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Revista Ingenierías Universidad de Medellín
ISSN: 1692-3324
Universidad de Medellín
Colombia
Echeverri Arias, Jaime Alberto; Branch Bedoya, John William
Eliminación de información redundante en imágenes de rango de objetos de forma libre empleando
funciones de base radial (FBR)
Revista Ingenierías Universidad de Medellín, vol. 5, núm. 8, enero- junio, 2006, pp. 135-145
Universidad de Medellín
Medellín, Colombia
Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=75050811
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ELIMINACION DE INFORMACIONREDUNDANTE EN IMÁGENES DE RANGO DE
OBJETOS DE FORMA LIBRE EMPLEANDOFUNCIONES DE BASE RADIAL (FBR)
Jaime Alberto Echeverri Arias* y John William Branch Bedoya**
Recibido: 23/02/2006Aceptado: 29/03/2006
RESUMEN
En este trabajo se presenta una técnica que per-mite la eliminación de información redundante enimágenes de rango utilizando funciones de baseradial y se indica cómo estas funciones permitenobtener una superficie continua, esto es, se rea-liza un proceso de eliminación de datosredundantes en zonas de la imagen de rangocon más información de la necesaria, una vezlas distintas imágenes de rango se llevan a unsistema común de coordenadas.
Este artículo se encuentra enmarcado en unade las líneas de Investigación del grupo Arkadiusde la Universidad de Medellin (UdeM).
Palabras Clave
Integración, Imágenes de Rango, Funciones deBase Radial, funciones de Soporte Compacto,Objetos de Forma Libre.
ABSTRACT
In this paper we present a method that permitsthe reduction of redundant information in range
images using radial base functions and weindicate how these functions permit a conti-nuous surface without holes or superpositionwhen the images are integrated in a commonsystem of coordinates.
Key Words
Integration, Range images, Radial BaseFunctions, compact support functions, Free FormObjects
Introducción
La reconstrucción tridimensional (3D) es elproceso mediante el cual los objetos reales sonreproducidos en la memoria de un computa-dor, manteniendo sus características físicas(dimensiones, volumen y forma). Existe, den-tro de la visión artificial, una variedad de mé-todos de reconstrucción, cuyo objetivo princi-pal es obtener un algoritmo que sea capaz derealizar la conexión del conjunto de puntosrepresentativos del objeto en forma de elemen-tos de superficie, ya sean triángulos, cuadra-dos o cualquier otra forma geométr ica(Echeverri et al., 2005).
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* Ingeniero Mecánico. M. en Ingeniería de Sistemas. Profesor Universidad de Medellín. E-mail: [email protected] Fax:3405216
** Ph. D. en Ingeniería Profesor Universidad Nacional de Colombia (Medellín). E-mail: [email protected] Fax: 4255000
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El problema de la representación y reconstruc-ción de formas tridimensionales ha recibido unaenorme atención en investigaciones de visión enlas últimas décadas. El interés surge debido aque la teoría de formas podría tener aplicacio-nes en una amplia variedad de campos, a saber:diseño, automatización de manufactura, mapeode terrenos, conducción de vehículos, arqueo-logía, restauración de obras de arte, vigilancia,robots inteligentes, entre otros. Pero además decualquier aplicación práctica, el problema tienemucho interés matemático y científico, tal comose muestra en Branch (2005).
La tarea de reconstrucción de objetos 3D a par-tir de imágenes de rango cubre una serie de eta-pas: registro, integración, segmentación y ajus-te que, combinadas, llegan a convertir un con-junto de imágenes parciales del objeto en unmodelo 3D completo.
Las dos etapas iniciales típicas en un procesode reconstrucción tridimensional (3D) a partir deimágenes de rango son: el registro y la integra-ción. La etapa de Registro consiste en obteneruna transformación (rotaciones y traslaciones)que permita llevar un par de vistas de rango almismo sistema de coordenadas, y la etapa de In-tegración permite la obtención de una superficiecontinua; se espera que después de esta etapa larepresentación computacional de objetos esté li-bre de fallas topológicas como agujeros y traslapes.
Luego de realizar la etapa de registro, se poseecierta cantidad de puntos con la información su-ficiente para conformar una sola superficie cerra-da y continua. Esta etapa es necesaria en el pro-ceso de reconstrucción, puesto que los datos re-gistrados generan superficies parciales que po-seen agujeros, intersecciones poligonales, falsosbordes o traslapes, y los objetos reales poseensuperficies continuas y suaves (Gómez, 2004).
