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©INAOE 2018
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El autor otorga al INAOE el permiso de reproducir y
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mencionando la fuente.
Corrección del frente de onda en un
Interferómetro de Difracción por Punto
empleando un modulador espacial de luz.
Por:
José Alex Zenteno Hernández
Tesis sometida como requisito parcial para obtener el grado de:
Maestro en Ciencias en el Área de Óptica
En el:
Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica
Agosto 2018
Tonantzintla, Puebla
Supervisada por:
Fermín Salomón Granados Agustín, INAOE
Daniel Aguirre Aguirre, ICAT-UNAM
I
Resumen
En el presente trabajo se describe la construcción, caracterización e implementación de un Interferómetro
de Difracción por Punto (IDP). Se desarrolla la teoría general inherente al mismo y se enfatiza su viable
implementación en interferometría óptica. Particularmente para la detección de defectos en superficies
ópticas bajo prueba. El trabajo abarca desde la generación de placas semitransparentes con micro
orificios, para poder generar un IDP, hasta su implementación y análisis cualitativo.
El trabajo se sustenta con el desarrollo de simulaciones computacionales basadas en la teoría general del
IDP, considerando parámetros físicos reales de los experimentos que permiten predecir el
comportamiento real del interferómetro en el laboratorio. Estas simulaciones se adecúan a diferentes
técnicas de análisis interferométrico, específicamente, técnicas de desplazamiento de fase con las cuales
se recupera un frente de onda.
El objetivo fundamental del trabajo es implementar el IDP para el análisis de superficies con defectos y
compensarlos implementando un modulador espacial de luz corrigiendo el frente de onda proveniente
de dicha superficie. Con el fin de realizar esta corrección, primeramente es necesario conocer los defectos
en el frente de onda. Para ello, se emplean algoritmos de corrimiento de fase que permiten la
caracterización cualitativa y cuantitativa de los defectos. Una vez conocidos, se generan mascarillas de
fase que poseen la compensación de los defectos en el frente de onda. Implementando estas funciones
en el modulador espacial de luz (desplegándolas como una imagen en escala de grises) el frente de onda
aberrado es modificado en su fase por dichas funciones compensando los defectos y, en consecuencia,
se obtiene un frente de onda corregido.
II
Agradecimientos
Mi más sincero agradecimiento a Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por la beca
otorgada.
Al Instituto Nacional de Astrofísica Óptica y Electrónica (INAOE) que a través de su planta académica,
administrativos e instalaciones fue posible el desarrollo de mis estudios de posgrado.
A mis asesores, el Doctor Fermín Salomón Granados Agustín y el Doctor Daniel Aguirre Aguirre por
todo el apoyo brindado.
A mis sinodales, el Doctor Alejandro Cornejo Rodríguez, la Doctora María Elizabeth Percino Zacarías y
la Doctora Brenda Villalobos Mendoza por sus haberse tomado el tiempo de leer este trabajo y haberlo
mejorado con sus observaciones.
A todo el equipo de Instrumentación ya que en pequeña o gran medida contribuyeron al desarrollo del
trabajo.
A mi familia. A mi madre y abuela que siempre han creído en mí.
A Naara, por el apoyo incondicional y amor que me ha demostrado.
III
Índice general
1 Introducción ............................................................................................................................... 1
2 Marco Teórico ............................................................................................................................ 3
2.1 Interferencia de campos ópticos ....................................................................................... 3
2.2 Condiciones para la interferencia ..................................................................................... 5
2.2.1 Coherencia temporal...................................................................................................... 5
2.2.2 Coherencia espacial ....................................................................................................... 6
2.3 Superposición de dos ondas esféricas .............................................................................. 6
2.4 Interferómetro de difracción por punto ........................................................................... 8
2.4.1 Análisis teórico para un IDP ......................................................................................... 8
3 Fabricación de placas para IDP ............................................................................................. 13
3.1 Laboratorio de películas delgadas .................................................................................. 13
3.2 Laboratorio de microelectrónica..................................................................................... 15
3.3 Índice de refracción de las placas ................................................................................... 17
4 Simulaciones computacionales de un IDP ............................................................................ 18
4.1 Simulación computacional de un IDP ........................................................................... 18
4.1.2 Efectos presentes en un IDP (resultados computacionales) .................................... 20
4.2 Simulación de un IDP para probar superficies esféricas con defectos locales ........... 28
4.2.1 Efectos de un IDP para el análisis de los defectos en una superficie ...................... 32
4.3 Corrección de fase de los frentes de onda para compensar defectos locales. ............. 36
4.3.1 Análisis interferométrico para un IDP – Desplazamiento de fase ........................... 36
4.3.2 Simulaciones numéricas de un IDP con métodos de desplazamiento de fase ....... 39
4.3.3 Obtención de los defectos locales en un IDP ............................................................ 42
4.3.4 Generación de funciones de fase para la compensación de defectos en la superficie
46
5 Implementación de placas para un IDP ................................................................................ 51
5.1 Efectos presentes en un IDP .......................................................................................... 52
5.2 IDP para el análisis de una superficie con defectos locales ......................................... 56
6 Corrección del frente de onda empleando un modulador espacial de luz ........................... 59
6.1 Análisis del desplazamiento de fase debido a cambios de niveles de gris en el
modulador espacial de luz........................................................................................................... 59
6.2 Desplazamiento de fase en un IDP para la caracterización de defectos locales ......... 60
IV
6.3 Corrección de defectos locales mediante modulación de niveles de gris en el
modulador espacial de luz........................................................................................................... 63
7 Conclusiones y trabajo a futuro .............................................................................................. 70
8 Referencias ............................................................................................................................... 72
Anexo I – Código de programa para la simulación numérica de un IDP ................................... 73
Anexo II – Código de programa para la simulación numérica de un IDP para probar
superficies con defectos locales ...................................................................................................... 75
Anexo III – Código de programa para la simulación numérica de un IDP con desplazamiento
de fase ............................................................................................................................................... 78
Anexo IV – Código de programa para la simulación numérica de un IDP con desplazamiento
de fase y obtención de los defectos en un frente de onda ............................................................. 81
Anexo V – Código de programa para la simulación numérica de un IDP con desplazamiento
de fase, obtención de los defectos en un frente de onda y generación de imagen en escala de
grises para modulación. .................................................................................................................. 86
V
Índice de figuras
Fig. 1 (a) Las franjas de interferencia no localizadas producidas por dos fuentes esféricas son
hiperboloides de revolución alrededor del eje S1-S2, (b) Hipérbolas resultantes de la intersección de los
hiperboloides con un plano que pasa por S1 y S2 [8]. ........................................................................................ 7 Fig. 2 La distribución de las franjas varía en función de la ubicación del plano de observación. ............... 7 Fig. 3 Esquema de un Interferómetro de Difracción por Punto. ..................................................................... 8 Fig. 4 Diagrama de análisis para la onda del micro-orificio. .............................................................................. 9 Fig. 5 Diagrama de análisis para la onda esférica. ............................................................................................. 11 Fig. 6 Diagrama de análisis del IDP, campos propagados. .............................................................................. 12 Fig. 7 Gotas de mercurio sobre placa de vidrio. ................................................................................................ 13 Fig. 8 a) Selección de micro-gota del tamaño apropiado (15 micras), b) Micro-gota en sustrato limpio . 14 Fig. 9 Revisión de la placa semitransparente con orificio. ............................................................................... 14 Fig. 10 Versión final de las placas (Gota de mercurio). .................................................................................... 14 Fig. 11 Esquema representativo de la mascarilla empleada para el proceso de microlitografía (no refleja
las dimensiones reales). .......................................................................................................................................... 15 Fig. 12 a) Fotoimpresión del patrón sobre sustrato b) Patrón impreso c) Silanol removido d) Vista
representativa del sustrato final. ........................................................................................................................... 16 Fig. 13 Versión final de las placas (Microlitografía) .......................................................................................... 16 Fig. 14 Diagrama de flujo de la simulación numérica para un IDP. .............................................................. 19
Fig. 15 Simulación numérica de un IDP. 𝜙orificio=6 micras, nv=1.514, nAl=1.396, z’=55cm. .................... 20 Fig. 16 Esquema del desplazamiento o defoco de la imagen de un objeto debido una placa plano paralela.
................................................................................................................................................................................... 20 Fig. 17 Interferogramas obtenidos en la simulación de un IDP para diferentes espesores de la película de
aluminio con transmitancias de: a) 100%, b) 90%, c) 80% y d) 70% ............................................................. 21 Fig. 18 Corrimiento de franjas debido al defoco inducido por la película de aluminio. a) Comparación de
interferogramas de 100% y 70% de transmitancia. b) Acercamiento a la zona central derecha. c) Vista
transversal (normalizada) del perfil de interferencia. ........................................................................................ 21 Fig. 19 Variación del tamaño del micro-orificio. Interferogramas resultantes. ............................................ 23 Fig. 20 Patrón de difracción de una apertura circular. ...................................................................................... 23 Fig. 21 Diagrama de análisis para desplazamientos laterales y verticales de la placa en un IDP. .............. 24 Fig. 22 Diferentes desplazamientos laterales y verticales para la placa de un IDP. Δx=10µm y Δy=10µm.
................................................................................................................................................................................... 24 Fig. 23 Esquema representativo de un desplazamiento lateral de la placa en un IDP. a) Placa centrada. b)
Placa desplazada ...................................................................................................................................................... 25 Fig. 24 Geometría de la separación entre dos ondas esféricas con diferente radio de curvatura [17]. ..... 25 Fig. 25 Diagrama representativo de un desplazamiento axial de la placa de un IDP. a) sin desplazamiento,
b) desplazamiento hacia atrás del punto de convergencia, c) desplazamiento hacia adelante del punto de
convergencia. ........................................................................................................................................................... 26 Fig. 26 Desplazamiento axial de la placa de un IDP. Partiendo desde el punto focal hacia atrás y hacia
adelante. a) Desplazamiento hacia atrás, distancia máxima: ∆z~1mm, b) Desplazamiento hacia adelante,
distancia máxima: ∆z~1mm. ................................................................................................................................ 27 Fig. 27 Defoco para interferogramas con aberración esférica. ....................................................................... 27 Fig. 28 Aberración esférica ante la combinación de defoco y desplazamientos laterales de la placa en un
IDP. .......................................................................................................................................................................... 27 Fig. 29 Obtención de franjas rectas paralelas e igualmente espaciadas. ......................................................... 28
VI
Fig. 30 Esquema representativo de un IDP analizando una superficie esférica con defectos. .................. 28 Fig. 31 Diagrama de flujo de la simulación numérica para un IDP probando superficies esféricas con
defectos. ................................................................................................................................................................... 29 Fig. 32 Función bidimensional cuyos valores son múltiplos de longitudes de onda. .................................. 29 Fig. 33 a) Fase de la onda esférica sin modificaciones. b) Fase de la onda esférica después de ser
modificada por la acción de los defectos. ........................................................................................................... 30 Fig. 34 Simulación de un IDP para una superficie con defectos. ................................................................... 31 Fig. 35 Simulaciones de IDP’s para diferentes superficies con defectos de geometrías complejas. ......... 31 Fig. 36 Interferogramas para un frente de onda aberrado con defectos a) positivos b) negativos. Se
muestran los perfiles de la onda con los defectos respectivamente. .............................................................. 32 Fig. 37 Esquema representativo de la comparación de un desplazamiento de la placa del IDP a) dentro
de la zona de convergencia b) fuera de la zona de convergencia. ................................................................... 33 Fig. 38 Simulación del desplazamiento lateral de la placa de un IDP. a) IDP para una onda sin aberraciones
b) IDP para una onda aberrada. ........................................................................................................................... 34 Fig. 39 Simulación de defoco en un IDP a) IDP para una onda sin aberraciones b) IDP para una onda
aberrada Δz≈500µm. .............................................................................................................................................. 35 Fig. 40 IDP para una superficie con defecto. a) Pocas franjas b) después de cierto defoco aumenta el
número de franjas. .................................................................................................................................................. 36 Fig. 41 Interferogramas resultantes después de aplicar un desplazamiento en la fase. ............................... 37 Fig. 42 a) Interferogramas con corrimiento b) Perfil transversal de los interferogramas (al centro) c) Fase
recuperada ................................................................................................................................................................ 40 Fig. 43 a) Interferogramas con corrimiento b) Perfil transversal de los interferogramas (al centro) c) Fase
recuperada ................................................................................................................................................................ 42 Fig. 44 Algoritmo a seguir para la obtención de defectos locales en un IDP. .............................................. 42 Fig. 45 Método de las 4 imágenes para la obtención de la fase de un frente de onda con defectos. a)
Interferogramas generados tras el corrimiento de fase b) Fase obtenida. ..................................................... 43 Fig. 46 Método de las 4 imágenes para la obtención de la fase de un frente de onda sin defectos. a)
Interferogramas generados tras el corrimiento de fase b) Fase obtenida. ..................................................... 44 Fig. 47 Defecto obtenido. ..................................................................................................................................... 44 Fig. 48 Proceso para la modulación y comparación de los interferogramas con y sin defectos. ............... 47 Fig. 49 Defecto obtenido y su respectiva función de modulación. ................................................................ 47 Fig. 50 Esquema de la corrección del frente de onda con defectos. .............................................................. 48 Fig. 51 a) Interferograma para un frente de onda con defecto. b) Interferograma para el mismo frente de
onda pero compensado. ........................................................................................................................................ 48 Fig. 52 a) Interferograma compensado b) Interferograma de referencia. ..................................................... 49 Fig. 53 Corrección del frente de onda mediante funciones de modulación. a) Frente de onda aberrado b)
Interferograma con dislocaciones en las franjas c) Interferograma después de haber modulado los
defectos. ................................................................................................................................................................... 49 Fig. 54 Corrección del frente de onda mediante funciones de modulación. a) Frente de onda aberrado b)
Interferograma con dislocaciones en las franjas c) Interferograma después de haber modulado los
defectos. ................................................................................................................................................................... 50 Fig. 55 Esquema del arreglo experimental. (1) Fuente de luz tipo Zygo, (2) Placa para el IDP montada en
una base micrométrica de tres ejes, (3) Plano de observación. ....................................................................... 51 Fig. 56 IDP's obtenidos con placas hechas por el método de gota de mercurio. ........................................ 52 Fig. 57 IDP's obtenidos con placas hechas por el método de microlitografía. ............................................ 52 Fig. 58 Efecto sobre la variación del espesor de la película delgada de aluminio sobre los interferogramas.
................................................................................................................................................................................... 53 Fig. 59 Variación del tamaño del micro orificio. ............................................................................................... 53
VII
Fig. 60 Efecto de desplazamientos laterales de la placa en un IDP. Δx=10µm y Δy=10µm ..................... 54 Fig. 61 Efecto de defoco en un IDP, Δz≈1mm. ............................................................................................... 55 Fig. 62 Aberración asférica presente en un IDP. .............................................................................................. 55 Fig. 63 Combinación de defoco con desplazamientos laterales en un IDP para observar aberración
asférica. ..................................................................................................................................................................... 55 Fig. 64 Obtención parcial de franjas rectas, paralelas e igualmente espaciadas en un IDP. ....................... 56 Fig. 65 Arreglo experimental & esquema para un IDP con superficies con defectos. ................................ 57 Fig. 66 IDP para una superficie con defecto tipo escalón de λ/2. ................................................................. 57 Fig. 67 IDP para una superficie con defecto tipo escalón de λ/4. ................................................................. 57 Fig. 68 IDP para superficie reflectora con defectos locales. ........................................................................... 58 Fig. 69 Moléculas de cristal líquido en un pixel del modulador a) Sin voltaje aplicado b) Con voltaje
aplicado. ................................................................................................................................................................... 60 Fig. 70 Modulación de fase para 632nm del modulador espacial de luz LC 2012. ...................................... 60 Fig. 71 IDP para una superficie con defecto. a) Pocas franjas b) después de cierto defoco aumenta el
número de franjas. .................................................................................................................................................. 61 Fig. 72 Superficie óptica con defectos locales.................................................................................................... 61 Fig. 73 Corrimiento de fase por defoco en un IDP. a) Interferogramas con desplazamiento en franjas. b)
Fase recuperada....................................................................................................................................................... 62 Fig. 74 Diferentes vistas del defecto en la sección del frente de onda recuperado. .................................... 63 Fig. 75 Curvas de nivel del defecto en el frente de onda. ................................................................................ 63 Fig. 76 Frente de onda con defecto local. .......................................................................................................... 63 Fig. 77 a) Frente de onda aberrado b) Defecto c) Función de modulación.................................................. 64 Fig. 78 Función de modulación (vista transversal) a) Fase desenvuelta b) Fase envuelta. ......................... 65 Fig. 79 Función de modulación a) Normalizada b) Operando en el rango dinámico del modulador espacial
de luz. ....................................................................................................................................................................... 65 Fig. 80 Función de modulación en escala de grises. ......................................................................................... 65 Fig. 81 Simulación numérica de un defecto tipo escalón λ/2 a) Defecto b) Interferograma. .................... 66 Fig. 82 Simulación numérica de un defecto tipo escalón λ/4 a) Defecto b) Interferograma. .................... 66 Fig. 83 Imágenes para compensar defectos tipo escalón. Estas imágenes son desplegadas en el modulador
espacial de luz. a) λ/2 b) λ/4. ............................................................................................................................... 67 Fig. 84 Interferogramas tras la corrección del frente de onda a) λ/2 b) λ/4. ............................................... 67 Fig. 85 Interferogramas para escalones de a) λ/2 b) λ/4. ................................................................................ 68 Fig. 86 Dislocación en franjas debido a defecto en la superficie. ................................................................... 68 Fig. 87 Modulación del frente de onda en un IDP a) Interferograma con dislocaciones en las franjas b)
Imagen en escala de grises para la modulación del frente de onda, correspondiente a λ/2 b) Frente de
onda corregido - interferograma sin dislocaciones. .......................................................................................... 69 Fig. 88 Modulación del frente de onda en un IDP a) Interferograma con dislocaciones en las franjas b)
Imagen en escala de grises para la modulación del frente de onda, correspondiente a λ/4 b) Frente de
onda corregido - interferograma sin dislocaciones. .......................................................................................... 69
Índice de tablas
Tabla 1 Caracterización de defectos por desplazamiento de fase. Variación de la distancia de observación
................................................................................................................................................................................... 45 Tabla 2 Caracterización de defectos por desplazamiento de fase. Variación del defoco. ........................... 46 Tabla 3 Caracterización de defectos por desplazamiento de fase. Variación horizontal o vertical de la
placa. ......................................................................................................................................................................... 46
VIII
1
1 Introducción
A través de los años se ha llegado a comprender que una forma de medición precisa está basada
en la interacción entre una onda con otra. Si dos ondas de la misma naturaleza interactúan una con otra
superponiéndose se generará el fenómeno de interferencia. Debido a las diferencias entre los caminos
recorridos por las ondas, éstas se superpondrán constructiva o destructivamente, el resultado de este
fenómeno es un patrón de interferencia. De estos patrones se puede obtener información relevante tanto
de las ondas como de los caminos o medios por los cuales pasaron [1]. Si específicamente se considera
luz (onda) para obtener este fenómeno, el patrón de interferencia obtenido será una variación de
intensidades de franjas y/o anillos de luz y obscuridad. Ahora, debido a que la longitud de onda, por
ejemplo en el rango visible, es del orden de nanómetros, entonces será posible detectar muy pequeñas
variaciones en sus trayectorias y esto podrá ser notable al analizar los cambios de intensidad en el patrón
de interferencia. Como resultado, la interferencia óptica permite gran precisión para realizar mediciones
[2].
