ELEMENTOS DECÁLCULO DIFERENCIAL

HISTORIA YEJERCICIOS RESUELTOS

ÁNGEL RUIZHUGO BARRANTES

EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD DE COSTA RICA

CONTENIDO

Prefacio, vii

Contenido, ix

PRIMERA PARTEHISTORIA DEL CÁLCULO

CAPÍTULO 1ENTRE INCONMENSURABLES YPARADOJAS, i

1.1 Thales y Pitágoras, 21.2 Continuidad, infinito e inconmensurables, 6

Lo continuo y lo discreto, 7. Razón de la diagonaldel cuadrado y su lado, 8. Razón de la diagonaldel cubo y su lado, 9. La sección áurea, 11.Irracionales, 13.

1.3 Zenón y las paradojas, 13La paradoja de la Dicotomía, 14. La paradoja de

Aquiles, 151.4 Ejercicios, 16

CAPÍTULO .2CÁLCULO DE ÁREAS EN LA GRECIAANTIGUA, 19

2.1 Eudoxo y Arquímedes, 202.2 El método de Exhausción, 21

CONTENIDO

Principios sobre límites, 22. De los polígonosal círculo, 24. Cuadrados inscrito ycircunscrito en un círculo, 26. Un octógonomejora la aproximación, 27. El límite infinito,29

2.3 Ejercicios 31

CAPÍTULO 3MEDIEVO, CIENCIAS YMATEMÁTICAS, 33

3.1 De los romanos a la Escolástica, 34Cultura y educación, 34. Matemáticas, 35. Los cambios, 35. LaEscolástica, 37

3.2 Los árabes y las matemáticas, 38Árabes y griegos, 39. El álgebra y la aritmética árabes, 39

3.3 Técnicas, ideología y sociedad, 423.4 Ejercicios, 43

CAPITULO 4EL RENACIMIENTO: UN NUEVOPUNTO DE PARTIDA, 45

4.1 Renacimiento y humanismo, 464.2 Navegación y ciencias matemáticas, 494.3 Un poco de matemáticas, 50

Paralelismo con los jónicos, 534.4 Ejercicios, 54

ft.

CAPITULO 5REVOLUCIÓN EN LA COSMOLOGÍA, 55

5.1 Copérnico: el heliocentrismo, 57

CONTENIDO XI

El mérito de la tesis heliocéntrica, 585.2 Kepler: la geometría celeste,60

Las leyes keplerianas, 625.3 Galileo y la nueva cosmología, 63

Frente al esquema medieval, 64. En el centro deluniverso, 65. Una historia de intolerancia, 66

5.4 Ejercicios, 70

CAPÍTULO 6LOS MÉTODOS DE LA NUEVACIENCIA, 73

6.1 Galileo y la nueva ciencia, 75La descripción matemática, 76

6.2 Otros profetas de la nueva ciencia: Bacon yDescartes, 80

Bacon: profeta del método experimental, 80.Descartes y la filosofía moderna, 80. El métodocartesiano, 82. El mecanicismo y la influenciacartesiana, 84. Nuevas tradiciones en losmétodos de la ciencia, 84

6.3 Las sociedades científicas, 856.4 Ejercicios, 87

CAPITULO 7PROBLEMAS PARA LAS MATEMÁTICASDEL SIGLO XVII, 89

7.1 Los límites de la matemática antigua, 917.2 Cuatro problemas fundamentales, 937.3 Las matemáticas del siglo XVII, 967.4 Ejercicios, 98

Xll CONTENIDO

CAPÍTULO 8GEOMETRÍA ANALÍTICA YCÁLCULO DE TANGENTES, 99

8.1 La geometría analítica, 100Apolonio, 101. Oresme, 102. La geometríacartesiana, 103. Fermat, 107. Algebra ygeometría, 108

8.2 Cálculo de tangentes, máximos y mínimos, 109La función, 110. Máximos y mínimos, 112. El

cálculo de tangentes, 1138.3 Ejercicios 117

CAPITULO 9LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES, 119

9.1 Los métodos de Kepler, 119El área del círculo, 120. El área de la elipse, 121

9.2 Galileo y los conjuntos infinitos, 124Cavalieri, 124. Conjuntos infinitos, 124

9.3 El área bajo una curva, 126Contribuciones previas a Newton y Leibniz,

1299.4 Ejercicios, 131

CAPÍTULO 10NEWTON, 133

10.1 La obra científica de Newton, 135La mecánica celeste, 135. Momentos de creación, 136

10.2 El Cálculo, 137La derivada, 138. El método cartesiano, 141. Críticas, 143

10.3 Cálculo, series infinitas y publicaciones, 144

CONTENIDO xm

El teorema del binomio y las series, 144. Publicaciones, 145. Publicar o nopublicar, 146

