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Universidad Nacional de La Plata

¬[(p ^ ¬p)]

«El Principio de no Contradicción»

Enrique García

MMIX

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«... la no-verdad tiene que ser reconocida como una condición de la vida y la verdad como el ‘tipo de error sin el cual el hombre no puede vivir’»

Florencio González Asenjo

[I] – INTRODUCCIÓN: DE LA LÓGICA A LAS LÓGICAS

La contradicción puede juzgarse como «núcleo duro y fuerza propulsora del movimiento dialéctico» [1] Es un tema central en Sofista de Platón (427-347 a. J.C.), y también en el argumento del libro Gama (IV) de la Metafísica de Aristóteles (384/383-

322 a. J.C.). La Filosofía se debate sin haber conseguido todavía una respuesta unánime,

«desde que Aristóteles con su método analítico se opuso al método dialéctico de Platón» [2] Esta dicotomía de la tradición filosófica griega selló el devenir. Los

dialécticos siguieron el pensamiento de Platón, y adoptaron el juego de los opuestos como el fundamento y método de su filosofía. Los analíticos siguieron el pensamiento de

Aristóteles, y defendieron el análisis como la única forma legítima de hacer ciencia del

pensamiento.

En la Edad Media, la discusión pasó por Escoto Erígena (ca. 810 – ca. 877) y por

Nicolás de Cusa (1401-1464), entre los dialécticos; y por Alberto Magno (ca. 1200-1280), por Tomás de Aquino (1225-1274), por Buenaventura (1217/1221-1274), por Duns

Escoto (1265-1308) y por Guillermo de Ockam (1280-1346/1349), entre los analíticos.

En el siglo XIX, encontramos a Fichte (1762-1814), a Schelling (1775-1854), a Hegel (1770-1831), y a Marx (1818-1883), entre los dialécticos; y a Tredelenburg (1802-

1872), a von Hartman (1842-1906) y a Frege (1848-1925), entre los analíticos. Pero «[...] tenemos también, como no alineados, a los grandes críticos y opositores del sistema de Hegel que son Schopenhauer [1788-1860], Kierkegaard [1813-1855] y Nietzsche [1844-

1900]» [3]

En el siglo XX dominan los pensadores de la razón fragmentada: Heidegger

(1889-1976), Jaspers (1883-1969), Sartre (1905-1980), Wittgenstein (1889-1951) y, en

[1] Cirne-Lima, Carlos R. V.; Sobre a contradiçao, EDIPUCRS, Porto Alegre, Brasil, 1996, p. 9 [2] Cirne-Lima, Carlos R. V.; Ibíd., p. 9. [3] Cirne-Lima, Carlos R. V.; Ibíd., p. 9.

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general, toda la Filosofía Analítica. «El sistema, se dice, murió de una vez para siempre, la unidad de la razón quedó residiendo en casos, ahora sólo se hacen subsistemas en los cuales las razones particulares son estudiadas en sus lógicas internas, todas ellas también particulares» [4] Pareciera que ya no hay más Lógica (en

singular y con mayúscula), y que apenas hay las lógicas (en plural, y con minúscula). Ya no tenemos razón y sistema, tenemos meros casos y fragmentos. Es por ello que el

estudio de la contradicción, hoy más que nunca reviste importancia. Para revertir esta tendencia, hubo quien se propuso «procurar reestablecer la unidad de la razón», ya

que «es preciso reconstruir el gran mosaico del sentido del mundo, de su Historia y de nuestras vidas, so pena de callarlo todo para siempre bajo el signo del absurdo [...] en el cual vivimos y que, al final, somos nosotros mismos» [5]

En nuestro medio, fue Florencio González Asenjo quien supo decir que procede que asumamos que los asuntos atómicos tengan uno o dos valores de verdad; así, los

asuntos, ya atómicos, ya compuestos, serán, entonces, verdaderos, falsos, o verdaderos

y falsos. Asenjo llama a esos asuntos «antinomias verdaderas y falsas», y proclama que su propósito inmediato es ampliar el cálculo proposicional clásico, para incluir

operaciones con antinomias [6]

[II] – ACERCA DE LA NO-CONTRADICCIÓN ¬[(p ^ ¬p)]

Hay una ley del pensamiento tradicionales que proclama que «una cosa no puede ser ella misma y su contrario, en el mismo aspecto y en el mismo momento». Su formulación lógica bien puede admitirse diciendo que «es imposible que un enunciado sea a la vez verdadero y falso» [7], o afirmando que hay un «principio cierto por excelencia [que] es aquel respecto del cual todo error es imposible [...]: es imposible que el mismo atributo pertenezca y no pertenezca al mismo sujeto, en un tiempo mismo y bajo la misma relación [...]» [8]

Sin embargo, «ciertos filósofos [...] pretenden que una misma cosa pueda ser y no ser, y que se pueden concebir simultáneamente los contrarios. Tal es la aserción de la mayor parte de los físicos. Nosotros acabamos de reconocer que es imposible ser y no ser al mismo tiempo, y fundados en esta imposibilidad hemos declarado que nuestro principio es el principio cierto por excelencia» Y, «[...] si hay verdades que no deben demostrarse, dígasenos qué principio, como no sea el expuesto, se encuentra en

[4] Cirne-Lima, Carlos R. V.; Ibíd., pp. 9 y 10. [5] Cirne-Lima, Carlos R. V.; Ibíd., p. 10 [6] González Asenjo, Florencio; A calculus of antinomies, Notre Dame Journal of formal logic, Volume VII, Number 1, January 1966, p. 103, versión on line: http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.ndjfl/1093958482 [7] Cf. Cortés Morató, Jordi y Martínez Riu, Antoni; Diccionario de filosofía en CD-ROM, Editorial Herder S.A., Barcelona, España, 1996. [8] Aristóteles, Metafísica, IV, 3, Espasa Calpe, Madrid, España, 1988, p. 108.

