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UNIVERSIDAD DE PANAMÁ
VICERRECTORIA DE INVESTIGACIONES Y POSTGRADO
PROGRAMA DE MAESTRIA EN MATEMATICA
SOBRE EL TEOREMA DE HOPF RINOW
POR:
MARIA DIXIANA ESPINOSA
Tesis presentada como uno de los requisitos para optar por el grado de Maestro en Ciencias con Especialización
en Matemática
UNIVERSIDAD DE PANAMA
Aprobado por:
e Director de Tesis
• e Oscar Valdivia G., Ph. D.
Miembro del Jurado •
Jorge Rojo Ph. D.
„ ) Miembro del Jurado C./14 .«'-(4t1w--C■ LÁ.,,>k/T:4.2e
Eduardo R. Steele M.So.
Fecha
Ciudad Universitaria "Octavio Méndez Pereira" ESTAFETA UNIVERSITARIA
PANAMÁ. II DE P.
Z's) •
"I only wish to make a plea for the
widest possible use of geometrical
thinking at ah l levels".
M.F. Atiyah.
ii
"Hago votos para que en todos los
niveles se utilice el pensamiento
geométrico tan ampliamente como
sea posible':
DEDICATORIA
111
Dedico este humilde trabajo a quienes
contribuyeron a forjar nu pensamiento
Ami madre Hersilia Abadía de cuyo
seno obtuve las virtudes de perseverancia
y positivismo hacia el trabajo
A na padre Carlos Espinosa de quien
recibí las primeras enseñanzas en los años
de infancia
A todos mis maestros y profesores, quie
nes desde los grados primarios hasta mi for
nación profesional supieron brindarme las
mejores instrucciones
1V
AGRADECIMIENTO
y
Al Dr Oscar Valaivia Gutiérrez nuestro
asesor guía y amigo por su incansable coo
peración para el logro de este trabajo
Al profesor Héctor Arazoza mi especial
reconocimiento por su valiosa orientación en
la preparación del mismo
A los profesores del Programa de Maestría
en Matemáticas y en especial al Dr Jorge Rojo
cuyas palabras de estimulo sirvieron de motiva
ción para seguir adelante
V2.
TABLA DE CONTENIDO
Pag
INTRODUCCION ix
CAPITULO I PRELIMINARES
1 1 Variedad Diferenciable 1 1 2 Campos Vectoriales 4
1 3 Partición de la Unidad 8
CAPITULO II METRICA RIEMANNIANA
2 1 Estructura Riemanniana sobre un abierto de IR T1 16
2 2 Estructura Riemanniana sobre una variedad di ferenciable 18
2 3 Métrica Riemanniana 23 2 4 Sistema Normal de Coordenadas 28
CAPITULO III CONEXION Y TENSOR CURVATURA
3 1 Conexiones 33 3 2 Derivada Covariante 36 3 3 Paralelismo 39 3 4 Conexión compatible con una estructura Rie
manniana 42 3 5 Tensor Curvatura 46
CAPITULO IV GEODESICAS Y APLICACION EXPONENCIAL
4 1 Definición de geodésica utiliz ando derivada covarlante 48
4 2 Concepto de geodésica mediante cálculo de va naciones 50
4 3 Ejemplos de geodésicas
54
4 4 Flujos geodésicos y aplicación exponencial 57
4 5 Curvatura Seccional
61
CAPITULO V TEOREMA DE HOPF RINOW
5 1 Variedad Riemanniana Completa 67
V11
Pag
5 2 Propiedad de una Aplicación Exponencial en una Variedad Riemanniana Completa 67
5 3 Existencia de geodésicas con longitud igual a la distancia Riemanniana 70
5 4 Aplicaciones del Teorema de Hopf Rinow 75
CONCLUSIONES 82 BIBLIOGRAFIA 86
1 X
INTRODUCCION
En la Geometría Diferencial, dentro de la teoría de las
superficies regulares se había introducido el concepto de
geodésica que es el análogo de la recta que pasa por dos pun
tos,en la Geometría Euclidena Posteriormente se introdujeron
los conceptos de aplicación exponencial y de superficie com
pleta
Un problema que surgió en forma natural fué el de rela
cionar la completez de una superficie al dominio de la apli
cación exponencial Hopf y Rinow resolvieron este problema en
1931 y 1932 en los importantes trabajos [11] y D20, estable
ciendo que para una superficie completa, existe una geodésica
minimal que une dos puntos arbitrarios Una versión moderna
de estos trabajos se encuentra en Pa
Cuando se introdujo el concepto de estructura Riemannia
na, y se generalizaron para variedades Riemannianas los con
ceptos de geodésica aplicación exponencial y completez, tam
bién surgió el problema de generalizar el teorema de Hopf
Rinow
Gracias al Teorema de la vecindad convexa de J H C
Whitehead, que da la estructura local de una variedad Riema
nniana, el matemático francés de Rham estableció también que
para una variedad Riemanniana completa, existe una geodésica
minimal que une dos puntos arbitrarios
Se han dado versiones modernas de la construcción de
de Rham, por ejemplo la de J Cheeger y D G Egin ([3]),
x
y la de Greene, ([9])
En el presente trabajo damos una versión del Teorema de
Hopf Rinow, utilizando las ideas introducidas por Cheeger
Ebin y Greene
En 1964 J Eells y J H Sampson ([8]) introdujeron el
concepto de aplicación armónica Otras versiones de este con
cepto aparecen en [5] y [22]
Como caso particular de una aplicación armónica tenemos
las curvas armónicas que generalizan las geodésicas y aquí a
parece en forma natural la energía de una curva armónica
que según el teorema de Hopf Rinow la geodésica resulta un
mínimo absoluto de esta energía
Presentamos este resultado en nuestra tesis como una
aplicación
Estos resultados conducen a otros problemas abiertos de
aplicaciones armónicas entre variedades Riemannianas Ver [22]
Con el objeto de presentar los resultados arriba mencio
nados en forma comprensible, hemos seguido el siguiente or
denamiento
En el primer capitulo recordamos definiciones de varie
dades diferenciables y campos vectoriales luego demostramos
el teorema de existencia de Partición de la Unidad
En el segundo capítulo definimos una estructura Riema
nniana y una métrica Riemanniana en una variedad diferencia
ble y concluimos con la construcción de un sistema normal de
coordenadas
X 1
En el tercer capítulo introducimos el concepto de cone
xión de Koszul sobre una variedad diferenciable la derivada
covariante asociada a esta conexión conexión compatible con
una estructura Riemanniana y concluimos demostrando el Teore
ma Fundamental de la Geometría Riemanniana que establece la
existencia de una única conexión simétrica compatible con una
estructura Riemanniana
En el capítulo cuarto damos el concepto de una geodésica
sobre una variedad Riemanniana, utilizando la derivada coya
riante así como el cálculo de variaciones Luego estudiamos
la aplicación exponencial y la curvatura seccional haciendo
énfasis en el cálculo de esta última
En el quinto y último capítulo estudiamos la existencia
de geodésicas con longitud igual a la distancia Riemanniana
en variedades Riemannianas completas Demostramos además el
Teorema de Hopf Rinow, analizando sus aplicaciones y termina-
mos con la discusión de algunos problemas abiertos de apli
caciones armómicas entre variedades Riemannianas
Finalmente queremos añadir que en la presentación de
nuestro trabajo hemos intentado reflejar el pensamiento del
eminente matemático inglés M F Atiyah
CAPITULO I
PRELIMINARES
En este capítulo estableceremos los principales resul
tados de variedades diferenciables campos vectoriales y
partición de la unidad, que utilizaremos en los capítulos
que siguen
1 1 VARIEDAD DIFERENCIABLE
1 1 1 DEFINICIONES Sea M un espacio topológico de
Hausdorff con base numerable
Una carta local en M de dimensión n es un par (U,y)
formado por un abierto U de M y un homeomorfismo y de
U en un abierto de 91.11
Decimos que las funciones x l=n l oy u 4. IR con 1 i 4 n
y Tr i an + IR,la proyección canónica, constituyen un sis
tema de coordenadas locales sobre U
Un atlas de dimensión n de M es una familia ((17 1 y i )1 - icl
de cartas de dimensión n tal que la familia (U l l - icI
forma un cubrimiento de M
Un atlas compatible de clase Ck es un atlas de M tal
que para todo par de cartas (U 1)) (V 4) del atlas
con Uf1V Y • se tiene que la aplicación
I' 1' 1 Vunv) tuunv)
que llamaremos cambio de cartas es diferenciable de
clase Ck
De aquí se deduce que la aplicación
a 1 tr(unv) nunv)
2
también es diferenciable de clase Ck
Un atlas de M es maximal,si no existe otro atlas que lo
contenga
Decimos que M tiene una estructura diferenciable o que
M es una variedad diferenciable de dimensión n si y so
lo si M tiene un atlas maximal compatible de dimensión
1 1 2 OBSERVACIONES
1 En adelante consideraremos solamente atlas compati
bles de clase Ce°
2 Se puede comprobar que todo atlas compatible en M
está contenido en un único atlas maximal así para de
finir una variedad diferenciable, no es necesario cons
truir un atlas maximal sino que basta con construir
un atlas compatible
1 1 3 EJEMPLOS DE VARIEDADES DIFERENCIABLES
a) Todo espacio euclideano con el atlas (fl n Id an )
que consta de una sola carta, es una variedad diferen
ciable
b) La esfera Sn= (xenn +1 / 11)(11= 1 ) con el atlas
(U1
h) donde 9 19
Uki={xcSn / ( 1) 3 x >0} y
hk)
Uk3
-+ pn = {xcaln / 11xli< 1}
es definida por hk (x) = (x. xn ) Xk 1 Xk+1
c) Todo subconjunto abierto de una variedad diferencia
ble posee una estructura de variedad diferenciable
1 1 4 APLICACION DIFERENCIABLE Sean M y N variedades
diferenciables de dimensión m y n respectivamente
Una aplicación continua f M + N es diferenciable en
el punto pcM si y solo si, cuando para un par de car
tas ( y por tanto para todas) (U y) de M y (V T) de N,
tales que pcU f(p)cV y f(U)r)Vy O , se tiene que la
aplicación Tofo, 1 p(unf 1 00) -4. T(V) es diferen
ciable en el punto y(p)
La aplicación f es diferenciable si y solo si es di
ferenciable en cada punto pcM
1 1 5 NOTA La independencia de la elección particular
de las cartas locales, es consecuencia de que las fun
ciones de cambio de cartas son diferenciables
1 1 6 OBSERVACIONES
1 La función identidad de una variedad diferenciable
es diferenciable
2 La composición de dos aplicaciones diferenciables
también es diferenciable
3 A la categoría cuyos 'objetos son las variedades
diferenciables y cuyos morfismos son las aplicaciones
diferenciables llamaremos Categoría Diferenciable y la
designamos con C'
4 Con r(M N) designamos el conjunto de aplicaciones
diferenciables de 14 en N Brevemente C'(M)=C'(M,R)
3
1 2 CAMPOS VECTORIALES
1 2 1 VECTOR TANGENTE Consideremos el conjunto de las
curvas diferenciables en la variedad diferenciable M
de dimensión n y que pasan por el punto peM
{ c / c ( c +c) + M, c(0)=p c>0}
Definimos en este conjunto la relación R por
cR~ ++ para alguna carta (U, y) tal que pcU %
= (x1 ° c) / 14iSn dt / t=0 dt / t=0
donde x l = n a o 47
Se comprueba que R es una relación de equivalencia y
que la definición anterior es independiente de la car
ta local que se seleccione
A una clase de equivalencia de la relación R llamamos
vector tangente en el punto p
1 2 2 ESPACIO TANGENTE Si denotamos el conjunto
{c / c ( e +c) * M c(0)=p c>0) por cur(p) Defi
nimos el espacio tangente, a M en el punto p el cual
denotamos TM como T M=cur(p)/R
TM es el conjunto de todos los vectores tangentes a
la variedad M en el punto p
1 2 3 DEFINICION Sea C °2 (M) el conjunto de aplican°
nes diferenciables de la variedad diferenciable M, de
dimensión n, en IR
Una derivación de r(M) es una aplicación lineal
X C(M) —4IR que cumple la regla del producto, es
4
decir para Vf g e C(M) y VpcM se tiene
X(f g) = X(f) g(p) + f(p) X(g)
Es fácil ver que existe una correspondencia entre los
vectores tangentes a la variedad M en el punto p y las
derivaciones sobre r(M)
Así dos vectores diferentes definen derivaciones dife
rentes y toda derivación determina un vector tangente
sobre M
Por último TM tiene una estructura natural de espa P
cio vectorial sobre IR de dimensión n
Ver estos resultados en [1] y [2]
1 2 4 VARIEDAD TANGENTE Sea M una variedad diferencia
ble de dimensión n
Definimos en el conjunto TM4--- ) T M una estructura peM P
de variedad diferenciable de dimensión 2n como sigue
Las cartas en TM se definen a partir de un atlas de M
Si Ili 1 } 1e1 es la familia de abiertos de este atlas
formamos el cubrimiento de TM con la colección u 1 (U ) 1
donde u es la aplicación w TM * M que a cada vector
tangente a M le hace corresponder el punto donde el
vector es tangente
Así u 1 (p) =TM para y pcM P
Sea ahora X c u 1(U), definimos la aplicación P
n 10.0 ..1.92n por
7(Xp ) = (x l (p), xo (p) x1(p) ,xn(p)) 1
5
donde las n primeras coordenadas son las coordenadas
)(cu l o 4, del punto pcU (vistas en 1 1 1) y las n últi
mas coordenadas son las componentes del vector X en
la base natural I 1<i<n de T M { P I -
Se prueba que -mi es un homeomorfismo local
Concluimos que (u 1 (U), Zj ) define una carta local en
TM
Consideremos ahora otra carta local (V T) en M, sea
Y1 = n 1 °T el sistema de coordenadas asociado y (u 1(V),7 )
la carta que define (V,T) en TM, con UrIV # 0 luego
ir 1 (u) n u 410 y 4,
Si X c u 1 (U) n w 1 (V) entonces
(Xp) = (xl(P) xn (p) X(p) Xn (P)) Y 1
717 (Xp) = (Y1(P) Yn (P),X (P) Xn(P))
Luego la función
