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UNIVERSIDAD ALONSO DE OJEDA
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Unidad Curricular: Matemática II
Elaborado por:
Ing. Ronny Altuve
Ciudad Ojeda, Mayo 2016
LÍMITES
INDICADOR DE LOGRO
Unidad curricular: Matemática II
Aplicar la definición y propiedades de los límites, resolviendo
problemas propuestos.
Un límite matemático, expresa la tendencia de una función mientras
sus parámetros se aproximan a un cierto valor.
Esta noción de “acercarse cada vez más a algo, pero sin tocarlo”, es
muy importante en matemáticas y tiene que ver con el concepto de límite,
que es fundamental para el Cálculo.
INTRODUCCIÓN
Unidad curricular: Matemática II
Básicamente, se considera que una
variable “se acerca al máximo” a un
valor específico, y se examina el efecto
que esto tiene sobre los valores de la
función.
INTRODUCCIÓN
Unidad curricular: Matemática II
Por ejemplo, si se considera la función:
lim𝑥→1
𝑓 𝑥 =𝑥3 − 1
𝑥 − 1
X < 1 X > 1
x f(x) x f(x)
0.8 2.44 1.2 3.64
0.9 2.71 1.1 3.31
0.95 2.8525 1.05 3.1525
0.99 2.9701 1.01 3.0301
0.995 2.985025 1.005 3.015025
0.999 2.997001 1.001 3.003001
INTRODUCCIÓN
Unidad curricular: Matemática II
Por ejemplo, si se considera la función:
lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3
X < 2 X > 2
X f(x) x f(x)
1.5 4.5 2.5 5.5
1.9 4.9 2.1 5.1
1.95 4.95 2.05 5.05
1.99 4.99 2.01 5.01
1.999 4.999 2.001 5.001
El límite de f(x) cuando x tiende a “c” es el número L, y ello se escribe:
lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿
Si f(x) está arbitrariamente cerca de L para toda “x” suficientemente
cercana a “c”, pero no igual a “c”.
DEFINICIÓN DE LÍMITE
Unidad curricular: Matemática II
Es importante recordar que cuando
se determina un límite, lo importante
NO es lo que le sucede a f(x) cuando x
es igual a “c”, sino sólo lo que le ocurre
cuando x está cerca de c.
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Unidad curricular: Matemática II
Teorema 1.
Si a є R, entonces:
lim𝑥→𝑎
𝑥 =𝑎
Teorema 2. Límite de una constante
Si c = constante, entonces:
lim𝑥→𝑎
𝑐 = 𝑐
Teorema 3. Límite de una combinación lineal
Si c = constante y 𝑓(𝑥) una función, entonces:
lim𝑥→𝑎
𝑐 ∙ 𝑓(𝑥) = 𝑐 ∙ lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Unidad curricular: Matemática II
Teorema 4.
Si m = cte, b = cte, entonces:
lim𝑥→𝑎
𝑚𝑥 + 𝑏 = 𝑚𝑎 + 𝑏
Teorema 5. Límite de una suma
Si lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐺 y lim𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = 𝐻 , con G y H є R, entonces:
lim𝑥→𝑎
[𝑔 𝑥 + ℎ 𝑥 ] = lim𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 + lim𝑥→𝑎
ℎ 𝑥 = 𝐺 + 𝐻
Teorema 6. Límite de una diferencia
Si lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐺 y lim𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = 𝐻 , con G y H є R, entonces:
lim𝑥→𝑎
[𝑔 𝑥 − ℎ 𝑥 ] = lim𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 − lim𝑥→𝑎
ℎ 𝑥 = 𝐺 − 𝐻
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Unidad curricular: Matemática II
Teorema 7. Límite de un producto
Si lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐺 y lim𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = 𝐻 , con G y H є R, entonces:
lim𝑥→𝑎
[𝑔 𝑥 ∙ ℎ 𝑥 ] = lim𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 ∙ lim𝑥→𝑎
ℎ 𝑥 = 𝐺 ∙ 𝐻
Teorema 8. Límite de un cociente
Si lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐺 y lim𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = 𝐻 , con G y H є R, con H ≠ 0, entonces:
lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)=
lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
lim𝑥→𝑎
ℎ(𝑥)=𝐺
𝐻
Teorema 9. Límite de una potencia
Si lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐺 , con m y n є R, siendo n ≠ 0, entonces:
lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)𝑚
𝑛 = 𝐺𝑚
𝑛
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Unidad curricular: Matemática II
Teorema 10. Límite de un polinomio
Si P(x) es una función polinómica, entonces:
lim𝑥→𝑎
𝑃(𝑥) = 𝑃(𝑎)
Teorema11.