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semejante caso» [9], y según el cual «[...] se está siempre en lo cierto [porque] no es posible que una misma cosa sea y no sea a un mismo tiempo [...]; y, sin embargo, se puede refutar al que lo niegue. [...] Pero si se quiere demostrar al que pretenda que las proposiciones opuestas son igualmente verdaderas que está en un error, será preciso tomar un objeto que sea idéntico a sí propio, en cuanto puede ser y no ser el mismo en uno solo y mismo momento, y el cual, sin embargo, conforme al sistema, no sea idéntico [...] Es preciso [...] que cada una de las palabras sea conocida, que exprese una cosa, no muchas, sino una sola [...]. En cuanto al que dice que tal cosa es y no es, niega lo mismo que afirma, y por consiguiente afirma que la palabra no significa lo que significa. Pero esto es imposible; es imposible, si la expresión tal cosa tiene un sentido, que la negación de la misma cosa sea verdadera. Si la palabra designa la existencia de un objeto, y esta existencia es una realidad, necesariamente es una realidad; pero lo que existe necesariamente no puede al mismo tiempo no existir. Es, por tanto, imposible que las afirmaciones opuestas sean verdaderas al mismo tiempo respecto del mismo ser» [10]

[III] – ACERCA DE LA CONTRADICCIÓN: (p ^ ¬p)

La «contradictio», locución latina que significa acción de contradecir, objeción,

que traduce el griego antíphasis, es decir afirmación y negación opuestas, y de aquí también antipathikós, contradictorio. Se trata de un género de oposición que existe

entre afirmaciones incompatibles o inconsistentes. Aristóteles, en Categorías, 11b; Interpretación, 17b; y Metafísica, IV, 10, supo distinguir cuatro tipos de oposiciones: (a)

entre cosas correlativas (doble y mitad), (b) entre contrarias (malo y bueno), (c) entre la

privación y la posesión (salud y enfermedad) y (d) entre la afirmación (kataphasis) y la negación (apophasis), que son las dos posibilidades de todo enunciado.

La contradicción, u oposición contradictoria, se da entre enunciados de los cuales uno es la negación respectiva del otro. El objetivo de las discusiones dialécticas entre los

griegos consistía en llevar al adversario al reconocimiento de la verdad de una

proposición contradictoria a la inicialmente propuesta por él, lo que equivalía a obligarlo a aceptar lógicamente la tesis opuesta.

La lógica impide aceptar la verdad de un enunciado y la de su contradictorio, por imperio del principio del tercero excluso (o excluido) o del principio de no

contradicción. La oposición lógica entre enunciados contradictorios exige que, si uno es

verdadero, el otro ha de ser falso y, si uno es falso, el otro ha de ser verdadero. La aplicación característica de esto se da entre un enunciado de tipo universal, afirmativo o

negativo, y su negación particular. La contradicción existente entre dos enunciados

[9] Aristóteles, Metafísica, IV, 4, 1006, Ibíd., p. 109. [10] Aristóteles, Metafísica, XI, 5, Ibíd., pp. 279 y 280.

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categóricos del tipo «todos los hombres son libres» y «algún hombre no es libre», exige

que, de la verdad del segundo se deduzca la falsedad del primero; o bien, que el segundo sea la refutación del primero. Por la misma razón, cualquier enunciado equivale a la

negación de su contradictorio. Así, «algún hombre no es libre» equivale a «no es cierto que todos los hombres sean libres».

El objetivo fundamental del estudio de la lógica es precisamente saber evitar

afirmaciones contradictorias, en especial, en la construcción de razonamientos. Un argumento que tenga premisas contradictorias es formalmente siempre válido, porque

nunca sucede que sus premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Pero tiene el grave

inconveniente que permite extraer cualquier tipo de conclusión.

La contradicción se ha aplicado también al ámbito de la metafísica o de la

ontología a todo lo largo de la historia del pensamiento. Parménides de Elea (s. V a. de J.C.), entre los presocráticos, y frente a Heráclito de Éfeso (ca. 550 – ca. 480 a. de J.C.),

para quien las cosas son y no son, fue el primero en proponer explícitamente una

comprensión de la totalidad bajo el principio de no contradicción: que «es necesario que lo que no es, exista de algún modo» es imposible, porque es contradictorio, y por lo

mismo lo es también el cambio. Platón inició la tarea de compaginar la fuerza lógica del

principio de no contradicción con la evidencia del cambio en la naturaleza: «el no ser también es de alguna manera» [11] Aristóteles urgió, por un lado, la validez universal

de este principio aplicado a todos los seres, «es imposible que una cosa sea y no sea», de modo que no hay otro principio más cierto que éste, pero mantiene, por otro lado,

que «ser» se dice de muchas maneras, lo cual permite hablar de forma sistemática de

todo el conjunto de la realidad, tal como hace la ciencia. La solidez del principio, en sus vertientes lógica y ontológica, es innegable y, aún con los matices necesarios, se ha

mantenido inconmovible a lo largo de la historia como fundamento de la racionalidad humana, con la sola excepción de los sistemas dialécticos. Heráclito, que explica el

cambio como tensión de contrarios, es el iniciador de esta manera de pensar. Nicolás de