Te-, re 1 re en (u) n u 1 (V) ) ( Tr 1 (u) n Tr 1(V) )
es diferenciable de clase Cw pues para las n primeras
componentes se tiene que los cambios de cartas de M son
funciones diferenciables de clase C c° , y para las n últi
mas componentes tenemos que si n n
X = E X 1 (p) a 1 . I X 3 (p) a / P 1=1 la-- /p 3=1 i ,
entonces X 1 = E "1 X 3 es una función diferenciable P ayl P
6
de clase Cw
De esto se deduce que los cambios de cartas de TM son
diferenciables de clase C e°
1 2 5 CAMPO VECTORIAL Un campo vectorial sobre una va
riedad diferenciable M es una aplicación X M + TM ,tal
que a cada punto de la variedad le asocia un vector tan
gente a la variedad en ese punto Así para V p e M,
X(p) e TM
Observemos que un campo vectorial X sobre una variedad
diferenciable M actúa sobre una función real definida
sobre M de la siguiente manera
La función X(f) M + IR se define por X(f)(p) = X (f)
para VpeM Vfer(M)
Luego podemos dar la siguiente definición
Un campo vectorial X sobre una variedad diferenciable
M es diferenciable si al actuar sobre toda función di
ferenciable sobre M se obtiene una función diferencia
ble, es decir
El campo vectorial X M + TM es diferenciable, si y solo
si, para V f eC (M) se tiene que X(f) e Cc° (M)
1 2 7 EXPRESION LOCAL DE UN CAMPO VECTORIAL SOBRE UNA
VARIEDAD DIFERENCIABLE Sea (U y) una carta local en la
variedad diferenciable M de dimensión n
Para dpeU X(p) se puede escribir como combinación
lineal de elementos de la base (L/ 3 de T M ax i P hcien
Así tenemos que X(p) = E Xl (p) w—a —/ ox p 1=1
7
8
De aqui se obtiene n funciones X 1 M 4. CR que se denomi
nan funciones componentes del campo vectorial X en el
sistema (U x)
Un campo vectorial X es diferenciable si y solo si
todas las funciones componentes del campo en una car
ta local son funciones diferenciables
1 3 PARTICION DE LA UNIDAD
Recordemos en la siguiente sección algunos conceptos
de la Topología General que utilizaremos en la cons
trucción de la partición de la unidad
1 3 1 DEFINICIONES Sea X un espacio topológico y V
un subconjunto de X (V puede ser sub espacio de X)
Una familia {Aa}acJ de subconjuntos A aC X es un cubri
miento de V si solo si V C L ) A acJ a
Si para V a Aa es abierto entonces a la familia
{Aa } acJ llamamos cubrimiento abierto de V
La subfamilia (Aa }
acH
H C J es un sub cubrimiento
de V, si y solo si V C L__J A acH a
Un cubrimiento {BO} OcK de V es un refinamiento del
cubrimiento {Aa } acJ ' si y solo si para cada OcK exis
te acJ tal que B e C Aa
Una familia {Cy}ycL de subconjuntos C C X es local Y
mente finita si y solo si para V pcX existe una ve
cindad Wp de p tal que Wp r-1 CY Y
• para un número
finito de ycL
Un espacio topológico X es paracompacto,si y solo si,
todo cubrimiento abierto de X tiene un refinamiento
localmente finito
Sea M una variedad diferenciable Una partición de la
unidad sobre M es una familia {y i l -la de funciones
y M 4. M diferenciables de clase Cm tales que i
1) La familia de los soportes {sop w I vi-icJ es localmen
te finita donde sop y, =ixem / 'q(x) Y 01
ii) Eql (p) = 1 para V pcM y yi (p)> O
Sean M una variedad diferenciable y {Ua l acj un cubri
miento de M
Una partición de la unidad {41 1 1 sobre M es subor
dinada al cubrimiento {Ua } acj , s i y solo si,para
V i c K 3a e J tal que sop y, C U ell
En vista de que toda variedad diferenciable posee un
cubrimiento (dominio de las cartas) nos interesa saber
si existirá una partición de la unidad subordinada a
tal cubrimiento
Los lemas siguientes nos conducen a dar una respuesta
a esta interrogante
1 3 2 LEMA Sea X un espacio topológico localmente
compacto de Hausdorff y con base numerable Entonces
X es paracompacto
DEMOSTRACION Veamos previamente que existe una suce
sión {Mich] de conjuntos abiertos de X tales que
9
_ 1) G 1 es compacto para V ichl
11) Il C G1+1 para V ieN
111) X = L:LJ G i 1=1
Vease para una interpretación la figura siguiente
e -----
) 1111111 G 2 G3 Gi 1 G i 1+1
}Y 2 1 ,
Como X es localmente compacto y con base numerable exis
te una base numerable {U 1 } 1=12 de la topología de X ,
que consiste de conjuntos abiertos con cerradura compac
ta
Sea G1=U1 Construimos recursiyamente la familia
como sigue {G1 } 1eN
Supongamos que G k=U 1 t_J u2 U Li Ujh y sea 3,01
Plehl 1 el mínimo entero mayor que j k tal que qck j u 1
3k+1 1=1 Ahora definimos Gk" = I. j u Se Comprueba fácil
1 =1 1
mente que la sucesión {G i } leN verifica las tres pro
piedades anteriores
Sea ahora {Uct } acj un cubrimiento abierto arbitrario de
X
lo
_ El conjunto G 1 G, 1 es compacto y está contenido en
el abierto G 1+1 G1 2
Para 343 elegimos un sub cubrimiento finito del cubri
miento abierto {U (G1+1 G )} 2 acJ del conjunto 1
-5- G 1 1-1
También elegimos un sub cubrimiento finito del cubri
miento abierto {U G3 1 acJ del conjunto compacto
G 2
La unión de estos subcubrimientos resulta un cubrimien
to finito para todo el espacio X, el cual denotaremos
por {V }€n Ademas para V pcM existe una vecindad Y Y Glp deptal que G lrI nV yo
Y Concluimos que el cubrimiento {Vy } ycll es localmente fi
nito A
1 3 3 LEMA Existe una función y an+ IR diferenciable
de clase Cc° no negativa, que sobre el cubo cerrado
c(1) vale 1 y sobre el complemento del cubo abierto
c(2) vale O
DEMOSTRACION: Sea la función fel + M
definida por
/ e 1/t
f(t)=
O
si t > O
s i t O
Definimos también la función g IR + M por
g(t) - f(t)
f(t) + f(1 t)
11
12
g es diferenciable de clase e» , no negativa y toma el
valor 1 para t?,1 y el valor O para t‘O
Sea ahora la función h CR ÷ a definida por
h(t)=g(t+2) g(2 t) 9
h es diferenciable de clase Cr, no negativa y toma el
valor 1 sobre [ 1 +1] y O (cero) en el complemento de
( 2 +2)
Luego la función if =(11017 1 )* •(h 0 7Tn ) IRn +- IR
(donde r, 0 n + IR con 1$14n es la proyección canónica)
es no negativa vale 1 sobre el cubo cerrado
c(1)= [1,+1]x x [1 +1]de n copias y vale O (cero) en
el complemento del cubo abierto c(2)=( 2 +2)x x( 2 +2)
de n copias A
1 3 4 TEOREMA (Existencia de partición de la unidad)
Sea M una variedad diferenciable y {U ci acA un cubrimien
to abierto de M Entonces existe una partición de la
unidad numerable{T3 } 3- 2 _ subordinada al cubrimien 1
to {Ua}acA con sop T 3 compacto para V3=1 2
Si no se requiere soportes compactos entonces existe
una partición de la unidad {Ta } subordinada al cubri
miento {Ua ) esto es, sopy a C Ua con a lo más un nú
mero enumerable de los siga no identicamente nulo
DEMOSTRACION Como M es una variedad diferenciable es
localmente compacto de Hausdorff y con base numerable
Por el lema 1 3 2 existe una sucesión {Gi}ieN de abier
to tales que G es compactopara YieN i
Pongamos G o = O
Para cualquier pcM sea i p el máximo entero tal que
pcM Gi
Entre los acA elegimos un a tal que pcila y sea
(V t) una carta local alrededor de p tal que
V C (Ua n Gi +2
G ) y T (V) c(2)
,
irtua aill}G2yG3 P
G G
i +2 ...., P e
Definimos * M CR por
si xcV
*p (x) - 9o T (x)
si x/V
donde T es la función construida en el lema 1 3 3
Luego * vale 1 en una vecindad W de p (pre imagen
por T del cubo cerrado de radio 1) y tiene soporte
compacto contenido en V
Ahora para cada fl.1 elegimos un conjunto finito de
puntos pcM cuyas correspondientes vecindades cu
bran G Gi 1 el cual es compacto
Ordenamos las funciones *p en una sucesión {113 =1 2
13
La familia {sop .3 1 3=1 2 de los soportes es local
mente finita
Sea ahora la función 0 = E
Se observa que tp M es diferenciablede clase
Cc° , pues cada término lo es, y además 0(p)>0 para VpcM
Finalmente para cada 3=1,2, definimos
T M M por (x) . (x)
0 (x)
Luego la familia 2, {413 de funciones es una par 1 3=1
tición de la unidad subordinada al cubrimiento {U / aucA
y es tal que sop p 3 es compacto para y
Así queda demostrada la primera afirmación del teore
ma
Si no se requieren soportes compactos para la partición
de la unidad que deseamos construir se procede de la
siguiente manera
Caso 1 Si para acA fijo ningún sop u está conteni ij
do en Ua donde {w 3 / 3 " ,2, es la particién de la uni
dad construida anteriormente Entonces definimos T a
idénticamente nulo
Caso 2 Si dado acA existe un número natural 3 tal que _
sop 1q 3 C U definimos Ta = DP3
Para ver que el sop if a C Ua observamos que si E es
una familia de conjuntos cerrados localmente finita,
entonces t 1 A = 1. 1 A , sin embargo es claro Ac Ac E
14
que el soporte de y a no es necesariamente compacto
Así resulta que la familia hpa } acA es una partición de
la unidad subordinada a {Ua}acA con lo que queda demos
trada la segunda afirmación del teorema A
1 3 5 COROLARIO Sean G un abierto en una variedad di
ferenciable M, A cerrado con A C G Entonces existe una
función, M-• CR diferenciable de clase C m tal que
1) O ,4 49(p) 1 para V pcM
ii) 47(p) = 1 para V pcA
iii) sopy C G
DEMOSTRACION La familia {M A G} es un cubrimiento de
M, luego por el teorema anterior existe una partición
de la unidad {O,P} subordinada a este cubrimiento tal
que sop tpCMA y sopp C G
Se comprueba fácilmente que la función y verifica las
condiciones 1) ii) y iii)
Vease [23] A
15
CAPITULO II
METRICA RIEMANNIANA
Con el objeto de introducir los conceptos de estructu
ra y métrica Riemanniana sobre una variedad diferenciable
discutiremos estos conceptos previamente en abiertos del
espacio euclideano En Además estableceremos algunos de
los resultados que se utilizarán en los capitulos que si
guen
2 1 ESTRUCTURA RIEMANNIANA SOBRE UN ABIERTO DE En
2 1 1 DEFINICION Sea f U +Mn+k una aplicación di
ferenciable de un abierto U de Mn en En.11( con k>1 y
tal que la derivada Df(u) tiene rango n para V ueU
sea también B el espacio lineal de todas las aplicacio
nes bilineales de En x 09, 11 en
Para cada uell definimos la aplicación g U B por
g(u)(z w) = <Df(u)(z), Df(u)(w)› para V z,w E n
Se concluye fácilmente que g es diferenciable
2 1 2 OBSERVACIONES
1 Para V ueU g(u) es simétrica es decir
g(u)(z,w) = g(u)(w z) paradz we
2 Para V ucU g(u) es definida positiva, así,
11z11 2 = g(u)(z,z) > O con g(u)(z,z) = 0,si y solo si,
z=0
Concluimos con estas observaciones que g(u) es un pro
ducto interno sobreOln , que lo denotaremos g(u)=< , > u
Este nuevo producto interno nos permite definir una es
16
17
tructura geométrica sobre U diferente de la euclideana
que se denomina Estructura Riemanniana
Las ideas centrales de la geometría euclideana distan
cia y ángulo son definidas en términos de este producto
interno como veremos a continuación
2 1 3 DEFINICION Sean a y O dos curvas diferenciables
en el abierto U Can es decir las aplicaciones
a, O tR+Uson diferenciables luego para Irtea
Da(t) y D8(t) son aplicaciones lineales de fl en 2.11 dis
tintas de cero
Si para s,t c R se tiene a(s) = 6(t) es decir a y O
pasan por un mismo punto,y ademas Da(s)(1) = X y
DO(t)(1) = Y
entonces definimos el ángulo O comprendido entre los
vectores X e Y por la relación
IIXII u 11Y11 u cos e = <x Y>u donde IIXII 2 =<> X)6 u
IIYII 2 =<1' Y>u u
2 1 4 DEFINICION Sea y [a b] 4- U una curva seccional
mente diferenciable sobre un abierto U de MY1
Si x = y(a) y = y(b) definimos la distancia de x a y
que denotamos con d(x y),por
d(x y) = inf L (y1), donde {y 1 -.1-1eI es la familia de to
das la curvas seccionalmente diferenciables que unen
x e y también para V i e I,L(y i ) denota la longitud de
y
18
2 2 ESTRUCTURA RIEMANNIANA SOBRE UNA VARIEDAD DIFERENCIABLE
2 2 1 DEFINICIONES Sean M una variedad diferenciable
de dimensión n y TM =k--) T M la variedad tangente pcMP
Denotamos con I(TM) el conjunto de todas las formas
bilineales simétricas y definidas positiva sobre TM
y sea I(TM) = I(T M) p c M
Una Estructura Riemanniana sobre M es una función
< M + I(TM) que también designamos con g tal que
< )(13 ) = < donde < > es un elemento de I(TM)
Una estructura Riemannlana.< > sobre M es diferenciable
de clase Cw si y solo si para todo subconjunto abierto
U de M y todo par de campos vectoriales V y W sobre U di
ferenciables de clase Cw la función 'Y U + M definida
por 51 (p) = <V(p) W(p)› es de clase C
A una variedad diferenciable M con una estructura Riema
nniana < , > de clase Cw o sea al par (M < > ) la
llamaremos Variedad Riemanniana
2 2 2 LEMA Una estructura Riemanniana < > sobre una
variedad diferenciable M de dimensión n es de clase C w
si y solo si, para todo sistema de coordenadas (x 1 ' xn )
asociado a una carta local (U,x) de clase C w sobre M se
tiene que la función 'Y U+ CR definida por
' a ye
\Y(P) <—/ a
> es diferenciable de clase C
ax 1 axJ Ip P
i
19
DEMOSTRACION Supongamos que la estructura < > sobre
M es diferenciable de clase C .'
