el teorema fundamental del cálculo: un estudio sobre algunos conceptos, fórmulas y métodos...

Centro de Investigación y de Estudios Avanzados delInstituto Politécnico Nacional

Unidad Zacatenco

Departamento de Matemática Educativa

El Teorema Fundamental del Cálculo:un estudio sobre algunos conceptos, fórmulas

y métodos relacionados con su aplicación

Tesis que presenta

Juan Carlos Ponce Campuzano

para obtener el Grado de

Doctor en Ciencias en la

especialidad Matemática Educativa

Director de la Tesis: Dr. Antonio Rivera Figueroa

México Distrito Federal, marzo 2013

Agradecimientos

A los trabajadores de mi país, México, quienes hicieron posible que el Consejo Nacional de

Ciencia y Tecnología (CONACYT) me diera el apoyo económico, otorgado con el número

de registro 167612, para cursar los estudios de Doctorado en Ciencias con Especialidad en

Matemática Educativa.

i

Contenido

Resumen vii

Abstract ix

1 Introducción 1

Introducción 1

1.1 Acerca de la importancia de saber matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Objetivo del presente trabajo de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Un panorama general acerca del origen y evolución del

Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) 7

2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Versión preliminar del Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 La versión geométrica del TFC de Isaac Barrow . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Contribuciones de Leibniz y Newton en el desarrollo del TFC . . . . . . . . . 11

2.3.1 Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.2 La versión de Leibniz del TFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.3 Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

iii

iv CONTENIDO

2.3.4 La versión de Newton del TFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.5 Diferenciación e integración como procesos inversos . . . . . . . . . . 18

2.4 Hacia la formalización del Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.1 Demostración analítica del Teorema Fundamental

para funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.2 Versión general del Teorema Fundamental para funciones

Riemann integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Acerca de la enseñanza del Teorema Fundamental del Cálculo 31

3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Un panorama general acerca de la enseñanza del

Teorema Fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 La enseñanza del Teorema Fundamental del Cálculo para funciones continuas 38

4 Una disertación acerca del cálculo de primitivas 43

4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Integrales no elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3 Funciones con derivada no integrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4 El cambio de variable u = tan x2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4.1 Diferentes estrategias producen diferentes primitivas . . . . . . . . . . 56

4.4.2 Integrales de la forma∫ baf (senx, cosx) dx . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Un análisis del uso de la tecnología para el cálculo de primitivas 67

5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2 Uso del CAS para el cálculo de primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2.1 Situación I: Diferentes expresiones para una misma primitiva . . . . . 69

CONTENIDO v

5.2.2 Situación II: Una función definida en el conjunto vacío . . . . . . . . 78

5.2.3 Situación III: Cálculo de primitivas para evaluar

integrales definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Epílogo 87

Apéndices 91

A Demostraciones de Barrow, Leibniz, Newton y Cauchy 93

A.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

A.2 Demostración de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

A.3 Demostración de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

A.4 Demostración de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

A.5 Demostración de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

B Tabla Cronológica 103

C Función con derivada acotada y no integrable 105

D Otra forma de calcular la integral∫

1a+b cosx

dx 113

E Productos: Publicaciones y congresos 119

Bibliografía 121

Resumen

Una de las tareas más importantes que debe asumir la Matemática Educativa es el desarrollo profe-

sional de los profesores de matemáticas. Esto implica realizar investigación que suministre la infor-

mación precisa para promover en los profesores la reflexión al respecto del conocimiento matemático

que deben poseer. La presente investigación tiene este propósito. En particular, queremos hacer una

aportación al estudio del Teorema Fundamental del Cálculo, dentro de la Matemática Educativa,

considerando tres aspectos.

Un aspecto histórico en donde presentamos un resumen histórico acerca de diferentes enunciados

y demostraciones del Teorema Fundamental, que se llevaron a cabo entre los siglos XVII y XVIII.

Posteriormente, una revisión de algunos aspectos que tendieron hacia la formalización del teorema

en el siglo XIX. Finalmente, hacemos una discusión acerca de su versión analítica en el siglo XX.

Por otra parte, un aspecto didáctico en donde realizamos un análisis acerca de los diferentes

acercamientos que se adoptan en la enseñanza del cálculo diferencial e integral y particularmente

en la enseñanza del teorema fundamental del cálculo.

Finalmente, un aspecto analítico en donde llevamos a cabo una disertación de algunos conceptos,

fórmulas y métodos asociados al Teorema Fundamental. Asimismo, presentamos un análisis sobre

el concepto y cálculo de primitivas. Destacamos algunos fenómenos que ofrecen oportunidades

para hacer una discusión y profundización sobre algunos conceptos matemáticos relacionados con

el Teorema Fundamental. En alguna parte de nuestro análisis utilizamos la tecnología para facilitar

cálculos laboriosos y de esta manera centrarnos en los aspectos conceptuales.

vii

Abstract

One of the most important tasks that Mathematics Education research has to focus, is the pro-

fessional development of mathematics teachers. This involves conducting research to provide the

accurate information to promote on teachers to reflect on the mathematical knowledge they should

have. The present research has this purpose. In particular, we make a contribution to the study of

the Fundamental Theorem of Calculus, considering three aspects.

First, a historical aspect where we present a historical overview about different statements and

proofs of the Fundamental Theorem, which took place between the seventeenth and eighteenth

centuries, followed by a review of some aspects that tended toward the formalization of the theorem

of the nineteenth century, and discussion about its analytic version on twentieth century.

Secondly, a didactical aspect where we perform an analysis of the different approaches that are

adopted when teaching differential and integral calculus and particularly on teaching the funda-

mental theorem of calculus.

Finally, an analytical aspect where we do a dissertation of some concepts, formulas and methods

associated to the Fundamental Theorem. We also make an analysis of the concept and calculation of

primitives. We highlight some facts that provide opportunities for discussing mathematical concepts

related to the Fundamental Theorem. Somewhere in our analysis we use technology to facilitate

laborious calculations and thus focus on the conceptual aspects.

ix

Existen alrededor de 18 billones de células sólo en el cerebro. No existen

dos cerebros parecidos; no existen dos manos iguales. Puedes tomar el

consejo y la enseñanza de otros, pero al final tú mismo debes encontrar

tu propio camino.

Joseph Campbell, in Pathways to Bliss

xi

Capítulo 1

Introducción

Con tristeza, el camaleón se dio cuenta de que, para conocer suverdadero color, tendría que posarse en el vacío.

Alejandro Jodorowsky

1.1 Acerca de la importancia de saber matemáticas

Desde hace varias décadas, la investigación acerca del desarrollo profesional de los profesoresha sugerido que para enseñar a los estudiantes de acuerdo a los estándares de hoy en día,los profesores deben comprender la materia de manera profunda y flexible para que puedanayudar a los estudiantes a crear útiles mapas cognitivos, relacionar una idea con otra eidentificar conceptos erróneos. Los profesores tienen que ver cómo las ideas se relacionancon otros campos y con la vida cotidiana. Este tipo de comprensión permite a los profesoreshacer accesibles las ideas a los estudiantes.

El psicólogo Lee S. Shulman, por ejemplo, propone que para ubicar el conocimiento quese desarrolla en las mentes de los profesores, habría que distinguir tres tipos de conocimiento:Conocimiento del contenido temático de la materia, Conocimiento pedagógico del contenido(CPC) y Conocimiento curricular (Shulman, 1986).

El conocimiento del contenido temático se refiere a la cantidad y organización deconocimiento del tema per se en la mente del profesor. Para pensar apropiadamente acercadel conocimiento del contenido se requiere ir más allá del conocimiento de los hechos o

1

2 Introducción

conceptos de un dominio, se requiere entender las estructuras del tema.

El CPC es el conocimiento que va más allá del tema de la materia per se y que llegaa la dimensión del conocimiento del tema de la materia para la enseñanza (Shulman, 1987,p. 9). Cuando el maestro domina este conocimiento puede encontrar formas más útilesde representar los contenidos mediante analogías, ilustraciones, ejemplos, explicaciones, ydemostraciones que permitan hacerla más comprensible a los estudiantes.

Por último, el conocimiento curricular está representado por el abanico completo deprogramas diseñados para la enseñanza de temas particulares que se encuentra disponibleen relación con estos programas, al igual que el conjunto de características que sirven tantocomo indicaciones como contraindicaciones para el uso de currículos particulares o materialesde programas en circunstancias particulares.

Por otra parte, la investigación en Matemática Educativa se ha enfocado en el área delconocimiento matemático que deben tener los profesores para enseñar matemáticas. De he-cho, han surgido varios modelos teóricos al respecto. Por ejemplo, un grupo de investigaciónliderado por Deborah Ball, en la Universidad de Michigan, observó a un grupo de profesoresde primaria en acción, y el uso de estas observaciones les permitió desarrollar un modelo, omapa, de los conocimientos utilizados por los profesores (Hill, Blunk, Charalambos, Lewis,Phelps, Sleep, & Ball, 2008). A partir las categorías dadas por Shulman (el conocimiento delcontenido y el conocimiento del contenido pedagógico), Deborah y su equipo establecieroncuatro categorías al respecto del conocimiento matemático que deben tener los profesores.Por una parte, el conocimiento común y el conocimiento especializado. Por otra parte, elconocimiento de los estudiantes y el conocimiento de la enseñanza (Ball, Thames, & Phelps,2008)

Otro ejemplo es el de Tim Rowland y su equipo de investigación, de la Universidad deCambridge, quienes desarrollaron un modelo basado en las observaciones de los profesores.Su modelo llamado cuarteto de conocimiento, se caracteriza por sus dimensiones de fun-damentación (por ejemplo, el conocimiento explícito del contenido), transformación (porejemplo, elección de los ejemplos), conexión (por ejemplo, las decisiones acerca de secuenciade los contenidos), y la contingencia (por ejemplo, responder a las ideas de los niños). Apartir de este modelo, es posible describir lo que los profesores hacen con su conocimientomatemático (Rowland, Turner, Thwaites, y Huckstep, 2009, p. 28-33).

Un tercer ejemplo de un modelo del conocimiento matemático para la enseñanza es elpropuesto por Alan Schoenfeld (Schoenfeld, 2002). Este investigador se acercó al tema desde

Introducción 3

un punto de vista teórico y aplicó su marco teórico a vídeos de la enseñanza actual. El marcoteórico que propone Schoenfeld establece tres principales dimensiones: los Conocimientos, lasOrientaciones y las Metas del profesor (KOG1). Este marco le permite explicar las decisionesde los profesores en el aula a partir del conocimiento, las orientaciones y las metas inferidaspor el mismo profesor. Schoenfeld argumenta que si se reconoce suficientemente bien elconocimiento, la orientación y los objetivos que un profesor tiene en el aula, entonces estoes suficiente para explicar todas las decisiones de enseñanza.

De manera general, dentro de la comunidad de matemáticos y matemáticos educativos,resulta ser un hecho ampliamente aceptado que para enseñar matemáticas los profesoresnecesitan tener un amplio conocimiento matemático, así como un alto nivel de sofisticaciónmatemática para identificar e interpretar patrones, para organizar y estructurar información.Asimismo, deben ser capaces de analizar e interpretar el desarrollo (o construcción) delconocimiento matemático de los estudiantes.

Eisenberg & Fried (2009), por ejemplo, afirman que “[los profesores] deberían de lle-var cursos de matemática formal, también les debería gustar las matemáticas y ademásdeberían mantener un interés por las matemáticas” (p. 145). Por otra parte, Stanley &Sundström (2006) sugieren un enfoque para que los profesores desarrollen algún tipo sofisti-cación matemática que implica hacer un “análisis exhaustivo” de las tareas de matemáticas.

. . . la idea es mirar más allá de las características iniciales de una tareamatemática y tratar de revelar una estructura matemática más profunda quesubyace la tarea. Sin ser técnicamente difícil, el enfoque se basa en compor-tamientos matemáticos que rara vez se abordan en la escuela, como la gener-alización de un problema, la representación algebraica de diversas formas querevelan la estructura de la situación, la interpretación algebraica de representa-ciones geométricamente, y la generación de problemas relacionados. (p. 392)

En particular, consideramos crucial que los profesores de matemáticas sean competentespara analizar, proponer y resolver problemas matemáticos. Además, sean capaces de in-ducir a los estudiantes a construir un conocimiento matemático sofisticado con la finalidadde que formulen conjeturas, representen y exploren resultados matemáticos, usen distintosargumentos para aceptar o rechazar conjeturas (incluyendo contra-ejemplos) y comunicarclaramente sus resultados.