Los problemas principales que enfrenta la etapade integración son: la presencia de autointersec-ciones y agujeros en la superficie. El proceso bus-ca además eliminar toda la información redun-dante, de tal manera que las superficies obtenidasen cada una de las imágenes contribuya a la for-mación de la superficie única que defina de ma-nera precisa la geometría del objeto. En la figura1 se puede apreciar el efecto que tiene la presen-cia de información redundante en una imagende rango antes del proceso de integración.
Figura 1. Redundancia en imagen de rango
En la figura 2 se puede apreciar el efecto de lafalta de información en la superficie de una ima-gen de rango (nótese la falta de datos en puntoscercanos a la boca del rostro).
Figura 2. Hueco en imagen de Rango
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Durante los últimos años una técnica que ha ve-nido tomando fuerza para resolver el problemade interpolación de datos ubicados de manerairregular sobre puntos dispersos es la técnica queusa funciones de base radial (FBR) para las fasesiniciales en el proceso de integración, debido engran parte a que estas facilitan el diseño de algo-ritmos que puedan trabajar con distribucionesarbitrarias de puntos. Algunas áreas de la cienciay la ingeniería que han abordado estas técnicasson: sistemas de información geográfica (SIG),sistemas CAD, procesamiento de imágenesmédicas, reconstrucción tridimensional, entre otras.
Revisión de literatura
La Integración de imágenes de rango y, particu-larmente, la eliminación de información redun-dante ha sido atacada desde diferentes puntosde vista, pero en muchos casos el proceso sehace dependiente de la aplicación para la cualfueron diseñados.
En 1994, Turk and Levoy presentaron un algorit-mo llamado Mesh Zippering, como una forma deintegrar imágenes de rango; el algoritmo constade tres fases principales o etapas; en la primerafase se aplica el algoritmo de erosión que remue-ve los triángulos que pertenecen a los bordesde cada imagen; en la segunda fase, se corrigenlos agujeros que hayan surgido como conse-cuencia de la etapa de erosión, teniendo en cuen-ta los datos coincidentes entre las imágenes; porúltimo, se optimiza el tamaño de los triángulosque se crearon en la fase de relleno (que general-mente son muy pequeños) con el fin de disminuirel número de elementos de superficie de la repre-sentación. Este método, además de requerir mu-cha información para hacer la reconstrucción, nohace buenas representaciones en esquinas y
bordes, lo que incrementa el nivel de compleji-dad de la representación.
Paralelamente, Hoppe (1994) introdujo un algorit-mo que utiliza una función signada de distanciaentre puntos cercanos a la superficie estimada yluego aplica la extracción de isosuperficie resul-tante de los cruces por cero, mediante la ejecu-ción de un algoritmo de tomas de contorno sobreuna región de espacio cercano al valor de distan-cia igual a cero y que además contenga el conjun-to de datos. La función de distancia se extraepor medio del uso de matrices de covarianza loca-les para, a continuación, pasar a una representa-ción en grafos de Riemman. Para asegurar lacorrección en la dirección de las normales a losplanos consecutivos, se aplica un algoritmo depropagación, llamado Minimal Spanning Tree,que es también utilizado en segmentación a bajonivel, para este caso se debe destacar que eluso de matrices de covarianza es altamente sen-sible al ruido.
En 1997, Curless, presentó un algoritmo volumé-trico de integración, el cual combina característi-cas de los anteriores, el carácter volumétrico deeste método permite hacer una clasificación pormedio de vóxeles, y la reducción final de estacaracterización facilita la eliminación de agujerosen el modelo integrado.
Por otro lado Bajaj et al., (1995) implementaronun mecanismo de integración basado en unareconstrucción polinomial implícita tricúbica o tri-cuadrática local ajustada por mínimos cuadradosa una función de distancia signada, obtenida delos datos desorganizados, los cuales son repre-sentados en una forma derivada de las rejillasde ocupación llamadas octrees. A diferencia deHoppe (1992) los autores extraen la funciónsignada de distancia obteniendo los planos de
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pendiente en cada punto por ajuste de mínimoscuadrados a un vecindario, verificando la correla-ción entre las normales de los planos adyacentes.El ajuste polinómico para la extracción de la iso-superficie se realiza de manera recursiva dividien-do el conjunto de datos en subconjuntos cadavez más pequeños, hasta que el error se hagamenor que un umbral determinado, cuidando queel número de polinomios resultantes no excedadeterminado umbral.