Sean p c M (U,x) una carta local alrededor de p de cla
se Cc° (x 1 xn) el sistema de coordenadas asociado a
esta carta y { a / 3 la correspondiente base a x p
1
canónica de T M
Para V 1, ) = 1 2 n ax ax3
son campos vecto 1
riales sobre U diferenciables de clase C °
Luego como la estructura < > es diferenciable de cla
a \„ se Cc° la función T U + IR definida por T(p)= < ax ikgx F
es diferenciable de clase C (2 2 1)
Recíprocamente sean U un abierto de M V W campos vecto
riales sobre U diferenciables de clase C 1) 0 e U
Probaremos que la función y Il+fildefinida por
9(p 0 ) = <V(p 0 ), W(p 0 )›p 0 es diferenciable de clase Cl°
sobre U
Sea (U y) una carta local alrededor de )3 0 diferencia
ble de clase Cc° consideremos la base conónica
{ 1-1 / Y, de T M
p tli4n Po
Como U h U es abierto y contiene p 0 , se tiene que
U n u' V • luego los campos vectoriales V/U n U'
w/u n U' son diferenciables de clase e»
a , ParaVpcUrIU sean V(p) =E a l (P) / 1=1 Yí P
Y n a w(p) = I 15 ( P ) 57-- /P 3=1 3
20
las expresiones locales de V y W en UrIU donde a
b son funciones diferenciables de clase C UriiP
Ahora la funcion p unu IR definida por
T(p) = 07(p) W(p)› p es diferenciable de clase Cw pues
to que , 11 Para p e unu 47 (p) =\I i / E b
3 . 1 3 ay3
P 71
= E E a (p) b(p) Y(p) 1 13
y por hipótesis la función Y dada por
T(P) =K - —Lin a/-- es diferenciable de clase C c° ay r ay 7 P P
sobre U' luego también lo es sobre Ur111 1
Por tanto yes diferenciable en 1) 0 y como este punto es
arbitrario , concluimos que la función kp es diferencia
ble de clase C U A
2 2 3 NOTA En todo lo que sigue solo consideraremos
estructuras Riemannianas de clase C c°
La existencia de un estructura Riemanniana sobre una
variedad diferenciable se establece en los teoremas
siguientes
2 2 4 TEOREMA En toda variedad diferenciable paracompac
ta existe una estructura Riemanniana diferenciable de
clase Cc°
DEMOSTRACION Sean M una variedad diferenciable de di
mensión n paracompacta y21= ((U, 11) x '1('-kcA un atlas
diferenciable sobre M La familia {Uk)keA es un cubri
21
miento abierto de M y como M es paracompacta existe
un refinamiento localmente finito (1.1 1 ) 16J del cubrimien
to dado
Consideremos la partición de la unidad {X, } lej subordi
nada al cubrimiento {Iy iej
Para cada carta local (U 1 T 1 ) alrededor de pcM consi
deremos, el sistema de c000rdenadas asociado (4 ,x11 )
y la base canónica {4151} 1 4 3 4 n
de TpUl C TpM
3
Definimos el producto interno sobre TpU 1
{0 si k=3
< a /P a /
P / P --r a y si 1(03
3 vYk
Para 1( 1 3 = 1 2, n
Sean V W campos vectoriales sobre M de clase C °2 enton
ces paradpcMse tienen
V(p) = Ea(p) a
3=1 ax 3
n a / W(p) = E b(p) —27/ P k=1 ay
las expresiones locales de V y W en U 1
Ahora definimos < , > M I(TM) por
V(P), W(P)› = E [EEa;(P) bl(P)] X 1 (p) n 3 k
si p c U 1 y si p é U 1 las funciones a l b l no están 3 k
definidas pero no se cuentan,ya que X 1 (p) = O
22
Por lo que resulta que < , > es una estructura Rie
manniana diferenciable de clase C c° sobre M A
2 2 5 TEOREMA Toda variedad diferenciable inmersa en
un espacio euclideano M a admite una estructura Rie
manniana
DEMOSTRACION Sean M una variedad diferenciable,
E M + ata una inmersión y < , > el producto escalar
usual en 02Lb
ParadpeM, la aplicaciónTf TM+ Tf(p)iR
a es un P P
homomorfismo inyectivo
Construiremos una estructura Riemanniana sobre M de la
manera seguiente
Sean V y W campos vectoriales diferenciables de clase C ce
sobre M
Definimos < ›* M + I(TM) por
<V(P), W(P)> Ilp ' <Tpf(V(P)) Tp f(W(P))›
Se comprueba que < > *es una estructura Riemanniana A
2 2 6 OBSERVACIONES
1 Por el teorema de Whitney para todad variedad dife
renciable M de dimensión n existe una inmersión
n+1 f M-)- CR (Ver [2] ) Luego podemos aplicar el teore-
ma 2 2 5 para obtener una estructura Riemanniana sobre M
2 La construcción del teorema 2 2 5 se generaliza de
la manera siguiente
Sea f una inmersión de la variedad diferenciable M en
la variedad Riemanniana (N, < > )
Entonces paraypeMse tiene que T pf TM + Tf(p) N
es un homomorfismo inyectivo *
Definimos < > M + I(TM) por
<V(p) W(P)>t = <T f(V(p)) T f(W(p))› para todo par P P P
de campos vectoriales V y W diferenciables de clase C c°
sobre M *
Se comprueba que < > es una estructura Riemanniana
diferenciable de clase C° sobre M
3 Sean (M < > ) una variedad Riemanniana de dimen
sión n (U,x) una carta local y (x l , xn ) el sistema
de coordenadas asociado
Entonces sobre U la estructura Riemanniana <p > se
puede escribir representar por n
< > = E g , dx e dx donde las funciones g 13 i j 3=1 1) 1
son diferenciables de clase C" y ademas satisfacen las
condiciones
1) g13 = gJ1 porque ( , > es simetrica
ii) det(g li ) > O ya que < > es definida positiva
Concluimos que una estructura Riemanniana sobre M es
un tensor covariante de orden 2
2 3 METRICA RIEMANNIANA
Recordemos que
1 Una funcion y del intervalo cerrado [a b] en la va
riedad diferenciable M es diferenciable de clase C', si
y solo si existen un número real e > O y una función
Y e (a e, b+e) + M diferenciable de clase C tal que
23
24
la restrición yl a 13] = y
2 Una aplicación continua y Ea 1) .] -› M es una curva
seccionalmente diferenciable de clase C c° , si y solo si
existe una partición finita a = b i < b 2 < < bk = b
tal que la restricción y/Eib i , es diferenciable
de clase C°3
2 3 1 DEFINICIONES Sea (M < > ) una variedad Rieman
niana de dimensión n y y Ea 13 -] M una curva seccio
nalmente diferenciable
Se define la longitud de y, que designamos con L(y),
12 por L(y) = <Tty(1) T /
ty(1)> dt
a y(t)
donde Tt es el homomorfismo de CR en el espacio tangente
Ty(t) M
Definimos la funciónd MxM->Olde la siguiente manera
ParaVxycM conMconexo d (x y)=Inf {L(y 1 )) donde
idI
es la familia de todas las curvas seccional
mente diferencialbes que unen x e y
Si M no es conexo entonces definimos d, separadamente,
sobre cada componente conexa
La función d definida anteriormente tiene las siguien
tes propiedades
1) ParaVxycM d(x,y) > O
Esto es claro, pues para V i c I L(y 1 ) > O entonces
Inf {"Yi" °
25
ii) ParaVxycM d(x,y) = d(y x)
Se debe a la simetría de ( > , paraVpcM P
iii) ParalrxyzcM d(x,z) < d(x y) + d(y z)
Para ver esta propiedad, consideremos las curvas seccio
nalmente diferenciables
a [ab]+My
0 Ec d ] + M
tales que a une x e y, 8 une y e z
Definimos una nueva curva seccionalmente diferenciable
y E a, b+d c] -› D4 por
La(t) si t c [ a b ]
y(t) = 0(t b+c) si t c [ b, b+d c]
Claramente la curva y une x y z luego
L(y) = L(a) + L(8)
Y
z x
Así tenemos que d(x,z) s Inf {L(y)}
s Inf {L(a)} + Inf {L(0)}
= d(x y) + d(y,z)
De estas propiedades aun no podemos concluir que la fun
ción d es una métrica mas del siguiente teorema y su
corolario podemos deducir que la función d es una mé
trica sobre M
26
2 3 2 TEOREMA Sean T la topología de M como variedad
Riemanniana de dimensión n, y a la topología sobre M
determinada por la función d definida en 2 3 1
Entonces las topologías T y a coinciden
DEMOSTRACION Previamente convenimos que para cualquier
carta local (U,T) con T U U' C Mn identificamos
la topología T restringida a U con la topología indu
cida (sobre U') por la norma euclideana en M n que es
la topología usual
Además denotemos por drium la función d definida en 2 3 1
Y por deuc la función distancia euclideana U x U +ffl
dada por la norma euclideana en M n , es decir
ParaduveU deuc(u v) = IIT(u) T(v)11
Así mismo para V z e TuM con u e U 11z11riem= ‹z z>1/2 u
Y ilzil euc = IlTuT(1)11
Seanuellya>Otales que la bola cerradaEde cen
tro u y radio a {v e M / d euc (u v) a) está conteni
da en U
Para cada v e E consideremos la esfera unitaria
Sv = {w e TM / 11W11 =
Luego B = L_J S es un haz fibrado de esferas sobre E veE
tal que B C TM es compacto
Así la funciónf B-* CR definida por f(z) = 11z11 riem
es continua y por lo tanto alcanza sus valores máximo
y mínimo
Sean N y h los valores máximo y mínimo de f respecti
vamente con h > O
Consideremos la curva seccionalmente diferenciable
y [ O pi + M que une los puntos uy y con ve E
I CASO Supongamos que 1711(y) C E
Reparametrizando y si es necesario podemos asegurar
que = IIT.y(1111 1 paraVte [Opi t s. , euc
Luego T ty(1) e B y además
Lriem (Y ) = I P IITty(1)11 riem dt > h p> hd (u v) ' euc O II CASO Supongamos que im(y) e E
Entonces
Lriem (y) = r IITty(1)1Iriem dt >,11a3hd euc (u v)
O
En ambos casos tenemos que Ltlem (y) h d euc (u Y)
de donde driem (u v) .?, h d euc (u ' v) (*)
Consideremos ahora la curva0 [0a] +E definida
por 115(t) ' / 1 [ 1/a(T(0(t)) T(u)) ]
parau B(t) =yeE con a = deuc (u 8(t))
En este caso tenemos
Lriem (y) = fa IITty(1)1Iriem dt H a
O
de donde deducimos que driem(u y) < H deuc (u,v) (**)
De (*) y (**) resulta
h deuc(u v) driem(u v) H deuc(u v)
con lo que concluimos la demostracion Á
27
28
2 3 3 COROLARIO d rlem es una métrica sobre M
DEMOSTRACION Como d = driem tiene las propiedades
1) ii) y iii) de 2 3 1 basta probar que
ParalrxycM driem (x y) =O siysolo si,x= y
Si x = y entonces d riem (x x) = Inf {L(y 1 )} = O
luego d(x y) = O
Recíprocamente supongamos que x Y y como M es un es
pacto de Hausdorff existen vecindades T abiertas P y Q
dexeyrespectivamente tales quePnQ= O
Por otra lado como las topologías T y a coinciden, exis
ten números reales r s > O tales que las bolas B r (x) y
B5 (y) tienen intersección vacía
Así driem(x y) k. r+s > O lo que implica que driem(x y)>0
lo cual es una contradiccion A
2 3 4 DEFINICION A la métrica d = d riem determinada por
la estructura Riemanniana < > sobre M llamamos
Metrica Riemanniana
2 4 SISTEMA NORMAL DE COORDENADAS
2 4 1 TEOREMA Sean M una variedad Riemanniana de dimen
s'Un pcMy{v 1 ' vn } una base ortonormal de T nM
Entonces existe un sistema de coordenadas (x 1 ' xn )
alrededor de p de clase e tal que
1) p #—+ (O ,0)
11) V ÷-4. -2-/
para V 1=1 n i ax P 1
a 111) Si g li = <-2- ---> m +CR es de clase C
ax ax3 1
29
ces dg13/p =0 para V 1 3 = 1, n
DEMOSTRACION Sea (uU T) una carta local alrededor de p
y (z 1 zn) el sistema de coordenadas asociado
Consideremos la aplicación t Mn Mil definida por