1Por sus siglas en inglés: Knowledge, Orientations, Goals.

4 Introducción

Es evidente que una de las tareas más importantes que debe asumir la MatemáticaEducativa es el desarrollo profesional de los profesores de matemáticas y, en consecuencia,impulsar procesos formativos que lo potencien. Para llevar a cabo esta tarea formativa senecesita de una investigación que suministre la información precisa para promover en losprofesores la reflexionar al respecto del conocimiento matemático que deben poseer. En estainvestigación queremos presentar una aportación al estudio del Teorema Fundamental delCálculo, dentro de la Matemática Educativa.

1.2 Objetivo del presente trabajo de investigación

En algunas ramas de las matemáticas existen teoremas que debido a su importancia seles suele agregar el adjetivo: fundamental. En la Teoría de Números, por ejemplo, nosencontramos con el Teorema Fundamental de la Aritmética el cual afirma que todo enteropositivo se puede representar de forma única como producto de factores primos.

Otro ejemplo es el llamado Teorema Fundamental del Álgebra, el cual establece queun polinomio en una indeterminada, no constante y con coeficientes complejos, tiene almenos una raíz, de donde se concluye que todo polinomio tiene tantas raíces como su grado,considerando la multiplicidad de las raíces. En otras palabras, dado un polinomio complejop de grado n > 0, la ecuación p(z) = 0 tiene exactamente n raíces complejas, contandomultiplicidades.

En el Cálculo Diferencial e Integral, uno de los teoremas más importantes es el queestablece relaciones de reciprocidad entre los conceptos de integral y derivada. En términosgenerales, este teorema relaciona dos procesos: la integración y la diferenciación. El teoremaestá constituido por dos partes, la primera se refiere a la derivada de la integral y la segundaa la integral de la derivada, que analíticamente corresponde a las fórmulas:

d

dx

∫ x

a

f(t)dt = f(x) y∫ b

a

f(t)dt = F (b)− F (a),

respectivamente, con F una primitiva de f . Ambas relaciones constituyen lo que se conocecomo Teorema Fundamental del Cálculo (TFC).

Por lo general, este teorema se atribuye a dos personajes ampliamente conocidos del sigloXVII: el físico, astrónomo y matemático inglés Sir Isaac Newton (1642-1727) y el abogado,filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Asimismo, es biensabido que Newton y Leibniz son considerados como los creadores del Cálculo. Sin embargo,

Introducción 5

esta afirmación es una excesiva simplificación de los hechos. En realidad el Cálculo esel producto de una larga evolución de ideas en la cual, ciertamente, estos dos personajesdesempeñaron un papel decisivo (Whiteside, 1960, p. 348).

A grandes rasgos, durante el siglo XVII, diversos científicos europeos centraban su aten-ción alrededor de dos principales problemas. Primero, el problema de las tangentes : ladeterminación de las tangentes a una curva dada. Segundo, el problema de las cuadraturas :determinar el área encerrada por una curva dada (Kline, 1972, cap. 17). El gran mérito deNewton y Leibniz consistió en haber reconocido claramente la íntima conexión entre ambosproblemas.

La relevancia de los trabajos de Newton y Leibniz se debe a que ellos advirtieron elinmenso alcance de la relación inversa entre cuadraturas y tangentes. Sin embargo, la últimapalabra no la tuvieron ellos, ya que sus ideas fueron precisadas hasta principios del siglo XIX,cuando se establecieron los conceptos de Derivada (para definir lo que es recta tangente)e Integral (para definir lo que es área). Es entonces cuando podemos decir que la relacióninversa entre los problemas de cuadraturas y tangentes, se tradujo a una relación inversaentre los conceptos de integral y derivada.

En el presente trabajo nos vamos a referir a la integral en el sentido de Riemann, así queel Teorema Fundamental del Cálculo, se establece para funciones Riemann integrables. Unaversión típica de este teorema es la siguiente:

Teorema (TFC, Parte 1). Sea f integrable en [a, b]. Sea c ∈ [a, b] y F : [a, b] → R definidacomo

F (x) =

∫ x

c

f(t)dt (1.1)

para cada x ∈ [a, b]. Entonces F es derivable en cada punto x0 del intervalo [a, b] en el quef es continua, y para tal x0 tenemos F ′(x0) = f(x0). La función F se denomina una integralindefinida.

Teorema (TFC, Parte 2). Sea f integrable en el intervalo [a, b]. Si f es la derivada de F encada punto de [a, b], entonces ∫ b

a

f(t)dt = F (b)− F (a). (1.2)

En adelante, cuando hagamos referencia a la fórmula (1.2) se considerará de maneraimplícita que la función F es una primitiva cualquiera de f .

6 Introducción

Debido a la importancia del Teorema Fundamental del Cálculo dentro de los cursos deCálculo, en particular la segunda parte ya que provee una herramienta eficaz para calcularintegrales definidas, el presente trabajo de investigación tiene como principal objetivo:

Realizar una disertación acerca de las condiciones necesarias para poder aplicar lafórmula establecida por el Teorema Fundamental del Cálculo∫ b

a

f(t)dt = F (b)− F (a),

donde F es una primitiva de f .

Para llevar a cabo nuestro objetivo, por una parte, mostramos un panorama general delos diferentes acercamientos que se adoptan en la enseñanza del cálculo diferencial e integral,particularmente en la enseñanza del Teorema Fundamental del Cálculo. Por otra parte,presentamos una discusión relacionada con los conceptos, fórmulas y métodos asociados alTeorema Fundamental, analizando el concepto y cálculo de primitivas. Destacamos algunosfenómenos que nos permiten discutir y profundizar conceptos matemáticos relacionados conel Teorema Fundamental. En alguna parte de nuestro análisis utilizamos la tecnología parafacilitar cálculos laboriosos y de esta manera centrarnos en los aspectos conceptuales.

Antes de iniciar con la disertación, en el siguiente capítulo presentamos de manera gen-eral diferentes teoremas del siglo XVII y XVIII que pueden considerarse como versionespreliminares del Teorema Fundamental del Cálculo, asimismo revisamos algunos aspectosque condujeron a la formalización del teorema en el siglo XIX y finalmente presentamos suversión analítica del siglo XX.

Capítulo 2

Un panorama general acerca del origen yevolución delTeorema Fundamental del Cálculo (TFC)

El verdadero método para pronosticar el futuro de las matemáticasestá basado en el estudio de su historia y de su estado actual.

Henri Poincaré

2.1 Introducción

El Cálculo es considerado, junto con la Geometría, una de las creaciones más importantesdentro de las matemáticas. Fue creado, básicamente, para tratar cuatro principales proble-mas planteados durante los siglos XV al XVII, algunos de los cuales ya habían sido abordadospor los griegos en la antigüedad (Kline, 1972, p.342). El primero de estos problemas era,dada la fórmula para la distancia de un cuerpo como función del tiempo, encontrar la veloci-dad y aceleración instantánea; inversamente, dada la fórmula para la aceleración como unafunción del tiempo, encontrar la velocidad y la distancia recorrida. En el segundo problemase buscaba la tangente a una curva dada en un punto dado (problema de las tangentes) y enel tercero los valores máximos y mínimos de una función. Por último, el cuarto problema eraencontrar el área y el volumen acotados por curvas y superficies, respectivamente (problema

7

8 Origen y evolución del Teorema Fundamental del Cálculo

de las cuadraturas).

Los problemas antes mencionados fueron abordados, generalmente, como casos aisladospor muchos científicos y matemáticos entre los siglos XV y XVII. Todas sus contribucionesfueron la base para el trabajo que posteriormente desarrollarían, de manera independiente,dos grandes personajes: el físico, astrónomo y matemático inglés Sir Isaac Newton (1642-1727) y el abogado, filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Newton y Leibniz abordaron los cuatro principales problemas pero basados en dos con-ceptos generales (conocidos actualmente como Derivada e Integral) (Grabiner, 1983, p. 199).Su mayor contribución dentro del Cálculo fue, el hecho de haber reconocido con claridad lasrelaciones de reciprocidad entre los problemas de cuadraturas y de tangentes. Es por estarazón que, el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC), suele atribuirse a estos dos grandesmatemáticos.

Sin embargo, ellos no fueron los primeros ni los únicos en percatarse de dichas relacionesde reciprocidad, tampoco enunciaron ni establecieron este importante teorema tal y como loconocemos actualmente. En realidad el TFC actual es el producto de una larga evoluciónde ideas cuyo origen se remonta hacia finales de la edad media.

En el presente capítulo, hacemos un esbozo general de diferentes teoremas que puedenconsiderarse como versiones preliminares del Teorema Fundamental del Cálculo, algunas deellas dentro de un contexto geométrico y dinámico, otras con la formalización del siglo XIXy finalmente presentamos la versión analítica del TFC tal y como aparece en algunos librosde Cálculo del siglo XX. Cabe resaltar que nuestro propósito no es realizar la labor de unhistoriador, simplemente presentamos algunos hechos particulares que muestran de manerageneral la evolución de las ideas que han dado origen al actual TFC.

2.2 Versión preliminar del Teorema Fundamental

El Cálculo Diferencial e Integral, en términos generales, es la respuesta a dos problemasclásicos: la determinación de tangentes y el cálculo de las cuadraturas (áreas y volúmenes).Como ya hemos mencionado, Newton y Leibniz abordaron estos problemas pero basados endos conceptos generales, conocidos actualmente como Derivada e Integral (Grabiner, 1983,p. 199). De hecho, podemos decir que su mayor contribución dentro del Cálculo fue el hechode haber reconocido con claridad la relación que existe entre los problemas de cuadraturas ytangentes. Es decir, un problema de cuadraturas se podía reducir a un problema de encontrar

Origen y evolución del Teorema Fundamental del Cálculo 9

una curva que tenía una cierta regla de tangencia y el problema del trazo de una tangente acurva en un punto se podía reducir al problema de una cuadratura.

Entre los científicos que se percataron de la relación entre los problemas de cuadraturas ytangentes, previo a Newton y Leibniz, podemos destacar al matemático inglés Isaac Barrow(1630-1677).

2.2.1 La versión geométrica del TFC de Isaac Barrow

Isaac Barrow fue un teólogo y matemático inglés quien destaca por sus contribuciones para eldesarrollo del Cálculo moderno. Además, Barrow es bien conocido por ser uno de los primerosen reconocer la relación que existe entre los problemas de cuadraturas y tangentes (que entérminos modernos se refiere a la integración y diferenciación como procesos inversos), perosobre todo por ser de los primeros en dar una demostración rigurosa (Child, 1916, p. 124).

En 1669 Barrow publicó sus Lectiones Geometricae (Lecciones Geométricas) en dondeestableció, entre otras cosas, métodos para trazar tangentes a curvas. A continuación ex-ponemos brevemente las ideas generales de Barrow desde un punto de vista de la matemáticamoderna.1

Consideremos los ejes coordenados x, y. Sea f(x) una función creciente y positiva definidaen el segmentoAB, como se muestra en la Figura 2.1. Ahora seaA(x) una función que cumplecon lo siguiente: Si tomamos D un punto cualquiera sobre A(x) y trazamos la perpendicularque corta al eje x en el punto X1 = (x1, 0), entonces el área entre la curva f(x) y el segmento[0, x1] es igual al rectángulo determinado por el segmento DX1 y una magnitud constanteR, es decir

A(x1) = DX1 ×R.

Por último, sea FX1 el segmento que cumple con la siguiente relación

EX1

DX1

=R

FX1

o DX1 ×R = EX1 × FX1.

Entonces Barrow demuestra que la recta que pasa por los puntos D y F es tangente a lafunción área A(x) (ver Figura 2.2).

De esta manera, Barrow resuelve el problema de trazar una tangente a una curva cuandoésta es la cuadratura de otra curva, relacionando sus cuadraturas. Si lo interpretamos en

1Los detalles de la demostración original se pueden consultar en Barrow (1735, pp. 167-168), Child (1916,pp. 116-118) o bien el Apéndice A.


Figura 2.1:

Figura 2.2:


términos modernos, podemos decir: Dada una función f continua y creciente definida en elintervalo [0, a] y la función área A definida como

A(x) =

∫ x

0

f(t)dt, con x ∈ [0, a].

Barrow calcula la pendiente de la recta tangente a A para cada x ∈ [0, a], es decir, la derivadade A para cada x ∈ [0, a] y en este caso obtiene

A′(x) = f(x).