Emplear un patrón de interferencia para realizar mediciones es conocido como interferometría, técnica
que ha sido empleada por más cien años. Sin embargo, varios desarrollos nuevos han ampliado su alcance
y precisión, y han hecho que el uso de la interferometría óptica sea práctico para una amplia gama de
mediciones [2].
Los arreglos o instrumentos ópticos que generan interferencia son llamados interferómetros. Para lograr
la interferencia óptica se requieren ciertas condiciones importantes las cuales se mencionarán más
adelante y con más detalle en este documento. Una de las principales condiciones que deben cumplir
estos arreglos es que las ondas que se van a hacer interferir provengan de la misma fuente de modo que
dentro del mismo arreglo se debe generar una división del haz principal. Este propósito divide la
clasificación de interferómetros en dos grandes ramas: interferómetros de división de frente de onda, los
cuales dividen un haz de luz haciéndolo pasar por aperturas colocadas una a lado de la otra, sin embargo,
este método es útil sólo cuando las fuentes generadas son lo suficientemente pequeñas. La otra gama de
interferómetros es llamada de división de amplitud, los cuales dividen el haz parcialmente haciéndolo
pasar por superficies en las cuales parte de la luz se transmite y parte se refleja; éstos pueden ser empleados
para fuentes extendidas [3]. La versatilidad de los arreglos interferométricos da lugar a diferentes formas
de obtención de los patrones de franjas y/o anillos. Para ciertos arreglos la interferencia está “localizada”,
es decir, existe en una región en el espacio en la cual se puede identificar de manera intuitiva, pero existen
otros arreglos en los cuales la interferencia es “no localizada” y existe en una región extendida del espacio
[4].
Muchos conocimientos revolucionarios se descubrieron gracias al uso de éstos instrumentos: la naturaleza
de la luz debido al interferómetro de Young; la inexistencia del éter con el interferómetro de Michelson;
el fenómeno interferométrico asociado al movimiento de rotación con el interferómetro de Sagnac, por
mencionar algunos [2], [3]. Los interferómetros son ampliamente empleados en la ciencia y la industria
para medir pequeños desplazamientos, índices de refracción o irregularidades en superficies.
Determinar la calidad de componentes ópticas es de gran importancia para asegurar un correcto
desempeño de las mismas. Emplear interferometría para ello es de gran utilidad ya que la luz permite
identificar defectos que a simple vista o con instrumentos convencionales no podrían ser detectados.
El Interferómetro de Difracción por Punto (IDP) es un interferómetro de doble haz en el que una onda
esférica de referencia es generada por la difracción de un micro-orificio en una película semitransparente
al paso de una onda esférica convergente previa (proveniente de un sistema de iluminación) que después
2
de sufrir una atenuación en su amplitud, continua propagándose convirtiéndose en una onda esférica
divergente. Debido a que ambas ondas esféricas siguen la misma trayectoria, en su propagación
interfieren, generando un patrón de interferencia no localizado.
Que las ondas generadas recorran el mismo camino óptico clasificaría al IDP en un interferómetro de
trayectoria común, característica que le brinda robustez y estabilidad ante vibraciones. Sin embargo,
debido a que divide el frente de onda tanto en amplitud (por acción de la película semitransparente) como
en frente de onda (haciéndolo pasar por el micro-orificio) no se puede clasificar como un interferómetro
de división de amplitud o de división de frente de onda.
El IDP es un interferómetro simple debido a las pocas componentes en las que consiste. Pese a no ser
tan sencillo de fabricar ya que requiere ciertos instrumentos y materiales, con este dispositivo se pueden
medir diferencias de caminos ópticos de forma directa [5], se pueden analizar frentes de onda [6] y
también evaluar calidades en superficies ópticas [7].
El propósito de este trabajo es evaluar la calidad de una superficie óptica analizando el patrón de
interferencia de la onda proveniente de dicha superficie y la onda esférica de referencia en un IDP. Dado
que el patrón de interferencia estará modificado en la distribución de sus franjas debido a la forma de los
defectos en la superficie bajo prueba, analizando estas deformaciones en el patrón de franjas, se podrá
inferir la forma y altura de los defectos en la superficie bajo prueba. Una vez conocidos los defectos en
la superficie, se empleará un modulador espacial de luz con el cual se corregirán los defectos del frente
de onda aberrado mediante funciones de fase generadas a partir del defecto previamente analizado. Con
el frente de onda corregido se espera encontrar un patrón de franjas de interferencia en el IDP sin
dislocaciones o corrimientos en sus franjas.
3
2 Marco Teórico
2.1 Interferencia de campos ópticos
Considerando dos ondas electromagnéticas que pueden ser representadas matemáticamente por
las siguientes expresiones:
1 1 2 21 01 2 02, ; , ;
i t i tE r t E e E r t E e
1
Las fases 1 y 2 incluyen la dependencia espacial de las ondas y son independientes del tiempo. 1 y
2 corresponden a las frecuencias angulares de cada onda.
Suponiendo que la polarización de dichas ondas es lineal y a lo largo de los vectores 01E y 02E . Las
intensidades de dichas ondas vienen dadas por la expresión:
2
0 ( 1,2)iiI c E i 2
Con c como la velocidad de la luz en el vacío y 0 la permitividad eléctrica. Debido a que las oscilaciones
de los campos electromagnéticos son muy rápidas (≈1015 Hz) su valor instantáneo es difícil de obtener.
Por ello se requiere obtener el promedio temporal de su amplitud, denotado por el operador . Es
decir, se registra la energía radiante durante un intervalo de tiempo finito utilizando, por ejemplo, una
fotocelda, una placa de película o la retina de un ojo humano [4].
En la región donde estas ondas se superpongan, el campo resultante será simplemente la suma vectorial
de los campos de las ondas,
1 2E E E 3 Por lo que la intensidad luminosa resultante será:
2 2 2
1 2 1 2 1 20 0 2I c E E c E E E E
4
o bien, considerando la ecuación (2) y llamando 12I al último término,
1 2 12I I I I 5
Lo que indica que la superposición de las ondas consta no sólo de las intensidades de cada onda, sino
que también del término cruzado 12I . Ahora, si se considera que 1 2 éste término se anula al hacer
el promedio temporal [8] recuperando la expresión 1 2I I I que no da lugar a fenómenos de
interferencia. Cuando se tiene que 1 2 , el término 12I no es cero provocando variaciones en la
intensidad, ecuación (5), generando así los patrones de interferencia. Este término, 12I es conocido como
término de interferencia. Bajo este precepto se considerará entonces que la condición 1 2 es una
4
condición necesaria para la interferencia. Condición lograda asegurando que los campos provengan de la
misma fuente de emisión. Bajo estas condiciones el término de interferencia se puede escribir:
1 2 01 0212 0 02 iI c E E c E E e 6
siendo,
1 2 7
Tomando la parte real del último factor de la ecuación (6),
01 0212 0 cosI c E E 8
De la expresión anterior se puede inferir que la interferencia depende estrictamente de la polarización de
las ondas ( 01E y 02E ) debido a que si ambas ondas fueren perpendiculares entre ellas, el producto escalar
01 02E E sería cero y por ende 12I sería cero también y no se observaría interferencia. En otro extremo
si las ondas fuesen paralelas el término de interferencia alcanza su más grande valor y el efecto de
interferencia sería máximo. La interferencia también depende estrictamente de la diferencia de fase .
Dando por hecho que la polarización entre las ondas es la misma, el término toma la mayor
importancia para dar lugar al fenómeno de interferencia.
Considerando solamente el carácter escalar de la ecuación (8) se tiene:
12 0 01 02 1 2cos 2 cosI c E E I I 9
simultáneamente,
1 2 1 22 cosI I I I I 10
Cuando cos 1 se obtiene un máximo en la intensidad de las franjas de interferencia, esto es cuando
se cumple:
2 ( 0,1,2,...)m m 11
en la diferencia de fase; de lo que se obtiene:
max 1 2 1 22I I I I I 12
Cuando cos 1 se obtiene un mínimo en la intensidad de las franjas de interferencia, esto es cuando
se cumple:
(2 1) ( 0,1,2,...)m m 13
en la diferencia de fase; de lo que se obtiene:
min 1 2 1 22I I I I I 14
5
En relación con la distribución de intensidad entre máximos y mínimos resulta conveniente definir la
magnitud llamada visibilidad de las franjas como medida cuantitativa del contraste entre ellas:
max min
max min
I Iv
I I
15
2.2 Condiciones para la interferencia
2.2.1 Coherencia temporal
Una fuente de luz real jamás produce ondas estrictamente monocromáticas, ya que aún el más
fino espectro tiene un ancho de banda finito. Una fuente real jamás será una fuente puntual, dado que
tiene extensión finita, que consta de muchos emisores elementales (átomos). De tratarse de una fuente
puntual, las oscilaciones producidas por dicha fuente en cualquier punto del espacio serían una constante.
Pero en el caso de las fuentes reales esto nunca es así. La amplitud y fase de las vibraciones de una fuente
real sufren de fluctuaciones irregulares y lo rápido de éstas depende estrictamente del ancho espectral de
la fuente [3]. Sin embargo, existen fuentes que cumplen tener un ancho espectral lo suficientemente
pequeño como para que las fluctuaciones emitidas por esta, permanezcan constantes cierta longitud (o
tiempo) mientras se propagan, lo que se conoce como pulsos o trenes de onda [9]. El tiempo en el que
estas fluctuaciones mantienen una correlación constante en fase y amplitud se denota como tiempo de
coherencia 1t . Ya que la velocidad es la distancia recorrida por unidad de tiempo, un tren de
onda con longitud cl le toma cierto tiempo t pasar por un punto en el espacio de modo que:
0
0
c
cl c t
16
cl es conocida como la longitud de coherencia y análoga a t se define como la distancia en el que las
fluctuaciones de un tren de ondas mantienen una correlación constante en fase y amplitud.
Existe una estrecha relación entre la visibilidad de las franjas con la monocromaticidad de la fuente que
se esté empleando para llevar a cabo la interferencia [8], la cual viene dada por el ancho de banda 0 .
De la ecuación (16) se puede apreciar que entre más fino sea el ancho espectral de la fuente, más grande
será la longitud de coherencia, inversamente, si el ancho espectral es grande, cl será más pequeño. La
consecuencia de esto en términos de interferencia es que ésta sólo puede existir dentro de las dimensiones
de la longitud de coherencia, ya que fuera de ésta, la correlación en fase de los trenes de onda no es
constante y por ende la superposición de ondas no se podría apreciar. Matemáticamente esto viene
expresado por:
cL l 17
Siendo L la diferencia de camino óptico, la condición mostrada en la ecuación (17) indica que las
franjas se verán bien contrastadas si la diferencia de camino óptico entre los haces que interfieren es
mucho menor que la longitud de coherencia [8]. Un ejemplo claro de esto es que, si se trabajase con una
fuente de luz que emitiere en todo el espectro visible, es decir un ancho espectral grande, su longitud de
6
coherencia sería aproximadamente de 1 m , entonces, sería posible obtener interferencia pero dentro de
este rango de longitud. Caso contrario al de un láser, que tiene un ancho espectral pequeño ( 610
), su longitud de coherencia es aproximadamente de 400m [4]. Es por ello que el láser es ampliamente
usado para arreglos interferométricos.
2.2.2 Coherencia espacial
Existe también una relación entre el tamaño de las fuentes empleadas y la visibilidad de las franjas.
Consecuencia también de que las fuentes reales no son fuentes puntuales, sino de extensión finita. En
general, a medida que la extensión de la fuente aumenta, la visibilidad de las franjas disminuye. Tomando
como modelo simplificado de fuente extensa aquella que está formada por un número muy grande de
emisores atómicos, los cuales se pueden considerar fuentes puntuales, y que emiten de forma
independiente unos de otros, es decir, son mutuamente incoherentes. La intensidad en cualquier punto
iluminado por esta fuente será la suma de las intensidades procedentes de todos los emisores puntuales
individuales [3].
La consecuencia del tamaño extenso de la fuente es principalmente que la radiación de cada emisor en
un punto del espacio es incoherente una de la otra debido a que entre más alejado un emisor esté de otro,
los principios físicos que estimulan la radiación pudieran estar ocurriendo a diferente tiempo o a diferente
intensidad, de modo que obtener una correlación constante entre emisiones resulta casi imposible.
Reducir el tamaño de la fuente, no asegura una correlación perfecta entre emisiones, pero garantiza que
al menos se cumple cierta correspondencia entre tiempos de estimulación y por ende los emisores
radiarán en misma frecuencia e intensidad. Esto recibe el nombre de coherencia espacial. Las fuentes
pequeñas son más coherentes espacialmente que las fuentes extensas.
2.3 Superposición de dos ondas esféricas
Si las ondas que se están superponiendo son esféricas, es fácil ver que las franjas de interferencia
están formadas por una familia de hiperboloides de revolución con focos comunes situados precisamente
en las fuentes puntuales que generan dichas las ondas. Considerando las ondas esféricas escalares:
1 1 2 2( ) ( )01 021 2
1 2
( , ) , ( , )i kr wt i kr wtE E
E r t e E r t er r
18
siendo 1r y 2r las distancias desde las fuentes luminosas al punto considerado. La diferencia de fase
queda definida como:
2 1 2 1 2 1
0
( ) 2 ( )L
k r r
19
donde 2 1( )L n r r es la diferencia de camino óptico. El lugar geométrico de constante es el de
los puntos cuya diferencia de distancias 2 1r r a las fuentes luminosas es constante, que es un
7
hiperboloide de revolución cuyos focos son las fuentes [8]. Por tanto, la figura de interferencia que se
obtiene al variar consiste en una familia de hiperboloides.
Fig. 1 (a) Las franjas de interferencia no localizadas producidas por dos fuentes esféricas son hiperboloides de revolución alrededor del eje S1-S2, (b) Hipérbolas resultantes de la intersección de los hiperboloides con un plano que pasa por S1 y S2
[8].
Cómo se puede ver de la figura 1, la interacción de las ondas se da en todo el espacio que rodea a las
fuentes. Dependiendo de dónde se ubique el plano de observación se definirá la geometría del patrón de
interferencia. Si la pantalla se colocase paralela a este eje, pero lejos del mismo, se observarían franjas
paralelas. De colocar el plano de observación perpendicular al eje que contiene las fuentes, el patrón
observado resulta en anillos concéntricos, ver figura 2.
Fig. 2 La distribución de las franjas varía en función de la ubicación del plano de observación.
8
2.4 Interferómetro de difracción por punto
El interferómetro de difracción por punto (IDP) es un interferómetro de doble haz en el que
una onda esférica de referencia es generada por la difracción de un micro-orificio en una película
semitransparente al paso de una onda esférica convergente previa (generalmente producida por una lente,
ver figura 3) [10], [11]. La placa semitransparente con el micro-orificio es colocada en el punto focal de
la onda esférica principal, donde se genera una distribución de intensidad tipo “Airy”. El micro-orificio
debe ser colocado aproximadamente en el segundo máximo de la distribución.
Por el efecto de difracción, en el micro-orificio se genera una onda esférica de referencia; la onda esférica
convergente, después de sufrir una atenuación en su amplitud debido a la película semitransparente, sigue
su trayectoria y ahora se convierte en una onda esférica divergente. La atenuación es necesaria para que
así las intensidades de ambas ondas sean similares. Debido a que las ondas siguen las mismas trayectorias,
en su propagación interfieren, generando un patrón de interferencia no localizado.
Fig. 3 Esquema de un Interferómetro de Difracción por Punto.
2.4.1 Análisis teórico para un IDP
El campo propagado después de la placa semitransparente es la suma de la onda esférica de referencia,
generada en el micro-orificio, con la onda esférica divergente proveniente del sistema de iluminación, la
cual es atenuada por la función de transmitancia de la película semitransparente depositada sobre el vidrio.
La onda proveniente del micro-orificio de la placa se calcula mediante la teoría de difracción de Fresnel
[12]:
9
Fig. 4 Diagrama de análisis para la onda del micro-orificio.