t(q) = q T(p) para V q c Mn
Es claro que t eq una traslación y por tanto un difeo
morfismo
Luego (U *) con * = t°T es una carta local alrededor
de p y sea (y / , yn ) el sistema de c000rdenadas aso
ciado entonces { 3/ } forman también
bri P 1=1 2 n
una base de TM con P
= / v >v V i = 1 2 ,n aYi ay]. /P 3 3
y <7.1_ /p V 3 > y = 6 1) " 1
Así el sistema de coordenadas
condiciones 1) y 11)
(y 1 yn ) satisface las
Para que se cumpla la condición 111) definimos un nuevo
sistema de coordenadas (x 1 xn) alrededor de p por 1 1 la relación + E a am a m x l xm = y l con alm = 1
1 m
Por el teorema de la Función Inversa las funciones x
son de clase Cw en una vecindad de p
Veamos ahora las condiciones que deben satisfacer las
constantes a's para que se cumpla 111)
30
Por la regla de la cadena
a . E ayk a . lk (E (ak11 + a k11 )x 1 ) D 1 k 9x k Dx1 ayk
D + E ( E 2a k 1 x,) 1 ---
By k 1 aYk Ahora 9 a> a 9
<= >
3x 1 Dx 3y1 9y3
a a E 2a ll xl <--- --->
k,1 aYk an
+ E 2a j1 x l <-– --->
aYi aYk
+ términos cua ratico en x's
Luego en el punto p tenemos
9
a xq <
9 — ' Dx 1
3 —> Dx
3 =
9 9x
a
. a S
Dy 1
9 , 2 Dy
3
+ E 2a k iq 6 k3
+ E 2ak 6 3q ik
a a a -1- 2a 3 + 2a 1
= --- <--- ---> iq 39 9x Dy 9y
3 9 1
Por lo tanto las constantes a s deben satisfacer la
ecuación
2a 3 + 2a l =- —2— <_!_ 2-> (*) 39 iq 9x Dy Dy 1
para que se cumpla 111)
„ y a , a a a Sea al = 1/4 k D --- s— ---2 --- < — ---> 39 ay Dy 1 9yi Dy Dy
9 ay
9 3 1
31
a a _2_a <_L —> ay, DY3 aY 9
De aquí resulta que se verifica (*)
Como a<a a> . 9 < 9 9 > 3x
9 Dy i Dy3 3y9
Dyi Dy3
Concluimos que los valores de las a s así definidos sa
tisfacen (*)
Además estos valores son únicos pues
1) ai + al = 1/2 a D 9 iq 39
___ < ___ ___ BY aY ' 9Y
q i 3
2) aq + a3 = 1/2 2_ < 2_ 2_ > ji cli ay, DY3 9Y9
3) a l + aq = 1/2 2— <1. 2— > 93 13 9y3
Dy9
ay,
Haciendo una permutación cíclica deijyqytomando
(1) (2) y (3) obtenemos
a y a a a , a a> 2a l = 1/2 --- ■ r-- 5--> 17— \W TY-39 ay ci Yi Y3 i j 9
4. a < i— a \ ayj aYq a y '
1 A
2 4 2 OBSERVACION Cualquier par de sistemas de coor
denadas (x 1 xn) y (R 1 Zn) alrededor de p con
O)
11) a / = a / para V 1=1 2 n 9x l p 311 p
111) dg 13 (p) = d1 13 (p) = O para V i 3=1 2 n
son iguales excepto términos de tercer orden
32
En consecuencia a _I_ . o excepto términos de 3x1 97cl
segundo orden
2 4 3 DEFINICION Sean M una variedad Riemanniana de
dimensiónnypcM Un sistema normal de coordenadas
en p es un sistema de c000rdenadas (x l , xn) en una
vecindad de p tal que
1) p 4--* (O O)
11) g 13 (p) = 6 13 (enp) para Y 1 3=1 2, n
111) dg 13 = O (en p) Para V 1 3=1 2 n
2 4 4 NOTA El teorema 2 4 1 garantiza la existencia de
un sistema normal de coordenadas alrededor de todo pun
to en una variedad Riemanniana
33
CAPITULO III
CONEX ION Y TENSOR CURVATURA
En este capítulo estudiaremos las conexiones y las pro
piedades y conceptos asociados, como la derivada covariante,
paralelismo y tensor curvatura
3 1 CONEXIONES
3 1 1 DEFINICION Sea M una variedad diferenciable de
dimension n Denotemos por *(M) el espacio de todos los
campos vectoriales diferenciables en M
Una conexión (Koszul) sobre M es una aplicación
V N(M) x *(M) + *(M)
cuyo valor denotamos por V(X Y) = VxY y que satisface
las siguientes condiciones
Para V X Y X 1 X 2 Y 1 Y 2 c *(M) f g c C(M)
1) V es lineal en X es decir,
fX 1 +2 -X 2 Y = fVX Y 4- g VX 2 Y V 1 ii) V es aditiva en Y o sea
VX (Y 1 +Y 2 ) = V XY 1 + VXY 2
111) Vx (f Y) = f VxY + X(f) Y
Se sigue que la aplicación
41(M)xTM +TM P P
que al par (Y X) le hace corresponder el vector P
VXpY = VXY(p) satisface las siguientes condiciones
1 ParaVXY , Y 1 Y 2 c*(4) X XcTM fce(M)
P P P
a l'ea y pell
3) VaX + bX Y = aVx Y + bVx , Y
P p P P
33) VX (Y 1 + Y 2 ) = '5( Y 1 I- VX Y 2 P P P
J3l) Vx (f Y) ' f(P) VxY 4- X (f) Y P P P
3v) La aplicación M + TM dada por
P + VX Y es un campo vectorial P
Recíprocamente se puede definir una conexión de Koszul
como una aplicación V X(M) x TM —* TM que asocia a P P
todo par (YX)e*(M) xTM un vector V X YeTPM
P P P y que satisface las condiciones 3) 33) 333) y 3v)
Así definimos ahora para VXYc *(M) el campo vecto
rial VxY M + TM por VxY(p) = Vx Y paradpeM P
3 1 2 EXPRESION LOCAL DEL CAMPO VECTORIAL V XY
Sean p e M (U Y) una carta local alrededor de p y
(x1 xn) el sistema de coordenadas asociado Los cam
pos vectoriales X e Y se pueden representar por
n n r i v a X= = t. A -.-- e Y= E Y3 a
1=1 ax 3=1 ax
1 J
donde X 1 e Y3 son las funciones componentes de los cam
pos vectoriales X e Y respectivamente en el sistema de
coordenadas (U x)
n n k 2
Definimos rk por la relación V —='-- = Er ..
13 _a 9x 3 k= 1 13 Dxk "1
34
1 Ulla •101•Jaava om. .. _
BIBLIOTECA 1 35
Luego VxY = Vn 1 a y. TEl xi vy EX 31-73.- 1=1 a
1=1 ax i n 1 n.
comoV a Y=V, EY-, .11_
117 3=1 3 Dx 1
n = E EY3 V a -2-, + ra— (Y3) a-:
ox3 ox i 3=1 3 9x 1
n n a aY3 a -, Entonces V yY = E X 1 E E:Y 3 V x + x1 x3
j - 1=1 3=1 D 3
Dx 1
n = E
Dy3 a n k
i 3 a
E (x -FX Y Er i -I- ) 1=1 3=1 3 k=1 1 - xk
para 3 = k y combiando el orden de las sumatorias
TI ,r1 ›Y lc .1 yk rk D obtenemos VY =ELEX1( ;
k=1 1=1 -57 X k=1 1 3 T571(
esta es la llamada expresión local del campo vectorial
yXY
Formemos ahora para cada campo vectorial Y = E Y 3 --9-- ax 3=1
la colección de transformaciones lineales (VY(p)) P c M
donde VY(p) TM 4- TM se define por
VY(p) (X v ) = Vx Y = Vx Y(p)
Luego VY( --a -) = y , y Dx 1 _1_
Dx 1
= E [V E rk 4. Dy3
3=1 k=1 1] Dxk
1 3
36
n k n para 3 = k = E (Y E 11' + aYk ) a
k=1 k=1 13 ax axk
Hagamos Yk 1 =l'i k n rk + k k=1 13 --- ax 1
Luego V Y (2—) = 1 (Yk 1) —A-ax, k=1 axk
a Asi resulta que V Y = E (Y k 1) dx 1 0 wr— es un
k=1
tensor del tipo ( 1 )
3 2 DERIVADA COVARIANTE
3 2 1 DEFINICIONES Sean M una variedad diferenciable de
dimensiónny c [a b] ÷M una curva diferenciable
Un campo vectorial a lo largo de c es un campo vectorial
V [a, b ] TM tal que V(t) c Tc(t)M
Denotaremos V(t) por Vt
Si (U T) es una carta local alrededor de c(t) y
(x 1 xn) es el sistema de coordenadas asociado enton
ces el campo vectorial V a lo largo de c se puede escri
bir localmente como V(t) = E Vi (t) 2— / c(t) 1=1 ax 1
V es un campo vectorial diferenciable de clase C lo _
largo de c si y solo si las funciones V 1 5 LO +CR
son diferenciables de clase C m para V 1=1 2
Denotaremos por * c (M) el espacio vectorial de los cam
pos vectoriales diferenciables de clase C c° a lo largo
de c
Sean M una variedad diferenciable con una conexión V
y W un campo vectorial definido sobre una vecindad abier
37
ta de c(C:a b] ) Se llama derivada covariante de W
a lo largo de c al campo vectorial a lo largo de c
Ea b + TM, dado por
dt t et"--+ Vdc W
UY
Al vector Vdc W lo denotaremos DW
dt
3 2 2 PROPOSICION Sea M una variedad diferenciable con
una conexión V y c Ea, b] * M una curva diferencia
ble
Existe una función T c (M) * *c (M) cuyo valor deno
tamos T(V) = DV para V c * c (M) y que cumple las si dt
guientes condiciones
1) Si V s = 'c(s) para algún campo vectorial Y de clase
C definido en una vecindad de c(t) Entonces DV = VdcY ut
dc ii) Si ay = 0 entonces DV o
dt
iii) T(V+W) = T(V) + T(W)
iv) T(f V) = (IfV+fT(V) paraVf [a hl] * dt
DEMOSTRACION Definimos T * c (M) * *c (M) por
T(V) = Vdc V Probaremos que esta función satisface las
at
condiciones 1), ii), iii) y iv)
Supongamos que dc O O dt
Por el teorema de la función implicita existen vecinda
38
des abiertas W de c(t) y R de t tal que c es un difeo
morfismo local de R sobre W
Definimos un campo vectorial Y sobre la vecindad abier
ta U de c(t) con W C U de manera que Y/W = V
Así tenemos que Vs = Itc(s) para V s c Ea b]
Ahora escogemos una carta local alrededor de c(t) y
sea (x 1 xn) el sistema de coordenadas asociado
dc luego el campo vectorial Y y el vector ar admiten las n 3
representaciones Y = E Y ax 3= 1
— )-5-
dt 1=1 dt 1 r//
c(t)
donde c l E a b ] +Ø con c l = )( l ec
n -- Luego Vdc Y = Vn dc 9x E 1
E Y 3 a , 3=1 3 di 1=1 dt j7; / c(t)
= 2 ulc ilyk + E rk (c(t)) fj. y3 (ti.] a / k=1 TE' 13 =1 13 dt xk cM1
De aquí resulta claramente que Vdc Y no depende del df
campo Y sino de los valores que toma dicho campo a lo
largo de la curva c, además V dc Y tampoco depende del
dt
sistema de coordenadas escogido
DV Concluimos que = u V, C Y se cumple 1) at at
dc Si _ - u,por definición de py tenemos py = Vdc
dt dt
peroo v dc = O y luego se cumple 11)
39
Las condiciones 111) y iv) resultan inmediatas de las
propiedades de la conexión de Koszul y A
3 3 PARALELISMO
3 3 1 DEFINICION Sean M una variedad diferenciable de
dimensión n con una conexión V y c Ea b] M una
curva Un campo vectorial V a lo largo de c es paralelo
DV a lo largo de c si y solo si = o Vte [a b] Uf
3 3 2 OBSERVACIONES Siempre que tengamos una curva
c Ea b3 M y un vector v e T c(a) M es posible
construir un campo vectorial V paralelo a lo largo de
c de la manera siguiente
Para V t e (a S] el vector v t e Tc(t)M se obtiene
de Vapor traslación paralela a lo largo de c DV Luego el campo vectorial V satisface la condición au = O
y como py = V d;; V se cumple que dt dt
dVk (t) + E dc 1 (t) r k (c(t)) V3 (t) = O (*) dt 13=1 dt 13
La expresión anterior es un sistema de ecuaciones dife
renciales lineales por lo tanto posee una única solu
ción V cuyas funciones componentes son
173 Ca ti] 4-M para 3 = 1 2
Luego para V t e (a, h.] y para alguna carta local (U,*)
alrededor de c(t) y (x l , xn) el sistema de coordena
das asociado se tiene la expresión local para el cam
po vectorial V
40
n Vt = E V3 (t) a I /
c(t) I— 3=1 3
Por otro lado como el conjunto de soluciones del siste
ma (*) forman un espacio vectorial sobre CR tenemos que
(V + W) t = Vt + Wt
y (A V) = XV para X c CR
así podemos definir la función T t Tc(a)M 4 Tc(t)M dada por T t (Va ) = Vt que resulta una transformación
lineal Claramente Tt
es biyectiva y por lo tanto es
un isomorfismo entre espacios tangentes
En forma general para cualquier curva diferenciable c
en M tenemos un isomorfismo entre dos cualesquiera es
pacios tangentes Tc(t/)M y Tc(t2) M
3 3 3 PROPOSICION Sean c una curva diferenciable en una
