emilio estevez cruz_apuntes sobre estimacion de recursos y reservas

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Apuntes sobre estimacin de recursos y reservas Elmidio Estvez Cruz [email protected]

1. Introduccin

2. Sistemas y criterios de clasificacin de recursos y reservas

3. Mtodos clsicos de estimacin de reservas

4. Anlisis exploratorio de datos

5. Mtodos de estimacin de reservas asistido por computadoras

6. Mtodos de estimacin espacial

7. Consideraciones finales

8. Bibliografa

Introduccin

Por estimacin de recursos entendemos la determinacin de la cantidad de materia prima contenida

en un yacimiento o en una de sus partes. La mayora de los recursos y reservas se calculan en

toneladas mtricas, solo la de los metales preciosos (oro, plata y platino) se calculan en kilogramos,

los diamantes en quilates y las reservas de gas natural, arena, piedras para la construccin, agua

subterrneas, se estiman en metros cbicos. Esta cuantificacin formal de las materias primas

minerales estimada por procedimientos empricos o tericos se denomina Inventario Mineral. Este a

su vez se expresa en trminos de recurso y reservas.

La estimacin de recursos es un fin de cada etapa de los trabajos de prospeccin y exploracin de

yacimientos minerales y este proceso continua durante la explotacin del depsito. Todos los

trabajos de exploracin de un yacimiento contribuyen ante todo a la estimacin de las materias

primas minerales.

La estimacin de recursos/reservas se considera un proceso continuo que se inicia con la

exploracin y recopilacin de la informacin seguida de la interpretacin geolgica y la estimacin de

recursos. Posteriormente se consideran los factores modificadores (mineros, metalrgicos,

ambientales, legales etc.) y se arriba al estimado de reservas. Durante las operaciones de la mina los

estimados previamente calculados son modificados por los resultados del control de ley y los

estudios de reconciliacin. En estos apuntes se hace mayor hincapi en la estimacin de los

recursos.

Estos trabajos tienen como objetivo fundamental la mejor estimacin de la ley y el tonelaje de los

bloques de un cuerpo mineral as como determinar los errores probables de la estimacin con cierto

nivel de confianza. La relevancia de las estimaciones depende de la calidad, cantidad y distribucin

espacial de las muestras y el grado de continuidad de la mineralizacin.

La cantidad de reservas de un yacimiento, como uno de los factores principales que determinan su

viabilidad econmica, posee una gran influencia en la vida til del yacimiento, su produccin anual y

la decisin final de construir la empresa minera.

Los distintos mtodos de estimacin de recursos que se emplean en la actualidad son definidos por

los principios de interpretacin empleados y las tcnicas de interpolacin espacial. As tenemos los

mtodos clsicos de clculos desarrollados y utilizados desde los principios de la minera hasta

nuestros das, que se basan en procedimientos manuales y donde los principales parmetros son

estimados a partir de la media aritmtica y la media ponderada. Por otra parte, los mtodos asistidos

por computadoras que incluyen el mtodo de ponderacin por el inverso de la distancia y los

geoestadsticos y que se fundamentan en procedimientos matemticos de interpolacin definidos a

partir de informacin espacial y estadstica presente en los datos. Estos mtodos surgieron con el

desarrollo de las computadoras.

Actualmente con la disponibilidad de computadoras y software a precios accesibles existe una

tendencia en las empresas mineras y las organizaciones gubernamentales al empleo de mtodos

computarizados en detrimento de los mtodos clsicos. Es necesario resaltar que en algunos tipos

de yacimientos minerales (Eje. Placeres) producto de la disposicin espacial y la cantidad de datos,

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la variabilidad espacial de los parmetros y el mtodo de exploracin empleado, los mtodos clsicos

brindan los mejores resultados.

Por lo anteriormente expuesto queda claro que la estimacin de recursos es de vital importancia para

el xito de una inversin minera, por lo que los clculos de la ley y el tonelaje deben ser lo ms

confiable posible a partir de las muestras disponibles, la calidad de los anlisis y la definicin de los

controles geolgicos de la mineralizacin.

1 Sistemas y criterios de clasificacin de recursos y reservas

El xito de cualquier negocio minero depende directamente de la calidad de las estimaciones de los

recursos y reservas realizadas a partir de la informacin generada durante las campaas de

exploracin. Este clculo, como cualquier estimacin basada en un nmero limitado de muestras

esta sujeto a variaciones o errores respecto al valor real. De aqu precisamente surge la necesidad

de establecer clasificaciones de recursos que indican los riesgos de las estimaciones realizadas.

Los principales sistemas de clasificacin que se emplean hoy en el mundo se fundamentan en la

confianza geolgica y en la viabilidad econmica. Todos los esquemas de clasificacin hacen uso del

grado de confiabilidad o certidumbre como factor discriminante entre las distintas clases, entre tanto

ninguno de esos sistemas muestran claramente como calcular el error asociado con cada

estimacin. Un elemento que complica aun ms el proceso de categorizacin es la imposibilidad de

cuantificar el error cometido en la creacin del modelo geolgico del yacimiento. Producto de las

dificultades encontradas en cuantificar el error de estimacin, los sistemas de clasificacin se apoyan

ms en aspectos cualitativos que en medidas reales de la dispersin de los valores obtenidos. Dado

este elemento de subjetividad es que se introduce en la mayora de los sistemas de clasificacin el

concepto de persona competente (ver cdigo JORC).

Los principales mtodos a travs de los cuales los recursos minerales pueden ser categorizados se

dividen en 2 grupos: (1) Criterios tradicionales o clsicos, (2) Criterios geoestadsticos.

1.1 Mtodos tradicionales de categorizacin

Los mtodos tradicionales de categorizacin hacen uso de los siguientes criterios.

Continuidad geolgica- La clasificacin de recursos y reservas minerales depende en primer lugar

de la comprensin de la gnesis del yacimiento y de la valoracin de la continuidad geolgica del

volumen mineralizado. Aqu es muy importante establecer la continuidad fsica o geometra de la

mineralizacin o de las estructuras controladoras. La continuidad fsica o geomtrica no es

fcilmente cuantificable. Para establecer este tipo de continuidad es necesario interpretar los datos

disponibles y establecer el modelo geolgico del yacimiento sobre la base del conocimiento existente

y la experiencia previa obtenida en depsitos similares.

Densidad de la red de exploracin (grado de estudio) -Para las distintas categoras se

recomienda un determinado espaciamiento de la red de exploracin lo cual est en funcin del tipo

de yacimiento. Las redes para cada categora se argumentan sobre la base de la experiencia

(principio de analoga) en otros yacimientos similares (tabla #1.1)

Tabla # 1.1 Ejemplo de clasificacin en funcin de la densidad de la red de exploracin.

Tipos de yacimiento Densidad de la red para las distintas clases de recursos

Medida Indicada Inferida

Yacimiento de carbn

De Witbank (Africa del Sur) 250 x 250m 350 x350 m 500 x 500m

Yacimiento de Oro de

Saddleback

(Australia)

25 x 25 m 50 x 50 m 100 x 100m

Yacimiento de Niquel Latertico 25 x 25 m 50 x50 m 100 x 200 m

Placeres de minerales pesados. 200 x40 m 400 x 80 m

Continuidad

geolgica

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Interpolacin contra extrapolacin - Los bloques cuyos valores han sido estimados por

interpolacin o sea estn localizados dentro de la red de muestreo son clasificados en categoras

ms confiables que los localizados ms all de la ltima lnea de pozos (extrapolados). La mayora

de los sistemas de clasificacin exige no incluir bloques extrapolados en la clase de recursos

medidos.

Consideraciones tecnolgicas - incluye determinados aspectos que pueden ser utilizados para

discriminar o rechazar un recurso en una categora dada. Como ejemplo se pude citar la presencia

de elementos perjudiciales que impiden la buena recuperacin o hacen extremadamente cara la

extraccin del componente til durante el proceso de beneficio.

Calidad de los datos- La recuperacin del testigo, el volumen de las muestras, la forma en que

fueron tomadas y el mtodo de perforacin influyen directamente sobre la calidad de los datos. Los

sectores donde existen problemas de representatividad o confiabilidad de los anlisis deben ser

excluidos de la categora de recurso medido.

1.2 Criterios geoestadsticos de categorizacin.

Yamamotto, 1991 considera que los esquemas de clasificacin de reservas basados en medidas

reales de la dispersin son ms confiables pues reflejan, sobre todo, la cantidad y la calidad de la

informacin empleada para evaluar las reservas. Estos esquemas fueron denominados

genricamente clasificaciones geoestadsticas pues se basan en la varianza Kriging.

En este sentido, se recomienda la Geoestadstica como procedimiento vlido y confiable en la

mayora de los sistemas de clasificacin, convirtindose en un estndar en la estimacin de recursos

minerales.

El cdigo propuesto por la ONU, por ejemplo, propone el uso de la Geoestadstica para clasificar los

recursos pues permite de forma rpida y sin ambigedad identificar las categoras de recursos y

reservas minerales (UN-ECE,1996). Algunos de los principales criterios geoestadsticos que han sido

empleados o propuestos para la clasificacin de recursos se explican a continuacin.

1.2.1 Alcance del variograma

El variograma permite cuantificar la continuidad o nivel de correlacin entre las muestras que se

localizan en una zona mineralizada dada. El grado de esa correlacin ha sido frecuentemente

utilizado para clasificar los recursos y reservas. Froidevaux (1982) propuso 3 clases de clasificacin:

Bloques en el rea muestreada ubicados dentro del radio de influencia definido por el alcance del

variograma.