10.4 Ejercicios, 147

CAPÍTULO 11LEIBNIZ, 149

11.1 Una mente universal, 149Comunicación entre científicos, 150

11.2 El Cálculo de Leibniz, 151Notación, 154. Influencia, 154

11.3 Diferencias entre Newton y Leibniz, 15511.4 Ejercicios, 157

CAPÍTULO 12SIGLO CIENCIA Y SOCIEDAD EN EL XVIII, 159

Ciencia y tecnología, 16012.1 La Revolución Industrial, 160

Antecedentes y desarrollo, 161. Ciencia, tecnología y sociedad, 16212.2 La química, 162

Desdé la alquimia y el flogisto al oxígeno, 163. Lavoisier, 164. LaRevolución Francesa y la ciencia, 164

12.3 Ejercicios, 165

CAPITULO 13EL ANÁLISIS Y LASMATEMÁTICAS DEL SIGLOXVIII, 167

13.1 El carácter de las matemáticas en los siglos XVII yXVIII, 168

Un progreso cuantitativo y cualitativo, 168. Los

XIV CONTENIDO

cambios en el siglo XVII, 169. En el siglo XVIII, 16913.2 La época de Euler, 169

Obra científica, 171. Del Cálculo al Análisis, 171. Funciones algebraicas ytrascendentes, 173rEl Cálculo en varias variables, 174. Los matemáticosfranceses del siglo XVIII, 174

13.3 La Edad Heroica, 176Confianza en las operaciones y en las aplicaciones, 176. Dificultades, 176.Rigor en el siglo XVIII. 117. Euler y losinfinitesimales, 178. Lagrange, 179. El caminohacia el "límite" como concepto base, 180

13.4 Ejercicios, 182

CAPÍTULO 14PANORÁMICA DE LASMATEMÁTICAS DEL SIGLOXIX, 185

14.1 La preocupación por el rigor, 185Catalizadores de una nueva etapa matemática, 186. La lógica moderna,187. Del siglo XVII al XIX, 187

14.2 Gauss y las geometrías, 189Gauss, 189. Geometrías no euclidianas, 189.Riemann, 190. La geometría proyectiva, 192

14.3 La teoría de grupos y el álgebra moderna, 193Galois, 193. Nuevos entes matemáticos, 194. Unamplio desarrollo matemático, 194

14.4 Ejercicios, 195

CAPÍTULO 15LA ARITMETIZACION DEL ANÁLISIS, 197

15.1 El rigor a través del límite: Bolzano y Cauchy, 199Bolzano, 199. Cauchy, 199. Variable, función y límite, 200. Infinitesimales,202

CONTENIDO xv

15.2 Weierstrass, 203La definición de límite, 203. Continuidad y derivación, 207

15.3 La construcción de los números reales, 207Los números reales de Weierstrass, 208. Las

"cortaduras" de Dedekind, 20915.4 Un balance, 211

Cantor, 211. Aritmetización y fundamentos de lasmatemáticas, 21215.5 Ejercicios, 213

CAPÍTULO 16EL ANÁLISIS NO-STANDARD YLA NATURALEZA DE LAS MATEMÁTICAS,215

16.1 Las matemáticas del XIX: un balance general, 216El temor y la incertidumbre en la comunidad matemática, 216

16.2 Los infinitesimales y el Análisis No-Standard, 217La teoría de los infinitesimales, 218. EntreCauchy y Weierstrass, 219. Viejos modelos depensamiento, 220. Un paradigma como herencia,221. La confesión de Arquímedes, 221. Lacomunidad matemática toma una decisión, 223

