahí.

En cambio, en el caso (b) de la figura 25 las anota-ciones parciales van en consonancia con lo que está pasando realmente. Este algoritmo se usa, por ejemplo, en Estados Unidos o Reino Unido. Se empieza de dere-cha a izquierda, pensamos: “Como a dos no le puedo quitar ocho, tomo una decena, que son diez unidades”. Entonces, tachamos las tres decenas que teníamos y anotamos las que nos quedan después de coger una. “Ahora tengo doce unidades: doce menos ocho me da


44

cuatro”. Anoto y continúo con el proceso. “Como a dos decenas no le puedo quitar cuatro decenas, tomo una centena”. Tacho las centenas que tengo y anoto las que me quedan después de tomar una. “Ahora tengo doce decenas: doce menos cuatro son ocho”. Y seguiríamos con el proceso hasta terminar la operación. Como deci-mos, en este caso sí que se está viendo lo que se va haciendo.

FIGURA 25

RESTAS CON LLEVADAS

4 2 8

+ 5 3 2 + 5 13 12

11 41 8 1 4 8

3 8 4 3 8 4

(a) (b)

¿Pero acaso no existen otras alternativas algorít-micas para la adición y la sustracción? Claro que sí. Por ejemplo, una de ellas, en el caso de la sustrac-ción, podría ser la denominada resta con nueves, que sirvió para darnos respuesta al caso respuesta al caso que le presentó una docente y estudiante de último curso de Psicopedagogía relativo a una niña con Síndrome de Down que había ido prosperando con la suma con llevada y la resta sin llevada, pero le resul-taba imposible comprender el procedimiento de la resta con llevada, algo con lo que también suelen tener dificultades muchos niños y niñas. Veamos este pro-cedimiento:


45

Para restar

A-B, si A tiene, por ejemplo, 3 cifras, realizamos 999-B (una resta siempre sencilla), al resultado

le sumamos A, y de este último resultado quitamos el 1 del inicio y lo sumamos al final. Por

ejemplo: para hacer 745-367, restamos 999-367 = 632, sumamos 745+632 = 1.377, quitamos el

1 del inicio, queda 377 y sumamos el 1, por lo que queda 378 (que es, efectivamente, el resultado

de 745-367).

FIGURA 26

RESTAS CON NUEVE

7 4 5 9 9 9 7 4 5

– 3 6 7 – 3 6 7 → + 6 3 2

3 7 8 6 3 2 1 3 7 7 → 377 + 1 = 378

¿Magia? Por supuesto que no, simplemente este procedimiento se basa en lo siguiente:

A - B = A + 999 - B - 999 = A + 999 - B - 1.000 + 1

Pero la cuestión está en que tanto el procedimiento usual como este otro pueden servirnos para realizar res-tas con llevada, pero carecen de significado para los niños y niñas.

MULTIPLICACIÓN

Como ejemplos de singular belleza, expondremos tres procedimientos para realizar la multiplicación: la mul-tiplicación con los dedos, de origen turco, la rusa y la árabe.


46

Multiplicación con los dedos

El uso de los dedos para representar números en las distintas civilizaciones generó formas de cálculo que iban desde su uso para un simple conteo, adición o sus-tracción, hasta la multiplicación. Muchos de estos méto-dos convivieron durante la Edad Media, perdurando alguno de ellos hasta nuestros días. Es el caso de la mul-tiplicación de dos números de una cifra mayores que 5. Merece la pena detenerse un poco en él porque puede resultar de gran utilidad cuando se aprenden las tablas de multiplicar.

Si tuviéramos la buena costumbre de aprendernos las tablas con los productos conmutativos, para cuando nos hubiésemos aprendido las más fáciles (esto es, la del 2, 3, 4, 5 y 10), nos quedarían muy pocos productos por aprendernos.

FIGURA 27

TABLA DE MULTIPLICAR INCOMPLETA

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 60

7 7 14 21 28 35 70

8 8 16 24 32 40 80

9 9 18 27 36 45 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


47

Es en esos productos donde la multiplicación con los dedos nos puede ayudar. Los números del 6 al 9 se representan como vemos en la figura 28. En realidad, la multiplicación también funcionaría para la tabla del 10, pero no tiene mucho sentido, dado que esta tabla es muy fácil de recordar.

FIGURA 28

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS CON LOS DEDOS

Entonces, si queremos saber, por ejemplo, el resul-tado del producto 7·8 tendríamos que levantar los dedos de la siguiente forma:

FIGURA 29

REPRESENTACIÓN DEL PRODUCTO 7·8

De manera que el resultado dependerá de la canti-dad de dedos extendidos o contraídos. Los que están extendidos son las decenas del resultado y el producto de los contraídos serán las unidades del resultado (figu-ra 30), es decir, 2+3 son 5 decenas y 3·2 son 6 unidades, por tanto, 7·8=56.

6 7 8 9


48

FIGURA 30

REPRESENTACIÓN DEL PRODUCTO 7·8 CON LA INTERPRETACIÓN DEL VALOR DE LOS DEDOS

Podrá imaginar que en este caso tampoco se trata de arte de magia, sino que tiene su justificación matemáti-ca. Veámosla:

Sean x,z ∈ {6,7,8,9,10}, queremos hallar el producto x·z.

Representamos el número en la otra mano, de forma que los dedos que tendremos extendidos en cada mano vendrán dados por:

(x-5) y (z-5)

Como los dedos contraídos son todos los dedos de la mano menos los que están extendidos, podremos repre-sentarlos por:

5-(x-5)=10-x

5-(z-5)=10-z

Hemos dicho que el producto de ambos números debe ser igual a la suma de los dedos extendidos (multi-plicado por 10 porque cada dedo representa una


49

decena) más la multiplicación de los dedos contraídos, lo expresamos en una ecuación:

x·z = 10x + 10z - 100 + 100 - 10z - 10x + x·zx·z = x·z

x·z = 10 · (x – 5) + (z – 5) + (10 – X) · (10 – z)

(Suma de dedos extendidos multiplicada por 10)

Producto de dedos contraídos

Hemos demostrado matemáticamente el funciona-miento de la multiplicación con los dedos.

Multiplicación rusa o campesina

En la civilización egipcia, tenemos evidencias de la existencia de métodos de multiplicación basados en la repetición de dobles seguida de la suma convenien-te de algunos términos. En la época medieval, en Europa, se usaba el método de dobles y mitades, que se conoce como multiplicación rusa o campesina por-que en Rusia lo estuvieron usando hasta el final de la Primera Guerra Mundial. El método consistía en lo siguiente: para multiplicar números grandes, calcula-ban el doble y la mitad del multiplicando y multiplica-dor hasta llegar a la unidad. Como ejemplo, multipli-quemos 127·352. Como podemos observar en la figura 31, en la columna de la izquierda vamos multiplicando por dos, mientras que en la derecha vamos dividiendo por dos, sucesivamente. Cuando nos encontramos a la derecha un número impar, que impediría la continua-ción del proceso, le restamos una unidad, y señalamos el número que está a su izquierda con un asterisco.


50

FIGURA 31

TABLA DE DOBLES Y MITAD PARA LA MULTIPLICACIÓN RUSA

DOBLE MITAD

254 176

508 88

1.016 44

2.032 22

4.064* 11-1=10

8.128* 5-1=4

16.256 2

32.512* 1

Para conseguir el producto de los dos números, basta sumar los números marcados con un asterisco. En efecto:

127 · 352 = 4.064 + 8.128 + 32.512 = 44.704

Vemos que para este tipo de multiplicación no es necesario saberse las tablas de multiplicar. Aunque puede hacerse un poco largo para cantidades muy grandes.

Multiplicación árabe o de celosía

Esta multiplicación ya era utilizada por el matemático Persa Al-Karaji, que describía el método en su libro Kafi fil Hisab, escrito en 1010. Posteriormente, fue introdu-cida en Europa por la Aritmética de Treviso en 1478 (Seaquist, Seshaiyer y Crowley, 2005).