Bloques en el rea muestreada ubicados ms all del radio de influencia definido por el alcance del

variograma

Bloques dentro del yacimiento, ubicados a una distancia grande de los pozos (incluyendo los bloques

extrapolados)

Tpicamente se han empleado 2 enfoques para clasificar los recursos usando el variograma

El primero se basa en la subdivisin arbitraria del alcance observado. Ejemplo, todos los bloques

estimados con un nmero mnimo de muestras y ubicados dentro de un determinado radio de

influencia podran ser clasificados como recursos medidos mientras que todos los bloques estimados

con cierto nmero mnimo de muestras y localizados ms all del radio de influencia seran

clasificados como indicados.

En el segundo enfoque las categoras de recursos estn basadas en los valores de la meseta. Por

ejemplo, los bloques comprendidos dentro de un alcance del variograma correspondiente a 2/3 del

valor de la meseta pueden ser clasificados como medidos, el resto son indicados.

1.2.2 Varianza Kriging

El kriging permite obtener, adems de la estimacin del valor de un bloque, una indicacin de la

precisin local a travs de la varianza kriging (Vk). Desde el inicio del desarrollo del Kriging la Vk ha

sido empleada para determinar los intervalos de confianza de las estimaciones. Para esto es

necesario asumir que esta se ajusta a un modelo normal o lognormal. Sin embargo, en la prctica es

raro que los errores de estimacin se subordinen a estos modelos de distribucin.

Como para el clculo de la varianza kriging se emplea solamente la configuracin de las muestras en

el espacio y no sus valores locales, esta no debe ser interpretada como una medida de la variabilidad

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local. Por otra parte como Vk es calculado a partir del variograma medio del yacimiento no es solo un

ndice de la disposicin espacial de las muestras sino tambin caracteriza las varianzas medias

globales permitiendo la discriminacin entre las clases o categoras de recursos.

Este enfoque no es reciente y ha sido utilizado a lo largo de muchas dcadas, como se puede

constatar en la tabla # 1.2 que resume las categoras de la clasificacin sugerida por Diehl y David

(1982) y Wellmer (1983), basadas en la cuantificacin del error utilizando la desviacin estndar

kriging.

Tabla # 1.2 Clasificacin de recursos/reservas basada en la cuantificacin del error a partir de la

desviacin estndar kriging

El mtodo propuesto por Diehl y David (1982) se basa en definir niveles de confianza y de precisin

(error): la precisin se expresa en funcin de la desviacin estndar kriging y el valor estimado

kriging

Precisin = (kx100xZ1-) / tki

Donde k es la desviacin estndar kriging

tki Valor del bloque estimado por kriging

Z1- Valor de la variable estandarizada distribuida normalmente con un nivel de

confianza (1- )

Si se fija la precisin en 10 % (reservas probadas) entonces se puede determinar la razn k/ tki que

divide las reservas probadas de las probables

10==(kx100xZ80)/ tki

k/ tki=10/(100x1.282)=0.078

Es bueno sealar que no existe consenso internacional sobre los niveles de confianza y precisin

que deben tener las distintas categoras de reservas.

El segundo mtodo para categorizar los recursos se basa en la construccin de la funcin de

densidad de probabilidades o el histograma de las varianzas kriging (Annels, 1991). El histograma se

examina para detectar evidencias de poblaciones complejas que pueden representar 3 poblaciones

superpuestas (probable, posible e inferida). Esta situacin se refleja en la figura. 1.1

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Figura 1.1 Histograma de las varianzas kriging (Vk) segmentado en 3 poblaciones: 1)0-0.0075

Reservas probables, 2) 0.0075-0.0135 Reservas posibles 3)0.0135 Reservas inferidas (Annels,

1991)

Mtodo del Error porcentual de la estimacin de la media

Segn Valente (1982), el error porcentual de la estimacin de la media, para un conjunto de n

bloques estimados para un 95 % de probabilidad, se puede calcular por la expresin:

n

I

ki

n

I

k

t

X

1

1

2

200

Donde tki y 2ki son los valores estimados por kriging y la varianza kriging de cada uno de los

bloques.

La utilizacin de este error para la clasificacin de recursos y reservas fue recomendado por la ONU

a las instituciones financieras internacionales (Valente, 1982). La tabla # 1.3 representa las 3

categoras de reservas clasificadas segn el error kriging de la media para un nivel de probabilidad

del 95 %.

Tabla # 1.3 Clasificacin de reservas a partir de la utilizacin del error kriging de la media.

Reserva Error kriging de la media

Medida 20 %

Indicada 20 %-50 %

Inferida 50 %

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Tambin existen otros criterios y mtodos que no sern abordados en este material como son la

simulacin condicional para construir modelos de incertidumbre, la medida de eficiencia de los

bloques (Krige, 1986) y la desviacin estndar de la interpolacin (Yamamoto, 1989) entre otros.

1.3 Desarrollo histrico de un sistema internacional de clasificacin de recursos y reservas.

Desde el inicio de la dcada de los 90 se ha desarrollado un esfuerzo sistemtico por crear patrones

internacionales para la estimacin, reporte de la informacin de exploracin y la clasificacin de

recursos y reservas.

El cdigo de Australasia para informar sobre recursos minerales y reservas (cdigo JORC) fue

publicado en Junio de 1988 e incorporado a las normas de la bolsa de Australia. En 1990 fue

publicada una gua para el cdigo JORC. Despus de este hecho la SME (US Society for Minig,

Metallurgy, and Exploration) public una gua para informar sobre datos de exploracin, recursos

minerales y reservas. En 1991 en el Reino Unido el IMM (Institute of Mining and Metallurgy) revis

sus patrones para informar sobre recursos y reservas basndose principalmente en el cdigo JORC

de 1988.

En septiembre de 1994 en el 15 Congreso del CMMI (Council of Mining and Metallurgical Institutions)

celebrado en Sudfrica, se organiz una reunin con el objetivo especfico de discutir los estndar

internacionales, esto result ser el primer encuentro de lo que posteriormente fue llamado el Grupo

CMMI (International Resource/reserve definitions group).

El Grupo CMMI, compuesto por representantes de Australia (AusIMM), frica del Sur (SAIMM),

Estados Unidos ( SME), Reino Unido (IMM) y Canad (CIM), tena como objetivo desarrollar un

conjunto de definiciones internacionales relacionadas con los recursos minerales y las reservas de

mena.

De la misma forma en 1992 las Naciones Unidas cre una comisin para desarrollar un sistema

internacional de clasificacin de recursos y reservas, el cual sali a la luz en 1996 bajo el nombre de

Marco Internacional de las Naciones Unidas para la clasificacin de reservas/recursos

Combustibles slidos y sustancias minerales (United Nations International Framework Classification

for reserve / resource-Solid fuels and mineral Commodity ).

El primer gran avance ocurri en octubre de 1997 en el encuentro del grupo CMMI en Denver

Colorado y la aprobacin del llamado acuerdo de Denver donde se logr un consenso sobre un

conjunto de definiciones de recursos y reservas. En 1998 en Ginebra, Suiza se llevo a cabo un

encuentro entre el grupo CMMI y la comisin de Naciones Unidas, donde las definiciones y patrones

del CMMI fueron incorporados, con pequeas modificaciones, al sistema de clasificacin de las

Naciones Unidas, dndole un carcter verdaderamente internacional a las definiciones del CMMI.

Despus de encuentro Australia, frica del Sur y Estados Unidos iniciaron la actualizacin de sus

sistemas nacionales de clasificacin

En noviembre de 1999 hubo un nuevo encuentro entre el Grupo CMMI y la comisin de Naciones

Unidas para continuar el proceso de desarrollo de normas y definiciones internacionales. Con

pequeas e insignificantes diferencias entre los pases los siguientes trminos han sido aceptados

(fig. 1.2):

Recursos minerales es una concentracin u ocurrencia de material de inters econmico intrnseco

en o sobre la corteza de la Tierra en forma y cantidad en que haya probabilidades razonables de

una eventual extraccin econmica. La ubicacin, cantidad, ley, caractersticas geolgicas y

continuidad de un Recurso Mineral son conocidas, estimadas o interpretadas a partir de evidencias y

conocimientos geolgicos especficos. Los Recursos Minerales se subdividen, en orden ascendente

de la confianza geolgica, en categoras de Inferidos, Indicados y Medidos.

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Figura 1.2 Relacin general entre Resultados de Exploracin, Recursos y Reservas Minerales

Recurso Mineral Inferido es aquella parte de un Recurso Mineral por la cual se puede estimar el

tonelaje, ley y contenido de mineral con un bajo nivel de confianza. Se infiere a partir de evidencia

geolgica y se asume pero no se certifica la continuidad geolgica ni de la ley. Se basa en

informacin inferida mediante tcnicas apropiadas de localizaciones como pueden ser afloramientos,

zanjas, rajos, laboreos y sondajes que pueden ser limitados o de calidad y confiabilidad incierta.

Recurso Mineral Indicado es aquella parte de un Recurso Mineral para el cual puede estimarse

con un nivel razonable de confianza el tonelaje, densidad, forma, caractersticas fsicas, ley y

contenido mineral. Se basa en informacin sobre exploracin, muestreo y pruebas reunidas mediante

tcnicas apropiadas en ubicaciones como pueden ser: afloramientos, zanjas, rajos, tneles, laboreos

y sondajes. Las ubicaciones estn demasiado espaciadas o su espaciamiento es inapropiado para

confirmar la continuidad geolgica y/o de ley, pero est espaciada con suficiente cercana para que

se pueda suponer continuidad.