Cusa utiliza, en La docta ignorancia, la noción de «coincidencia de opuestos» para describir la naturaleza divina infinita y aún la naturaleza del hombre como

representación finita suya. En la dialéctica, tanto del idealismo de Fichte y de Hegel y como del materialismo dialéctico de Marx, la contradicción ocupará un puesto principal,

en su aspecto lógico y en el ontológico. No sólo es un momento dialéctico de la razón,

como oposición entre tesis y antítesis, o entre inmediatez y alienación, o entre simplicidad y escisión, o simple negación de la afirmación, sino que lo es también de la

dialéctica de la realidad: como estadio del desarrollo del espíritu o, según Marx, como motor de la historia. Desde una perspectiva enfrentada a la hegeliana y marxista, Karl

Popper (1902-1994) en el capítulo titulado «¿Qué es la dialéctica?» de El desarrollo del

[11] Platón, Diálogos, Volumen V: Sofista 240, Biblioteca Básica Gredos, Barcelona, España, 2000, p. 389.

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conocimiento científico, alerta sobre los peligros filosóficos y hasta históricos de no

admitir el principio de no contradicción [12]

[IV] – LA EXPANSIÓN DE UN NUEVO CAMPO DE CONOCIMIENTO

La historia de la filosofía reciente registra unos cuantos hechos que certifican la

importancia que alcanzó la lógica paraconsistente. Así es, (aa) en 1997 tuvo lugar el Primer Congreso Mundial sobre Paraconsistencia [13]; (ab) en 2000 tuvo lugar el

Segundo [14]; y (ac) en 2003 tuvo lugar el Tercero [15]. Cada uno de estos encuentros concentró un número creciente de investigadores interesados en el llamado «fenómeno de la paraconsistencia». Paralelamente, la prestigiosa Mathematical Reviews,

publicación mensual de la American Mathematical Society, que de ordinario presentaba reseñas de artículos provenientes de las más variadas y prestigiosas

publicaciones, comienza a indagar lo que hoy debe entenderse por matemática, al par que habilitaba una sección dedicada a la lógica paraconsistente. A partir del año 2000,

la mencionada sección pasó a formar parte de un continente más amplio, el de las

«lógicas que admiten inconsistencias», en cuyo seno se reunieron (entre otras) la «lógica paraconsistente» y la «lógica discursiva».

Cambios de ese tenor son frecuentes en el ámbito de las publicaciones científicas

especializadas. De tanto en tanto, el comité editorial de la Mathematical Reviews, al igual que su similar alemana, la Zentralblatt für Mathematik actualiza las subdivisiones

de lo que podría denominarse «matemática de nuestro tiempo», reordenando temáticas, suprimiendo algunos asuntos, o agregando otros que han sido considerados

importantes. Se puntualiza allí que lo que es parte de una disciplina tan dinámica como

la matemática, depende de múltiples factores y cambia con el transcurrir del tiempo. En efecto, digamos, solamente a título ejemplificativo, que en el siglo XVII la astrología era

parte constitutiva de la matemática, lo que no ocurre en la actualidad. Pero, volviendo al tema del asunto que nos ocupa, ¿qué representa el hecho de que las lógicas

paraconsistentes figuren en una sección de la renombrada Mathematical Reviews?,

[12] «Supongamos que tenemos dos premisas contradictorias, por ejemplo: (a) ‘el sol brilla ahora’; y (b) ‘el sol no brilla ahora’. De estas dos premisas puede inferirse cualquier enunciado, por ejemplo: «César era un traidor». De la primera premisa (a), podemos inferir, de acuerdo con la regla [de Adición], la siguiente conclusión: (c) ‘el sol brilla ahora o César era un traidor’. Tomando ahora (b) y (c) como premisas, podemos deducir, finalmente, de acuerdo con la regla [del Silogismo disyuntivo]: (d) ‘César era un traidor’. Es indudable que por el mismo método podríamos haber inferido cualquier otro enunciado que quisiéramos, por ejemplo, ‘César no era un traidor’. Así podemos inferir ‘2+2 es igual a 5’ y ‘2+2 no es igual a 5’, es decir, no sólo todo enunciado que queramos, sino también su negación, que podemos querer demostrar. Vemos, pues, que si una teoría contiene una contradicción, entonces implica todo y, por lo tanto, nada. Una teoría que a toda información que afirma agrega también la negación de esta información no suministra ninguna información en absoluto. Una teoría que contiene una contradicción es, por consiguiente, totalmente inútil como teoría» Cf. Popper, Karl R; El desarrollo del conocimiento científico, Editorial Paidós, Buenos Aires, Argentina, 1979, p. 367. [13] Celebrado en Gent, Bélgica. [14] Celebrado en San Sebastián, San Pablo, Brasil.

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¿cómo debe juzgarse la realización de los congresos mencionados? Acaso, ¿estos hechos,

medidos en términos científicos, no representan un cambio importante?

Parece que las lógicas paraconsistentes pasarán a constituir un tópico «oficialmente reconocido» de la matemática actual. Tanto el reconocimiento de la

importancia, cuanto las perspectivas de esta especialidad lógica, se siguen de la expansión de un campo de conocimiento suficientemente amplio y fecundo que justifica

la celebración de congresos y la difusión doctrinal precedentemente mencionados.

Para que pueda comprenderse lo sucedido, es conveniente reseñar algunas nociones básicas preliminares respecto de las lógicas paraconsistentes.