51

El método consiste en disponer el multiplicando y el multiplicador arriba y a la derecha de una tabla, como puede verse en la figura 32, esto es, arriba de izquierda a derecha; y a la derecha, de arriba hacia abajo.

FIGURA 32

MULTIPLICACIÓN ÁRABE DE 345 · 467

3 4 5

1 1 24

1 2 6 0

1 2 36

6 8 4 0

2 2 37

1 1 8 5

1 1 5

Construimos una tabla de doble entrada dispo-niendo los productos de dos cifras de la siguiente manera: la cifra de las decenas arriba y las de las unidades abajo. Por último, se suman las cifras que están en la misma diagonal. Como puede verse, no es más que una elegante presentación de nuestro méto-do tradicional.

ALGORITMO DE LA MULTIPLICACIÓN

Al igual que ocurría con la suma, en el algoritmo de la multiplicación actual no encontramos diferencias importantes de unos países a otros, aunque sí distin-tos tipos de presentación. Así, por ejemplo, en la mayoría de los países, multiplicando y multiplicador


52

se colocan uno debajo del otro. Se empieza la multi-plicación de derecha a izquierda.

FIGURA 33

ALGORITMO DE LA MULTIPLICACIÓN EXTENDIDO

4 3 5

x 2 6

2 6 1 0

8 7 0 7

1 1 3 1 0

Sin embargo, los niños y niñas alemanes aprenden la multiplicación por números de varias cifras de la siguiente manera:

FIGURA 34

ALGORITMO DE LA MULTIPLICACIÓN EN ALEMANIA

4 3 5 · 2 6

8 7 0 6

2 6 1 0

1 1 3 1 0

Es decir, para multiplicar 435 por 26 comienzan multiplicando 435 por 2 y colocan la última cifra del resultado debajo del 2. Luego multiplican 435 por 6 y colocan la última cifra del resultado bajo el 6. Finalmente suman los resultados de los dos produc-tos parciales.


53

La cuestión de fondo radica en la falta de significado que para los niños y niñas tiene uno y otro procedi-miento. Tanto en el algoritmo estándar de la multiplica-ción que usamos en España como en el que usan en Alemania trabajan con cifras, no con cantidades. Una persona que primero multiplica no les hace falta la memoria ni ninguna colocación aprendida para llegar al resultado correcto.

Una consecuencia clara de este abuso de la sistema-tización aprendida son los frecuentes errores de los escolares en las multiplicaciones por números que con-tienen ceros intermedios o al final, ya que con frecuen-cia en estos casos particulares suelen olvidar las “reglas del juego”.

DIVISIÓN

Los diferentes procedimientos llevados a cabo para la realización de la división a lo largo de la historia han estado influenciados, al igual que en las otras operacio-nes, por las limitaciones derivadas de los sistemas de numeración y de los recursos usados.

Los babilónicos, por ejemplo, hacían divisiones y multiplicaciones apoyándose en el uso de tablas que habían creado previamente como sumas reiteradas. Estas tablas contenían una lista de múltiplos de un número que se denominaba valor principal. Se han encontrado tablas de diferentes números naturales, así como tablas cuyo valor principal puede sorpren-der en un principio, como es el caso de 44, 26, 40(60), 3, 45(60) o 7, 30(60). Estos valores se correspondían con


54

los inversos de números comunes, pero teniendo en cuenta que estamos en una base sexagesimal. De forma que la operación de dividir 54 entre 8 primero implicaba la búsqueda del inverso de 8 en la tablilla de inversos, esto es, 7, 30(60). Y luego la multiplicación de 54 por 7, 30(60) usando la tabla de valor principal 7, 30(60). Evidentemente, este método tenía sus limitaciones, porque no tenían infi-nitas tablillas. Pero sin duda, los babilónicos consiguieron grandes avances en cálculo, teniendo en cuenta la época y lo limitado de su sistema de numeración.

El método más usado para la división hasta el siglo XVII era un método de origen hindú conocido como el método del tachado o división por galera, debido a que la forma general que queda tras realizar la operación se asemeja a la de un barco.

FIGURA 35

DIVISIÓN POR GALERA

Fuente: Adaptada del manuscrito encontrado en China escrito por Lam

Lay Yong.

En 1491, aparece por primera vez el algoritmo de la división larga que conocemos actualmente, salvo algu-nas variantes, en un libro de aritmética de Calandri


55

(Davis, 1989). Para el siglo XVII ya está muy extendido y la división por galera casi es inexistente en ese momento.

El formato del algoritmo de la división que se usa actualmente difiere ligeramente de unos sitios a otros.

FIGURA 36

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

8 8 5 6 4 3 2 2 7 6 7

2 4 5 2 7 6 7 3 2 8 8 5 6 4

2 1 6 – 6 4

2 4 4 2 4 5

2 0 – 2 2 4

2 1 6

– 1 9 2

2 4 4

– 2 2 4

2 0

(a) (b)

En la figura 36 (a) se muestra el formato usado en España. En la (b) se muestra el usado en Estados Unidos y en Reino Unido, aunque en este último con una ligera diferencia en la forma de la caja, que en el lateral es curva. Al contrario de los algoritmos de la adición, sustracción y multiplicación, se empieza de izquierda a derecha. Para ejecutarlo, es necesario dominar la multiplicación y la sustracción, además del propio algoritmo. El algoritmo (b) es un formato más extendido, puesto que se muestran todas las sustrac-ciones, y cada multiplicación y cada resta ocupa una


56

línea, lo que lo hace más extenso y más transparente para los que se inician en él. En cambio, el formato abreviado del (a) hace que sea más complicado, y requiere de más concentración en todo el proceso por-que hay que ir haciendo la multiplicación y la sustrac-ción al mismo tiempo.

Una vez que hemos hecho este breve repaso por la evolución de los algoritmos nos adentraremos en su tratamiento en la escuela.

ARITMÉTICA ESCOLAR

Bernardo Gómez (1998) habla del “hoy” de los algo-ritmos; tenga en cuenta el lector que ese “hoy” hace referencia a finales del siglo XX como el final de una etapa, el final de los algoritmos de lápiz y papel en la escuela, haciendo referencia a un informe publicado en el año 1983 (Romberg y Stewart, 1984) en el que se manifiesta la obsolescencia de la enseñanza de las divi-siones largas en la escuela tras la irrupción de las calcu-ladoras. Se decía en ese informe que, si dejáramos de enseñar en la escuela esas divisiones, ganaríamos entre 3 y 12 meses para dedicarlo a otras cosas.

Es en esa época cuando empiezan a alzarse las primeras voces dentro de la investigación en Educación Matemática cuestionando la conveniencia de seguir enseñando en las cuatro reglas tal y como se vienen enseñando en las escuelas. Así lo reflejan, por ejemplo, Plunkett (1979) o el informe Cockcroft (1985). Maier (1987) habla de “supervivencia escolar”,


57

refiriéndose a que los estudiantes siguen aprendien-do todavía a hacer esas cuentas tan larguísimas no porque sean importantes desde el punto de vista del aprendizaje matemático ni por su aplicación a la vida real, sino porque lo necesitan para poder superar la materia de matemáticas.

Sin embargo, hoy día ningún docente ni ningún investigador con sentido educativo puede pretender borrar de un plumazo las cuentas de la escuela. Más bien, pensamos que ha llegado el momento de afron-tar el aprendizaje de la aritmética en general y del cálculo en particular de forma más significativa y útil desde el punto de vista de la competencia matemáti-ca que entendemos que deben desarrollar los ciuda-danos del siglo XXI. Como hemos mencionado al principio del capítulo, para nuestro día a día, no necesitamos ir haciendo cuentas con lápiz y papel, pero sí que sería muy conveniente que tuviéramos desarrollada la habilidad de la estimación, que pudiéramos discernir rápidamente en el supermer-cado qué es más conveniente, si la oferta del 3x2 o un descuento del 20%. Esto se facilitaría si en la escue-la trabajáramos de forma que estuviéramos desarro-llando nuestro sentido numérico, algo que abordare-mos en el próximo capítulo con más destalle.

