electronica t2 teoria de circuitos electricos (3)

ElectrnicaElectrnicaTema 2. Teora de circuitos elctricosTema 2. Teora de circuitos elctricos

Horacio M. Gonzlez VelascoHoracio M. Gonzlez VelascoCurso 2014 / 2015Curso 2014 / 2015

Departamento de Ingeniera Departamento de Ingeniera Elctrica, Electrnica y AutomticaElctrica, Electrnica y AutomticaEscuela PolitcnicaEscuela Politcnica

ElectrnicaElectrnicaTema 2. Teora de circuitos elctricos.Tema 2. Teora de circuitos elctricos. Contenidos.Contenidos. 22 de de 4646

Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica Tema 2: ContenidosTema 2: Contenidos

1. Introduccin: conceptos bsicos y leyes de Kirchhoff.

2. Circuitos resistivos.

3. Circuitos dinmicos.

4. Funcin de transferencia y respuesta en frecuencias.

Tema 2: Teora de circuitos elctricosTema 2: Teora de circuitos elctricos

ElectrnicaElectrnicaTema 2. Teora de circuitos elctricos.Tema 2. Teora de circuitos elctricos. 2.1. Introduccin: conceptos bsicos y leyes de Kirchhoff.2.1. Introduccin: conceptos bsicos y leyes de Kirchhoff. 44 de de 4646

Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica CircuitosCircuitos

Circuito: interconexin de diferentes elementos discretos mediante conductores, a travs de los cuales circulan corrientes elctricas.

Generalmente se representan mediante esquemas:

Los elementos que conforman los circuitos elctricos son: fuentes, resistencias, condensadores y bobinas.

Analizar un circuito consiste en calcular las corrientes que circulan por los elementos (y las tensiones en los conductores).

Para analizar los circuitos se necesita conocer tanto las relaciones I-V de los elementos como las Leyes de Kirchhoff.

Sistema fsico Esquema


Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica

Elementos utilizados en los circuitos:Elementos utilizados en los circuitos: fuentesfuentes (I) (I)

Se conocen como elementos activos, ya que aportan energa al circuito, y son las responsables de las corrientes estables por el mismo.

Distinguiremos dos tipos:

Fuentes de tensin: su caracterstica principal es que generan un voltaje v(t) independientemente de la corriente que circula por ellas.

Independientes

Dependiente de tensin (linealmente)

Dependiente de corriente (linealmente)

Potencia: en la situacin representada, la potencia instantnea entregada a las cargas (al circuito) sera



Elementos utilizados en los circuitos:Elementos utilizados en los circuitos: fuentes (y II) fuentes (y II)

El otro tipo sera:

Fuentes de corriente: su caracterstica principal es que generan una corriente i(t) independientemente del voltaje que haya en sus terminales.

Independiente

Dependiente de tensin (linealmente)

Dependiente de corriente (linealmente)

Tambin en este caso, la potencia instantnea entregada a las cargas (al circuito) sera

Fuentes reales: hay una pequea dependencia entre las seales, que se modela mediante la resistencia de salida:



Elementos utilizados en los circuitos:Elementos utilizados en los circuitos:elementos pasivos (I)elementos pasivos (I)

Resistencia:Resistencia:

Smbolo y relacin I-V

Ley de Ohm

Condensador:Condensador:


Bobina:Bobina:




Elementos utilizados en los circuitos:Elementos utilizados en los circuitos:elementos pasivos (y II)elementos pasivos (y II)

Consideraciones sobre potencia en los componentes pasivos:

Con las configuraciones de la diapositiva anterior, la potencia disipada por las cargas en los componentes pasivos sera:

Integrando la potencia entre dos tiempos t1 y t2, podemos calcular la energa que disipa el dispositivo en ese intervalo:

Resistencia: la resistencia siempre disipa energa:

Condensador: en el condensador, si se disipa energa de las cargas o se entrega energa a las mismas depende de los voltajes inicial y final (para los tiempos t1 y t2 respectivamente):

Bobina: al igual que en el condensador, si se disipa energa de las cargas o se entrega energa a las mismas depende de las corrientes inicial y final (para t1 y t2 respectivamente):



Nodos, caminos, ramas, lazos y mallas (I)Nodos, caminos, ramas, lazos y mallas (I)

En un circuito, se definen:

Nodo: cualquier punto de conexin (conductor) de dos o ms elementos de un circuito (esencial si son tres o ms).