Recurso Mineral Medido es aquella parte de un Recurso Mineral para el cual puede estimarse con

un alto nivel de confianza el tonelaje, su densidad, forma, caractersticas fsicas, ley y contenido de

mineral. Se basa en la exploracin detallada e informacin confiable sobre muestreo y pruebas

obtenidas mediante tcnicas apropiadas de lugares como pueden ser afloramientos, zanjas, rajos,

tneles, laboreos y sondajes. Las ubicaciones estn espaciadas con suficiente cercana para

confirmar continuidad geolgica y/o de la ley.

Reserva Minerales es la parte econmicamente explotable de un Recurso Mineral Medido o

Indicado. Incluye dilucin de materiales y tolerancias por prdidas que se puedan producir cuando se

extraiga el material. Se han realizado las evaluaciones apropiadas, que pueden incluir estudios de

factibilidad e incluyen la consideracin de modificaciones por factores razonablemente asumidos de

extraccin, metalrgicos, econmicos, de mercados, legales, ambientales, sociales y

gubernamentales. Estas evaluaciones demuestran en la fecha en que se reporta que podra

justificarse razonablemente la extraccin. Las Reservas de Mena se subdividen en orden creciente

de confianza en Reservas Probables Minerales y Reservas Probadas Minerales

Reserva Probable Minerales es la parte econmicamente explotable de un Recurso Mineral

Indicado y en algunas circunstancias Recurso Mineral Medido. Incluye los materiales de dilucin y

tolerancias por prdidas que puedan producirse cuando se explota el material. Se han realizado

evaluaciones apropiadas, que pueden incluir estudios de factibilidad, e incluyen la consideracin de

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factores modificadores razonablemente asumidos de minera, metalrgicos, econmicos, de

mercadeo, legales, medioambientales, sociales y gubernamentales. Estas evaluaciones demuestran

a la fecha en que se presenta el informe, que la extraccin podra justificarse razonablemente

Reserva Probada Minerales es la parte econmicamente explotable de un Recurso Mineral Medido.

Incluye los materiales de dilucin y tolerancias por prdidas que se pueden producir cuando se

explota el material. Se han realizado evaluaciones apropiadas que pueden incluir estudios de

factibilidad, e incluyen la consideracin de modificaciones por factores fehacientemente asumidos de

minera, metalrgicos, econmicos, de mercados, legales, ambientales, sociales y gubernamentales.

Estas evaluaciones demuestran, a la fecha en que se publica el informe, que la extraccin podra

justificarse razonablemente.

Con esos trminos y definiciones aceptadas, el grupo CMMI se dedic a desarrollar las normas

internacionales. La responsabilidad por las estimaciones de recursos y reservas debe ser atribuida a

una persona responsable/competente, trmino este introducido inicialmente en el cdigo JORC.

Con el establecimiento y adopcin de los patrones internacionales de estimacin y clasificacin de

recursos y reservas muchos autores discuten la perspectiva inminente de transformar esos patrones

en normas de certificacin del sistema ISO 9001. Segn Vallee, 1999 de todos los sistemas en uso el

cdigo JORC es el ms compatible con la certificacin ISO.

2 Mtodos clsicos de estimacin de reservas

Estos mtodos sencillos, que se basan en criterios meramente geomtricos, han soportado el paso

del tiempo. Sin embargo estn siendo paulatinamente sustituidos por mtodos ms sofisticados de

estimacin que se basan en la aplicacin de los mtodos de estimacin espacial.

2.1 Parmetros bsicos de la estimacin de recursos.

Los principales parmetros de estimacin se deducen del la ecuacin bsica que permite calcular la

cantidad de metal o componente til (P).

P = S*m*d*C donde,

S- rea de la proyeccin del cuerpo mineral en un plano determinado.

m- potencia media del cuerpo mineral en la direccin perpendicular al plano de proyeccin

d- masa volumtrica

C- ley media del componente til.

De esta ecuacin bsica se pueden derivar otras frmulas como:

V=S*m volumen total ocupado por el yacimiento mineral (m3)

Q=V*d Tonelaje o cantidad de reservas de mineral til (t)

La frmula anterior muestra que los principales parmetros son:

A) rea (m2)

B) espesor medio (m)

C) contenido medio de los componentes tiles (%, g/t, g/m3, kg/m3)

D) Masa volumtrica o densidad aparente de la materia prima mineral (t/m3)

Antes de comenzar el clculo es necesario determinar los valores de esos parmetros a partir de los

datos adquiridos en el transcurso de los trabajos de prospeccin y exploracin. Esta tarea es muy

importante pues de su correcta solucin depende la precisin de los resultados de la estimacin

2.2 Determinacin de los parmetros bsicos

2.2.1 Determinacin del rea del yacimiento

Despus del levantamiento geolgico y la documentacin de los trabajos de exploracin se puede

representar el yacimiento proyectndolo en un plano conveniente. Habitualmente los yacimientos con

un buzamiento mayor de 45 se proyectan en un plano vertical, los de buzamiento menor se

proyectan en un plano horizontal. En ambos casos el rea proyectada es menor que el rea real. La

relacin entre el rea real (S) y el rea proyectada (S) en el plano vertical es:

S=S*sen ()

Para el plano horizontal:

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S=S*cos ()

Donde es el ngulo de buzamiento del yacimiento.

Los yacimientos que tienen un rumbo y buzamiento constantes pueden ser proyectados en un plano

paralelo a los mismos. Si el depsito est constituido por varios cuerpos el rea de cada uno se

proyecta y determina aparte.

La base para la proyeccin de los cuerpos y el clculo del rea son los planos del departamento del

servicio topogrfico. En estos planos el gelogo debe delimitar el rea del cuerpo estudiado,

demarcar los tipos tecnolgicos y las categoras segn el grado de estudio etc.

Para calcular el rea es necesario inicialmente determinar los contornos de los cuerpos y del

yacimiento mineral. Comnmente se trazan dos contornos o lmites: el interno y el externo. El

contorno interno es una lnea que une todos los pozos externos positivos. Ahora bien como el cuerpo

mineral continua mas all del contorno interno y no es posible conocer la posicin exacta del

contorno real se hace necesario determinar un lmite (contorno externo) que sustituye el contorno

real.

Pueden existir 2 posibilidades:

Detrs de los pozos extremos positivos se encuentra un pozo estril

Detrs de los pozos extremos positivos no existen pozos de exploracin

En el primer caso sabemos que el contorno real se encuentra en alguna parte entre el contorno

interno y los pozos negativos entonces el contorno externo se determina por extrapolacin limitada.

En el segundo caso no existen datos sobre la posicin exacta del contorno real y este se determina

por extrapolacin no limitada. Los distintos mtodos que existen para determinar el contorno externo

se representan en la figura 2.1.

Criterios

para trazar el

contorno

externo

Extrapolacin

limitada

Extrapolacin

ilimitada

Simple

Segn el

ngulo de

acuamiento

Limite:

a) segn los aspectos geolgicos (cambio de

facies, fallas, contactos etc.)

b) segn aspectos morfolgicos

c) segn la densidad de los trabajos de

exploracin (se traza paralelo al contorno

interno a una distancia igual a la mitad de la

distancia media entre los trabajos de

exploracin)

d) segn la regla de Hoover (extrapolacin

en forma de tringulo a una distancia igual

a la mitad de la parte explorada de un

yacimiento

El lmite se traza

convencionalmente a la mitad

de la distancia entre los pozos

positivos del contorno interno

y los negativos situados detrs

de l.

El lmite se traza a una

distancia estimada a partir del

ngulo de acuamiento

medio calculado

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Figura 2.1 Principales criterios para trazar el contorno externo

Una vez contorneado el yacimiento el rea puede ser calculada empleando una de los siguientes

mtodos:

Planmetro

Digitalizador

Descomposicin en figuras geomtricas sencillas.

Papel milimetrado

Regla de Simpson

2.2.2 Determinacin de la masa volumtrica

La masa volumtrica de la mena (o mineral) no es ms que la masa de un metro cbico de esta en

estado natural, es decir incluyendo poros, cavidades etc.

La masa volumtrica (d) de la mena se define como:

d= Q/(Vm+Vp)

donde: Q es la masa de la muestra de mena

Vm es el volumen de la mena

Vp es el volumen de los poros

La masa volumtrica se puede calcular en el laboratorio, en el campo y por mtodos geofsicos

principalmente en pozos y excavaciones mineras. En el laboratorio se determina mediante el pesaje

de las muestras y la determinacin del volumen. La medicin ms exacta y autntica se logra en el

campo para esto se extrae una muestra global (alrededor de 10 m3). El volumen del espacio (V) se

mide y la mena extrada se pesa (Q).

d= Q/V (t/m3)

La masa volumtrica de la mena puede cambiar en funcin de la composicin qumica y

eventualmente de la textura, esto determina la necesidad de determinar la masa volumtrica para

cada tipo natural de mena presente en el yacimiento. Habitualmente el peso volumtrico se

determina para cada tipo como un promedio aritmtico de 10 20 muestras, en caso de yacimientos

complejos de 20- 30 muestras

La seleccin de una insuficiente cantidad de muestras y la no representatividad de las mismas

constituyen las fuentes principales de errores en la determinacin de la masa volumtrica.

Muchas minas en operaciones aplican una masa volumtrica constante (t/m3), la cual se obtiene a

partir del promedio aritmtico de un nmero significativo de muestras. Si embargo esto puede

conducir a errores graves en la determinacin del tonelaje y la cantidad de metal, especialmente en

aquellos casos donde la ley, la litologa de la roca de caja, el grado de alteracin o la profundidad del

intemperismo y la mineraloga del componente til varan constantemente.