El resultado de Barrow es notable debido a la relación que establece entre la cuadraturade una curva dada y la tangente a la curva que representa la cuadratura. Ciertamente, élfue uno de los primeros que empieza a descubrir y demostrar la naturaleza inversa entrelos problemas de cuadraturas y tangentes, aunque de una forma estrictamente geométrica.Sin embargo, debido a que no desarrolló completamente las herramientas analíticas, fueincapaz de hacer un uso eficaz de la relación. Es aquí donde los trabajos Newton y Leibnizcobran mayor relevancia debido a que habían desarrollado las herramientas analíticas parareconvertir y robustecer las ideas geométricas de Barrow, las cuales condujeron al desarrollode algoritmos para la resolución de los problemas de tangentes y cuadraturas.

2.3 Contribuciones de Leibniz y Newton en el desarrollodel TFC

Newton y Leibniz advirtieron el inmenso alcance de la relación inversa entre problemas decuadraturas y tangentes. Cada quien independientemente, dio argumentos para demostrardicha relación basados en dos conceptos generales conocidos actualmente como Derivada eIntegral, por lo cual se considera que tuvieron un claro reconocimiento de estas dos relacionesde reciprocidad.

2.3.1 Leibniz

El trabajo de Leibniz se conoce principalmente por los numerosos artículos que publicó enActa Eruditorum2 y por sus cartas personales y manuscritos que se conservan en Hannover.

2Revista científica mensual alemana publicada entre 1682 y 1782, fundada en Leipzig por Otto Menckepor iniciativa de Leibniz.


Entre estos documentos están los manuscritos fechados el 25, 26 y 29 de Octubre y el 1 y 11de Noviembre de 1675 donde Leibniz estudia la cuadratura de curvas y desarrolla su cálculodiferencial e integral (Child, 1920).

Una de las aportaciones que Leibniz realizó al Cálculo fueron los símbolos “∫” y “d”,

referidos a las sumas y diferencias, respectivamente. Otras dos ideas fundamentales delcálculo de Leibniz son la relación entre la sumas de sucesiones y las diferencias de sustérminos consecutivos y el llamado triángulo característico.3 (Baron, 1969; Boyer, 1949)

2.3.2 La versión de Leibniz del TFC

En su artículo publicado en 1693 en Acta Eruditorum, Leibniz aborda el problema de cuadrat-uras reduciéndolo al de encontrar una curva con una “regla de tangencia”. En sus propiaspalabras: “Demostraré ahora que el problema general de cuadraturas puede ser reducido alde encontrar una línea que tiene una ley de tangencia dada”.4

A continuación exponemos brevemente, las ideas generales de Leibniz desde un punto devista de la matemática moderna.5

Consideremos los ejes coordenados x, y. Sea f(x) una función continua, creciente ypositiva, definida en el segmento AB y F un punto cualquiera que se mueve sobre f(x) (verFigura 2.3). La recta que pasa por los puntos F y D es perpendicular al eje x.

Si F (x) es una función tal que la pendiente de la recta tangente a F (x) en G (intersecciónde la prolongación de la recta FD y F (x)) cumple la siguiente relación

dy

dx=DF

R,

donde dy y dx son los lados del triángulo característico y R es una magnitud constante(Figura 2.3), entonces el área AFD (Figura 2.4) es igual a DG− AK, esto es

Área(AFD) = DG− AK.

3El triángulo característico (triangulum characteristicum) es el triángulo con lados infinitesimales dx, dyy ds. Fue utilizado en el siglo XVII por diversos matemáticos tales como Pascal, Snellius y Leibniz.

4Leibniz (1971, pp. 294) y Struik (1969, pp. 282)5Los detalles de la demostración original se pueden consultar en Leibniz (1971, pp. 294-301) y Struik

(1969, pp. 282-284) o bien el Apéndice A.


Figura 2.3:

Figura 2.4:


En términos modernos, Leibniz demostró lo siguiente: Si f continua, creciente y positiva,definida en el intervalo [0, a] tal que f(0) = 0 y F es una función que cumple con la propiedadde que la pendiente de la recta tangente en cada punto x ∈ [0, a] es igual a f(x), es decir, laderivada F ′(x) es igual a f(x) para cada x ∈ [0, a], entonces el área bajo la función f en elintervalo [0, a] está dada por la diferencia F (a)− F (0).

Por otra parte, Leibniz no sólo dio un argumento geométrico sino que también abordóde forma analítica, utilizando el cálculo que él mismo había inventado, lo cual fue unadiferencia importante entre su demostración y la de Barrow. Veamos un ejemplo particularpara mostrar cómo se puede utilizar el resultado de Leibniz. Supongamos que deseamosencontrar la cuadratura de la curva y = x2 (cuadratura de la parábola). De acuerdo consu teorema, debemos encontrar una curva cuya ley de tangencia es x2. Esto esencialmenteinvolucra conjeturar una respuesta basada en la experiencia en derivación, que en este casoserá x3/3. Finalmente debemos verificar que funciona.

La ley de tangencia para x3/3 la obtiene Leibniz a partir de su triángulo característicoinfinitesimal como la razón de los respectivos incrementos en y y x, es decir, dy : dx. Dadoque dx es el incremento (diferencia) entre los valores sucesivos (de las sumas) x y x + dx,con los correspondientes valores

y = x3/3 y y + dy = (x+ dx)3/3

y realizando algunos cálculos, obtenemos

dy : dx =dy

dx=

(y + dy)− ydx

=(x+ dx)3 − x3

3 · dx

=x3 + 3x2 · dx+ 3x · (dx)2 + (dx)3 − x3

3 · dx

= x2 + x · dx+ (dx)2

3= x2.

Leibniz afirmaba que la identidad final se obtiene quitando los términos infinitesimales.De esta manera, de acuerdo con él, el área comprendida entre la parábola y el eje x, desdeel origen a un valor específico x para la ordenada, está dada por x3/3 (Laubenbacher &Pengelly, 1999, p. 153).

2.3.3 Newton

Entre los trabajos matemáticos de Newton podemos distinguir algunos temas centrales, porejemplo el desarrollo binomial, desarrollos en series de potencias, algoritmos para hallar


raíces de ecuaciones y de inversión de series, los conceptos de fluentes y fluxiones conocidoshoy día como funciones del tiempo y sus derivadas, respectivamente. Newton estuvo muyinteresado también en óptica, dinámica, alquimia, y en la interpretación de las sagradasescrituras.

En contraste con Leibniz, debido a su naturaleza tímida, Newton era reacio a publicarsus resultados, para así evitar las posibles críticas y controversias de sus contemporáneos. EnOctubre de 1666 escribió un tratado sobre fluxiones y en 1669 De analysi, un tratado sobreseries infinitas que circuló en forma de manuscrito entre los miembros de la Royal Societyof London.6 Hay otro tratado sobre fluxiones y series infinitas de 1671 y otro sobre lacuadratura de curvas de 1693. Sin embargo, estos fueron publicados mucho tiempo después,algunos incluso después de su muerte. De analysi fue publicado en 1711 y de 1693 sobrecuadratura de curvas, De Quadratura Curvarum apareció como un apéndice de su Opticksen 1704. Su obra más famosa titulada Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, dondeexpone su teoría de la gravitación universal, fue publicada en 1687.

2.3.4 La versión de Newton del TFC

Veamos ahora cómo Newton abordó el problema de cuadraturas. En su trabajo titulado Deanalysi per aequationes numero terminorum infinitas7, estableció un método para calcularel área bajo la curva y = ax

mn . Esto lo expresó de la siguiente manera:

Sea la ordenada BD perpendicular a la base AB de alguna curva AD y sean ABigual a x y BD igual a y. Sean a, b, c, . . . cantidades dadas y m,n enteros.

Figura 2.5:

6La Royal Society of London for Improving Natural Knowledge es la más antigua sociedad científica delReino Unido y una de las más antiguas de Europa.

7En The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. II, pp. 206-247, editado por D. T. Whiteside.


EntoncesRegla 1. Si y = axm/n, entonces el área de la región ABD es an

m+nx(m+n)/n.

(Whiteside, 1968, p. 207)

En términos de la matemática moderna, al punto A lo podemos establecer como el origen,es decir, A = (0, 0), mientras que al punto B lo consideramos como el punto (x, 0) y la curvaAD como y = axm/n.

Figura 2.6:

Entonces el enunciado de Newton establece que∫ x

0

atm/ndt =ax(m/n)+1

(m/n) + 1=

an

m+ nx(m+n)/n.

Sólo hasta el final de su escrito, Newton da una demostración de la Regla 1. A continuaciónpresentamos de forma general sus argumentos.8

Sea AD la curva como se muestra en la Figura 2.7, con AB = x y BD = y. Sea z igual alárea ABD. Newton menciona: “asumiendo cualquier relación arbitraria entre x y z, buscaréel valor de y de la siguiente manera” (Whiteside, 1968, pp. 243-247). Una vez dicho esto,procede a encontrar y para el caso particular z = 4

9x3. Para simplificar los cálculos basta

utilizar z = x3, como sugiere Grabiner (1983, p. 199). Si observamos la Figura 2.7, la líneaauxiliar bd es tal que Bb = o es un incremento.

En sus argumentos, Newton especificó que BK = v se debe elegir de tal forma que elárea BbHK sea igual al área BbdD. De esta manera ov es igual al área BbdD. Ahora,

8Para los detalles de la demostración se puede consultar Whiteside (1968, pp. 206-247) o bien el ApéndiceA.


Figura 2.7:

cuando x tiene un incremento x+ o, el cambio del área z está dado por

z(x+ o)− z(x) = x3 + 3x2o+ 3xo2 + o3 − x3 = 3x2o+ 3xo2 + o3

la cual, por definición de v, es igual a ov, es decir

3x2o+ 3xo2 + o3 = ov.

Dividiendo por o obtenemos

3x2 + 3xo+ o2 = v. (2.1)

En este punto, Newton comenta: “si suponemos que Bb disminuye infinitamente hasta de-saparecer, esto es que o sea nula, v y y en este caso serán iguales y los términos que semultiplican por o desaparecerán” (Whiteside, 1968, pp. 243-245). Por lo que obtenemos

y = 3x2.

Efectivamente, Newton acertó en el hecho de que, como o “se hace cero” (hoy diríamos:tiende a cero), los términos que tienen a o en la expresión (2.1) también “se hacen cero”. Almismo tiempo, v se hace igual a y, lo cual equivale a decir que la altura BK del rectángulode la Figura 2.7 será igual a la ordenada BD de la curva original.

A partir de la suposición de que el área ABD está dada por

z(x) =an

m+ nx(m+n)/n,


Newton había deducido que la curva AD debe satisfacer la ecuación y = axm/n. En esen-cia, él había derivado la función área (integral indefinida). Posteriormente, sin mayoresjustificaciones, Newton estableció de manera inversa que:

Si y = axm/n, entonces z = nm+n

ax(m+n)/n.

De esta manera, Newton introdujo otra técnica para resolver problemas de cuadraturas.A partir de casos particulares dedujo que la cuadratura de un fluente (una curva expresadaanalíticamente), se podía calcular encontrando una fórmula cuya fluxión correspondía a esefluente. En términos modernos, podemos decir que Newton calculó el área de una funcióncontinua f en el intervalo [a, b], encontrando primero una primitiva de f , es decir, una F talque F ′(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b] para después establecer que el área es igual a

F (b)− F (a).

Newton fue capaz de desarrollar esta técnica debido a que se había percatado de las inter-relaciones de los conceptos de fluentes y fluxiones (Edwards, 1979, p. 196).

2.3.5 Diferenciación e integración como procesos inversos

La formulación de métodos y algoritmos generales que podían servir para unificar el tratamientode diferentes problemas del Cálculo se debe a Newton y Leibniz. Una diferencia notableentre sus contribuciones es que Leibniz se concentró en técnicas generales que podían seraplicadas a problemas específicos, mientras que Newton se concentró en resultados concretosque podían ser generalizados. En la aproximación de Leibniz las diferencias discretas deinfinitesimales de variables geométricas jugaban un papel central; mientras que la fluxión (orazón de cambio) fue el concepto fundamental de Newton, el cual estaba basado en las ideasintuitivas del movimiento continuo (Edwards, 1979, p. 266).