Como puede verse en la figura 4, el plano de análisis corresponde al plano con las coordenadas 𝑥′ y 𝑦′,
el plano desde el cual se propaga el campo corresponde al de coordenadas 𝑥 y 𝑦. Por difracción de
Fresnel, la distribución del campo propagado, partiendo del micro-orificio con radio a, es:
2 2'
' '2 '
0
0 0
( ', ') ,'
v
a a ikikzx x y y
i zorificio v
eg x y t e g x y e dxdy
i z
20
el campo a propagar es:
2 2
200 ,
k x yi
zikzAg x y e e
z
21
que representa una onda esférica (en aproximación de Fresnel [13]) y,
vi
vt e
22
representa la transmitancia y la fase de la placa de vidrio. No se considera la acción de la película delgada
debido a que ésta onda se genera en el micro-orificio, donde sólo existe el vidrio.
Los límites de integración están definidos para dentro del micro-orificio (0, )a . Dentro de éste, 'z es
mucho más grande que x y y de modo que se cumple la condición: 2 2'z x y y en consecuencia,
para la onda esférica:
2 2
2 '1
k x yi
ze
23
Bajo ésta consideración y omitiendo ciertas constantes, el campo en la ecuación (20) quedan de la forma:
2 2
' '2 '
0 0
( ', ') v
a a ikx x y y
i zorificio vg x y t e e dxdy
24
10
Desarrollando el factor de fase del integrando,
2 2 2 2 2 2
' '2' ' ( ' ' ) ( )
' '2 ' 2 ' 2 '
0 0 0 0
x ya a a aik k k i x yx x y y i x y i x yz zz z ze dxdy e e e dxdy
25
Omitiendo la constante de fase cuadrática fuera de la integral y realizando cambios de variables de
coordenadas cartesianas a coordenadas polares [12], [14], se obtiene el siguiente resultado:
1
2 2
'
''( ', ') 2 2
' '
'
v vi i
orificio v v
akrJ
akrzg x y t e a t e a Jinc
akr z
z
26
Con 'r como el radio del área de observación.
Éste resultado representa la distribución del campo proveniente del micro-orificio de la placa
semitransparente. Cabe mencionar que ésta función sólo corresponde a una redistribución de la
intensidad del frente de onda incidente (un frente de onda esférico convergente) la cual corresponde a
un patrón de difracción de una apertura circular [12]. Y es por lo mismo que no describe al campo en su
totalidad ya que carece de la fase apropiada. Para solucionar esto se le añade una fase esférica tomando
en cuenta ciertas consideraciones pertinentes: el campo incidente a la placa posee una fase esférica y el
micro-orificio es lo suficientemente pequeño de modo que el campo a la salida del mismo se puede
aproximar a una onda esférica ideal. Así, el campo proveniente del micro-orificio de la placa queda
descrito como:
2 ''
( ', ') 2'
vi ikr
orifcio v
akrg x y t e a Jinc e
z
27
el cual conforma la onda esférica de referencia para el IDP.
Como se mencionó anteriormente, la onda de referencia del IDP interfiere con la onda
proveniente del sistema de iluminación, la cual consta de una onda esférica divergente. El diagrama de
análisis para la misma se puede ver en la figura 5. Ésta onda puede ser representada por su descripción
matemática (en aproximación de Fresnel [13]) con forma:
2 2( ' ' )'0 2 'e
'
ki x y
ikz zA
ez
28
Esta descripción resulta conveniente debido a que el factor de fase cuadrático corresponde a la función
de transmitancia de una lente con extensión infinita si se considera z como f, [12]. Para limitar el campo
a una extensión finita, basta con multiplicar la función de transmitancia de la lente por una función pupila
11
Fig. 5 Diagrama de análisis para la onda esférica.
que describa el área física de la lente. Con ésta descripción el campo se ajusta más a parámetros reales del
sistema empleado.
2 2( ' ' )
'0 2 'e ,'
ki x y
ikz zA
e P x yz
29
Con
1
', '0
x AP x y
x A
30
Con A como el área de la apertura de la lente.
El campo completo correspondiente a la onda esférica del sistema de iluminación queda entonces descrito
de la siguiente forma:
2 2( ' ' )
'0 2 '', ' ', ' e'
ki x y
i ikz zOE
Ag x y te P x y e
z
31
Con ite como transmitancia y fase de la película delgada de aluminio y el vidrio. En este caso se debe
considerar ambos materiales debido a que la onda pasa a través de los dos.
Finalmente, el campo en el plano de observación queda descrito por la suma de ambas ondas (ver figura
6):
', ' ', ' ', 'OE orificiog x y g x y g x y 32
Es importante mencionar que al analizar fenómenos interferenciales la información que se obtiene de los
campos no es más que un patrón de intensidades; franjas de luz y obscuridad, resultado de la diferencia
de fase entre las ondas involucradas:
12
1 2 1 22 cosI I I I I 33
Fig. 6 Diagrama de análisis del IDP, campos propagados.
Tomando en cuenta que, para un buen contraste de las franjas, las amplitudes de ambas ondas deben de
ser similares, de primer instancia la transmitancia del vidrio se consideró unitaria. Así, el patrón de
intensidades para un IDP en el plano de observación queda descrito como:
2 22 4 2
2
' 4 '4 cos
' 'IDP
akr t t a akrI a Jinc Jinc
z z z z
34
Siendo 𝛿 la fase entre los campos:
2 2' ´ ´2 '
p
kkr kz x y
z
35
Siendo 𝜙p la diferencia de fase correspondiente a los materiales de la placa (aluminio y vidrio) para cada
onda. El término entre corchetes no es más que la diferencia de fase entre la onda esférica de referencia
y la onda esférica paraxial proveniente del sistema de iluminación.
Todas las ecuaciones anteriores, evidencian que los factores de peso a considerar para analizar la
distribución de intensidades en el plano de observación son: el radio del micro-orificio, la transmitancia
y fase de la placa de vidrio y la película de aluminio, la distancia del plano de observación y la diferencia
de fase inherente a las ondas en el sistema.
13
3 Fabricación de placas para IDP
3.1 Laboratorio de películas delgadas
El trabajo principal en este laboratorio consistió en la elaboración de la placa semitransparente con el
micro-orificio, fundamental para un IDP.
El proceso de elaboración comienza con la limpieza de un portaobjetos. La limpieza consiste
fundamentalmente de tres pasos, limpieza con jabón, limpieza con acetona y finalmente limpieza con
alcohol isopropílico. Una vez que la placa se considera limpia (después de haber sido inspeccionada
rigurosamente con un microscopio) se procede al siguiente paso.
Dado que la placa de vidrio será sometida a un proceso de sublimación inversa en donde se depositará
una película delgada de aluminio sobre ésta, es necesario que donde se espera tener un micro-orificio no
se deposite nada del material a sublimar. Esto se logra colocando una micro-gota de mercurio sobre la
placa de vidrio. Después de la sublimación la gota es retirada y de este modo se logra obtener un micro-
orificio con transmitancia del 100% mientras que en el resto de la placa, por acción de la película
semitransparente de aluminio, se tiene una transmitancia de aproximadamente 15%.
Para generar las micro-gotas de mercurio se coloca una gota de tamaño manipulable sobre la placa de
vidrio, después se presiona con otra placa con el fin de romper la primera y generar gotas cada vez más
pequeñas. Por la misma tensión superficial (recordando que a temperatura ambiente el mercurio se
comporta como un líquido) las gotas y micro-gotas tienen simetría esférica. Éstas se van inspeccionando
con la ayuda de un microscopio, ver figuras 7 y 8.
Fig. 7 Gotas de mercurio sobre placa de vidrio.
Cuando las gotas tienen el tamaño adecuado, son seleccionadas y trasladadas a una placa limpia. El
traslado resulta complicado debido al tamaño de las gotas, que en promedio son de aproximadamente de
10 a 20 micras de diámetro. El procedimiento se realiza empleando una aguja de una jeringa de insulina
de 50 unidades. La gota se toca varias veces hasta que se adhiere a la aguja, luego se coloca la placa limpia
y ahora se realiza el proceso inverso, se toca con ella la placa hasta que se caiga o adhiera a ésta.
14
a) b)
Fig. 8 a) Selección de micro-gota del tamaño apropiado (15 micras), b) Micro-gota en sustrato limpio
Una vez que las placas tienen la micro-gota respectiva están listas para depositar la película
semitransparente. Empleando una evaporadora convencional marca Balzers se realizan evaporaciones a
distintos espesores (aproximadamente 0.03 micras de espesor). Terminada la evaporación, las micro-gotas
de mercurio son retiradas de las placas mediante aire comprimido. Posteriormente la placa es revisada en
el microscopio para corroborar que la sublimación inversa del aluminio ocurrió en toda la placa menos
en el lugar de la gota, ver figura 9.
Fig. 9 Revisión de la placa semitransparente con orificio.
Si la placa se considera de buena calidad, es decir, con el micro-orificio bien formado y la película de
aluminio sin algún tipo de discontinuidad o defecto. Las placas están listas para probarse en el laboratorio
de instrumentación óptica.
Fig. 10 Versión final de las placas (Gota de mercurio).
15
3.2 Laboratorio de microelectrónica
El proceso de generación de las placas para el IDP en este laboratorio es análogo al de laboratorio
de películas delgadas en su primera parte ya que se comienza de un mismo proceso de limpieza de los
sustratos (portaobjetos).
Los portaobjetos son sometidos a una primer limpieza de acetona y tricloroetileno. Después reciben
baños ultrasónicos de 5 a 10 minutos y finalmente todo exceso de humedad es retirado dentro de una
secadora centrífuga. En caso de no haber eliminado la humedad en su totalidad de las muestras, son
llevadas a un horno precalentado a 50°C por 10 minutos. Todo esto para garantizar sustratos limpios y
secos. Posteriormente, son colocadas en una máquina evaporadora en donde se les deposita una película
delgada de aluminio en una de las caras del sustrato mediante una sublimación inversa, con espesores de
0.02, 0.03 y 0.04 micras. Hasta este punto el proceso es similar al de las placas con gota de mercurio, pero
sin la micro-gota. Cabe mencionar que dependiendo de la taza en la que se sublime el material se puede
controlar el espesor de la película resultante.
La generación del micro-orificio en éste proceso varía respecto al de la micro-gota principalmente por
que el proceso empleado es el de fotolitografía [15] en el cual básicamente se diseñan unas mascarillas
con un patrón a imprimir. En este caso la mascarilla constó de un arreglo de micro-orificios con diámetros
variados de 5 a 25 micras, ver figura 11. Estas mascarillas son primeramente hechas en grandes
dimensiones y después van siendo reducidas hasta obtener el tamaño apropiado. Las mascarillas sirven
para “abrir ventanas” en el sustrato con el depósito de aluminio, al paso de luz, lo suficientemente
energética para remover el sustrato, generando así los micro-orificios.
Fig. 11 Esquema representativo de la mascarilla empleada para el proceso de microlitografía (no refleja las dimensiones reales).
El proceso comienza con los sustratos ya recubiertos con la película delgada de aluminio. A éstos se les
añade una segunda película, sobre la primera, de un material fotoresistente (comúnmente Silanol, SiOH)
mediante un proceso similar de sublimación inversa. El sustrato ahora es colocado frente a una fuente
lumínica de alta potencia (UV, 350-450nm). La mascarilla previamente diseñada se coloca entre el sustrato
y la fuente de luz. Ésta actúa como un filtro permitiendo que la luz sólo incida en ciertas partes en el
sustrato. Las partes expuestas a la luz cambian su estructura debido a un proceso fotoquímico y mediante
un tratamiento químico posterior son eliminadas, dejando en descubierto partes de la película delgada de
aluminio. Un tratamiento químico más elimina el aluminio expuesto, abriendo las ventanas de los micro
orificios. Finalmente el material fotoresistente no afectado por la luz también es removido. El resultado
es la impresión del patrón de la mascarilla sobre la película delgada sobre el sustrato. Un esquema
representativo del proceso se muestra en la figura 12.
16
Fig. 12 a) Fotoimpresión del patrón sobre sustrato b) Patrón impreso c) Silanol removido d) Vista representativa del sustrato final.
Fig. 13 Versión final de las placas (Microlitografía)
17
3.3 Índice de refracción de las placas
Para describir en su totalidad la acción de las placas del IDP al paso del frente de onda que se
hará incidir sobre éstas, es necesario conocer tanto el espesor como el índice de refracción de los
materiales que componen a las placas. Para la parte de vidrio se empleó un refractómetro con el cual se
obtuvo un índice de refracción de 1.514. El espesor se midió con un vernier de precisión con el cual se
calculó un ancho de 3mm. Para la parte de aluminio se recurrió a la medición estimada de la sublimación
inversa para cada ancho deseado, es decir, se obtuvieron tres espesores diferentes para la parte de
aluminio: 0.02, 0.03 y 0.04 micras de ancho. El índice de refracción se obtuvo de recursos bibliográficos
[16]. Así para una λ=632.5nm el aluminio tiene un índice de refracción aproximado de: na=1.396.
18
4 Simulaciones computacionales de un IDP
4.1 Simulación computacional de un IDP
La realización de las simulaciones numéricas se basó principalmente en la teoría desarrollada en
la sección 2.4.1. Las simulaciones, esencialmente constan de un espacio de trabajo de dimensiones finitas,
cuyos parámetros corresponden a la pupila (apertura) de un sistema de iluminación, del cual proviene la
onda esférica convergente-divergente; también se modeló la onda de referencia proveniente del micro-
orificio y la interferencia de ambas ondas. Dado que los resultados obtenidos en el desarrollo de la teoría
poseen valores físicos reales, las simulaciones también los poseen. Esto permite que los parámetros físicos
considerados vayan acorde a los parámetros del experimento. Variando computacionalmente dichos
parámetros, como pudiera pasar experimentalmente, se pueden predecir ciertos comportamientos de un
IDP real. Estos comportamientos proporcionan información adicional sobre el mismo IDP así como
información para la evaluación de componentes ópticos como se mostrará posteriormente.
Los parámetros iniciales de las simulaciones constan básicamente de las dimensiones del espacio de
trabajo (una matriz en la cual se generaran las ondas e interferencia de las mismas), la longitud de onda
empleada, distancias de observación, distancias de ubicación de la placa e índices de refracción de los
materiales en la misma. Dado que experimentalmente se consideró una fuente de luz cuasimonocromática
se definió una longitud de onda de 0.6325µm (632.5nm). Así las dimensiones quedan fijas en micrómetros
para todo el sistema. Dado que las simulaciones se realizaron en el software de MATLAB 2017 se
emplearon arreglos matriciales y como experimentalmente la óptica está contenida (generalmente) en
geometrías circulares, se generó un soporte circular dentro del espacio matricial. Dicho soporte conforma
el área de trabajo y por ende la apertura (pupila) del sistema, no forzosamente del tamaño real de la pupila
del arreglo experimental, ya que esta dependerá del tamaño de las matrices que se estén empleando. Cabe
mencionar otro parámetro importante: la variación espacial de las ondas, descrita por el número de onda
𝑘 el cual queda definido empleando la longitud de onda mediante la relación: 𝑘 = 2𝜋/𝜆.
Los parámetros particulares de las simulaciones comprenden datos de los campos a interferir y se pueden
notar de las expresiones que describen dichos campos:
Del campo proveniente del micro-orifico de la placa de vidrio los parámetros importantes a considerar
son: transmitancia y fase de la placa de vidrio, radio del micro orificio, área del plano de observación y
distancia al plano de observación.
Para la onda proveniente del sistema de iluminación son: transmitancia y fase de la placa de vidrio,
transmitancia y fase de la película delgada de aluminio, área del plano de observación y distancia al plano
de observación.
Es importante considerar la acción que generan la transmitancia y la fase intrínsecas tanto del vidrio como
del aluminio de la placa. La transmitancia del aluminio juega un papel fundamental para atenuar la onda
esférica convergente del sistema de iluminación ya que la onda del micro-orificio posee una amplitud baja
en comparación. La onda esférica deberá atenuarse en la proporción adecuada para que la intensidad
2 2( ' ' )
2 ' '0 2 ''
( ', ') 2 & ', ' ', ' e' '
v
ki x y
i ikr i ikz zIDP v OE
Aakrg x y t e a Jinc e g x y te P x y e
z z
19
registrada, producto de la interferencia de las dos ondas, posea un alto contraste para su posterior análisis.
La transmitancia del vidrio se considera del 100% ya que puede considerarse un material no absorbente.
Por tratarse de materiales con índice de refracción y espesor conocidos, las fases que introducen tanto el
vidrio como el aluminio también han de considerarse ya que añaden un cambio en el camino óptico de
los campos que pasan por ellos y pese a que pueda ser mínima la variación resultante en el interferograma,
ha de tomarse en cuenta para aproximar las simulaciones a los experimentos reales y para evitar introducir
errores en los resultados.
Considerando todos estos parámetros, el diagrama de flujo del algoritmo de las simulaciones queda
descrito de manera general, en la figura 14. El código empleado se muestra en el Anexo I.
Fig. 14 Diagrama de flujo de la simulación numérica para un IDP.
El resultado de la simulación numérica se puede ver en la figura 15.
20
Fig. 15 Simulación numérica de un IDP. 𝜙orificio=6 micras, nv=1.514, nAl=1.396, z’=55cm.
Todas las simulaciones realizadas mantuvieron estos mismos parámetros. Sin embargo, para algunos
análisis se variaron. Las secciones siguientes describen cada variación y su respectivo resultado.
4.1.2 Efectos presentes en un IDP (resultados computacionales)
Se mencionó previamente que existen diversos parámetros inherentes al IDP que al variar
provocan efectos en el patrón de franjas del mismo, a continuación se muestran los resultados
computacionales:
Variación del espesor de la película de aluminio
La consecuencia directa de variar el espesor de la película de aluminio es una menor transmitancia de
ésta, provocando una atenuación mayor de la onda esférica proveniente del sistema de iluminación.