[V] – LO HEREDADO Y LO INNOVADO

Fue Aristóteles quien estableció la primera sistematización (de la cual se tiene noticia) de la lógica. No obstante, algunas formulaciones posteriores, poco conocidas

hasta cerca del inicio del siglo XX, los principios básicos de la lógica aristotélica

permanecerían sin alteraciones significativas hasta el siglo XIX. Al respecto, el filósofo alemán Immanuel Kant (1724-1804) supo decir que, en materia de lógica, no habría

nada más que agregar a lo expresado por Aristóteles. Sin embargo, a partir de mediados

del siglo XIX, algunos matemáticos como Boole (1815-1864), como Frege, y como Peano (1858-1932), realizarían importantes contribuciones para el desarrollo de la «lógica matemática». Así, la lógica se convirtió en una disciplina con características matemáticas, alcanzó un desenvolvimiento extraordinario, y se difundió ampliamente,

con las más variadas repercusiones en casi todos los campos del saber.

Entre los principios de la lógica clásica de cuño aristotélico, fue proverbial el principio de no contradicción, que bien puede ser formulado de varias maneras. Una de

ellas (a), proclama que entre dos proposiciones contradictorias, si una de ellas comporta la negación de la otra, la otra debe ser falsa [16] Dicho de otro modo, las proposiciones

contradictorias no pueden ser simultáneamente verdaderas: una proposición que se

formula como una conjunción de dos proposiciones contradictorias [17], no puede ser nunca verdadera [¬(p ^ ¬p)]. Existen, sin embargo, sólidos argumentos destinados a

evitar proposiciones contradictorias, y contradicciones. Técnicamente, en un sistema deductivo basado en una lógica de raigambre clásica (o igualmente en la mayoría de los

sistemas lógicos conocidos como lógica intuicionista) si hay dos teoremas

contradictorios (o si se derivase una contradicción), entonces todas las expresiones bien formadas de su lenguaje pueden ser demostradas. En síntesis, en un sistema así, todo

[15] Celebrado en Toulouse, Francia. [16] Por ejemplo: dado un cierto número natural n, entre la proposición «el número n es par», y la proposición «el número n no es par», una de ellas debe ser falsa. [17] Por ejemplo «el número n es par y el número n no es par».

[7]

puede probarse. Un sistema de esta clase bien puede ser considerado como trivialmente

[18] inconsistente, es decir que en ella es posible deducir cualquier afirmación: Duns Escoto fue el primero en expresar esta idea mediante el principio conocido como Ex contradictione quodlibet (ECQ) o, Ex falsum sequitur quodlibet (EFSQ), que debe

entenderse como «de lo absurdo puede derivarse una fórmula arbitraria», que conduce a la lógica intuicionista.

Entre 1910 y 1913, el lógico polaco Lukasiewicz (1878-1956) [19] y el lógico ruso Vasiliev (1880-1940) llamarían la atención, cada quien por su lado, sobre el hecho de

que, tal como sucediera con los axiomas de la geometría euclidiana, algunos principios

de la lógica aristotélica, incluyendo el principio de no contradicción, podrían ser revisados. Como se sabe, el cuestionamiento del llamado quinto postulado de Euclides

(s. IV-III a. de J.C.) [20], el famoso postulado de las paralelas, mostró su independencia respecto de los demás axiomas de la geometría euclidiana, pudiendo, en

consecuencia, ser sustituido por alguna forma de negación. Esto dio origen a la llamadas

«geometrías no- euclidianas», de importancia capital inclusive en física. En el campo de la lógica, Lukasiewicz se ciñó al análisis crítico del principio de no contradicción, en

tanto que Vasiliev [21] llegó a desarrollar una silogística que limitaba el uso del referido

principio.

Los sistemas de da Costa (1929-) (quien definió las «lógicas C», una jerarquía

sistémica con una infinidad de subsistemas) se extenderían mucho más allá del nivel

[18] La propiedad de trivialización se suele presentar de las dos siguientes forma: (a) A, ¬A ¦- B; y (b) (A ^ ¬A) ¦- B. [19] Lógico polaco, nacido en Lvov. Sus estudios enfocaron la lógica matemática, los problemas filosóficos relacionados con ella y la historia de la lógica, en particular la de Aristóteles y la de los estoicos. Para hallar solución al problema de los futuros contingentes, planteado ya por Aristóteles, propone la posibilidad de lógicas polivalentes y es el primero en desarrollar la lógica trivalente, que admite, junto a los valores de verdad y falsedad, el de «posiblemente». Junto con Tarski (1902-1983), en 1930 escribe Investigaciones sobre el cálculo proposicional, principal obra en la que desarrolla su concepción polivalente de la lógica. Cf.. Cortés Morató, Jordi y Martínez Riu, Antoni; Diccionario de filosofía en CD-ROM, Editorial Herder S.A., Barcelona, España, 1996. [20] Euclides de Alejandría fue un matemático griego del que apenas se tiene algún conocimiento biográfico. Al parecer era ateniense, y probablemente fuera alumno de la Academia. Se le considera como el gran sistematizador de la matemática del mundo antiguo, ya que en sus trece libros de los Elementos expone la geometría como un sistema formal axiomático-deductivo, que consta de definiciones, postulados, y teoremas demostrados. El texto ha servido de modelo para todo sistema axiomático. A estos trece libros se le añadieron dos más, escritos por geómetras posteriores. En realidad, no hay en estos textos adicionales nuevos descubrimientos, ya que la mayor parte de los teoremas allí expuestos son obra de autores anteriores. Su importancia deriva del método axiomático utilizado, que representa un modelo de lo que significa el rigor científico. La introducción de cambios en el quinto postulado de Euclides propició la aparición de geometrías «no-euclidianas». Cf. Cortés Morató, Jordi y Martínez Riu, Antoni; Diccionario de filosofía en CD-ROM, Editorial Herder S.A., Barcelona, España, 1996. [21] Fue un discípulo de Lukasiewicz, S. Jaskowski (1906-1965), quien en 1949 construyó una lógica no trivial que podría ser aplicada a sistemas que implican contradicciones. El sistema de Jaskowski, conocido como lógica discursiva, se limitó a enfocar una parte de la lógica técnicamente denominada de cálculo proposicional, no habiéndose ocupado de la elaboración de lógicas paraconsistentes en sentido fuerte (implicando cuantificación, por ejemplo). Por su parte, el lógico brasileño Newton C. A. da Costa, por entonces profesor de la Universidad Federal del Paraná, fue quien, independientemente de Jaskowski, inició, a partir de la década del ’50, estudios tendientes a desarrollar sistemas lógicos que contuvieran contradicciones.