En 1997, Pulli desarrolló una técnica, la cual divi-de el espacio de trabajo en un conjunto de voxelsa los cuales se les realiza una clasificación de-pendiendo de la ocupación volumétrica del objetoen ellos y proyectando jerárquicamente el con-junto de cubos sobre cada una de las superficiesde profundidad previamente registradas; cadacubo es clasificado según las siguientes reglas:
• Si la información dice que en todas las super-ficies está fuera del volumen del objeto, elcubo es eliminado.
• Si la información indica en todas las superfi-cies que el cubo pertenece al volumen del ob-jeto, entonces es clasificado como pertene-ciente al objeto.
• En otro caso se dice que el cubo pertenece ala superficie del objeto.
La reducción se realiza mediante el uso de larepresentación en octrees, la cual agiliza el algo-ritmo, y se realiza de manera recursiva incremen-tando la resolución de los cubos. La extracciónde la superficie global integrada del objeto seobtiene descendiendo hasta los niveles de mayorresolución en el octree, y realizando triangulaciónentre dichos elementos.
Los enfoques previos se pueden clasificar comoparamétricos o no-paramétricos; los primeros
usualmente se basan en diagramas de Voronoio triangulaciones de Delaunay para encontrar lasconexiones entre los puntos de la nube inicial-mente obtenida, y luego, para construir una su-perficie triangulada, se conectan los vérticesadyacentes.
Encontrar la conexión correcta entre los puntosdato en tres o más dimensiones es general-mente un problema muy complejo. La presen-cia de ruido en los datos y el muestreo no uni-forme de los mismos constituyen también unproblema difícil de resolver. Existen, además,enfoques paramétricos usando métodos varia-cionales basados en Ecuaciones DiferencialesParciales (EDP) para los cuales es necesariodisponer de una buena parametrización. Talparametrización es casi imposible de obtenerpara topologías complicadas. En general, laforma paramétrica carece de información so-bre la profundidad y requiere de una parametri-zación global que hace difícil trabajar condeformaciones y cambios en la topología dela superficie.
Reconstrucción tridimensional desuperficies a partir de funcionesde base radial
Funciones de base radial
En el problema de la interpolación se requiereencontrar una función que aproxime unafunción dada , conocidos los valores def en un conjunto de puntos .Una función de base radial es una función de laforma:
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Donde P es un polinomio de grado a lo sumo 2;λ
i son factores de ponderación, o pesos; es la
norma Euclídea y se llama funciónbásica. Observemos que la compuesta es
radialmente simétrica. En conclusión, una funciónde base radial es una combinación lineal detraslaciones de una función radialmentesimétrica.
Ejemplos típicos de funciones básicas, son los siguientes:
,Thin Plate Spline (TPS).
Función Gaussiana.
Con β > 0,función multicuádrica.
, llamada función biarmónica.
, Llamada función triarmónica.
Interpolación con funciones de base radial
El uso de funciones de base radial para interpolardatos dispersos tiene buena aceptación debidoa que el sistema asociado de ecuaciones linealesresulta ser invertible, incluso si la distribución delos puntos no presenta regularidad. Por ejemplo,con la función Thin Plate Spline (TPS) sólo serequiere que los puntos no sean colineales, mien-tras que con la Gaussiana y la Multicuádrica nose necesita ninguna clase de regularidad. En par-ticular, las funciones de base radial no necesitanque los puntos estén distribuidos en alguna grillaregular (Montegranario, 2004).
Supongamos que se tiene una función y se conocen los valores de f en un
conjunto de N puntos de . Serequiere encontrar una función queaproxime a f. Usando funciones de base radial stoma la siguiente forma:
Los pesos λi se calculan resolviendo el sistema
de ecuaciones,
donde es la normaEuclídea en . Más precisamente:
Las condiciones para que este sistema tengasolución única se establecen en Montegranario(2004) y se refieren a características analíticasde la función básica .
Eficiencia de las funciones de base radial
La función mencionada en la sección an-terior se representa en la forma: ,conocida como la forma implícita de una super-ficie. El cálculo y posterior uso de superficies im-plícitas como las obtenidas mediante FBR pue-den dividirse en tres partes:
(i) Construcción del sistema de ecuaciones.
(ii) Solución del sistema de ecuaciones.
(iii) Evaluación de la función interpolante.
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Construcción del sistema de ecuaciones li-neales
Como entonces la matriz Atiene entradas no nulas excepto posiblemente enla diagonal principal. Esto hace necesario elcálculo de todas las distancias entre los puntosy aunque la simetría de la matriz reduce el costocomputacional a la mitad, la complejidad siguesiendo (Buhmann, 2003).
