elaasticidad

8/19/2019 Elaasticidad

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“ La verdad es que la Ciencia de la Naturaleza ya ha sido

demasiado escrutada mediante solo un trabajo del cerebro

y la imaginación: Es ahora tiempo preciso en que se debe

retornar a la llanura y entereza de las observaciones para

ahondar el conocimiento en los materiales y las cosas inanimadas obvias.”

Robert Hooke

“ Cuando el poder del pensamiento humano se convierte

tan grande y original que sólo podemos percibirlo como

un tipo de imaginación divina, que puede expresarse me-

diante una figura tan simple como el cı́rculo; a quellos que

no investigan la verdad de las cosas se permiten llamarlo

genialidad.”

Otto Mohr 2Fundamentos de elasticidad

Caṕıtulo

El análisis de comportamiento estático de un cuerpo sólido deformable considerado como una enti-dad única es efectuada mediante aplicación de las conocidas ecuaciones de equilibrio. Pero, adicional-mente debe tambíen indagarse el comportamiento de carácter interno que posee la materia contenidaen el interior del volumen espacial ocupado por el mismo.

Aśı, para establecer una determinación analı́tica de la distribución de tensiones y deformaciones(estáticas o dinámicas) en una estructura bajo solicitación externa prescrita, que podŕıa incluir efectosde solicitación térmica, debemos obtener una solución a los principios básicos de la teoŕıa de elasticidad;satisfaciendo las condiciones de contorno impuestas sobre fuerzas y/o desplazamientos. Similarmente,en los métodos matriciales de análisis en mecánica de sólidos, debemos tambíen utilizar los mismosprincipios traducidos en ecuaciones básicas de la elasticidad. Estos principios fundamentales son men-cionados a continuación, con el número de ecuaciones que proporcionan para una estructura generaltri–dimensional en paréntesis:

ecuaciones de deformación–desplazamientos (6)ecuaciones de tensión–deformación (6)ecuaciones de equilibrio (o movimiento) (3)

Luego, existen quince ecuaciones disponibles para obtener soluciones para quince variables descono-cidas, tres desplazamientos, seis tensiones, y seis deformaciones. Para problemas bi–dimensionales tene-mos ocho ecuaciones con dos desplazamientos, tres tensiones, y tres deformaciones. Pueden formularseecuaciones adicionales pertinentes a la continuidad de deformaciones y desplazamientos (ecuaciones decompatibilidad) y tambíen referentes a condiciones de borde sobre fuerzas y/o desplazamientos.

En las primeras secciones de este capı́tulo investigaremos el significado de los tres principios básicosyá mencionados, cuando se aplican al comportamiento localizado del material en un punto interior deun cuerpo sólido deformable. En las secciones restantes del caṕıtulo se estudiarán el equilibrio en unpunto y la geometŕıa de la deformación; aśı como también las relaciones tensión–deformación en unpunto interior de un material real.

Con el objetivo de proveer una rápida referencia para el desarrollo de la teorı́a general del análisismatricial estructural, todas las ecuaciones básicas de la teorı́a de elasticidad son resumidas en estecaṕıtulo, y cuando sea conveniente, ellas son también presentadas en forma matricial.

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26 CAP ́ITULO 2. FUNDAMENTOS DE ELASTICIDAD

2.1. Formulación general del problema

En la mecánica de sólidos se consideran cuerpos deformables en los que las cargas y sus deformacio-nes resultantes se relacionan mediante ecuaciones apropiadas, las cuales describen el comportamientomecánico del medio material bajo la acción de la solicitación impuesta a él. Este estudio, involucrael comportamiento del conjunto, ası́ como tambíen entrar en detalles sobre el comportamiento de lospuntos del interior de los cuerpos. Según avanzamos en nuestro estudio de los sólidos deformables,extenderemos nuestra investigación a estados que presentan cargas y deformaciones en el espacio; pa-ra luego simplificar las ecuaciones halladas a situaciones menos complicadas como estados de tipobi–dimensional y uni–dimensional.

Un análisis certero de la situación previamente planteada, exige que encontraremos necesario estu-diar el comportamiento de cada punto dentro del cuerpo con objeto de explicar la acción del conjunto.Por ejemplo, para determinar el desplazamiento transversal de un punto espećıfico de una viga será ne-cesario examinar la deformación en todos los puntos a lo largo de la misma. Aunque los sistemas queconsideraremos van a ser más complicados que los tratados en la mecánica de sólidos básica de enfo-que escalar, nuestro método de análisis se conservará igual; nuestra atención seguirá polarizada sobrelos tres fundamentos: equilibrio estático, compatibilidad geométrica de la deformación, y relaciones

constitutivas entre tensiones y deformaciones. Naturalmente, al seguir más allá con la aplicación deestos tres principios, necesitaremos un mayor grado de complejidad debido a que incorporaremos enla descripción anaĺıtica un enfoque de desarrollo matricial de las ecuaciones.

Figura 2.1: Comportamiento mecánico de cuerpo sólido deformable

Consideremos un cuerpo continuo deformable sólido, elástico, homogéneo, e isótropo; el cual está so-metido a una serie de fuerzas exteriores que incluyen a las reacciones de apoyo, como se muestra enla Figura 2.1 (a). Debido a la acción de las cargas externas, que se asume llegan a su magnitud finalde modo gradual para mantener la condición estática; aparecerán en el interior del cuerpo fuerzas queequilibren esta solicitación (los esfuerzos de reacción internos), las cuales actúan entre las part́ıculas

del cuerpo. Estas fuerzas internas, medidas por unidad de superficie sobre las que actúan, generan unestado de tensiones en cada punto del cuerpo; el cual es mostrado en la Figura 2.1 (b). Estos esfuerzosde reacción internos además desplazan las part́ıculas del sólido hacia nuevas posiciones espaciales, pro-duciéndose una deformación de cada volumen infinitesimal material componente del sólido, las cualesen conjunto se manifiestan de modo macroscópico como un cambio de forma geométrica volumétricadel cuerpo luego de finalizado el proceso de solicitación impuesta.

El problema general, básicamente es planteado en los siguientes términos: “ Conocido el sistema defuerzas aplicado al cuerpo sólido (estructura o elemento componente), el cual posee una determinadadisposición conocida de apoyos que restringen su movimiento con relación a su medio circundante;


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2.2. ECUACIONES DE DEFORMACI ́ON–DESPLAZAMIENTOS 27

determinar el estado de tensiones interno, el estado de deformaciones interno, y el campo de desplaza-mientos que permite establecer la configuración geométrica deformada del sólido ”.

2.2. Ecuaciones de deformación–desplazamientos

El aspecto deformado de una estructura elástica (o elemento componente) bajo un sistema dadode cargas y distribución de temperatura, puede ser descrito completamente por tres campos de des-plazamientos independientes que tienen como dominio la región espacial ocupada por el material queconforma dicha estructura o elemento. Estos desplazamientos están descritos mediante las relacionesfuncionales que tienen como argumentos las coordenadas espaciales posicionales

u = u (x, y, z)

v = v (x, y, z)

w = w (x, y, z)

(2.1)

Los vectores que representan estos tres desplazamientos en un punto de una estructura son mu-tuamente ortogonales, y sus direcciones positivas corresponden a las direcciones positivas de los ejescoordenados del marco referencial utilizado en la descripción. En la Figura 2.2 se muestra un cuerpoque se deforma, de modo que el punto k perteneciente al cuerpo, pasa a ocupar la posición k luego deocurrida la deformación. El vector desplazamiento ϑ de este punto genérico del cuerpo es dado por:

ϑ =

uv

w

Figura 2.2: Vectores de desplazamiento por deformación

En general, las tres componentes del vector desplazamiento son representadas como funciones delas coordenadas espaciales x,y, y z . Además, estas funciones definidas en las Ecuaciones (2.1) poseenpropiedad matemática de continuidad; por ello, sus variaciones de carácter espacial pueden ser evalua-das apelando a expansiones en series de Taylor. Asi, las deformaciones que ocurren en la estructura queyá ha cambiado su forma original como efecto del proceso de solicitación, pueden ser expresadas comolas derivadas parciales de los desplazamientos u, v y w. Asumiendo las deformaciones de muy pequeñamagnitud, las relaciones deformación–desplazamientos son lineales, y las componentes de deformaciónunitaria que por definición son cantidades adimensionales estan dadas por las ecuaciones siguientes:


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εx = ∂u

∂x εy =

∂v

∂y εz =

∂w

∂z (2.2a)

γ xy = γ yx = ∂v∂x

+ ∂ u∂y

γ xz = γ zx = ∂u

∂z +

∂ w

∂x (2.2b)

γ yz = γ zy = ∂w

∂y +

∂ v

∂z

donde εx, εy, y εz representan las deformaciones unitarias normales, mientras que γ xy, γ xz, y γ yzrepresentan deformaciones unitarias angulares (distorsión angular unitaria). A partir de las Ecuacio-nes (2.2b) se sigue que la relación generalizada de simetrı́a

γ ij = γ ji i = j i, j = x, y, z

es válida para todas las deformaciones unitarias angulares, por lo que solamente un total de seiscomponentes de deformación unitaria es requerido para describir estados de deformaci ón en problemasde elasticidad tri–dimensional.