[8]

proposicional. da Costa desarrolló cálculos proposicionales, cálculos de predicados con y

sin igualdad, cálculos con descripciones, y teorías de conjuntos. Es internacionalmente reconocido como el creador de las lógicas paraconsistentes [22], que han cristalizado

formando tradición en Australia y en Brasil.

Dicho de una manera poco académica, una lógica es paraconsistente si puede fundamentar sistemas deductivos inconsistentes, o sea, sistemas no triviales [23] que

admiten tesis contradictorias en general y, en particular, una contradicción.

En términos comparativos: si la lógica clásica concibe que

Si A y si ¬A (la negación de A) fueran teoremas de un sistema deductivo S

fundado en la lógica clásica, entonces toda fórmula B del lenguaje de S, es teorema de S.

las lógicas paraconsistentes conciben que

En un sistema deductivo S basado en una lógica paraconsistente, puede haber

dos teoremas de la forma A y ¬A, sin que con eso toda fórmula del lenguaje S sea

derivada como teorema del sistema.

Como campo de investigación, la lógica paraconsistente se desarrolló

extraordinariamente, habiendo llamado la atención de un gran número de pensadores

en todo el mundo. En Brasil, en gran medida por la influencia de da Costa, comienza a desarrollarse, con la escuela de la lógica, una línea de pensamiento fuerte, cultivada por

lógicos de renombre internacional y extendida por casi todo el país. En los años ’50, da Costa era el único lógico brasileño que publicaba en revistas internacionales. Se estima

que actualmente hay, en Brasil, cerca de ciento cincuenta investigadores activos en las

diversas áreas de la lógica. En el presente, la lógica paraconsistente constituye tema obligado de estudio para cualquier estudiante de lógica, de filosofía o de ciencia de la

computación; debido a las perspectivas que ella ofrece también en física, en ingeniería, y en matemática.

Es importante destacar que sistemas diferentes a los de da Costa, igualmente

abarcativos de inconsistencias, fueron elaborados con posterioridad por investigadores australianos, belgas, norteamericanos, japoneses, italianos y brasileños. Algunos

cultores de esos sistemas alternativos consideran que la lógica clásica debería ser sustituida por los sistemas alternativos que ellos proponen. Es el caso del gran

matemático holandés Brouwer (1881-1966), que en el inicio del siglo XX sostuvo que la

matemática tradicional debería ser reemplazada por la intuicionista, que él había

[22] El término «paraconsistente», que significa «al lado de la consistencia», fue acuñado en 1976 por el filósofo peruano Francisco Miró Quesada (1918-), según se desprende de la correspondencia que mantuvieron Miró Quesada y da Costa, y conforme la propuesta que formulara en el Tercer Simposio Latinoamericano sobre Lógica Matemática, celebrado en el mismo año. [23] En el sentido de que no todas las fórmulas tenidas como expresiones bien formadas de su lenguaje, sean teoremas del sistema.

[9]

desarrollado. No es la opinión de da Costa. Tampoco la de buena parte de los lógicos

brasileños. Para da Costa, la lógica clásica, que califica como la «madre de todas las lógicas», tiene valor permanente en su particular campo de aplicación, y no tiene por

qué ser reemplazada en él. Así, a pesar de ser el creador de las lógicas paraconsistentes,

da Costa no asegura que las lógicas paraconsistentes sean las únicas verdaderas, sino que su aplicación está recomendada en pos del mejor entendimiento de ciertos

fenómenos, de su tratamiento en áreas específicas del saber.

En síntesis, para que un sistema constituya una lógica paraconsistente, debería satisfacer al menos las siguientes condiciones: (a) el principio de no contradicción no

debe ser válido, esto es: ¦= ¬(A ̂ ¬A); (b) la regla ECQ (Ex contradictione quodlibet) no debe ser una inferencia válida, es decir (A ̂ ¬A) ¦= B; y (c) las leyes y reglas de la lógica clásica compatibles con A, ¬A ¦- B y con (A ^ ¬A) ¦- B deben continuar siendo válidas [24]

Por ejemplo, las lógicas paraconsistentes se presentan para tener una visión más

clara del significado de la negación, bien como para conocer mejor. Por ejemplo, el estatuto del conjunto de Russell (1872-1970) [25]. Con ellas, podemos entender mejor

la posibilidad de sistematizar de modo riguroso teorías abarcativas de la noción de

complementariedad [26] o la teoría del átomo de Bohr (1885-1962), que combina sistemas incompatibles, como la mecánica newtoniana, la teoría magnética de Maxwell

(1831-1879), y la cuantificación, bien como para sistematizar sistemas abarcativos de vaguedad [27] e, igualmente, contradicciones en sentido estricto.