En definitiva, desde aquellos primeros autores que empezaron a demandar un tratamiento de la aritmética escolar diferente hasta nuestros días, han pasado 40 años, y la realidad de la escuela es la misma en ese sentido. ¿Por qué tanta resistencia al cambio?


58

RESISTENCIAS AL CAMBIO

La resistencia al cambio es un rasgo característico de nuestra escuela, y podríamos aventurarnos a decir que es una cualidad bastante extendida en la mayoría de los países. El campo de la educación, en general, es mucho más reacio a incorporar avances que otros campos. En el ámbito de la medicina, por ejemplo, esto sería impen-sable. La sociedad no se conforma, si hay tratamientos para enfermedades más efectivos o técnicas de inter-vención menos invasivas o con más posibilidades de éxito, queremos que se apliquen de inmediato en nuestros hospitales. Sin embargo, en educación no vemos esa reacción por parte de la sociedad, es más, en muchos casos, parece que nos encontramos una barrera ante el cambio cuando explicamos a las fami-lias que vamos a hacer alguna alteración metodológica en lo referente al cálculo. Siempre hay quien se opone, con el argumento: “Si a mí me enseñaron así ¿por qué cambiar ahora?”. Socialmente, está aceptado que no to -dos “valemos” para las matemáticas, por tanto, no se ve la necesidad de promover un cambio solo por el hecho de que no todos conseguimos buenos resulta-dos en la materia tal y como se está enseñando actual-mente. Incluso dentro del mismo claustro, encontra-mos reticencias a este cambio, fundadas en ese mismo argumento: “Si siempre lo hemos hecho así, para qué cambiar ahora”.

Otra barrera para el cambio que enlaza con la ante-rior es que, cuando llegamos a ser docentes, hay una tendencia natural a reproducir los patrones que hemos


59

vivido como estudiantes. Si en esa transición de estu-diante a docente no hay nada que rompa esa inercia, la mayoría caemos en el círculo vicioso. No todas las per-sonas tenemos el empuje o la iniciativa para romper con esa dinámica. En la mayoría de los casos suele haber un detonante, quizás un profesor o profesora que te hizo cuestionarte el modelo de enseñanza, quizás ese niño o niña de tu grupo con el que no funciona lo que estás haciendo, etc.

Lo ideal sería que cuando se viese la necesidad de afrontar un cambio, la Administración dotara a los docentes con las herramientas y la formación necesaria para llevarlo a cabo con garantías de éxito. Esta falta de iniciativas o de recursos suele ser otro motivo que no favorece el cambio de metodología. Aunque en lo relati-vo a la aritmética escolar, se están consiguiendo avances en este sentido porque ya podemos encontrar en el mercado materiales, libros de texto y guías didácticas con otras formas de acometer este contenido en el aula.

A pesar de este panorama, no dejan de surgir ini-ciativas con mayor o menor calado, tanto en el ámbito internacional como en el nacional. Así, por ejemplo, encontramos iniciativas como las Matemáticas Realistas de la escuela holandesa, auspiciadas por el Instituto Freudenthal. Esta corriente parte de unos principios muy básicos, como son el principio de acti-vidad, que considera a las matemáticas como una acti-vidad humana, por tanto, accesible para todos. O el principio de realidad, que parte de un “hacer mate-máticas” en contextos reales, como un acto social, no individual, ya que la interacción es una fuente de


60

reflexión necesaria para ir dando sentido a las mate-máticas. Otro de los principios fundamentales de esta corriente es el de la interconexión: debemos poner de manifiesto que las matemáticas no son una rama ais-lada del conocimiento. Pero para llegar a esa cone-xión, tenemos que conocer y aprender “con sentido”.

A nivel nacional, se están desarrollando iniciativas muy interesantes en el uso de algoritmos transparentes, es decir, el uso de procedimientos de resolución que nos dejen ver qué está pasando con los números con los que estamos operando. En esto nos centraremos en el siguiente capítulo.

Todas estas iniciativas tienen en común una serie de características:

• Se basan en el conocimiento profundo del siste-ma de numeración decimal.

• En todo momento se trabaja con números y no con cifras.

• Se utilizan de manera provechosa las propiedades de los números y las operaciones.

• Los cálculos se realizan de forma variada, por lo que se adaptan a la diversidad del alumnado.


61

CAPÍTULO 3

ALGORITMOS TRANSPARENTES. CÁLCULO PENSADO

El pensamiento constituye una actividad fundamental del ser humano. El psicólogo Richard Skemp (1989) estableció una distinción entre las modalidades de pen-samiento involucradas en la actividad matemática, afir-mando que se pueden desarrollar dos tipos de pensa-miento no excluyentes entre sí: el pensamiento instrumental y el pensamiento relacional. Poseer un pen-samiento instrumental en matemáticas implica que conocemos los procedimientos para obtener la solución correcta a la cuestión planteada, pero conocemos muy poco sobre estos procedimientos. La más mínima varia-ción o cualquier error en ellos hará que nos perdamos. No tenemos autonomía para construir otros caminos hacia la solución, conocemos las reglas, pero no la razón de ellas. En cambio, poseer un conocimiento relacional implica poseer un mapa cognitivo relevante en relación


62

con las matemáticas, de forma que nos permita tomar distintos caminos hasta llegar a la solución. Ambos pen-samientos son muy convenientes. El problema es que tradicionalmente la aritmética ha estado muy asociada exclusivamente a ese pensamiento instrumental.

El objetivo principal de la aritmética debería ser que la persona conozca en profundidad el sistema de numeración decimal y las operaciones con los números, así como sus propiedades, de forma que pueda aplicar-las de manera conveniente al cálculo; es decir, lo que se pretende es que el alumnado que posea un pensamiento relacional, o dicho de otro modo, que desarrolle un apropiado sentido numérico. Este término no es algo nuevo, en el campo de la investigación en Educación Matemática, se viene hablando de él desde hace más de 40 años. Aunque en todo este tiempo no se ha consegui-do una definición consensuada del mismo, en la mayo-ría de los casos los autores aportan características de lo que implica tener desarrollado un buen sentido numé-rico, más que una definición propiamente dicha.

Sowder (1992) afirma que el sentido numérico se desarrolla cuando los estudiantes comprenden hechos como el tamaño de los números, cuando son capaces de representarlos de distintas formas y pensar sobre ellos. O cuando son capaces de utilizar los números como referentes, haciendo predicciones acertadas sobre el efecto de las operaciones en ellos.

McIntosh, Reys y Reys (1992), autores de referencia en este campo, definen el sentido numérico como una comprensión amplia que la persona tiene sobre los números y las operaciones, junto con la habilidad para


63

usar esta comprensión en formas flexibles para hacer juicios matemáticos y para desarrollar estrategias pro-pias para manejar los números y sus operaciones.

Con esta idea general sobre lo que implica tener desarrollado el sentido numérico, estamos en condicio-nes de reflexionar sobre la forma en que hemos trabaja-do la aritmética escolar, es decir, sobre cómo hemos aprendido los números y sus operaciones. ¿Piensa el lector o lectora que con la instrucción recibida en este campo ha conseguido un apropiado desarrollo de su sentido numérico?

Probablemente obtendremos respuestas muy varia-das, principalmente porque los actos de aprender y enseñar son tan complejos y están tan influenciados por multitud de factores que es muy complicado separar las distintas componentes. Es por ello que nuestro desa-rrollo del sentido numérico no está determinado de forma unívoca por la instrucción recibida en la escuela. Entran en juego otros condicionantes, como los apren-dizajes informales, la motivación intrínseca de la perso-na, el contexto familiar, etc. Pero, sin duda alguna, la forma en que trabajamos las matemáticas en la escuela tiene un peso importante en el desarrollo del sentido numérico.

