elasticidad. teoremas energéticos

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ELASTICIDAD. Teoremas Energéticos

•Energía y energía complementaria de deformación

Carga estática: fuerza aumentando lentamente desde cero hasta el valor finalSe supone que la línea de acción de P no varía durante el proceso de carga -- = indeformada-- = deformada = desplazamiento total = desplazamiento correspondiente o eficaz con P

A

A’

P

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f d

d W= P.d

PP f

PW

f

d P W0W = trabajo de deformaciónW U, Q, T, c conservación de la energíaW = UU0 = 0 W = U = Energía de deformación o elásticaFunción potencial, sólo depende de la deformación final

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f PdP W0 *

f

d P d W*= .d P

PP f

P

W*

W* = trabajo complementario de deformaciónW* = U* = Energía de complementaria de deformaciónW+W* = Pf.f

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•Fórmula de Clapeyron

Si la respuesta del sistema es lineal y no hay variaciones térmicas

f

PP f

W

W*

k

PkPUUWW f

fff

22

21

21

21

**

kP

5

n

P1

P 2Pn


i = desplazamiento correspondiente a la carga i-ésimadebido a la acción simultánea de todas las cargas

n

iiiPU

1 21

Caso de varias cargas

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En función de la matriz de tensiones

n, desacopladas: los trabajos de cada una se pueden calcular independientemente

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nx, ny, nz acopladas: cada una produce deformaciones en su propia dirección y en las transversales


x . d x

z . d z

y . d y y . d x.d z

x.d y.d z

z.d x.d y

x

y

z

d x

d y

d z

dzdydxdW znzynyxnxn 21

x, y, z debidas a la acción simultánea de nx, ny, nz

8

x y

xy.d y xy.d x.d z

x

y

z d x

d y


xy, yz, zx desacopladas: cada una sólo produce deformación angular en su propia dirección

dzdydxdW zxzxyzyzxyxyt 21

9


tn dWdWdW

dzdydxdW zxzxyzyzxyxyznzynyxnx 21

El trabajo elemental total será

Expresando las deformaciones en función de las tensionesa través de la ley generalizada de Hooke, se llega a

dzdydxGE

dU zxxyzxynxnznznynynxnznynx

222222

21

221

Integrando en todo el volumen, se obtiene la energía elásticatotal almacenada en el sólido

V zxxyzxynxnznznynynxnznynx dzdydxGE

U 222222

21

221

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n

i

d i

P1

P 2 P i

Pn


•Primer teorema de Castigliano

Sistema elástico lineal o no lineal

ii

dU

dU

ii dPdW

ii

PU

En un sistema elástico la derivada parcial de la energía de deformación respecto de uno de los desplazamientos es igual

a la carga correspondiente a dicho desplazamiento

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•Teorema de Crotti-Engesser

Sistema elástico lineal o no lineal

ii

dPPU

dU*

iidPdW *

iiP

U *

En un sistema elástico la derivada parcial de la energía complementaria de deformación respecto de una de las cargas

es igual al desplazamientos correspondiente a dicha carga

n

i

d P iP1

P2 P i

P n

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•Segundo teorema de Castigliano

Sistema elástico lineal UU *

iiPU

En un sistema elástico lineal la derivada parcial de la energía de deformación respecto de una de las cargas es igual al

desplazamiento correspondiente a dicha carga

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•Criterios de agotamiento

Tratan de predecir la condición de agotamiento en estados tensionales complejos a partir de los resultados de ensayos

de tracción y compresión uniaxiales

Agotamiento

Deformación

Rotura

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ct 3

•Criterio de la tensión principal máxima (Rankine)

El agotamiento en un punto de un sólido elástico se produce cuando la tensión principal positiva máxima alcanza la tensión de

agotamiento en el ensayo de tracción, o cuando la negativa mínima alcanza la tensión de agotamiento en el ensayo de compresión

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eqt 3

El agotamiento en un punto de un sólido elástico se inicia cuando la tensión tangencial máxima alcanza la correspondiente en el

ensayo de tracción

•Criterio de la tensión tangencial máxima (Tresca)

oagotamientteq

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2

13

2

3

2

21 221

eq

El agotamiento en un punto de un sólido elástico se inicia cuando la energía de distorsión unitaria iguala a la correspondiente del

ensayo de tracción

•Criterio de von Mises

oagotamientteq

elasticidad. teoremas energéticos

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