La contribución vital que Newton y Leibniz comparten es el hecho de haber reconocidola importancia de las relaciones de reciprocidad entre los problemas de cuadraturas y detangentes, las cuales poco tiempo después se traducirían como relaciones de reciprocidadentre los procesos de integración y de diferenciación (Laubenbacher y Pengelly, 1999, p. 103).Fue así como comenzaron a tomar forma el Cálculo Diferencial definido como el proceso paradeterminar la razón entre diferencias infinitesimales y el Cáculo Integral definido como elproceso inverso del cálculo diferencial.


Sin embargo, la última palabra no la tuvieron ellos, ya que sus ideas fueron precisadas yfundamentadas hasta inicios del siglo XIX, cuando se introdujo la noción de límite, la cualpermitiría definir ambos procesos de manera independiente pero que aún se mantendríanrelacionados a través del TFC.

Por último, a pesar de que las contribuciones de Newton y Leibniz fueron atacadas por eluso de los infinitesimales9, se admitía el hecho de que sus descubrimientos y procedimientosconducían a resultados correctos. Los infinitesimales fueron una herramienta útil y exitosa,así que las cuestiones acerca de su validez fue subsanadas debido a su eficacia.

2.4 Hacia la formalización del Teorema Fundamental

Prácticamente, Leibniz había considerado la “integral” como una suma infinita de infinite-simales. Newton, en contraste, consideraba la “integral” como un fluente que tenía que serdeterminado a partir de su fluxión. Fue así como Newton abordó los problemas de áreas yvolúmenes interpretándolos como problemas inversos de razón de cambio, lo cual es, básica-mente, el proceso inverso de diferenciación (antidiferenciación) (Edwards, 1979, p. 266). Esposible que, por esto último, durante el siglo XVIII el proceso de integración se consider-aba principalmente como el proceso de antidiferenciación. Leonhard Euler (1707-1783), porejemplo, comienza su tratado acerca del Cálculo integral con la siguiente definición:

Definición: El cálculo integral es el método de encontrar, a partir de undiferencial dado, la cantidad misma; y la operación que produce esto, es general-mente llamado integración (Euler, Opera Omnia, Serie I, Vol. 11, p. 5).

Más evidencia de que la integración estaba supeditada a la derivación, pues se concebíacomo un proceso de antiderivación, la podemos encontrar en algunos de los primeros librosde Cálculo del siglo XVIII y XIX. A continuación mostramos un par de casos donde se puedeapreciar la influencia de Newton y Leibniz:

• Un primer ejemplo es el libro Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana,escrito por la matemática italiana Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) y publicado en

9Uno de los principales críticos de los trabajos de Newton y Leibniz fue George Berkeley (1685-1753)quien publicó en 1734 The Analyst, obra en la cual realizó una crítica a los fundamentos y principios delcalculo infinitesimal poniendo en duda la validez del uso de los infinitesimales.


1748. Este tratado es considerado como uno de los primeros libros de texto de Cálculo(Truesdell, 1989). Agnesi trató conjuntamente el cálculo diferencial y el cálculo integralenfatizando su naturaleza como problemas inversos. En el Libro tercero (Tomo II),acerca del cálculo integral menciona lo siguiente:

El Cálculo Integral, que suele llamarse todavía Cálculo Sumatorio, es unmétodo para reducir una cantidad diferencial a aquella cantidad, de la cuales la diferencia, así que las operaciones del Cálculo Integral son opuestas aaquellas del Cálculo Diferencial; y por tanto es llamado el método inverso delas fluxiones o de las Diferencias. De esta manera, por ejemplo, el diferencialde x es dx y consecuentemente x es la integral de dx (Agnesi, 1748, TomoII, p. 613; Agnesi, 1801, Book III, p. 109).

• Un segundo ejemplo es el libro Traité élémentaire de Calcul Différential et de CalculIntégral. Escrito por el matemático francés Sylvestre François Lacroix (1765-1843) ypublicado en 1802. Esta obra tuvo gran influencia como libro de texto de Cálculodurante la primera mitad del siglo XIX, incluso fue re-editado hacia finales 1881. Enla segunda parte de su libro, acerca del cálculo integral, inicia con lo siguiente:

El Cálculo Integral es lo inverso del Cálculo Diferencial; su objetivo esobtener, a partir de los coeficientes diferenciables10, las funciones de las cualeshan sido derivados tales coeficientes. [...]Cuando el coeficiente diferencial de primer orden de una función de x estádado en términos de x, tenemos dy

dx= X, o dy = Xdx; la función que se

busca es consecuentemente aquella cuyo diferencial es Xdx y esto lo repre-sentamos como: y =

∫Xdx (Lacroix, 1802, p. 187; Lacroix, 1816, p. 179)

.

Fue hasta la segunda década del siglo XIX, con la introducción del concepto de límite, queel Cálculo integral comenzó a considerarse de otra forma. El matemático francés AugustinLouis Cauchy (1789-1857) dio un nuevo punto de vista que permitiría ver a la integración yla diferenciación desde un punto de vista analítico, ya que él consideraba que la integral yla derivada deberían de existir y definirse de manera independiente.

10El coeficiente diferencial se refiere a la expresión dydx .


De forma breve, Cauchy definió la derivada11 de f(x) como el límite, cuando este existe,del cociente de diferencias

f(x+ h)− f(x)h

,

cuando h tiende a cero. Por otra parte, introdujo la definición de integral definida, enfati-zando que era necesario establecer su existencia independientemente de la antidiferenciación.Supongamos que f(x) es una función continua definida en un intervalo [x0, X]. Consideremosla partición de este intervalo

x0, x1, x2, . . . , xn−1, xn = X

y la suma (llamada también “suma de Cauchy”)

Sn =n∑i=1

f(xi−1)(xi − xi−1).

Si los valores absolutos de las diferencias xi+1 − xi disminuyen indefinidamente, el valor deSn tiende a un cierto límite S. A este límite Cauchy lo llamó integral definida y lo denotópor ∫ X

x0

f(x)dx.12

A pesar de que la definición de integral dada por Cauchy no es general, debido a que laaplica sólo a funciones continuas, podemos decir que fue un desarrollo significativo por dosaspectos importantes: (1) la integral se define como un límite y (2) su existencia (o más biensu definición) no tenía nada que ver con la antidiferenciación (Dunham, 2005, p. 87).

Una vez establecidos, de manera independiente, los conceptos de integral y derivada,Cauchy prosiguió a vinculando ambos conceptos por medio de una serie de resultados queeventualmente conducirían a la versión actual del TFC para funciones continuas.

2.4.1 Demostración analítica del Teorema Fundamentalpara funciones continuas

Cauchy fue pionero en el análisis matemático, contribuyendo de manera medular a su de-sarrollo. Con base en su definición de integral como límite de sumas demostró resultados

11El nombre «derivada» y la notación «f ′(x)» fueron introducidos por Lagrange (Grabiner, 1983, p. 204).12Notación propuesta por Fourier (Kline, 1972, p.957).


básicos o reglas generales. Por ejemplo, estableció que, para f continua, existe un valor θentre 0 y 1 para el cual∫ X

x0

f(x)dx = (X − x0)f [x0 + θ(X − x0)] . (2.2)

La formulación anterior la podemos reconocer como el actual teorema del valor medio paraintegrales.

Por otra parte, Cauchy fue capaz de unificar las ideas de diferenciación e integración demanera analítica con base en su definición de integral como límite de sumas. En la vigésimasexta lección de su Résumé des leçons données à l’École royale polytechnique sur le calculinfinitésimal de 1823, Cauchy presentó lo que es considerada como la primera demostraciónanalítica del Teorema Fundamental del Cálculo.13

Cauchy comenzó con la hipótesis de que f es una función continua y consideró la integralhaciendo variar el límite superior de integración, es decir, define la función

F(x) =∫ x

x0

f(t)dt

Cauchy demostró entonces que

F(x+ α)−F(x) =

∫ x+α

x0

f(t)dt−∫ x

x0

f(t)dt

=

∫ x+α

x

f(t)dt

Usando la ecuación (2.2) (Teorema del valor medio), dedujo la existencia θ entre 0 y 1 parael cual ∫ x+α

x

f(t)dt = (x+ α− x)f [x+ θ(x+ α− x)] = αf(x+ θα).

En suma, F(x+ α)−F(x) = αf(x+ θα) para algún valor de θ.

Para Cauchy, esta última ecuación mostraba que F era continua debido a que un incre-mento infinitesimal en x producía un incremento infinitesimal en F . En otros términos

limα→0

[F(x+ α)−F(x)] = limα→0

αf(x+ θα) = limα→0

α · limα→0

f(x+ θα)

= 0 · f(x) = 0

13Cauchy Oeuvres, Serie II, Tomo IV, pp. 151-156; Cauchy (1994, pp. 311-317).


donde la continuidad de f en x implica que limα→0 f(x + θα) = f(x). Consecuentemente,limα→0F(x+ α) = F(x) y por tanto F es continua en x.

Por otra parte, Cauchy mostró que

F ′(x) = limα→0

[F(x+ α)−F(x)

α

]= lim

α→0

αf(x+ θα)

α

= limα→0

f(x+ θα) = f(x)

lo cual reescribe comod

dx

∫ x

x0

f(x)dx = f(x).

Después de haber diferenciado la integral, Cauchy mostró en seguida cómo integrar laderivada. Esto lo expresó con la fórmula∫ X

x0

f(x)dx = F (X)− F (x0).

donde f es una función continua y F es una función tal que F ′(x) = f(x) para todo x. Loanterior es básicamente la parte de evaluación del TFC (Parte 2).

Ambos resultados de Cauchy se pueden resumir en los siguientes teoremas:

Teorema 2.1 (Cauchy). Sea f continua en el intervalo [a, b]. Si F está definida como F (x) =∫ xaf(t) con x ∈ [a, b], entonces tenemos

d

dx

∫ x

a

f(t)dt = f(x).

Teorema 2.2 (Cauchy). Si f es continua en [a, b] y es la derivada de F en cada punto de [a, b],entonces ∫ b

a

f(t)dt = F (b)− F (a).

La demostración de Cauchy es considerada como la primera demostración analíticabasada en su definición de integral como un límite de sumas (Kline 1972, p. 958). Lademostración de Cauchy es (y sigue siendo actualmente) válida para funciones continuas yversiones similares se pueden encontrar en libros actuales de Cálculo.

Cabe hacer la observación de que Cauchy no utilizó el adjetivo «Fundamental» en ningunode sus enunciados, ni siquiera los identifica como «Teoremas» o «Proposiciones». Simple-mente son resultados que le permiten definir la integral indefinida como la clase de funciones


que tienen a f como su derivada. Bressoud (2008, p. 11) opina que el adjetivo «Funda-mental» comenzó a usarse en ciertos libros de Cálculo escritos durante el siglo XIX, peroque no se referían solamente a ambas partes del actual TFC sino también a una serie deteoremas considerados en esa época también como fundamentales14 del Cálculo Infinitesimal.Ejemplos donde se consideraban estos resultados como fundamentales son los libros:

• An Elementary Treatise on the Differential and Integral Calculus15, publicado en 1825,escrito por Dionysius Lardner (1793-1859).

• De L’Analyse Infinitésimal: Étude sur la Métaphysique du haut Calcul16, publicado en1860, escrito por Charles De Freycinet (1828-1923).

2.4.2 Versión general del Teorema Fundamental para funcionesRiemann integrables

La definición de integral como un límite de sumas permitió considerar a la integración comoun proceso independiente del proceso de antidiferenciación. La definición de Cauchy deintegral definida se aplica para cualquier función continua, incluso para funciones que tienendiscontinuidades aisladas. Si, por ejemplo, la función f(x) definida en [a, b] es discontinuaen el punto x0 ∈ [a, b], la integral definida∫ b

a

f(x)dx

se define como el límite, si este existe, de la suma∫ x0−ε

a

f(x)dx+

∫ b

x0+ε

f(x)dx

cuando ε tiende a cero.

Sin embargo, con el desarrollo del Análisis, surgió la necesidad de considerar integralesde funciones cuyo comportamiento era más irregular. El tema de la integrabilidad parafunciones más generales fue abordado por el matemático alemán Georg Friedrich Bernhard

14Cabe hacer la observación de que la palabra «fundamental», en este caso, se entiende como el principioy cimiento en que estriba y sobre el que se apoya o basa algo.

15Consultar Lardner (1825, pp. 174-179).16Consultar De Freycinet (1860, pp. 106-109).


Riemann (1826-1866), en su trabajo: Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch einetrigonometrische Reihe17 de 1854.