Para superar este problema se emplea la regresin lineal. Este mtodo consiste en la determinacin

de la masa volumtrica de un nmero significativo de muestras mineralizadas pertenecientes a un

mismo tipo natural de mena. Simultneamente las muestras son analizadas para conocer el

contenido del componente til. Con esta informacin se construye el grfico de dispersin, se realiza

el anlisis de correlacin y se ajusta la ecuacin de regresin que permite predecir el valor de la

masa volumtrica de cada muestra en funcin de la ley del componente til. Sobre la base de estos

resultados tambin se confeccionan los nomogramas que permiten obtener directamente el valor de

la masa volumtrica a partir de la ley del componente til de la muestra o interseccin.

2.2.3 Determinacin del espesor medio de un yacimiento

El espesor de un yacimiento se puede verificar por mtodos directos o con ayuda de modos

indirectos (por ejemplo los mtodos geofsicos en las perforaciones)

El espesor o potencia se puede medir en los afloramientos naturales y artificiales, en las

excavaciones mineras y en los pozos de perforacin.

El espesor de los yacimientos hay que medirlo con una precisin de cm. En casos de yacimientos

con contactos claros con las rocas vecinas el espesor se mide directamente. Cuando los contornos

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de la mineral no son claros el espesor se determina sobre la base de los resultados de los anlisis

qumicos de las muestras y la precisin depende de la longitud de las muestras tomadas. .

En la estimacin de recursos se puede emplear la potencia real o normal, la componente vertical

(potencia vertical) y la componente horizontal (potencia horizontal). Todo depende del plano en el

cual se ha proyectado el cuerpo. La dependencia entre el espesor real y los espesores horizontales y

verticales es la siguiente.

mn = mh* sen ()

mn = mv * cos()

mh = mv * ctg ()

Donde es el ngulo de buzamiento de cuerpo, mn-potencia real mh - potencia horizontal, mv

potencia vertical.

La componente vertical se emplea cuando el yacimiento se proyecta en planos horizontales

principalmente para los cuerpos de buzamiento suave. Como se observa en la figura 2.2 trabajar con

la componente vertical y el rea proyectada en el plano horizontal es equivalente a emplear la

potencia real y el rea real de cuerpo mineral.

Figura 2.2 Empleo de la potencia vertical cuando se proyecta el cuerpo en el plano horizontal.

(Annels, 1991).

La componente horizontal se emplea cuando los cuerpos se representan en proyecciones verticales

longitudinales principalmente en cuerpos de yacencia abrupta que se explotan con minera

subterrnea.

La potencia aparente del cuerpo mineral es de poca importancia y su valor depende del buzamiento y

la inclinacin del pozo. Si se conoce el ngulo de interseccin () entre el cuerpo mineral y el eje

(traza del pozo) o puede medirse en el testigo entonces es posible calcular la potencia real

empleando la siguiente frmula.

mn = ma* sen ()

En caso de que el ngulo de interseccin no pueda ser medido, el espesor real se calcula a partir de

la inclinacin del pozo () en el punto medio del intervalo mineralizado y el buzamiento del cuerpo ()

determinado a partir del perfil.

mn = ma* sen (+ )

En los casos en que el plano vertical que contiene el pozo no es perpendicular al rumbo del cuerpo

mineral entonces es necesario introducir un factor de correccin (Rm) en la frmula anterior

mn = ma* sen (+ )*Rm

Rm= sen (+ )*cos()/cos()

Donde es el buzamiento aparente del cuerpo mineral en el plano vertical que contiene el pozo.

Tambin se puede emplear la frmula

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mn = ma* sen (+ )*cos()

Siendo el ngulo entre el plano vertical que contiene el pozo y un plano vertical perpendicular al

rumbo del cuerpo mineral.

Para la estimacin de reservas es necesario determinar el espesor medio del yacimiento o de una

parte de este. Si los espesores particulares fueron medidos a distancias regulares, el espesor medio

se calcula segn la frmula de la media aritmtica.

m = (m1+m2+m3+ +mn)/n

Si las mediciones de los espesores de un yacimiento fueron realizadas en distancias no regulares

entonces el espesor medio se calcula segn la ecuacin de la media ponderada, empleando como

factor de ponderacin las distancias entre las distintas mediciones (l) o el rea de influencia de cada

una de ellas.

m = (m1ll+m2l2+m3l3+ +mnln)/(l1+l2+l3++ ln)

2.2.4 Determinacin del contenido medio del componente til

Durante la exploracin de un yacimiento se muestrean de forma continua los distintos tipos de mena.

Los anlisis de las muestras permiten conocer el contenido o ley del componente til en los lugares

donde las muestras fueron tomadas.

El contenido de un componente til en la mena en la mayor parte de los casos se expresa en % de

peso (Ej. Fe, Mn, Cu, Pb, Sb, Hg etc.), sin embargo los metales preciosos (Au, Ag, Pt etc.) se indican

en gramos por tonelada (g/t). Finalmente en los yacimientos de placeres la ley de los metales se

expresa en g/m3 o Kg/m3.

Durante la exploracin, las concentraciones de los componentes tiles se determinan a travs de

muestras individuales es por esto que la estimacin de los contenidos promedios para cada bloque

se realiza en 2 etapas:

Clculo del contenido promedio del componente til en cada pozo o interseccin de

exploracin a lo largo de toda la potencia del cuerpo mineral.

Extensin de los contenidos determinados en las intersecciones a los volmenes adyacentes

del subsuelo.

Antes de comenzar la primera etapa es necesario determinar en cada pozo cual es el intervalo que

puede ser explotado con cierto beneficio econmico. Para este fin se emplean las condiciones

industriales: potencia mnima industrial, contenido mnimo industrial, contenido en los bordes etc.

Para obtener la ley media de cada pozo siempre se emplea el mtodo de la media ponderada

empleando como factor de peso las longitudes de cada muestra individual. En caso de que la

longitud de las muestras sea constante entonces se utiliza la media aritmtica.

n

i

n

i

liCiliC11

/

Ci- Ley de cada muestra individual

li Longitud de cada muestra

C- Ley media de la interseccin econmica

La extensin de los contenidos medios calculados para cada pozo o interseccin a los volmenes

adyacentes del subsuelo se hace frecuentemente por va estadstica. Con este fin en los mtodos

clsicos de clculo se emplea tanto la media aritmtica como la media ponderada. En el caso de los

mtodos asistido por computadoras la extensin de los contenidos se realiza empleando mtodos de

interpolacin espacial como el kriging y el inverso de la distancia, los cuales sern abordados en

prximos captulos.

2.3 Consideraciones generales sobre la estimacin de recursos

Matemticamente la estimacin de recursos no es ms que la integracin numrica de una funcin

contenido o ley (expresada en unidades de masa por unidad de volumen) dentro del yacimiento de

volumen V.

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V

dvVCP )(

La figura 2.3a muestra el procedimiento de clculo de reservas a partir de la integracin de la funcin

ley C (v) en el dominio V.

a) b)

Figura 2.3 Yacimiento mineral hipottico cuya funcin contenido C (v) es conocida y por tanto la

reserva de metal se calcula por su integracin numrica en el dominio del yacimiento .b) yacimiento

subdividido en bloques de volmenes conocidos y las leyes determinadas por un mtodo de

estimacin.

Conocer la funcin C(v) implica saber en cada punto del yacimiento cual es la ley del componente til

o sea la funcin que la describe matemticamente. En la prctica esto es imposible dada la densidad

del muestreo por un lado y por otra parte la incapacidad de encontrar una funcin que se ajuste

perfectamente a los datos.

Como no se puede resolver directamente la ecuacin los mtodos existentes de estimacin de

reservas, tanto los tradicionales como los asistidos por computadoras, solucionan la ecuacin

empleando el caso discreto.

n

i

CiViP1

Donde Ci - ley del componente en el bloque i

Vi volumen del bloque i

n

i

ViV1

V- Volumen total del yacimiento

La ecuacin anterior se resuelve fcilmente subdividiendo el yacimiento en n bloques de

volmenes conocidos, cuyas leyes pueden ser determinadas por los mtodos de clculo existentes

como se ilustra en la figura 2.3b.

La estimacin de recursos es siempre hecha en bloques cuya geometra se define por la localizacin

de los trabajos de exploracin en el caso de los mtodos clsicos, o en bloques de clculo definidos

por la malla o red en el caso de los mtodos computacionales. Es justamente aqu donde radica la

diferencia fundamental entre los mtodos clsicos y los asistidos por computadoras ya que los

primeros determinan las reservas en bloques de clculos de grandes dimensiones y los segundos en

bloques de pequeas dimensiones compatibles con la densidad de informacin.

2.4 Mtodos clsicos de estimacin de reservas

Los mtodos clsicos, desarrollados y empleados desde los mismos comienzos de la minera, se

basan fundamentalmente en los principios de interpretacin de las variables entre dos puntos

V

1 2

3 4 5 6

7 8

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contiguos de muestreo, lo que determina la construccin de los bloques geomtricos a los que se le

asignan las leyes medias para la estimacin de recursos.

Los principios de interpretacin de estos mtodos segn Popoff (1966) son los siguientes:

Principio de los cambios graduales (funcin lineal) entre dos puntos de muestreo

Principio de los vecinos ms cercanos o zonas de influencia

Principio de generalizacin (analoga) o inferencia geolgica.

El principio de los cambios graduales presupone que los valores de una variable (espesor, ley, etc.)

varan gradual y continuamente a lo largo de la lnea recta que une 2 puntos de muestreo contiguos.