Aunque el efecto no es muy apreciable el aumento del espesor también añade cierto desplazamiento o
“defoco” a la onda por el cambio de camino óptico añadido, ver figura 16. Dado que experimentalmente
las placas del IDP no varían en el espesor del vidrio y su transmitancia se puede considerar del 100%,
sólo se limitó a realizar variaciones de parámetros en la película de aluminio, sin embargo, los efectos
ocasionados por la placa de vidrio también están considerados.
Fig. 16 Esquema del desplazamiento o defoco de la imagen de un objeto debido una placa plano paralela.
Para realizar esta simulación se aumentó el espesor de la película de aluminio con un valor inicial de 0.03
micras, tomando ésta con el 100% de transmitancia. Al aumentar el espesor de la misma, los valores de
21
transmitancia disminuyen, comprometiendo el contraste de las franjas ya que la onda de referencia que
proviene del micro-orificio no varía en su amplitud y por ende tiene mayor intensidad que la onda
atenuada por la película de aluminio. Ver figura 17.
a) b) c) d)
Fig. 17 Interferogramas obtenidos en la simulación de un IDP para diferentes espesores de la película de aluminio con transmitancias de: a) 100%, b) 90%, c) 80% y d) 70%
También se obtiene un corrimiento en las franjas, producto del defoco inducido por la película plano-
paralela. La figura 18 muestra la comparación de interferogramas junto con un acercamiento del mismo
donde se observa la dislocación de franjas en el interferograma.
a) b)
c)
Fig. 18 Corrimiento de franjas debido al defoco inducido por la película de aluminio. a) Comparación de interferogramas de 100% y 70% de transmitancia. b) Acercamiento a la zona central derecha. c) Vista transversal (normalizada) del perfil de
interferencia.
Inte
nsi
dad
[u.a
.]
22
Variación del radio del micro-orificio
Dado que en la fabricación de las placas para el IDP también el tamaño del micro-orificio es un factor el
cual se puede variar, se realizó la simulación de varios IDP’s con diferentes orificios, variando el diámetro
desde 10 a 20 micras.
Las simulaciones muestran que, al variar el tamaño del orificio, la distribución espacial de la onda de
referencia varía inversamente, es decir, conforme el orificio crece la distribución de la onda decrece y
viceversa ver figura . Fenómeno acorde a la teoría de difracción de Fresnel si se considera el teorema de
similaridad inherente a una transformada:
1
, ,u v
F g ax by Gab a b
Teorema que indica que un “ensanchamiento” de las coordenadas en el dominio espacial resulta en una
contracción de las coordenadas en el dominio frecuencial.
Onda del micro-orificio Onda esférica Interferencia
𝜙=10µm
𝜙=12µm
𝜙=14µm
23
𝜙=16µm
𝜙=18µm
𝜙=20µm
Fig. 19 Variación del tamaño del micro-orificio. Interferogramas resultantes.
Dado que la distribución de intensidad varía para la onda de referencia, también el contraste de las franjas
en el patrón de interferencia resulta afectado.
Un caso particular que vale la pena analizar sería el de un orificio suficientemente grande, generando una
distribución del campo lo suficientemente pequeña como para poder observar el patrón de difracción del
mismo. Para un radio de 25 micras, la distribución del campo difractado se puede observar en la figura
20.
Fig. 20 Patrón de difracción de una apertura circular.
24
Distribución que coincide con la difracción de una apertura circular [3], [12].
Desplazamientos laterales y verticales de la placa de un IDP
Las simulaciones muestran el resultado de mover la placa sobre el plano (𝑥, 𝑦) en el que se encuentra.
Un esquema representativo se puede ver en la figura 21.
Fig. 21 Diagrama de análisis para desplazamientos laterales y verticales de la placa en un IDP.
Los resultados computacionales se muestran en la figura 22.
Fig. 22 Diferentes desplazamientos laterales y verticales para la placa de un IDP. Δx=10µm y Δy=10µm.
Δx
Δy
25
Físicamente lo que ocurre es un desplazamiento del origen de la onda esférica generada en el micro-
orificio. Esquemáticamente, el proceso es descrito en la figura 23.
a) b)
Fig. 23 Esquema representativo de un desplazamiento lateral de la placa en un IDP. a) Placa centrada. b) Placa desplazada
Desplazamiento axial de la placa de un IDP (Defoco)
El resultado de desplazar axialmente la placa del IDP produce una variación del radio de curvatura de las
ondas en el plano de detección. El efecto es conocido como defoco. Ver figura 24. Esta variación en los
frentes de onda, cambiará la región de separación entre ellos (ver figura 25) lo que en el patrón de
interferencia se podrá observar como un aumento o disminución de las franjas de interferencia.
Fig. 24 Geometría de la separación entre dos ondas esféricas con diferente radio de curvatura [17].
26
a)
b)
c)
Fig. 25 Diagrama representativo de un desplazamiento axial de la placa de un IDP. a) sin desplazamiento, b) desplazamiento
hacia atrás del punto de convergencia, c) desplazamiento hacia adelante del punto de convergencia.
Las simulaciones numéricas muestran la variación del interferograma al realizar desplazamientos axiales
de la placa del IDP, esto se logra desplazando el origen de la onda del IDP. Ver figura 26.
27
a)
b)
Fig. 26 Desplazamiento axial de la placa de un IDP. Partiendo desde el punto focal hacia atrás y hacia adelante. a) Desplazamiento hacia atrás, distancia máxima: ∆z~1mm, b) Desplazamiento hacia adelante, distancia máxima: ∆z~1mm.
Para ciertos desplazamientos de defoco (∆𝑧 > 1𝑚𝑚), se pueden apreciar interferogramas con
aberraciones esféricas [17]. Ver figura 27.
Fig. 27 Defoco para interferogramas con aberración esférica.
Una combinación de desplazamientos laterales o verticales de la placa junto con defoco, también
permiten ver fenómenos relacionados con la aberración asférica, ver figura 28.
Δz=1mm, Δx=50µm Δz=2mm, Δx=80µm Δz=2.5mm, Δx=200µm Fig. 28 Aberración esférica ante la combinación de defoco y desplazamientos laterales de la placa en un IDP.
Bajo muy específicas condiciones, empleando la combinación de ambos efectos, es posible hallar regiones
en donde se puedan generar franjas rectas, paralelas e igualmente espaciadas, ver figura 29.
28
Δz=2.5mm, Δx=200µm
Fig. 29 Obtención de franjas rectas paralelas e igualmente espaciadas.
Es importante mencionar que hasta este punto los resultados obtenidos son meramente cualitativos.
4.2 Simulación de un IDP para probar superficies esféricas con defectos
locales
En esta sección del trabajo se presentan las simulaciones computacionales de un IDP realizando una
variación en la onda esférica paraxial que proviene del sistema de iluminación. Básicamente se modificó
la fase de la onda esférico paraxial añadiendo funciones de fase que simulan defectos en el frente de onda.
Un esquema representativo del fenómeno que ahora se está modelando se presenta en la figura 30.
Fig. 30 Esquema representativo de un IDP analizando una superficie esférica con defectos.
La onda permanece siendo esférica, pero con dislocaciones o defectos en su fase. Esta variación modifica
el programa original solamente en la onda esférica paraxial, el resto del algoritmo se mantiene igual. El
diagrama de flujo de éste nuevo programa se describe en la figura 31. El código empleado se muestra en
el Anexo II.
29
Fig. 31 Diagrama de flujo de la simulación numérica para un IDP probando superficies esféricas con defectos.
Para la generación de defectos locales dentro de las simulaciones numéricas se emplearon geometrías
básicas dentro de la programación de matrices, por ejemplo, geometrías circulares y cuadradas, la
combinación de ambos, e incluso algunas funciones bidimensionales más complejas. Para darle valores
útiles a éstas dislocaciones o defectos, primeramente son normalizados y posteriormente se multiplican
por múltiplos (no forzosamente enteros) de longitudes de onda. Dado que los defectos no son más que
distribuciones espaciales de una combinación de puntos, se pueden ver como una función escalar
bidimensional 𝑡(𝑥, 𝑦), ver figura 32.
Fig. 32 Función bidimensional cuyos valores son múltiplos de longitudes de onda.
Una vez que se define dicha función, para que ésta tome valores de fase, simplemente se define una
función compleja con la forma:
30
,i k t x ye
la cual mantiene amplitud unitaria debido a que sólo interesa la fase que añade a la onda esférica. Es esta
función la que computacionalmente modifica la fase de la onda esférica.
2 2( ' ' ) ,'0 2 '', ' ', ' e
'
ki x y ikt x yi ikz z
OE
Ag x y te P x y e e
z
El proceso de generación de los defectos y su efecto sobre la onda esférica se ve descrito a continuación.
Después de haber convertido la función 𝑡(𝑥, 𝑦) en una función de fase, se multiplican la función de
transmitancia con la onda esférica y dado que ésta función afecta no la amplitud sino la fase el resultado
se aprecia observando los cambios en la fase de la onda, ver figura 33.
a)
b)
Fig. 33 a) Fase de la onda esférica sin modificaciones. b) Fase de la onda esférica después de ser modificada por la acción de los defectos.
Es importante hacer mención que en las imágenes mostradas previamente los defectos fueron exagerados
en sus dimensiones para propósitos de visualización.
El resultado de hacer interferir los frentes de onda: onda esférica aberrada con la onda de referencia se
puede ver en la figura 34.
31
Fig. 34 Simulación de un IDP para una superficie con defectos.
La acción de los defectos en el interferograma provoca un corrimiento en las franjas de interferencia.
Los resultados hasta aquí mostrados han sido simulando defectos simples, pero la versatilidad que ofrece
la programación de funciones bidimensionales permite generar formas más complejas para las cuales los
interferogramas cambian de formas variadas, algunos ejemplos se muestran en la figura 35.
Fig. 35 Simulaciones de IDP’s para diferentes superficies con defectos de geometrías complejas.
32
4.2.1 Efectos de un IDP para el análisis de los defectos en una superficie
Algunas características inherentes de un IDP permiten conocer información adicional de los
defectos en una superficie bajo prueba. Particularmente en esta sección se mencionarán tres:
desplazamientos laterales, verticales y axiales de la placa semitransparente que, acorde a las simulaciones
computacionales y como se verá más adelante en el trabajo, facilitarán el análisis de las franjas de
interferencia, con el fin de caracterizar la superficie óptica bajo prueba.
Primeramente, el hecho de conocer los defectos en el frente de onda esférico y tras analizar un poco el
interferograma permite inferir algunas cosas importantes: Si los defectos son positivos (múltiplos
positivos de lambdas) lo cual se traduciría en una “protuberancia” en la superficie bajo prueba, las franjas
se corren hacia fuera del interferograma. Si los defectos son negativos: una “abolladura” sobre la
superficie, las franjas se corren hacia dentro del interferograma. Un ejemplo visual se muestra en la figura
36.
a) b)
Fig. 36 Interferogramas para un frente de onda aberrado con defectos a) positivos b) negativos. Se muestran los perfiles de la
onda con los defectos respectivamente.
Para la obtención de los interferogramas anteriores los múltiplos de longitudes de onda que definen las
alturas de los defectos en el frente de onda esférico se hicieron primeramente positivos, y posteriormente
negativos.
Desplazamientos laterales y verticales de la placa semitransparente
Por la naturaleza de los campos que interfieren en el IDP: dos ondas cuasi-esféricas, sería fácil considerar
que un desplazamiento lateral de las mismas resultaría conveniente para el análisis de franjas ya que se
tendrían franjas rectas paralelas e igualmente espaciadas y en los defectos dislocaciones o corrimientos de
las mismas, igual que un interferómetro de Michelson [3], [18]. Sin embargo, en un IDP por la naturaleza
33
de los campos y la zona en la que éstos se generan, la cual es la placa semitransparente, un desplazamiento
lateral o vertical demasiado grande, fuera de la zona de convergencia del frente de onda esférico-
convergente, provocará que la onda de referencia no se pueda generar y en consecuencia no existirá
interferencia, ver figura 37.
a) b)
Fig. 37 Esquema representativo de la comparación de un desplazamiento de la placa del IDP a) dentro de la zona de
convergencia b) fuera de la zona de convergencia.
Debido a esta limitación, obtener un patrón de franjas rectas, paralelas e igualmente espaciadas resultará
difícil en un IDP. Sin embargo, el efecto de los desplazamientos laterales y verticales de la placa en un
IDP puede ofrecer un barrido de las franjas de interferencia, ver figura 38. Dicho barrido o
desplazamiento de las franjas puede resultar útil para propósitos de análisis de los interferogramas.
34
a) b)
Fig. 38 Simulación del desplazamiento lateral de la placa de un IDP. a) IDP para una onda sin aberraciones b) IDP para una onda aberrada.
Desplazamiento axial (Defoco)
Como se mostró anteriormente, el resultado de variar axialmente la posición de la placa del IDP
compromete el número de franjas en el interferograma. A continuación se muestran los resultados del
mismo efecto de defoco con una superficie con defectos, ver figura 39.
35
a) b)
Fig. 39 Simulación de defoco en un IDP a) IDP para una onda sin aberraciones b) IDP para una onda aberrada Δz≈500µm.
Esta información resulta práctica para el análisis de franjas para conocer la fase añadida por los defectos
en el frente de onda. Por ejemplo: de tener pocas franjas, el análisis sería muy localizado y sin abarcar la
totalidad del defecto. Sin embargo, empleando el defoco desplazando la placa y en consecuencia
añadiendo franjas sobre la dislocación, es posible analizar un área mayor para el análisis interferométrico.
También, el desplazamiento de las franjas, de forma visual, proporciona una idea de la geometría del
defecto. Ver figura 40.
36
a)
b)
Fig. 40 IDP para una superficie con defecto. a) Pocas franjas b) después de cierto defoco aumenta el número de franjas.
4.3 Corrección de fase de los frentes de onda para compensar defectos locales.
En esta sección se hablará sobre el análisis interferométrico de las simulaciones de un IDP para
superficies con defectos. Una vez caracterizado el defecto conociendo sus dimensiones se procede a
obtener la diferencia de camino óptico del mismo y en consecuencia la fase añadida al frente de onda
esférico-convergente. Con dichos valores de fase, se genera una mascarilla local (sobre el defecto) en una
matriz nula, es decir que no afecte significativamente el frente de onda, con los valores inversos de fase
del defecto calculado con el fin de compensarlo y en teoría obtener un interferograma sin dislocaciones
en las franjas. El objetivo de esto es poder tener una caracterización completa del defecto analizado y
esto solamente se podrá garantizar cuando la correlación entre un interferograma no aberrado vs uno
compensado, sea cercano a la unidad.
4.3.1 Análisis interferométrico para un IDP – Desplazamiento de fase
La interferometría de desplazamiento de fase es un método que registra una serie de
interferogramas en los que la fase de uno de los dos haces que interfieren se modifica por una cantidad y
dirección conocidas. Esta modificación provoca un corrimiento en las franjas del patrón de interferencia.
Ver figura 41. La fase del frente de onda bajo análisis, se puede encontrar a partir de la variación de
intensidad en cada pixel entre las imágenes; calculada en cada píxel de forma independiente. El resultado
es un mapa de fase [19].
37
Δφ=0 Δφ=π/2 Δφ=π Δφ=3π/2
Fig. 41 Interferogramas resultantes después de aplicar un desplazamiento en la fase.
Se necesita un mínimo de tres mediciones para determinar la fase, ya que hay tres incógnitas en la ecuación
de la interferencia, reescrita como:
0 0 01 cos ,I I x y 36
Estas incógnitas son: la intensidad de fondo I0, la modulación de las franjas de interferencia γ0 y la fase
del frente de onda 𝜙. La variación de fase entre las mediciones de intensidad puede ser cualquier valor
entre 0 y 2π, siempre que sea constante y lineal.
Métodos para desplazar la fase
Para crear múltiples interferogramas, se necesita un método para introducir el cambio de fase adecuado.
El método más directo y el más común para cambiar la fase es un espejo móvil. Un desplazamiento de
fase de 90◦ en un interferómetro Twyman-Green es equivalente a mover el espejo de referencia λ / 8.
Para un láser HeNe a 632.8nm, esto requiere mover el espejo aproximadamente 79.1nm para cada imagen.
Los transductores piezoeléctricos (PZT) son bastante comunes en los interferómetros de desplazamiento
de fase. Se usa un voltaje de DC, típicamente de unos pocos cientos de volts, para expandir o contraer el
material PZT y crear un pequeño cambio de posición. Otro método para el cambio de fase, al cambiar la
longitud de la trayectoria, es girar una placa plana paralela en el haz de referencia colimado. El haz viajará
a través de más vidrio a medida que el ángulo aumenta, lo que provoca un aumento en el camino óptico
y un desplazamiento de fase [19]. La adición de componentes ópticos como placas plano paralelas de
algún material conocido también inducirá cambios de fase. Existen diversas formas de variar el camino
óptico de un haz en un interferómetro y su elección dependerá fuertemente de las características
inherentes al interferómetro, a la superficie bajo prueba, costos, etc…
Algoritmos para el desplazamiento de fase
Una vez se haya conseguido desplazar la fase en un sistema, los interferogramas generados deben ser
analizados para encontrar la fase en cada punto (pixel) de las imágenes registradas. El desfase más común
entre imágenes es de π/2.
38
0 0 0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
1 cos ,
1 cos ,2
1 cos ,
31 cos ,
2
I I x y
I I x y
I I x y
I I x y
37
Algunos algoritmos comunes para calcular la fase son:
Método de tres imágenes:
Dado que un mínimo de tres interferogramas es requerido para reconstruir un frente de onda, la fase
puede ser calculada empleando un desplazamiento de 𝜋/2 por imagen.