Prueba de ello es que los referentes universales sobre educación matemática y los marcos normativos actuales de los países desarrollados inciden en la impor-tancia de fomentar el desarrollo del sentido numérico con un enfoque orientado hacia el desarrollo de la com-petencia matemática. Así, por ejemplo, en los Principios y Estándares para la Educación Matemática, elaborados


64

por el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2003: 34) se establece que:

Los programas de enseñanza de todas las etapas deberían capacitar a los estudiantes para:

• comprender los números, las diferentes formas de representarlos, las relaciones entre ellos y los conjuntos numéricos;

• comprender los significados de las operaciones y cómo se relacionan unas con otras;

• calcular con fluidez y hacer estimaciones razo -nables.

En otros países, como Holanda, se centraron en analizar cómo y qué enseñar en matemáticas, así die-ron un giro a la enseñanza de las matemáticas y se pasó a un modelo de formación activa basado en el aprendi-zaje realístico. Este enfoque de enseñanza utiliza situa-ciones cotidianas como contexto de aprendizaje mate-mático y aprovecha al máximo las interacciones en el aula dando un papel protagonista al propio estudiante en la construcción de su conocimiento matemático.

En otros muchos currículos, se recoge esa misma preocupación por el desarrollo del sentido numérico de los aprendices. Pero, por lo que hemos visto hasta ahora, parece que ese fin último de la aritmética escolar no es fácil de conseguir con el trabajo repe-titivo que suelen acarrear los algoritmos tradiciona-les. Dedicamos horas y horas en la escuela a enseñar los algoritmos, y luego, cuando damos el paso a la resolución de problemas, nuestro alumnado fracasa


65

estrepitosamente: ¿qué ocurre? ¿Por qué se crea ese abismo entre la ejercitación de los algoritmos y la resolución de problemas?

Una de las causas de esa falta de transferencia del algoritmo a la resolución de problemas está en que, en muchos casos, cuando introducimos los algoritmos nos olvidamos de los conceptos, enseñamos a los niños y niñas a hacer una división, por ejemplo, pero probable-mente nunca hayamos trabajado con ellos los repartos de forma significativa.

Otra de las causas puede estar en la práctica, cada vez más habitual, de muchos sistemas educativos de for-malizar los aprendizajes a edades muy tempranas. Cada vez queremos que nuestro alumnado empiece a leer, escribir y a hacer cuentas antes, cuando eso resulta ser un proceso muy forzado para algunos niños y niñas debido a que los diferentes niveles de maduración a estas edades son muy patentes. Y, para más inri, lo hacemos saltándonos la experimentación como fase fundamental en cualquier aprendizaje.

Greeno (1991) usa la metáfora del medioambien-te, afirmando que no podemos aprender de un entorno sin vivirlo. Por mucho que hayamos leído sobre un país, sus habitantes y su cultura, no lo conoceremos realmente hasta que no lo hayamos vivido. Lo mismo ocurre con el aprendizaje matemá-tico, el aprendiz debe vivenciarlo, debe reflexionar, establecer sus propias certezas sobre las que funda-mentar su conocimiento. Si hablamos del cálculo, el aprendiz debería haber experimentado las acciones bá -sicas correspondientes con las cuatro operaciones


66

elementales, esto es, juntar o agregar, separar, repartir y reiterar (Castro, Rico y Castro, 1987).

Para conseguir esas vivencias y el dominio flexi-ble del que hemos hablado antes, es necesario des-vincular el aprendizaje de la operación del aprendi-zaje del algoritmo. Es ahí donde empieza a tomar un papel relevante el que denominamos cálculo flexi-ble. A través de diferentes algoritmos transparentes, que podemos definir como aquellos algoritmos o procedimientos que dejan ver qué estamos haciendo con los números en una determinada operación.

A modo de ejemplo, vamos a adentrarnos en varios algoritmos transparentes que se basan en el cálculo reflexivo escrito, como son la aritmética mental, los algoritmos abiertos basados en números (ABN) y el cálculo táctico. Todos ellos llevan de la mano el desarrollo del cálculo mental no como una habilidad a trabajar aparte, sino como parte intrínseca de este cálculo reflexivo.

ARITMÉTICA MENTAL

Dentro de la corriente de las Matemáticas Realistas surge la aritmética mental, entendida como un cálculo diestro y flexible basado en las relaciones numéricas conocidas y en las características de los números (Buys, 2008). Como vemos, tiene mucho que ver con la defini-ción de sentido numérico que hemos dado.

La aritmética mental se diferencia del cálculo algo-rítmico tradicional por la flexibilidad con la que se


67

realizan las operaciones. Para adquirir un desarrollo adecuado de las habilidades necesarias para la aritméti-ca mental, se debe seguir un proceso que parte con la exploración de los números hasta el 100. Es muy impor-tante que los niños y niñas entiendan bien los patrones de diez dentro del conjunto de números. Posterior -men te, el trabajo se centra en la estrategia de encade -nación, para pasar a la estrategia de rompimiento y terminar con la estrategia de variación.

Estas estrategias van aumentando en grado de complejidad, no son excluyentes entre sí, sino integra-doras, cada estrategia incluye a la anterior para ir con-formando un repertorio cada vez más amplio.

La ejecución de estas estrategias se hará por niveles. Al principio estarán sustentados en el uso de modelos como la recta numérica o el dinero. De ahí se pasa a un nivel intermedio basado en el lenguaje matemático, para terminar en un proceso mental únicamente.

Vamos a verlo más claro usando algunos ejemplos para cada una de las operaciones básicas.


Parten de contextos realistas para trabajar la adición como “añadir a” y “juntar”, y la sustracción como “lle-varse o quitar” y “diferencia”. Para sumar o restar usan tres estrategias principalmente:

• Encadenamiento: Implica dejar uno de los núme-ros intacto y descomponer el otro, de forma que los componentes del segundo número son


68

añadidos o sustraídos del primero uno a uno. Veamos cómo podríamos hacer 57+34:

57 + 30 = 8787 + 3 = 9090 + 1 = 91 ⇒ 57 + 34 = 91

• Rompimiento: Se trata de descomponer ambos su -mandos para sumarlos de forma conveniente. Esta estrategia se suele usar sobre todo para la suma, no para la resta. Seguimos con el mismo ejemplo an terior:

50 + 30 = 807 + 4 = 1180 + 11 = 91 ⇒ 57 + 34 = 91

• Variación: Incluye todos los procesos que conlleva el uso de hechos numéricos ya establecidos, rela-ciones entre números y propiedades de las ope-raciones. Podríamos hacer, por ejemplo, compen sación:

60 + 34 = 9494 - 3 = 91 ⇒ 57 + 34 = 91

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

Con esta metodología, la memorización de las tablas de multiplicar no es el fundamento para introducir estas operaciones, sino que hay un extenso trabajo previo para formar conceptos. Después de esta fase previa se pasa al aprendizaje de las tablas, pero de una forma


69

diferente a como estamos acostumbrados: se pone especial atención en trabajar las diferentes propieda-des de las operaciones, como la conmutatividad o la propiedad distributiva. Así, un producto tan simple como 6·9 se puede ver como:

6 · 9 = 3 · 9 + 3 · 9 = 3 · 18 = 3 · 10 + 3 · 8 = ...

El concepto de la división se suele empezar a traba-jar como una sustracción repetida, posteriormente se trabaja el reparto de cantidades y después, de una forma bastante natural, se empieza a ver como el inverso de la multiplicación.

Esta operación conlleva una dificultad mayor que la multiplicación: mientras que en esta última no existen números para los que no se pueda ejecutar una multiplicación, en la división encontramos números naturales que no podemos dividir en partes iguales, de forma que este condicionante se debe tener muy en cuenta en el manejo de los contextos en los que traba-jamos.