Solución del sistema de ecuaciones
Aunque Turk and Levoy (1994) usan factorizaciónLU, para resolver el sistema de ecuacio-nes, indican que es posible resolverlo con costo
por métodos iterativos. Así, esto requiereun costo computacional tan alto como la construc-ción del sistema de ecuaciones.
Evaluación de la función
En la mayoría de las aplicaciones no basta conencontrar los pesos de las FBR; se requiere, ade-más, evaluar la función interpolante de forma queésta coincida potencialmente en todos los puntos,con el fin de obtener la isosuperficie y finalmentecalcular las normales u otras cantidades asocia-das; de acuerdo con lo mencionado en los párra-fos anteriores podemos indicar que el principalinconveniente del uso de estas funciones es elde la complejidad computacional.
Eliminación de informaciónredundante
El proceso de eliminación de información redun-dante que se propone en este trabajo parte dela nube completa de puntos: se establece un cu-bo contenedor de dicha nube, se realiza entonces
un proceso de división volumétrica del espaciode trabajo de la misma forma que lo hace Pulli(1997b), la división estará directamente determi-nada por la cantidad de solapamiento entre lasimágenes de rango y por la longitud de la aristapromedio, el procedimiento de división o acerca-miento volumétrico se realiza de una manera re-cursiva, la condición de parada o salida del algo-ritmo estará dada por la comparación entre laslongitudes de la arista promedio y el lado de cadacubo. En la figura 3 se presenta un diagrama deflujo en donde se detalla el procedimiento.
Figura 3. Proceso de eliminación deinformación redundante.
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Se parte de la nube de puntos a partir de unescáner de rango. En la figura 4 se observa unanube de puntos que representa una mascara.Las zonas con presencia de información redun-dante se destacan del resto de la nube por unaumento en la densidad de puntos. Obsérveseen la figura la zona central.
Figura 4. Nube de puntos.
División volumétrica
A partir de esta nube de puntos se procede aobtener las coordenadas de los puntos más ale-jados en cada una de las direcciones de los ejesordenados (x,y,z); con estos valores es posibleestablecer las dimensiones del cubo contenedorde dicha nube; a partir de este cubo se realizaun proceso de división volumétrico, el cual consis-te en realizar una división del cubo original enocho octantes; a cada uno de estos se les aplica
un criterio de población; este criterio clasifica acada uno de los cubos, eliminando aquellos cu-bos que no contienen puntos y sobre los cubosque se ha determinado la presencia de puntosse procede inicialmente en determinar la cantidadde puntos presentes en el cubo; si este númeroes mayor que un valor umbral preestablecido seprocede a etiquetar el cubo como cubo redun-dante (η > N). En la figura 5 se aprecian los cubosde la máscara que fueron etiquetados comoredundantes; estos se ubican en aquellas regionesde confluencia de varias imágenes de rango.
Figura 5. Proceso de ubicación de zonasredundantes
Reducción de puntos
En la figura 5 cada cubo indica las zonas de laimagen donde se presenta saturación o presen-cia de información redundante. El proceso que
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se sigue una vez etiquetada la región es el deobtener un punto representativo de cada una delos cubos, que para este caso se trabajó con elcentroide del cubo, o sea el punto con coordena-das (X
c,Y
c,Z
c), donde:
Así para cada cubo se obtiene el punto represen-tativo; este procedimiento entregará una nubede puntos representativa del objeto completo.
Obtención del interpolante
Una vez se tiene el conjunto de puntos represen-tativo de la nube optimizada, se procede con laobtención del interpolante, dado por.
Donde las coordenadas (xi,y
i) representan las
coordenadas de los centroides y los λi los pesos
obtenidos al resolver el sistema de ecuaciones:,
donde es la normaEuclídea en .
Para el cual φ es la función básica seleccionada.
Generación de nuevos puntos
Determinado el interpolante en la región con lapresencia de la anomalía o falla topológica delobjeto, se procede a generar una malla regularsobre la proyección de XY de la zona redundan-te, entonces se realiza la evaluación de cadauno de los puntos de la malla, de tal maneraque S(X,Y) nos brinde la coordenada z, de talforma que se puede disponer de una nueva nu-be corregida (sin redundancia). En la figura 6
se muestra la máscara después de aplicar elprocedimiento detallado y la eliminación deinformación redundante.
Figura 6. Imagen de rango mejorada.
Experimentos y resultados
Se utilizo MATLAB 5.3 y las funciones de baseradial: multicuádrica, TPS, Gaussiana para lainterpolación con diferente cantidad de puntos,en la región del plano XY [-3,3] X [-3,3] con el finde obtener diferentes métricas de comparación.
