ELEMENTO RESORTE

INTRODUCCION

Los elementos de rigidez (resorte) almacenan y liberan la energía potencial de un sistema. Considere la figura 1.1 en la cual un resorte se mantiene fijo en el extremo O, y en el orto lado una fuerza F sigue la dirección del vector unitario j. Bajo la acción de esta fuerza el elemento se estira desde una longitud inicial (L0) hasta L0+x en dirección de j. Al sufrir esta deformación, la relación entre F y x puede ser lineal o no lineal.

Si Fs representa la fuerza interna dentro del elemento, entonces esta fuerza es igual y contraria a la fuerza externa F en la porción inferior del resorte, es decir,

Fs = -Fj

Como Fs trata de restablecer el resorte a su configuración no deformada, se le llama fuerza restauradora. A medida que el elemento de rigidez se deforma, la energía se almacena en él, y conforme regresa a su configuración inicial se libera la energía. La energía potencial (V) se define entonces como el trabajo efectuado para llevar al resorte desde la posición deformada hasta la posición sin deformar; es decir, el trabajo necesario para llevar el elemento hasta su forma original. En el caso de la figura 1.1, esto se expresa como:

V ( x )=∫x

0

F s∙dx=∫x

0

−Fj ∙dxj=∫0

x

Fdx (1.1)

RESORTES LINEALES

Resorte de traslación

Si se aplica una fuerza F a un resorte lineal (fig. 1.2) esta fuerza produce una deflexión x tal que

F(x)=kx (1.2)

Donde el coeficiente K se denomina constante de resorte y existe una relación lineal entre la fuerza y el desplazamiento. De acuerdo con las ecuaciones (1.1) y (1.2), la energía potencial V almacenada en el resorte se expresa como

V ( x )=∫0

x

F ( x )dx=∫0

x

kxdx=12k x2 (1.3)

De aquí que, para un resorte lineal, la energía potencial asociada guarda una proporción lineal con la rigidez del resorte k y proporcional a la segunda potencia de la magnitud del desplazamiento.

Resorte de torsión

Si se considera un resorte lineal de torsión y se aplica un momento τ al resorte en uno de sus extremos, mientras el otro de los extremos del resorte se mantiene fijo, entonces

Τ(θ)=ktθ (1.4)

Donde kt es la constante de resorte y θ es la deformación del mismo. La energía potencial almacenada en este resorte es

V (θ )=∫0

θ

τ (θ )dθ=∫0

θ

k tθdθ=12k tθ

2 (1.5)

Combinación de resortes lineales

A continuación se determinará la rigidez equivalente de diferentes combinaciones de resortes lineales.

Cuando hay dos resortes en paralelo (fig. 1.2b) y la barra sobre la cual actúa la fuerza F permanece paralela a su posición original, entonces los desplazamientos de ambos resortes son iguales y por lo tanto, la fuerza total es

F ( x )=F1 ( x )+F2 ( x )=k1 x+k 2 x=(k1+k2 ) x=ke x (1.6)

Donde Fj(x) es la resultante en el resorte Fj, j=1,2 y Ke es la constante equivalente del resorte para los dos resortes en paralelo dada por

Ke=k1+k2 (1.7)

Cuando hay dos resortes en serie (fig. 1.2c), la fuerza sobre cada resorte es la misma y el desplazamiento total es

x=x1+x2=Fk1

+Fk2

=( 1k1+ 1k2 )F=Fke

(1.8)

Donde la constante equivalente del resorte ke es

k e=( 1k1

+ 1k 2

)−1

(1.9)

En general, para N resortes en paralelo se tiene

k e=∑i=1

N

k i (1.10)

Y para N resortes en serie

k e=[∑i=1N1k i ]

−1

(1.11)

Para dos resortes de torsión en combinación en serie y paralelo (fig. 1.3), la rotación θ de cada resorte es la misma y, por consiguiente,

τ (θ )=τ1 (θ )+τ2 (θ )=k t1θ+k t2θ=(k t1+k t 2)θ=k teθ (1.12)

Donde τj es el momento resultante en el resorte ktj, j=1,2, y kte es la rigidez equivalente de torsión dada por

k te=k t1+k t 2 (1.13)

Por lo que se refiere a los resortes de torsión en serie (fig1.3b) el par de torsión en cada resorte es el mismo, pero las rotaciones son desiguales. Entonces,

θ=θ1+θ2=τk t 1

+τk t2

=( 1k t1+ 1k t2 )τ= τk te

(1.14)

Donde la rigidez equivalente kte es

k te=( 1k t1+ 1k t2 )−1

(1.15)

SISTEMA CON 1 GDL CON EXCITACIÓN ARMONICA

Cuando un sistema esta sometido a una excitación armónica forzada su respuesta de vibración tiene lugar a la misma frecuencia de excitación. Fuentes comunes de excitación armónica son el desbalance en maquinas rotatorias fuerzas producidas por maquinas reciprocantes o el movimiento de la misma maquina. Estas excitaciones pueden ser indeseables para equipos cuya operación puede ser perturbada o, para la seguridad de la estructura si se desarrollan grandes amplitudes de vibración. La resonancia debe ser evitada en la mayoría de los casos y , para evitar que se desarrollen grandes amplitudes se usan frecuentemente amortiguadores.

Vibración armónica forzada

La excitación armónica es frecuente en sistemas de ingeniería. Son comúnmente producidas por desbalances en maquinaria rotatoria. Aunque la pura excitación armónica es menos probable que la periódica u otros tipos de excitación, un entendimiento de la conducta de un sistema que sufre excitación armónica es esencial para comprender como el sistema responderá a tipos más generales de excitación.la excitación armónica puede ocurrir en la forma de una fuerza o desplazamiento de algún punto del sistema.

Primero consideraremos un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso, excitado por una fuerza armónica F0 sen wt. Su ecuación de movimiento es.

m x+c x+kx =f 0 senwt

La solución de esta ecuación consta de dos partes la función complementaria que es la solución de la homogénea y; la integral particular. La función complementaria en este caso, una vibración libre amortiguada.

Si la solución particular es una oscilación estacionaria de la misma frecuencia w de la excitación. Podemos suponer que la solución particular es de la forma

x=X sin (wt−θ)

En donde x es la amplitud de la oscilación y θ es la fase del desplazamiento con respecto a la fuerza excitatriz.

Respuesta forzada sin amortiguamiento

La suma de las fuerzas en la dirección produce N=mg, con el resultado que no hay movimiento en esa dirección. Para el caso de amortiguamiento despreciable (c=0), la suma de las fuerzas sobre la masa en la dirección x revela que el desplazamiento x(t) debe satisfacer

m x (t )+kx (t )=F0 coswdt t

Es una ecuación lineal no homogénea, por lo tanto su solución es la suma de la solución homogénea y una solución particular. La solución particular se puede determinar al suponer la misma forma que la función de forzamiento. Esto también es consistente con la observación; es decir, se observa que la oscilación de un sistema con un grado de libertad excitado por F0coswdt tiene la forma

x p=A0coswdt t

Donde xp denota la solución particular y A0 es la amplitud desconocida de la respuesta forzada

ANALISIS DE VIBRACIONESANALISIS DE VIBRACIONES

SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD

AlumnoS:AlumnoS:

Aldaba Herrera Efrain

07041132

Tarango Rojero Moises

07041198

Cisneros Santillán Juan Manuel

Grupo: Grupo:

7V

Catedrático:Catedrático:

Ing. Juan Bravo