1 0
2 0
3 0
1, , 1 cos , ,
4
3, , 1 cos , ,
4
5, , 1 cos ,
4
I x y I x y x y
I x y I x y x y
I x y I x y x y
38
Cuando los pasos del desplazamiento entre interferogramas son constantes, 𝛾 = 𝛾0. La fase en cada
punto es simplemente:
3 2
1 2
, ,, arctan
, ,
I x y I x yx y
I x y I x y
39
Este método trabaja con tres imágenes, el mínimo requerido. Sin embargo, una cuarta imagen ayuda a
reducir el error ocasionado por saltos en fase no tan precisos.
Método de cuatro imágenes:
Un algoritmo común basado en la detección de cuatro saltos en fase es el método de cuatro imágenes.
Consta de la adición de desfasamientos (múltiplos de π/2) partiendo desde 0 hasta obtener un conjunto
de cuatro interferogramas.
39
1 0
2 0
3 0
4 0
, , 1 cos , ,
1, , 1 cos , ,
2
, , 1 cos , ,
3, , 1 cos ,
2
I x y I x y x y
I x y I x y x y
I x y I x y x y
I x y I x y x y
40
El cálculo de la fase está dado por:
4 2
1 3
, ,, arctan
, ,
I x y I x yx y
I x y I x y
41
Es importante mencionar que la fase resultante se obtiene con valores de radianes. Esta fase puede ser
convertida a valores de camino óptico (o diferencia de camino óptico, DCO) mediante la relación:
, ,2
DCO x y x y
42
4.3.2 Simulaciones numéricas de un IDP con métodos de desplazamiento de fase
En esta sección se muestran los resultados computacionales de un IDP tras haber implementado
las tres técnicas de desplazamiento de fase anteriormente mencionadas. Para ello se obtiene un
interferograma de un frente de onda aberrado (bajo prueba) contra la onda esférica de referencia
(proveniente del micro-orificio). Los corrimientos de fase son añadidos a la onda de referencia. Cada
interferograma obtenido contribuye al cálculo de la fase en cada método respectivamente. El código
empleado se muestra en el Anexo III.
Método de tres imágenes
a)
40
b)
c)
Fig. 42 a) Interferogramas con corrimiento b) Perfil transversal de los interferogramas (al centro) c) Fase recuperada
41
Método de cuatro imágenes
a)
b)
42
c)
Fig. 43 a) Interferogramas con corrimiento b) Perfil transversal de los interferogramas (al centro) c) Fase recuperada
4.3.3 Obtención de los defectos locales en un IDP
Una vez recuperado el frente de onda en un IDP, se busca obtener una caracterización de los
defectos en la superficie del frente de onda aberrado con el fin de compensarlos posteriormente. En esta
sección se presenta una modificación a los programas anteriores en los que se extrae los defectos en los
frentes de onda recuperados.
El algoritmo empleado se muestra en la figura 44. El proceso básicamente consiste en generar dos IDP’s:
uno para una superficie con defectos locales y otro para la misma superficie, pero sin defectos. Esto con
el fin de comparar ambos frentes de onda: uno aberrado contra uno ideal. La obtención de la fase se logra
mediante un proceso de desplazamiento de fase. Particularmente se empleará el método de las cuatro
imágenes. Pero éste proceso es análogo e indistinto para todos los métodos de desplazamiento de fase
mencionados previamente. El código empleado se muestra en el Anexo IV.
Fig. 44 Algoritmo a seguir para la obtención de defectos locales en un IDP.
43
Por fines prácticos, de primera instancia sólo se realizó un defecto simple en la superficie bajo prueba
con la finalidad de comprobar la validez del método. Dicho defecto consta de una protuberancia circular
suavizada. Los resultados se muestran en las figuras 45 y 46.
Δφ=0π Δφ=π/2
Δφ=π Δφ=3π/2
a)
b)
Fig. 45 Método de las 4 imágenes para la obtención de la fase de un frente de onda con defectos. a) Interferogramas generados tras el corrimiento de fase b) Fase obtenida.
λ
44
Δφ=0π Δφ=π/2
Δφ=π Δφ=3π/2
a)
b)
Fig. 46 Método de las 4 imágenes para la obtención de la fase de un frente de onda sin defectos. a) Interferogramas generados
tras el corrimiento de fase b) Fase obtenida.
Para la obtención de los defectos locales simplemente se realizó una resta de las fases obtenidas: fase con
defectos menos la fase sin defectos. Dado que ambas son las mismas y sólo diferencian por el defecto,
su resta elimina las contribuciones esféricas, aislando el defecto. Ver figura 47.
Fig. 47 Defecto obtenido.
λ λ
λ
45
La simulación computacional muestra como resultados los parámetros propios del sistema, así como los
valores máximos del defecto calculado:
Distancia al plano de observación: 55 cm
Defoco: 0 micras
Desplazamiento horizontal de la placa: 0 micras
Desplazamiento vertical de la placa: 0 micras
Altura máxima del defecto: 1.6509 lambda / 1.0434 micras
Altura máxima del defecto experimental (fase): 10.3729 rad
Este último valor, de la altura del defecto en fase es importante de considerar para la siguiente sección.
El proceso anterior se realizó varias veces más, pero ahora cambiando los parámetros inherentes a un
IDP anteriormente descritos. Particularmente, las pruebas constan de tres variantes: variación de distancia
de observación, variación del defoco y variaciones de la posición transversal de la placa. Todo esto con
el fin de observar qué tanto difiere el cálculo del desplazamiento de fase, obtención de la fase y estimación
de los defectos si alguno de estos parámetros variase. Por fines prácticos, sólo se muestran los resultados
(Tablas 1, 2 y 3) dado que mostrar las imágenes de cada variante resultaría en imágenes sobradas y hasta
excesivas.
Los resultados muestran los parámetros modificados y los valores estimados de la altura máxima del
defecto en DCO y en fase.
Tabla 1 Caracterización de defectos por desplazamiento de fase. Variación de la distancia de observación
Variación de la distancia de observación “z”
Distancia Defoco Desplazamiento
lateral en x Desplazamiento
lateral en y
Altura máxima del
defecto (DCO)
Altura máxima del
defecto (fase)
[cm] [µm] [µm] [µm] [µm] [rad]
30 0 0 0 1.0386 10.3251
35 0 0 0 1.0394 10.3331
40 0 0 0 1.0404 10.3437
45 0 0 0 1.0418 10.3569
50 0 0 0 1.0428 10.3674
55 0 0 0 1.0434 10.3729
Promedio: 1.0411 10.3503
46
Tabla 2 Caracterización de defectos por desplazamiento de fase. Variación del defoco.
Variación del defoco
Distancia Defoco Desplazamiento
lateral en x Desplazamiento
lateral en y
Altura máxima del
defecto (DCO)
Altura máxima del
defecto (fase)
[cm] [µm] [µm] [µm] [µm] [rad]
55 -1500 0 0 1.0395 10.3343
55 -1000 0 0 1.0431 10.3707
55 -500 0 0 1.0432 10.3708
55 500 0 0 1.0437 10.3764
55 1000 0 0 1.0437 10.3764
55 1000 0 0 1.0438 10.3768
Promedio: 1.04345 10.3736
Tabla 3 Caracterización de defectos por desplazamiento de fase. Variación horizontal o vertical de la placa.
Variación de los desplazamientos laterales y verticales
Distancia Defoco Desplazamiento
lateral en x Desplazamiento
lateral en y
Altura máxima del
defecto (DCO)
Altura máxima del
defecto (fase)
[cm] [µm] [µm] [µm] [µm] [rad]
55 0 -9 -9 1.0438 10.3769
55 0 -6 -6 1.0436 10.3755
55 0 -3 -3 1.0432 10.3708
55 0 3 3 1.0438 10.3767
55 0 6 6 1.0437 10.3764
55 0 9 9 1.0436 10.3748
Promedio: 1.04365 10.3759
Estos resultados muestran que, pese a las posibles variaciones presentes en un IDP, la estimación de los
valores de los defectos es bastante estable.
4.3.4 Generación de funciones de fase para la compensación de defectos en la
superficie
Con la finalidad de compensar los defectos locales en un frente de onda, una vez obtenido y
caracterizado el defecto, es necesario considerar una función matemática que permita modular dicho
frente de onda.
Por ello en la sección anterior se mencionó el valor máximo del defecto en valores de fase (radianes)
debido a que es con dichos valores que se procedió a realizar la compensación del defecto. Dado que el
defecto obtenido (DCO) no es más que una distribución bidimensional de puntos (𝑥, 𝑦) con alturas
diferentes, es fácil obtener su valor en fase mediante la relación:
47
2
, ,defecto x y DCO x y
43
Esta función de fase corresponde a la fase añadida del defecto en la superficie. Para compensarla, se
requiere la función inversa aditiva de la misma, es decir, su negativa. Así, se define una “función de
modulación”:
, ,m defectox y x y 44
Posteriormente esta distribución se modela ahora como una función de fase:
,mi x ye
45
Para compensar el defecto, la fase anterior afecta directamente a la onda aberrada y dado a que porta en
su fase el valor inverso del defecto previamente caracterizado, se espera que lo compense. Bajo esta
premisa se realizó una nueva simulación computacional donde, una vez caracterizado el defecto local en
el frente de onda aberrado, se procede a modular con la función anterior dicho frente de onda. Con esto
se vuelve a generar la interferencia de las ondas en un IDP. Un diagrama del proceso antes descrito se
puede apreciar en la figura 48. El código empleado se muestra en el Anexo V.
Fig. 48 Proceso para la modulación y comparación de los interferogramas con y sin defectos.
El defecto y su respectiva función de modulación se muestran a continuación. Ver figura 49.
Fig. 49 Defecto obtenido y su respectiva función de modulación.
Un esquema representativo de la modulación del frente de onda se muestra en la figura 50:
π π
48
Fig. 50 Esquema de la corrección del frente de onda con defectos.
El resultado de afectar el frente de onda aberrado con la función de modulación de primera instancia es
el de compensar el defecto y esto es visible en un patrón de interferencia sin dislocaciones en las franjas,
o al menos una corrección significativa de dichos desplazamientos. El interferograma del frente de onda
aberrado y el interferograma del frente de onda compensado son mostrados en la figura 51.
a) b)
Fig. 51 a) Interferograma para un frente de onda con defecto. b) Interferograma para el mismo frente de onda pero compensado.
La corrección puede ser comparada con un interferograma ideal, para un frente de onda sin defectos, ver
figura 52.
a) b)
49
Fig. 52 a) Interferograma compensado b) Interferograma de referencia.
El coeficiente de correlación, el cual es una medida de similaridad entre dos conjuntos de datos se calcula
entre ambos interferogramas, resultando en:
0.98624Coeficiente de correlación
El proceso anterior se realizó con diversas variantes en las aberraciones de los frentes de onda y también
se empleó con el método de las tres imágenes. Los resultados se muestran en la figura 53 y 54. Cabe
mencionar que el coeficiente de correlación mostrado corresponde a la comparación entre el
interferograma corregido vs el interferograma ideal (superficie sin defectos) para cada caso.
Método de las tres imágenes:
CC
0.98509
CC
0.93533
CC
0.96857
CC
0.85231
a) b) c) d) Fig. 53 Corrección del frente de onda mediante funciones de modulación. a) Frente de onda aberrado b) Interferograma con
dislocaciones en las franjas c) Interferograma después de haber modulado los defectos.
50
Método de las cuatro imágenes:
CC
0.98624
CC
0.95059
CC
0.97248
CC
0.88713
a) b) c) d) Fig. 54 Corrección del frente de onda mediante funciones de modulación. a) Frente de onda aberrado b) Interferograma con
dislocaciones en las franjas c) Interferograma después de haber modulado los defectos.
Los resultados muestran la corrección del frente de onda, visible en los desplazamientos de las franjas de
interferencia, las cuales se reubican y acomodan tendiendo a un interferograma sin dislocaciones en sus
franjas. Comparando ambos métodos, es evidente que el método de las 4 imágenes encuentra de forma
más precisa los defectos y por ende los compensa mejor.
51
5 Implementación de placas para un IDP
Las placas previamente mencionadas (sección 3) fueron implementadas para la obtención de un
IDP. El arreglo experimental consta de una fuente de luz que genera un frente de onda convergente
producida por una lente esférica de f=339.08mm, R=298.03mm y D=101.6mm, en un interferómetro
tipo Fizeau, comercialmente conocido como ZYGO. La elección de ésta fuente se debe a que la onda
esférica (convergente/divergente) generada es una onda certificada y no requiere una caracterización
previa en el análisis interferométrico. En el punto de convergencia del frente de onda es colocada una
placa (la placa generada previamente con una película delgada de aluminio y un micro-orifico) montada
sobre una base micrométrica de tres ejes. Frente a la placa es colocada una pantalla de observación donde
el interferograma generado es localizado. La ubicación de la pantalla dependerá de donde el
interferograma sea visible. Para éste arreglo la pantalla se colocó aproximadamente a 20cm delante de la
placa del IDP. Frente a la pantalla se colocó una cámara CCD para registrar el interferograma. Ver figura
55.
Fig. 55 Esquema del arreglo experimental. (1) Fuente de luz tipo Zygo, (2) Placa para el IDP montada en una base micrométrica de tres ejes, (3) Plano de observación.
Dadas las dimensiones de los micro-orificios no es posible encontrar el interferograma de forma
inmediata. Para ello la placa es colocada, de primera instancia, detrás o delante del punto de convergencia
de la onda proveniente del sistema de iluminación y desplazada lateral o verticalmente. Esto con el fin de
encontrar un pequeño punto luminoso el cual muy probablemente corresponda al micro-orificio en la
placa. Al hallarlo, el punto es centrado y la placa se acerca axialmente hasta el punto focal de la onda. En
caso de que el punto localizado corresponda al micro-orifico conforme la placa se acerca al punto focal
en la pantalla se comienza a apreciar notoriamente el interferograma de un IDP. En caso de no serlo, la
distribución obtenida será el resultado de algún defecto en la película semitransparente y por ende se
procede a continuar buscando. La evaluación previa de las placas puede reducir significativamente el
52
trabajo de encontrar los interferogramas ya que para cada método se implementó una técnica para
localizar rápidamente el micro-orifico. Un contorno dibujado con un plumón, acotando la región donde
se encuentra el micro-orificio para la técnica de la gota de mercurio y una cruz guía (en eje con los
orificios) en ambos extremos de la placa para la técnica de microlitografía.
Algunos interferogramas obtenidos pueden observarse en las figuras 56 y 57.
Fig. 56 IDP's obtenidos con placas hechas por el método de gota de mercurio.
Fig. 57 IDP's obtenidos con placas hechas por el método de microlitografía.
5.1 Efectos presentes en un IDP
A continuación se muestran los resultados obtenidos experimentalmente debido a la variación
de parámetros presentes en un IDP.
Variación del espesor de la película de aluminio.
Para comprobar el efecto de la variación de este parámetro se compararon tres de las placas cuyos
espesores de la película delgada de aluminio constan de aproximadamente 0.02, 0.03 y 0.04 micras
(medidas según la taza de sublimación inversa del aluminio dentro de la evaporadora empleada). Se trató
de mantener el mismo orificio para las tres evaluaciones. Ver figura 58.
53
t≈0.02µm t≈0.03µm t≈0.04µm
Fig. 58 Efecto sobre la variación del espesor de la película delgada de aluminio sobre los interferogramas.
El efecto de atenuación por el espesor de la película delgada de aluminio es evidente. Sin mencionar el
pequeño defoco que añade cada espesor para cada interferograma aumentando el número de franjas por
captura.
Variación del radio del micro-orificio.
Sobre una misma placa, pero con diferentes tamaños de micro orificios se capturaron diferentes
interferogramas. Ver figura 59.
𝜙≈5µm 𝜙≈10µm 𝜙≈15µm 𝜙≈25µm
Fig. 59 Variación del tamaño del micro orificio.
Conforme crece el tamaño del orificio el contraste de las franjas se ve comprometido.
54
Desplazamientos laterales de la placa
El resultado de variar lateralmente la placa del IDP. Los desplazamientos deben ser lo suficientemente
pequeños para que el micro-orificio no se salga de la zona de convergencia del sistema de iluminación.
Ver figura 60.
Fig. 60 Efecto de desplazamientos laterales de la placa en un IDP. Δx=10µm y Δy=10µm
Defoco
El resultado de variar axialmente (a lo largo del eje óptico) la placa del IDP. Ver figura 61.
Δy
Δx
55
Fig. 61 Efecto de defoco en un IDP, Δz≈1mm.
Cuando el defoco es tal que ubica las ondas en su región paraxial, media y marginal, es posible apreciar
los efectos de la aberración esférica de las ondas [17]. Ver figura 62.
Fig. 62 Aberración asférica presente en un IDP.
Ante una combinación apropiada entre defoco y desplazamientos laterales (o verticales) en la placa se
pueden observar más efectos de la aberración asférica. Ver figura 63.
Fig. 63 Combinación de defoco con desplazamientos laterales en un IDP para observar aberración asférica.
Particularmente al combinar defoco con desplazamientos laterales, se pudo observar un efecto en
singular: la obtención parcial de franjas rectas, paralelas e igualmente espaciadas dentro de un IDP. Ver
figura 64.
56
Fig. 64 Obtención parcial de franjas rectas, paralelas e igualmente espaciadas en un IDP.
Para la obtención de este efecto primero se desplazó lateralmente la placa y luego se indujo un defoco.