[VI] – MÚLTIPLE APLICABILIDAD DE LAS LÓGICAS PARACONSISTENTES

La lógica paraconsistente no se limita a circunscribir sus aplicaciones a

cuestiones meramente teóricas o filosóficas. Uno de los campos más fértiles donde ha florecido, ha sido en la ciencia de la computación, en la ingeniería y hasta en la

medicina. En inteligencia artificial, por ejemplo, esas lógicas fueron usadas en la

década del ’80 por V. S. Subrahmanian, de la Universidad de Siracusa, en los Estados

[24] Palau, Gladys; Introducción a las lógicas no clásicas, Editorial Gedisa, Buenos Aires, Argentina, 2003, p.161. [25] El «conjunto de Russell» tiene como elementos aquellas colecciones que no pertenecen a sí mismas, como la colección de todos los hombres, que por no ser hombres, no pertenece a sí misma. Llamando R a este conjunto, es fácil ver que R pertenece a sí propio, si y solamente sí no pertenece a si propio, lo que origina la célebre Paradoja de Russell. [26] Proposiciones complementarias son aquellas que, si tomadas en conjunto, acarrean una contradicción. [27] Una de las características del lenguaje ordinario que obstaculiza la comunicación entre hablantes. Puede definirse como la imprecisión o indeterminación en el significado de un término. Los términos son vagos cuando se refieren a cualidades que las cosas pueden poseer en un grado indeterminado sin que el contexto permita precisar. Así sucede, por ejemplo, con los términos comparativos y aquellos que indican cantidad (sin precisarla cuantitativamente), como «bastante, «mucho», y «apenas», o aquellos cuyas propiedades se aplican a un área indefinida de objetos, como «contexto», «clima sano», y «joven». Cf.. Cortés Morató, Jordi y Martínez Riu, Antoni; Diccionario de filosofía en CD-ROM, Editorial Herder S.A., Barcelona, España, 1996.

[10]

Unidos, en el diseño de sistemas especiales de uso médico. En ese campo se pueden

imaginar situaciones en las que un paciente puede «entrevistarse» con un computador y, mediante preguntas y respuestas, el computador puede llegar a diagnosticar, en su

caso a distancia, y hasta indicar y llevar adelante la terapéutica asistida sobreviniente:

«Un experto o grupo de expertos que trabaje con un programador de software puede crear un programa conducido por diálogo que imita una consulta entre el usuario y los expertos. La experiencia, las ideas y la pericia de los mejores médicos, abogados, especialistas académicos y asesores comerciales del mundo, se vuelven así disponibles para una audiencia mucho más amplia [...] Con un sistema de avanzados expertos, podrías sentarte y discutir el problema con Robert Coles, el famoso autor de Harvard y psicólogo de niños, a cualquier hora del día o de la noche. El software te proporcionaría las recomendaciones de Coles y orientadas hacia tu situación individual» [28]. En la elaboración de tales sistemas, que deben ser desarrollados en

lenguajes mediante los cuales se puedan practicar determinadas inferencias (en suma,

extraer conclusiones a partir de ciertas premisas), los científicos en general entrevistan a varios médicos especialistas. Acumulan la información convenientemente organizada en

gigantescos bancos de datos modulados y dispuestos en red, que contienen las

opiniones relevadas y la casuística asociada, y a partir de ese banco de datos el sistema extraerá conclusiones valiéndose de las reglas de la lógica. Empero, debido a la gran

complejidad característica de la ciencia médica, en los médicos reside cierto ejercicio discrecional de la profesión, lo que genera la presencia de opiniones divergentes, cuando

no abiertamente contradictorias, sobre un cuadro clínico incierto. Si, en su caso, en el

banco de datos se almacenó información que se contradice reflejando opiniones contrapuestas; cuando el sistema opera con las lógica clásica, puede seguirse una

contradicción que inviabiliza, tornándolo trivial al sistema como un todo. Para poder considerar programas que operen bases de datos que contengan información

contradictoria, es aconsejable recurrir a la lógica paraconsistente, para controlar el

riesgo de trivialización emergente. Se puede demostrar que las lógicas paraconsistentes (en verdad, ciertas teorías de conjuntos que de ellas se originan) generalizan la teoría de

conjuntos borrosos [29] (fuzzy sets). Eso trae aparejado otra variedad de aplicaciones, permitiendo que se construyan mecanismos (para-analizadores y para-procesadores)

que permiten considerar una variedad de comandos mucho más abarcantes que los

antiguos «sí» y «no». Ensayos análogos de aplicaciones se han llevado a cabo en materia de control de calidad, robótica, control de tráfico aéreo, secuenciación del genoma

[28] Burrus, Daniel y Gittines, Roger; Tecnotendencias (traducción al español de Alejandro Tiscornia), Editorial Atlántida, Buenos Aires, Argentina, 1994, p. 100. [29] Lógica multievaluada que permite valores intermedios para poder definir evaluaciones convencionales como sí/no, verdadero/falso, negro/blanco, etc. Las nociones como «más bien caliente» o «poco frío» pueden formularse matemáticamente y ser procesados por computadoras. De esta forma se ha realizado un intento de aplicar una forma más humana de pensar en la programación de computadoras. La lógica borrosa se inició en 1965 por Lotfi A. Zadeh, profesor de ciencia de computadoras en la Universidad de California en Berkeley.

[11]

humano, y cirugía asistida de alta complejidad. Un ejemplo simple es el siguiente: un

robot puede estar equipado con varios tipos de sensores que podrían generar informaciones contradictorias. Uno de los ejemplos más gráficos es el del visor óptico

con el que podría no detectarse una pared de vidrio, diciendo «puedo pasar», en tanto

un sonar la detectaría, diciendo «no puedo pasar». Un robot «clásico» dotado con ambos sensores, frente a una contradicción semejante, tendrá dificultades obvias que

podrían ser fácilmente superadas con el concurso de las lógicas paraconsistentes.