Tanto en la multiplicación como en la división tam-bién se pretende llegar a estrategias de variación del tipo:

230 : 5

200 : 5 = 40 porque 5 · 40 son 200

30 : 5 = 6 porque 6 · 5 son 30

230 : 5 = 46

Cuando se trabaja con números más grandes que sean más difíciles de manejar mentalmente, también se


70

introducen algoritmos por columnas, pero desde que en el sistema educativo holandés se trabaja con el enfoque de las Matemáticas Realistas, se ha retrasado su introducción en la escuela hasta cuarto curso de educación primaria. Es decir, se establecen previa-mente las bases de la aritmética escolar basándose en un conocimiento profundo del sistema de numera-ción, de las operaciones y de las propiedades de los números y las operaciones. Cuando estas bases están establecidas, es cuando se introducen los algoritmos por columnas.

ALGORITMOS ABIERTOS BASADOS EN NÚMEROS (ABN)

Los algoritmos ABN nacen en Cádiz, de la mano de un maestro e inspector de Educación, Jaime Martínez Montero. El primer año que se pusieron en práctica en un colegio fue en 2008, aunque detrás ya había un largo trabajo de su creador en la renovación del cálcu-lo y en la resolución de problemas aritméticos. Fruto de este trabajo son los diferentes libros y artículos que tiene publicados.

En los ochos años que han pasado desde esa prime-ra vez, los algoritmos han tenido una enorme expan-sión, son numerosos los centros en toda España que han optado por dar un cambio en lo relativo a la arit-mética escolar. También están teniendo calado fuera de nuestras fronteras, en países como México, Argentina, Co lombia o Chile.


71

Es un método que ha bebido de las fuentes holande-sas que hemos mencionado en el apartado anterior. En sus raíces también encontramos características del modelo de aprendizaje constructivista.

Las características principales de estos algoritmos son:

• Se trabaja con números y no con cifras, lo que permite enlazar más fácilmente con los procesos intuitivos que se desarrollan a edades tempranas.

• Son abiertos porque cada niño o niña puede escoger cómo desarrollarlos, en función de su nivel cognitivo.

• Hay un tratamiento contextualizado de los núme-ros y las operaciones. No se hacen cuentas por hacer, sino que siempre se hacen bajo un contex-to, que en muchos casos es creado por los propios niños y niñas.

• Los procesos de cálculo van acompañados del relato verbal de cómo afecta a la situación proble-mática de partida lo que hacemos con los nú -meros.

En palabras de su creador, los resultados obtenidos con el uso de los algoritmos ABN suponen un horizonte esperanzador para que:

[…] las matemáticas dejen de ser la vara de medir inteligencias o el estrecho paso que se utiliza para seleccionar a unos alumnos y discriminar a los demás para convertirse en lo que siempre han debido ser: una poderosa herramienta de desarrollo intelectual en


72

los niños y niñas, una pieza fundamental en la construcción de su pensamiento lógico y crítico (Martínez, 2011: 108).

Veamos detenidamente cada una de las operaciones para hacernos una idea general de lo que suponen estos algoritmos (Martínez, 2010).

SUMA

La operación de adición se trabaja asociada a la acción de agregar o juntar. Cuando uno de los sumandos lo hemos agregado completamente al otro sumando, obtenemos el resultado de la suma. El elemento más característico de esos algoritmos, desde el punto de vista del formato, es que todo el proceso se va registrando en una tabla o rejilla como la que vemos en la figura 37 (aunque la segunda fila, que aparece en gris, no se suele poner, pero en este caso la ponemos para facilitar la comprensión del algoritmo). En la primera columna registramos la cantidad que vamos moviendo de un sumando a otro. En el resto de columnas se registra cómo quedan ambos sumandos tras mover esa cantidad. El proceso habrá terminado cuando hayamos juntado las dos cantidades en una.

FIGURA 37

SUMA CON ABN

158+263

Muevo 158 263

100 58 363

7 51 370

51 0 421


73

Cada persona puede mover las cantidades como crea conveniente en función de su nivel cognitivo. En este caso hemos movido primero una centena, luego hemos movido algunas unidades y, en el último paso, como tenemos una decena completa en la últi-ma columna, nos hemos atrevido a mover todo lo que nos queda. Pero, puede que otra persona haya movi-do las cantidades de otra forma, por ejemplo en dos pasos: 30 primero y luego 21. En cualquier caso se observa un claro dominio de la descomposición de los números.

RESTA

Para la resta no hay un modelo único, sino que se usan tres modelos básicos atendiendo a las casuísticas que nos encontramos en los problemas. Estos modelos son: detracción, escalera ascendente y escalera des-cendente.

Resta por detracción

Consiste en quitar la misma cantidad en los dos números hasta que uno de los dos quede a cero. En un contexto de problemas, daría respuesta a un problema del tipo: “Tengo 563€ y he gastado 249€ en una televi-sión, ¿cuánto dinero me queda?”.


74

FIGURA 38

RESTA ABN POR DETRACCIÓN

563-249

Quito 563 249

200 363 49

40 323 9

3 320 6

6 314 0

En la primera columna registramos la cantidad que quitamos tanto del minuendo como del sustraendo. Esta cantidad es libre, va a depender de cada persona que esté haciendo la operación. Conforme se va adquiriendo más dominio, se va haciendo en menos pasos.

Resta por escalera ascendente

Se trata de ir añadiendo cantidades al menor de los números hasta alcanzar el mayor. La diferencia entre ambos números será la suma de las cantidades añadidas. Es la interpretación de la resta como “cuánto me falta para llegar a…”. Da respuestas a problemas del tipo: “Tengo 127 estampas de futbol en mi álbum; si el álbum completo son 240, ¿cuántas estampas me faltan?”.

La verbalización del procedimiento que mencioná-bamos antes, en este caso, sería la siguiente: “Tengo 127 estampas, consigo 3, ahora tengo 130 estampas. Consigo 70, ahora tengo 200. Por último, consigo 40, ahora tengo 240”. Esto ayuda a que la persona que está resolviendo se embulla en lo que está haciendo, luego, esto nos permite que sea capaz de responder a preguntas sobre ese proce-so. Por ejemplo: “Cuando habías conseguido 73 estampas


75

¿cuántas tenías? ¿Cuántas te faltaban por conseguir? Con los algoritmos tradicionales, para responder a este tipo de preguntas habría que realizar una nueva operación.

FIGURA 39

RESTA ABN POR ESCALERA ASCENDENTE

240-127

Subo Llego a

3 130

70 200

40 240

113

Resta por escalera descendente

En este caso, se trata de ir restando cantidades al minunendo hasta alcanzar el sustraendo. Responde a problemas del tipo: “Un montañero ha alcanzado el pico de una montaña que está a 2.563 metros de altura. Si quiere volver al campamen -to base, que está a 1.239 metros, ¿cuánto tiene que bajar?”.

FIGURA 40

RESTA ABN POR ESCALERA DESCENDENTE

2.563-1.239

Bajo Llego a

63 2.500

500 2.000

700 1.300

40 1.260

20 1.240

1 1.239

1.324


76

Hay que insistir en la idea de que las cantidades que uno baja son de libre elección. Conforme vamos avanzan-do, se van consiguiendo hacer movimientos más pensa-dos, con una finalidad concreta; por ejemplo, completar cantidades convenientes. Pero son estrategias que van surgiendo de forma natural y desigual, en función de los diferentes ritmos individuales de aprendizaje.

MULTIPLICACIÓN

La introducción de la multiplicación será progresiva. Requiere que la persona conozca las tablas de multipli-car, normalmente, hasta la del doce. También se insiste, conforme se van introduciendo las tablas, en la memo-rización de los productos conmutativos de cada tabla y en los productos extendidos. Esto es, cuando aprende-mos la tabla del 2 también aprenderíamos la tabla del 20, como una extensión. De forma que la persona coja soltura no solo en la multiplicación de unidades, sino también la de decenas y centenas. Se empieza con mul-tiplicaciones de una cifra para pasar luego a multiplica-ciones de varias cifras usando la descomposición.