5.2 IDP para el análisis de una superficie con defectos locales
Con la finalidad de implementar un IDP para la identificación de defectos locales en una
superficie bajo prueba se montó un arreglo experimental para el cual se crearon dos espejos con escalones
de alturas conocidas: λ/2 y λ/4. Dichos espejos son añadidos en el arreglo experimental para poder ser
analizados empleando un IDP. El arreglo experimental mostrado en la figura 65 muestra la distribución
de componentes. El arreglo, siguiendo la trayectoria del haz de luz, consta de una fuente de luz que genera
un frente de onda convergente producida por una lente esférica de f=339.08mm, R=298.03mm y
D=101.6mm, en un interferómetro tipo Fizeau, comercialmente conocido como ZYGO(1), un divisor de
haz(2), una lente colimadora(3), un modulador espacial de luz de transmisión(4), (más adelante se explica la
razón de la implementación de este componente) el espejo con el escalón(5), la luz regresa del espejo al
sistema y es desviado por el divisor hacia la placa del IDP(6), finalmente se coloca una pantalla de
observación(7), y frente a ésta cualquier sistema para la captura de imágenes. En este caso se empleó una
cámara CCD Pixelink.
57
Fig. 65 Arreglo experimental & esquema para un IDP con superficies con defectos.
La dislocación en las franjas de los patrones de interferencia indican el cambio en el camino óptico
introducido por los escalones correspondientes a λ/2 o λ/4. Ver figuras 66 y 67.
Fig. 66 IDP para una superficie con defecto tipo escalón de λ/2.
Fig. 67 IDP para una superficie con defecto tipo escalón de λ/4.
1
2
3
4
5
6
7
58
El corrimiento de las franjas para cada interferograma indica la ubicación y el tipo de defecto
(protuberancia o valle). Particularmente para estos casos las franjas se corren hacia afuera lo cual indica
que el defecto se trata de una protuberancia sobre la superficie. Este resultado coincide con las
simulaciones numéricas tras haber simulado defectos sobre las superficies.
En la siguiente sección se abordarán con más detalle los resultados obtenidos.
Como trabajo simultáneo y con el fin de observar la sensibilidad que pudiera resolver un IDP para
aberraciones pequeñas en un frente de onda se analizó una tercer superficie reflectora con defectos en su
superficie. Consta de un espejo esférico de 13 cm de diámetro y 60 cm de radio de curvatura.
El interferograma correspondiente se muestra a en la figura 68. Primeramente, se muestra una vista
completa del interferograma y después los acercamientos a dos de los defectos en la superficie.
Fig. 68 IDP para superficie reflectora con defectos locales.
Se pueden apreciar las discontinuidades en las franjas de interferencia debido a los defectos presentes en
la superficie.
59
6 Corrección del frente de onda empleando un
modulador espacial de luz
El principal objetivo de este trabajo es el de compensar defectos en un frente de onda
proveniente de una superficie óptica bajo prueba detectados con un interferómetro de difracción por
punto. Compensar los defectos obliga conocerlos y por ello se ha hecho tanto énfasis en conocer
primeramente las características inherentes a un IDP y después en la obtención y caracterización de los
defectos presentes en el mismo debido a las posibles aberraciones en un frente de onda bajo análisis.
Previamente el esfuerzo por compensar los defectos en un frente de onda en un IDP se ha realizado sólo
en simulaciones numéricas. Para poder corregir experimentalmente el frente de onda aberrado es
necesario pensar en un dispositivo real que permita la manipulación en fase de un campo óptico. Es por
ello que se propuso emplear un modulador espacial de luz, el cual es un dispositivo que consta de un
arreglo básico de celdas (pixeles) de cristal líquido (birrefringentes) que, mediante un voltaje aplicado,
varían en su estructura y por ende alteran el camino óptico de los frentes de onda que pasan a través de
ellos. La ventaja que ofrecen estos dispositivos es que, dado su arreglo de pixeles, es posible manipular
localmente la fase en un campo, característica necesaria para hacer una modulación local [20].
En las simulaciones numéricas la modulación de los frentes de onda se realizó matemáticamente mediante
una función de modulación la cual constaba esencialmente en el defecto negativo, recuperado del frente
de onda aberrado. El proceso de modulación experimental en principio, opera de manera análoga,
requiriendo una función de fase que contenga los valores opuestos a los defectos en un frente de onda.
Sin embargo, dicha función debe adecuarse a la respuesta física real del modulador espacial de luz
empleado.
6.1 Análisis del desplazamiento de fase debido a cambios de niveles de gris en
el modulador espacial de luz
El modulador espacial de luz empleado es un Holoeye modelo LC 2012 de transmisión. Consiste
en una pantalla de cristal líquido de transmisión con una resolución de 1024 x 768 píxeles (XGA). El
dispositivo se puede usar para modulación de fase y amplitud. Cuenta con un software que permite su
manipulación a través de la generación de diversas funciones ópticas dinámicas como rejillas, lentes,
axicones y aperturas [21].
Es importante mencionar que la manipulación de los pixeles se da a través de imágenes en escalas de
grises. Cuando el modulador se conecta a una computadora, actúa como una segunda pantalla. Al
desplegar imágenes con diferentes tonos de gris, el modulador asocia a cada nivel de gris (por pixel) un
valor específico de voltaje a cada celda unitaria las cuales están entre dos placas plano paralelas, actuando
como un capacitor. Ante la variación de potencial eléctrico, el campo generado dentro de las celdas
provoca un giro en las moléculas. En función de la intensidad de la diferencia de potencial (asociado a
un valor específico de tono de gris) es la cantidad que rotan de las moléculas en el cristal líquido, alterando
su índice de refracción extraordinario (debido a su naturaleza birrefringente) en consecuencia, el camino
óptico dentro de cada pixel y por lo tanto la fase, descrita mediante la relación:
0
2,
d
e on z n dz
60
siendo 𝑑 el espesor del pixel, ne el índice de refracción extraordinario y n0 el índice de refracción ordinario,
[20]. Un esquema representativo del funcionamiento de un pixel se muestra en la figura 69.
a) b)
Fig. 69 Moléculas de cristal líquido en un pixel del modulador a) Sin voltaje aplicado b) Con voltaje aplicado.
Dado que el control del modulador se da desplegando imágenes en escalas de grises, la respuesta en fase
se asocia directamente a un valor en dicha escala. Dependiendo de la longitud de onda con la que se esté
trabajando es la respuesta de cada dispositivo.
Particularmente, como se trabajó empleando una fuente de luz cuasimonocromática, a 632.5nm, la
respuesta en fase para dicha longitud de onda, según el manual de usuario para el modulador puede verse
en la figura 70.
Fig. 70 Modulación de fase para 632nm del modulador espacial de luz LC 2012.
6.2 Desplazamiento de fase en un IDP para la caracterización de defectos
locales
Como se mencionó anteriormente, para realizar la corrección del frente de onda aberrado es
necesario conocer los defectos en el mismo. En caso de no conocerlo, el cual sería el caso más general,
la opción propuesta es emplear técnicas para el desplazamiento de fase para la obtención del frente de
onda y en consecuencia los defectos, tal como se propuso en la sección 4.3.3.
61
Sin embargo, debido a la baja respuesta del modulador empleado (0 a π) o bien (0 a λ/2), no es posible
emplear técnicas de corrimiento de fase que requieran más de tres imágenes. Inclusive para el método de
las tres imágenes este rango dinámico se queda corto. Aún más si se quisiera trabajar con la región lineal
de modulación la cual es menor a π. Por lo que la implementación de las técnicas de desplazamiento de
fase, empleando el modulador espacial de luz, queda propuesta como un trabajo a futuro mediante otra
longitud de onda cuyo rango dinámico con el modulador opere en valores mayores de 0 a π.
No obstante, como se mencionó en la sección 4.2.1, es posible emplear el efecto de defoco en un IDP
para realizar un corrimiento de franjas sobre un defecto local en una superficie. Ver figura 71.
a)
b)
Fig. 71 IDP para una superficie con defecto. a) Pocas franjas b) después de cierto defoco aumenta el número de franjas.
Considerando lo anterior, y retomando los interferogramas obtenidos para una superficie reflectora con
defectos, figura 71.
Fig. 72 Superficie óptica con defectos locales.
Se realizó un barrido de franjas empleando el efecto del defoco. Cabe mencionar que esto se hizo sólo
localmente (capturando solamente la zona del defecto) debido a que el interés es el de compensar el
defecto de forma local.
El método para la obtención de fase del defecto fue el de las cuatro imágenes. Para obtener los
desplazamientos apropiados se consideró que el salto entre franjas (mínimos) equivalía a alturas de λ o
62
bien 2π radianes en valores de fase. Una vez el desplazamiento de las franjas hubo cumplido los
desplazamientos de π/2, π, y 3π/2, junto con la primer imagen (0π), los interferogramas correspondientes
fueron digitalizados y procesados. La obtención del defecto es meramente cuantitativa por el momento.
Los resultados se pueden observar en la figura 73.
a) b) Fig. 73 Corrimiento de fase por defoco en un IDP. a) Interferogramas con desplazamiento en franjas. b) Fase recuperada.
Después de realizar un desenvolvimiento de la fase, el mapa de camino óptico obtenido se muestra a
continuación, figura 74 y 75.
DC
O
DC
O
63
Fig. 74 Diferentes vistas del defecto en la sección del frente de onda recuperado.
Fig. 75 Curvas de nivel del defecto en el frente de onda.
Es importante enfatizar que la sección analizada corresponde a una parte de un frente de onda esférico
proveniente de la superficie bajo prueba. Sin mencionar que existen otros defectos sobre la misma que
no fueron analizados. Un esquema representativo del frente de onda con el defecto se muestra en la figura
76.
Fig. 76 Frente de onda con defecto local.
6.3 Corrección de defectos locales mediante modulación de niveles de gris en
el modulador espacial de luz
Partiendo del hecho de que se conocen los defectos en un frente de onda, ahora se debe realizar
la función de modulación apropiada para realizar la corrección de los mismos. Anteriormente se mostró
DC
O
DC
O
64
(sección 4.3.3) que la función de modulación partía del defecto, conocido previamente o calculado por
los métodos de desplazamiento de fase, y matemáticamente modulaba la onda aberrada con el fin de
corregirla.
En esta sección se describe el mismo principio pero con la finalidad de generar funciones de fase que
puedan operar dentro del rango dinámico del modulador espacial de luz.
Retomando el concepto de la función de modulación, función inversa al defecto hallado, ecuación (41) y
considerando como muestra genérica un frente de onda aberrado cualquiera, por ejemplo el de la sección
anterior. Ver figura 77.
a)
b) c)
Fig. 77 a) Frente de onda aberrado b) Defecto c) Función de modulación.
Si se quisiera compensar el defecto empleando el modulador espacial de luz, la función de modulación
tiene que ser convertida de valores de fase a valores de escala de grises. Dado que esta función ya posee
los valores de fase correspondientes para la corrección del defecto, es esta función la que se desplegará
en el modulador espacial de luz. Sin embargo, debe tomarse en consideración el acotamiento de los
valores de fase del mismo. En otras palabras, la respuesta del modulador está acotada entre sus valores
máximo y mínimo para los cuales puede realizar la modulación. Particularmente para 632nm y el
modulador que se empleó, estos límites son 0 y π pero la función de modulación puede poseer valores
más grandes que éstos. Para solucionarlo, simplemente se reescribe la función de modulación en una
función de fase:
π
π
65
,mi x ye
46
Esto automáticamente envuelve la fase entre los valores –π y π, ver figura 78.
a) b)
Fig. 78 Función de modulación (vista transversal) a) Fase desenvuelta b) Fase envuelta.
Para que la función opere en el rango de modulación de fase del modulador espacial de luz, (0, π). Es
necesario normalizar la fase envuelta para después multiplicarla por el valor máximo de modulación (π).
Ver figura 79.
a) b)
Fig. 79 Función de modulación a) Normalizada b) Operando en el rango dinámico del modulador espacial de luz.
Una vez que la función de modulación está acotada entre los valores del rango dinámico del modulador,
debido a la correspondencia de fase con nivel de gris, es posible definir una imagen en escalas de grises
partiendo de la función de modulación; sin olvidar que la región donde no se va a compensar ningún
defecto debe permanecer con el nivel mínimo de gris (0) para que no se añada ningún cambio de fase en
esta región. Ver figura 80.
Fig. 80 Función de modulación en escala de grises.
66
Es esta imagen la que finalmente se despliega en el modulador resultando en la compensación de los
defectos. Cabe mencionar que debe tenerse en consideración que las dimensiones de la resolución en la
matriz computacional deben corresponder con las dimensiones físicas reales del modulador espacial de
luz (1024 x 768 pixeles).
Experimentalmente se buscó compensar el defecto que añaden los espejos con escalones bajo prueba
previamente mencionados.
Primeramente, se realizaron las simulaciones numéricas correspondientes generando defectos tipo
escalón de λ/2 y λ/4 afectando una onda bajo prueba en un IDP. Se analiza el corrimiento de las franjas
para observar el efecto del escalón. Ver figura 81.
a) b)
Fig. 81 Simulación numérica de un defecto tipo escalón λ/2 a) Defecto b) Interferograma.
a) b)
Fig. 82 Simulación numérica de un defecto tipo escalón λ/4 a) Defecto b) Interferograma.
Ya sea que se conozca el defecto o haya que calcularlo mediante algoritmos de corrimiento de fase, se
define la función de modulación partiendo del defecto.
, ,m defectox y x y
Tras haber definido la función de fase, acotarla y re-escalarla a los valores del modulador espacial de luz
(proceso análogo al ejemplo previo) finalmente, las simulaciones numéricas muestra las mascarillas a
desplegar en el dispositivo. Ver figura 83.
67
a) b)
Fig. 83 Imágenes para compensar defectos tipo escalón. Estas imágenes son desplegadas en el modulador espacial de luz. a) λ/2 b) λ/4.
Los valores (escala de grises) de modulación en las imágenes son: a) 255/0 y b) 127/0 que corresponden
a 𝜆
2/0 y
𝜆
4/0 respectivamente.
Las simulaciones numéricas muestran el resultado de realizar la corrección en los frentes de onda. Ver
figura 84.
a)
b)
Fig. 84 Interferogramas tras la corrección del frente de onda a) λ/2 b) λ/4.
Con esta estimación previa, en el laboratorio se implementaron los espejos en un arreglo con un IDP. El
arreglo experimental fue descrito en la figura 65. Los resultados experimentales se muestran a
continuación, en la figura 85.
68
a) b)
Fig. 85 Interferogramas para escalones de a) λ/2 b) λ/4.
Es importante mencionar que la razón de la asimetría entre ambos interferogramas no sólo se debe a que
los escalones son diferentes para cada prueba, sino que también las condiciones de defoco, placa de IDP
y el registro de la imagen fueron totalmente únicas para cada captura: añadiendo o quitando defoco,
saturación o ganancia. Todo esto varió para poder obtener la mejor imagen en cada caso. Sin embargo,
el efecto de la dislocación en las franjas debido al escalón es evidente para cada caso.
En el caso del escalón de λ/4 es significativo indicar que el interferograma muestra un defecto adicional
al escalón, lo que añade un corrimiento extra en la parte inferior izquierda de la primer franja oscura. Ver
figura 86.
Fig. 86 Dislocación en franjas debido a defecto en la superficie.
Esto es un indicador de la existencia de un defecto en la superficie del espejo. Probablemente la película
depositada sobre este no es completamente homogénea.
Las simulaciones numéricas para cada caso permitieron estimar anticipadamente los niveles de gris
requeridos a desplegar en el modulador empleado. Dado que se contaba con la aplicación propia del
dispositivo, esta fue empleada para generar las imágenes con los niveles de gris correspondientes para
realizar la modulación. Cabe puntualizar que la adición del modulador espacial de luz, atenúa bastante la
intensidad y por lo tanto las imágenes recibieron un procesamiento posterior por propósitos de
visualización.
El interferograma y la compensación del frente de onda para la placas de λ/2 y λ/4 se muestran en la
figuras 87 y 88 respectivamente.
69
a) b) c)
Fig. 87 Modulación del frente de onda en un IDP a) Interferograma con dislocaciones en las franjas b) Imagen en escala de grises para la modulación del frente de onda, correspondiente a λ/2 b) Frente de onda corregido - interferograma sin
dislocaciones.
a) b) c)
Fig. 88 Modulación del frente de onda en un IDP a) Interferograma con dislocaciones en las franjas b) Imagen en escala de grises para la modulación del frente de onda, correspondiente a λ/4 b) Frente de onda corregido - interferograma sin
dislocaciones.
Estos resultados completan el propósito del trabajo, logrando realizar una corrección de un frente de
onda con defectos en un interferómetro de difracción por punto empleando un modulador espacial de
luz.
70
7 Conclusiones y trabajo a futuro
Conclusiones
Se logró la fabricación de las placas para un Interferómetro de Difracción por Punto (IDP)
mediante los métodos de la gota de mercurio y microlitografía.
Después de la implementación experimental del IDP se reconoció la robustez del mismo; siendo un
interferómetro de trayectoria común, es altamente resistente a perturbaciones de cualquier tipo. Presenta
gran sencillez considerando que no requiere instrumentación adicional para la generación de su propia
onda de referencia. Posee un alto contraste en la visibilidad de las franjas de interferencia, siempre que se
considere el compromiso que existe entre el espesor de la película delgada y el material de la misma ya
que estos parámetros juegan un papel importante debido a su transmitancia y fase añadida a las ondas en
el interferómetro.
Respecto a la implementación para el análisis de superficies ópticas con defectos el IDP resulta un ser un
interferómetro adecuado debido a su alta sensibilidad, permitiendo encontrar detalles en los frentes de
onda aberrados, sin mencionar que se pudo realizar una técnica de desplazamiento de fase para una
obtención cualitativa de un defecto en una superficie empleando no más que el defoco, característica
propia de un IDP.