Varios otros asuntos relacionados con las lógicas paraconsistentes podrían ser mencionados todavía. Entre ellos, la aplicación a la ciencia del Derecho de las lógicas paraconsistentes deónticas [30]. En las lógicas deónticas, nociones como «obligatorio» y «permitido» pueden ser tratadas formalmente, y esos operadores

pueden ser interpretados como obligatoriedad o permisividad ante la ley, o en conformidad con algún sistema ético. El reciente desenvolvimiento de lógicas cuánticas

paraconsistentes, el análisis de cuestiones que contemplan creencia y aceptabilidad,

entre otros, constituyen ejemplos importantes de uso de esas lógicas. Importa mencionar también que han sido desarrolladas las bases de una «matemática paraconsistente». Tales estudios se hallan encuadrados en el campo de la matemática

pura. El tema es promisorio y con seguridad alcanzará relevancia en el medio científico, en la medida en que se vayan encontrando nuevas aplicaciones.

[VII] – UNA LÓGICA DISTINTA DE LA (LÓGICA) CLÁSICA

Si deseáramos entender el significado y la naturaleza de la lógica, tendríamos que

apoyarnos en el argumento que proclama que la lógica de hoy en día, comporta una disciplina de la misma naturaleza que la matemática. Efectivamente, los resultados

alcanzados en este campo nada le deben a ninguna rama de la matemática o de las ciencias empíricas, ni respecto de su profundidad, ni respecto del alcance de sus

resultados. Así es. Basta recordar los teoremas de incompletud de Gödel (1906-1978)

[31], los resultados de la teoría de la recursión, los de la teoría de los modelos o los de

[30] Es la lógica que trata de «enunciados deónticos» que, o son normas o son enunciados sobre normas. Antiguamente identificada con la «lógica de las normas», se tiende ahora a diferenciar la lógica deóntica (de enunciados descriptivos sobre normas) de la «lógica de las normas» (enunciados prescriptivos, que son normas). Se construye con los operadores deónticos «es obligatorio» (O) y «está permitido» (P), que se añaden a enunciados construidos según la lógica de enunciados, aunque con reglas propias de inferencia. Su estructura refleja la de la lógica modal, siendo en realidad una rama de la misma. El cuadro de oposiciones revela la semejanza y paralelismo de estas lógicas. Sus orígenes se remontan a los razonamientos prácticos de Aristóteles y los mejores estudios de lógica deóntica se deben, en la época moderna, al lógico finlandés Georg Henrik von Wright (1916-2003). [31] Matemático y lógico americano, nacido en Brünn, ciudad cercana a Viena. Estudió matemática en Viena, donde fue profesor desde 1933 a 1938, y donde entabló contactos con el Círculo de Viena. En 1938 se marchó a EE.UU. Sus estudios sobre lógica y metamatemática (filosofía de las matemáticas en lenguaje matemático) han sido los de mayor importancia del siglo XX. A partir de 1943 se dedicó también a otros temas filosóficos, preferentemente cosmológicos. Entre sus aportes a la lógica matemática se destaca, como el más conocido, el teorema que lleva su nombre, llamado también teorema de la incompletud, que afirma la

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los fundamentos de la teoría de los conjuntos, aunque no podamos detallar aquí tales

desarrollos. Empero, valiéndonos de esta analogía podemos examinar la lógica de la misma manera que de ordinario se procede con la matemática: dividiéndola,

artificialmente, como en la matemática, en (a) lógica pura, y (b) lógica aplicada.

La (a) lógica pura puede ser desarrollada in abstracto, independientemente de cualquier aplicación, Así, se estudian ciertos tipos de estructuras abstractas, tales como

los lenguajes formales o las máquinas de Turing (1912-1954) [32], que fundamentan el concepto que habitualmente solemos tener acerca de qué es la computación, entre las

cuales están los propios sistemas lógicos, como la lógica paraconsistente o la lógica intuicionista. Se puede, por lo tanto, estudiar la lógica desde un punto de vista «puro». A su vez, la (b) lógica aplicada, tiene un doble sentido: primero (ba), se puede aplicar

un determinado sistema lógico en cierto campo del saber, apuntando a ciertos propósitos. Este fue el rumbo de las aplicaciones de la lógica paraconsistente que

hemos reseñado sucintamente. Un segundo sentido (bb) sería el del desarrollo de algún

sistema lógico para dar cuenta de alguna situación para la cual la lógica clásica presentaría limitaciones. La lógica cuántica [33] , por ejemplo, tal como

originariamente fuera sugerida por von Neumann (1903-1957), es un referente en tal

sentido. Es discutible si la mecánica cuántica [34], o cualquier otro sistema conceptual

