electricidad y magnetismo fiz 1300 fis 1532 (6)pauli.fis.puc.cl/~rramirez/e_m/em_b_clase6.pdf ·...

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (6)

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMOFIZ 1300 FIS 1532 (6)

Ricardo RamırezFacultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile

1er. Semestre 2008

Ricardo Ramırez Facultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile


DIELECTRICOS

DIELECTRICOSMichael Faraday realizo el siguiente experimento. Construyo doscondensadores identicos con la misma diferencia de potencial entre susplacas, pero en uno de ellos introdujo un material aislador (dielectrico).

+ + + + + + + + +

− − − − − − − − −

++ + + + + +

− − − − − −

Faraday observo que el condensador con el dielectrico tiene mas carga.



DIELECTRICOS

Posteriormente, Faraday realizo otro experimento con los mismoscondensadores pero ahora cada uno tiene la misma carga electrica.

− − − − − −

+ + + + + ++ + + + + +

− − − − − −

Medidor de

potencial

Observo que el condensador con el dielectrico tiene menor potencial.



DIELECTRICOS

Tambien encontro que la razon de las cargas vale:

Qdiel

Q= κ

y las de los potenciales:Vdiel

V=

1κ

De aquı podemos deducir que:

Cdiel = κC i.e. Cdiel =κεoA

d



DIELECTRICOS

El factor κ se llama CONSTANTE DIELECTRICA del materialaislador. Es una cantidad sin unidades que tiene un valor mayor que1. El valor κ = 1 corresponde al vacıo.Algunos valores de κ:

Vacio 1.0Aire 1.00054Agua 78.0Vidrio Pyrex 4.5Porcelana 6.5Papel 3.5



DIELECTRICOS

EjercicioUn condensador de placas paralelas tiene conectada una baterıa queproduce una diferencia de potencial Vo. Se desconecta la baterıa y seintroduce una placa dielectrica de constante κ. Calcule el cambio en laenergıa potencial.

Antes de colocar el dielectrico:

Uo =Q2

o

2Co

Despues de colocar el dielectrico:

C = κCo, Q = Qo, U =Q2

2C=

Uo

κ



DIELECTRICOS

DIELECTRICOS

Molecula con dipolopermanente

En ausencia de campo electrico los dipolos electricos tienenorientaciones al azar.



DIELECTRICOS

DIELECTRICOS

+

+

+

+

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

−

−

−

−

Al aplicar un campo electrico externo los dipolos tienden a orientarseen la direccion del campo.



DIELECTRICOS

Modelo simple de un dielectrico en presencia de un C.E

E

EE’

o

+

+

+

+

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

−

−

−

−

Aparece una carga en la superficie, que produce un campo ~E ′. Estese opone al campo aplicado ~Eo, dando como resultado el camponeto ~E .



DIELECTRICOS

Apliquemos estas simples ideas a un condensador de placas paralelas dearea A. Si este condensador tiene carga q, su densidad de carga es σ = q/Ay por lo tanto en el vacıo el campo entre las placas es Eo = q

εoA . Al introducirun dielectrico, manteniendo la carga q, aparece el campo E ′ que se debe ala carga q′ de polarizacion y que se opone a Eo, i.e. E ′ = q′

εoA . Ahora elcampo resultante E se puede escribir como E = Eo

κ, lo que se deduce de

V = Voκ

. Pero E = Eo − E ′,

o seaq

κεoA=

qεoA

− q′

εoA→ q

A=

qκA

+q′

A

Entonces definiendo D = qA y P = q′

A obtenemos:

D = εoE + P

Ahora vamos a hacer un tratamiento mas sistematico de la teorıa delos dielectricos



DIELECTRICOS

DIELECTRICOS. PotencialSabemos que el potencial en ~r debido a un dipolo electrico en ~r ′

esta dado por:

V (~r) =1

4πεo

~p(~r ′) · (~r −~r ′)|~r −~r ′|3

Ahora consideremos una pequena region del dielectrico de volumendv = d3r . Dentro de este volumen hay muchos dipolos orientados enmuchas direcciones. Entonces el dipolo total dentro de dv es

∑~pi , el

que dividimos por dv ,~P =

∑~pi

dvA esta cantidad la llamamos vector POLARIZACION, y por lo tantocorresponde al momento dipolar por unidad de volumen.