El principio de vecinos ms cercanos admite que el valor de la variable de inters en un punto no

muestreado es igual al valor de la variable en el punto ms prximo.

El ltimo de los principios permite la extrapolacin de los valores conocidos en los puntos de

muestreo a puntos o zonas alejadas sobre la base del conocimiento geolgico o por analoga con

yacimientos similares.

Todos estos principios de interpretacin son utilizados para la subdivisin del yacimiento mineral en

bloques o sectores, los cuales son evaluados individualmente y posteriormente integrados para

determinar los recursos totales del yacimiento.

Los mtodos clsicos o tradicionales han soportado el paso del tiempo pero estn siendo superados

progresivamente por los mtodos geoestadsticos. Estos mtodos son aun aplicables en muchas

situaciones, donde incluso pueden arrojar resultados superiores. Siempre es necesario realizar una

valoracin crtica del empleo de la geoestadistica antes de desechar completamente las tcnicas

tradicionales. El uso de las tcnicas kriging est supeditado a la existencia de una red de

exploracin que permita la generacin de los modelos matemticos que describen la continuidad

espacial de la mineralizacin del yacimiento que se evala. Cuando no existe suficiente informacin

de exploracin o la variabilidad es extrema se deben emplear los mtodos geomtricos o

tradicionales.

Segn Lepin y Ariosa, 1986 los mtodos clsicos de estimacin ms conocidos son:

Mtodo del promedio aritmtico o bloques anlogos

Mtodo de los bloques geolgicos

Mtodo de los bloques de explotacin

Mtodo de los polgonos

Mtodo de las isolneas.

Mtodo de los perfiles

2.4.1 Mtodo de la media aritmtica.

Es el mtodo de clculo ms simple. En este caso la forma compleja del cuerpo mineral se sustituye

por una placa o lmina de volumen equivalente cuyo espesor corresponde con la potencia media del

cuerpo.

Los contornos se trazan en los planos o proyecciones verticales. El rea delimitada se determina

planimtricamente o por otro mtodo de clculo. El espesor medio se estima por la media aritmtica

simple o ponderada. El contenido promedio y la masa volumtrica se determina de la misma forma.

La parte del cuerpo comprendida entre el contorno interno y externo generalmente se calcula de

manera independiente porque los recursos de esta zona se reportan en una categora inferior. A

pesar de su sencillez se puede emplear exitosamente en yacimientos de constitucin geolgica

simple Ej. Yacimientos de materiales de la construccin.

Secuencia General de trabajo.

-Delimitacin del rea del cuerpo mineral, trazando el contorno interno y externo.

-Medicin del rea

-Clculo de la potencia media del mineral til por promedio aritmtico o media ponderada.

-Clculo de la masa volumtrica por promedio aritmtico o media ponderada.

-Clculo de la ley media del mineral til por promedio aritmtico o media ponderada.

-Clculo del volumen, tonelaje (reservas de mena) y reservas del componente til.

Ventaja

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Su principal mrito radica en su simplicidad, brindando una rpida idea sobre los recursos de un

yacimiento. Se utiliza en los estadios iniciales de los trabajos geolgicos de exploracin para realizar

evaluaciones preliminares.

Desventaja

Imposibilidad del clculo selectivo de acuerdo con las diferentes clases industriales de mena,

condiciones de yacencia, grado de estudio y condiciones de explotacin.

2.4.2 Mtodo de los bloques geolgicos

El cuerpo mineral se divide en bloques homogneos de acuerdo a consideraciones esencialmente

geolgicas. De esta forma el cuerpo mineral de morfologa compleja se sustituye por un sistema de

prismas polidricos de altura que corresponde con la potencia media dentro de cada bloque (fig2.4).

El contorneo se realiza en cualquier proyeccin del cuerpo, adems es necesario trazar los lmites

de los bloques geolgicos independientes.

Figura 2.4 Estimacin de reservas por el mtodo de bloques geolgicos

Generalmente se forman bloques tomando en consideracin la variacin de los siguientes

parmetros:

Segn las diferentes vetas, capas o cuerpos presentes en el yacimiento

Segn la existencia de intercalaciones estriles

Segn la potencia del cuerpo mineral

Segn la profundidad o cota de nivel

Segn los tipos tecnolgicos, calidad o contenido de componente til (mena rica y mena pobre)

Segn las condiciones hidrogeolgica (por encima y por debajo del nivel fretico)

Segn el coeficiente de destape o relacin estril mineral.

Segn la situacin tectnica

Adems de estos criterios geolgicos se consideran otros aspectos como:

Diferencias en el grado de conocimiento

Viabilidad econmica.

Es importante sealar que si se toman en consideracin muchos parmetros el resultado ser la

formacin de muchos bloques. En caso extremo cada pozo representa un bloque separado lo que

reduce el mtodo de bloques geolgico al mtodo de los polgonos.

Este mtodo se reduce al anteriormente descrito si se delimita un solo bloque que abarque todo el

yacimiento. La metodologa de clculo dentro de cada bloque es exactamente igual al mtodo de

media aritmtica. Las reservas totales del yacimiento se obtienen de la sumatoria de las reservas de

los bloques individuales.

El mtodo, que se caracteriza por su sencillez en el contorneo y el clculo, puede ser aplicado

prcticamente para cuerpos minerales de cualquier morfologa, explorados segn una red regular o

irregular y cualquiera que sean las condiciones de yacencia.

El problema fundamental de esta tcnica radica en que durante el desarrollo y explotacin del

yacimiento, es necesario reajustar todos los bloques para que se acomoden al mtodo de

explotacin.

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2.4.3 Mtodo de los bloques de explotacin

Este mtodo es tambin una variante del mtodo de la media aritmtica y se desarroll

esencialmente para los yacimientos filoneanos, los cuales son divididos en bloques por los laboreos

de preparacin para la explotacin.

Segn este mtodo, especfico de la minera subterrnea, las reservas del yacimiento se calculan

por la acumulacin de las reservas parciales obtenidas en bloques de explotacin individuales. Los

bloques de clculo son porciones del depsito delimitadas por 2, 3 y 4 lados por excavaciones

mineras de exploracin y desarrollo (contrapozos, corta vetas, galeras, trincheras etc.).

La forma real del cuerpo dentro del bloque se reemplaza con un paralelepipedo cuya altura es igual

a la potencia media del cuerpo mineral en el bloque.

El clculo se realiza en el plano o en la proyeccin vertical longitudinal, sobre los cuales se

proyectan las excavaciones mineras con los resultados de los anlisis y los espesores particulares.

Para el clculo de la potencia y el contenido medio dentro de cada bloque, primeramente se

determinan los valores medios en cada excavacin y posteriormente se calcula el valor medio del

bloque a travs de la media aritmtica si la longitud de la excavaciones son aproximadamente

iguales, en caso contrario se pondera por la longitud o rea de influencia de cada laboreo.

La ventaja del mtodo radica en la sencillez del contorneo y la posibilidad de usar los resultados

directamente en la proyeccin y planificacin de la extraccin del mineral til. Su debilidad principal

radica en la divisin formal del cuerpo en bloques heterogneos por la potencia y calidad.

2.4.4 Mtodo de los polgonos o regiones prximas

El mtodo se emplea para el clculo de reservas de capas horizontales o subhorizontales explorados

por pozos irregularmente distribuidos.

Si se calculan las reservas de un depsito segn este mtodo la morfologa compleja del yacimiento

se reemplaza por un sistema de prismas polidricos, cuyas bases lo constituyen los polgonos o

zonas de influencia y su altura es igual al espesor del cuerpo revelado por el pozo que se ubica en

el centro del polgono.

El mtodo se reduce a la separacin de las zonas de influencia de cada pozo o laboreo que

intercepta el cuerpo mineral. Para la delimitacin de las zonas de influencia es necesario realizar las

siguientes construcciones:

Se procede a unir mediante lneas rectas los pozos de perforacin contiguos posteriormente se

determina la mediatriz de cada recta y la interseccin de las mismas definen la zona de influencia.

Este procedimiento, que se conoce como divisin de Dirichlet o poligonos de Voronoi (Thiesen),

genera un sistema nico de prismas polidricos en el cual los polgonos contiguos comparten una

arista comn (Fig. 2.5). El empleo de este procedimiento permite obtener siempre el mismo mosaico

de polgonos.

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Figura 2.5 Estimacin de reservas por el mtodo de los polgonos. a) Parte de un plano de clculo

indicando la forma en que se construyen los polgonos a partir de un pozo 1)Pozo positivo 2)Pozo

negativo 3)limite de los polgonos de clculo 4)Contorno interno 5)contorno externo (Kreiter, 1968)

El volumen del prisma se determina como el producto del rea del polgono por su altura. Otros

parmetros del clculo se obtienen para cada prisma directamente del pozo central. El volumen total

del yacimiento es la suma de los volmenes de cada prismas.

Este mtodo puede ser utilizado para estimaciones preliminares de recursos, pues los clculos son

tan simples que pueden ser hechos rpidamente incluso en el campo, otra ventaja importante del

mtodo es su reproducibilidad pues si se sigue el mismo procedimiento dos especialistas pueden

llegar al mismo resultado.

El mtodo de los polgonos posee muchas desventajas entre las que podemos mencionar:

Cuando la red de exploracin es densificada, hay que rehacer nuevamente la construccin de los

polgonos.

El sistema de los prismas no refleja correctamente la forma natural del yacimiento.

Los resultados no son satisfactorios principalmente cuando los valores observados son valores

extremos lo cual provoca que los errores de extensin del pozo al polgono sean muy groseros.