El IDP también tiene ciertas debilidades como el cuidado que requiere la manipulación de la placa para
evitar dañar la película delgada de aluminio y realizar los desplazamientos con la precisión adecuada. Su
alineación resulta un tanto tediosa y cansada.
Pese a la sencillez del interferómetro, dada su única componente propia: el sustrato con el micro-orificio,
es importante mencionar que su fabricación no es sencilla. Ya sea el método de la gota de mercurio o el
de microlitografía ambas requieren instrumentación especializada, materiales y conocimientos pertinentes
para la manipulación de los mismos. Sin mencionar que, por sus dimensiones, es difícil obtener un grado
aceptable de precisión en muchas ocasiones para generar los micro-orificios.
Las simulaciones numéricas ofrecieron gran comprensión en cuanto a la física inherente del
interferómetro ya que durante su realización surgieron varias incertidumbres que debían esclarecerse: la
adición de una fase esférica adicional a la onda de referencia, el efecto del defoco provocado por el
sustrato de vidrio y la película semitransparente de aluminio, la propagación de las ondas, los efectos de
desplazamiento, entre otros que se abordaron en el escrito. Estas simulaciones también permitieron
realizar un análisis cualitativo del comportamiento de un IDP con el cual se pudo predecir el
comportamiento del mismo, incluso antes de su implementación en el laboratorio. Por lo que los
programas generados sirven como referencia inicial a la aplicación de un IDP.
Trabajo a futuro
Entra en consideración que, a pesar de haber logrado la corrección de un frente de onda
empleando el modulador espacial de luz no se pudo abordar más esta propuesta debido a la baja respuesta
del mismo. Como trabajo a futuro se propone implementar una longitud de onda con la cual el rango
dinámico de modulación del dispositivo aumente a por lo menos 2π o en su defecto, trabajando con la
misma longitud de onda, añadir un dispositivo para generar desplazamientos de fase en el arreglo
interferométrico.
71
Se pretende explorar más a fondo las características inherentes a un IDP tomando ahora en consideración
casos más generales como ondas esfero-cilíndricas o planas para generar otro tipo de interferogramas en
un IDP. Se propone estudiar estas variantes.
Se proyecta trabajar con un IDP para el análisis de superficies asféricas o de forma libre para su
caracterización y evaluación de calidad.
Un objetivo particular es poder realizar técnicas de corrimiento de fase sin la necesidad de un modulador
espacial de luz empleando características propias de un IDP, como sus desplazamientos, defoco etc. Con
ello, posteriormente se pretende realizar un sistema integral que pueda recuperar frentes de onda de
diversas muestras bajo evaluación.
Como preliminar a nuevas investigaciones, se buscaría integrar las técnicas de recuperación de la fase de
un frente de onda aberrado y la corrección de los defectos en el mismo. Vinculando las investigaciones
realizadas en este trabajo y permitiendo tener un sistema completo para el análisis de los frentes de onda.
También se busca extender el campo de aplicación más allá de la prueba de superficies ópticas
permitiendo realizar metrología en otros rubros como medición de temperaturas, rugosidades, sensores
de movimiento, mecánica de fluidos, voz, entre otras.
72
8 Referencias
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[10] R. N. Smart and W. H. Steel, “Theory and Application of Point-Diffraction Interferometers,” 1975.
[11] E. Acosta, S. Chamadoira, and R. Blendowske, “Modified point diffraction interferometer for inspection and evaluation of ophthalmic components.,” J. Opt. Soc. Am. A. Opt. Image Sci. Vis., vol. 23, no. 3, pp. 632–637, 2006.
[12] J. W. Goodman, “Introduction to Fourier Optics McGraw-Hill Series in Electrical and Computer Engineering,” Quantum Semiclassical Opt. J. Eur. Opt. Soc. Part B, vol. 8, no. 5, p. 491, 1996.
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[18] L. S. Pedrotti, Frank L. Pedrotti, Introduction to Optics, Secod Edit. Prentice-Hall International.
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[20] I.-C. Khoo, Liquid Crystals, Second Edi. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, 2007.
[21] Holoeye Photonics, LC 2012 DEVICE MANUAL. 2017.
73
Anexo I – Código de programa para la simulación numérica de un
IDP
% Simulación computacional de un IDP % % Elaboró: José Alex Zenteno Hernández % clear all clc close all %% Espacio de trabajo %% % Escala en micras % Dx=100000; % 10 cm - 100000 micras N=1000; % Muestreo dx=Dx/N; dy=dx; x=[-N/2:N/2-1]*dx; y=x'; [X,Y]=meshgrid(x,y); % Cambio de coordenadas % [theta,r]=cart2pol(X,Y); % Soporte circular % R=max(x); supp=r<=R; %% Parámetros del sistema %% lambda=0.632; % micras / Rojo k=2*pi/lambda; %% Distancias %% % z=input('Distancia de observación (cm): '); z=55; z=z*10000; defoco=input('Desplazamiento axial de placa (micras): '); zPlaca=z+defoco; zOe=z; %% Transmitancia de la placa del IDP %% % Parte de vidrio % nv=1.541; % Índice de refracción de la placa de vidrio ev=1000; % 1 mm - 1000 micras del espesor del vidrio Tv=1; % Transmitancia de la placa tv=Tv*exp(1i*k*nv*ev); % Función de amplitud y fase de la placa % Parte de aluminio % na=1.396; % Índice de refracción de la película de aluminio % ea=0.02; % 0.02 micras del espesor del aluminio ea=0.03; % 0.03 micras del espesor del aluminio % ea=0.04; % 0.04 micras del espesor del aluminio Ta=1; % Transmitancia de la película ta=Ta*exp(1i*k*na*ea); % Función de amplitud y fase de la placa %% Onda de la placa %% % Distribución de intensidad % a=3; % Radio del orificio % diametro=a*2; % r=radio del plano de observación (r0) arg=((a*k*(r))./zPlaca); Ap=(2*pi*a^2)*((besselj(1,arg))./(arg)); % Amplitud de la onda Ap=0.5*(Ap./(max(max(Ap)))); % Normalización
74
% FASE % % Aproximando la fase de la onda de la placa a una onda esférica % % En caso de desplazamientos laterales de la placa, habilitar % despx=input('Desplazamiento horizontal de la placa (micras): '); despy=input('Desplazamiento vertical de la placa (micras): '); % despx=0; % despy=0; rf=sqrt((X+(despx)).^2+(Y+(-despy)).^2+((zPlaca).^2)); fp=(1./rf).*exp(-1i*k*rf); fe=k*rf; % Fase esférica vfe=fe(N/2,:); fp=fp./(max(max(fp)));% Normalización % CAMPO COMPLETO % Op=Ap.*fp.*tv; %% Onda esférica paraxial %% t=tv*ta; % transmitancia y fase dela placa de vidrio y la película de
aluminio A=1; % Amplitud Opl=(A)*exp(-1i*k*zOe); % Parte plana Oe=(1./zOe).*Opl.*exp((-
1i)*((k)/(2*zOe))*((X+(0*dx)).^2+(Y+(0*dy)).^2));% Onda esférica aprox.
paraxial fep=(k*zOe)+(((k)/(2*zOe))*((X+(0*dx)).^2+(Y+(0*dy)).^2)); % Fase
esférica paraxial vfep=fep(N/2,:); Oe=0.5*(Oe./(max(max(Oe)))); % Normalización Oe=Oe.*(t); % transmitancia * onda %% Interferencia de los campos % I=(Op)+(Oe); I=I.*supp; I=abs(I); figure imagesc(x,y,abs(I)) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('IDP'); axis square colormap(gray) d1=['Distancia al plano de observación: ',num2str(z),' micras']; disp(d1)
75
Anexo II – Código de programa para la simulación numérica de
un IDP para probar superficies con defectos locales
% Simulación computacional de un IDP % % Elaboró: José Alex Zenteno Hernández % clear all clc close all %% Espacio de trabajo %% % Escala en micras % Dx=100000; % 10 cm - 100000 micras N=1000; % Muestreo dx=Dx/N; dy=dx; x=[-N/2:N/2-1]*dx; y=x'; [X,Y]=meshgrid(x,y); % Cambio de coordenadas % [theta,r]=cart2pol(X,Y); % Soporte circular % R=max(x); supp=r<=R; %% Parámetros del sistema %% lambda=0.632; % micras / Rojo k=2*pi/lambda; %% Distancias %% % z=input('Distancia de observación (cm): '); z=55; z=z*10000; defoco=input('Desplazamiento axial de placa (micras): '); zPlaca=z+defoco; zOe=z; %% Transmitancia de la placa del IDP %% % Parte de vidrio % nv=1.541; % Índice de refracción de la placa de vidrio ev=1000; % 1 mm - 1000 micras del espesor del vidrio Tv=1; % Transmitancia de la placa tv=Tv*exp(1i*k*nv*ev); % Función de amplitud y fase de la placa % Parte de aluminio % na=1.396; % Índice de refracción de la película de aluminio % ea=0.02; % 0.02 micras del espesor del aluminio ea=0.03; % 0.03 micras del espesor del aluminio % ea=0.04; % 0.04 micras del espesor del aluminio Ta=1; % Transmitancia de la película ta=Ta*exp(1i*k*na*ea); % Función de amplitud y fase de la placa %% Onda de la placa %% % Distribución de intensidad % a=3; % Radio del orificio % diametro=a*2; % r=radio del plano de observación (r0) arg=((a*k*(r))./zPlaca); Ap=(2*pi*a^2)*((besselj(1,arg))./(arg)); % Amplitud de la onda Ap=0.5*(Ap./(max(max(Ap)))); % Normalización % FASE % % Aproximando la fase de la onda de la placa a una onda esférica %
76
% En caso de desplazamientos laterales de la placa, habilitar % despx=input('Desplazamiento horizontal de la placa (micras): '); despy=input('Desplazamiento vertical de la placa (micras): '); % despx=0; % despy=0; rf=sqrt((X+(despx)).^2+(Y+(-despy)).^2+((zPlaca).^2)); fp=(1./rf).*exp(-1i*k*rf); fe=k*rf; % Fase esférica vfe=fe(N/2,:); fp=fp./(max(max(fp)));% Normalización % CAMPO COMPLETO % Op=Ap.*fp.*tv;
%% Onda esférica paraxial %% t=tv*ta; % transmitancia y fase dela placa de vidrio y la película de
aluminio A=1; % Amplitud Opl=(A)*exp(-1i*k*zOe); % Parte plana Oe=(1./zOe).*Opl.*exp((-
1i)*((k)/(2*zOe))*((X+(0*dx)).^2+(Y+(0*dy)).^2));% Onda esférica aprox.
paraxial fep=(k*zOe)+(((k)/(2*zOe))*((X+(0*dx)).^2+(Y+(0*dy)).^2)); % Fase
esférica paraxial vfep=fep(N/2,:); Oe=0.5*(Oe./(max(max(Oe)))); % Normalización Oe=Oe.*(t); % transmitancia * onda %% Adición de defectos locales %% % Defecto circular desplazado ncirc=0.5; rr=sqrt((X+((-350)*dx)).^2+(Y+((0)*dy)).^2); rrr=rr<=7000; r3=(ncirc*lambda).*rrr; r3=imgaussfilt(r3,10); % Suavizado Gaussiano % vr3=r3(N/2,:); df=exp(1i*k*r3); % defecto en fase % Defecto cuadrado % A=48; % nc=-0.7; % Múltiplos de lambda % dr=((nc*lambda)*(frect((X-0*dx)/(A*dx)).*frect((Y-300)/(A*dx)))); % dr=imgaussfilt(dr,9); % Suavizado Gaussiano % df=exp(1i*k*dr); % defecto en fase % Defecto rectangular % A=48; % nr=-4.2; % Múltiplos de lambda % drr=((nr.*lambda)*(frect((X+300*dx)/(2*A*dx)).*frect((Y+200)/(A*dx)))); % drr=imgaussfilt(drr,15); % Suavizado Gaussiano % df=exp(1i*k*drr); % defecto en fase % Defecto tipo PEAKS % np=2.26; % p=peaks(N); % p=p./max(max(abs(p))); % pp=(np*lambda).*p; % % pp=imgaussfilt(c,3); % Suavizado Gaussiano % df=exp(1i*k*pp); % defecto en fase % Defecto tipo coseno seno %% % ncs=-1.3; % cs=cos(X./80).*sin(Y./80);
77
% cs=cs./max(max(abs(cs))); % csf=(ncs*lambda).*cs; % df=exp(1i*k*csf); % defecto en fase
%% Interferencia de los campos % I=(Op)+(Oe.*df); I=I.*supp; I=abs(I); figure imagesc(x,y,abs(I)) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('IDP'); axis square colormap(gray) d1=['Distancia al plano de observación: ',num2str(z),' micras']; disp(d1)
78
Anexo III – Código de programa para la simulación numérica de
un IDP con desplazamiento de fase
% Simulación IDP con corrimiento de fase (4 imágenes) % % Elaboró: José Alex Zenteno Hernández % clear all clc close all %% Espacio de trabajo %% % Escala en micras % Dx=100000; % 10 cm - 100000 micras N=1000; dx=Dx/N; dy=dx; x=[-N/2:N/2-1]*dx; y=x'; [X,Y]=meshgrid(x,y); % Cambio de coordenadas % [theta,r]=cart2pol(X,Y); % Soporte circular % R=max(x); supp=r<=R; %% Parámetros del sistema %% lambda=0.632; % micras / Rojo k=2*pi/lambda; %% Distancias %% z=550000; % 425000 micras - 42.5 cm, Distancia al plano de observación defoco=0; zPlaca=z+defoco; zOe=z; %% Transmitancia de la placa del IDP %% % Parte de vidrio % nv=1.541; % Índice de refracción de la placa de vidrio ev=1000; % 1 mm del espesor del vidrio Tv=1; % Transmitancia de la placa tv=Tv*exp(1i*k*nv*ev); % Función de amplitud y fase de la placa % Parte de aluminio % na=1.396; % Índice de refracción de la película de aluminio % ea=0.02; % 0.02 micras del espesor del aluminio ea=0.03; % 0.03 micras del espesor del aluminio % ea=0.04; % 0.04 micras del espesor del aluminio Ta=1; % Transmitancia de la película ta=Ta*exp(1i*k*na*ea); % Función de amplitud y fase de la placa %% Onda de la placa %% % Distribución de intensidad % a=3; % Radio del orificio, 5 micras % diametro=a*2; % r=radio del plano de observación (r0) arg=((a*k*(r))./zPlaca); Ap=(2*pi*a^2)*((besselj(1,arg))./(arg)); % Amplitud de la onda Ap=0.5*(Ap./(max(max(Ap)))); % Normalización % FASE % % Aproximando la fase de la onda de la placa a una onda esférica % rf=sqrt((X+(0)).^2+(Y+(0)).^2+((zPlaca).^2)); fp=(1./rf).*exp(-1i*k*rf);
79
fp=fp./(max(max(fp)));% Normalización % CAMPO COMPLETO % Op=Ap.*fp.*tv; %% Onda esférica paraxial %% t=tv*ta; % transmitancia y fase dela placa de vidrio y la película de
aluminio A=1; % Amplitud Opl=(A)*exp(-1i*k*zOe); % Parte plana Oe=(1./zOe).*Opl.*exp((-
1i)*((k)/(2*zOe))*((X+(0*dx)).^2+(Y+(0*dy)).^2));% Onda esférica aprox.