variedad diferenciable M de dimensión n, con conexión V
con c(0) = p, c'(0) = X Y un campo vectorial so P
1 1 breMEntonces Vx Y= 11lim — (T Y, , Y ) 4.0 h t c( n) p P
DEMOSTRACION Fijemos h en el dominio de c y sea Z el
campo vectorial paralelo a lo largo de c tal que
1 1) Z 0 = T Y(h)
c Tc(0) M h c
Así podemos definir también el vector Z h por
ii) Zh = Yc(h)
pues Zh =T(z ) =T T i y = Y h O h h c(h) c(h)
Para todo t del dominio de c escribimos el vector Z t y
el campo vectorial Y localmente por
Z t = E Z (t) / 1=1 °8 1 c(t)
Y = E Y1 "5-7— 1=1
Como el campo vectorial Z es paralelo a lo largo de c
entonces
n dc 111) SIZ ic (t). + E --1 Z 3 (t) rk c(t) = O dt 1)=1 dt 13
iv) además
Por el teo
v) Zk (h)
Luego la k
Zk (h) = Yk (c(h)) por
rema del valor medio te
= z(o) + hZk (C) para
1 esima componente de - h
11)
nemos
e (0 h)
1 (T 'c(h) - Y) es h P
igual a 1 (Z k (0) - Yk (c(0)) ) aplicando v) iv) y 111)
respectivamente a esta expresión obtenemos
E dci () 9 (1) r k (c(1)) .1 1 E yk (c(h) _y 1< (c(0)) ] 13" ` 1)=1 dt
y el limite de esta última expresión cuando h + O es
rk (c(0)) dYk (c(t)) (o) E dci (0) Y 3 (c(0))
13 =1 dt at
el cual es la k-esima componente del vector V x Y
Concluimos que V x Y = l 1im 1 (T Y - Y ) 11+0 F h cl P A
41
42
3 4 CONEXION COMPATIBLE CON UNA ESTRUCTURA RIEMANNIANA
3 4 1 DEFINICION Sea (M < ) ) una variedad Riemannia
na
Una conexion y sobre M es compatible con la estructura
< > si las traslaciones paralelas T t Tc(a) M T "c(t) M
a lo largo de cualquier curva diferenciable c 5 bJ + M,
son isometrías (con respecto a < , > c ( a ) Y < I c(t))
3 4 2 LEMA Una conexión V sobre una variedad Riemannia
na (M ( > ) de dimensión n es compatible con la es
tructura < , ) si y solo si satisface la siguien
te condicion
Si V y W son campos vectoriales a lo largo de
cualquier curva diferenciable c Ea b] + M DW
Entonces d<vw> =\DV w> <y )
dt dt dt
DEMOSTRACION Supongamos que y cumple la condición (*)
Sea V un campo vectorial a lo largo de c
Entonces 1— <1/ V> = 2 < DV V> = O y por lo tan dt dt
to <Y V> es constante a lo largo de c
Así las traslaciones paralelas T t preservan la norma
luego son isometrias
Recíprocamente, supongamos que y es compatible con la
estructura < >
Consideremos los campos vectoriales P l , Pn paralelos
a lo largo de c y ortonormales en un punto de c Luego
P 1 Pn son ortonormales en todo punto de c
Esto es para V te Ca b: y para V 1 3=1 2
< P(t) P(t)> =
y además 11 P(t)
Así P(t) 1=1 2
Sean V W campos
{ 1 si 1=3
0 si 1Y3
11= 1
forman una base de T c(t) M
vectoriales a lo largo de c
como V= E V1 P Y W= E W 3 P
1 3
1=1 3=1
dV 1 DV Entonces py = E P (I) y -- = E 111 p (t)
dt 1=1 dt 1 dt )=1 dt
Por tanto calculando obtenemos
<y w > DW N d V Vi >
- dt dt
Como consecuencia inmediata tenemos el siguiente
3 4 3 COROLARIO La conexión V en la variedad Riemannia
na (M, < > ) de dimensión n es compatible con <
si y solo si Xp <Y Z) = < VX Y Zp > <rp VX Z>
para V Y Z campos vectoriales a lo largo de una curva
diferenciablecenMX eTM peM
3 4 4 TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA GEOMETRIA RIEMANNIANA
Sobre una variedad Riemanniana (M < > ) de dimensión
n existe una única conexión simetrica compatible con <
DEMOSTRACION Para demostrar la existencia recordemos
que en un sistema de coordenadas (x 1 , xn) asociado
a una carta local (U,4') alrededor de p e M tenemos que
43
< ' = E g 13 dx" 0 dx 3 1=3
por la parte c) de 2 2 6
44
Si tomamos otro sistema de coordenadas (y' yn) aire
dedor de p, se demuestra que vale la relación
3 2yk . 2 ry a k
Dy'Dy 3 Y=1 13 3xY
ver [19 ]
A los l'Y llamamos símbolos de Christoffel 13
Se demuestra también que vale l'Y = rT 13 31
Recordemos también que una conexión clásica sobre una
variedad Riemanniana M de dimensión n está dada por una
asociación de n 3 números reales rk a cada sistema de 13 coordenadas (x 1 xn ) tal que si rk es asociado 13
al sistema de coordenadas (y 1 , yn) vale la siguien
te relación
a DyY ry E rk iri!25*aZ y n 3 2 1.1
---- _ y + E x a0 13k 1 3 Dya ay Dx u=1 aya a B Dx
Se demuestra que sobre una variedad Riemanniana (M < >)
siempre existe una conexión clasica Ver [19 ]
A esta conexión clásica se le llama conexión de Levi Civita
Se comprueba también sin dificultad que esta conexión
clásica es simetrica y compatible con la estructura <
Para demostrar la unicidad supongamos que V es una cone
xión simétrica y compatible con <
Para una carta local (U,tp) y (x 1 xn ) su sistema de
coordenadas asociado tenemos que
ax
3 a a a _a <___ _...> = < v a _ ___> 4. <2_ y -L> a 9x 1 9x) Dx D k --I a» k 3x3 --I Dxk 9x ax
Haciendo una permutación cíclica de i 3 k y utilizando
la simetría de la conexión V resulta
n 1 a 9 E r g = <V —> = r 1 3 , kj lk a 1 ---1
1=1 13 Dx ax —17 3x
1 n
r 1) = E k1
Lgkl r 13 ki =
Concluimos que los símbolos de Chistoffel r 1 para la 13
conexión escogida V coinciden con los símbolos de Chirs
toffel para la conexión clásica Ver E19]
Por consiguiente la conexión V coincide con la conexión
de Levi Cinta de aquí se deduce que dos conexiones
simetricas compatibles con < > siempre coinciden A
3 4 5 COROLARIO Poseen una única conexión simétrica
compatible con su estructura Riemanniana las siguientes
variedades
a) Esfera Unitaria Sil
b) Fspacio Proyectivo Real (complejo) P 01 11 (P en )
c) Variedad de Stiefel Vn,k
d) Variedad de Grassmann Gn k
e) Grupo de Lie Real 0(n)
f) Grupo de Lie Complejo U(n)
Ver [2]
45
46
DEMOSTRACION Las variedades a) hasta f) son compactas
y por consiguiente poseen una estructura Riemanniana
por 2 2 4 y por 3 4 4 existe una única conexión simé
trica compatible con cada una de las estructuras Riema
nnianas obtenidas A
3 5 TENSOR CURVATURA
3 5 1 DEFINICIONES Sean U un abierto de CR 2 con coorde
nadas (x y) M una variedad diferenciable con una cone
xióny y * U+M una función de clase el Un campo
vectorial V a lo largo de * es una función V U + TM
tal que V(x y) c Ttiqx y)
M para V (x y) c U
Para cualquier campo vectorial V a lo largo de * defini
DV mos el campo vectorial (x y) como la derivada coya
riante de V a lo largo de la curva c tal que c [b 1] m
y para V t c [ 0 1 ] es c(t) = *(t y)
DV Similarmente se define el campo vectorial ay (x y)
Luego -
DV
E- [o 1] + TM dada por
+ V (t y)
DV r- LO 1] + TM dada por Dy + V (x t)
son campos vectoriales a lo largo de c
5 2 OBSERVACION __LPD y son campos vectoriales 9x ay
a DI 9 9* de clase se C pues 0 * Hm = u y **
y si la conexión y es simétrica entonces
D U _ D 2.1. Dx -557 - 7.7 ax
3 5 3 DEFINICION Sean U C a 2 con coordenadas (x y) M
una variedad diferenciable con conexión4 y tp U+ M
de clase Cc°
Denotemos 2± = V y Dx -57
Definimos la aplicación R(V W) 3E(M) + N(M) por
D D D D R(V W) T = asz— —27 T -27— —37 T
Se comprueba que R(V W) es lineal
Luego a la aplicación trilineal
R K(M) x *(M) x *(M) + *(M)
definida por R(V W T) = R(V W) T llamamos el tensor
curvatura de 14
47
48
CAPITULO IV
GEODESICAS Y APLICACION EXPONENCIAL
Hemos visto en e] capítulo II los significados de dis
tancia y ángulo sobre una variedad Riemanniana Veremos, en
el presente capítulo como se interpreta otro de los concep
tos fundamentales de la Geometría Euclideana como lo es, la
linea recta
El resultado es el concepto de geodesica el cual discu
tiremos conjuntamente con la aplicación exponencial y la cur
vatura seccional estableciendo las relaciones entre los mis
mos
4 1 DEFINICION DE UNA GEODESICA UTILIZANDO DERIVADA COVARIAN TE
4 1 1 DEFINICION Sean (M < ) ) una variedad Riema
nniana de dimensión n y Eia b ] 4. M una curva di
ferenciable en M y dy - _ y'(t) el vector velocidad de y Ht
Se dice que y es una geodésica sobre M si D ly = o dt dt
esto es la derivada covariante del vector velocidad
se anula
4 1 2 ECUACIONES DE UNA GEODESICA Sean (M < ) )
una variedad Riemanniana de dimensión n,(x l ,xn) un
sistema de coordenadas alrededor de un puntopcMyy
una geodésica en M que pasa por p
Como ./2— II = O de la expresión local de 2- II dt dt dt dt
49
obtenemos
2k n a 3 1-1— + 13=1
E Pic13 '. '
(yrt) 1 411 0 (*) dt Uf—
el cual cual es un sistema de ecuaciones lineales en M n por
lo que posee una única solución, dada las condiciones
iniciales
De esta forma se asegura la existencia de una única geo
desica que satisface (*) Al sistema (*) se le llama
ecuaciones de la geodésica y
En resumen hemos establecido el siguiente
4 1 3 TEOREMA Para cada puntopcMypara cadazcTM P
existe una única geodésica y ( 6, +6) 4. M tal que
y(0) = p y (0) = z para alguna carta local (U T) al
rededor de p
4 1 4 NOTA Si y es una geodésica sobre M y y (t) es el
vector velocidad entonces al vector ly y'(t) llamamos
vector aceleración de la curva
Luego las geodésicas son simplemente curvas de acelera
ción nula
4 15 REPARAMETRIZACION DE UNA GEODESICA Sea (M < >)
una variedad Riemanniana y y [ia b] 4 M una geodé
sica sobre M
Si V es un campo vectorial a lo largo de y entonces V
se puede expresar como V = f dY dt
DV para f [ a b] 4- 01 y -- es cero si f es lineal,
dt
pues,
SO
py 5 df dy 4. 4D 41 df dy dt at dt saldi Tt7 UY Y
DV como 51/ Y O para que -- = O debe ser f lineal dt
Por lo tanto una reparametrización y' = y g de una geo
désica y es también una geodésica solo si g es lineal
En otros términos para toda geodésica y sobre M se tiene
11111 = constante ya quer
dt <41 > = 2 11 41) = °
Luego y es parametrizada proporcionalmente por la longitud
de arco 1/2 L(y ) f lp lch dt = a il dYll dt
ja `dt dt dt
= I I ddYt i I t C
4 2 CONCEPTO DE GEODESICA MEDIANTE CALCULO DE VARIACIONES
4 2 1 DEFINICION Sean (M < > ) una variedad Riemannia
na y- [á M una curva seccionalmente diferenciable
en M tal que y(a) = p y y(b) = q
Denotemos J = [á 15] I = ( e +c) para e > O
Una variación. de 2ftcurva. y es una aplicación a pu m
que satisface las siguientes condiciones
1) Para todo t J a(0 t) = y(t)
11) Para todo v c I a(v a) = p y a(v b) = q
111) Para toda partición a = t o < < tk = b de J la
restricción a 1 = a/IxJ es diferenciable donde 1
t 1 1' ;.]
M ..0 ..- • —... ' ... te
Ixj /se a / ■• ... / / ...
I '.... '. ... .0. .." E ■ a —....