DIELECTRICOS

El potencial en ~r debido al dipolo electrico ~Pd3r ′ ubicado en ~r ′

esta dado por:

dV (~r) =1

4πεo

~P(~r ′) · (~r −~r ′)|~r −~r ′|3

d3r ′

Pero ya sabemos que:

~r −~r ′

|~r −~r ′|3= ∇′ 1

|~r −~r ′|



DIELECTRICOS

Por lo tanto, el potencial debido al dielectrico completo lo podemos obtenerintegrando en todo el espacio:

V (~r) =1

4πεo

Z~P(~r ′) · ∇′ 1

|~r −~r ′|d3r ′

Haciendo α = 1|~r−~r ′| en la identidad vectorial:

∇′ · (α~P) = ~P · ∇′α + α∇′ · ~P

y utilizando el teorema de la divergencia, obtenemos:

V (~r) = − 14πεo

Z∇′ · ~P(~r ′)|~r −~r ′|

d3r

donde la integral es en todo el espacio



DIELECTRICOS

La expresion anterior da el potencial debido a los dipolos deldielectrico. Si este tiene ademas una distribucion de carga libre ρ(~r ′),el potencial debe escribirse como:

V (~r) =1

4πεo

∫ρ(~r ′)−∇′ · ~P(~r ′)

|~r −~r ′|d3r

Este es el potencial de una densidad de carga efectiva ρ−∇ · ~P y porlo tanto la ley de Gauss o la primera ley de Maxwell debe sermodificada para un dielectrico:

∇ · ~E =1εo

(ρ−∇ · ~P)

y que se puede reescribir como:

∇ · (εo~E + ~P) = ρ



DIELECTRICOS

Notese que el vector εo~E + ~P depende exclusivamente de la carga

libre ρ. Este vector se llama VECTOR DESPLAZAMIENTO:

~D = εo~E + ~P

lo cual permite escribir la ley de Gauss como:∮S

~D · ndS = Q =

∫V

ρd3r

aplicada a superficie S que encierra en volumen V , y la 1ra. ley deMaxwell queda como:

∇ · ~D = ρ

Ambas expresiones validas para un dielectrico.



DIELECTRICOS

Ahora volvamos al caso en que no hay carga libre, i.e. ρ = 0. Como ya vimosel potencial en este caso es:

V (~r) = − 14πεo

Z∇′ · ~P(~r ′)|~r −~r ′|

d3r

Esta integral se puede hacer sobre todo el espacio debido a que elintegrando es nulo fuera del dielectrico. donde P = 0. Ası la expresion puedeentenderse tambien como una integral sobre el volumen del dielectrico. Sinembargo, debido a que la polarizacion ~P sufre una discontinuidad en lasuperficie del dielectrico, es conveniente separar la contribucion de estadiscontinuidad. Partiendo de la expresion:

V (~r) =1

4πεo

ZVo

~P(~r ′) · ∇′ 1|~r −~r ′|

d3r

y usando la identidad vectorial:

∇′ · (α~P) = ~P · ∇′α + α∇′ · ~P α =1

|~r −~r ′|

y el teorema de la divergencia, podemos obtener la expresion:Ricardo Ramırez Facultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile


DIELECTRICOS

V (~r) =1

4πεo

ZVo

ρP(~r ′)|~r −~r ′|

d3r ′ +1

4πεo

ISo

σP(~r ′)|~r −~r ′|

dS′

donde:σP = ~P · ~n, ρP = −∇′ · ~P

y Vo es volumen de dielectrico limitado por la superficie So



DIELECTRICOS

DIELECTRICOS. Campo ElectricoEl campo electrico se puede obtener de ~E = −∇V y utilizando laidentidad:

∇ 1|~r −~r ′|

= − |~r −~r ′||~r −~r ′|3

podemos obtener:

~E(~r) =1

4πεo

[ ∫Vo

ρP(~r ′)|~r −~r ′||~r −~r ′|3

d3r ′ +∮

So

σP(~r ′)|~r −~r ′||~r −~r ′|3

dS′]donde Vo es volumen de dielectrico limitado por la superficie So.