Las Ecuaciones (2.2) pueden escribirse de modo condensado usando notación matricial, de la manerasiguiente:

εxεyεz

γ xyγ xzγ yz

=

∂ ∂x

0 0

0 ∂ ∂y 0

0 0 ∂ ∂z

∂ ∂y

∂ ∂x 0

∂ ∂z 0

∂ ∂x

0 ∂ ∂z

∂ ∂y

uv

w

Para resumir las relaciones de deformación–desplazamientos se acostumbra escribir la ecuaciónmatricial anterior en forma sint́etica generalizada, como: ε = Dϑ, donde ε se denomina vector de deformaciones unitarias ; y D es llamada matriz operador gradiente parcial .

Muchas veces es apropiado manejar las componentes de deformacíon unitaria en un punto deun cuerpo sólido mediante un arreglo matricial, en el cual los coeficientes contenidos en la diagonalprincipal son las deformaciones unitarias normales, y los elementos fuera de la diagonal se correspondencon las deformaciones unitarias angulares. Dicho arreglo es denominado tensor de deformaciones , ypara el caso de un estado de deformaciones espacial general referido a un marco referencial rectangularestá definido por:

ε = [εij ] =

εx γ xy γ xzγ yx εy γ yzγ zx γ zy εz

que debido a las relaciones ya establecidas resulta ser una matriz simétrica.

Para deducir las relaciones de deformación–desplazamientos, descritas por las Ecuaciones (2.2),podemos considerar un elemento rectangular infinitesimal ABCD en el plano xy ubicado dentro uncuerpo elástico, como se muestra en la Figura 2.3. Si el cuerpo al que pertenece este elemento sufredeformación, el elemento original indeformado ABCD se mueve hacia ABC D.

Aqúı observamos que este elemento tiene dos deformaciones geométricas básicas, cambio en longitudy distorsión angular. El cambio en longitud de AB es (∂u∂x ) dx, y si definimos la deformación normalunitaria como la relación del cambio de longitud sobre la longitud original, se sigue que la deformación


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2.3. ECUACIONES DE TENSI ́ON–DEFORMACI ÓN 29

Figura 2.3: Deformaciones en elemento infinitesimal

normal unitaria en la dirección x es ∂u/∂x. Similarmente, puede demostrarse que las deformacionesunitarias en las direcciones y y z estan dadas por las derivadas ∂v/∂y y ∂w/∂z, respectivamente.

La distorsión angular que sufre el elemento puede ser determinada en términos de los ángulosγ 1 y γ 2 mostrados en la Figura 2.3. Es claro que para deformaciones muy peque ñas γ 1 = ∂v/∂x yγ 2 = ∂u/∂y. Si la deformación unitaria angular γ xy en el plano xy es definida como la deformaciónangular total, i.e., suma de los ángulos γ 1 y γ 2; se sigue que ésta componente de deformación unitariaangular está dada por ∂v/∂x + ∂u/∂y. Las otras dos componentes de deformación angular unitariapueden ser obtenidas considerando deformaciones angulares en los planos xz y yz.

2.3. Ecuaciones de tensión–deformación

En la región elástica, el efecto de la temperatura sobre la deformación unitaria se manifiesta dedos maneras: primero, modificando las magnitudes de las constantes elásticas; y segundo, produciendodiréctamente una deformación unitaria aunque no haya ninguna tensión. El primer efecto es desprecia-ble para cambios de temperatura de unos cientos de grado. El segundo efecto se denomina deformaciónunitaria térmica, y se representa por εT . Para un material isótropo, por razones de simetrı́a, se demues-tra que la deformación unitaria térmica debe ser una expansión pura o una contracción pura sin queaparezcan componentes de distorsión respecto a ningún sistema de ejes. Estas deformaciones térmicasno son lineales con la variación de la temperatura, pero cuando esta variación es de hasta unos 100◦Cse puede representar la variación real mediante una aproximación lineal. Entonces obtendremos para

un cambio de temperatura desde una temperatura referencial T 0 a una temperatura final T .1

εxT = εyT = εzT = α ( T − T 0 )γ xyT = γ xzT = γ yzT = 0

El factor α se llama coeficiente de dilataci´ on lineal , el cual para variaciones de temperatura muyelevadas también depende de la temperatura. Si el cambio en temperatura es de rango razonable,

1 T 0 temperatura a la cual se construye y ensambla la estructuraT temperatura de funcionamiento o trabajo


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como el anteriormente indicado, se puede tomar un valor constante para dicho coeficiente; evaluado encoincidencia con la temperatura promedio.

Si el incremento de temperatura no es uniforme en todas las regiones ocupadas por el cuerpo,cada pequeño elemento se expandirá en un monto diferente, proporcional a su propio incremento de

temperatura, y los resultantes elementos expandidos ya no podrán coincidir juntos para reproducir uncuerpo cont́ınuo; consecuentemente, tensiones elásticas deben ser inducidas de modo que cada elementorefrenará la distorsión de los elementos vecinos adyascentes y la continuidad de desplazamientos en elcuerpo deformado será preservada.

Las deformaciones totales en cada punto de un cuerpo calentado (o enfriado) puede luego pensarseconsistente de dos partes; la primera parte es la deformaci ón térmica εT debido a la expansión ocontracción proveniente del efecto del cambio de temperatura, y la segunda parte es la deformaciónelástica la cual es requerida para mantener la continuidad de desplazamientos del cuerpo sujeto a unadistribución no–uniforme de temperatura. Si simultáneamente el cuerpo es solicitado por un sistema defuerzas externas, deberá también incluir deformaciones provenientes de dicha solicitación. En el casode las deformaciones unitarias angulares totales, estas deben ser coincidentes con las deformacionesunitarias angulares elásticas; ya que una variación en temperatura no genera este tipo de deformaciones(γ T = 0). Ahora, puesto que las deformaciones unitarias en la Secci ón 2.2 fueron derivadas desde los

desplazamientos totales debido al sistema de cargas y la distribución de temperatura, ellas representanlas deformaciones unitaria totales, y pueden ser expresadas como la suma de las deformaciones el ásticas y las deformaciones térmicas εT . Por tanto,

ε = + εT = + α(T − T 0)Las deformaciones elásticas se relacionan a las tensiones por medio de la ley generalizada de Hooke

para elasticidad isotérmica lineal

x = 1

E [σx −ν (σy + σz)]

y = 1

E [σy − ν (σx + σz)]

z =

1

E [σz − ν (σx + σy)]γ xy = 2

1 + ν

E τ xy

γ xz = 21 + ν

E τ xz

γ yz = 21 + ν

E τ yz

(2.3)

donde x, y, z son las deformaciones normales unitarias elásticas; γ xy, γ xz, γ yz son las deformacionesangulares unitarias elásticas; E es el m´ odulo de elasticidad lineal o módulo de Young; ν es el coeficiente de Poisson 2 ; σx, σy, σz son componentes de tensión normal; y τ xy, τ xz, τ yz son componentes de tensióncortante.

Las componentes de tensión actuantes en un punto interno de un medio sólido pueden reunirse

todas en un arreglo matricial al que se denomina tensor de tensiones , el cual tiene como coeficientes ensu diagonal principal a las tensiones normales; y fuera de la misma a las tensiones cortantes o de ciza-lladura. En analoǵıa con el tensor de deformaciones yá establecido, el tensor de tensiones está definidomediante el arreglo matricial:

σ = [σij ] =

σx τ xy τ xzτ yx σy τ yz

τ zx τ zy σz

2 Para los materiales sólidos más comunes: 0 ≤ ν ≤ 1/2


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que por condiciones de equilibrio de carácter rotacional requiere que las tensiones cortantes cumplanla condición: τ ij = τ ji i = j i, j = x, y, z; resultando de ello que la matriz definida previamente seamatriz simétrica.