Básicamente, Riemann desarrolló una teoría de integración, derivada de las ideas deCauchy, debilitando las condiciones necesarias para que una función sea integrable. De estamanera, en términos muy generales, una función acotada f(x) es integrable en [a, b] si y sólosi la suma de

Sn =n∑k=1

f(tk)(xk − xk−1),

donde a = x0 < x1 < . . . < xn = b y tk ∈ [xk−1, xk], se aproxima a un único valor límitecuando el tamaño de la partición del intervalo se aproxima a 0. Este único valor límite sedenota por ∫ b

a

f(x)dx.18

Esta definición establecida en términos de sumatorias más generales, llamadas ahorasumas de Riemann, se aplica a funciones acotadas no necesariamente continuas en un in-tervalo o continuas con discontinuidades aisladas, lo cual hace la diferencia respecto a ladefinición dada por Cauchy.

Aunque muchos matemáticos reconocieron la utilidad de definir la integral como un límitede sumas, la adopción de esta idea fue lenta y tardó en aparecer de manera generalizada enlos libros de Cálculo. Básicamente, con la introducción del concepto de integral (como límitede sumas), los matemáticos reconocían dos aproximaciones para el Cálculo Integral. Por unaparte, como un proceso de sumas pero también como el proceso inverso de la diferenciación.Por ejemplo, el matemático canadiense Daniel Alexander Murray (1862-1934) en su libro Afirst Course in Infinitesimal Calculus (1903), en el capítulo al respecto del Cálculo Integral,menciona lo siguiente:

En este capítulo se discutirán dos procesos fundamentales del cálculo, cada unollamado integración. El proceso de diferenciación se usa para encontrar derivadasy diferenciales de funciones; esto es, para obtener de una función, digamos F (x),su derivada F ′(x) y su diferencial F ′(x)dx. Por otra parte el proceso de inte-gración se usa:

(a) Para encontrar el límite de la suma de un infinito número de infinitesi-males los cuales están en la forma diferencial f(x)dx;

17Publicado en Gesammelte Mathematische Werke, (Riemann, 1990)18Para una definición más precisa se puede consultar Hawkins (1970, pp. 16 -18).


(b) Para encontrar funciones cuyas derivadas o diferenciales están dados; estoes, para encontrar anti-derivadas y anti-diferenciales.Brevemente, la integración podría ser (a) un proceso sumatorio o (b) un procesoinverso a la diferenciación, el cual, de acuerdo con esta idea, se podría llamaranti-diferenciación (Murray, 1903, p. 148).

Por otra parte, a principios del siglo XX, también se comenzaron a publicar libros deCálculo Integral en los cuales se seguían considerando ambas aproximaciones. Es decir,libros que consideraban la integración como el proceso inverso de la diferenciación y comolímites de sumas.

Por ejemplo, algunos libros publicados a inicios del siglo XX, donde todavía se considerabala integración como un proceso de antidiferenciación, son:

• Elements of the Differential and Integral Calculus, escrito por el matemático esta-dounidense William Anthony Granville (1864-1943) y publicada en 1904. Obra re-editada en inglés hasta 1957. En español se pueden encontrar re-ediciones hasta 2009con el título: Cálculo Diferencial e Integral. Esta obra ha tenido gran influencia comolibro de texto en los cursos básicos de Cálculo.

• A Course of Pure Mathematics, escrito por el matemático inglés Godfrey Harold Hardy(1877-1947) y publicada en 1908.

• Integral Calculus (1917), escrito por el matemático estadounidense Henry BayardPhillips (1881-19??), del cual existen versiones en español re-impresas hasta 1978 bajoel título: Elementos del Cálculo Infinitesimal.

• Elementary textbook on the Calculus (1912), escrito por los matemáticos estadounidensesVirgil Snyder (1869-1950) y John Irwin Hutchinson (1867-1935).

Algunos de los primeros libros del siglo XX, en donde se comenzó a adoptar solamentela definición de integral como límite de sumas (en particular sumas de Riemann), son:

• The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier’s Series, delmatemático inglés Ernest William Hobson (1856-1933) y publicado en 1907.

• Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung escrito por el matemático de origenaleman Richard Courant (1888-1972) y publicado en 1924. Posteriormente esta obra fue


traducida al inglés por E. J. McShane bajo el título Differential and Integral Calculus,publicado en 1934 en los Estados Unidos.

Bressoud (2008, p. 11) sugiere que la versión moderna del Teorema Fundamental com-puesta en dos partes, considerando la integral como límite de sumas de Riemann, se debe almatemático alemán Paul du Bois-Reymond (1831-1889), quien en 1880 publicó en la revistaMathematische Annalen una discusión extensa y dio una demostración de ambas partes.19

Esta versión fue adoptada por algunos matemáticos y fue apareciendo paulatinamente en loslibros de Cálculo. Asimismo, Bressoud (2008, p. 12) menciona que los libros de Courant yHobson antes mencionados, fueron de los primeros en presentar de esta manera el TeoremaFundamental del Cálculo. Esta versión posteriormente se popularizó debido a que se consid-eraba al Teorema Fundamental como un gran progreso de la matemática moderna del sigloXX.

Es así como ha llegado hasta nuestros días la versión actual del Teorema Fundamentaldel Cálculo, la cual es la más conocida y extendida dentro de la comunidad matemática. Acontinuación enunciamos y probamos la versión moderna.

Teorema 2.3. Sea f : [a, b]→ R una función Riemann integrable.

1. Sea c en [a, b] y F : [a, b]→ R definida como

F (x) =

∫ x

c

f(t)dt

para cada x ∈ [a, b]. Si f es continua en x0 ∈ [a, b], entonces F es derivable en x0, eneste caso F ′(x0) = f(x0).

2. Si F : [a, b] → R es una función derivable en [a, b] tal que F ′(x) = f(x) para todax ∈ [a, b], entonces ∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a).

Para probar el inciso 1, mostraremos que el cociente

F (x+ h)− F (x)h

.

19Consultar du Bois-Reymond (1880).


tiende a f(x) cuando h→ 0.

Supondremos que x0 está en (a, b); el lector podrá realizar modificaciones necesarias parax0 = a o x0 = b. Supongamos primero que h > 0 tal que x0 está en (a, b). Entonces, por lapropiedad aditiva de la integral tenemos

F (x0 + h)− F (x0) =

∫ x0+h

c

f −∫ x0

c

f

=

∫ x0

c

f +

∫ x0+h

x0

f −∫ x0

c

f =

∫ x0+h

x0

f.

Definamos mh y Mh como sigue:

mh = inf {f(x) : x0 ≤ x ≤ x0 + h} ,

Mh = sup {f(x) : x0 ≤ x ≤ x0 + h} .

Ahora, tenemos que

mh · h ≤∫ x0+h

x0

f ≤Mh · h.

Por lo tanto

mh ≤F (x0 + h)− F (x0)

h≤Mh.

Si h < 0, cambiamos algunos detalles de la demostración. Sea

mh = inf {f(x) : x0 + h ≤ x ≤ x0} ,

Mh = sup {f(x) : x0 + h ≤ x ≤ x0} .

Entonces

mh · (−h) ≤∫ x0

x0+h

f ≤Mh · (−h).

Dado que −h > 0, al dividir obtenemos

mh ≤−∫ x0x0+h

f

h≤Mh.

Ahora, como

−∫ x0

x0+h

f =

∫ x0+h

x0

f = F (x0 + h)− F (x0),


obtenemos el mismo resultado que antes

mh ≤F (x0 + h)− F (x0)

h≤Mh.

Esta igualdad se cumple para cualquier función f integrable, sea o no continua en x0.

Finalmente, puesto que f es continua en x0,

limh→0

mh = limh→0

Mh = f(x0),

lo cual demuestra que

F ′(x0) = limh→0

F (x0 + h)− F (x0)h

= f(x0).

Para demostrar el inciso 2, probemos que se cumple∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a)

para toda primitiva F de la función f .

Primero, como sabemos que f es una función Riemann integrable en [a, b], entonces pordefinición para cualquier sucesión de particiones Pn =

{xn0 , x

n1 , . . . , x

nkn

}del intervalo [a, b] y

cualquier selección de puntos tni ∈[xni−1, x

ni

], se tiene∫ b

a

f(x)dx = limn→∞

∑i

f(tni )(xni − xni−1

),

tal que la sucesión de máximas diferencias δn = maxi{xni − xni−1

}tienda a cero. Considere-

mos una tal sucesión de particiones.

Ahora, si F es una primitiva de f en [a, b], es decir F ′(x) = f(x) para toda x ∈ [a, b],sabemos que, por el teorema del valor medio, existen puntos tni ∈

[xni−1, x

ni

]tales que

F (xni )− F(xni−1

)= F ′(tni )

(xni − xni−1

)= f(tni )

(xni − xni−1

).

Por lo tanto tenemos∑i

(F (xni )− F

(xni−1

))=∑i

(f(tni )

(xni − xni−1

)).

Pero F (b)−F (a) =∑

i

(F (xni )− F

(xni−1

)), así que para esta selección de puntos tni tenemos∑

i

(f(tni )

(xni − xni−1

))= F (b)− F (a).


Para cada una de las particiones Pn ={xn0 , x

n1 , . . . , x

nkn

}, entonces tenemos∫ b

a

f(x)dx = limn→∞

∑i

f(tni )(xni − xni−1

)= F (b)− F (a).

Esto prueba el inciso 2 del Teorema 2.3.20

Existen otras versiones del TFC, que dependen de la definición de integral que se con-sidere, por ejemplo la dada por Lebesgue o por Henstock y Kurswail. Sin embargo, centramosnuestro interés en la versión del TFC para funciones Riemann integrables, porque es la quese estudia generalmente en los cursos básicos de Cálculo. De aquí en adelante, siempre nosreferiremos a esta versión, a menos que se indique otra cosa.

El recorrido histórico aquí realizado muestra un panorama general del origen y evolucióndel Teorema Fundamental del Cálculo. Podemos decir que su origen se dio en un contextogeométrico y dinámico. Posteriormente se convirtió en una herramienta eficaz para el cálculode áreas bajo curvas de funciones continuas en los s. XVII y XVIII, pero aún en los s. XVIII yXIX el problema de integración era considerado como uno de antiderivación, que en términosmodernos era el cálculo de funciones primitivas. Fue hasta el s. XIX en que se establecióformalmente con base en la definición de integral definida como límite de sumas, y finalmentese extendió su uso para funciones más generales en el siglo XX.

Se puede profundizar más, sin embargo, para nuestros objetivos es suficiente la exposiciónhistórica aquí hecha. Más adelante nos referiremos a ésta para hacer una propuesta para laenseñanza en el nivel medio superior del Cálculo Diferencial e Integral y del TFC.

20Versiones similares de este teorema así como sus demostraciones se pueden consultar en Apostol (1998,pp. 247-251), Bartle (1964, pp. 251-254), Rudin (1981, pp. 143-115), Spivak (1996, pp. 309-403).

Capítulo 3

Acerca de la enseñanza del TeoremaFundamental del Cálculo

Aparentemente la intuición es más poderosa que la lógica.

Morris Kline

3.1 Introducción

En términos generales, el Teorema Fundamental del Cálculo está constituido por dos partes:la derivación de integrales y la integración de derivadas. Lo cual corresponde en términosanalíticos a las fórmulas:

d

dx

∫ x

a


a

f(t)dt = F (b)− F (a),

respectivamente. Ambas expresiones juegan un papel importante en los cursos de Cál-culo, especialmente la segunda de ellas ya que es herramienta eficaz para calcular integralesdefinidas.

Dentro de la comunidad de la educación matemática, es bien conocido que existe unaproblemática al respecto de la comprensión del TFC por parte de los estudiantes, la cualha sido ampliamente investigada. Algunas investigaciones reportan entre otros factores lossiguientes:

31

32 Acerca de la enseñanza del Teorema Fundamental del Cálculo

• Un conocimiento limitado de los conceptos de función (Carlson, 1998; Oehrtman, Carl-son, & Thompson, 2008).

• Incomprensión de la idea de razón de cambio y razón de acumulación (Carlson, Person,& Smith, 2003). Thompson (1994); Thompson & Thompson (1994) y Thompson &Silverman (2008).

• Falta de habilidad con respecto al razonamiento covariacional1,

• El orden en el cual son presentadas las dos partes que componen el TFC en los cursoselementales de Cálculo (Toumasis, 1993).