DIELECTRICOS

DIELECTRICOS. Susceptibilidad. Constante dielectrica

S

qq

12

S1 S2

Dentro de V encerrado por S hay dos tipos de carga: Q = q1 + q2 y la carga depolarizacion Qp =

RS1+S2

~P · ndS +R

V (−∇ · ~P)d3r = −H

S~P · ndS. Entonces deH

S~E · ndS = 1

εo(Q + Qp) obtenemos

HS(εo~E + ~P) · ndS = Q



DIELECTRICOS

~D = εo~E + ~P = εo(~E +~Pεo

)

Para campos electricos ~E no muy grandes, la polarizacion se puedeconsiderar proporcional al campo electrico aplicado:

~P = χ~E

Por lo tanto:~D = εo(1 +

χ

εo)~E = κεo~E κ = (1 +

χ

εo)

La constante χ se llama susceptibilidad y ε = κεo la permitividad deldielectrico,



DIELECTRICOS

DIELECTRICOS. Cambio de energıa con carga constante

− − − − − −

+ + + + + +

Q

−Qx

Antes de introducir el dielectrico la capacidad del condensador esCo = εowL/d , donde A = wL y la energıa es Uo = Q2/(2Co). Al introducir eldielectrico una distancia x , la capacidad cambia a:

C = εow(L− x)/d + κεowx/d

Como C > Co, la energıa final, U = Q2/(2C), es menor que Uo.



DIELECTRICOS

Al crecer x en dx la energıa disminuye: dU = − 12 (Q/C)2dC. Esto es igual a

−dW , el trabajo realizado para mover el dielectrico en dx , y como dW = Fdxobtenemos:

F = ∂W/∂x = −∂U/∂x =12

(Q/C)2∂C/∂x

Esta fuerza esta dirigida hacia la direccion en que crece x , ya que C crececon x .



DIELECTRICOS

Condiciones de borde para D y EConsideremos la superficie que separa dos dielectricos de constantes κ1 yκ2 como se muestra en la figura. Suponiendo que no hay carga libre ρ enesta superficie podemos escribir:

∇ · ~D = 0 y ∇× ~E = 0

Entonces utilizando:RS

~D · ndS = 0y

HC

~E · d~l = 0, podemos obtener:

D1n = D2n E1t = E2t

Para las componentes normales de ~D y tangenciales de ~E .

κ

κ

1

2

D

D

1

2

1

2

E

E

S

C



DIELECTRICOS

Ruptura dielectricaSe produce cuando un aislador es sometido a un campoelectrico muy alto y conduce la electricidad a traves de unadescarga.Fortaleza dielectrica es el campo electrico que un materialaislador puede soportar antes de producirse la ruptura.En el aire esta cantidad es 3×106 [V/m] = 3 M N/C.En el aire esta descarga se llama descarga de arco. Ejemplo: elrayo.



Problemas de dielectricos y condensadores

Problema 1Un condensador esta conectado a una baterıa que mantiene un potencial Vo entre susplacas. Se desconecta la baterıa y se inserta una placa dielectrica de constanteκ = 7.0 y espesor b = 0.5 cm. Suponga que A = 100 cm2, d = 1.0 cm y Vo = 100 V.a) Calcule C antes de insertar el dielectrico.b) Calcule la carga libre.c) Calcule el campo electrico entre las placas del condensador. d) Calcule el campoelectrico en el dielectrico.e) Calcule la diferencia de potencial con el dielectrico.f) Calcule la capacidad con el dielectrico.

d b

a) 8.9 pF; b) .89 nC; c) 104 V/m; d) 0.14× 104 V/m; e) 57 V; f) 16 pF




Problema 2Un condensador tiene placas cuadradas, cada una de lado a, conuna pequen a inclinacion θ entre ellas. Demuestre que la capacidadesta dada aproximadamente por:

C =εoa2

d(1− aθ

2d)

θ

a

a

d




Problema 3Demuestre que la capacidad del condensador del Problema 1 vale:

C =κεoA

κd − b(κ− 1)

d b

V = Eo(d−b)+Eb, Eo =q

εoAE =

qκεoA

→ V =q

εoA

[d − b +

bκ

]




Problema 4Una esfera conductora de radio R tiene una carga Q. La esfera tienesobre ella una capa dielectrica de radio a y constante dielectrica κ.Calcular el campo electrico y el potencial en todo punto.