Considerando estas últimas ecuaciones, podemos ahora evaluar las deformaciones totales (que in-

cluyen efectos de tipo térmico), resultando:

εx = 1

E [σx − ν (σy + σz)] + α(T − T 0)

εy = 1

E [σy − ν (σx + σz)] + α(T − T 0)

εz = 1

E [σz − ν (σx + σy)] + α(T − T 0)

γ xy = 21 + ν

E τ xy

γ xz = 21 + ν

E τ xz

γ yz = 21 + ν

E

τ yz

(2.4)

Las Ecuaciones (2.4) representan la ley generalizada de Hooke de estado tri–dimensional térmico.Estas ecuaciones pueden ser resueltas para las tensiones actuantes en el elemento, y las siguientesrelaciones tensión–deformación unitaria son obtenidas:

σx = E

(1 + ν )(1 − 2ν ) [(1 − ν )εx + ν (εy + εz)] − E α(T − T 0)

1 − 2ν σy =

E

(1 + ν )(1 − 2ν ) [(1 − ν )εy + ν (εx + εz)] − E α(T − T 0)

1 − 2ν σz =

E

(1 + ν )(1 − 2ν ) [(1 − ν )εz + ν (εx + εy)] − E α(T − T 0)

1 − 2ν τ xy =

E

2(1 + ν )

γ xy

τ xz = E

2(1 + ν )γ xz

τ yz = E

2(1 + ν )γ yz

(2.5)

Las Ecuaciones (2.4) y (2.5) pueden ser escritas en forma matricial como

εxεyεz

γ xyγ xz

γ yz

= 1

E

1 −ν −ν 0 0 0−ν 1 −ν 0 0 0−ν −ν 1 0 0 0

0 0 0 2(1 + ν ) 0 00 0 0 0 2(1 + ν ) 0

0 0 0 0 0 2(1 + ν )

σxσyσzτ xyτ xz

τ yz

+ α(T − T 0)

11100

0

(2.6)

y

σxσyσzτ xyτ xzτ yz

= E

(1 + ν )(1 − 2ν )

1−ν ν ν 0 0 0ν 1−ν ν 0 0 0ν ν 1−ν 0 0 00 0 0 1−2ν 2 0 00 0 0 0 1−2ν 2 00 0 0 0 0 1−2ν 2

εxεyεz

γ xyγ xzγ yz

− E α(T − T 0)

1 − 2ν

111000

(2.7)


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Debeŕıa ser notado que en todas las ecuaciones previas, las relaciones tensión cortante–deformaciónangular están expresadas en términos del módulo de Young E y de la relación de Poisson ν . Si fuesenecesario, el m´ odulo de elasticidad transversal G puede introducirse en estas ecuaciones, usando

G =

E

2(1 + ν )

Esta expresión indica que las constantes elásticas del material no son completamente independientessuponiendo que el mismo es homogéneo e isótropo.

La Ecuación (2.7) puede expresarse simbólicamente como

σ = X ε + α(T − T 0)χT (2.8)donde

σ = {σx σy σz τ xy τ xz τ yz}ε = {εx εy εz γ xy γ xz γ yz}

χT

= E

1−2ν {−1

−1

−1 0 0 0

}

X = E

(1 + ν )(1 − 2ν )

1 − ν ν ν :ν 1 − ν ν : 0ν ν 1 − ν :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .: 1−2ν 2 0 0

0 : 0 1−2ν 2 0

: 0 0 1−2ν 2

(2.9)

Los paréntesis de llave “{ }” usados en éstas últimas ecuaciones representan matrices columna ovectores, los cuales son escritos horizontalmente solo para ahorrar espacio en la redacci ón. El término

α(T − T 0)χT en la Ecuación (2.8) puede ser interpretado f́ısicamente como el vector de tensionesnecesario para suprimir la expansión térmica, de modo que ε = 0.

Cuando pre–multiplicamos la Ecuación (2.8) por X −1 y resolvemos para ε, obtenemos

ε = X −1 σ − α(T − T 0)X −1 χT = Φ σ + εT

(2.10)

donde

Φ = X −1 = 1

E

1 −ν −ν :−ν 1 −ν : 0−ν −ν 1 :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

: 2(1 + ν ) 0 0

0 : 0 2(1 + ν ) 0: 0 0 2(1 + ν )

εT = −α(T − T 0)X −1 χT = α(T − T 0) {1 1 1 0 0 0}La Ecuación (2.10) es, por supuesto, la representación matricial de las relaciones previamente es-

tablecidas de deformación–tensión dadas por las Ecuaciones (2.6).


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Distribuciones de tensión bi–dimensional

Hay dos tipos de distribuciones de tensión bi–dimensional, distribuciones de tensión plana y defor-mación plana. El primer tipo es usado para placas planas de reducido espesor cargadas en su propio

plano, mientras que el segundo tipo es usado para cuerpos alargados de sección transversal constantesujetos a carga uniforme.

tensión plana

La distribución de tensión plana está basada en la hipótesis que

σz = τ xz = τ yz = 0 (2.11)

donde la dirección z representa la dirección perpendicular al plano de la placa, y que las componentesde tensión no vaŕıan a través del espesor. No obstante que estas asunciones violan algunas de lascondiciones de compatibilidad geométrica de la deformación, ellas son suficientemente exáctas paraaplicaciones prácticas si la placa es muy delgada.

Usando las Ecuaciones (2.11), podemos reducir la ley de Hooke tri–dimensional representada porla Ecuación (2.7) a

σxσy

τ xy

= E

(1 − ν 2)

1 ν 0ν 1 0

0 0 1−ν 2

εxεy

γ xy

− E α(T − T 0)

1 − ν

11

0

(2.12)

la cual en notación matricial puede ser presentada como

σ = X ε + α(T − T 0)χT donde

σ = {σx σy τ xy}ε = {εx εy γ xy}

χT

= E

1−ν {−1 − 1 0}

X = E

1 − ν 2

1 ν 0ν 1 0

0 0 1−ν 2

La forma matricial condensada que adopta la ecuación sint́etica que gobierna el problema de ten-sión bi–dimensional es exáctamente la misma que la Ecuación (2.8), que gobierna el problema tri–dimensional. Aunque los mismos śımbolos fueron usados en este desarrollo, no se induce ninguna

confusión en el análisis presente; ya que siempre será claro el tipo de relaciones tensión–deformaciónque deberá ser usado en los diversos tipos de problemas que sean planteados.

Las deformaciones unitarias pueden tambíen ser expresadas en términos de las tensiones actuan-tes, y si resolvemos la Ecuación (2.12) asumiendo como incógnitas las componentes del vector dedeformaciones unitarias; obtendremos

εxεy

γ xy

= 1

E

1 −ν 0−ν 1 0

0 0 2(1 + ν )

σxσy

τ xy

+ α(T − T 0)

11

0

(2.13)


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Además, considerando las Ecuaciones (2.8) y (2.11), se establece que

εz = −ν

E (σx + σy) + α(T − T 0)

= −ν

1 − ν (εx + εy) + 1 + ν

1 − ν α(T − T 0)(2.14)

y

γ xz = γ yz = 0

La Ecuación (2.14) indica que la deformación normal unitaria εz es linealmente dependiente de lasdeformaciones εx y εy; y por esta razón no ha sido incluida en la Ecuación (2.13).

La ecuación matricial deformación–tensión para estado de tensión plana puede ser luego represen-tada simbólicamente como

ε = Φ σ + εT

donde

Φ =

1

E

1 −ν 0−ν 1 00 0 2(1 + ν )

εT = α(T − T 0) {1 1 0}deformación plana

La distribución de deformación plana está basada en la hipótesis que los desplazamientos de todoslos puntos del cuerpo están en o son paralelos a un único plano, que nosotros tomamos como el planoxy, y dependen solamente de la ubicación del punto en dicho plano. Por consiguiente, esta hipótesis setraduce en las condiciones:

u = u(x, y), v = v(x, y), w = 0 (2.15)

donde z representa ahora la dirección a lo largo de un cuerpo elástico elongado de sección transversalconstante sujeto a carga uniforme. Con las anteriores asunciones, se sigue inmediatamente aplicandolas Ecuaciones (2.2); que debe cumplirse en este caso particular:

εz = γ xz = γ yz = 0

Cuando estas condiciones son usadas, la ley de Hooke de estado tri–dimensional representada porla Ecuación (2.7) se reduce a

σxσy

τ xy

= E

(1 + ν )(1 − 2ν )

1 − ν ν 0ν 1 − ν 0

0 0 1−2ν 2

εxεy

γ xy

− E α(T − T 0)

1 − 2ν

11

0

(2.16)

σz = ν (σx + σy) − α(T − T 0)τ xz = τ yz = 0

Las ecuaciones últimas implican que la componente de tensión normal σz, en el caso de deformacıónplana, es linealmente dependiente de las otras tensiones normales σx y σy; y por ello no es incluidaen la formulacíon matricial gobernante de este problema, que se describe por la Ecuacíon (2.16).Simbólicamente, la última relación matricial obtenida, puede escribirse sintéticamente como:

σ = X ε + α(T − T 0)χT


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2.4. ECUACIONES QUE INVOLUCRAN TENSIONES INICIALES 35

donde

σ = {σx σy τ xy}ε = {εx εy γ xy}

χT = E

1−2ν {−1 − 1 0}

X = E

(1 + ν )(1 − 2ν )

1 − ν ν 0ν 1 − ν 0

0 0 1−2ν 2

Resolviendo la Ecuación (2.16) para las deformaciones unitarias, obtenemos la ecuación matricial

εxεy

γ xy

= 1 + ν

E

1 − ν −ν 0−ν 1 − ν 0

0 0 2

σxσy

τ xy

+ (1 + ν )α(T − T 0)

11

0

(2.17)

la cual podrı́a ser expresada simbólicamente como

ε = Φ σ + εT

donde para este caso,

Φ = 1 + ν

E

1 − ν −ν 0−ν 1 − ν 0

0 0 2

εT = (1 + ν )α(T − T 0) {1 1 0}

Distribuciones de tensión uni–dimensional

Si todas las componentes de tensión son nulas excepto una de ellas, la tensión normal σx; donde ladirección x es generalmente coincidente con el eje de simetŕıa axial del cuerpo solicitado, entonces la leygeneralizada de Hooke que involucra efectos de tipo térmico toma una forma particular extremadamentesimple, descrita por las ecuaciones:

σx = Eεx −Eα(T − T 0)εx =

1

E σx + α(T − T 0)

En este caso particular, las deformaciones angulares son todas nulas, i.e., γ xy = γ xz = γ yz = 0;pero existen deformaciones normales de elongación o contracción transversales al de solicitación εy, εzque pueden fácilmente calcularse en función de σx.