Este error de estimacin disminuye en la medida que aumenta la densidad de la red de exploracin

Independientemente de las desventajas obvias que posee el mtodo, las cuales estn muy

vinculadas con su sencillez y simplicidad, esta tcnica de estimacin ha soportado el paso del tiempo

y aparece implementado en la mayora de los softwares modernos de modelacin gelogo minera.

2.4.5 Mtodo de las isolneas

La estimacin de recursos por el mtodo de las isolneas presupone que los valores de la variable

de inters varan gradual y continuamente entre las intersecciones de exploracin

Durante la estimacin de las reservas de un yacimiento por este mtodo, la forma de este se

sustituye por un cuerpo de volumen igual al cuerpo natural, pero delimitado en su base por un plano

recto (fig2.6). En este mtodo se comienza con el trazado de los mapas de isolneas de las variables

de inters (espesor, ley y masa volumtrica o reservas lineales). Las isolneas entre los laboreos de

exploracin se construyen empleando el mtodo de triangulacin con interpolacin lineal.

Figura 2.6 Esquema de estimacin de recursos empleando el mtodo de las isolneas. Plano de

isopacas con malla superpuesta y algunos pozos de exploracin a)Forma transformada del cuerpo

mineral en un perfil geolgico b)Forma real del cuerpo; S rea elemental de la celda con altura 2.9

m y volumen elemental V=100*2.9=290 m3,Sirea dentro de la isolnea, h - equidistancia ente

isolneas, hx altura o profundidad de las cpulas

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El volumen del cuerpo representado por las isolneas de espesor (isopacas) se puede calcular por el

mtodo de la red milimtrica.

En esta variante es necesario trazar los mapas de isovalores del espesor, ley de los componentes

tiles y masa volumtrica. Posteriormente se superpone una malla o matriz de bloques, cuyo tamao

est en correspondencia con la escala de los trabajos y la densidad de la red de exploracin. La

matriz divide toda el rea del yacimiento en pequeos bloques cuadrados. Posteriormente a partir del

mapa de isopacas se interpola el valor de la potencia en el centro de cada bloque lo cual permite

determinar el volumen de cada celda elemental. Por la adicin de estos volmenes elementales (V)

se determina el volumen total del yacimiento. Si se considera necesario para mejorar la precisin en

los bloques limtrofes, se puede estimar la proporcin del bloque que se localiza dentro de los

contornos del yacimiento.

V=S*mi

Donde V volumen elemental de la celda o bloque

mi espesor del yacimiento en el centro del rea parcial, se determina por interpolacin

s rea de la celda (valor constante)

El volumen total del cuerpo se calcula:

n

i

n

i

n

i

miSmiSVV1 1 1

*

De esta expresin queda claro que el volumen de un yacimiento se determina como el producto del

rea elemental del bloque con la suma de los espesores parciales que se determinan por

interpolacin lineal a partir de las isolneas.

El clculo de las reservas de menas del yacimiento es exactamente igual si la masa volumtrica es

variable se construye el mapa de isovalores de este parmetro y a partir de aqu se interpola el valor

d en cada celda.

dimiSdimiSQQn

i

n

i

n

i

***1 1 1

Si d es constante entonces la formula queda de la siguiente forma

n

i

n

i

midSQQ1 1

*

De forma anloga se estima la cantidad de metal

CimidSCidimiSPPn

i

n

i

n

i

*****1 1 1

Esta variante del mtodo de isolneas es extremadamente importante pues contienen en esencia la

idea fundamental sobre la que descansan los mtodos modernos asistidos por computadoras. En

ellos tambin se subdivide o discretiza el yacimiento en pequeos bloques y posteriormente se

estima en cada celda el valor de la variable de inters, con la nica diferencia que en los mtodos

actuales la interpolacin se basa en mtodos de estimacin espacial (geoestadsticos y

geomatemticos). La comprensin de esta variante es fundamental para poder entender los mtodos

que sern discutidos en los prximos captulos.

En resumen se puede decir que una de las ventajas del mtodo de isolneas es su claridad pues las

curvas de isovalores brindan una idea clara sobre la constitucin del yacimiento y el comportamiento

de los espesores y contenidos del componente til. Para trazar las isopacas no es necesario emplear

espesores reales sino que se puede usar la componente vertical u horizontal de la potencia, todo

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depende del plano en el que se proyecte el cuerpo. El mtodo permite realizar estimaciones locales

(bloque a bloque) lo cual facilita la utilizacin de los resultados para fines de planificacin minera.

Segn la literatura la principal desventaja del mtodo radica en la complicacin de las

construcciones, la cual ha sido superada con la introduccin de los ordenadores y el desarrollo de los

mtodos geoestadsticos. El principal problema del mtodo est en la necesidad de contar con un

grado de exploracin alto pues la construccin de las isolneas sobre la base de una red de

exploracin poco densa no es confiable.

2.4.6 Mtodos de los perfiles

El mtodo de estimacin mediante cortes o perfiles se puede usar si el yacimiento fue explorado en

una red regular que permite la construccin de cortes geolgicos. Los cortes geolgicos de un

yacimiento, segn su orientacin, pueden ser horizontales, verticales o perfiles no paralelos. La

distancia ente los cortes particulares no es constante y corresponde a la distancia entre las lneas de

exploracin en el caso de perfiles verticales o la altura entre niveles de una mina en el caso de cortes

horizontales.

Figura 2.7 Clculo de recursos usando el mtodo de perfiles paralelos. Para simplificar el esquema

solo se traz el contorno externo. 1-Pozos positivos y negativos 2-nmero de los perfiles geolgicos

3-nmero de los bloques de clculo 4-intercalacin de roca estril, S - rea del cuerpo en los perfiles

L- distancia entre los perfiles

La sucesin de clculo en este caso es la siguiente.

Contornear el cuerpo mineral (contorno interno y externo) en el plano.

Se dibujan los perfiles a una escala dada, incluyendo en los mismos los resultados del contorneo

(Fig. 2.7).

Se calculan las reas en los perfiles por su semejanza con figuras geomtricas sencillas

Se calculan los volmenes entre perfiles utilizando las siguientes frmulas:

Cuando la diferencia entre las reas calculadas no supera el 40 % se utiliza la frmula del trapezoide

Vi-ii = (S1+S2)/2 x L

Si y Sii reas de los perfiles contiguos

L distancia entre perfiles

Si la diferencia es mayor del 40 % se utiliza la frmula del cono truncado

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Vi-ii = 3

2*12 SSSSi

x L

El clculo del volumen en los flancos se realiza por las frmulas de la cua o el cono en dependencia

de la forma aproximada del bloque en los extremos.

V cua =1/ 2 S*L

Vcono=1/3Sx L

Estimacin de los valores promedios de los parmetros para cada bloque (ley del componente

til)

Estimacin de la ley media de cada perfil limtrofe a partir de la media aritmtica o media ponderada

por la potencia.

Ci = (C1*m1+C2*m2+ +Cnmn)/ (m1+ m2+ +mn) (perfil I)

Cii= (C1*m1+C2*m2+ +Cnmn)/ (m1+ m2+ +mn) (perfil II)

Posteriormente se calcula el valor medio del bloque ponderando por el rea de cada perfil.

Ci-ii = (Ci Si +CiiSii)/(Si+Sii)

Se calcula el valor promedio de la masa volumtrica para cada bloque usando el mismo

procedimiento

Clculo de las reservas de menas y del componente til en cada bloque

Qi-ii = Vi-ii*di-ii

Pi-ii = Qi-ii*Ci-ii

Clculo de las reservas totales del yacimiento por la sumatoria de las reservas de los bloques

individuales

Qt = Qi-ii + Q ii-iii + + Qn-1,n

Pt = Pi-ii + P ii-iii + + Pn-1,n

El mtodo de las secciones en todas sus variantes permite tener en cuenta de manera ms completa

las particularidades de la constitucin geolgica del yacimiento, la morfologa y las condiciones de

yacencia de los cuerpos minerales (Lepin y Ariosa, 1986). El mtodo posee desventajas importantes.

En primer lugar se basa en la interpolacin rectilnea de los datos de exploracin entre las secciones

contiguas y por eso es inaplicable si la estructura tectnica del objeto es compleja. Adems si

distancias entre los perfiles son grandes se puede incurrir en errores groseros en la determinacin de

los volmenes. Por este motivo, no se recomienda este mtodo durante los estadios iniciales del

estudio geolgico del yacimiento, especialmente si se supone una constitucin geolgica compleja.

En segundo lugar, al calcular las reservas de mineral til mediante este mtodo no se utilizan los

datos de exploracin obtenidos en los puntos dentro del bloque, sino solo los ubicados en las

secciones principales de exploracin.

3 Anlisis exploratorio de datos

3.1 Compositacin o regularizacin

Generalmente los intervalos de muestreo en los pozos de exploracin no coinciden con los intervalos

de trabajo en la fase de estimacin de recursos. Los intervalos de muestreo son siempre menores

pues se busca revelar la variabilidad espacial de las variables que se estudian. El clculo de los

compsitos no es ms que un procedimiento mediante el cual las muestras de los anlisis se

combinan en intervalos regulares (igual longitud), que no coinciden con el tamao inicial de las

muestras. La ley del nuevo intervalo se calcula usando la media ponderada por la longitud de los

testigos que contribuyen a cada compsito y la masa volumtrica en caso de ser variable. El objetivo

de la regularizacin segn Barnes, 1980 es obtener muestras representativas de una unidad

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litolgica o de mineralizacin particular las cuales pueden ser usadas, a travs de una funcin de

extensin, para estimar la ley de un volumen mucho mayor de la misma unidad.