Si lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐺 y lim𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = 𝐻 , con G y H є R, entonces:
lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)
= lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)lim𝑥→𝑎
ℎ(𝑥)= 𝐺𝐻
Calcular el siguiente límite, justificando que propiedad se está
usando:
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Unidad curricular: Matemática II
a) lim𝑥→2
7
b) lim𝑥→3
𝑥2
c) lim𝑥→
1
2
𝑥2+6𝑥+9
𝑥2−2𝑥+1
d) lim𝑥→2
(𝑥2 + 𝑥)
e) lim𝑥→2
𝑥 + 1 𝑥 − 3
f) lim𝑥→−2
3𝑥3
g) lim𝑥→1
2𝑥2+𝑥−3
𝑥3+4
h) lim𝑡→4
𝑡2 + 1
i) lim𝑥→3
𝑥2 + 73
j) lim𝑡→
1
2
(3𝑡 − 5)
k) lim𝑥→−1
(𝑥3 − 3𝑥2 − 2𝑥 + 1)
l) lim𝑝→4
𝑝2 + 𝑝 + 5
INDETERMINACIONES
Unidad curricular: Matemática II
Indeterminación cero partido entre cero 0
0
1. Función racional sin radicales: Se descomponen en factores los
polinomios y se simplifica la fracción.
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Unidad curricular: Matemática II
FACTORIZACIÓN
Para factorizar un polinomio y calcular sus raíces, se deben seguir los
siguientes pasos, cuando sean posibles:
1. Factor común de un polinomio: Extraer factor común a un polinomio,
consiste en aplicar la propiedad distributiva.
a ∙ x + b ∙ x + c ∙ x = x a + b + c
2. Igualdad notable
I. Diferencia de cuadrados: Una diferencia de cuadrados es igual a
suma por diferencia.
a2 − b2 = a + b ∙ a − b
II. Suma o Diferencia de Cubos perfectos:
a3 + b3 = a + b ∙ 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2
a3 − b3 = a − b ∙ 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Unidad curricular: Matemática II
III. Trinomio cuadrado perfecto: Un trinomio cuadrado perfecto es
igual a un binomio al cuadrado.
𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 ± 𝑏 2
IV. Trinomio de segundo grado: Para descomponer en factores el
trinomio de segundo grado𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, se iguala a cero y se
resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación
son x₁ y x₂, el polinomio descompuesto será:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑥 − 𝑥1 ∙ 𝑥 − 𝑥2
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Unidad curricular: Matemática II
Factorización de un polinomio de grado superior a dos
Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las
raíces enteras.
A. Tomamos los divisores del término independiente
B. Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división
es exacta
C. Dividimos por Ruffini.
D. Por ser la división exacta, D = d · c
E. Se continua realizando las mismas operaciones a los siguientes
factores.
Evalúa los siguientes límites:
1. lim𝑥→1
𝑥² − 1
𝑥 − 1
2. lim𝑥→1
𝑥² + 𝑥 − 2
𝑥 − 1
3. lim𝑥→
13
3𝑥 − 1
3𝑥2 + 5𝑥 − 2
4. lim𝑥→2
𝑥3 − 8
𝑥2 − 4
5. lim𝑥→1
𝑥3 − 3𝑥 + 2
𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 1
6. lim𝑥→1
3𝑥4 − 4𝑥3 + 1
(𝑥 − 1)2
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Unidad curricular: Matemática II
7. lim𝑥→1
𝑥² + 𝑥 − 2
𝑥2 − 𝑥
8. lim𝑡→1
𝑡² + 𝑡 − 2
𝑡2 − 1
9. lim𝑦→0
5𝑦3 + 8𝑦2
3𝑦4 − 16𝑦2
10. lim𝑥→2
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
11. lim𝑥→4
𝑥 − 4
𝑥2 − 𝑥 − 12
12. lim𝑥→2
8 − 𝑥3
𝑥2 − 2𝑥
INDETERMINACIONES
Unidad curricular: Matemática II
Indeterminación cero partido entre cero 0
0
2. Función racional con radicales. En primer lugar se multiplica
numerador y denominador por la conjugada de la expresión
irracional.
Para la conjugada: (A + B)(A - B) = A² - B²
(A – B)(A² + AB + B²) = A³ - B³
(A + B)(A² - AB + B²) = A³ + B³
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Unidad curricular: Matemática II
Evalúa los siguientes límites:
1. limx→9
x²−9x
3− x
2. limx→2
x²+3x−10
x2+5−3
3. limx→1
1− x
x2+3−2
4. limx→0
1− 1+x3
x
5. limx→1
x3 −1
x−1
6. limx→−1
x3 +1
𝑥2+x
INDETERMINACIONES
Unidad curricular: Matemática II
Indeterminación infinito partido entre infinito ∞
∞
Se dividen todos los sumandos por la potencia de mayor exponente.
Reglas Prácticas
1. Si el numerador y denominador tienen el mismo grado el límite es el
cociente entre los coeficientes de las potencias de mayor grado.
2. Si el numerador tiene mayor grado que el denominador el límite es
±∞, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.
3. Si el numerador tiene mayor grado el límite es cero.
Evalúa los siguientes límites:
1. limx→∞
x²+5𝑥+4
𝑥2−2𝑥+1
2. limx→∞
2𝑥5−3𝑥2
𝑥4−𝑥3
3. limx→∞
𝑥2−𝑥+2
3𝑥2+2𝑥−4
4. limx→+∞
3𝑥2−2𝑥
2𝑥+3
5. limx→+∞
𝑥2+1
𝑥+1
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Unidad curricular: Matemática II