Empezamos con una multiplicación con un multi-plicador de una cifra. La primera columna de la tabla se reserva para colocar la descomposición del multiplican-do. En la segunda columna, registramos los productos parciales de cuatro por cada uno de los factores en que hemos descompuesto el multiplicando. Y en la tercera columna, registramos la suma de los productos parcia-les. El resultado de la multiplicación será la última suma acumulada.


77

FIGURA 41

MULTIPLICACIÓN ABN POR UNA CIFRA

237·4

4

200 800

30 120 920

7 28 948

En la figura 41 hemos reflejado la descomposición de 237 en sus distintos órdenes de magnitud, pero se pueden usar otras descomposiciones, en función del nivel cognitivo de la persona que está resolviendo. En la figura 42 se puede observar a lo que nos estamos refi-riendo. Puede darse el caso de que un niño o niña toda-vía no domine la tabla del siete: entonces, valiéndose de su capacidad de descomposición, puede expresarlo como 2+5, lo que implica una fila más de operaciones, pero el algoritmo permite esa flexibilidad para adaptar-se a su ritmo de aprendizaje.

FIGURA 42

MULTIPLICACIÓN ABN CON DESCOMPOSICIÓN LIBRE

237·4

4

200 800

30 120 920

2 8 928

5 20 948


78

Viendo cómo hemos hecho la multiplicación por una cifra, el lector ya puede intuir cómo será la mul-tiplicación por un número mayor. Se trata de reser-var ahora la primera fila para la descomposición del multiplicador.

FIGURA 43

MULTIPLICACIÓN ABN CON MULTIPLICADOR DE DOS CIFRAS

387·26

20 6

300 6.000 1.800 7.800

80 1.600 480 2.080 9.880

7 140 42 182 10.062

Se puede observar que ahora hemos necesitado una columna más para registrar la suma de los productos parciales, pero el proceso no aumenta de dificultad, porque con el uso de la descomposición la multiplica-ción se simplifica a procesos muy simples. Dependiendo del desarrollo de cada persona, puede ser que no se necesite descomponer el multiplicador.

Una de las dificultades que presenta el algoritmo tra-dicional de multiplicación por dos cifras está en el hecho de trabajar con números que contengan ceros interme-dios. Con la multiplicación ABN ese inconveniente ya no existe, ya que es una dificultad asociada al tipo de algorit-mo, no a los números en sí mismos. Veamos un ejemplo para poner de manifiesto que ese tipo de números no requieren de un tratamiento especial.


79

FIGURA 44

MULTIPLICACIÓN ABN CUYO MULTIPLICANDO TIENE CEROS INTERMEDIOS

3.209·18

10 8

3.000 30.000 24.000 54.000

200 2.000 1.600 3.600 57.600

9 90 72 162 57.762

Una persona que haya aprendido a calcular con los algoritmos tradicionales puede encontrar cierta difi-cultad al hacer todas estas sumas parciales, pero debemos ponernos en situación: aquellos estudiantes que aprenden a calcular con este algoritmo han desa-rrollado un trabajo previo muy exhaustivo sobre numeración y poseen un conocimiento muy flexible de los números, lo que les permite manejarlos a su antojo y con gran habilidad.

DIVISIÓN

La introducción de la división se suele hacer en paralelo a la multiplicación. Las primeras aproximaciones al concepto se han hecho a través de los repartos. Cuando se introduce el algoritmo, se empieza con la división como producto inverso, es decir, se va pensando por qué número puedo multiplicar al divisor para que me dé el dividendo. En el ejemplo de la figura 45 damos respuesta a un problema del tipo: “Tengo 57 caramelos para repartir entre tres niñas, ¿cuántos caramelos le tengo que dar a cada niña?”. Pensando en la tabla del


80

3, podemos decir: “Tengo que repartir 57 caramelos; si le doy 10 caramelos a cada niña (se registra en la tercera columna), habré repartido 30 (se registra en la columna del centro). Entonces, me quedan por repar-tir 27 (se anota en la primera columna). Si reparto 9 caramelos a cada niña, habré repartido 27 y ya no me queda nada más por repartir”. El resultado de la divi-sión será la suma de los cocientes parciales.

FIGURA 45

DIVISIÓN ABN COMO PRODUCTO INVERSO

57:3

Queda por repartir Repartido Cocientes parciales

57 30 10

27 27 9

0 19

Ese sería el procedimiento que ejecutaría una persona con un buen dominio de la tabla del 3, pero no todos los niños y niñas consiguen ese dominio al principio; puede que algunos necesiten ir más des-pacio, pero la cuestión es que todos y todas puedan hacerlo, independientemente de que sea con más o menos pasos, puesto que eso no es lo importante.

Si nos adentramos en la división con un divisor mayor que una cifra, podemos encontrarnos dos proce-dimientos: uno de ellos sería como el que hemos visto en la figura 45, ir haciendo repartos convenientes, y otro sería descomponiendo el dividendo en órdenes de magnitud para repartirlos, de forma que nos van a ir quedando restos parciales.


81

Veamos el primero de ellos, que nos serviría para dar respuesta a un problema del tipo: “Tengo 4.563 cro-mos para repartir a partes iguales entre 12 niños, ¿cuán-tos cromos tengo que darle a cada uno?”.

Para hacer este tipo de divisiones, vamos a necesitar el apoyo de una escala. Si queremos dividir, por ejem-plo, 4.563:12, tendremos que construir la escala del 12 para saber entre qué números nos estamos moviendo cuando tengamos que hacer los repartos convenientes. Para hacer la escala empezamos multiplicando al divisor por la unidad seguida de ceros. Luego, hallamos los puntos intermedios, es decir, los productos de 12 por 5, 50 y 500. Pero en lugar de hacer la multiplicación, lo podemos calcular como la mitad del producto de 12 por 10, 100 y 1.000, respectivamente. Así obtenemos la tabla extendida que mostramos al lado de la figura 46. El siguiente paso es hacer una estimación del número que debemos tomar de la escala para acercarnos a repartir el dividendo sin pasarnos. Como en la escala vemos que 100·12 son 1.200, pensamos que podemos repartir 300 a cada uno, lo que nos daría un total de 3.600. Una vez repartido esto nos queda por repartir 963, volvemos a hacer una estimación de lo que podemos repartir apo-yándonos en la escala. Así, vemos que podemos repartir otros 50 a cada uno, lo que implicaría que hemos repar-tido 600 cromos y que nos quedan por repartir 363. Repartimos 30 a cada uno, lo que suponen 360 cromos, de forma que nos quedan por repartir 3. Como ya no puedo repartir más, ese será el resto, y el cociente será la suma de los cocientes parciales. Es decir, habremos repartido 380 cromos a cada niño.


82

FIGURA 46

DIVISIÓN ABN CON APOYO DE LA ESCALA

4.563:12 Escala extendida

1·12 = 12

5·12 = 60

10·12 = 120

50·12 = 600

100·12 = 1.200

500·12 = 6.000

1.000·12 = 12.000

Queda por repartir Repartido

Cociente parcial

4.563 3.600 300

963 600 50

363 360 30

R: 3 C: 580

Si queremos resolver esta misma división con el formato de restos parciales, tendríamos que descompo-ner el dividendo en los distintos órdenes de magnitud, como vemos en la primera columna de la figura 47. A partir de ahí, tendríamos que estimar cuánto debemos dar a cada uno para repartir el total de los 4.000 cromos. Damos 330 a cada uno y habremos repartido 3.960, lo que nos genera un resto de 40 sin repartir, que lo suma-mos al dividendo que tenemos en la fila de las decenas y que a su vez nos genera un dividendo resultante de 540. Si reparto 45 cromos a cada niño, habré repartido los 540 cromos, por tanto, no me genera ningún resto par-cial. Reparto los 60 cromos dando 5 a cada niño, lo que tampoco me genera restos parciales, así solo me queda-rían 3 cromos, que será el resto, puesto que no puedo seguir repartiendo.