Por nuestra parte, consideramos que otro factor es la organización misma de los conceptosde derivada, integral definida e integral indefinida que se adoptan en la enseñanza del cálculo.La organización de los contenidos de un curso de cálculo depende de al menos tres factores:

1. Los planes y programas de estudio,

2. Las preferencias de los profesores, y

3. El libro de texto que se adopte (si es que se adopta alguno).

A continuación mostraremos algunas características de diversos acercamientos a la en-señanza de la derivada y la integral, así como del Teorema Fundamental.

3.2 Un panorama general acerca de la enseñanza delTeorema Fundamental del Cálculo

Un primer acercamiento consiste en definir primero el concepto de derivada y después el deintegral, considerada esta última como una antiderivada o primitiva. En otras palabras, seaborda primero el proceso de la derivación y después el de integración.

En este acercamiento la integración consiste en hallar una primitiva F , de f ; es decir,una función F tal que F ′(x) = f(x) para todo x en el dominio de f . En otras palabras el

1El razonamiento covariacional se refiere a la coordinación de una imagen de dos cantidades que varíanmientras se observa como cambian en relación una con otra. Para mayor información al respecto se puedeconsultar: Carlson, Jacobs, Coe, Larsen & Hsu (2002).

Acerca de la enseñanza del Teorema Fundamental del Cálculo 33

proceso de integración es el proceso inverso de la derivación, también llamado antiderivación.El símbolo ∫

f(x)dx (3.1)

suele utilizarse para representar una primitiva de f y se le llama «integral» de f . Dadoque dos primitivas de una misma función en un intervalo necesariamente difieren en unaconstante, entonces cualquier primitiva puede escribirse en la forma F (x) + C, para algunaconstante C, con F (x) una primitiva de f . Esto significa que todas las primitivas de unafunción f en un intervalo se generan variando la constante C, sobre todos los reales. Elsímbolo (3.1) también se utiliza para representar a la familia de primitivas de f , así quetambién se escribe∫

f(x)dx = F (x) + C, con F una primitiva de f. (3.2)

En este caso el miembro derecho de la expresión anterior no representa una primitiva de fsino la familia de todas las primitivas en un intervalo, así que sería más propio escribir∫

f(x)dx = {F (x) + C : C ∈ R} ,

donde F (x) es una primitiva de f(x). A C se le llama constante de integración, que enrealidad es un parámetro el cual permite generar a la familia de primitivas. A la expresión(3.2) se llama la «integral indefinida» de f . Así pues, la integral indefinida de una funciónf en un intervalo es la familia de primitivas de f .

Algunos libros, como el de Granville (1911, 2009) por ejemplo, utilizan el símbolo (3.1)con estos dos significados. Representa una primitiva de f , en cuyo caso se llama «integral»de f y también representa la familia de primitivas de f , llamada «integral indefinida» de f .

En este mismo primer acercamiento, después de introducir el concepto de integral in-definida, se introduce el de integral definida como límite de sumas, usualmente escrito como∫ b

a

f(x)dx = limn→∞

n∑i=1

f(ti)(xi − xi−1),

donde x0, . . . , xn es una partición del intervalo [a, b] y ti es un punto de [xi−1, xi] para cadai. En este límite se supone que la máxima de las longitudes xi − xi−1 tiende a cero.2 Una

2Ver Granville (1911, p. 361; 2009, p. 311).


vez establecido esto, se presenta el Teorema Fundamental del Cálculo (aunque en algunoscasos no le llaman de esta manera) mediante la fórmula∫ b

a

f(t)dt = F (b)− F (a),

la cual permite calcular la integral definida.

La fórmula de TFC facilita considerablemente el cálculo de∫ baf(x)dx, pues obtenerla

mediante límites de sumas resulta en general muy laborioso. De esta manera, el TFC reduceel problema del cálculo de la integral definida al problema de determinar una primitiva def . Por ejemplo, usando las primitivas de la tabla

f(x) primitiva de f(x)

xn 1n+1

xn+1

cosx senx1

1+x2arctanx

podemos calcular la integral definida en cualquier intervalo [a, b]. Esto es∫ b

a

xndx =bn+1

n+ 1− an+1

n+ 1∫ b

a

cosxdx = sin b− sin a∫ b

a

1

1 + x2dx = arctan b− arctan a

Algunos ejemplos de textos donde se puede encontrar este acercamiento son Fausto (2004),Granville (1911, 2009), Morales (2004), Phillips (1917, 1978), Piskunov (1977).

En el acercamiento descrito previamente se anticipa el uso de la palabra «integral», al de«integral definida», para referirse a una primitiva de una función dada. Al respecto, Courant& Robbins (1979) mencionan lo siguiente:

Muchos autores introducen la derivada y definen después la «integral indefini-da» como la inversa de la derivada, afirmando que G(x) es una integral indefinidade f(x), si G′(x) = f(x). Así, este procedimiento relaciona la derivación conla «integral», y después se introduce el concepto de «integral definida» comoárea o como límite de una suma, sin advertir explícitamente que en este caso


la palabra «integral» significa ahora algo por completo distinto. [...] Resultapreferible denominar a las funcionesG(x), para las cualesG′(x) = f(x), funcionesprimitivas de f(x) y no «integrales indefinidas» (p. 448).

Un segundo acercamiento consiste en presentar primero el concepto de derivada paradespués definir la integral definida como límite de sumas. Posteriormente, para establecerla relación entre ambos conceptos, se presenta el TFC con las expresiones

d

dx

∫ x

a


a

f(t)dt = F (b)− F (a),

En este caso, la expresión ∫f(x)dx = F (x) + C,

denominada «integral indefinida», representa la familia de primitivas. Algunos autores querealizan este acercamiento son Hirst (2006), Leithold (2008), Stewart (2008) y Swokowski(1982).

Cabe mencionar que el término «integral indefinida» también se utiliza para denominara una función F : [a, b]→ R definida como la integral

F (x) =

∫ x

c

f(t)dt con c ∈ [a, b]

para x ∈ [a, b], siendo f una función integrable. En el caso de que f sea continua en [a, b],F (x) es una primitiva de f . En general, F no necesariamente es una primitiva de f .

Una variante de los anteriores acercamientos es establecer primero el concepto de la inte-gral definida (límite de sumas) y después el de derivada, definidos de manera independienteel uno del otro. Después establecer la relación entre ellos por el TFC.3 El propósito de con-struir primero la integral definida y luego la derivada es el de entender que el concepto deintegral definida no está supeditado al concepto de derivada. Algunos autores opinan queeste tipo de acercamiento podría ser provechoso para la enseñanza del Cálculo en general(Apostol, 1967, p. vii). Sin embargo, si se presenta primero la integral definida, se requierehacer una pausa durante la enseñanza de la integral, para presentar la derivada y despuésretornar a la integral. Sin la derivada no se puede introducir el TFC y en consecuencia nose puede progresar mucho con la integral.

Un tercer acercamiento destacable es el que realiza el matemático polaco Kazimierz Ku-ratowski (1896-1980) en su libro Introduction to Calculus publicado por primera vez en inglés

3Dos ejemplos de este acercamiento son: Apostol (1967, 1998) y Courant & John, F. (1965, 1999).


en 1961, el cual fue un clásico en la décadas de los 60’s y 70’s en México. Se trata de unlibro que no es apto para principiantes, es un tratado riguroso del cálculo que se estudiabaen el primer semestre de las carreras de matemáticas de esas épocas. Kuratowski presentaprimero la derivada y posteriormente define la integral definida de una función continuaf : [a, b]→ R mediante la fórmula del TFC:∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a) (3.3)

donde F : [a, b]→ R es una primitiva de f . Así que en este caso, la fórmula anterior es unadefinición y no un teorema. Algunas preguntas que seguramente le surgen a alguien versadoen cálculo son

1. De acuerdo a la definición anterior, ¿dónde queda el Teorema Fundamental del Cálculo?

2. ¿Cómo se prueba entonces que una función continua es integrable?

Alguien que mire esta definición de una manera simplista, le llevaría a la como una manerade trivializar la definición de integral definida, la cual se hace mediante límites de sumas, ytambién el Teorema Fundamental del Cálculo,4 es decir, se matan dos pájaros con una solapiedra. Nada más lejos de los propósitos de Kuratowski. No olvidemos que este libro es untratamiento riguroso de los fundamentos del cálculo y que el autor fue un matemático muyreconocido de la escuela polaca. Kuratowski se da el lujo de usar la fórmula (3.3) como ladefinición misma de la integral definida. Después de establecer esa definición lo que procede,para redondear la teoría, es probar que toda función continua en un intervalo [a, b] tieneprimitiva en ese intervalo. En este punto es pertinente hacer la siguiente observación:

Lo que podemos ver de la primera parte del TFC es precisamente que toda funcióncontinua en un intervalo [a, b] tiene primitiva en ese intervalo. La fórmula

d

dx

∫ x

a

f(u)du = f(x),

nos lo dice. Pero sería ingenuo pensar que podemos utilizar este resultado para justificarla definición de Kuratowski, pues en este caso, el hecho de que toda función continua tieneprimitiva sirve como sustento para garantizar la existencia de la integral

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt.

4Un ejemplo donde se puede observar esta manera de trivializar el concepto de integral definida por mediode la fórmula del TFC es: De Oteyza (2006).


Como es de esperarse, Kuratowski demuestra que toda función continua f definida enun intervalo [a, b], tiene primitiva. Para ello desarrolla una teoría sobre convergencia desucesiones de funciones y prueba los siguientes teoremas:

1. Cada función continua f en un intervalo [a, b] es el límite de una sucesión uniforme-mente convergente de funciones poligonales (Kuratowski, 1962, p. 128).

2. Si las funciones fn(x) son continuas y convergen uniformemente, en un intervalo [a, b],a una función f(x) y si estas poseen funciones primitivas, entonces la función f(x)

posee también una función primitiva (Kuratowski, 1962, p. 168).

3. Toda función poligonal f definida en un intervalo [a, b], tiene una primitiva (Kura-towski, 1962, p. 205).

De esta forma, con base en lo anterior, dado que una función f continua en [a, b] esel límite de una sucesión uniformemente convergente de funciones poligonales y como cadafunción poligonal posee una primitiva, entonces la función f posee también una funciónprimitiva.

De alguna manera, Kuratowski prueba el TFC con este teorema de existencia de prim-itivas. Recordemos que para funciones continuas, la parte interesante del TFC es la quecorresponde a la fórmula

d

dx

∫ x

a

f(u)du = f(x),

pues de esta primera parte se concluye fácilmente la segunda que corresponde a la fórmula∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a).

Por supuesto, en su libro Kuratowski también hace una discusión de la integral definida comolímites de sumas y mediante las sumas conocidas como de Darboux, en las que se utilizansumas superiores y sumas inferiores de funciones no necesariamente continuas.

De los acercamientos antes descritos podemos concluir dos cosas. En primer lugar, inde-pendientemente del orden en que se aborden los conceptos de derivada e integral y el TFC,existen diferencias notables con respecto a la terminología que se usa en los libros de texto,por ejemplo:

1. El término «integral» se utiliza como sustituto del término primitiva y se representacon el símbolo

∫f(x)dx.


2. El término «integral indefinida» se utiliza para denominar a la familia de primitivasde una función f , y se representa con con la expresión

∫f(x)dx = F (x) + C y

3. El término «integral indefinida» también se utiliza para denominar funciones de laforma F (x) =

∫ xcf(t)dt, las cuales no necesariamente son primitivas.

Además, en ciertos casos, el uso anticipado de la palabra «integral», al de «integral definida»podría ser obstáculo para que el estudiante comprenda cabalmente el concepto de integraldefinida como limite de sumas (Courant, 1979).

En segundo lugar, debido a que el TFC resulta una herramienta útil para calcular inte-grales definidas de manera sencilla, consideramos más conveniente el siguiente orden en laenseñanza del Cálculo Diferencia e Integral: primero enseñar la derivada, después la integraldefinida, posteriormente el TFC y finalmente desarrollar métodos de integración. En estecontexto, se da sentido al cálculo de primitivas, o mejor dicho a los métodos de integración.

3.3 La enseñanza del Teorema Fundamental del Cálculopara funciones continuas

El Cálculo Diferencial e Integral de nivel medio superior, por lo general, se estudia en uncontexto de funciones continuas. En este contexto, es posible realizar una justificación deforma intuitiva y geométrica del TFC para funciones continuas. Por ejemplo, una versióntípica es la siguiente:

Teorema 3.1 (TFC para funciones continuas). Sea f : [a, b]→ R una función continua.