2.4. Ecuaciones que involucran tensiones iniciales

Si cualquier deformación inicial εI compuesta de deformaciones unitarias normales y angularesestá presente, e.g., aquella debido a falta o exceso en las tolerancias dimensionales y curvatura inicialde los elementos de la estructura previo a su ensamblaje; las deformaciones unitarias totales incluyendoeste efecto previo, deberán ser expresadas como:

ε = + εT + εI


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donde representa a las deformaciones elásticas requeridas para mantener coninuidad de desplaza-mientos debidos a la carga externa, εT la influencia de cambios de temperatura y εI la contribución delas deformaciones iniciales. Las deformaciones unitarias elásticas estan relacionadas a las componentesde tensión mediante la ley de Hooke, y de aquı́ se sigue inmediatamente que las deformaciones unitarias

totales para distribuciones tri–dimensionales estan dadas por

ε = Φ σ + εT + εI (2.18)

dondeεI = {εxI εxI εxI γ xyI γ xzI γ yzI }

representa la matriz columna o vector de deformaciones iniciales. Cuando la Ecuación (2.18) se resuelvepara las componentes de tensión, obtenemos:

σ = X ε−X εT −X εI = X ε + α(T − T 0)χT −X εI

La discrepancia respecto a las especificaciones y tolerancias establecidas para los diversos elementos

componentes en el diseño de una estructura, generará como se vió previamente tensiones iniciales queestán dadas por σI = −X εI , donde por ejemplo las componentes de deformación normal unitariainicial están definidas por la simple relación:

εI = longitud manufacturada − longitud especificada

longitud especificada

La evaluación de deformaciones iniciales debidas a discrepancias en cuanto a curvatura de los elementosrespecto a especificaciones y tolerancias establecidas de tipo angular, pueden establecerse de maneraalgo similar.

2.5. Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones de equilibrio interno que relacionan las nueve componentes de tensi ón (tres tensionesnormales y seis tensiones cortantes) son deducidas considerando el cumplimiento de las condicionesde equilibrio estático que como sabemos se traducen en la nulidad de momentos y fuerzas que actúanen un elemento diferencial. La Figura 2.4 muestra la variación de componentes de tensión asociadasa un corrimiento según la dirección x, las cuales consideran que el estado de tensiones interno gozade la propiedad matemática de continuidad; y por tanto admiten expansión en serie de Taylor (que estruncada en los términos infinitésimos de primer orden).

Si imponemos el equilibrio rotacional tomando momentos, en el punto central del elemento, alre-dedor de los ejes del sistema coordenado; podemos demostrar que en ausencia de momentos internosde tipo másico se cumple:

τ ij = τ ji; i = j ; i, j = x,y, zCuando imponemos el equilibrio de tipo traslacional, sumando fuerzas según las direcciones del

sistema coordenado, se puede demostrar [24] que obtenemos las siguientes ecuaciones:

∂σx∂x

+ ∂ τ xy

∂y +

∂ τ xz∂z

+ Υx = 0

∂τ xy∂x

+ ∂ σy

∂y +

∂ τ yz∂z

+ Υy = 0

∂τ xz∂x

+ ∂ τ yz

∂y +

∂ σz∂z

+ Υz = 0

(2.19)


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2.5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO 37

Figura 2.4: Equilibrio de elemento diferencial

donde Υx, Υy, Υz representan las componentes de la fuerza másica interna (por unidad de volumen)actuante en el material del sólido.

Las Ecuaciones (2.19) deben satisfacerse en todos los puntos del cuerpo. Las tensiones internasvarı́an a través del sólido, y en su superficie limitante ellas deben estar en equilibrio con las fuerzasexternas aplicadas sobre la superficie externa. Cuando la componente de fuerza superficial en la direc-ción i (i = x, y, z) se denota por Γi, puede demostrarse [24] que la consideración de equilibrio sobre lasuperficie permite la obtención de las siguientes ecuaciones,

λxσx + λyτ xy + λzτ xz = Γx

λxτ xy + λyσy + λzτ yz = Γy

λxτ xz + λyτ yz + λzσz = Γz

(2.20)

donde λx, λy, y λz son los cosenos directores de la dirección normal a la superficie limitante consentido saliente respecto al volumen elemental. Estas ecuaciones se obtienen imponiendo el equilibriode fuerzas que actúan sobre un volumen elemental ubicado en la frontera ĺımite del cuerpo, como se

muestra en la Figura 2.5.

Figura 2.5: Equilibrio en la superficie

En el caso particular de distribución de tensiones plana o bi–dimensional, las Ecuaciones (2.20) se


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reducen a:λxσx + λyτ xy = Γx; λxτ xy + λyσy = Γy

las cuales en realidad representan un par de ecuaciones que proporcionan la relaci ón de comportamientotensión–deformación de estado bi–direccional.

Se debe enfatizar que las componentes de fuerza superficial Γx, Γy, y Γz en realidad equilibran a lascomponentes de tensión actuantes en el mismo punto sobre la superficie considerada, por ello es quemucha veces se hace referencia a estas componentes como aquellas que definen el denominado vector tensi´ on Γ que actúa en el punto perteneciente a la superficie que está siendo analizada.

Podemos escribir el conjunto de Ecuaciones (2.20) en una forma compácta del modo mostrado

ΓxΓy

Γz

= λx λy λz

σx τ xy τ xzτ yx σy τ yz

τ zx τ zy σz

que sintéticamente puede ser presentada como

Γ = n̂T σ

donde n̂T es la transpuesta del vector normal unitario saliente respecto de la superficie consideradaasociada al punto analizado, y σ es el tensor de tensiones en dicho punto. Para una mejor comprensi ónde las ecuaciones anteriores, en la Figura 2.6 presentamos el vector normal unitario a la superficieelemental, el cual está definido en base a los cosenos directores asociados con la direcci ón espacial queéste posee.

Figura 2.6: Vector normal unitario

Las fuerzas superficiales Γi y las fuerzas másicas Υi deben tambíen satisfacer las ecuaciones deequilibrio global; i.e., todas las acciones externas actuantes, incluyendo aquellas de reacción de apoyo,deben constituir un sistema de cargas auto–equilibrado. Si el sistema de cargas externas consiste de

una serie de fuerzas concentradas puntuales P i, y momentos concentrados puntuales M i, en adición aΓi y Υi, las siguientes seis ecuaciones deberán satisfacerse S

Γx dS +

V

Υx dV +

P x = 0 S

Γy dS +

V

Υy dV +

P y = 0 S

Γz dS +

V

Υz dV +

P z = 0

(2.21)


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2.6. ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD 39

S

(Γzy − Γyz) dS + V

(Υzy − Υyz) dV +

M z = 0 S

(Γxz −Γzx) dS + V

(Υxz −Υzx) dV +

M y = 0

S

(Γyx − Γxy) dS + V

(Υyx − Υxy) dV + M x = 0(2.22)

Las Ecuaciones (2.21) representan la condición que la suma de todas las cargas aplicadas en lasdirecciones x, y, y z; respectivamente, deben ser iguales a cero. En cambio, las Ecuaciones (2.22)representan la condición de momento nulo alrededor de los ejes del marco referencial x, y, y z ; respec-tivamente.

2.6. Ecuaciones de compatibilidad

Las deformaciones y los desplazamientos en un cuerpo elástico deben variar de manera cont́ınua,lo cual impone la condición de continuidad en las derivadas de los desplazamientos y deformaciones.Consecuentemente, los desplazamientos u, v, y w en la Ecuación (2.1) pueden ser eliminados, y las

siguientes seis ecuaciones de compatibilidad geométrica de la deformación son obtenidas:

∂ 2εx∂y 2

+ ∂ 2εy

∂x2 =

∂ 2γ xy∂x∂y

∂ 2εy∂z 2

+ ∂ 2εz

∂y2 =

∂ 2γ yz∂y∂z

∂ 2εz∂x2

+ ∂ 2εx

∂z 2 =

∂ 2γ xz∂x∂z

∂ 2εx∂y∂z

= 1

2

∂

∂x

− ∂γ yz

∂x +

∂γ xz∂y

+ ∂ γ xy

∂z

∂ 2εy∂x∂z

= 1

2

∂

∂y

∂γ yz

∂x − ∂γ xz

∂y +

∂ γ xy∂z

∂ 2εz∂x∂y

= 1

2

∂

∂z

∂γ yz

∂x +

∂γ xz∂y

− ∂γ xy∂z

(2.23)

Para problemas bi–dimensionales de tensión plana, las seis ecuaciones de compatibilidad se reducena una única ecuación

∂ 2εx∂y 2

+ ∂ 2εy

∂x2 =

∂ 2γ xy∂x∂y

(2.24)

Para sólidos elásticos múltiplemente conectados, como placas con perforaciones, se requieren ecua-ciones adicionales para asegurar valoración única de la solución. En los métodos matriciales de mecánicade sólidos o análisis estructural no se utilizan las ecuaciones de compatibilidad, ya que esta teoŕıa re-quiere solamente el uso de desplazamientos y solamente cuando estos no son usados en problemas deelasticidad es que las relaciones de compatibilidad son necesarias.