1 1:;----------
4 2 2 OBSERVACIONES Partiendo de la definicion anterior
si a es tal variación de y entonces
1) Para cada v c I podemos definir una curva seccional
mente diferenciable yv J 4. M por
Obtenemos así una familia {v 1 iv-veI
yv (t) = a(v t)
de curvas secciona'
mente diferenciable sobre M
2) Podemos definir también la función longitud X I +M
por X(v) = L(yv) donde L(yv) denota la longitud de la
curva yv
4 2 3 NOTA Nos proponemos ahora caracterizar las cur
vas sobre una variedad Riemanniana M para las cuales
con cualquier variación a de las mismas tenemos que
D X(0) = O, esto es que la función longitud X se hace
critica en y
Recordemos por 2 3 1 que para una curva seccionalmente
diferenciable y [la b: M
1/2 L(y) =< Tt y(1), Tt y(1) > dt
a y(t)
en donde la raiz cuadrada nos ocasiona cierta dificultad
en los cálculos y por lo tanto en lugar de la función
51
52
longitud X, trabajaremos con la función energía E que
está dada por la expresión
2 E(y) = < Tt y(1) Tt y(1) > dt
a
Así definimos la apliación n I CR por n(v) = E(y v )
y trasladamos nuestro estudio a caracterizar las curvas
y para las cuales con cualquier variación a de y, se
obtenga Dn(0) = O
Para ello veamos los pasos importantes siguientes
Sean (M g) una variedad Riemanniana de dimesión n,
J = Ea, bl] y J • M una curva seccionalmente diferen
ciable que pasa porpcMyauna variación de y
Consideremos la carta local (U T) alrededor de p y
(x, ,xn ) el sistema de coordenadas asociado Podemos
asegurar que la imagen de y l = y/s.% está contenida en
U haciendo un refinamiento de la partición de J si es
necesario
También podemos asumir que a 1 (IxJ 1 ) C U
Consideremos la aplicación B i donde
= T a claramente B es difer::::a:::n
Ademas para yvcI definimos la curva B_ J•CR.11 por iv
0 iv (t) = 0 (v t) que también es diferenciable
Tomando IxJ como un subconjunto de R 2 y denotando por
E g (x) la matriz de g(u) paraucU x= T(u) ce
tiene que
53
ti dx dx 2 E(y lv) = ( E (x) ( 1 ) ) dt
31=1 J - dt dt i 1
donde x = B 1V (t) e ffi
Se deduce de la expresion anterior que y es un punto
crítico para la función n si y solo si y es diferen
ciable y en cada carta local se tiene
E r (x) 1 . 0 d 2 x r r dx dx + (*)
dt2 31=1 j1 dt dt
para r = 1 2 n y FT U C CRT1 4. 132 son los símbo 31
los de Christoffel dados por
2 F T (x) = E g r (x) D1 g35 (x) + D3 g 15 (x) D5g31 (x) 31 s=1
4 2 4 DEFINICION Sean (M,g) una variedad Riemanniana de
dimension n y E:a b] M una curva seccionalmente di
ferenciable y a (-e +e) x [a b] M una variación de y
Si X ( e +e) -+ III es la funcion definida por X(v)=L(y v )
Decimos que y es una geodésica sobre M si y es un punto
crítico para la función X
4 2 5 NOTA De lo anterior podemos deducir que las geo
desicas tienen la propiedad de minimizar localmente la
longitud de arco así se justifica pensar en las geodé
sacas como las rectas de una variedad Riemanniana
4 2 6 OBSERVACION La función E que definimos anterior
mente se denomina energía por su relacion con la Mecáni
ca Clásica Se puede suponer una Variedad Riemannia
54
na como un espacio que encierra la medida de la energía
cinética de una partícula que se mueve sobre M sin fuer
zas externas La trayectoria recorrida por dicha partí
cula es una geodésica sobre M
4 3 EJEMPLOS DE GEODESICAS
4 3 1 Sobre la variedad diferenciable CRn con el atlas
24 - (0111 IdElln ) que consta de una sola carta, tenemos
que [g 31 (x) ] es la matriz identidad para la función
Id" luego los símbolos de Christoffel r r se anulan 31
Por consiguiente las geodésica sobre CRn son las solucio
nes de las ecuaciones diferenciales
dx 2r — =0 r = 1 2 n dt 2
que sabemos son las rectas de (R n
4 3 2 Sea la variedad Riemanniana (U g) tal que
U = { (x y) eCR2 / y > 0 ) y
g(u) (X,Y) = (X Y> u = _l__ (X 1 Y 1 +X 2Y 2 )
(Y) 2
para u = (x y) e U X,Y e Tu U
Consideremos sobre U la única carta (U IdU) para el cual
la estructura Riemanniana g tiene matriz _
1 0 y 2
53k (uU = y cuya matriz inversa es
1
O —T-
i_ Y
55
wk (u): =
[-Y
2
O
0
] y
De donde las funciones correspondientes a los símbolos
de Christoffel serán
1 r r l r l rl r 2 r2 r 2 r 2 11 12 21 22 11 12 21 22
+ + .1‘ t + + t 4 4 + + + 4 + + +
O 1 1 0 1 0 0! Y Y F 7
Así resulta que las ecuaciones diferenciales para las
geodésicas de (11,g) son
{ x axy= O Y
** y 4. 1 (x 2 y2 ) = 0
y
Aunque resulta difícil resolver este sistema es posi
ble determinar la imagen de cualquier geodésica como ve
remos a continuación
Sean (u,v)eUyyla geodésica que pasa por (u v) con
vector inicial (C n) = (u,v)
ler CASO Supongamos que 1 V O
Luego la recta perpendicular a la imagen de y en (u s v)
intersecta la recta y = O en el punto (u + v
Ahora como y satisface el sistema (**) y (u v) e im (y)
se tiene que § = O
De otro lado como esto se cumple para todo punto de la
imagen de y resulta que § es constante
56
Concluimos que im (y) es un arco semi circular cuyo cen
tro es el punto (§ O) y radio r = /11277 quitando los
extremos
Véase la figura siguiente
U I (y) ;u
((u y)
o x
(O O) (§ O) II CASO Supongamos que C = O
Luego la recta tangente a la im(y) en (u v) intersecta
la recta y = O en el punto (u,0)
Como u = C = O resulta que u es constante para todo
(u,v) im(y) y concluimos que im(y) es la recta
x = u, para y > O
Véase la figura siguiente
1
(u,v+n)
U I
I i
(u,v)
m (y)
0- x (0,0) 1 (u O)
57
4 4 FLUJOS GEODESICOS Y APLICACION EXPONENCIAL
4 4 1 FLUJO GEODESICO SOBRE TM Sean (M g) una variedad
Riemanniana p c M (U *) una carta local alrededor de
P Y (x1 xn) el sistema de coordenadas asociado
Consideremos las cartas locales (11 14 1 (U)17) alrededor 1 de Hm 1 (p) en TM y (II Tm (1114 1 (U)) *) alrededor de
1 1 nTM (n (p)) en T(TM) M
Luego las ecuaciones diferenciales
n r xr +
31=1 E 1' 31 (x) x
3 = o para r = 1,2 ' n
con x = *(u) y ucUpara las geodésicas de M
se pueden expresar como el sistema de ecuaciones de
ter orden / xr = y r
n Yr = E Is
r (x) yj y 1 31=1 ll
el cual se puede interpretar para el sistema de coorde
1 nadas de la carta (II M (U) 717) como un campo vectorial
V TM + T(TM) sobre TM dado por n
V(x y) = (Cx y), ( y, E Fr (x) y 3 y 1 )) 31=1 31
el cual resulta diferenciable
El flujo O A +. TM,donde A es abierto de CR x TM, corres
pondiente a las integrales del campo vectorial V se de
nomina flujo geodésico sobre TM
4 4 2 OBSERVACIONES
1) Las Cirbitas del flujo 1 son curvas diferenciables
58
sobre TM que bajo la proyección Pm resultan geodésicas
sobre M
2) Para VrieTM y para Vs,teR se tiene
UM(0(st w) ) = (0(s tw)
Por esta propiedad al campo vectorial V se le llama gep
désica Spray sobre M
• V (tw) tw ,"■„.../ t(s ' ")
witer-, 0(st w)
V(w) _
Esta propiedad nos dice intuitivamente que como quiera
que la velocidad de una geodésica es constante se puede
viajar sobre su traza en un tiempo estipulado, ajustando
nuestra velocidad apropiadamente
4 4 3 DEFINICION Sean V un Spray sobre una variedad Rie
manniana M y e = {w c TM / 0(1 w) está definida} Se prue
ba que e es un abierto de Ti'! La aplicación exp e 4 M
definida por exp(w) = 119)(1 w)) se denomina Aplicación
Exponencial de V
Claramente exp es una aplicación diferenciable puesto
que es la compuesta de dos aplicaciones diferenciables
4 4 4 OTRA DEFINICION DE APLICACION EXPONENCIAL Sean
(M,g) una variedad Riemanniana de dimensiónn peM
TM
yveTM con livil = 1
59
Como las geodésicas son curvas de aceleración nula
ellas satisfacen una ecuación diferencial ordinaria de
segundo orden Luego por p y en la dirección de v pasa
una única geodésica de M o sea existe una única curva
y ( e +c) 4. M con aceleración nula y tal que y(0)=p
y y'(0) = v
Si Iti <e y w= tv definimos exp (w) = y(t) P
Se comprueba fácilmente que en una vecindadUCTM P
del origen de TM la aplicación ex p U + M esta bien P P
definida y además es diferenciable de clase C °3
4 4 5 OBSERVACIONES
1) En vista de que para cada p c M podemos definir
ex p TM + M entonces la aplicación exp TM + M es P P
definida sobre TM = k---) T M PM P
2) Para cada v c TM podemos identificar T v (Tp M) con
TM y definir la aplicación T v (ex pp ) Tv (Tp M) + Texp (v) (M)
P
3) La aplicacion T e (expp)TpM + Texp (6 )M es la identi P
dad sobre TM P
4) En una vecindad suficientemente pequena del origen de
60
TM la aplicación ex p es un difeomorfismo
S) Si escogemos una base ortonormal {e l en de TM
podemos definir para cadazcTMun sistema normal de
coordenadas alrededor de p asignando al punto n
exp (z = E xse ) el sistema normal de coordenadas 1=1
(x xn)
Además se cumple que para V v c TM ( V ) = O v ax 1
6) Si consideramos en TM el rayo c(t) = tv que parte
del vector nulo 9 en la dirección del vector v y asumi
mos que exp es definida a lo largo de c es fácil ven 1
ficar que d exp (c (t)) = y(t) y que lic = ily 1 (t)11
Mejor aún tenemos el siguiente resultado
446 LEMA DE GAUSS Si c(t) = t v es un rayo que parte
del origen de TM y w c Tc(t) (TpM) es perpendicular a
c'(t) entonces d ex p (w) es perpendicular a d exp (c fil)
DEMOSTRACION Ver [3]
4 4 7 TEOREMA Sea (M g) una variedad Riemanniana pcM
Entonces existe una vecindad U de p y un número c > O
tales que paradqcU y paradvcTqM con livil<c
existe una única geodesica yv (-2 2) + M que satisface
las condiciones yv(0) = q y y (0) = v
DEMOSTRACION Notemos primeramente que si a ( c +c) + M
es una geodesica en M parametrizada por t la curva
c ( c/s,+c/s) + M definida por c(t) = a(st) es también
geodésica
61
Por el teorema 4 1 3 existe una vecindad U de p y e 1 e 2
positivos tales que parageUyveTM con IlvII <
existe una única geodésica 'v/c2 ( 2e2'+2e2) M
con las condiciones yv/e2(0) = q 'v/c 2 (0) = v
Escogemose< e 1 e 2 Luego si livii <e y iti < 2 se
tiene ilv/e 2 II < e l y le 2t1 < £ 2
Definimos yv(t) = Yv/e2 (tc2)
luego se tiene que
1 1 yv (0) = yv/e2 (0) = q y yv (0) = yv ,, (0) = v A
4 5 CURVATURA SECCIONAL 4 5 1 NOCION DE SUPERFICIE SOBRE UNA VARIEDAD RIEMAII,NIA
NA SeanMuna variedad Riemanniana de dimensiónnpeM
y P el sub espacio de dimensión 2 del espacio tangente
T M Sea también O una vecindad abierta del vector nulo
en TM tal que la aplicación exp /O sea un difeomorfismo
Claramente P m o Y O por lo tanto denotamos P =Pr)0
De esta manera la aplicación exp /P es también un di P P
feomorfismo En consecuencia podemos considerar exp (P ) P P
como una superficie sobre M, la cual denotamos por S (p)
y cuyo plano tangente en p es el plano P
62
Como quiera que el Teorema Egregium expresa la función
curvatura Gaussiana K en términos del producto interno
y sus derivadas de la siguiente manera
2 K =
L11
L22
L12 2
g11g22 g12
ver [1 ]
podemos utilizarla para calcular la curvatura Gaussiana
de S (P) la cual denotaremos por K (p)
4 5 2 DEFINICION Sean M una variedad Riemanniana de
dimensionn pcMyPun subespacio deTMde dimensión
2 Se define la curvatura seccional de M en p en el pla
no P como la curvatura Gaussiana de S (P) en p
Busquemos a continuación una forma de calcular la curva
tura seccional de una variedad Riemanniana M en un pun
to con este objeto establecemos los resultados que si
guen
4 5 3 LEMA Sean (x 1 , xn) un sistema normal de coor
denadas alrededor de un punto p de una variedad Riema
nniana M de dimensión n y Q TMxTM*Rla función
cuadrática definida por
Q(X,Y) = E C dxl kl (X) dx 3 (X) dx k (Y) dx 1 (Y) 11 ijkl
1 donde Cij 1<1 =
Entonces
Q(X Y) = <R(X Y) Y X>
63
donde R es el tensor curvatura riemanniana
DEMOSTRACION Como
3 Q (X Y) = E c ij kl (dx 1 ndxk ) (dx 3 ncl2) (X Y)
ijkl
desarrollando el miembro derecho y haciendo cambios de
índices respectivamente obtenemos
3 Q(X,Y) = (c ik 31 + c31 ik c )k c jk 21 )
dx 1 0 dx ) 0 dxk 0 dx l (X Y X, Y)
Además como los símbolos de Christoffel se anulan en p
ya que estamos trabajando con un sistema normal de coor
denadas se tiene que
dx 1 0 dx 3 0 dxk 0 dx 1 (X, Y X Y) 3" Y) = E R 21k (P ) ijkl 1 -
= E Rijkl(p) dx 1 0 dx 3 0 dx k 0 dx l (X Y X Y) ijkl
= ( R(X Y) Y K) A
4 5 4 TEOREMA Sean (M ( > ) una variedad Riemannia
na de dimensión 2 X YeTMvectores linealmente in
dependientes y A(X Y) el área del paralelogramo genera
do por X e Y
Entonces la curvatura Gaussiana en p K coincide con
1 < R(X, Y) Y,X
;77777- En particular si X Y son ortonormales entonces K
coincide con < R(X Y) Y X >
DEMOSTRACION Sean (x,y) un sistema de coordenadas aso
64
ciado a una carta local alrededor de p c M Para demos
trar la afirmación del teorema basta considerar
9 a X = .—aY
x ip e Y = — /P
porque cuando cambiamos
a cualquier otro par de vectores el numerador queda mul
tiplicando por el mismo factor como el denominador
En el caso que estamos considerando se tiene
a a a <R(X Y)Y X> = <R(17—c /p 17— ip ) /p 77— /p>
R1212 ( P )
Si escribimos
<> = Edx 0 dx + Fdx 0 dy + Fdy 0 dx + Gdy 0 dy
donde g11 = E g12 = g21 = F = G entonces g22
A (X Y) 2 = EG F2
Por consiguiente debemos probar que
4 R1212(EG F2) = 4 (EG K
pero esto se deduce facilmente de la identidad
2 a 2g k . 1 ( D 2 gik 9 2g 1 gil ) R131k 2 77 ay l ay 3y @y
a0 I- + E g (1_31 a .] Ek 0] EH a: DI( C) a B
Ver [19J
4 5 5 TEOREMA Sean (M < >) una variedad Riemannia
na y h un subespacio de dimensión 2 de TM generado
porX YeTM Sean ademásOCWuna vecindad del vec
tor nuloOcTMsobre la cual exp es un difeomorfismo,
exp (0) + M la inclusión y R el tensor curvatura
65
Riemanniana para exp (0) con la métrica Riemanniana in
ducida i* < 3 > .