1. Sea F : [a, b]→ R definida como

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt

para cada x ∈ [a, b]. Entonces F es derivable para todo x en [a, b] y F ′(x) = f(x) paracada x ∈ [a, b].

2. Sea G : [a, b] → R una función derivable tal que G′(x) = f(x) para toda x ∈ [a, b],entonces ∫ b

a

f(x)dx = G(b)−G(a).


Una justificación del inciso 1 se puede realizar en un contexto geométrico para funcionescontinuas no negativas, es decir funciones continuas que cumplen f(x) ≥ 0 para todo x.

Figura 3.1: F (x) =∫ xaf(t)dt

En este caso podemos utilizar las ideas de Newton, expuestas en el capítulo anteriordedicado a la historia del TFC. A continuación presentamos una propuesta de prueba. Enla Figura 3.1, podemos observar que F (x) =

∫ xaf(t)dt representa el área sombreada com-

prendida entre a y x, es decir, F (x) es la función área.

Demostraremos entonces que la derivada de F (x) es igual a la ordenada f(x). Sea h > 0.Notemos que F (x+ h)− F (x) es una diferencia de áreas y es igual al área comprendida enel intervalo [x, x+ h] (ver Figura 3.2).

Figura 3.2: F (x+ h)− F (x) =∫ x+hx

f(x)dx

Si se desea hacer una justificación analítica de lo anterior, se puede utilizar la propiedad


aditiva de la integral. Es decir

F (x+ h)− F (x) =

∫ x+h

a

f(t)dt−∫ x

a

f(t)dt

=

∫ x

a

f(t)dt+

∫ x+h

x

f(t)dt−∫ x

a

f(t)dt

=

∫ x+h

x

f(t)dt,

aunque en un curso básico esto no es necesario.

Figura 3.3: F (x+ h)− F (x) ≈ hf(x)

Ahora, cuando h es pequeña, podemos observar en la Figura 3.3 que el área F (x+h)−F (x)es aproximadamente igual al área del rectángulo con altura f(x) y base h, esto es

F (x+ h)− F (x) ≈ hf(x).

Así queF (x+ h)− F (x)

h≈ f(x).

Por lo tanto, nuestros argumentos geométricos nos llevan a que

F ′(x) = limh→0

F (x+ h)− F (x)h

= f(x).

Por otra parte, si se da por hecho el inciso 1, la demostración del inciso 2 es relativamentesencilla. Suponemos que tenemos una primitiva G(x) de f(x) y consideremos la funciónF (x) =

∫ xaf(t)dt, la cual por el inciso 1 es una primitiva de f . Entonces tenemos que existe

una constante C, tal queG(x) = F (x) + C,


en [a, b]. La constante C queda determinada por la condición F (a) =∫ aaf(t)dt = 0, la cual

implica G(a) = 0 + C, de manera que C = G(a). Entonces tenemos

G(x) =

∫ x

a

f(t)dt+G(a).

Por lo tantoF (x) =

∫ x

a

f(t)dt = G(x)−G(a).

Finalmente si x = b, obtenemos ∫ b

a

f(x)dx = G(b)−G(a).

El cálculo de integrales definidas para funciones continuas por medio de sumas de Rie-mann es en general un proceso laborioso y muchas veces complicado. Por esta razón elTFC es una herramienta poderosa para calcular las integrales definidas de una función f siconocemos una primitiva F de f .

Recordemos que durante los siglos XVIII y XIX la integración era considerada como unproblema de antiderivación, es decir el cálculo de primitivas. La aplicación del TFC nosremite al mismo problema de ese cálculo, así que este problema histórico, resultado de lasrelaciones de reciprocidad entre la derivada y la integral, prevalece hoy en día en el estudiodel cálculo incluso después de que se introdujera, a inicios del siglo XIX el concepto deintegral definida en términos analíticos (como límite de sumas).

En el aprendizaje del TFC, sin duda alguna la fórmula∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a)

prevalece en la memoria de la mayoría de los estudiantes al concluir un curso de Cálculo. Sinembargo, consideramos importante hacer una discusión, en este trabajo, sobre los alcancesy limitaciones que ésta fórmula tiene en la práctica. Este es el tema que abordamos en elsiguiente capítulo.

Capítulo 4

Una disertación acerca del cálculo deprimitivas

Un sistema libre de paradojas sería como un cielo sin estrellas.

Anónimo

4.1 Introducción

La fórmula del Teorema Fundamental del Cálculo∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a) (4.1)

hace patente la importancia de los métodos para calcular primitivas de funciones dadas.Si tenemos una función f : [a, b] → R integrable y deseamos calcular la integral definida∫ baf(x)dx, una primera pregunta que surge es:

¿siempre existe una primitiva de f?

La primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo responde afirmativamente cuandof es continua, ya que este nos asegura que la función F (x) =

∫ xaf(t)dt es una primitiva de

43

44 Una disertación acerca del cálculo de primitivas

f . Para el caso de funciones discontinuas la situación no es tan simple, como mostraremosmás adelante.

El problema de calcular integrales definidas para funciones continuas se reduce a encon-trar primitivas. Sin embargo, aunque la primera parte del TFC garantiza la existencia de unaprimitiva de f para funciones continuas, no nos dice cómo encontrarla, por lo cual resultaimportante desarrollar los Métodos de Integración, que no son otra cosa que técnicas paraencontrar primitivas de funciones. Algunos de los métodos de integración más populares quesuelen estudiarse en los primeros cursos de Cálculo son:

• Identificación de integrales inmediatas.

• Método de substitución o cambio de variable.

• Método de integración por partes.

• Integración de funciones racionales, mediante la descomposición en fracciones parciales.

• Integración por sustitución trigonométrica (para integrales donde aparecen raíces desumas de cuadrados).

• Integración de funciones racionales en senx y cosx por medio del cambio de variableu = tan x

2.

Dada la importancia de poder hallar primitivas de funciones, la literatura matemáticanos ofrece además de estos métodos muchos otros más, véanse por ejemplo los dos volúmenes,con alrededor de 1900 páginas, de Edwards (1921). También nos ofrece tablas muy completasde integrales definidas e indefinidas. En las siguientes secciones presentamos tres situacionesinteresantes acerca del cálculo de primitivas.

4.2 Integrales no elementales

En general, hallar una primitiva es mucho más complicado que el problema de hallar laderivada de una función. De hecho, existen funciones para las cuales no es posible expresar laintegral indefinida

∫f(x)dx en términos de funciones conocidas. Más precisamente, existen

funciones continuas tales que ninguna de sus primitivas es una función elemental.

Una disertación acerca del cálculo de primitivas 45

Las funciones elementales son aquellas que se pueden expresar como una combinaciónfinita de funciones polinomiales, racionales, algebraicas, exponenciales, logaritmos, trigonométri-cas y funciones arco; mediante las operaciones suma, resta, multiplicación, división, extrac-ción de raíces así como con la composición de funciones, aplicadas en cualquier número y encualquier orden.

Las funciones elementales se trabajan usualmente en Cálculo, aunque también se trabajacon algunas no elementales. Por ejemplo, la función f(x) = e−x

2 es elemental pues estáconstruida con las reglas antes mencionadas. Sin embargo, es interesante el hecho de queno existe una función elemental F (x) que sea la primitiva de f(x) = e−x

2 , es decir, quesatisfaga F ′(x) = e−x

2 . Esto no significa que no exista una función F (x) que cumpla larelación anterior, ciertamente existe pero no es elemental, esto es, no es posible construirlamediante las reglas antes mencionadas.

Una función F (x) que es primitiva de f(x) = e−x2 es la dada por el TFC

F (x) =

∫ x

a

e−u2

du.

Ésta cumple F ′(x) = e−x2 para todo x real, pero ya se ha comentado que, es no elemental,

por lo que nos preguntamos cómo lo sabemos. La respuesta se la debemos al matemáticofrancés Joseph Liouville (1809-1882), quien durante los años 1833 y 1841 publicó una teoríade integración en términos finitos, donde prueba que ciertas integrales indefinidas no sonfunciones elementales (Liouville, 1835). Por supuesto, para ello Liouville tuvo que precisarqué es una función elemental, hasta entonces no definida. En términos simples la definiciónde función elemental es la que acabamos de describir.

Nosotros podemos probar que la integral indefinida∫e−x

2dx no es elemental si nos apoy-

amos en un resultado de Liouville de apariencia simple y que es muy razonable. El resultadode Liouville es el siguiente:

Teorema (de Liouville1). SeanR1(x) yR(x) dos funciones racionales. Si la integral indefinida∫R1(x)e

R(x)dx

es elemental, entonces es de la misma forma que el integrando, es decir, existe una funciónracional S(x) tal que ∫

R1(x)eR(x)dx = S(x)eR(x).

1Liouville (1835, p. 94-95).


Como sabemos, la exponencial ex es la única función que su derivada es ella misma,excepto por factores constantes. En efecto, si f(x) = kex, entonces f ′(x) = f(x). Tambiénsabremos que la derivada de cualquier función de la forma general eu(x) contiene a ellamisma como factor, es decir, si f(x) = eu(x), entonces f ′(x) = f(x)u′(x). Por otra parte sif(x) = F

(eu(x)

), donde F (x) es una función derivable, entonces f ′(x) = F ′

(eu(x)

)eu(x)u′(x)

de modo que en ningún caso nos podemos deshacer de esta exponencial en el proceso dederivación. La exponencial sobrevive a todos los embates de la derivación, excepto por casostriviales que se generan con igualdades de la forma v(x) = elog v(x), por ejemplo x2 = elog x

2 .Después de esta reflexión quizá nos sea más fácil convencernos de la veracidad del teoremade Liouville, o al menos nos ayudará a comprenderlo y asimilarlo. En palabras simples yun tanto folclóricas podemos razonar así: si tengo una función F (x) (de esas que derivodiariamente) tal que al derivarla obtengo R1(x)e

R2(x) ¿no podría ser que la función que estoyderivando es de la misma forma? En cierto sentido Liouville responde afirmativamente estapregunta, siempre y cuando la función que estamos derivando sea elemental.

Si damos por cierto el Teorema de Liouville, entonces podemos probar que la integralindefinida

∫e−x

2dx no es elemental. Procedamos, pues, con el enunciado y la demostración.

Teorema. La integral indefinida∫e−x

2dx es no elemental.

Demostración. Vamos a proceder por contradicción. Supongamos que la integral fueseelemental, entonces por el teorema de Liouville sería de la forma∫

e−x2

dx = S(x)e−x2

donde S(x) es una función racional. Sea S(x) de la forma

S(x) =p(x)

q(x),

donde p(x) y q(x) son polinomios que no tienen factores en común, es decir, no tienen raícesen común. Entonces tenemos

e−x2

=(S(x)e−x

2)′

Es decire−x

2

= S(x)(−2x)e−x2 + S ′(x)e−x2

De donde1 = −2xS(x) + S ′(x)


Como S(x) = p(x)q(x)

, tenemos

1 = −2xp(x)q(x)

+q(x)p′(x)− p(x)q′(x)

q2(x)

Multiplicamos ambos miembros por q2(x)

q2(x) = −2xp(x)q(x) + q(x)p′(x)− p(x)q′(x)

De aquí tenemosq2(x) + 2xp(x)q(x)− q(x)p′(x) = −p(x)q′(x)

que también escribimos

p(x)q′(x) = q(x) (p′(x)− q(x)− 2xp(x)) .

Vamos a deducir de aquí que el polinomio q(x) tiene que ser una constante, de lo contrariotendría al menos una raíz (los únicos polinomios que no tienen raíces son los constantesdiferentes de cero). Si r es una raíz de q(x) de multiplicidad m entonces r es una raíz de laderivada q′(x) de multiplicidad m − 1. Entonces si factorizamos (x − r)m de q(x) tenemosq(x) = (x − r)mQ(x) donde Q(x) es un polinomio que ya no se anula en r. Por otra parte,sabemos que r tiene que ser una raíz de multiplicidad m − 1 de q′(x), por lo tanto estepolinomio se escribe en la forma q′(x) = (x − r)m−1T (x), donde T (x) es un polinomio queno se anula en r. Sustituyendo estas factorizaciones, tenemos

p(x)q′(x) = q(x) (p′(x)− q(x)− 2xp(x))

p(x)(x− r)m−1T (x) = (x− r)mQ(x) (p′(x)− q(x)− 2xp(x)) .