Ejemplo 2.1. El campo de desplazamientos en el interior de un cuerpo sólido deformable está dadopor

ϑ =

uv

w

=

(x − z)

2

(y + z)2

− xy

Determinar el tensor de deformaciones en el punto P (0, 2, −1).


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Aqúı, previamente debemos evaluar las derivadas parciales del campo de desplazamientos paradeterminar las deformaciones unitarias. De acuerdo con las Ecuaciones (2.2)

εx = ∂u

∂x = 2(x − z) εy = ∂v

∂y = 2(y + z) εz =

∂w

∂z = 0

γ xy = γ yx = ∂v

∂x +

∂ u

∂y = 0 + 0

γ xz = γ zx = ∂u

∂z +

∂ w

∂x = −2(x − z) − y

γ yz = γ zy = ∂w

∂y +

∂ v

∂z = −x + 2(y + z)

Podemos verificar muy fácilmente, que el campo de deformaciones definido por las relaciones anteriorestambién cumple con las condiciones de compatibilidad geométrica de la deformación, que se traducenpor las Ecuaciones (2.23).

El tensor de deformaciones en cualquier punto interno del cuerpo, en funci ón de las coordenadasposicionales viene dado por

ε =

εx γ xy γ xzγ yx εy γ yz

γ zx γ zy εz

=

2(x − z) 0 − 2(x − z) − y0 2(y + z) −x + 2(y + z)− 2(x − z) − y − x + 2(y + z) 0

Cuando evaluamos esta matriz en el punto P (0, 2 − 1), tendremos como solución:

εP =

2 0 − 40 2 2− 4 2 0

Ejemplo 2.2. El estado de tensiones a través de un medio cont́ınuo sólido está dado respecto a losejes coordenados cartesianos por el tensor de tensiones mostrado a continuación:

σ =σx τ xy τ xzτ yx σy τ yz

τ zx τ zy σz

=

3xy 5y2 0

5y2 0 2z0 2z 0

que también podŕıa ser presentado como vector columna, según

σ = { σx σy σz τ xy τ xz τ yz } = { 3xy 0 0 5y2 0 2z }Averiguar la forma que deberán tener las componentes de fuerza másica volumétrica, si en cualquierpunto se han de satisfacer las ecuaciones de equilibrio.

Es razonable pensar que la distribución de fuerza volumétrica en el interior del cuerpo sólido debeser proporcional a la densidad ρ, por lo que la fuerza másica volumétrica puede ser escrita comoΥ = ρ b, donde b es vector de coeficientes constantes; de modo que las componentes de fuerza másicavolumétrica serı́an:

Υx = ρ bx Υy = ρ by Υz = ρ bz

Si hallamos las derivadas parciales de las componentes del estado de tensiones que estan involucradasen la descripción del equilibrio estático interno, el cual es establecida por las Ecuaciones (2.19), estasproducen el siguiente sistema:

3 y + 10 y + 0 + ρ bx = 0

0 + 0 + 2 + ρ by = 0

0 + 0 + 0 + ρ bz = 0


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Estas ecuaciones se satisfacen cuando los coeficientes del vector b toman los valores:

bx = −13 y / ρ by = −2 / ρ bz = 0

Ejemplo 2.3. Una placa larga de reducido espesor, de altura h, espesor t y longitud L se coloca entredos paredes ŕıgidas separadas en dimensión idéntica al de la altura de la placa; y se somete a la acciónde un par de fuerzas axiales colineales idénticas en sus extremos, de magnitud P , como se indica en laFigura 2.7 (a). Se desea hallar la contracción de la placa en sentido paralelo a las fuerzas aplicadas.

Figura 2.7: Placa rectangular comprimida

Debemos, en primer lugar, elaborar un modelo matemático de análisis. Para ello, al construirlo,podemos adoptar las siguientes hipótesis:

La fuerza axial P se convierte en una tensión normal axial uniformemente distribuı́da sobre el áreade la placa, incluyendo las áreas de los extremos.

No hay tensión normal en la dirección más delgada z (lo que implica que se trata de un caso deestado plano de tensiones en el plano xy).

No hay deformación en la dirección y , ya que la dimensión de altura no vaŕıa (lo que implica quese trata de un caso de estado plano de deformaciones en el plano xz ).

No se presentan fuerzas de rozamiento en las paredes (o es lo suficientemente peque ña para que sepueda despreciar).

La tensión normal de contacto entre la placa y la pared es uniforme sobre la longitud y anchurade la placa.

El proceso de compresión de la placa es realizada a temperatura ambiente, por lo que no surgenefectos de tipo térmico en la evolución de la solicitación impuesta.


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Despreciamos la influencia de las fuerza másicas en el interior de la placa, proveniente del campogravitatorio (no consideramos el peso propio del sólido).

Con las consideraciones anteriores, podemos ahora bosquejar el modelo idealizado que se presenta enla Figura 2.7 (b). Con él, podemos hacer satisfacer todos los principios básicos de la teoŕıa de elasticidad.

equilibrio

Cuando consideramos toda la placa, es completamente evidente que la misma se encuentra encondición de equilibrio estático, luego las Ecuaciones (2.21) y (2.22) se satisfacen. Usando un volu-men elemental muy pequeño de forma paralelepı́peda, ubicado en uno de los vértices de la placa, sedemuestra que el equilibrio con las cargas exteriores se satisface cuando las tensiones en la placa son:

σx = −σp = − P ht

σy = −σ0 σz = 0

τ xy = τ xz = τ yz = 0

Estas tensiones satisfacen tambíen las Ecuaciones (2.19), donde por hipótesis de planteamiento del

problema se verifica: Υx = Υy = Υz = 0. Suponemos que las tensiones establecidas son, por tanto,aquellas que actúan en cualquier punto interno de la placa.

compatibilidad geométrica

Como las paredes son ŕıgidas, la placa no puede extenderse en la dirección y , por tanto,

v = 0 εy = 0

En función de δ , podemos escribir

εx = − δ L

esto debido a que el proceso de deformación de la placa es simétrico respecto al plano vertical yz , plano

de simetrı́a respecto del cual las dos mitades se deforman de manera idéntica contrayéndose según ladirección x coincidente con la dirección axial.

relaciones tensión–deformación

En vista de las tensiones halladas por imposición del equilibrio, y debido a que la temperatura esconstante, las Ecuaciones (2.4) se reducen a:

εx = 1

E (σx − νσy) εy = 1

E (σy − νσx) εz = − ν

E (σx + νσy)

γ xy = γ xz = γ yz = 0

Resolviendo este sistema, considerando todas las ecuaciones anteriores, hallamos

σy = ν σx = −ν P ht

δ = (1 − ν 2) P LEht

εz = ν (1 + ν ) P

Eht =

ν

(1 − ν )δ

L

En virtud que las deformaciones unitarias halladas como solución del problema son todas constantes,obviamente que satisfacen las Ecuaciones (2.23) de compatibilidad geométrica interna de deformación.


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Además, debemos notar que la presencia de las paredes ŕıgidas reduce la contracción axial de la placaen la relación (1− ν 2)/1; y tambíen apreciamos que se produce una expansión de la placa en direcciónde su espesor. La magnitud del espesor de la placa luego de producirse el proceso de compresi ón escalculada como,

t = t + δ t = t + εz t =

1 + ν (1 − ν ) δ L

t

relaciones deformación–desplazamientos

Si consideramos que el origen del sistema coordenado se ubica en el centro geométrico de la placa ysuponemos que este punto no se mueve en ninguna direcci ón, sustituyendo las deformaciones unitariasen las Ecuaciones (2.2) e integrando las seis relaciones se puede demostrar que los desplazamientospropios para esta placa son

u = − δ L

x

v = 0

w = ν

(1 − ν )δ

L z

Estas ecuaciones nos muestran que los puntos que poseen desplazamientos máximos son aquellos ubi-cados en la superficie externa de la placa que hemos analizado en su comportamiento mec ánico.

Hemos obtenido, pues, una solución rigurosa y exácta del problema de elasticidad para el modeloidealizado de la Figura 2.7 (b). Se debe destacar que no hemos obtenido una solución exácta del proble-ma real de la Figura 2.7 (a), donde hay una fuerza concentrada en lugar de una tensión uniformementedistribúıda actuando en los extremos de la placa.