paraxial Oe=0.5*(Oe./(max(max(Oe)))); % Normalización Oe=Oe.*(t); % transmitancia * onda % Defecto tipo PEAKS np=2.26; p=peaks(N); p=p./max(max(abs(p))); pp=(np*lambda).*p; % pp=imgaussfilt(c,3); % Suavizado Gaussiano fd=exp(1i*k*pp); % defecto en fase %% Interferencia de los campos % % Onda aberrada % Oa=Oe.*fd; % El corrimiento de fase se realiza en la onda de referencia % % I1 % I1=(Op.*exp(1i*(0)))+(Oa); I1=I1.*supp; I1=abs(I1); % I2 % I2=(Op.*exp(1i*((pi)/2)))+(Oa); I2=I2.*supp; I2=abs(I2); % I3 % I3=(Op.*exp(1i*(pi))+(Oa)); I3=I3.*supp; I3=abs(I3); % I4 % I4=(Op.*exp(1i*(3*pi)/2))+(Oa); I4=I4.*supp; I4=abs(I4); % figure subplot(2,2,1) imagesc(x,y,abs(I1)) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('0 \pi'); axis square colormap(gray) subplot(2,2,2) imagesc(x,y,abs(I2)) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('^{1}/_{2} \pi'); axis square colormap(gray) subplot(2,2,3)
80
imagesc(x,y,abs(I3)) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('\pi'); axis square colormap(gray) subplot(2,2,4) imagesc(x,y,abs(I4)) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('^{3}/_{2} \pi'); axis square colormap(gray) % Recuperación de la fase % fs=atan((I4-I2)./(I1-I3)); % La escala no va de -pi a pi, va de -pi/2 a
pi/2 % vfs=fs(N/2,:); % La escala no va de -pi a pi, va de -pi/2 a pi/2 fsre=fs.*(pi./(max(max(abs(fs))))); % reescalamiento % vfsre=(vfs*(pi/max(vfs))); % reescalamiento % q=unwrap(vfsre); Q=unwrap(fsre); Q=(1/k).*Q; % Regresa la fase en valores de camino óptico figure mesh(-Q) title('Fase recuperada "DCO"'); zlabel('\bf\lambda'); view(-45,50) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) colormap jet
d1=['Distancia al plano de observación: ',num2str(z),' micras']; disp(d1)
81
Anexo IV – Código de programa para la simulación numérica de
un IDP con desplazamiento de fase y obtención de los defectos en
un frente de onda % Simulación IDP con corrimiento de fase (4 imágenes) % % Elaboró: José Alex Zenteno Hernández % clear all clc close all %% Espacio de trabajo %% % Escala en micras % Dx=100000; % 10 cm - 100000 micras N=1000; dx=Dx/N; dy=dx; x=[-N/2:N/2-1]*dx; y=x'; [X,Y]=meshgrid(x,y); % Cambio de coordenadas % [theta,r]=cart2pol(X,Y); % Soporte circular % R=max(x); supp=r<=R; %% Parámetros del sistema %% lambda=0.632; % micras / Rojo k=2*pi/lambda; %% Distancias %% zz=input('Distancia al plano de observación (cm): '); z=zz*10000; defoco=input('Defoco (micras): '); zPlaca=z+defoco; zOe=z; %% Transmitancia de la placa del IDP %% % Parte de vidrio % nv=1.541; % Índice de refracción de la placa de vidrio ev=1000; % 1 mm del espesor del vidrio Tv=1; % Transmitancia de la placa tv=Tv*exp(1i*k*nv*ev); % Función de amplitud y fase de la placa % Parte de aluminio % na=1.396; % Índice de refracción de la película de aluminio % ea=0.02; % 0.02 micras del espesor del aluminio ea=0.03; % 0.03 micras del espesor del aluminio % ea=0.04; % 0.04 micras del espesor del aluminio Ta=1; % Transmitancia de la película ta=Ta*exp(1i*k*na*ea); % Función de amplitud y fase de la placa %% Onda de la placa %% % Distribución de intensidad % a=3; % Radio del orificio, 5 micras % diametro=a*2; % r=radio del plano de observación (r0) arg=((a*k*(r))./zPlaca); Ap=(2*pi*a^2)*((besselj(1,arg))./(arg)); % Amplitud de la onda Ap=0.5*(Ap./(max(max(Ap)))); % Normalización % FASE % % Aproximando la fase de la onda de la placa a una onda esférica %
82
% En caso de desplazamientos laterales de la placa, habilitar % despx=input('Desplazamiento horizontal de la placa (micras): '); despy=input('Desplazamiento vertical de la placa (micras): '); % despx=0; % despy=0; rf=sqrt((X+(despx)).^2+(Y+(-despy)).^2+((zPlaca).^2)); fp=(1./rf).*exp(-1i*k*rf); fe=k*rf; % Fase esférica vfe=fe(N/2,:); fp=fp./(max(max(fp)));% Normalización % CAMPO COMPLETO % Op=Ap.*fp.*tv; %% Onda esférica paraxial %% t=tv*ta; % transmitancia y fase dela placa de vidrio y la película de
aluminio A=1; % Amplitud Opl=(A)*exp(-1i*k*zOe); % Parte plana Oe=(1./zOe).*Opl.*exp((-
1i)*((k)/(2*zOe))*((X+(0*dx)).^2+(Y+(0*dy)).^2));% Onda esférica aprox.
paraxial fep=(k*zOe)+(((k)/(2*zOe))*((X+(0*dx)).^2+(Y+(0*dy)).^2)); % Fase
esférica paraxial vfep=fep(N/2,:); Oe=0.5*(Oe./(max(max(Oe)))); % Normalización Oe=Oe.*(t); % transmitancia * onda clc %% Adición de defectos locales %% % Defecto circular desplazado hcirc=1.3; % unidades arbitrarias rd=sqrt((X+((350)*dx)).^2+(Y+((0)*dy)).^2); dcd=rd<=7000; % defecto circular desplazado h=hcirc*lambda; % Altura del defecto en lambdas dc=(h).*dcd; % el defecto ahora tiene la altura en lambdas dc=imgaussfilt(dc,25); % Suavizado Gaussiano % vr3=r3(N/2,:); df=exp(1i*k*dc); % defecto en fase %% Interferencia de los campos % % Onda aberrada % Oa=Oe.*df; % El corrimiento de fase se realiza en la onda de referencia % % I1 % I1=(Op.*exp(1i*(0)))+(Oa); I1=I1.*supp; I1=abs(I1); % I2 % I2=(Op.*exp(1i*((pi)/2)))+(Oa); I2=I2.*supp; I2=abs(I2); % I3 % I3=(Op.*exp(1i*(pi))+(Oa)); I3=I3.*supp; I3=abs(I3); % I4 % I4=(Op.*exp(1i*(3*pi)/2))+(Oa); I4=I4.*supp; I4=abs(I4); %
83
figure subplot(2,2,1) imagesc(x,y,abs(I1)) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('0 pi'); axis square colormap(gray) subplot(2,2,2) imagesc(x,y,abs(I2)) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('pi/2'); axis square colormap(gray) subplot(2,2,3) imagesc(x,y,abs(I3)) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('pi'); axis square colormap(gray) subplot(2,2,4) imagesc(x,y,abs(I4)) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('3/2 pi'); axis square colormap(gray) % Recuperación de la fase % fs=atan((I4-I2)./(I1-I3)); % La escala no va de -pi a pi, va de -pi/2 a
pi/2 % vfs=fs(N/2,:); % La escala no va de -pi a pi, va de -pi/2 a pi/2 fsre=fs.*(pi./(max(max(abs(fs))))); % reescalamiento % vfsre=(vfs*(pi/max(vfs))); % reescalamiento % q=unwrap(vfsre); Q=unwrap(fsre); H=1/k; OPDa=H.*Q; % Regresa la fase en valores de camino óptico figure mesh(-OPDa) view(-45,70) title('Fase recuperada "DCO"'); set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) colormap jet %% Datos %% dz=['Distancia al plano de observación: ',num2str(zz),' cm']; disp(dz) ddef=['Defoco: ',num2str(defoco),' micras']; disp(ddef) ddx=['Desplazamiento horizontal de la placa: ',num2str(despx),' micras']; disp(ddx) ddy=['Desplazamiento vertical de la placa: ',num2str(despy),' micras']; disp(ddy) %% Recuperación de la fase sin aberraciones %% % Interferencia de los campos % % Onda aberrada %
84
Oa=Oe; % El corrimiento de fase se realiza en la onda de referencia % % I1 % I1=(Op.*exp(1i*(0)))+(Oa); I1=I1.*supp; I1=abs(I1); % I2 % I2=(Op.*exp(1i*((pi)/2)))+(Oa); I2=I2.*supp; I2=abs(I2); % I3 % I3=(Op.*exp(1i*(pi))+(Oa)); I3=I3.*supp; I3=abs(I3); % I4 % I4=(Op.*exp(1i*(3*pi)/2))+(Oa); I4=I4.*supp; I4=abs(I4); % figure subplot(2,2,1) imagesc(x,y,abs(I1)) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('0 pi'); axis square colormap(gray) subplot(2,2,2) imagesc(x,y,abs(I2)) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('pi/2'); axis square colormap(gray) subplot(2,2,3) imagesc(x,y,abs(I3)) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('pi'); axis square colormap(gray) subplot(2,2,4) imagesc(x,y,abs(I4)) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('3/2 pi'); axis square colormap(gray) % Recuperación de la fase % fs=atan((I4-I2)./(I1-I3)); % La escala no va de -pi a pi, va de -pi/2 a
pi/2 % vfs=fs(N/2,:); % La escala no va de -pi a pi, va de -pi/2 a pi/2 fsre=fs.*(pi./(max(max(abs(fs))))); % reescalamiento % vfsre=(vfs*(pi/max(vfs))); % reescalamiento % q=unwrap(vfsre); Q=unwrap(fsre); H=1/k;
85
OPD=H.*Q; % Regresa la fase en valores de camino óptico figure mesh(-OPD) view(-45,70) title('Fase recuperada "DCO"'); set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) colormap jet %% Obtención del defecto %% dif=OPD-OPDa; figure mesh(dif) title('Defecto "DCO"'); set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) h1=max(max(dif)); h1h=h1*lambda; d2=['Altura máxima del defecto: ',num2str(h1),' lambda / ',num2str(h1h),'
micras']; disp(d2) dif=dif.*(2*pi); % Defecto con valores de fase figure mesh(dif) title('Defecto "Fase"'); set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) h2=max(max(dif)); d3=['Altura máxima del defecto experimental (fase): ',num2str(h2),'
rad']; disp(d3)
86
Anexo V – Código de programa para la simulación numérica de
un IDP con desplazamiento de fase, obtención de los defectos en
un frente de onda y generación de imagen en escala de grises para
modulación.
% Simulación IDP con corrimiento de fase (4 imágenes) % % Elaboró: José Alex Zenteno Hernández % clear all clc close all %% Espacio de trabajo %% % Escala en micras % Dx=100000; % 10 cm - 100000 micras N=1000; dx=Dx/N; dy=dx; x=[-N/2:N/2-1]*dx; y=x'; [X,Y]=meshgrid(x,y); % Cambio de coordenadas % [theta,r]=cart2pol(X,Y); % Soporte circular % R=max(x); supp=r<=R; %% Parámetros del sistema %% lambda=0.632; % micras / Rojo k=2*pi/lambda; %% Distancias %% % zz=input('Distancia al plano de observación (cm): '); zz=55; z=zz*10000; % defoco=input('Defoco (micras): '); defoco=0; zPlaca=z+defoco; zOe=z; %% Transmitancia de la placa del IDP %% % Parte de vidrio % nv=1.541; % Índice de refracción de la placa de vidrio ev=1000; % 1 mm del espesor del vidrio Tv=1; % Transmitancia de la placa tv=Tv*exp(1i*k*nv*ev); % Función de amplitud y fase de la placa % Parte de aluminio % na=1.396; % Índice de refracción de la película de aluminio % ea=0.02; % 0.02 micras del espesor del aluminio ea=0.03; % 0.03 micras del espesor del aluminio % ea=0.04; % 0.04 micras del espesor del aluminio Ta=1; % Transmitancia de la película ta=Ta*exp(1i*k*na*ea); % Función de amplitud y fase de la placa %% Onda de la placa %% % Distribución de intensidad % a=3; % Radio del orificio, 5 micras % diametro=a*2; % r=radio del plano de observación (r0)
87
arg=((a*k*(r))./zPlaca); Ap=(2*pi*a^2)*((besselj(1,arg))./(arg)); % Amplitud de la onda Ap=0.5*(Ap./(max(max(Ap)))); % Normalización % FASE % % Aproximando la fase de la onda de la placa a una onda esférica % % En caso de desplazamientos laterales de la placa, habilitar % % despx=input('Desplazamiento horizontal de la placa (micras): '); % despy=input('Desplazamiento vertical de la placa (micras): '); despx=0; despy=0; rf=sqrt((X+(despx)).^2+(Y+(-despy)).^2+((zPlaca).^2)); fp=(1./rf).*exp(-1i*k*rf); fe=k*rf; % Fase esférica vfe=fe(N/2,:); fp=fp./(max(max(fp)));% Normalización % CAMPO COMPLETO % Op=Ap.*fp.*tv; %% Onda esférica paraxial %% t=tv*ta; % transmitancia y fase dela placa de vidrio y la película de
aluminio A=1; % Amplitud Opl=(A)*exp(-1i*k*zOe); % Parte plana Oe=(1./zOe).*Opl.*exp((-
1i)*((k)/(2*zOe))*((X+(0*dx)).^2+(Y+(0*dy)).^2));% Onda esférica aprox.
paraxial fep=(k*zOe)+(((k)/(2*zOe))*((X+(0*dx)).^2+(Y+(0*dy)).^2)); % Fase
esférica paraxial vfep=fep(N/2,:); Oe=0.5*(Oe./(max(max(Oe)))); % Normalización Oe=Oe.*(t); % transmitancia * onda clc %% Adición de defectos locales %% % Defecto circular desplazado hcirc=1.3; % unidades arbitrarias rd=sqrt((X+((350)*dx)).^2+(Y+((0)*dy)).^2); dcd=rd<=7000; % defecto circular desplazado h=hcirc*lambda; % Altura del defecto en lambdas dc=(h).*dcd; % el defecto ahora tiene la altura en lambdas dc=imgaussfilt(dc,25); % Suavizado Gaussiano % vr3=r3(N/2,:); df=exp(1i*k*dc); % defecto en fase %% Interferencia de los campos % % Onda aberrada % Oa=Oe.*df; % El corrimiento de fase se realiza en la onda de referencia % % I1 % I1=(Op.*exp(1i*(0)))+(Oa); I1=I1.*supp; I1=abs(I1); % I2 % I2=(Op.*exp(1i*((pi)/2)))+(Oa); I2=I2.*supp; I2=abs(I2); % I3 % I3=(Op.*exp(1i*(pi))+(Oa)); I3=I3.*supp; I3=abs(I3);
88
% I4 % I4=(Op.*exp(1i*(3*pi)/2))+(Oa); I4=I4.*supp; I4=abs(I4); % figure subplot(2,2,1) imagesc(x,y,abs(I1)) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('0 pi'); axis square colormap(gray) subplot(2,2,2) imagesc(x,y,abs(I2)) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('pi/2'); axis square colormap(gray) subplot(2,2,3) imagesc(x,y,abs(I3)) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('pi'); axis square colormap(gray) subplot(2,2,4) imagesc(x,y,abs(I4)) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('3/2 pi'); axis square colormap(gray) % Recuperación de la fase % fs=atan((I4-I2)./(I1-I3)); % La escala no va de -pi a pi, va de -pi/2 a
pi/2 % vfs=fs(N/2,:); % La escala no va de -pi a pi, va de -pi/2 a pi/2 fsre=fs.*(pi./(max(max(abs(fs))))); % reescalamiento % vfsre=(vfs*(pi/max(vfs))); % reescalamiento % q=unwrap(vfsre); Q=unwrap(fsre); H=1/k; OPDa=H.*Q; % Regresa la fase en valores de camino óptico figure mesh(-OPDa) view(-45,70) title('Fase recuperada "DCO"'); set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) set(gca,'xtick',[],'ytick',[],'ztick',[]) colormap jet %% Datos %% dz=['Distancia al plano de observación: ',num2str(zz),' cm']; disp(dz) ddef=['Defoco: ',num2str(defoco),' micras']; disp(ddef) ddx=['Desplazamiento horizontal de la placa: ',num2str(despx),' micras'];
89
disp(ddx) ddy=['Desplazamiento vertical de la placa: ',num2str(despy),' micras']; disp(ddy) %% Recuperación de la fase sin aberraciones %% % Interferencia de los campos % % Onda aberrada % Oar=Oe; % El corrimiento de fase se realiza en la onda de referencia % % I1 % I1=(Op.*exp(1i*(0)))+(Oar); I1=I1.*supp; I1=abs(I1); % I2 % I2=(Op.*exp(1i*((pi)/2)))+(Oar); I2=I2.*supp; I2=abs(I2); % I3 % I3=(Op.*exp(1i*(pi))+(Oar)); I3=I3.*supp; I3=abs(I3); % I4 % I4=(Op.*exp(1i*(3*pi)/2))+(Oar); I4=I4.*supp; I4=abs(I4); % figure subplot(2,2,1) imagesc(x,y,abs(I1)) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('0 pi'); axis square colormap(gray) subplot(2,2,2) imagesc(x,y,abs(I2)) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('pi/2'); axis square colormap(gray) subplot(2,2,3) imagesc(x,y,abs(I3)) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('pi'); axis square colormap(gray) subplot(2,2,4) imagesc(x,y,abs(I4)) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('3/2 pi'); axis square colormap(gray) % Recuperación de la fase % fs=atan((I4-I2)./(I1-I3)); % La escala no va de -pi a pi, va de -pi/2 a
pi/2
90
% vfs=fs(N/2,:); % La escala no va de -pi a pi, va de -pi/2 a pi/2 fsre=fs.*(pi./(max(max(abs(fs))))); % reescalamiento % vfsre=(vfs*(pi/max(vfs))); % reescalamiento % q=unwrap(vfsre); Q=unwrap(fsre); H=1/k; OPD=H.*Q; % Regresa la fase en valores de camino óptico figure mesh(-OPD) view(-45,70) title('Fase recuperada "DCO"'); set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) colormap jet %% Obtención del defecto %% dif=OPD-OPDa; figure mesh(dif) title('Defecto "DCO"'); set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) h1=max(max(abs(dif))); h1h=h1*lambda; d2=['Altura máxima del defecto: ',num2str(h1),' lambda / ',num2str(h1h),'
micras']; disp(d2) dif=dif.*(2*pi); % Defecto con valores de fase figure mesh(dif) title('Defecto "Fase"'); set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) h2=max(max(abs(dif))); d3=['Altura máxima del defecto experimental (fase): ',num2str(h2),'
rad']; disp(d3) figure fdes=unwrap(angle(df)); mesh(fdes) title('Defecto "Fase" teórico'); h3=max(max((fdes))); d4=['Altura del defecto teórico (fase): ',num2str(h3),' rad']; disp(d4) %% Modulación %% % Función de fase moduladora % fi=-dif; ffm=exp(1i*fi); fm=(angle(ffm)); figure mesh(((unwrap(angle(ffm))))); title('Función de modulación'); zlabel('\bf \pi'); set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) % Mascarilla % figure mesh(fm); title('Defecto envuelto'); mascarilla=mat2gray(fm); % Función de fase a escala de grises figure imagesc(mascarilla)
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colormap gray title('Imagen a escala de grises') % Compensación del defecto % Oam=Oa.*ffm; % Interferencia modulada % Imod=Op+Oam; Imod=Imod.*supp; Imod=abs(Imod); Imod=mat2gray(Imod).*supp; figure imagesc(Imod) set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) title('IDP modulado'); axis square colormap(gray) I1=mat2gray(I1); figure imagesc(I1) title('Interferograma de referencia') colormap gray axis square set(gca,'xtick',[],'ytick',[]) set(gca,'xticklabel',[],'yticklabel',[]) % Correlación entre interferogramas % c=corr2(Imod,I1); dc=['Coeficiente de correlación entre interferogramas: ',num2str(c)]; disp(dc)