Establecido el punto de potencial cero del circuito (referencia o masa), cada nodo de un circuito tendr un determinado voltaje.

Camino: sucesin de elementos bsicos adyacentes en la que no hay ningn elemento incluido ms de una vez.

Rama: camino que conecta dos nodos.

Rama esencial: camino que conecta dos nodos esenciales, sin pasar a travs de un nodo esencial.

Lazo: un camino cuyo ltimo nodo coincide con el nodo de partida.

Malla: un lazo que no encierra ningn otro lazo



Nodos, caminos, ramas, lazos y mallas ( y II)Nodos, caminos, ramas, lazos y mallas ( y II)

Nodos: a, b, c, d, e, f y g Nodos esenciales: b, c, e y g Ramas esenciales: v1-R1, R5, R7, R2-R3,

v2-R4, R6, I.

Mallas: v1-R1-R5-R3-R2, v2-R2-R3-R6-R4, R5-R6-R7, R7-I

Nodos: 6 (?) Nodos esenciales: 4 (?) Ramas esenciales: 9 (?) Mallas: 6 (?)


Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica Ley de las corrientes de Kirchhoff (LCK)Ley de las corrientes de Kirchhoff (LCK)

Para analizar un circuito no nos basta slo con las relaciones I-V de los componentes, se necesitan las leyes de Kirchhoff.

Estas leyes son consecuencia de otras leyes fsicas ms genricas (conservacin de la carga y de la energa).

Ley de las corrientes de Kirchhoff (LCK):Ley de las corrientes de Kirchhoff (LCK): la suma algebraica de todas las corrientes existentes en un nodo de un circuito es igual a cero.

Hay que asignar un signo a las corrientes, que indique la direccin de referencia (ej: positivo las que salen del nodo, negativo las que entran).

Nodo a: Nodo b: Nodo c: Nodo d:

Solamente 3 son independientes.


Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica Ley de las tensiones de Kirchhoff (LTK)Ley de las tensiones de Kirchhoff (LTK)

Ley de las tensiones de Kirchhoff (LTK):Ley de las tensiones de Kirchhoff (LTK): la suma algebraica de todas las tensiones alrededor de cualquier lazo es igual a cero

Debemos asignar un signo algebraico (direccin de referencia) para cada tensin del lazo.

A medida que se recorre el lazo, cada tensin aparece como un incremento (suma) o una cada (resta) en la direccin en que recorremos el lazo.

Comenzando en d, y recorriendo hacia la derecha:

Tenemos 7 ecuaciones lineales (3 de LCK, una de LTK y la ley de Ohm en las tres resistencias) con siete incgnitas ( ).

ElectrnicaElectrnicaTema 2. Teora de circuitos elctricos.Tema 2. Teora de circuitos elctricos. 2.2. Circuitos resistivos.2.2. Circuitos resistivos. 1414 de de 4646


Circuitos resistivos y leyes de Kirchhoff (I)Circuitos resistivos y leyes de Kirchhoff (I)

Los circuitos resistivoscircuitos resistivos son aquellos que solamente incluyen fuentes (de cualquier tipo) y resistencias.

De la aplicacin de las leyes de Kirchhoff y de la ley de Ohm se obtiene siempre un sistema de ecuaciones lineales, donde las seales son las incgnitas.

Se puede establecer un nmero suficiente de ecuaciones.

Si solamente tenemos una fuente independiente (voltaje o corriente), todas las seales tienen la misma forma de onda.

De manera general (redundante):

Incgnitas: todas las diferencias de potencial en los dispositivos, y todas las corrientes por las ramas.

Se puede aplicar la LCK en todos los nodos del circuito, y la LTK en todos los lazos del circuito.



Circuitos resistivos y leyes de Kirchhoff (y II)Circuitos resistivos y leyes de Kirchhoff (y II)

Todos los nodos son no esenciales:

Utilizando directamente la ley de Ohm al aplicar la LTK:

As obtenemos is (las corrientes) y con la ley de Ohm, los voltajes.

Simplificaciones sencillas:

Considerar la ley de Ohm en las resistencias lleva a reducir mucho el nmero de incgnitas.

Nodos no esenciales: conectan dos elementos en serie, y la corriente ser la misma por ambos.


Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica Mtodo de las tensiones de nodo (I)Mtodo de las tensiones de nodo (I)

Existen mtodos sistemticos para el establecimiento de incgnitas y el planteamiento del sistema de ecuaciones en un circuito:

Mtodo de las tensiones de nodo.