Ejemplo 2.4. Una placa rectangular de base b, altura h, y reducido espesor t, se comprime medianteuna fuerza linealmente distribuida de intensidad p0; la cual actúa con desviación medida por el ánguloβ respecto a la dirección horizontal. La placa en su base se apoya sobre una superficie horizontal

completamente rı́gida, como muestra la Figura 2.8. Despreciando el peso propio de la placa, asumiendoconocidos el módulo de elasticidad E y el coeficiente de Poisson ν ; se desea determinar la magnitudmı́nima que deberá tener el coeficiente de rozamiento estático µ entre la superficie de apoyo y laplaca para evitar cualquier deslizamiento, el campo de desplazamientos internos, y un bosquejo de laconfiguración deformada del cuerpo sólido.

Figura 2.8: Placa rectangular en compresión desviada

Para obtener consistencia de análisis, definimos un sistema coordenado rectangular con origen enel centro del área de contacto con la superficie ŕıgida y de ejes paralelos con las aristas como puedeapreciarse en la Figura 2.8.


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Al elaborar un modelo matemático, consideramos primero que la solicitación aplicada produce unafuerza resultante desviada de magnitud P = p0 b, la cual podemos distribuirla en el área superiorde la placa en componentes de tensión normal compresiva y tensión cortante, las cuales tendrı́an lasmagnitudes indicadas a continuación:

σ0 = P y

bt = p

0 b sin β bt

= p0 sin β

t

τ 0 = P x

bt =

p0 b cos β

bt =

p0 cos β

tequilibrio

La solicitación aplicada debe estar equilibrada por la fuerza de contacto con la superficie horizontal,la cual es modelada como fuerza superficialmente distribúıda, dando lugar a componentes de tensiónσr y τ r que actúan sobre el área de contacto. Evidentemente, el problema se trata de un estado desolicitación plano, en el que el plano de solicitación del sólido es paralelo al plano xy de nuestromarco referencial. Las ecuaciones de equilibrio global en ausencia de fuerzas másicas (el peso propioes despreciable) y fuerzas puntuales actuantes, nos muestran que las Ecuaciones (2.21) aplicables eneste caso son:

S

Γx dS = 0 S

Γy dS = 0

Desarrollando estas ecuaciones, tendŕıamos:

S

Γx dS =

b o

(− τ 0) t dx +b

o

(τ r) t dx = −τ 0 tb

o

dx + τ r t

b o

dx

= −τ 0 t b + τ r t b = 0de donde resulta:

τ r = τ 0 = p0 cos β

t

S

Γy dS =

b

o

(−σ0) t dx +b

o

(σr) t dx = −σ0 tb

o

dx + σr t

b

o

dx

= −σ0 t b + σr t b = 0de esta última relación obtenemos:

σr = σ0 = p0 sin β

tLas tensiones de contacto entre la placa y el plano horizontal sobre el cual se apoya este cuerpo

deben estar relacionadas a través del coeficiente de rozamiento estático mediante la simple ecuación:τ r = µ σr. Reemplazando las soluciones obtenidas, tendremos:

p0 cos β

t = µ

p0 sin β

t ; entonces µ =

cos β

sin β = cot β

Aśı, el mı́nimo valor de magnitud que deberá tener el coeficiente de rozamiento entre la placa y lasuperficie horizontal, necesario para que no se produzca deslizamiento de la placa al ser solicitada es:µ = cot β .

Cuando definimos un pequeño volumen elemental material en el interior de la placa, es f ácil deter-minar que el estado de tensiones al cual está sometido este elemento viene descrito por:

σy = −σ0 = − p0 sin β t

σx = σz = 0

τ xy = −τ 0 = − p0 cos β t

τ xz = τ yz = 0


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Los signos negativos que preceden a las relaciones entre variables conocidas que describen a las com-ponentes de tensión no–nulas son acordes con la convención usual de signos para las tensiones actuantes.


Por la solicitación externa actuante sobre la placa es claro que se producirá contracción en ladirección y, la que induce elongaciones en las direcciones x y z. Además, es evidente que se produ-cirá solamente distorsión en planos paralelos al plano xy y nó en los otros planos. Por estas razones,podemos establecer las siguientes condiciones de restricción en la deformación:

γ xz = γ yz = 0

relaciones tensión–deformación

En virtud de la identificación del campo interno de tensiones halladas por imposición del equilibrio,considerando las ecuaciones de compatibilidad geométrica y debido a que la temperatura es constante,las Ecuaciones (2.4) se reducen a:

εx = 1E

(−νσy)

εy = 1

E σy

εz = 1

E (−νσy)

γ xy = 2(1 + ν )

E τ xy

Si en estas ecuaciones reemplazamos los valores hallados para σy y τ xy resulta

εx = ν p0 sin β

E t

εy = − p0 sin β E t

εz = ν p0 sin β

E t

γ xy = − 2 (1 + ν ) p0 cos β E t

Estas relaciones nos indican que todas las deformaciones unitarias no–nulas son de magnitud constan-te, y como mencionamos previamente se produce contracción según la dirección y (el signo negativolo manifiesta), y expansión según las direcciones x y z con idéntica magnitud de deformación normalunitaria. El elemento diferencial volumétrico se distorsiona angularmente solamente en el plano xy .

relaciones deformaciones–desplazamientos

Para hallar el campo de desplazamientos, ϑ = { u v w }, debemos proceder a realizar la inte-gración (con las condiciones de borde apropiadas) de las Ecuaciones (2.2) que reproducimos aquı́, y enlas cuales incorporamos las condiciones de restricción del campo de deformaciones.

∂u

∂x = εx

∂v

∂y = εy

∂w

∂z = εz

∂v

∂x +

∂ u

∂y = γ xy

∂u

∂z +

∂ w

∂x = 0

∂w

∂y +

∂ v

∂z = 0


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Dejamos como ejercicio al lector demostrar que el proceso de integración del sistema de ecuacionesdiferenciales dá como resultado final:

u = ν p0 sin β

E t x − 2 ν p0 cos β

E t y

v = − 2 ν p0 cos β E t

x − p0 sin β E t

y

w = ν p0 sin β

E t z

En la Figura 2.8 mostramos con trazo punteado, un bosquejo de la deformación global de la placaluego de haberse producido el cambio de forma debido a la solicitaci ón impuesta.

Debemos puntualizar que en el ejemplo previo resuelto, no hemos obtenido la solución exácta.La razón primordial de esta aseveración es que la solicitación impuesta a la placa consiste de unacarga linealmente distribúıda a lo largo de la dimensión b de la cara superior y nó de una cargasuperficialmente distribuida (tensión) sobre esta pequeña área. Pero, si consideramos que la magnituddel espesor de la placa es ı́nfimo en relación con las otras dimensiones externas del cuerpo, podemosaseverar que la solución hallada se encuentra en márgenes de error aceptables.

Ejemplo 2.5. Un material elástico con módulo de elasticidad E , relación de Poisson ν , y coeficientede expansión térmica α originalmente llena una cavidad de fondo cuadrado de arista a y altura L en unbloque ŕıgido, como muestra la Figura 2.9. Una placa gruesa ŕıgida es colocada en la parte superior delmaterial elástico, y una fuerza compresiva P es aplicada a ésta; al mismo tiempo que la temperaturaes incrementada. Se desea expresar la relación entre el movimiento de la placa gruesa (mostrado comoc en la Figura), la fuerza P aplicada; y el incremento de temperatura ∆T . Asumimos que todas lasparedes de la cavidad están bien lubricadas y el efecto de la fricción puede ser despreciado, de modoque el material no se pega a las paredes del bloque ŕıgido, ni a la placa, durante la deformación.

Figura 2.9: Material elástico en compresión

Ubicamos un sistema coordenado rectangular como se muestra, y tomamos el movimiento c de laplaca gruesa como positivo en la dirección y positiva.

equilibrio

La fuerza aplicada a la placa gruesa se transmite al material comprimiéndolo en la dirección y y elincremento de temperatura elonga el material en las tres direcciones espaciales. Como el material nopuede expandirse en las otras direcciones (x y z), las paredes laterales de la cavidad ejercen fuerzascompresivas que evitan deformacíon en estas direcciones. Además, como las todas las paredes en


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contacto con el material están lubricadas, no surgen fuerzas cortantes o tangenciales que actúen sobrela superficie limitante externa del material; por tanto:

σy = − P a2

τ xy = τ xz = τ yz = 0


Es evidente que el material yá deformado tendrá forma paraleleṕıpeda, por lo que no ocurre dis-torsión (los efectos angulares de deformación no existen). En adición, como consecuencia de la cargaimpuesta y la restricción a los desplazamientos que impone el bloque rı́gido, solamente una deformaciónnormal en la dirección y puede presentarse en el material. Luego,

εy = c

L εx = εz = 0 γ xy = γ xz = γ yz = 0

relaciones tensión–deformación–temperatura

El material en la cavidad es lineal el ástico, por lo que las Ecuaciones (2.4) pueden ser escritas en

la forma

Eεx = σx −ν (σy + σz) + E α∆T Eεy = σy − ν (σx + σz) + E α∆T Eεz = σz − ν (σx + σy) + E α∆T

Gγ xy = τ xy

Gγ xz = τ xz

Gγ yz = τ yz

donde reemplazamos E 2(1+ν ) = G, constante elástica que puede calcularse.

