elipse

Mate Locura http://matelocura.wordpress.com/ 1

ELIPSE

Julián Castaño-Juan Camilo Osorio-Juan Camilo Gómez


LA ELIPSE• LA ELIPSE

• La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados FOCOS es una constante.

• PF+PF’ = 2a

• Elementos

• Semieje mayor: a• Semieje menor: b• Semidistancia focal: c• Focos: F(0, c) , F(0, -c)• Vértices: A(a, 0), A’(-a, 0), • B(0, b), B’(0, -b)

X

Y

2a

2c

F A’

P(x, y)

A F’

B

B’

2b


RELACIÓN FUNDAMENTAL• RELACIÓN FUNDAMENTAL

• Por definición, la suma de distancias de cualquier punto a los focos F y F’ es 2a.

• PF+PF’ = 2.a• Tomamos el vértice superior B(0, b)

y tenemos que se nos forma un triángulo rectángulo.

• Por Pitágoras:

• Excentricidad

• Se define como la relación:• e = c / a• Como siempre c < a• 0 < e < 1 en una elipse

X

Y

2a

2c

F A’ A F’

B(0, b)

B’

aab

c

2 2 2a b c


ECUACIÓN REDUCIDA

X

Y

F A

F’

P(x, y)

B’

b

x

y

• Elevando todo al cuadrado:• x2+ 2xc+c2 + y2 = 4a2 + x2– 2xc+c2 + y2 – 4.a√(c2 – 2xc + x2+ y2)• xc – a2 = – a√(c2 – 2xc + x2+ y2)• x2c2 – 2xca2 + a4 = a2c2 – 2xca2 + x2a2+ y2a2 Como c2 = a2 – b2

• x2a2 – x2b2 + a4 = a4 – a2b2 + x2a2+ y2a2 • Quedando: x2b2 + y2a2 = a2b2

• ECUACIÓN REDUCIDA

• Se considera el origen de coordenadas O(0, 0) el centro geométrico de la elipse.

• Se aplica la definición, dándose cuenta de que cada distancia del punto P(x,y) a los focos es una hipotenusa de triángulos rectángulos:

• PF+PF’ = 2.a• √((x+c)2+ y2)) + √((c – x)2+ y2))=2.a• √((x+c)2+ y2)) = 2.a – √((c – x)2+ y2))


Ejercicios• Hallar la ecuación de la elipse cuyos datos conocidos son:

• 1º.- Vértices: A(5,0), A’(-5,0), B(0, 3) y B’(0, -3)• El centro de la elipse es C((5+(-5))/2, (3+(-3))/2) ,, C(0,0)• Eje mayor: 2.a = 10 ,, a =5 ,, Eje menor: 2b = 6 ,, b = 3• Ecuación: b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 9x2 + 25y2 = 225

• 2º.- Vértices: A(5,0), A’(-5,0),, Focos: F(3, 0) y F’(-3, 0)• El centro de la elipse es C((5+(-5))/2, 0) ,, C(0,0)• Semieje mayor: a = 5 ,, Distancia focal: 2c = 6 c =3 • Semieje menor: b = √ (52 – 32 ) = 4 • Ecuación: b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 16x2 + 25y2 = 400

• 3º.- Centro: C(0,0),, Focos: F(3, 0), F’(-3, 0) y P(4, 2’4)• Ecuación: b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 16.b2 + 5’76.a2 = a2.b2

• Relación: a2 = b2 + c2 a2 = b2 + 9• Resolviendo el sistema: b2 = 16 ,, b = 4 y a2 = 25 ,, a = 5


ECUACIÓN GENERAL

X

Y

F

F’

P(x, y)

• ECUACIÓN REDUCIDA• Teníamos: x2b2 + y2a2 = a2b2 • Dividiendo todo entre a2b2 • Queda: x2 y2 • --- + --- = 1• a2 b2

• ECUACIÓN GENERAL• Lo normal es que el centro de la elipse• no sea el origen de coordenadas:• Resultando: (x – k)2 (y – h)2 • --------- + ---------- = 1• a2 b2

• ECUACIÓN DESARROLLADA• Operando en la ecuación general:• x2b2 + y2a2 – 2kb2x – 2ha2y + (b2k2 + a2h2 – a2b2) = 0• Que es la ecuación general desarrollada.