Mtodo de las corrientes de malla.

Mtodo de las tensiones de nodo:Mtodo de las tensiones de nodo: varios pasos:

1. Determinar y etiquetar los nodos esenciales del circuito.

2. Establecer uno de los nodos como referencia. Esto determina directamente las incgnitas, que sern las tensiones en el

resto de nodos esenciales del circuito.

3. Aplicar la LCK en el resto de nodos esenciales. Las corrientes por las ramas esenciales deben ponerse todas en funcin de las

tensiones de los nodos, usando la ley de Ohm


Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica Mtodo de las tensiones de nodo (II)Mtodo de las tensiones de nodo (II)

1. Los nodos esenciales son b, c, e y g.

2. Ponemos la referencia en g (entonces las variables sern vb, vc y ve.

3. Establecemos las ecuaciones:

i1

i2 i4

i5

i6

i1

i3

Nodo b

Nodo c

Nodo e


Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica Mtodo de las tensiones de nodo (y III)Mtodo de las tensiones de nodo (y III)

1. Los nodos esenciales son 1, 2, 3 y el inferior.

2. Ponemos la referencia en el nodo inferior (entonces las variables sern v1, v2 y v3.

3. Establecemos las ecuaciones:

Nodo 1

(solo necesitamos dos ecuaciones)

Nodo 2

Nodo 3 Fuente dependiente

Restando:


Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica Circuitos resistivos simples (I)Circuitos resistivos simples (I)

Existen estructuras de circuitos resistivos simples que se repiten mucho en circuitos complejos:

Resistencias en serie y en paralelo.

Divisores de voltaje y de corriente.

Resistencias en serie:Resistencias en serie:

Si solo hay dos elementos conectados en un mismo nodo (no esencial) decimos que ambos estn en serie.

Si se conectan k resistencias en serie (rama esencial), el conjunto se comporta como una nica resistencia con valor igual a la suma de todas.


Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica Circuitos resistivos simples (II)Circuitos resistivos simples (II)

Resistencias en paralelo:Resistencias en paralelo:

Si dos elementos estn conectados a la misma pareja de nodos, decimos que ambos estn en paralelo.

Si se conectan k resistencias en paralelo, el conjunto se comporta como una nica resistencia con valor Req tal que:

LCK en a:

Notacin:


Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica Circuitos resistivos simples (y III)Circuitos resistivos simples (y III)

Circuito divisor de corriente:Circuito divisor de corriente:

Se utiliza para repartir una corriente entre dos resistencias:

Circuito divisor de tensin:Circuito divisor de tensin:

Se utiliza para generar ms de un nivel de tensin a partir de una nica fuente.


Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica Circuito equivalente de ThveninCircuito equivalente de Thvenin

Cualquier circuito resistivo puede sustituirse con respecto a un par de terminales por una fuente de tensin VTH en serie con una resistencia RTH

El valor de VTH es igual a la diferencia de potencial existente entre los terminales cuando stos se encuentran en circuito abierto.

El valor de RTH se calcula anulando las fuentes independientes de la red y calculando la resistencia en punto de excitacin (se coloca una fuente de voltaje vP entre los dos terminales y se calcula iP , siendo RTH = vP /iP ).

Si no hay fuentes dependientes, la RTH coincide con la resistencia vista desde los terminales (anuladas las fuentes). Si hay fuentes dependientes, la variable de control debe quedar dentro del circuito al que se calcula el equivalente.


Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica Circuito equivalente de NortonCircuito equivalente de Norton

Cualquier circuito resistivo puede sustituirse con respecto a un par de terminales por una fuente de corriente IN en serie con una resistencia RN

El valor de IN es igual a la corriente que circula cuando se cortocircuitan los terminales.

El valor de RN se calcula exactamente igual que RTH (de hecho, se verifica que RN = RTH ).

Ambos equivalentes estn relacionados:



Equivalente Thevenin y Norton: ejemplo 1Equivalente Thevenin y Norton: ejemplo 1

VTH1 1

(ya que por la resistencia de 4 no circula corriente). Aplicando el mtodo de las tensiones de nodo (referencia en b):

RTH Eliminando las fuentes:

IN

1



Equivalente Thevenin y Norton: ejemplo 2Equivalente Thevenin y Norton: ejemplo 2

VTH

Aplicando el mtodo de las tensiones de nodo (referencia en b):

RTH

1 2

vP

iP2


Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica Superposicin (I)Superposicin (I)

Si en un circuito lineal tenemos ms de una fuente independiente, la respuesta total es igual a la suma de las respuestas individuales.

