EL BALÓN DE FUTBOL Y LA MATEMÁTICA

Miguel Ángel Mejía RojasCCH SUR

OBJETIVOS: Describir la matemática que encierra el balón de futbol.

Reconocer al balón de futbol como un poliedro.

Motivar a los alumnos al estudio de la geometría por medio del poliedros que sean atractivos para el estudiante.

Esto del futbol no solo es cosa de hombres, eh! También cada vez mas las mujeres se integran más a este deporte.

¿Por qué será?

A pesar de que el balón es el objeto sobre el que gravita toda nuestra actividad en la cancha, estarán de acuerdo que no le prestamos la atención que merece

Ese balón que seguramente ha pasado por sus manos, y que tal vez les ha dado alegrías y tristezas, tiene algunas sorpresas matemáticas, vamos a ver…

Pocas Muchas

Cuándo está bien inflado, ¿qué figura geométrica aparenta?

Exacto, una ESFERA, el cuerpo ideal de los filósofos griegos, la creación de los dioses!

Pero, ¿realmente es una esfera? Fíjense bien …

¿Qué les parece? Observen sus piezas, ¿qué son?

¡Exacto! Son pentágonos y hexágonos

Mírenlo con atención …

Pues bien, ha dejado de ser una esfera y ahora es lo que los matemáticos llaman, POLIEDRO, es decir, es un cuerpo geométrico cuyas caras son planas (polígonos) y encierran un volumen finito.

Este poliedro tiene nombre propio y se llama ICOSAEDRO TRUNCADO, (lo de icosaedro es por tener 20 caras)

¿Se han preguntado cuántos pentágonos y cuántos hexágonos tiene? Seguro que no y no es algo fácil saberlo.Tomen el balón en sus manos y cuéntenlos!

¿Ya lo tienen? ¿No se habrán equivocado?Los pentágonos no son tan difíciles de contar.

Efectivamente son 12!

¿Y que tal con los hexágonos? ¿No es fácil? Que tal si los pensamos matemáticamente, es decir… Cada pentágono está rodeado por…

5 hexágonos, y como hay 12 pentágonos entonces debería de haber…

12 x 5 = 60 hexágonos pero ¡OJO! Cada hexágono está unido a 3 pentágonos diferentes, es decir… estamos contando triple.

Entonces dividiendo entre 3 tenemos finalmente 60 / 3 = 20 hexágonos! (¿recuerdan el 20 del icosaedro?).

Entonces en total tiene 32 caras.

Ya puestos a contar, ¿Cuántas aristas (lados del polígono que en este caso son las costuras del balón) tiene?. Se les recomienda no intentar contar a lo salvaje sino usando un poco de razonamiento matemático, es decir: Si tenemos 20 hexágonos y cada uno de ellos tiene 6 aristas = 120 aristas. Para los pentágonos tendríamos…

60 aristas, entonces en total tendríamos 180 aristas. ¿Qué error estamos cometiendo?

Cada arista esta compartida por 2 polígonos, así que se ha contado doble. Para obtener el resultado correcto hay que dividir entre 2, por lo que tenemos 180 / 2 = 90 aristas o costuras en este caso.

¿Qué sucede con los vértices (los puntos donde se juntan las aristas)? ¿Cuántos vértices tendrá? Una vez más, contemos usando ojos matemáticos.

Veamos, cada arista tiene 2 vértices, y como tenemos 90 aristas entonces 90 x 2 =180 vértices. ¿Es este resultado correcto? ¿Qué piensan?

Si en cada vértice hay tres aristas, entonces cada uno lo hemos contado 3 veces, así que hay …

Eso es, 180 dividido entre 3 = 60 vértices!.

Regresando al balón, bueno, al icosaedro truncado. Este poliedro se obtiene al cortar los 12 vértices de un icosaedro de ahí su nombre. Los 12 pentágonos corresponden a los 12 cortes en los vértices del icosaedro y los 20 hexágonos son los restos de las caras del icosaedro.

Icosaedro Icosaedro truncado

¿Por qué creen que se utiliza este poliedro para construir los balones?, ¿es el que más se aproxima a una esfera?

Fíjense que su volumen es sólo el 86,74 % de la esfera correspondiente, no es una mala aproximación! Pero cuando se infla el balón, las caras se curvan y el porcentaje aumenta ligeramente y sobrepasa el 95 %.

Existe un poliedro de nombre casi impronunciable llamado ROMBICOSIDODECAEDRO que ocupa el 94.32 % de una esfera ¡y sin inflar! Formado por 12 pentágonos, 30 cuadrados y 20 triángulos, 62 caras en total (casi el doble del icosaedro truncado). Tiene solo 120 aristas y 60 vértices.

También existen poliedros se pueden hacer de tal forma que parezcan esferas perfectas (y eso sin inflar), aunque parezcan algo exóticos no dejan de ser poliedros.

Poliedro “sin inflar”

Estos poliedros son usados en las bóvedas de algunos radiotelescopios.

El Spaceship Earth en la Florida

PREGUNTAS: ¿Cuáles son las semejanzas entre un balón de futbol y la matemática?¿Qué es un poliedro?¿Qué es un pentágono y qué un hexágono?¿Define con tus propias palabras qué es un vértice, una arista y una cara?¿Cómo se llama el poliedro que es utilizado para hacer balones de futbol?¿Qué es truncar?¿Cómo medirías el volumen del icosaedro truncado?¿Qué sugerencias harías para hacer poliedros que sean usados para balones de futbol de tal forma que fueran más parecidos a la esfera? ¿Qué otros poliedros conoces que tengan un uso en la vida cotidiana?