83

FIGURA 47

DIVISIÓN ABN CON RESTOS PARCIALES

4.563:12

DividendoDividendo resultante Cociente parcial Repartido Resto parcial

4.000 330 3.960 40

500 540 45 540 0

60 60 5 60 0

3 R: 3 C: 380

Este procedimiento puede resultar más tedioso por el hecho de tener que ir arrastrando los restos parciales.

Tras los ocho años de aplicación de estos algoritmos en distintos colegios, van surgiendo entre los niños y niñas nuevas combinaciones de operaciones en las que Martínez no había pensado en un principio, como es el caso de las “sumirestas” o de las restas dobles, pensadas por mentes que no han estado influenciadas por otros métodos de cálculo. Las personas que hemos aprendido con los algoritmos tradicionales tenemos una rigidez de pensamiento en lo relativo al cálculo que nos dificulta esa libertad que tienen los que no han estado sometidos a ellos.

CÁLCULO TÁCTICO

El cálculo táctico surge tras más de 20 años de trabajo de investigación en el aula por parte de una maestra de Educación Infantil y Primaria, Mª Teresa García Pérez. Fruto de su preocupación por dar un soporte visual y


84

manipulativo en el que sustentar el aprendizaje mate-mático en las edades tempranas, ha surgido una meto-dología apoyada en el uso de materiales manipulativos (Bracho-López y García-Pérez, 2015; García-Pérez y Adamuz-Povedano, 2016). Lo que empezaron siendo unos materiales que servían como suportes numéricos para trabajar la numeración pasaron a ser también soportes aritméticos, mapas numéricos que dan soporte a una forma de calcular cada vez más consolidada.

Esta forma de cálculo necesita de la implicación acti-va de la persona involucrada en él: cada cuenta le exige usar sus capacidades cognitivas para decidir cómo la va a resolver, qué táctica va a emplear.

Al igual que ocurre con los algoritmos ABN, es necesario un gran dominio del sistema de numera-ción decimal y un conocimiento flexible de los núme-ros. También es necesario entender muy bien el sig-nificado de las operaciones y qué efecto tienen sobre los números.

Los materiales a los que nos referimos son una cinta numérica del 0 al 100, un panel de numeración del 0 al 99, un cuaderno de numeración del 0 al 999 y la caja de numeración. Tanto los paneles como la cinta nos permiten poner de manifiesto la noción ordinal del número; la caja, en cambio, la noción cardinal. Todos los materiales deben estar relacionados para facilitar el intercambio de notaciones. Estos recursos están dirigidos a niños y niñas en los primeros años de aprendizaje.

Esta metodología se basa en la importancia del uso de metáforas conceptuales (Greeno, 1991) para el


85

aprendizaje matemático y en los resultados obtenidos de los estudios de neurociencia cognitiva que afirman que el concepto de número está asociado al concepto de espacio, de forma que los materiales favorecen esta relación entre espacio y número (OCDE, 2007). Aunque no sabemos con exactitud qué estará pasando en la mente de los niños y niñas en este proceso de construc-ción de la idea del conjunto de los números naturales, se piensa que si les suministramos un modelo, probable-mente estaremos favoreciendo esa idea del conjunto de números como un todo ordenado y continuo. Este plan-teamiento metodológico también comparte y se basa en los principios del modelo de las Matemáticas Realistas (Freudenthal, 1991; Gravemeijer, 1994).

FIGURA 48

SOPORTES NUMÉRICOS Y ARITMÉTICOS


86

Se parte de un trabajo muy intenso con los números del 0 al 10, lo que resulta muy rentable posteriormente con cálculos con números mayores. Además, nos va a per-mitir empezar a establecer patrones numéricos funda-mentales para el conocimiento profundo del sistema de numeración.


Como hemos mencionado anteriormente, las opera-ciones se introducen apoyándonos en los recursos. En la cinta numérica, la adición se asocia al movimiento de avance a través de la misma. En el caso del panel, este avance se traduce en un desplazamiento de izquierda a derecha cuando sumamos unidades y otro hacia abajo cuando sumamos decenas completas. En la caja numérica, la adición se trabaja como un proceso de juntar o añadir palillos.

En el caso de la sustracción apoyada en la cinta numérica, en una primera fase se asocia esta operación al movimiento de retroceso sobre la cinta. Es decir, si queremos hacer 23-15, nos situamos en el 23 y conta-mos 15 lugares hacia atrás en la cinta. Al número que llegamos será el resultado. Posteriormente, también se trabaja la resta como “lo que me falta para llegar a…”, en este caso, la operación se traduce en un movi-miento de avance en la cinta. Con el panel, la resta implica movernos de derecha a izquierda cuando qui-tamos unidades y subir cuando quitamos decenas completas. En la caja, la sustracción implica la detrac-ción de palillos.


87

Estas operaciones no solo se trabajan de forma mani-pulativa a nivel verbal, sino que se plasman en el papel. En muchos casos se usa una representación pictórica del efecto que provocan las operaciones en los números, por ejemplo, con la línea numérica vacía (figura 49), y se for-maliza con operaciones en horizontal.

FIGURA 49

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON LA LÍNEA NUMÉRICA VACÍA

Otro ejemplo de adición y sustracción, pero ahora usando como soporte el panel, se muestra en las figuras 50 y 51.

FIGURA 50

ADICIÓN USANDO EL PANEL COMO SOPORTE ARITMÉTICO

13 + 56 = 13+ 50 + 6 = 69


88

FIGURA 51

SUSTRACCIÓN USANDO EL PANEL COMO SOPORTE ARITMÉTICO

Posteriormente, cuando los niños y niñas tengan interiorizado el mapa de los números que ofrecen los recursos, ya no necesitarán la representación pictó-rica y podrán expresar sus operaciones solo con la representación simbólica, siguiendo las fases de Bruner (2001).

Es fundamental promover un trabajo muy siste-mático en el aula que abarque una amplia gama de habilidades, como la descomposición conveniente en los distintos órdenes de magnitud, la construc-ción de patrones aritméticos, sumas y restas de decenas completas a cualquier número, la creación de operaciones o la memorización de hecho numéri-cos. El desarrollo de estas habilidades nos permitirá desplegar diferentes tácticas a la hora de afrontar los cálculos.

75 – 27 = 75 – 5 – 20 – 2 = 48


89

LA CALCULADORA

Los primeros cuestionamientos sobre la conveniencia de seguir enseñando los algoritmos tradicionales en la escuela vienen de la mano de la irrupción de las calcu-ladoras en el ámbito educativo. Sin duda son un recur-so muy poderoso en el aprendizaje matemático, aun-que no todos los docentes saben aprovechar el potencial didáctico que tienen.

Parece haber una creencia casi generalizada entre docentes y familias de que la calculadora puede perjudi-car el aprendizaje matemático, en el sentido de que haga que un niño o niña no aprenda a operar si la usa. Nada más lejos de la realidad, puesto que la calculadora nece-sita que pensemos por ella, ya que solo puede hacer lo que nosotros le digamos que haga. Eso sí, en absoluto estamos pensando en un uso indiscriminado e irracio-nal de la calculadora como sustituta del cálculo mental o con lápiz y papel.

Existen numerosos estudios sobre la conveniencia del uso de la calculadora o de los efectos que esta puede tener en términos del aprendizaje matemático. Ellington (2003) recoge y analiza los resultados de 54 investiga-ciones a este respecto, concluyendo que la habilidad de cálculo y de resolución de problemas de los estudiantes mejora cuando la calculadora forma parte tanto del pro-ceso de enseñanza y aprendizaje como del de evalua-ción. Además, también concluye que los estudiantes que usan la calculadora dentro de sus dinámicas de clase presentan una mejor actitud hacia las matemáticas que aquellos que no la usan.