Respuesta: cualquier seal del circuito.

Respuesta individual: respuesta debida a una nica fuente independiente, anulando las dems.

Anular fuentes: cortocircuito si es de tensin, circuito abierto si es de corriente (igual que para el clculo de RTH )

Calcular el valor de vo utilizando el principio de superposicin.

Como hay dos fuentes independientes, calcularemos la respuesta (vo) a cada una de ellas:

Fuente de tensin 10 V

Fuente de corriente 5 A


Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica Superposicin (y II)Superposicin (y II)

Fuente de 10 V

Al eliminar la fuente de 5 A:

El voltaje vo' se puede calcular mediante la expresin del divisor de voltaje:

Fuente de 5 A

Nodo a:

Nodo b:

ElectrnicaElectrnicaTema 2. Teora de circuitos elctricos.Tema 2. Teora de circuitos elctricos. 2.3. Circuitos dinmicos.2.3. Circuitos dinmicos. 2929 de de 4646

Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica Circuitos dinmicosCircuitos dinmicos

Circuito dinmico:Circuito dinmico: aquel que contiene, adems de resistencias y fuentes, elementos almacenadores de energa (condensadores y bobinas).


Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica Ejemplo: circuito RC (I)Ejemplo: circuito RC (I)

Ejemplo: circuito RC

Leyes de Kirchhoff: resulta una ecuacin diferencial lineal. LVK:

Casos particulares:

Excitacin:

Salida:

Respuesta natural:

Respuesta forzada:

Solucin completa:

Condiciones iniciales:


Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica Ejemplo: circuito RC (y II)Ejemplo: circuito RC (y II)

Respuesta natural:

Respuesta forzada:

Solucin completa:

Condiciones iniciales:



Respuesta de los circuitos dinmicosRespuesta de los circuitos dinmicos a entradas sinusoidales a entradas sinusoidales

En los circuitos dinmicos, si tenemos una nica fuente independiente (entrada) de tipo sinusoidal, todas las seales del circuito, en rgimen estacionario, sern sinusoidales de la misma frecuencia, pero diferente amplitud y fase.

Por tanto, para describir cualquier seal del circuito (respuesta) solamente se necesita calcular dos parmetros: la amplitud ( ) y la fase ( ).

Para calcularlos se utilizan un mtodo especial basado en fasores.

Fasor:Fasor: es un nmero complejo que aporta la informacin de amplitud y fase de su seal sinusoidal asociada.

Se basa en la relacin de Euler (para repasar nmeros complejos, consultar el apndice B de [Nilsson]):

Entrada: Respuesta:



Representacin fasorial o transformada fasorialRepresentacin fasorial o transformada fasorial

Fasores:Fasores:

Dada una seal sinusoidal

La informacin de amplitud y fase se encuentra en . Por ello, se define la representacin fasorial o transformada fasorial de :

Tambin se define la representacin fasorial inversa o transformada fasorial inversa de :



Transformada fasorial y elementos pasivos (I)Transformada fasorial y elementos pasivos (I)

Los fasores resultan tiles para hallar la amplitud y fase de la respuesta para seales sinusoidales en rgimen estacionario de un circuito, ya que el clculo se reduce a una serie de operaciones con nmeros complejos.

Para ver la metodologa, debemos conocer qu ocurre con las relaciones I-V de los componentes y con las leyes de Kirchhoff en el dominio de los fasores (dominio de la frecuencia).

RESISTENCIA Imaginemos que

Entonces

Segn la ley de Ohm:

Luego entonces:

Relacin fasorial I-V de una resistencia



Transformada fasorial y elementos pasivos (y II)Transformada fasorial y elementos pasivos (y II)

CONDENSADOR Si entonces

Segn la relacin I-V:

Luego entonces:

Relacin fasorial I-V de un condensador

BOBINA Si entonces

Segn la relacin I-V:

Luego entonces:

Relacin fasorial I-V de una bobina


Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica ImpedanciaImpedancia

De las relaciones anteriores se concluye que:

donde

Resistencia

Condensador

Bobina

El parmetro Z se denomina IMPEDANCIA. Por tanto, la impedancia de un elemento (o circuito) con dos terminales se

define como el cociente entre el fasor corriente y el fasor tensin.

La impedancia es un nmero complejo, pero no un fasor (no est asociada a una seal sinusoidal).