Entre las principales razones y beneficios de la regularizacin tenemos:

El anlisis geoestadstico exige muestras de igual longitud (similar soporte).

La compositacin reduce la cantidad de datos y por consiguiente el tiempo de clculo o

procesamiento.

Se producen datos homogneos y de ms fcil interpretacin.

Se reduce las variaciones errticas (alto efecto pepita) producto de muestras con valores

extremadamente altos.

El proceso incorpora la dilucin como la provocada por la explotacin de banco con altura constante

en la minera a cielo abierto.

Existen muchos tipos de yacimientos minerales cada uno de los cuales requiere de un tratamiento

especfico de los datos de las muestras de manera que se logren los mejores intervalos de

compositacin para la evaluacin del los mismos (Barnes, 1980). Bsicamente existen 3 tipos

principales de compsitos y se usan en dependencia de la naturaleza de la mineralizacin y el

mtodo de explotacin:

Compsito de Banco(bench composite): Las muestras se regularizan a intervalos que coinciden con

la altura de los bancos o una fraccin de esta. Se emplea para modelar los recursos de yacimientos

grandes, diseminados de baja ley que se explotan con minera a cielo abierto (Yacimientos de Cobre

porfdico).

Compsito de Pozo (down hole composite): Las muestras se combinan a intervalos regulares

comenzando desde la boca del pozo.

Compsito Geolgico (geological composite): Las muestras se combinan a intervalos regulares pero

respetando los contactos geolgicos entre las distintas unidades. Este mtodo se emplea para

prevenir la dilucin del compsito en el contacto estril mineral y donde se logra mayor control sobre

el proceso de regularizacin.

El empleo de compsito de banco o de pozo en estos casos provoca una distorsin de la distribucin

de la ley ya que se puede adicionar mineral de baja ley a la zona mineral o mineral de alta ley al

estril.

Para escoger la longitud de regularizacin se emplean las siguientes reglas empricas:

El tamao del compsito se selecciona entre la longitud media de las muestras y el tamao del

banco

Para el caso de los cuerpos en los que su anlisis se hace de forma bidimensional, es necesario

computar por pozos una media ponderada de los valores de todas las variables de inters que

abarque todas las muestras positivas del intervalo mineralizado.

No se debe regularizar muestras grandes en intervalos ms pequeos pues se introduce una

falsa idea de continuidad espacial (fig. 3.1).

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Figura 3.1 Impacto provocado al regularizar muestras grandes en intervalos pequeos.

3.2 Anlisis exploratorio de datos.

Antes de proceder con la estimacin de reservas propiamente dicha se debe, siempre que sea

posible, realizar un anlisis estadstico de los datos disponibles o los generados a partir del clculo

de los compsitos con el objetivo de caracterizar el comportamiento estadstico de las distintas

variables en el depsito y en las unidades geolgicas (dominios) que lo integran.

La organizacin de los datos cuantitativos y su anlisis pueden consumir el 50 % de tiempo

necesario para realizar la estimacin de reservas. El anlisis exploratorio de datos est dirigido a

resolver las siguientes cuestiones:

Identificar y eliminar los posibles errores

Caracterizacin estadsticas de las variables de inters

Documentar y entender las relaciones entre las variables

Revelar y caracterizar la continuidad espacial de las variables (potencia y contenido del

componente til)

Identificar y definir los dominios geolgicos que requieren un tratamiento independiente durante

la estimacin de recursos.

Identificar y caracterizar las muestras con valores extremos (outliers)

El clculo de la estadstica bsica y el estudio de la distribucin de frecuencias de los parmetros

constituyen las principales herramientas que posibilitan el anlisis estadstico de los datos. Los

resultados de esta etapa complementan el modelo geolgico y se emplean en la modelacin de

recursos.

La estadstica bsica se calcula para las muestras originales y compositadas en cada dominio

geolgico, los cuales incluyen distintos tipos litolgicos, tipos de alteracin hidrotermal, dominios

estructurales y zonas o sectores en las que se reconoce (o se sospecha) que la distribucin

estadstica de la variable es diferente.

3.2.1 Estadstica descriptiva

El anlisis estadstico comienza con el estudio de la distribucin de frecuencia la cual indica como se

distribuyen las muestras en intervalos regulares de los posibles valores. A partir de aqu se

construyen los histogramas y grficos de frecuencia cumulativa. El estudio del histograma permite

extraer conclusiones sobre el tipo de distribucin que siguen los datos, la presencia de valores

huracanados y la posible existencia de poblaciones complejas (bimodalidad).

22%

22%

68% 68%

10%

10%

10%

10%

10%

10%

10%

67% 67%

33%

33%

22%

10%

33%

Pozos A- Muestras originales Muestras compsitas

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Al histograma calculado se le ajusta un modelo terico de distribucin. En la prctica de la estimacin

de recursos se emplean mayoritariamente el modelo de distribucin normal o gaussiana y el modelo

lognormal de 2 y tres parmetros.

Si el histograma del parmetro estudiado es simtrico en forma de campana y la distribucin de

frecuencia cumulativa se plotea como una lnea recta en el papel probabilstico normal entonces los

datos se ajustan al modelo de distribucin gaussiano. Este tipo de modelo se observa poco en los

yacimientos minerales excepto en aquellos de origen sedimentario.

La funcin de densidad de probabilidades que describe matemticamente esta distribucin esta

dada por la siguiente ecuacin

Donde

f(x)- funcin de densidad de probabilidad

- media

- desviacin estndar

El grfico de la funcin de densidad de probabilidad, conocida como curva normal, se muestra en la

figura 3.2.

Figura 3.2 Grfico de la distribucin normal

Una propiedad muy til de la distribucin normal es que el rea bajo la curva en un intervalo

especfico puede ser fcilmente calculada. Por ejemplo, el 68 % de los valores de la variable caen en

el intervalo , el 95% en el intervalo 2 y el 99% en el intervalo 3.

Si el histograma del parmetro estudiado es asimtrico, formando una cola hacia la derecha y la

frecuencia cumulativa se grafica como una lnea recta en el papel probabilstico lognormal entonces

los datos se ajustan al modelo de distribucin lognormal. Cuando los datos poseen ests

caractersticas la variable original se transforma calculando el logaritmo natural de sus valores. El

histograma de la variable transformada se ajusta al modelo gaussiano.

Este tipo de distribucin se encuentra en muchos problemas de evaluacin de reservas, donde existe

una gran cantidad de valores bajos y unos pocos valores altos que definen el yacimiento.

La funcin de densidad de probabilidades que describe matemticamente la distribucin lognormal

esta dada por la siguiente ecuacin.

e)/)x((/)x(f

2

21

2

1

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2)/)1/2((x

2

1)(

ex

xf

Donde - media de los logaritmos de x

- desviacin estndar de los logaritmos de x

Los grficos de probabilidad o frecuencia acumulada (normal o lognormal) son tambin de mucha

utilidad para este anlisis. En primer lugar permite corroborar el modelo de distribucin al que se

ajusta la variable y tambin calcular los principales parmetros estadsticos que describen la

distribucin. En muchos casos los grficos obtenidos al representar la frecuencia acumulada no

constituyen lneas rectas sino mltiples segmentos y curvas con sus respectivos puntos de inflexin.

Estos puntos de cambios de pendiente se emplean para separar poblaciones complejas, siempre y

cuando las subpoblaciones posean coherencia espacial y una lgica explicacin geolgica..

Una desviacin tpica de los grficos de probabilidad es una curva hacia abajo en el extremo inferior.

Esta curva representa un exceso de muestras con leyes bajas comparado con lo que se debe

esperar si la distribucin fuese lognormal. En los depsitos de cobre porfdico, por ejemplo, esto se

explica por intrusiones tardas dbilmente mineralizadas o diques estriles posteriores a la

mineralizacin. Los datos deben ser examinados para determinar la fuente de las muestras de bajo

contenido y valorar si esta poblacin ha sido o puede ser cartografiada y estimada de forma

independiente. Este mismo comportamiento del grfico de probabilidad puede originarse al

representar una distribucin normal en un papel probabilstico lognormal.

Otra desviacin muy comn de la lnea recta en el grfico de probabilidades es una curva de mayor

pendiente en el extremo superior. Esto representa un exceso de muestras con alto contenido lo cual

puede ser causado por la superposicin de 2 poblaciones. Un ejemplo de esto puede ser vetas de

alta ley que cortan mineralizacin diseminada de baja ley. Otras causas de muestras con valores

muy altos pueden ser los pequeos sectores dentro del cuerpo altamente favorables para hospedar

mineralizacin producto de su alta permeabilidad, propiedades qumicas favorables, enriquecimiento

secundario o removilizacin metamrfica. Como la mineralizacin de alta ley generalmente posee

menor continuidad que la de baja ley el origen de estas zonas debe ser identificado y su estimacin

realizada de forma independiente.

Una vez obtenidos los histogramas y grficos de probabilidades se calculan algunos parmetros de

la estadstica descriptiva que caracterizan numricamente la distribucin estadstica.

Los principales estadgrafos que deben ser calculados para las distintas variables son:

Nmeros de datos (muestras o compsitos)

Medidas de tendencia central (media, moda, mediana)

Medidas de dispersin (varianza, desviacin estndar, rango y coeficiente de variacin)

Medidas de forma (asimetra y kurtosis)

3.2.1.1 Medidas de tendencia central

La media aritmtica es el promedio de los n valores medidos. Posee el inconveniente de que es muy

sensible a la presencia de valores extremos en los datos. La media o esperanza matemtica se

calcula por la frmula siguiente

La moda es valor ms probable o frecuente de la variable estudiada

La mediana es el punto central de los valores observados si se organizan en orden ascendente. La

mitad de los valores caen por debajo de la mediana y la otra mitad por encima.

n

i

Xin/X 1

2xx

x

M

12

n

2

n

2

1n

Si N es impar

Si N es par

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Cuando la variable se ajusta al modelo normal la moda, la mediana y la media coinciden, si la

distribucin es lognormal, la moda es mayor que la mediana y esta a su vez es mayor que la media.