existencia de proposiciones indecidibles en un sistema formal de la aritmética. Cf.. Cortés Morató, Jordi y Martínez Riu, Antoni; Diccionario de filosofía en CD-ROM, Editorial Herder S.A., Barcelona, España, 1996. [32] Matemático inglés, nacido en Londres. Sus estudios sobre lógica matemática lo colocan a la altura de las grandes renovadores en esta materia. Su estudio más importante en este respecto es Sobre números computables, aparecido en 1937, con el que responde a la cuestión planteada por Hilbert acerca de si existe un algoritmo capaz de determinar si un enunciado es decidible -computable- en un sistema dado. Su respuesta a la cuestión, igualmente negativa como la formulada un poco antes e independientemente por Alonzo Church, es conocida como tesis de Church-Turing y al procedimiento ideal construido por Turing para demostrarla, máquina de Turing; «algoritmo» pasa a significar lo mismo que «computable», y «máquina de Turing» lo mismo que «procedimiento algorítmico». Interesado por los computadores electrónicos desde el momento de su aparición, construye -con otros científicos- durante la Segunda Guerra Mundial el «Colossus», computador destinado a descifrar códigos secretos, y trabaja luego en computadores en la Universidad de Manchester y en el National Physical Laboratory, donde construye su Automatic Computing Engine (ACE). En 1950 publica ¿Puede pensar una máquina? Los estudios lógico-matemáticos de Turing representan el fundamento teórico de la ciencia de los computadores. Cf.. Cortés Morató, Jordi y Martínez Riu, Antoni; Diccionario de filosofía en CD-ROM, Editorial Herder S.A., Barcelona, España, 1996. [33] El término «lógica cuántica» hace referencia al conjunto de operaciones lógicas necesarias para entender las anomalías relativas a la medida de cantidades cuánticas que surgen al estudiar la física en escalas atómicas y en particular las propiedades obtenidas por la composición de medidas sobre variables complementarias. El concepto de lógica cuántica fue propuesto originalmente por Garrett Birkhoff y John von Neumann, en 1936. Por otro lado las aplicaciones en ciencias de la información de la lógica cuántica permiten explorar la posibilidad futura de construir ordenadores basados en estos principios, regidos por una lógica cuántica en lugar de la lógica booleana. La posibilidad de desarrollar importantes aplicaciones cuánticas en computación fue puesta de manifiesto a principios de los ‘ 80 en trabajos de Richard Feynman y Benioff iniciando el campo de la computación cuántica. [34] La mecánica cuántica, también conocida como física cuántica, es la parte de la física que estudia el movimiento de las partículas muy pequeñas, el comportamiento de la materia a escala muy pequeña. El concepto de partícula «muy pequeña» atiende al tamaño en el cual comienzan a notarse efectos como la imposibilidad de conocer con exactitud arbitraria y simultáneamente la posición y el momento de una partícula. A tales efectos suele denominárseles «efectos cuánticos». Así, la mecánica cuántica es la que rige el movimiento de sistemas en los cuales los efectos cuánticos sean relevantes.

[13]

conocido realmente, carece de una lógica distinta de la clásica, pero es cierto que su uso

presenta ventajas en algunas situaciones como por ejemplo en los casos que implican el concepto de complementariedad en el sentido de Bohr.

Lo que importa en una distinción como la delineada es que muestra que no se

sustenta la concepción que los impulsores de las lógicas no clásicas quieren mostrar: que la lógica clásica está errada, y que por ende debe ser sustituida. La lógica clásica

constituye un inmejorable campo de estudio. Permanece válida en su dominio particular de aplicaciones... y no precisa, por lo menos mientras tanto, ser sustituida por cualquier

otro sistema.

[VIII] – CONCLUSIÓN: NO HAY UNA (SOLA) LÓGICA (QUE SEA) VERDADERA

En síntesis, no hay una (sola) lógica (que sea) verdadera. Distintos sistemas lógicos pueden ser útiles en el abordaje de diferentes aspectos de los tantos campos del

conocimiento: «Actualmente hay que aceptar una forma de pluralismo lógico, en el cual varios sistemas (igualmente incompatibles entre ellos) pueden convivir, cada uno prestándose al esclarecimiento o fundamentación de un determinado concepto o área del saber sin que eso nos presente un problema», porque «[...] al final, la metalógica que rige todo eso es paraconsistente» [35]

[IX] – BIBLIOGRAFÍA

[1] Bobenrieth, Andrés; Tolerancia lógica hacia las inconsistencias asumiendo que el mundo no es ni consistente ni inconsistente, versión on line:

http://www.pucp.edu.pe/eventos/congresos/filosofia/programa_general/martes/sesio

n9-10.30/BobenriethAndres.pdf

[2] Burrus, Daniel y Gittines, Roger; Tecnotendencias (traducción al español de

Alejandro Tiscornia), Editorial Atlántida, Buenos Aires, Argentina, 1994.

[3] Cirne-Lima, Carlos R. V.; Sobre a contradiçao, EDIPUCRS, Porto Alegre, Brasil, 1996.

[4] Cortés Morató, Jordi y Martínez Riu, Antoni; Diccionario de filosofía en CD-ROM, Editorial Herder S.A., Barcelona, España, 1996.

[35] Krause, Décio; La lógica paraconsistente, Universidad Federal de Santa Catarina, República Federativa del Brasil, mayo de 2004, versión on line www.cfh.ufsc.br/~dkrause.

[14]

[5] Krause, Décio; A lógica paraconsistente, versión on line:

http://www.cfh.ufsc.br/~nel/paraconsistente.html

[6] Ojeda Aciego, Manuel; Lógica, Matemática, Deducción Automática, versión on line: http://sevein.matap.uma.es/~aciego/TR/gaceta.pdf

[7] Omodeo, Eugenio G.; Brevissimi cenni di storia della logica, versión online: http://www.univ.trieste.it/~eomodeo/Informatica0405/cenniStorici.pdf

[8] Palau, Gladys; Introducción a las lógicas no clásicas, Editorial Gedisa, Buenos Aires, Argentina. 2003.

[9] Peña, Lorenzo; Introducción a las lógicas no-clásicas, versión on line:

http://www.ifs.csic.es/sorites/lp/books/inlonocl.pdf