90

Organismos como el Nacional Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2015) dan indicaciones sobre cómo deben usarse las calculadoras en el aula, insis-tiendo en un uso estratégico, no generalizado, para el desarrollo de habilidades en la resolución de proble-mas. En este contexto, se permite a los estudiantes resolver problemas más ricos desde un punto de vista cognitivo, así como la exploración de patrones y de rela-ciones entre los números (Reys y Arbaught, 2001).

REFLEXIÓN FINAL

Con lo expuesto hasta ahora en este capítulo, creemos que se pone en valor la utilidad de nuestro sistema de numeración, la conveniencia de aprender unos algorit-mos que nos permitieron hacer operaciones de forma rápida en otras épocas, así como la necesidad de un cambio de paradigma en la escuela en lo referente a la aritmética escolar ante la demanda de la sociedad actual.

Creemos que es un debate que debería estar sobre la mesa de los legisladores en materia educativa de los dis-tintos países y no solo en las agendas de investigación en el ámbito de la Educación Matemática.

Un cambio en el tratamiento de la aritmética esco-lar poniendo énfasis en el desarrollo de habilidades que favorezcan la adquisición de un sentido numérico amplio, respetando y valorando las distintas iniciativas propias por parte del alumnado, redundará en una acti-tud mucho más positiva hacia las matemáticas en gene-ral. Creemos que es hora de que se tomen iniciativas que


91

hagan ver las matemáticas como una materia más ami-gable. Parece que está socialmente aceptado que nos consideremos “no válidos” para las matemáticas, cuan-do en otras disciplinas, como la lengua, eso es impensa-ble. Pocas veces escuchamos decir “yo no valgo para la lectura”; por el contrario, sí que estamos muy acostum-brados a decir o escuchar “a mí no se me dan bien las matemáticas”. Esos sentimientos negativos hacia las ma -temáticas, en la mayoría de los casos, tienen sus raíces en los primeros años de aprendizaje, cuando se esta-blecen los cimientos del pensamiento matemático. Si conseguimos cambiar la forma en que se aborda la materia en las escuelas a esas edades, muy probable-mente conseguiríamos mejorar nuestra relación con las matemáticas.


93

BIBLIOGRAFÍA

Boyer, C. B. (1999): Historia de la Ma -temática, Madrid, Alianza Editorial.

Bracho-López, R. (2013): “Menos reglas y más sentido: alternativas metodoló-gicas a los algoritmos de cálculo tradi-cionales para el desarrollo del sentido numérico en la Educación Primaria”, en Rodríguez, E., Bermúdez, G., González, F., Muniz, C., Pollio, A., Romero, S., Tajeyán, S., Vitabar, F., y Carrillo de Albornoz, A. (eds.), VII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática, Montevideo, Sociedad de Educación Matemática Uruguaya, pp. 70-77.

Bracho-López, R. y García-pérez, T. (2015) “Materiales Didácticos para el desarrollo del sentido numérico en los primeros años de aprendizaje”, Uno, 70, pp. 31-35.

Bruner, J. S. (2001): El proceso mental en el aprendizaje, Madrid, Narcea Edi -cio nes.

Buys, K. (2008) “Mental Arithmetic”, Children Learn Mathematics, Rotter -dam, SensePublishers, pp. 121-146.

castro, E., rico, L. y castro, E. (1987): Nú meros y operaciones, Madrid, Síntesis.

cLements, M. A. (Ken) (2013): “Past, Present y Future Dimensions of Mathematics Education: Introduction to the Third International Handbook of Mathematics Education”, en Clements, M. A. (Ken), Bishop, A. J., Keitel, C., Kilpatrick, J., y Leung, F. K. S. (eds.), Third International Handbook of Mathematics Education, Nueva York, Springer, pp. V-XI.

cockcroft, W. H. (1985): Las matemáti-cas sí cuentan, Madrid, MEC.

DantziG, T. (2007): Number. The Language of Science, Londres, Plume.

Davis, H. T. (1989): “The History of Computation”, Historical Topics for the Mathematics Classroom, Reston, NCTM, pp. 87-164.

eLLinGton, A. J. (2003): “A Meta-Anaysis of teh Effects of Calculators on Students’ Achievement y Attitude Levels in Precollege Mathematics Classes”, Journal for Research in Mathematics Education, 34 (5), pp. 433-563.

freuDenthaL, H. (1991): Revisiting Ma -the matics Education, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers.

García-pérez, T. y aDamuz-poveDano, N. (2016): “Conocemos los números. Una experiencia basada en la mani-pulación”, Epsilon-Revista de Educa -ción Matemática, 33 (1), pp. 73-88.

Gómez, B. (1998): Numeración y cálculo, Madrid, Síntesis.

Gravemeijer, K. (1994): Developing realis-tics mathematics education, Utrecht, Freudenthal Institute.

Greeno, J. (1991): “Number sense as sit-uated knowing in a conceptual domain”, Journal for Research in Mathematics Education, 22 (13), pp. 170-218.

ifrah, G. (1987): Las cifras. Historia de una gran invención, Madrid, Alianza.

maier, E. A. (1987): “Basic Mathe -matical Skills or School Survival Skill?”, Teaching Children Mathe -matics, p. 2.

martínez, J. (2011): “El método de cálcu-lo abierto basado en números (ABN) como alternativa de futuro respecto a los métodos tradicionales cerrados


94

basados en cifras (CBC)”, Bordón, 63 (4), pp. 95-110.

— (2010): Enseñar matemáticas a alum-nos con necesidades educativas especia-les, Madrid, Wolters Kluwer.

— (2001): “Los efectos no deseados (y devastadores) de los métodos tradi-cionales de aprendizaje de la numera-ción y de los algoritmos de las cuatro operaciones básicas.”, Epsilon-Revista de Educación Matemática, 49, pp. 13-26.

mcintosh, A., reys, B. J. y reys, R. E. (1992): “A Proposed Framework for Examining Basic Number Sense”, For the learning of Mathematics, 12 (3), pp. 3-8, 44.

nctm (2015): Calculator Use in Eleme n -tary Grades, Reston.

— (2003): Principios y estándares para la educación matemáticas, Sevilla, SAEM Thales.

ocDe (2007): “Los conocimientos básicos de matemáticas [numeracy] y el cerebro”, en OCDE (ed.), La comprensión del Cerebro. El nacimiento de una ciencia del aprendizaje, Santiago de Chile, Ediciones UCSH, pp. 151-167.

pLunkett, S. (1979): “Decomposition and all that rot”, Mathematicas in school, 8 (3), pp. 2-5.

rae (2012): Diccionario de la Real Aca -demia Española, 22a, Real Academia Española. Disponible en: http://lema. rae.es/drae/.

reys, B. J. y arBauGht, F. (2001): “Clearing up the confusion over cal-culator use in grades K-5”, Teaching Children Mathematics, 8, pp. 90-94.

romBerG, T. y stewart, D. M (1984): “School Mathematics: Options for the 1990s”, School Mathematics: Options for the 1990s, Madison, NCTM.

sáenz, E. (2005): Apuntes para el curso: Historia de las Matemátias, Monterrey, Universidad Autónoma de Nuevo León.

seaquist, C. R., seshaiyer, P. y crowLey, D. (2005): “Calculation across Cul -tures and History”, Texas College Ma -thematics Journal, 1 (1), pp. 15-31.

skemp, R. (1989): Mathematics in the Pri -mary School, Londres, Routledge.

sowDer, J. (1992): “Estimation and num -ber sense”, en Grouws, D. A. (ed.), Handbook of Research in Mathematics Teaching and Learning, Nueva York, Macmillan Publishing Co, pp. 371-389.

stewart, I. (2008): Historia de las Ma -temáticas en los últimos 10.000 años, Barcelona, Crítica.

struik, D. J. (1967): Concise History of Ma -thematics, Nueva York, Dover Pu bli -cations.


ensayos ciencia y sociedad - oeiciencia y sociedad ibic: pdz/pb 186 la aritmÉtica del siglo xxi la...

Documents