Resolviendo estas últimas ecuaciones considerando las condiciones de equilibrio y de compatibilidadya identificadas previamente, obtenemos:

σx = σz; σx = ν

1 − ν σy − E α

1 − ν ∆T

y, utilizando esta ecuación reemplazándola en aquella que define la deformación normal unitaria pro-ducida, en la ley de Hooke generalizada, obtenemos como solución final:

c = L(1 + ν )

E (1 − ν )− (1 − 2ν ) P

a2 + Eα∆T

Si el cambio de temperatura es nulo, la carga P aplicada comprime el material y c evidentementees negativo. La magnitud de carga, en un proceso isotérmico de compresión, requerida para comprimirel material una distancia dada c es sensible al valor de ν . Cuando el valor de este coeficiente es cercanoa 1/2, la fuerza requerida se hace extremadamente grande.

La fuerza requerida para mantener la placa gruesa ŕıgida en su posición inicial (c = 0) en presenciade un incremento de temperatura está dada por:

P = (1 − 2ν )a2

Eα∆T La solución obtenida en el ejemplo anteriormente resuelto es exácta en virtud que la placa gruesa

ŕıgida con la que se transmite la fuerza al material proporciona efectivamente una tensión compresivade distribución uniforme, siempre y cuando la fuerza se aplique según una linea vertical que pase porel centro de gravedad de la placa.


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Ejemplo 2.6. Un elemento de máquina de sección transversal rectangular de dimensiones a×2a debeencajar exáctamente entre dos elementos adyascentes, completamente ŕıgidos, separados una distanciaL conocida. Desafortunadamente, el elemento fué manufacturado con un exceso de dimensión δ ∗ demuy pequeña magnitud que no impide su ensamblaje. Este elemento trabajar á en un ambiente en

el que la temperatura será mayor que la temperatura ambiente durante la operación de la máquina,produciéndose un incremento ∆T . Considerando que las propiedades materiales elásticas del elemento:E , ν , α son conocidas; y se desprecian fuerzas de fricción, determinar la fuerza transmitida a loselementos adyascentes en los que se empotra el elemento, el campo de desplazamientos interno durantela deformación, y las dimensiones finales que tiene el elemento durante su performance en etapa detrabajo.

Figura 2.10: Esquema de ensamble del elemento

Ubicamos un sistema coordenado rectangular como se muestra, tomando el origen en el extremoizquierdo y el eje z coincidente con el eje axial del elemento. Los ejes x e y los escogemos según direc-ciones transversales a la dirección axial, de modo que se establezcan planos de simetŕıa para la piezao elemento que estamos analizando.

equilibrio

Como el elemento manufacturado tiene una dimensión de longitud en exceso respecto a la dimen-sión requerida, al ser ensamblado deberá encogerse para encajar entre los elementos adyascentes (existedeformación inicial), además que el incremento de temperatura que expande al mismo en todas direc-ciones generará tensión compresiva en los extremos debido a la restricción impuesta por los apoyos, lacual se superpone a la tensión inicial que surge por la discrepancia dimensional. Las paredes lateralesdel elemento no están solicitadas y despreciamos las fuerzas tangenciales en los extremos durante ladeformación (las fuerzas de fricción son nulas). Por estas consideraciones, podemos establecer:

σx = σy = 0 σz = −σ0 ; R = σ0 A = σ0 2a2τ xy

= τ xz

= τ yz

= 0


El elemento no cambia de longitud y no puede expandirse térmicamente en dirección axial (losapoyos se lo impiden), pero śı lo hace en las otras direcciones. Además, no se produce distorsióndel elemento durante la deformación, pues la forma geométrica que inicialmente posee el mismo semantiene; cambiando solamente las dimensiones de sección transversal. Para realizar el ensamblaje delelemento entre sus apoyos debe reducirse la longitud manufacturada, asoci ándose a este proceso una


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deformación normal unitaria inicial de contracción. Por estas consideraciones, podemos establecer:

εz = 0 εzI = δ ∗

L γ xy = γ xz = γ yz = 0

lo que indica que el estado de deformación es plano, pues la deformación del cuerpo se produce enplanos paralelos al plano xy exclusivamente.

relaciones tensión–deformación–temperatura

En las relaciones que desarrollemos, debemos incluir el término asociado con la componente detensión inicial que surge debido al proceso de ensamble del elemento entre sus apoyos. Por esta razón,las Ecuaciones (2.4) se modifican del modo indicado a continuación:

εx = 1

E [σx −ν (σy + σz)] + α(T − T 0)

εy = 1

E [σy − ν (σx + σz)] + α(T − T 0)

εz = 1E

[σz − ν (σx + σy)] + α(T − T 0) + εzI

γ xy = 21 + ν

E τ xy

γ xz = 21 + ν

E τ xz

γ yz = 21 + ν

E τ yz

Cuando incluimos en estas ecuaciones las condiciones de análisis previamente establecidas, se de-muestra que en el interior del sólido no se producen tensiones tangenciales debido a que las distorsionesde tipo angular a las cuales estan asociadas son nulas, i.e., τ xy = τ xz = τ yz = 0; como predicen lascondiciones de equilibrio que fueron identificadas inicialmente. Cuando reemplazamos las otras condi-

ciones a las ecuaciones que definen las deformaciones normales unitarias totales, se plantea el siguientesistema:

εx = 1

E (−ν σz) + α∆T

εy = 1

E (−ν σz) + α∆T

0 = 1

E σz + α∆T + εzI

el cual es un sistema compatible que tiene como soluci ón, como fácilmente puede comprobarse, elconjunto de resultados mostrados a continuación

σz = −σ0 = −E α∆T + δ ∗

L

εx = εy = (1 + ν )α∆T + ν δ ∗

L

La magnitud de fuerza transmitida por este elemento a aquellos adyascentes con los cuales seensambla, viene dada por la relación de equilibrio previamente establecida,

R = 2 σ0 a2 = 2 a2 E

α∆T +

δ ∗

L


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relaciones deformaciones–desplazamientos

Las soluciones obtenidas nos servirán ahora para determinar el campo de desplazamientos internoϑ = {u, v, w}, haciendo uso de las Ecuaciones (2.2) que por comodidad reproducimos aqúı.

εx = ∂u

∂x εy =

∂v

∂y εz =

∂w

∂z

γ xy = ∂v

∂x +

∂ u

∂y γ xz =

∂u

∂z +

∂ w

∂x γ yz =

∂w

∂y +

∂ v

∂z

Para efectuar la integración debemos considerar que las deformaciones unitarias angulares γ xy, γ xz, γ yzson todas nulas, que las deformaciones unitarias transversales son idénticas εz = εy, y que la deforma-ción unitaria axial εz es nula. Con estas condiciones no resulta dificultoso hallar una solución únicaque cumpla todas las condiciones previamente marcadas. Es fácil demostrar que dicha solución vienedada por:

u =

(1 + ν )α∆T + ν

δ ∗

L

x

v =

(1 + ν )α∆T + ν

δ ∗

L

y

w = 0

Cuando el campo de desplazamientos se evalúa en puntos de la superficie lateral del elemento, sepueden hallar los cambios posicionales espaciales luego de la deformación. Como no existen fuerzasde fricción, no se generan tensiones cortantes que produzcan deformaciones unitarias angulares, y esteelemento o pieza se expande libremente en las direcciones x e y preservando su forma geométricaoriginal (paraleleṕıpedo); por lo que sus dimensiones finales serán las siguientes:

Según la dirección x: Lx = a (1 + εx) = a

1 + (1 + ν )α∆T + ν δ∗

L

Según la dirección y : Ly = 2 a (1 + εy) = 2 a

1 + (1 + ν )α∆T + ν δ∗

L

Según la dirección z : Lz = L (1 + εz) = L

En los últimos ejemplos resueltos vemos que para obtener una solución única que además sea cerra-da en el sentido que la solución buscada pueda presentarse de forma expĺıcita para la variable de interés,es necesario que se apliquen todos los principios básicos de elasticidad al problema que está siendo con-siderado. Los principios que fueron establecidos en este capı́tulo, conforman un conglomerado teóricocompácto que hacen en conjunto una descripción completa del comportamiento mecánico interno decarácter material con el cual un cuerpo sólido deformable responde a la solicitación de tipo externoaplicado a él.

Problemas propuestos

2.1. Deducir formalmente las Ecuaciones (2.12) y (2.13), que gobiernan el problema de estado detensión plana. Considere una placa plana muy delgada en solicitación mediante fuerzas en supropio plano y establezca el equilibrio para un elemento diferencial de este particular cuerpo.