16.3 Una síntesis final, 224¿Qué no son las matemáticas?, 225

16.4 Ejercicios, 226

XVI CONTENIDO

SEGUNDA PARTEEJERCICIOS RESUELTOS

Presentación, 231 ~- - -

CAPÍTULO 1LAS RAZONES DE CAMBIO Y LA DERIVADA, 233

• Velocidad instantánea como límite develocidades promedio, 233

• Concepto de recta tangente, 234• Derivada y pendiente de la recta tangente, 235• Derivada y pendiente de la recta tangente, 236• Cálculo de la pendiente usando una

tabla de valores, 237

CAPÍTULO 2LÍMITES, 241

El límite de una suma, 241El límite de un cociente, 242Límite con valor absoluto, 243Un límite que no existe, 244Reconocer la variable para calcular el límite, 245Factorizar dos~veces para calcular el límite, 246Doble racionalización para calcular un límite, 247El límite de un producto, 247Los límites y las raíces de una ecuación, 249

- 3 \

CONTENIDO xvn

CAPÍTULO 3

LÍMITES LATERALES Y CONTINUIDAD 251

El concepto de límite por la derecha, 251Continuidad de un cociente, 252Continuidad cuando hay un parámetro, 252Continuidad y límites laterales, 254Continuidad y límites, 254Discontinuidades evitables e inevitables, 254Continuidad cuando hay un parámetro, 256

CAPÍTULO 4LÍMITES INFINITOS Y AL INFINITO, 257

• Límite infinito y función creciente, 257• Concepto de límite al infinito, 258• Cálculo de un límite a menos infinito, 258• Límite lateral con valor absoluto, 259• Aproximación del área bajo una curva, 260• El área bajo una curva como un límite, 262• Un límite al infinito con un radical, 263

CAPÍTULO 5LA DERIVADA, 265

• Desigualdad de funciones y derivada, 265• Puntos de no derivabilidad, 265• Derivabilidad en un punto, 267• Aproximación de la derivada en un punto, 268

XV111 CONTENIDO

• Aproximación de la derivada en un punto, 268• Cálculo de la velocidad instantánea, 269• Cálculo de la recta tangente, 270• Cálculo de la recta tangente y de

la recta normal, 270• Cálculo de la recta tangente y de

la recta normal, 271• Rectas tangentes paralelas, 272• Tangentes a una parábola, 273• Determinar el punto de tangencia, 273• Una tangente que no existe, 275• Rectas tangentes perpendiculares, 275• La derivada para resolver un

problema geométrico, 276

21,751,5

1,251

0,750,5

0,25

S

V>

0,5 1 1,5 2

CAPÍTULO 6

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASY EL CÁLCULO, 279

• Límite de funciones trigonométricas, 279• Derivada de funciones trigonométricas, 280• Seno de una suma, 280• Límite de funciones trigonométricas, 281• Cálculo de la derivada usando la definición, 282• Derivación implícita, 282• Uso del Teorema de Intercalación, 283• Uso de la recta tangente para un

cálculo geométrico, 283• Cálculo de la recta tangente y de

la recta normal, 285

CONTENIDO xix

CAPÍTULO 7LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONEN-CIALES Y EL CÁLCULO, 287

• Derivada de funciones logarítmicasy exponenciales, 287

• Límite de funciones exponenciales, 287• Uso de la derivación logarítmica, 288• Uso de la derivación logarítmica, 289• Derivación implícita, 290• Tangente horizontal, 290• Uso de la recta tangente para un

cálculo geométrico, 291• Recta tangente paralela a una recta dada, 292

CAPÍTULO 8ALGUNAS APLICACIONES, 293

Interés simple e interés compuesto, 293Cálculo de la altura máxima y la velocidad, 294Crecimiento de poblaciones, 295Cálculo del máximo y el mínimo, 296Uso de la regla de L'Hópital, 297

CAPÍTULO 9

TEMAS ADICIONALES: UNA INTRODUCCIÓN, 301

73 890'

• Área bajo una curva, 301• Norma de una partición, 303

XX CONTENIDO

• Una ecuación diferencial para modelar unproblema geométrico, 303

• Soluciones de una ecuación diferencial, 303• Solución de una ecuación diferencial

con un parámetro, 304• Vida media de una sustancia radiactiva, 305• Una función de dos variables para

describir una situación, 306

n i t i » *

CAPÍTULO 10DEFINICIONES Y MÉTODOS FORMALES, 3.07

• Uso de la definición de límite en un punto, 307• Uso de la definición de límite infinito, 308• Uso de la definición de límite en un punto, 309• Aplicación del Teorema de los

Valores Intermedios, 309• Aplicación del Teorema de los

Valores Intermedios, 310

Bibliografía general, 311

índice de recuadros teóricos, 315

índice analítico, 317