elipse
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Q1 Q2
P1
P2Elipse
Se denomina elipse al conjunto de puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos, es una constante.
Siendo F1 y F2 focos de la elipse
P a la elipse PF PF a1 2 2
P(x;y)
B1
B2
F2 F1
RA2 A1
-x x
y
-y
O
Elementos:
Eje mayor : A A a1 2 2
Semieje mayor : A O OA a1 2
Eje menor : B B b1 2 2
Semieje menor : B O OB b1 2
Vértices : A a A a B b B b1 2 1 20 0 0 0( ; ); ( ; ); ( ; ); ( ; )
P(x;y)
B1
B2
F2 F1
RA2 A1
-x x
y
-y
O
Eje focal : F F c1 2 2Semieje focal : F O OF c1 2
Focos : F c F c1 20 0( ; ); ( ; ) a la elipse y satisface al condición :
F B B F a1 1 1 2 2 F B B F a b c a b a c1 1 1 2
2 2 2 2 2 2 B1
ab
cF1 F2
por relación pitagórica.
x
a
y
b
2
2
2
21 La ecuación
Se puede escribir b x a y a b2 2 2 2 2 2 0
caso particular de la ecuación general de 2º grado en x e y.
x
a
y
b
2
2
2
21 Ecuación
Canónica
Ecuación explícitax
a
y
b
2
2
2
21
despejamos y yb
aa x2 2
yb
xax -a
y -b
-x x
-y
y
L1
L2
F1F2
despejamos x : xa
bb y2 2
x
a
y
b
2
2
2
21
x -a
-x
yb
xa
y -b
x
-y
y
L1
L2
F1F2
Deducimos:
Propiedad 1: La elipse es simétrica respecto al origen y a los ejes coordenados.
Propiedad 2: La elipse es interior al rectángulo limitado por las rectas :
x a y b yb
xax -a
y -b
-x x
-y
y
L1
L2
F1F2
Lado recto.: (Lr)Es el segmento perpendicular al eje coordenado, que pasando por el foco, une dos puntos de la elipse.
Lrb
a2 2
yb
xax -a
y -b
-x x
-y
y
L1
L2
F1F2
Excentricidad.
a
ce
c a e 1
; como
Si c = 0 e = 0 :
los focos coinciden y la curva es una circunferencia
PosicionesDada una elipse mediante su ecuación canónica, el eje mayor (eje focal) corresponde al eje coordenado de la variable que tiene mayor denominador.
eje mayor sobre el eje x : x
a
y
b
2
2
2
21
-4 -2.64 2.64 4
-3
3B1
B2
A1A2
F2 F1
y
x
Posiciones
eje mayor sobre el eje y : x
b
y
a
2
2
2
21
y
x
F1
F2
B2
B1
A2 A1
Ecuación de la elipse referida a un sistema de ejes paralelos
y´
x´
P
o´
x´
y´
x
y
x
o
O ;x
a
y
b
2
2
2
21
referido al sistema O´.
x x
y y
x
a
y
b
2
2
2
21
eje focal paralelo al eje x.
y
a
x
b
2
2
2
21
eje focal es paralelo al eje y