Cuando la distribucin es asimtrica los valores medios de la ley u otro parmetro estimados a partir

de una simple media aritmtica estn sesgados y no se confirma posteriormente durante la

produccin. Si los datos se distribuyen lognormalmente, la poblacin se puede definir como una

poblacin lognormal de dos parmetros (media y la varianza de la poblacin logartmica), entonces el

valor medio de este tipo de distribucin se obtiene por la frmula siguiente:

= e[+ var/2]

Donde:

= Valor medio estimado de la variable

= Media de la distribucin de los logaritmos de la variable

var = varianza de la distribucin de los logaritmos de variable.

Los valores y var pueden ser calculados por las frmulas anteriormente descritas o estimados a

partir del grfico de probabilidad (fig. 3.5). La media de los logaritmos coincide con el percentil 50

mientras que la desviacin estndar es SD =0.5(X16-X84).

Puede ocurrir que al representar los datos logartmicos en un diagrama de probabilidad, estos no se

ajusten exactamente a una recta, mostrando una cierta curvatura en el comportamiento, lo que es

indicativo de la presencia de una poblacin lognormal de tres parmetros (Fig. 3.5). Este tercer

parmetro, denominado constante aditiva (), se puede calcular como:

= [ x50 ( x75 . x25 ) ] / (x25 + x75 2.x50)

donde x25, x50 y x75 los valores de los percentiles 25, 50 y 75.

Este valor se aade a la poblacin original de datos. A continuacin, se realiza la transformacin

logartmica obtenindose una nueva poblacin ln(xi + ), la cual si se ajusta a una distribucin

lognormal. El valor de estimado por este mtodo es tentativo y puede ser modificado de modo que

se logre el mejor ajuste posible.

Figura 3.5 Grficos de probabilidad de una distribucin lognormal a)poblacin lognormal de 2

parmetros b) poblacin lognormal de 3 parmetros.

Para calcular, en este caso, la media del parmetro se aplica el procedimiento descrito para la

poblacin de dos parmetros, sustrayndose el valor de la constante aditiva al resultado final.

3.2.1.2 Medidas de dispersin

Varianza: La varianza de los datos, se calcula de acuerdo a:

a) b)

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La varianza es la desviacin cuadrtica promedio de los datos respecto a su valor central, esta

medida es sensitiva a valores extremos.

Desviacin estndar: La desviacin estndar se calcula como la raz cuadrada de la varianza. Esta

medida con frecuencia se prefiere en lugar de la varianza debido a que sus unidades son las mismas

que la variable que se estudia.

Rango: Es la diferencia entre el mximo y el mnimo.

3.2.1.3 Medidas de forma

Coeficiente de simetra: El descriptor ms utilizado para medir la forma de la distribucin es el

coeficiente de asimetra. Debido a la manera en que se calcula este coeficiente los valores del mismo

pueden estar afectados por la presencia de valores extremos en los datos. Un slo valor extremo

puede influenciar notablemente este coeficiente pues la diferencia entre cada valor y la media es

elevado al cubo. La distribucin normal estndar es perfectamente simtrica, Sk = 0. Esta medida se

calcula como:

Sk 0 Distribucin asimtrica negativa

Sk = 0 Distribucin simtrica

Sk 0 Distribucin asimtrica positiva

Coeficiente de variacin: Este coeficiente se usa como una alternativa al coeficiente de asimetra.

Se emplea, principalmente, para distribuciones en las cuales todos sus valores son positivos y cuya

asimetra es tambin positiva. Aunque puede ser utilizado para distribuciones con asimetra negativa

en ellas su importancia como ndice de forma decrece considerablemente. Este coeficiente es una

medida de dispersin adimensional, y no est definido para el caso en que la media es cero. Se

calcula como la desviacin estndar dividida por la media de los datos.

Un coeficiente de variacin mayor que uno indica la presencia de algunos valores errticos en la

muestra los cuales pueden tener una gran influencia en la estimacin.

Segn Finney (1941) una manera prctica de saber si los datos se ajustan a una distribucin normal

o lognormal es calcular el coeficiente de variacin y verificar si este es mayor o menor que 1.2; si es

mayor que este valor (gran dispersin de los valores) entonces la distribucin es lognormal, en caso

contrario el modelo es normal.

Noble, 2000 propone las siguientes reglas para interpretar el coeficiente de variacin.

Coeficiente de variacin Interpretacin

0-25 %

Distribucin simple y simtrica de la ley. La

estimacin de recursos es fcil y cualquier mtodo

brinda buenos resultados.

25-100%

Distribucin asimtrica. Dificultad moderada para la

estimacin de recursos. La distribucin es tpicamente

lognormal

100 - 200 % Distribucin marcadamente asimtrica con un amplio

2n

1i

xi

2 mxn

1

3

n

1i

3

i

k

mxn

1

S

mCv

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rango de valores. Dificultad para la estimacin local de

los recursos.

200 %

Distribucin asimtrica y muy errtica o presencia de

poblaciones complejas. La estimacin local de la ley

es difcil o imposible

Kurtosis: Es una medida de cuan afilado es el pico de la distribucin de los datos.

Tradicionalmente el valor de este coeficiente se compara con cero, el cual es el valor para el caso de

una distribucin normal. Un valor mayor que cero indica una distribucin ms picuda que la normal y

un valor menor que cero refleja una distribucin ms achatada que la normal. Sin un nmero de

muestras grandes, el uso de este coeficiente es de dudoso valor.

Si el nmero de muestras es mayor que 25 entonces es posible hacer comparaciones de la media y

el coeficiente de variacin de las variables de inters entre los distintos dominios geolgicos

presentes en el yacimiento.

Noble, 2000 propone las siguientes reglas generales para evaluar las diferencias entre las leyes

medias:

Diferencia de la ley media entre

dominios geolgicos (%)

Interpretacin

0-25 %

La diferencia es mnima y no es necesario

diferenciar las poblaciones en el modelo de

recursos

25-100%

Las poblaciones requieren ser diferenciadas

en el modelo de recursos si estn separadas

por discontinuidades(fallas etc.) o el

variograma en ambos dominios es diferente

Mayor de 100 %

Las poblaciones tienen que ser

necesariamente separadas. Diferencias

mayores de 100 % pueden indicar presencia

de poblaciones estriles o de alta ley

4 Mtodos de estimacin de reservas asistido por computadoras

Los mtodos de estimacin de recursos asistido por computadoras se han desarrollado ampliamente

en los ltimos aos debido al desarrollo vertiginoso que han tenido los ordenadores y los softwares

de aplicacin. Los primeros intentos estuvieron dirigidos a informatizar los mtodos clsicos o

geomtricos (mtodo de los polgonos y de los perfiles) posteriormente con el desarrollo de la

geoestadstica aparecieron mtodos ms potentes y con una filosofa totalmente diferente de trabajo.

Los mtodos asistido por computadoras permiten realizar estimaciones en bloques ms pequeos

(estimacin bloque a bloque, que idealmente deben ser del tamao de la unidad de seleccin minera)

definidos en funcin del objetivo de la estimacin y la densidad de la red de exploracin. En esto

radica precisamente la diferencia con los mtodos clsicos o geomtricos los cuales, como se

conoce, definen el tamao del bloque sobre la base de conceptos de rea o volumen de influencia

que comnmente son determinados empricamente, o tambin de acuerdo con la disposicin de las

intersecciones de exploracin. Estos bloques as definidos son de grandes dimensiones y se evalan

generalizando la variable estudiada a partir de la media aritmtica o la media ponderada segn sea el

caso.

3mxn

1K

4n

1i

xi4

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Los mtodos computarizados para la estimacin de recursos se basan en procedimientos

matemticos de interpolacin local y solamente emplean los datos de los pozos vecinos al bloque

para realizar la estimacin de la variable estudiada. Un esquema simplificado de la estimacin de

recursos asistida por computadora se muestra en la figura 4.1. El yacimiento o la zona mineral

definido por la geologa se discretiza en una matriz de bloques bidimensional o tridimensional segn

el caso y cada bloque se estima utilizando los datos localizados dentro del rea o volumen de

bsqueda.

Los mtodos de ventanas mviles (inverso de la distancia y kriging) son las tcnicas ms empleadas

en la estimacin de recursos asistida por computadora.

El procedimiento general de los mtodos computarizados es el siguiente.

1. Confeccin de la base de datos con toda la informacin relevante de la exploracin del

yacimiento

2. Anlisis exploratorio de datos y variografa

3. Creacin del modelo geolgico

4. Modelo de recurso - Divisin del yacimiento mineral en una matriz de bloques regulares modelo

de bloque o capa.

5. Estimacin en cada bloque de las variables de inters (contenido, masa volumtrica etc.)

empleando una tcnica de interpolacin espacial (funciones de extensin). El valor estimado de

la ley en cada celda se calcula por la siguiente frmula:

Z*(x) = i=1,n Wi Z (xi) i= 1,2,3,.......n

Donde: Wi es el peso o coeficiente de ponderacin asociada a cada muestra y su valor depende del

mtodo de estimacin espacial emplead

emilio estevez cruz_apuntes sobre estimacion de recursos y reservas

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