En general, la impedancia depende de la frecuencia.



Transformada fasorial y leyes de Kirchhoff (I)Transformada fasorial y leyes de Kirchhoff (I)

Ley de Kirchhoff de las tensiones:Ley de Kirchhoff de las tensiones:

Supongamos un lazo con n tensiones, de modo que, segn la LTK:

Si todas las seales son sinusoidales (rgimen estacionario):

Como esto debe verificarse para todo valor de t, la nica posibilidad es que

LTK en forma fasorial



Transformada fasorial y leyes de Kirchhoff (II)Transformada fasorial y leyes de Kirchhoff (II)

Ley de Kirchhoff de las corrientes:Ley de Kirchhoff de las corrientes:

Haciendo un desarrollo anlogo al anterior, se obtiene que:

LCK en forma fasorial

De esta forma, para circuitos fuentes independientes sinusoidales , en rgimen estacionario, podemos utilizar las ecuaciones:

Estas ecuaciones son idnticas a las que tenemos para circuitos resistivos (ley de Ohm, leyes de Kirchhoff), solamente que hablamos de impedancias (nmeros complejos) en lugar de resistencias (reales).

Por tanto, todo lo aprendido para circuitos resistivos, es de aplicacin en este tipo de anlisis (combinacin de impedancias en serie y paralelo, equivalentes Thevenin y Norton, mtodo de las tensiones de nodo, ...)



Transformada fasorial y leyes de Kirchhoff (y III)Transformada fasorial y leyes de Kirchhoff (y III)

Impedancias en serie Impedancias en paralelo

Equivalente de Thevenin Equivalente de Norton


Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica Ejemplo 1: circuito RCEjemplo 1: circuito RC

Calcular vC(t), en rgimen estacionario, sabiendo que:

Fasor asociado:

Aplicando LTK:

De la relacin I-V en C:


Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica Ejemplo 2:Ejemplo 2:

Calcular vo(t) sabiendo que:

Fasores asociados:

Poniendo la referencia abajo, en el otro nodo esencial:

ElectrnicaElectrnicaTema 2. Teora de circuitos elctricos.Tema 2. Teora de circuitos elctricos. 2.4. Funcin de transferencia y respuesta en frecuencias.2.4. Funcin de transferencia y respuesta en frecuencias. 4343 de de 4646

Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica Funcin de transferencia (I)Funcin de transferencia (I)

En un circuito dinmico donde x(t) es la entrada e y(t) es la salida, se denomina funcin de transferenciafuncin de transferencia a la funcin compleja H(j) que relaciona los fasores asociados a x(t) e y(t) cuando consideramos un anlisis para seales sinusoidales en rgimen estacionario.

H(j) es una funcin compleja dependiente de los parmetros del circuito y de , pero no de t .

El mdulo de H(j) relaciona las amplitudes de las seales de entrada y salida, y el argumento relaciona los ngulos de desfase.


Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica Funcin de transferencia (y II)Funcin de transferencia (y II)

En el circuito RC vimos que

con lo cual

Circuito RC

Ejemplo con R = 1 k y C = 1 F

Respuesta en frecuenciasRespuesta en frecuencias


Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica Diagramas de BodeDiagramas de Bode

La amplitud y la fase de la seal de salida varan con la frecuencia (aunque se mantengan constantes en la seal de entrada).

Dicha variacin se conoce como respuesta en frecuencias del circuito, y se estudia mediante la representacin grfica de a() y ().

Para mejorar la interpretacin de las grficas, y realizarlas a mano de manera ms sencilla:

El eje de la frecuencia angular se representa logartmico.

En la representacin, a() se expresa en decibelios:

Esta representacin se conoce como diagrama de Bode.

ElectrnicaElectrnicaTema 2. Teora de circuitos elctricos.Tema 2. Teora de circuitos elctricos. Bibliografa.Bibliografa. 4646 de de 4646

Dpto. Ing. Elctrica, Electrnica y Automtica.Escuela Politcnica BIBLIOGRAFABIBLIOGRAFA

J. W. Nilsson y S. A. Riedel. Circuitos elctricos. Prentice Hall, 7 ed., 2005 (captulos 2, 3, 4 y 9, y apndices A y B).

M. Macas. Electrnica analgica para ingenieras tcnicas. Servicio de Publicaciones, Universidad de Extremadura, 2001 (secciones 1.6 a 1.11).

REFERENCIAS BSICASREFERENCIAS BSICAS

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