2.2. Considere un cuerpo sólido tridimensional apoyado de cierta manera y solicitado mediante unsistema de cargas externas. En el interior del mismo defina un volumen infinitesimal (de forma


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Problemas propuestos 51

paralelepı́peda) y establezca para el mismo el estado de tensiones interno. Con el esquema previa-mente planteado, deducir las Ecuaciones (2.19) que gobiernan la condici ón estática de traslacióndel elemento. Complemente la deducción anterior demostrando también el cumplimiento de lasEcuaciones (2.20), que describen el equilibrio de tensiones internas con fuerzas aplicadas en la

superficie limitante del sólido.

2.3. Deducir la Ecuación (2.24), que describe la relación de compatibilidad geométrica de la defor-mación, asociada a un estado de solicitación de tensión plana.

2.4. Para conocer las propiedades mecánicas de un material se procede a un ensayo en el cual unapieza es solicitada. Calcular la pendiente de la curva σx – εx en el rango elástico si el materialse prueba bajo el siguiente estado de tensiones:

σx = 2 σy = 3 σz

2.5.

Calcular la distribución de fuerzas de tipo superficialy magnitud constante que debe aplicarse al parale-

leṕıpedo de dimensiones conocidas, de modo que lastensiones internas que surjan debido a la solicitaciónsean la solución de su estado elástico.

2.6.

La placa mostrada en la Figura tiene longitd L = 20cm, ancho b = 10 cm, espesor t = 4 mm, m ódulode elasticidad lineal E = 3×106 Kg/cm2, y coeficien-te de Poisson ν = 0,3; la misma está sometida ensuperficies opuestas a una presión p = 1,5 Kg/cm2

como se muestra. Calcular el cambio de longitud ab,y tambíen calcular las deformaciones principales ysus direcciones.

2.7. Una barra prismática de longitud L, área transversal A, y densidad ρ cuelga bajo su propio pesoy está soportada por una tensión uniforme σ0 repartida en su cara superior. Suponiendo que lastensiones σx, σy, τ xy, τ xz y τ yz son nulas:

Reducir las quince ecuaciones básicas de la elasticidad a siete ecuaciones en términos de σz,εx, εy, εz, u, v y w.Integrar las ecuaciones de equilibrio para demostrar que: σz = ρ g z. donde g es la aceleraciónde la gravedad. Demostrar aśımismo que las condiciones de contorno prescritas se satisfacencon esta solución.Calcular los valores de εx, εy, y εz.Si no existe movimiento como cuerpo sólido ŕıgido, calcular las componentes de los desplaza-mientos u y v en la cara inferior.

2.8.

Demostrar que el campo de tensiones:

σx = k y σy = σz = τ xy = τ xz = τ yz = 0

satisface las ecuaciones generales de elasticidad.

Calcular la carga que a aplicarse a la barra prism ática mostrada en la Figura, de forma que lascomponentes de tensión dadas anteriormente sean solución de su estado de tensiones. Expresar


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la tensión máxima en función de la carga aplicada y de las dimensiones de la sección transversal.

2.9. El campo de desplazamientos de un cuerpo sólido deformable está dado por

ϑ =uv

w

=

0c(z−c y)(1−c2)

c(y−c z)(1−c2)

en las que c es una constante. Hallar la posición desplazada de las part́ıculas materiales que ori-ginalmente están comprendidas en (a) una superficie circular plana x = 0, y 2 + z2 = 1/(1 + c),(b) un cubo infinitesimal con tres aristas de longitud dl coincidentes con los ejes coordenados.Dibujar las configuraciones desplazadas de (a) y (b) si c = 12 .

2.10. Un cuerpo sólido deformable sufre un campo de desplazamientos definido por el vector

ϑ = {u v w } = {3y − 4z 2x − z 4y − x }(a) Hallar la posición desplazada del vector que une las part́ıculas A(1, 0, 3) y B (3, 3, 6).

(b) Determinar el tensor de deformaciones y hallar el lugar geométrico donde la deformaciónangular unitaria γ xz se anula.

2.11. Un campo de desplazamientos en el interior de un cuerpo sólido deformable está dado por:

ϑ = {u v w } = {3xy2 2xz z2 − xy }Calcular el tensor de deformaciones en el punto P (1, −1, 2) y comprobar si se cumplen o nó lascondiciones de compatibilidad geométrica de la deformación.

2.12. El estado de tensiones interno a trav́es de un medio cont́ınuo sólido está dado respecto a unmarco referencial rectangular, por el tensor de tensiones:

σ =3xy 5y

2 0

5y2 0 2z0 2z 0

Determinar el vector tensión (en componentes rectangulares) que actúa en el punto interior delsólido P (2, 1,

√ 3) de un plano que es tangente en P a la superficie ciĺındrica y 2 + z2 = 4.

2.13. El estado de tensiones internas en un cuerpo está dado por el tensor de tensiones:

σ =

0 cz 0cz 0 − cx

0 − cx 0

donde c es una constante arbitraria. (a) Probar que las ecuaciones de equilibrio se satisfacen silas fuerzas másicas son nulas. (b) Calcular el vector tensión en el punto P (4, − 4, 7) del plano2x + 2y − z = −7, y en la esfera x2 + y2 + z2 = 81. (c) Determinar el tensor de deformacioneselásticas que se genera, asumiendo que las constantes materiales del sólido son conocidas.

2.14. Un estado de tensiones en el cual σx = σy = σz = − p, y τ xy = τ xz = τ yz = 0, donde p es unapresión; se denomina estado de compresión hidrostática. Demostrar que la disminución relativade volumen en este tipo de solicitación, definida por −∆V /V está dada por:

− ∆V V

= εx + εy + εz = (1 − 2 ν )3 p

E


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Problemas propuestos 53

2.15. Una placa rectangular de dimensiones 10 cm × 12 cm y espesor despreciable está sometida auna distribución de tensiones que produce una deformación uniforme definida por:

εx = 0,0025 εy = 0,0050 γ xy = 0,00875 εz = γ xz = γ yz = 0

Calcular el cambio de longitud de las lineas diagonales y las aristas de la placa luego de produ-cida su deformación.

2.16.

Hallar las expresiones de los desplazamientos elásti-cos en una barra sometida a tracción. Determinar lasdimensiones finales de la barra traccionada. Demos-trar que la solución satisface los tres principios de lateorı́a de elasticidad.

2.17.

Un tanque cilı́drico de pared delgada de longitud,radio interno, y espesor de pared conocidos; está si-tuado entre dos paredes extremas ŕıgidas cuando noactúa presion interna sobre él. También se conoce pa-ra el mismo su módulo de elasticidad y su coeficientede Poisson.

Calcular la fuerza ejercida sobre las paredes por el tanque, cuando la presión interior sea demagnitud establecida, y el material que lo forma siga la ley de Hooke.

2.18. Un tanque cilı́ndrico de pared delgada con los extremos cerrados por placas de gran espesor sesomete a presión interior. Deducir una expresión del cociente entre la variación de longitud y lavariación de diámetro.

2.19.

Un cubo de material elástico es colocado entre pare-

des ŕıgidas lubricadas en un test de prueba, comomuestra la Figura adjunta. Un par de fuerzas demagnitud P las cuales son aplicadas a placas ŕıgi-das dá lugar a un estado de compresión uniforme enla dirección x.

Calcular las tensiones σy y σz y las deformaciones εx, εy, y εz. Que tensiones adicionales podrı́anser generadas por un incremento de temperatura ∆T aplicado al material?. Asumir que las cons-tantes elásticas E y ν , y el coeficiente de dilatación térmica α son conocidos.

2.20.

En un estado de deformación plana en el que ca-da punto se desplaza radialmente de una manerasimétrica rotacionalmente alrededor del origen 0, el

desplazamiento de cualquier punto interno se puedeexpresar por medio de una simple componente u endirección del radio. Demostrar que las componentesde la deformación unitaria referida a un sistema deejes radial y tangencial (r,φ) son:

εr = du

dr εφ =

u

r γ rφ = 0


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2.21.

Una deformación general en un caso plano se puedeexpresar en coordenadas polares poniendo el despla-zamiento de cada punto como vector suma de unacomponente radial u y otra tangencial v . Demostrar

que en este caso, las componentes de la deformaciónunitaria referidas a los ejes r , φ; son:

εr = ∂u

∂r

εφ = 1

r

∂v

∂φ +

u

r

γ rφ = ∂v

∂r +

1

r

∂u

∂φ − v

r2.22.

Demostrar que si un estado plano de tensiones seexpresa en función de coordenadas polares (r, φ), lacondición de equilibrio traslacional de un elemento

infinitesimal de muy pequeño espesor, como aquelmostrado en la Figura adjunta, conduce a las dosecuaciones siguientes:

∂σr∂r

+ 1

r

∂τ rφ∂φ

+ σr − σφ

r + Υr = 0

∂τ rφ∂r

+ 1

r

∂σφ∂φ

+ 2 τ rφ

r + Υφ = 0

donde Υφ y Υr (que se muestra en el gráfico) son lascomponentes de fuerza másica actuante. Notar quela longitud del contorno exterior curvo del elementoes (r + dr)dφ.

elaasticidad

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