Entonces se tiene
<1(X, Y) Y X> = <R(X, Y) Y X)
Por consiguiente
1 < R(X Y) Y X>
A (X Y) 2
es la curvatura Gaussiana en p de la superficie exp (0)
DEMOSTRACION Se deduce sin dificultad que la forma cua
di-ática Q asociada con (exp (0) 1* < > ) es la res
fricción a W de la forma cuadrática Q sobre TM porque P
son los segundos terminos no nulos en la serie de Taylor
de la misma estructura A
Se deduce fácilmente el siguiente
4 5 6 COROLARIO Sean (M < > ) una variedad Riemannia
na XeYeTMgeneran un subespacioWde dimensión 2 P
deTMy0CWuna vecindad del vector nuloOsobre la P
cual exp es un difeomorfismo Si Q es la forma cuadráti
ca sobre TM definida anteriormente entonces P
3 Q (X Y) = 1 < R(X Y) Y X > = K
---- - A (X Y) 2 A (X Y) 12
donde K es la curvatura Gaussiana en p de la superficie
exp (0)
4 5 7 OBSERVACIONES
1) En virtud de la definición 4 5 2
1 < R(X Y) Y X> es la curvatura seccional de
A (X Y) 2
66
M en p en el plano W por consiguiente por 4 5 5 tene
nos una forma de calcular la curvatura seccional de una
variedad Riemanniana en un punto
2) Si los vectores X e Y que generan el subespacio W de
TM son ortonormales y la aplicación tangenteT tX exp P P
de ex p en el punto tX t c a aplica el vector Y (su P
poniendo Y como un vector tangente a una curva de TM P
que pasa por tX) en un vector del espacio Texp (tX) M P
entonces la relación entre geodésica y curvatura seccio
nal puede expresarse por la fórmula siguiente .2
T (exp )(tX) = 1 K(W p) = + P 6
donde K(W p) es la curvatura seccional de M en el pun
to p
3) La fórmula anterior muestra que si comparamos las
geodésicas de un espacio de curvatura nula (el espacio
TM) con las geodesicas que silen de un punto p de la P variedad Riemanniana M vemos que estas últimas tienden
en una vecindad de p, a aproximarse si K (W p) > O
y a apartarse si K (W p) < O
67
CAPITULO V
TEOREMA DE HOPF RINOW
Hemos estudiado en los capítulos anteriores la estructu
ra métrica local de una variedad Riemanniana analizaremos en
este capítulo su estructura global por medio de la condición
de completez y deduciremos uno de los más importantes resulta
dos que es el Teorema de Hopf Rinow así como sus consecuen
cias y aplicaciones
5 1 VARIEDAD RIEMANNIANA COMPLETA
5 1 1 DEFINICION Sean M una variedad Riemanniana y
driem' la función distancia sobre M
Decimos que M es una Variedad Riemanniana Completa si
la estructura de espacio métrico sobre M determinada por
la función driem es completa
5 1 2 EJEMPLOS DE VARIEDADES RIEMANNIANAS COMPLETAS
a Toda variedad Riemanniana compacta es completa Lue
go las variedades vistas en 3 4 5 son variedades Riema
nnianas completas
b El espacio euclideanomn con la metrica usual es
una variedad Riemanniana completa
5 2 PROPIEDAD DE UNA APLICACION EXPONENCIAL EN UNA VARIEDAD
RIEMANNIANA COMPLETA
5 2 1 PROPOSICION Sean M una variedad Riemanniana de
dimensión n, p c M
Entonces exp es definida sobre todo T M si y solo si
68
para VveTM con ilvil = 1 e>0 ytoda geodésica
y (-e +e) 4 M con y(0)=p y y'(0)=v existe una geo
désica 4:17 ( co +ce) M tal que y/( e +6)=y
DEMOSTRACION Supongamos que ex p es definida sobre todo
TMyseaveTMcon ilvil=1, e>0 y y (e+e) 4 M
la geodésica que satisface y(0)=p y (0)=v Luego
para Itke exp (w)=y(t) con w=tv
Definimos S ( co +co) 4 M por t(t)=exp (z)
para todozeTM y z= tu con 111.111=1, te CR
Además la ecuación diferencial de la geodésica y admite
la solución maximal Y' luego 11/( e +0=y
Recíprocamente sabemos que paraveTM con 1ivi1=1
y toda geodesica y ( e +e) 4 M que satisface y(0)=p
y'(0)=v existe S ( co,+co) 4 M tal que V( e +6)=y
Como para itke y(t)=exp (w) con w=tv podemos
definir para VzeTM ex(z)=(t) para te IR
y z = tu con liull=1
5 2 2 LEMA Sea M una variedad Riemanniana completa En
tonces paraViDeM ex p es definida sobre todo TM
DEMOSTRACION Veamos que paradveTMcon livil=1,
e>0 la geodésica y ( e +e) 4 M se puede extender a una
geodésica ( co,+co) M
Sea a = sup A donde
A = {0/0 >, e y 3 una geodésica y l ( e 8) 4 M con
Y( E + E) = Y }
Si 0 1 8 2 c A entonces las extensiones de y con dominio
69
( c,01) y ( e 0 2 ) coinciden sobre ( c mm n (0 1 0 2 ))
Luego existe una geodésica V i ( c,a) 4 M tal que
"71 /( E +c)=Y
Veamos que a=+o por reducción al absurdo
Supongamos que a < o
Si (0 1 } es una sucesión en (0,a) tal que O, f a entonces
(7 1 (0 1 )} es una sucesión de Cauchy en M cuyo límite de
notamos por q
Por el teorema 4 4 7 existen c 0 >0 y una vecindad U de q
tal que paraVq 1 eU y para VveT M con ilv11=1 ql
existe una geodésica c ( c o +c o ) 4 M tal que c(0)=q 1
c' (0)=v
Tomemos 1 tal que 10 1 al < c o 71 (0 1 ) e U y supongamos
que c(0)=Y 1 (0 1 ), c'(0)=1 1 (0 1 )
Utilizaremos la geodésica c para extender V i en la for
ma siguiente
Definamos 72 ( c 0 1 +c o ) 4 M por
si t e ( c, 0
Y 2 (t) = { 71 (t) ) 1
c(t B) si t e (E 1 0 1 + c) i O
Debido a la unicidad '4 1 (t)=c(t 0 1 ) si t e (0 1 c o a)
Concluimos que Y 2 es una geodésica definida sobre
( c,0 1 +c o ) de clase Cc° , además V2 1( c +c)= /-1 1 /( c +c)=y
Pero S+ co> a, lo cual es una contradicción 1
Concluimos que a = + o
La extensión de y a o es en forma similar A
70
5 3 EXISTENCIA DE GEODESICAS CON LONGITUD IGUAL A LA DISTAN
CIA RIEMANNIANA
5 3 1 LEMA Sean M una variedad Riemanniana p c M,
r > 0 Br M (0) C T la bola de centro 0 y radio r sobre
la cual ex p es un difeomorfismo Entonces
1) Para y c B r (e) yv [o 12 M es la única curva que
satisface L(yv) d = -riem expp (v)) = ilvIl
En particular para cualquier curva c, si L(c) =
d riem (c(0) c(1)) entonces c es una geodesica de clase excepto una reparametrización
ii) Si q / expp (Br (0)) = Br (p) entonces existe q' en
la frontera de B r (p) tal que d riem (p,q) = r + dr1em (q 1 q)
En particular driem (p q) r
DEMOSTRACION
1) Sea c 1] M una curva seccionalmente diferencia
ble que va de p a ex(v)
Asumiremos que c(t) c expp (Br (0)) para t t O esto es r c(t) r
Si calculamos L(c) obtenemos 1
L(c) = r(c(t o )) + licelldt con O < t 0 < 1 t o
por el teorema del valor medio encontramos un primer va
lor t 1 para el cual r c(t i ) = livil
Asi L(c) = livil + dt J 1
iic'ii
71
Luego L(c) = 11\11 ÷--+ donde quiera que c(t) es diferen
ciable tenemos c (t) = X(t) (_!_) con X (t) > O y ar
= o para t > t 1 Asumimos que t 1 = 1 además
excepto una reparametrización cada segmento diferencia
ble de c es una geodésica radial Como c es continua c
es una geodésica radial
ii) Si c(t) es la curva que va depaq y qdBr (p)
existe t o tal que c(t 0 ) c a B(p) por 1) tenemos
L(c) r + driem(c(tO) q) > r + d riem (a B(P) q)
Luego dr lem(P'cl) = inf L(c) r + driem (a Br (p) ' q),
por la desigualdad triangular la desigualdad también se
dá en sentido opuesto
Así driem(p q) = r + driem(a B (p) q) y como a Br (p)
es compacto existe q' e a B r (p) tal que
driem (q q) = driem (D B (p) q)
5 3 2 LEMA SiMes una variedad RiemannianaypeMtal
que ex p está definida sobre todo TM Entonces para
cualquier q e M existe una geodésica que une p y q con
la longitud igual a la distancia Riemanniana de p a q
DEMOSTRACION Sea e > O B 2e (e) c TpM ' B 2e (p) C M tal
que expp B 26 (0) + B 26 (p) es un difeomorfismo
Para cada v e B 26 (0) la geodésica c v [0 1] + M defini
da por cv (t) = expp (tv) es tal que cv (0) = p, c'(0) = v
y además L(cv) = driem (p,exp (v)) = driem (p,c(1))
Sea q e M
72
ler, CASO q e Be (p)
Si q e B (p) se tiene que q e B2c
(p), por lo tanto existe E
W B 2c (0) tal que exp p (w) = q, luego la curva c w Ob,1]-› M
definida por c(t) = exp (tw) es la única geodésica tal que
L(c) = driem (p exp (w)) = dTient (p q)
2do. CASO q e B(p) por la parte ii) de 5 3 1 existe
q' e D B e (p) tal que d riem (p q) = + drien tql q)
ParaveTMcon Ilvii = 1 consideremos la geodésica sobre
M dada por c(t) = ex(tv) y tal que exp (cv) = q'
Vemos que esta geodésica nace en p, pasa por q y va direc
tamente hacia q luego se debe tener que c(d rlem (p,q)) = q
Para probar esta igualdad basta ver que para todo t en
5 d Tler (p q)] se tiene dnem (c(t) q) = d riem (p q)
Sea S={se Ec driem
(p,q )] / drlem (c(t) q)=driem (p q) t t<s)
Como c(c) = exp (cv) = q ' driem (° °) = d riem (P °) se tiene aue e e S además S es cerrado en U driem iP qn
por la continuidad de c y de la función d rlem
Veamos ahora aue S es abierto en U d riem (p,q):
Sea t0 eUdriem(p O] tal que t o < driem (P q) Para 6 > O sea B 6 (0) C TM
Sea también exp (B6 (0)) = B 6 (c(t O )) P
Denotemos= 8B 6 (c(t 0 )) = K
Tomemos q' e aB 6 (c(t 0 )) tal que,
driem (q1,q) = inf d riem (x,q) mi(
Como vimos anteriormente driem (q q)=driem (c(t O )q) 6
=driem (p q) to 6
=driem (p q) (t0+6)
Veamos que q = c(t o + 6 ) por reducción al absurdo
Si q c(to + 6 ) se tiene que
*) driem (c(t 0 6), q ) < 26
73
c (t o t 0 +6)
Ceodésica de longitud = driem (c(t 0 6) q )
Por la desigualdad triangular tenemos
driem (P c(t 0 6) driem (c(t 0 6) q ) driem (q ' 11)
driem ( P q )
de donde d rlem (c(t o 6) q ) driem (q ' q )
driem (P q ) tO 6
como driem (q q) = driem (c(t 0 ) ' q ) 6
diemq q () = driem (p q) a 6 r resulta
**) driem(c(t 6) q ) > 26 0
lo cual es una contradicción
Concluimos que q = c(t 0+6) y t 0+6 c S para 6 > O
lo suficientemente pequeño
Como c driem (p q)] es conexo y S es abierto y cerrado
coinciden . •
5 3 3 COROLARIO Si ex p es definida sobre todo TM
74
para algún punto p de una variedad Riemanniana M Enton
ces se tiene que
1) Para cualquier r > O {q c M / dr em (13 q ) ‘ r 1 es
compacto
ii) Cualquier subconjunto cerrado y acotado de M es con
pacto
iii) M es completo
DEMOSTRACION B (0) = {v c TM / ilvil 1 r} es un con r P junto compacto en TM y B r (p) = {q c M / d riem (p q).1r/
P es un subconjunto de M tal que ex p B
r (0) 4. B r (p) es P
un difeomorfismo así se tiene que expp (Br (0)) = Br (p) y
como ex p es una aplicación continua lleva compactos de P
TM en compactos de M luego B r (p) es compacto P ii) SeaBCM Bcerradoyacotado entonces existe c>0
tal que B C {q c M / driem (1) q) 4 e} por 1) B6 (p) es com
pacto y como B es un cerrado contenido en un compacto
se tiene que B es compacto
iii) Sea {x 1 } 1=1 2 una sucesión de Cauchy en M la
cerradura {x 1 /1=1,2 1 es cerrado y acotado por ii)
es compacto como {x 1 /1=1 2 } C {x 1 /i=1 2 ) se tie
ne que "1 1 1=1 2 es una sucesión de Cauchy en un con
pacto y por lo tanto converge a un punto x c M
Se concluye así que M es completo A
5 3 4 TEOREMA (HOPF RINOW) Sea M una variedad Riemannia
na completa Entonces para cualquier par de puntos p y
q c M existe una geodésica en M que los une y que tie
ne longitud igual a la distancia Riemanniana de p a q
DEMOSTRACION Como M es completa por lema 5 2 2 para to
do p e M ex p es definida sobre todo TM Por 5 3 2 pa
ra todoqeMexiste una geodésica que unepyqycuya
longitud es igualala distancia Riemanniana depaq i
5 3 5 COROLARIO Las siguientes afirmaciones son equiva
lentes
1) M es un espacio métrico completo
ii) ParaypeM exp es definida sobre todo TM
iii) Para algún p e M ex p es definida sobre todo TM
5 3 6 COROLARIO Cada una de las afirmaciones 1) ii) y
iii) anteriores implican el Teorema 5 3 4
5 4 APLICACIONES DEL TEOREMA DE HOPF RINOW
En esta sección introduciremos otra definición de vare
dad Riemanniana sumergida en un espacio euclideano lo
que es posible gracias al Teorema de Whitney, luego
adaptaremos los resultados de capítulos anteriores
5 4 1 OTRA DEFINICION DE VARIEDAD RIEMANNIANA Sean n N
enteros positivos mayores que O tales que N > n
Una variedad Riemanniana es un subcon )unto Mn C CRN (n in
dica la dimensión de la variedad) tal que para todo peM n
existe una bola abierta B (p) de Mn y una aplicación
x U C M.11 + B (p) n Mn de un abierto U de fRn sobre
B (p) n M" tal que e
1) x es un homeomorfismo diferenciable
ii) La diferencial dx + Mn es inyectiva para V gel!
