En matemáticas, un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero,

por ejemplo:   es un número imaginario, así como   o   son también números imaginarios.

En otras palabras, es un número de la forma:

Un número imaginario puede describirse como el producto de un número real por

la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1 :1 2 3

Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a   el nombre de i, por imaginario,

de manera despectiva dando a entender que no tenían una existencia real. Gottfried

Leibniz, en el siglo XVII, decía que   era una especie de anfibio entre el ser y la

nada.

En ingeniería electrónica y campos relacionados, la unidad imaginaria es a menudo

escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica,

tradicionalmente denotada por i.

Cronología4

Año Acontecimiento

157

2Rafael Bombelli realiza cálculos utilizando números imaginarios.

177

7Leonhard Euler utiliza el símbolo “i” para representar la raíz cuadrada de -1.

181

1

Jean-Robert Argand crea la representación gráfica del Plano complejo también

conocida como plano de Argand

Interpretación geométrica[editar]

Rotaciones de 90-grados en el plano complejo

Geométricamente, los números imaginarios se encuentran en el eje vertical del plano

complejo, presentándolos como perpendiculares al eje real. Una manera de ver los números

imaginarios es el considerar una recta numérica típica, que aumenta positivamente hacia la

derecha y aumenta negativamente hacia la izquierda. Podemos entonces dibujar un eje de

coordenadas vertical pasando por el 0 del eje horizontal, de modo que represente números

imaginarios aumentando positivamente hacia arriba y negativamente hacia abajo. Este eje

vertical es llamado el "eje imaginario" y es denotado como  ,  , o simplemente  . En esta

representación, una multiplicación por –1 corresponde a una rotación de 180 grados sobre el

origen. Una multiplicación por   corresponde a una rotación de 90 grados en la dirección

"positiva" (en el sentido antihorario), y la ecuación   puede interpretarse diciendo que

si aplicamos dos rotaciones de 90 grados sobre el origen, el resultado final es equivalente a

una simple rotación de 180 grados. Nótese que una rotación de 90 grados en la dirección

"negativa" (sentido horario) satisface también esta interpretación. Esto refleja el hecho que   

es también una solución de la ecuación  . En general, multiplicar por un número

complejo es lo mismo que sufrir una rotación alrededor del origen por elargumento del número

complejo, seguido de un redimensionamiento a escala por su magnitud.

Propiedades[editar]

 (se repite el patrónde la zona azul)

 (se repite el patrónde la zona azul)

Todo número imaginario puede ser escrito como   donde   es un número real e   es la

unidad imaginaria, con la propiedad

,

puesto entonces:

que es un número real.

Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número real y

un número imaginario, de esta forma:

Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.

Del mismo modo, partiendo de:

la raíz cuadrada de cualquier número real negativo, da por resultado un número imaginario,

así por ejemplo:

Estos números extienden el conjunto de los números reales   al conjunto de los números

complejos  .

Por otro lado, no podemos asumir que los números imaginarios tienen la propiedad, al igual

que los números reales, de poder ser ordenados de acuerdo a su valor.5 Es decir, es justo

decir que  , y que  . Esta regla no aplica a los números imaginarios, debido a

una simple demostración:

Recordemos que en los números reales, el producto de dos números reales,

supónganse a y b, donde ambos son mayores que cero, es igual a un número mayor que

cero. Por ejemplo es justo decir que  ,  , por lo

tanto,  , entonces tenemos que  , y obviamente  .

Por otro lado, supóngase que  , entonces tenemos que  , lo cual

evidentemente es falso.

Y de igual manera, hagamos la errónea suposición de que  , pero si multiplicamos

por   nos queda que  . Por lo tanto tenemos que  . Lo que

es, igualmente que la suposición anterior, totalmente falso.

Concluiremos que esta suposición y cualquier otra de intentar dar un valor ordinal a los

números imaginarios es completamente falsa.

Usos[editar]

La unidad imaginaria puede ser usada para extender formalmente la raíz cuadrada de

números negativos, confirmando el teorema fundamental del álgebra.

Igualmente la raíz cuadrada de un número imaginario es un número complejo, y la raíz de

un número complejo en general es otro número complejo.

Gracias a la fórmula de De Moivre los logaritmos de números negativos también son

expresables (de manera no unívoca) mediante  , así   aunque cualquier

número imaginario de la forma   satisface que la función

exponencial  .

Curiosamente,  .

En física cuántica la unidad imaginaria permite simplificar la descripción matemática de los

estados cuánticos variables en el tiempo.

En teoría de circuitos y corriente alterna la unidad imaginaria se usa para representar

ciertas magnitudes como fasores, lo cual permite un tratamiento algebraico más ágil de

dichas magnitudes.