O


Ejercicios• Hallar la ecuación de la elipse cuyos datos conocidos son:

• 4º.- Vértices: A(8,3), A’(-8,3), B(0, 7) y B’(0, -1)

• El centro de la elipse es C((8+(-8))/2, (7+(-1))/2) ,, C(0,3)• Eje mayor: 2.a = 16 ,, a =8 ,, Eje menor: 2b = 8 ,, b = 4• Ecuación: b2 x2 + a2 (y – 3)2 = a2 b2

16x2 + 64y2 – 384y + 576 – 1024 = 0 Simplificando entre 16 queda: x2 + 4y2 – 14y – 28 = 0

• 5º.- Vértices: A(17,2), A’(-9,2),, Distancia focal: 2c=10

• El centro de la elipse es C((17+(-9))/2, 2) ,, C(13,2)• Semieje mayor: a = (17 – (– 9))/2 = 26/2 = 13 • Semieje menor: b = √ (a2 – c2 ) = √ (132 – 52 ) = 12 • Ecuación: b2 (x – k)2 + a2 (y – h)2 = a2 b2 • 144 (x – 13)2 + 169 (y – 2)2 = 144.169 • 144x2 + 169y2 – 3744x – 676y + 676 = 0


Ejercicios• Hallar el centro, focos y semiejes de las elipses siguientes:• Ecuación general: b2x2 + a2 y2– 2b2kx – 2a2hy + b2k2 + a2h2 – a2b2 = 0

• 6º.- P: x2 + 9y2 – 8x – 36y + 28 = 0• Identificando términos, tenemos:• b2 = 1 b=1 ,, a2 = 9 a= 3• 2b2k = 8 8k = 8 k = 1 ,, 2a2h = 36 18h = 36 h = 2 • C(1, 2) ,, c =√(a2 – b2) = √8 = 2√2 ,, F(1+ 2√2 , 2) y F’(1 - 2√2, 2)• Comprobando: b2k2 + a2h2 – a2b2 = 28 1.1 + 9.4 – 9.1 = 28

• 7º.- P: 3x2 + 5y2 – y – 14’95 = 0 • Identificando términos, tenemos:• b2 = 3 b= √3 ,, a2 = 5 a= √5• 2b2k = 0 6k = 0 k = 0 ,, 2a2h = 1 10h = 1 h = 0,1 • C(0 , 0’1) ,, c =√(a2 – b2) = √2 ,, F(√2 , 0’1) y F’(- √2 , 0’1)• Comprobando: b2k2 + a2h2 – a2b2 = m 3.0 + 5.0’01 – 5.3 = – 14’95


Ejercicios• Hallar el centro, focos y semiejes de las elipses siguientes:• Ecuación general: b2x2 + a2 y2– 2b2kx – 2a2hy + b2k2 + a2h2 – a2b2 = 0

• 8º.- P: 4x2 + 9y2 – 8x + 36y + m = 0• Identificando términos, tenemos:• b2 = 4 b=2 ,, a2 = 9 a= 3• 2b2k = 8 8k = 8 k = 1 ,, 2a2h = - 36 18h = - 36 h = – 2 • C(1, - 2) ,, c =√(a2 – b2) = √5 ,, F(1+ √5 , -2) y F’(1 - √5, - 2)• b2k2 + a2h2 – a2b2 = m 4.1 + 9.4 – 9.4 = 4

• 9º.- P: 16x2 + 9y2 – 8x + m = 0 b > a Girada 90º• Identificando términos, tenemos:• b2 = 16 b=4 ,, a2 = 9 a= 3• 2b2k = 8 32k = 8 k = 0,25 ,, 2a2h = 0 18h = 0 h = 0 • C(0,25, 0) ,, c =√(b2 – a2) = √7 ,, F(0,25, √7) y F’(0,25, - √5)• b2k2 + a2h2 – a2b2 = m 16.0,0625 + 9.0 – 9.16 = – 143

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