D =Q

4πr 2 R < r < ∞

E =Q

4πεor 2 V =Q

4πεor(a < r < ∞)

E =Q

4πκεor 2 V =Q

4πεo

ˆ 1κ

„1r− 1

a

«+

1a

˜(R < r < a)

E = 0 V =Q

4πεo

ˆ 1κ

„1R− 1

a

«+

1a

˜(r < R)

aR

Q




Problema 5Un condensador de placas paralelas se llena con dos capasdielectricas de espesores d1 y d2 y constantes dielectricas κ1 y κ2como se muestra en la figura. Calcular la capacidad del condensador.

d

A

κ 1

κ 2

C = εoA[

d1

κ1+

d2

κ2

]−1




Problema 6Calcule la capacidad del condensador de la figura




Problema 7Calcule la capacidad entre los puntos x e y de la figura.

x y

C

CC C

C

1 2 3

4

5




Problema 8Inicialmente el interruptor S esta conectado a la izquierda y elcondensador C1 adquiere una carga q′

1. Posteriormente el interruptorse conecta a la derecha. ¿Cuales son las cargas finales q1, q2 y q3en los condensadores C1, C2 y C3?

V CC

C

o 1

3

2S




Problema 9Un condensador de placas paralelas tiene una separacion entre lasplacas igual a d y el espacio entre las placas esta lleno condielectricos de constantes κ1 y κ2 cubriendo areas A1 y A2respectivamente. Calcule la capacidad del condensador.

A A

d

21




Problema 10El espacio entre dos cascaras esfericas conductoras concentricas deradios a < b se llena con un dielectrico de constante κ. Se colocaentre las placas una diferencia de potencial V .a) Calcule la capacidad del condensador,b) Calcule las cargas libres en las esferas.c) Calcule las cargas de polarizacion.

b

a




Problema 11En el cicuito de la figura:a) Encuentre la carga en cada condensador cuando se cierrasolamente S1.b) Posteriormente se cierra tambien S2. Encuentre la carga en cadacondensador,

C C

S

S

B

43

1

2

C C1 2




Problema 12Los condensadores C1 y C2 se cargaron inicialmente con la mismadiferencia de potencial V , pero con polaridad opuesta, como semuestra en la figura.Despues que se cierran los interruptores S1 y S2.a) ¿Cual es ahora la diferencia de potencial entre A y B? b) ¿Cualesson las cargas en C1 y C2?

−

+

+

−C C

S

1

1

2

2

S

B

A




Problema 13Inicialmente los condensadores C1 = 2µF , C2 = 4µF y C3 = 6µF se cargan enparalelo con una fuente de V = 200 V. Luego los condensadores se desconectan y sereconectan en la forma indicada en la figura.a) ¿Cual es el voltaje en cada condensador cuando se cierran los interruptores S1 yS2, pero S3 permanece abierto?b) ¿Cual es la carga en cada condensador cuando tambien se cierra S3?

S

S S1 2

3

1C 3CC

2

q −q q −q q −q1 2 321 3




SOLUCION.Inicialmente, las cargas de los condensadores son:

q1o = 400µC, q2o = 800µC, q3o = 1200µC

a) Los tres condensadores tienen el mismo voltaje, V = 200 V.b) Al cerrar los tres interruptores, los condensadores adquieren nuevas cargas q1, q2 yq3, que deben cumplir las ecuaciones:

q1

C1+

q2

C2+

q3

C3= 0, q1 − q2 = q1o − q2o, q2 − q3 = q2o − q3o

Por lo tanto: q1 = Vh C1

C2+

C1

C3− 2

i/

h 1C1

+1

C2+

1C3

i= −

280011

µC

Y similarmente q2 =1600

11µC, q3 =

600011

µC

c) V1 = −1400/11 V, V2 = 400/11 V, V3 = 1000/11 V




Problema 14Un condensador de placas paralelas se carga a un voltaje V y despues se desconectade la fuente. Luego se inserta un dielectrico de constante κ = 2 que cubre el area 1

2 Adel condensador. Sea σ1 la densidad de carga libre en la superficie cubierta por eldielectrico y σ2 en la superficie si dielectrico.a) ¿Por que el campo electrico tiene el mismo valor dentro del dielectrico y en elespacio libre entre las placas?b) Demuestre que σ1 = 2σ2.c) Demuestre que la nueva capacidad es3εoA/2dd) Demuestre que el nuevo potencial es 2

3 V

A

κ

d


electricidad y magnetismo fiz 1300 fis 1532 (6)pauli.fis.puc.cl/~rramirez/e_m/em_b_clase6.pdf ·...

Documents