75
76
5 4 2 OBSERVACIONES
1 Por la definición anterior podemos considerar una va
riedad Riemanniana como si fuese una superficie de di
mensión n en un espacio euclideano de dimensión N con
N > n
2 En forma análoga que para superficies
1) Llamamos a x una parametrización
11) A las coordenadas (u 1 UN ) llamamos coordenadas
de x(u 1 UN) c B c (p) n Mn
111) El espacio tangente Tx(q) Mn = dx
9 GRn) a Mn en
x(q) está bien definido independientemente de la
parametrización x
Dx ' X iv) Existe una base {X 1 = ---, =
a ul aUN
de Tx(q)Mn asociada a la parametrización x
3 Se demuestra que toda variedad Riemanniana abstracta
(vista en el capítulo II) es una variedad Riemanniana se
gún la definición anterior
4 En base a esta nueva definición los conceptos de
aplicación diferencialbe campo vectorial diferenciable
derivada covariente geodésicas y otros son recapturados
de la manera siguiente
5 4 3 DEFINICIONES Sean M n C ÉRN una variedad Riemannia
na, p c Mn y f Mn + CR una función real
Diremos que f es diferenciable en p si existen una bola
abierta B c (p) de IRn y una función diferenciable
77
F Be (p) 4 M tal que la restricción F/B E (p) n mn = f
Si indicamos con (x xN) las coordenadas de F se
escribe como F(x 1 xN)
Se define el gradiente de F como
grad F(p) = ( —
2I
—)(p) e alN
ax 1 axN
El cual no necesariamente pertenece a T M n Su proyec
ción sobre T Mn es la parte del grad F que es vista de
la variedad Mn
Como F y f coinciden en B(p) n Mn se define el gradien
te de f como grad f(p) = proy de grad F(p) sobre T M n
Un campo vectorial diferenciable en M n es una aplicación
diferenciable X Mn 4R' tal que X(p) e T Mn , para to
do p e M
Dado un tal campo X y un vector v e T Mn definimos la
derivada covariante DvX(p) de X respecto a v en p como
la componente tangencial de la diferencial de x aplica
da a v O sea DvX(p) = proy sobre T Mn de dx (v)
Una geodésica de Mn es una curva de Mn cuyo campo de
vectores tangentes tienen derivada covariente nula
Dado un campo vectorial diferenciable X en M n para ca
da p e Mn consideremos la aplicación lineal siguiente
g T Mn 4 TM dada por
4 DvX(p)
Se define la función div X Mn 4 CR llamada divergencia
78
por div.X(p) = traza de g. Claramente div X es diferen-
ciable. Seguidamente definimos el Laplaciano A mn f de
una función diferenciable f: M n IR por Amn f=div.(grad.f).
5.4.4 APLICACIONES ARMONICAS ENTRE VARIEDADES RIEMANNIA-
NA. Sean Mn C ,N y Mm C M dos variedades Riemannianas,
D C Mn un conjunto abierto, conexo y acotado de M n cuya
frontera 91) sea la unión de un número finito de cerradu-
ras de variedades de dimensión n-1 contenidas en M n y
f: 5 4- M m una aplicación diferenciable, donde O = DU9D.
Si (x 1 ,...,xN ) son las coordenadas de CR N y (y 1 ,...,ym )
las coordenadas de T1%1, podemos escribir:
f(x l ,...,xN ) = (f 1 (x 1 ,...,xN ),...,f 1 (x 1 ,...,xN )) para
(x 1 ,...,xN ) e U.
Se define la energía de f por :
11 E(f) = f ( E lgrad f i l 2) d Mn = 7 J e(f) dMn
i=1
dorideem.,Eigracif.12 es la densidad de energía i=1
de f. ,
Si F : Dx(-c,+ m
e) M es una variación de f,se concluye
que dE / ds/ s=0 = - O (?(p) . 1 de Mn para s e 9s
p e 5, y donde Is (p) es el vector tensión de f que es da-
do por ?(p) = proy. sobre T f(p) M 1 de (Amnf l ,...,Amnfm )
y 21 es el campo variacional de F. Ds
En resumen damos la siguiente definición:
79
Una aplicación diferenciable f D CMn 0 es armónica
si y solo si ? = O
En el caso particular en que f es una aplicación
f [0 1] An obtenemos
1 a dF = (f(t) 9F)dt para s c ( c +c) t [0,1] ds s=0 O
,2 € y I(t) = proy de m—t sobre
Tf(p)In o sea ?(t) es la
dt'
aceleración de f 'vista de la superfice la cual coinci
de con la derivada covariante de f
Así la definición anterior queda de la siguiente manera
Una aplicación diferenciable f Ep 1] 4 Mn es armónica
si y solo si ? = O
Por el argumento anterior f es armónica si y solo si
es un punto crítico para la energía de cualquier varia
ción de f, luego por 4 2 4 se tiene que las aplicaciones
armónicas de un intervalo en una variedad Riemanniana
son precisamente las geodésicas de la variedad que unen
dos de sus puntos
Por ejemplo, en una esfera son los arcos de circunferen
cia máxima y en un cilindro son los arcos de alguna hé
lice sobre el cilindro
Ceodésicas en una esfera Geodésicas en un cilin dro
80
El problema de encontrar curvas armónicas (geodésicas)
que unan dos puntos dados de una variedad Riemanniana
(superficie) S está resuelto
SiSes completaypyqcS, entonces existe una geodé
sica deSque unepyqytal geodésica es un mínimo abso
luto de energía (Teorema de Hopf Rinow)
Vale la pena mencionar que la geodésica así obtenida no
es necesariamente única porque además de las geodésicas
minimales pueden existir otras que unen los puntos da
dos y que no son minimales sino apenas puntos críticos
de la energía
S 4 S PROBLEMAS FUNDAMENTALES SOBRE LAS APLICACIONES AR
MONICAS En esta sección estableceremos brevemente algu
nos problemas abiertos sobre aplicaciones armónicas par
tiendo de las hipótesis de la sección anterior
Problema 1 Dada una aplicación continua g DD 4- M m ,
hallar una aplicación f 15 -› Mm continua en n y armónica
en D tal que f/DD = g
Tal problema como vemos, envuelve cuestiones de existen
cia unicidad y minimización de la energía de f y aunque
parezca problema exclusivo del análisis la geometría
juega un papel fundamental en la solución del mismo
Como la condición ? = O es un sistema de ecuaciones di
ferenciales parciales de segundo orden, el interés de la
geometría está ligado, de un lado, al hecho de que las
condiciones para su solución deben expresarse en térmi
81
nos de la geometría de Mn y Mm y de otro lado la in
fluencia que dicho problema tiene en la solución del pro
blema siguiente
Problema 2 Suponiendo que Mn y Mm sean variedades Rie
mannianas compactas Nos preguntamos si toda aplicación
f Mn + Mm se puede deformar continuamente en una aplica
ción armónica Consideremos los siguientes casos
Caso 1 Mn = S i
Se tiene que las aplicaciones armónicas f 51 + Mm son
las geodésicas cerradas de Mm además se prueba que toda
variedad Riemanniana compacta contiene una geodésica ce
rrada no trivial Ver [22]
Utilizando la notación de la sección 4 5
K(W p) < O significa que las geodésicas que salen de
p e Mm y son tangentes a W se apartan más rápidamente
que las rectas de W que salen del origen
También se demuestra que toda aplicación continua
f Mn + Mm es continuamente deformable en una aplicación
armónica que realiza un mínimo absoluto de energía
Mayores detalles de estos problemas se encuentran en [22]
82
CONCLUSIONES
CAPITULO I PRELIMINARES
Para los conceptos de variedad diferenciable, campo vec
tonal que incluimos en el primer capítulo, hemos utilizado
las referencias [1] [2] y [21] Para establecer el Teorema
1 3 4 que de la existencia de una partición de la unidad so
bre una variedad diferenciable paracompacta hemos modificado
los lineamientos de [23]
CAPITULO II METRICA RIEMANNIANA
Iniciamos este capitulo con una motivación de estructura
Riemanniana sobre un abierto de un espacio euclideano, siguien
do las ideas de Robertson
Para la generalización de este concepto sobre una vare
dad diferenciable hemos utilizado las referencias [9] [17]
y [11], concluyendo con el teorema 2 2 4 que establece la
existencia de una estructura Riemanniana diferenciable, sobre
una variedad diferenciable paracompacta
Después de introducir el concepto de métrica Riemanniana
siguiendo las referencias Do, [flg y H hemos demostrado
el teorema 2 3 2 el cual establece que en una variedad Rie
manniana, coinciden la topología de la variedad y la topolo
gia determinada por la métrica Riemanniana
Finalmente modificando los lineamientos de [9], demos
tramos el teorema 2 4 1 que establece la existencia de un
sistema normal de coordenadas
83
CAPITULO III CONEXION Y TENSOR CURVATURA
A través de todo este capitulo se utilizaron las referen
cias [1] [17] [19] y [2q] y hemos puesto enfasis en la ex
presión local del campo vectorial V xY
Utilizando los conceptos de derivada covariante y parale
lismo hemos demostrado la proposición 3 3 3 que caracteriza
al vector V X Y como un limite
Modificando las referencias hemos demostrado el teorema
3 4 4, que establece la existencia de una única conexión simé
trica compatible con una estructura Riemanniana
Concluimos este capitulo con el corolario 3 4 5 que da
ejemplos de variedades Riemannianas con una única conexión
simétrica, compatible con su estructura Riemanniana
CAPITULO IV GEODESICAS Y APLICACION EXPONENCIAL
Las referencias para éste capitulo son las siguientes
[2] [3J , o] 03J fl7J y e Se introducen los conceptos de geodésica y aplicación
exponencial El primero, utilizando la derivada covariante
así como el cálculo de variaciones y el segundo usando el
flujo geodésica y generalización en forma natural de su
definición en superficies regulares
Demostramos además el teorema 4 4 7 que establece la
existencia de una única geodésica que pasa por un punto da
do de una variedad Riemanniana y cuyo vector velocidad es el
vector tangente al punto dado
84
Utilizando el concepto de curvatura seccional estable
cemos en el teorema 4 5 5, la forma de calcular esta curvatu
ra en un punto
CAPITULO V TEOREMA DE HOPF RINOW
En lo que respecta a superficies regulares, para la ver
sión original del teorema de Hopf Rinow hemos utilizado las
referencias [11] y [12] y la referencia [4] para una versión
moderna
Para las variedades Riemannianas hemos utilizado la re
ferencia [17] y las referencias [3] y [9] para versiones mo
dernas
En cuanto a la aplicación del teorema de Hopf Rinow, se
utilizaron las referencias [5] [6] [8] [1 6] [18J y [22J
Iniciamos el capítulo exponiendo algunos ejemplos de va
riedades Riemannianas completas Luego, demostramos la propo
sición 5 2 1, que da una condición necesaria y suficiente pa
ra que sobre una variedad Riemanniana M la aplicación exp
esté definida sobre todo TM para p c M
La demostración del teorema 5 3 4 (Hopf Rinow) se basa
en 5 2 2 y 5 3 3 El primero establece que, para todo punto
p de una variedad Riemanniana completa la función ex p está
definida sobre todo TM entonces existe una geodésica que
une p con cualquier otro punto dado, q con longitud igual a
la distancia Riemanniana de p a q
A continuacion del teorema, expresamos algunas afirman°
nes equivalentes en el corolario 5 3 5
85
En 5 4 4 recordamos el concepto de aplicación armónica
entre variedades Riemannianas y observamos que la geodésica,
en el teorema de Hopf Rinow, es un mínimo absoluto de energía
de una curva armónica
Finalmente en 5 4 5, discutimos brevemente dos problemas
fundamentales sobre aplicaciones armónicas
86
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