Para simular datos dispersos se genera un con-junto de puntos aleatorios en una regiónacotada de y los valores correspondientes
para una función cualquiera prefijada.Para simular ruido se perturba f tomando
, donde es un valor aleatoriopequeño, por ejemplo el 1% de la variación de f.
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A continuación se muestran las gráficas de lassuperficies interpolantes s obtenidas con la
función básica para la función
con ytomando 20, 50 y 100 puntos sucesivamente:
Figura 7. Gráfica s(x,y) obtenida con 50puntos
La gráfica de la función interpolante s se trazósobre 250 puntos distribuidos en una grilla detamaño 0.1. En la tabla 1 se comparan los valoresde s(x,y) y de en 10 puntos conel fin de medir la calidad de la aproximaciónutilizando el método propuesto.
Tabla 1. Comparación de f vs. s.
Con el fin de medir más confiablemente la cali-dad de la aproximación, en 250 puntos (x,y) ge-nerados al azar en el cuadrado se calculó la diferencia acumulada promedio(DAP), definida como:
Los resultados del experimento, efectuados cincoveces, aparecen en la tabla 2.
Tabla 2. Diferencia acumulada promedio de f vs.s.
Con el fin de probar el comportamiento de lasFBR en imágenes con presencia de agujeros,se simularon agujeros de diferentes tamaños enla grilla de puntos y se calcularon los interpolan-tes mediante FBR.
Como se observa en cada una de estas tablasno se presentan cambios apreciables paracorrespondientes a porcentajes inferiores a 3.6%;para valores superiores no es posible construirla función interpolante y por lo tanto es imposiblerealizar las mediciones respectivas.
Se pueden apreciar en las tablas los cambiosque se dan en los bordes de cada una de lassuperficies reconstruidas. Presentamos ahora loscambios que se obtienen al evaluar en la funcióninterpolada con presencia de información redun-dante y la función real, esto nos permitirá conocerlos cambios que se presentan.
Punto (x,y) F(x,y) S(x,y)
(1,1) 2.0000 1.9999(0,1) 1.0000 1.0011(2,1) 5.0000 4.9926(2,2) 8.0000 7.9627(2,3) 13.0000 12.7141(-1,1) 2.0000 1.9995(-1,-1) 2.0000 1.9999
(2.5,2.5) 12.5000 12.4735(2.1,2.1) 8.8200 8.7965(0,2.5) 6.2500 6.2495
PUNTO Diferencia AcumuladaNro. Promedio (DAP)P 1 0.1145P 2 0.1069P 3 0.1030P 4 0.1138P 5 0.1129
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Tabla 3. comparación superficie interpolada ysuperficie real s vs. F
Observando la tabla 3 vemos solo una diferenciaapreciable en el punto (0,0); esta diferencia sepuede explicar ya que en esta región se generóun hueco, por lo que esta región es muysusceptible a las variaciones.
Conclusiones y trabajo futuro
El método de eliminación de información redun-dante que se expone en este trabajo utilizandolas FBR presenta características favorables en
cuanto a la representación funcional y compactade nubes de puntos, además permite una evalua-ción directa de puntos sobre la nube al trabajarcon las funciones de base radial, lo que permitedeterminar fácilmente la pertenencia o no de unpunto dado a una nube específica.
El trabajo con Funciones de Base Radial es es-pecialmente favorable para regiones con presen-cia de autointersecciones entre las nubes de pun-tos, pues para agujeros de diámetro inferiores al3.6% se logró hacer una buena representacióndel conjunto de puntos provenientes de la nube.
Se planea definir y utilizar diferentes familias deFunciones de Base Radial de soporte compactopara hacer la reconstrucción de diferentes obje-tos y verificar las ventajas de este tipo de funcio-nes, de tal forma que se puedan obtener algorit-mos más eficientes.
Se plantea un trabajo posterior que permita laevaluación de las diferentes familias de funcionesde base radial con el fin de obtener los paráme-tros que permitan una mejor aproximación a losdatos de las imágenes de rango.
(X,Y) S(X,Y) F(X,Y)
(0,1) 0.0000 0.6531(1,1) 1.0000 1.0451(2,2) 2.6458 2.6459(0,0) 1.0000 0.7333
(2.5,2.5) 3.3912 3.4718(-1,2) 2.0000 2.0734(0,2) 1.7321 1.7610
(-1,-1) 1.0000 0.9945(1.1,1.1) 1.1916 1.2595(-2.3,1.8) 2.7441 2.7572
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