ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR _ Marta Bachs Fornt Pàgina 1

ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR

DIFERENTS FORMES D’ESCRIURE UN NOMBRE COMPLEX

Sigui z un nombre complex

z a bi és la forma binòmica de z on a i b

a s’anomena la part real del nombre

b s’anomena la part imaginària del nombre 2i 1 i 1

Nota: si a 0 el nombre és imaginari pur

si b 0 el nombre és real

z r

és la forma polar de z amb r 0 i 0º 360º

r s’anomena el mòdul del nombre

s’anomena l’argument del nombre

Pas de forma binòmica a polar :

Representació del nombre complex:

2 2r a b

barctg

a

ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR _ Marta Bachs Fornt Pàgina 2

Nota: No té sentit posar el nombre complex 0 en forma polar

z r(cos isin ) és la forma trigonomètrica de z

r i són el mòdul i argument de z

Pas de forma polar a binòmica :

EXEMPLES :

Troba la forma polar i la representació dels nombres complexos :

11 z i 2 2 2

45º

12

1

11 45º

1

a

a bb

arctg ar g

r

ct

23 2 z i 2 2 13

146,31

313

2

20,6 146, º31º

3

aa b

b

arctg g

r

arct

a rcos

b rsin

z1 està en el primer quadrant ( observa que

hi ha dos angles que compleixen tg 1

que són 45º i 225º)

z2 està en el segon quadrant ( observa que

hi ha dos angles que compleixen 2

tg3

que són 146,31o i 326,31o )

ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR _ Marta Bachs Fornt Pàgina 3

38 6 z i 2 28

1006

6

100 10

323,3

323,13º4

13º8

aa b

b

arct

r

g arctg

44 z 2 2 16 4

180

416

0

00 180º

4º

aa b

b

arctg a

r

rctg

52z i 2 2 4 2

04

2

2

0

aa b

b

arctg p

r

erò2

90º0

z3 està en el quart quadrant ( observa que hi

ha dos angles que compleixen 3

tg4

que són 143,13o i 323,13o )

Z4 està damunt l’eix d’abscisses en la part

negativa ( observa que hi ha dos angles que

compleixen tg 0 que són 0 o i 180o )

Z5 està damunt l’eix d’ordenades en la part

positiva ( observa que hi ha dos angles que

no tenen tangent que són 90 o i 270o )

ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR _ Marta Bachs Fornt Pàgina 4

63 4 z i 2 23

254

4 4233,13º

3

5

233,13º3

aa b

b

arctg a

r

rctg

7 z i 2 20

1

0

111

ra

a bb

arctg però 21

070º

80z No hi ha forma polar

Z6 està en el tercer quadrant ( observa que

hi ha dos angles que compleixen 4

tg3

que són 233,13o i 53,13o )

Z7 està damunt l’eix d’ordenades en la part

negativa ( observa que hi ha dos angles que

no tenen tangent que són 90 o i 270o )

ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR _ Marta Bachs Fornt Pàgina 5

92 7 z i

2 22 22

2 7 2 7 97

7241,8

3

241,º 7º72

8

ra

a bb

arctg

Escriu en forma binòmica els nombres

1 2 3 4 5 660 210 180 270 315 185z 3 , z 4 , z 5 , z 4 , z 1 , z 2

01 603 z

1 33·(cos60º sin60º) 3·

2

3 3

2 22

3

i i i

02 2104 z

3 14·(cos210º sin210º ) 4·( cos30º sin30º ) 4·

2 2

4 3 42

23

22

i i i

i i

03 1805 z 5 180 180 4 1 0 4·(cos º sin º) ·( · )i i

04 2702 z 22 270 270 2 0 1·(cos º sin º) ·( ·( ))i ii

Z9 està en el tercer quadrant ( observa que hi

ha dos angles que compleixen 7

tg2

que són 61,87o i 241,87o )

ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR _ Marta Bachs Fornt Pàgina 6

0 1 2 1' , , , ...

arg :

·360º0,1,2... 1

:

n nn

n

k

z r hi ha n arrels d índex n que anomenarem z z z z

Totes elles tenen per mòdul r i els seus uments són

kamb k n

nAixí doncs queda que les arrels n èsimes són

05 3151 z 1·(cos315º sin315º ) 1·(cos45º ·( sin 45º))

2 2·

22

2 2

22

i i

i i

06 1852 z 2 185 18 3 984 0 35 4 0 996 0 087 48·(cos º sin º) ·( , ,, ) ,i i i

OPERACIONS DELS COMPLEXOS EN FORMA POLAR

Siguin z i w dos nombres complexos que la seva expressió en forma polar és

z r i w r' , aleshores

· · ' ( · ') z w r r r r

: : ' ( : ') z w r r r r

·( ) ( ) n n nnz r r on n

0,1,2... 1·360º

nz r amb k nkkn

Nota: si representem les arrels n-èsimes d’un nombre z veurem

que estan formant un polígon regular de n costats centrat en

l’origen de coordenades i de radi n r

ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR _ Marta Bachs Fornt Pàgina 7

4 2 0 1 2 3, , i

EXEMPLES :

Donats els nombres complexos , efectua les operacions

que s’indiquen

· z w 130 125 30 125 55

102 5 25 ºº º º º· ( · )

: z w30 125 30 125

95 265

22 5

2

55 2

5º º º º

º º

: ( : )

5 z 5

5

30 5 30 1502 322º º º

·

5 3· z w 5 3

5 3

30 125 150 375 150 3755 30 3 125

52 655 1

2 5 2 5 32 125 32125

400 04 000

º º º º º º

º

º º

º

· ·· · · ·

5

· z w

5 5 5 5

30 125 30 125 155 775 55 15 55100002 5 25 10 10 10000 00º º º º º ººº·

· ( · )

4 z n’hi ha quatre que són z0 , z1 , z2 i z3 , totes elles amb el mateix mòdul

que val i els seus arguments són on

0

1

2

3

30º 0·360º7,5º

430º 1·360º

97,5º4

30º 2·360º187,5º

430º 3·360º

277,5º4

Així tenim doncs les quatre arrels quartes de z que són : 47 50

497 51

4187 52

4277 53

2

2

2

2

, º

, º

, º

, º

z

z

z

z

º º30 125z 2 i w 5

ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR _ Marta Bachs Fornt Pàgina 8

5 32

Troba i representa les arrels cinquenes de z = -32

Cal trobar doncs . En primer lloc expressarem z en forma polar

32 z 2 22 32 0 1024

0

32

10 180 8º3

02

º

r

arctg arc

r

tg

Ara ja podem calcular les 5 arrels cinquenes de z i representar-les

5 180º 0·360º0 5

5 180º 1·360º1 5

5 180º 2·360º2 5

5 180

36º

108º

180

º 3·360º3 5

5 180º 4·360º4 5

º

252º

324º

z 32

z 32

z 32

z 32

2

2

32

2

z

2

2