Al simplificar esta expresión obtenemos

p(x)T (x) = (x− r)Q(x) (p′(x)− q(x)− 2xp(x)) .

Veamos que esta relación es imposible. El miembro derecho se anula en x = r, pero elmiembro izquierdo es diferente de cero en x = r pues T (x) ni p(x) se anulan en este punto(recordemos que p(x) y q(x) no tienen raíces en común). De esta imposibilidad deducimos queq(x) no puede tener raíces, así que q(x) tiene que ser un polinomio constante. Esto significaque la función S(x) = p(x)/q(x) en realidad es un polinomio, que seguiremos llamando p(x).Entonces si

∫e−x

2dx fuese elemental se debería tener∫

e−x2

dx = p(x)e−x2


donde p(x) es un polinomio. Ya sea que derivemos nuevamente el miembro derecho o usemosla derivación que hicimos para el caso de la función S(x), obtenemos de la igualdad anterior

1 = 2xp(x) + p′(x).

Es decir2xp(x) = p′(x)− 1.

Esta es una identidad de polinomios, la cual es imposible, pues el grado del polinomio 2xp(x)

es una unidad más que el grado de p(x) y el grado de p′(x) − 1 es una unidad menos. Sonpolinomios de grados diferentes, por lo cual no pueden ser iguales. Esto prueba que laintegral indefinida

∫e−x

2dx no puede ser una función elemental. Esto prueba el teorema.2

Con la mismas técnicas, podemos demostrar que las integrales∫ex

xdx,

∫x2ex

2

dx y

∫ex√xdx

no son elementales. Otros ejemplos de integrales indefinidas no elementales son∫sinx

xdx,

∫cosx

xdx,

∫1

log xdx

y muchas otras más. Algunos trabajos donde se pueden encontrar mayores detalles al re-specto del trabajo de Liouville son Becerril (1987), Hardy (1966), Risch (1969, 1970), Ritt(1948) y Roselincht (1972).

Es importante resaltar que si bien la integral indefinida∫e−x

2dx no es elemental, es

posible calcular por ejemplo la integral definida∫ a

0

e−x2

dx,

con a un número real, utilizando series de Taylor o incluso herramientas de la variablecompleja.

4.3 Funciones con derivada no integrable

Como ya se mencionó, hallar una primitiva de una función puede ser una tarea difícil, oimposible, por lo cual son muy socorridas las tablas de integrales con familias de funcionesy sus respectivas derivadas. Una manera trivial de construir una tabla de integrales esderivando alguna lista de funciones, por ejemplo la siguiente:


F (x) F ′(x)

1n+1

xn+1 xn

senx cosx

arctanx 11+x2

tanx sec2 x

−→

f(x) primitiva de f(x)

xn 1n+1

xn+1

cosx senx1

1+x2arctanx

sec2 x tanx

Esta técnica mediante la derivación producirá tablas de integrales pero no necesariamentede funciones de las que nos interesase conocer primitivas. Más aún, cabe hacernos la siguientepregunta:

Si F : [a, b]→ R es una función derivable en todo [a, b],

¿F ′ es integrable?

Es natural pensar que ciertamente lo es y que incluso se puede utilizar la fórmula delTFC ∫ b

a

F ′(x)dx = F (b)− F (a).

Sin embargo, observemos que en el enunciado del TFC se hace explícita la hipótesis de queF ′(x) sea integrable. La razón es que existen funciones F para las cuales la derivada F ′ esno integrable.

Existen casos en los que la derivada F ′ resulta no integrable. Una de las causas puedeser que la función F ′ resulte no acotada, por lo cual sería no integrable ya que la integral deRiemann está definida para funciones acotadas. Un ejemplo es el siguiente:

Ejemplo 4.1. Sea F : [−1, 1]→ R definida por

F (t) =

{t2 cos

(πt2

), si t ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1]

0, si t = 0.

Esta función es derivable en [−1, 1] y su derivada está dada por

F ′ (t) =

{2t cos

(πt2

)+ 2π

tsen(πt2

), si t ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1];

0, si t = 0.

F ′ es no acotada en el intervalo [−1, 1]. 3


Figura 4.1: Gráfica de F

Figura 4.2: Gráfica de F ′

En otro caso, F ′ resulta no integrable debido a que la naturaleza de sus discontinuidadesno se lo permite. Un ejemplo famoso fue dado por el matemático italiano Vito Volterra(1860-1940), a finales del siglo XIX. Mientras era estudiante en la Scuola Normale Superioredi Pisa, Volterra demostró primero que se podían construir conjuntos densos en ningunaparte2 de medida positiva, actualmente conocidos como Conjuntos de Cantor Generalizados3

(Volterra, 1881a). Posteriormente, utilizó este tipo de conjuntos para demostrar que existenfunciones acotadas cuyas derivadas son no integrables (Volterra, 1881b).

2Un conjunto denso en ninguna parte es aquel cuya adherencia o cerradura tiene interior vacío.3Para más detalles al respecto de los Conjuntos de Cantor generalizados se pueden consultar Swartz

(1994), Buskes & Van Rooij (1997) y Rudin (1981).


El ejemplo de Volterra se basa esencialmente en la función f dada por

f (x) =

{x2 sen

(1x

), si x 6= 0;

0, si x = 0

cuya derivada está dada por

f ′ (x) =

{2x sen

(1x

)− cos

(1x

), si x 6= 0;

0, si x = 0.

Galaz-García (2007, p. 98), Hobson (1957, p. 490), Thielman (1959, p. 165) y Swartz (1994,p. 98) realizan una exposición breve acerca de la función de Volterra. En el Apéndice Cpresentamos la construcción de una función similar a la de Volterra, cuya función base tieneuna derivada mejor comportada.

Este tipo de funciones por lo general son muy raras y su estudio requiere de elementosavanzados de Análisis Matemático. No es común encontrarse con ellas en cursos básicos deCálculo. Sin embargo, como cultura general no está de más saber que existen dichos casos.

Pasemos ahora a un tema relacionado con un método de integración en particular, elcual llama la atención debido a la problemática que presenta cuando se utiliza para calcularprimitivas de cierta clase de funciones, por esta razón nos parece pertinente profundizar alrespecto.

4.4 El cambio de variable u = tan x2

Una de las técnicas más socorridas para calcular primitivas de funciones racionales en senx

y cosx es el cambio de variable u = tan x2. Sin embargo, existen algunas situaciones en las

cuales este método produce resultados inesperados. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 4.2. Sea f : R→ R definida por

f (x) =1

5 + 3 cosx.

Calcular la integral definida ∫ 2π

0

1

5 + 3 cosxdx.


Si aplicamos el cambio de variable u = tan x2, obtenemos∫

1

5 + 3 cosxdx =

1

2arctan

(1

2tan

x

2

)+ C (4.2)

con C ∈ R. También podemos encontrar este resultado en las tablas de integrales de loslibros de cálculo o incluso podemos utilizar algún programa de computadora para calcularla primitiva, casi en cualquier caso, obtenemos el mismo resultado.

Figura 4.3: Gráfica de f

Si usamos esta función para calcular la integral definida, obtenemos∫ 2π

0

1

5 + 3 cosxdx =

1

2arctan

(1

2tan

x

2

)∣∣∣∣2π0

= 0.

Sin embargo, observemos que la función f es continua y positiva en el intervalo [0, 2π] porlo que el valor de la integral definida debe ser positivo, en contradicción con el resultadoobtenido (Figura 4.4). 3

Figura 4.4: Área bajo f


Observación 4.1. Cabe señalar que la función F , que produce el método de cambio devariable u = tan x

2, funciona para integrales definidas∫ b

a

f(x)dx,

donde a, b ∈((2n− 1) π, (2n+ 1) π

). En otras palabras, si f : I → R es definida por

f(x) =1

5 + 3 cosx

Donde I es de la forma ((2n− 1) π, (2n+ 1) π

)para algún n ∈ N. Entonces, la función F : I → R definida como

F (x) =1

2arctan

(1

2tan

x

2

),

es una primitiva de f . Se invita al lector a que lleve a cabo los detalles. Es fácil verificarque efectivamente F ′(x) = f(x) para toda x ∈ I. ©

Es posible utilizar la función

F (x) =1

2arctan

(1

2tan

x

2

)para evaluar la integral definida en el intervalo [0, 2π], pero haciendo algunas consideraciones.Primero, utilicemos la propiedad aditiva de la integral para partirla en los intervalos [0, π] y[π, 2π]. Entonces tenemos∫ 2π

0

1

5 + 3 cosxdx =

∫ π

0

1

5 + 3 cosxdx+

∫ 2π

π

1

5 + 3 cosxdx

Ahora, para poder evaluar las dos integrales definidas del lado derecho, es necesario usaruna versión más general de la segunda parte del Teorema Fundamental, la cual no se usacomúnmente ni tampoco se estudia mucho en los cursos de Cálculo4:

Teorema 4.1. Sea f : [a, b]→ R una función continua y sea G : I → R una función derivabletal que G′(x) = f(x) para todo x ∈ I, con I un intervalo abierto o semiabierto. Entonces secumplen los siguientes casos:

4Para ver una demostración de este teorema se puede consultar Apostol (1974, pp. 207-208).


1. Si I = (a, b) y los límites G(a+) = limx→a+ G(x) y G(b−) = limx→b− G(x) existen,entonces ∫ b

a

f(x)dx = G(b−)−G(a+).

2. Si I = [a, b) y el límite G(b−) = limx→b− G(x) existe, entonces∫ b

a

f(x)dx = G(b−)−G(a).

3. Si I = (a, b] y el límite G(a+) = limx→a+ G(x) existe, entonces∫ b

a

f(x)dx = G(b)−G(a+).

De esta manera, debido a que

F ′(x) =1

5 + 3 cosx

para todo x ∈ [0, π)∪ (π, 2π] y además los límites F (π−) y F (π+) existen, entonces, por losincisos 2 y 3 del Teorema 4.1, tenemos∫ 2π

0

1

5 + 3 cosxdx = F (π−)− F (0) + F (2π)− F (π+) =

π

2

ya que F (0) = F (2π) = 0, F (π−) = π4y F (π+) = −π

4.

El método de cambio de variable u = tan x2produce una función F definida en un

subconjunto propio del dominio R de f . F no está definida en los puntos x = (2n+ 1) π,donde n ∈ Z, en particular F no está definida en el punto π ∈ [0, 2π]. Así que F no cumple lacondición F ′(x) = f(x) para toda x ∈ [0, 2π]. Observemos que no se trata de una primitivadiscontinua, pues toda función derivable es continua, simplemente F no es una primitiva delintegrando f en [0, 2π]. Por lo tanto, el método ha fallado.

Continuidad de las primitivas

En todo curso elemental de cálculo se muestra que toda función derivable en un punto escontinua en ese punto, así que obviamente toda primitiva es continua, sin embargo algunossuelen declarar que la función

F (x) =1

2arctan

(1

2tan

x

2

)


es una primitiva discontinua de la función f(x) = 1/(5+3 cosx), debido a que la gráfica estáconstituida por trozos, como se observa en la Figura 4.5. Esta es una verdadera aberración,pues no hay primitivas discontinuas. Por supuesto, la función F (x) es continua en cadapunto de su dominio.

Figura 4.5: Gráfica de F (x) = 12arctan

(12tan x

2

)Sin embargo, la función definida como

F (x) =

{12arctan

(12tan x

2

), x 6= (2n+ 1) π

0, x = (2n+ 1) π

es discontinua en los puntos x = (2n+ 1) π, con n ∈ Z. Recordemos que el concepto decontinuidad va más allá de la idea geométrica de que la gráfica no tiene rompimientos, deque “puede trazarse sin levantar el lápiz”. La definición de continuidad nos dice:

Definición 1. Sea f : A ⊂ R→ R y a ∈ A. Se dice que f es continua en a si para cada realpositivo ε, existe un real positivo δ tal que se cumple la siguiente condición:

|f(x)− f(a)| < ε cuando |x− a| < δ.

Un ejemplo trivial de una función continua y que hay quienes la perciben discontinuapor el aspecto de su gráfica es f : Q→ R definida como

f(x) =

{1, x <

√2;

2, x >√2.

Incluso hay funciones cuyas gráficas son inimaginables, como es el caso de las continuasen R no derivables en cada punto.


Figura 4.6:

4.4.1 Diferentes estrategias producen diferentes primitivas

Si aplicamos diferentes métodos para calcular una primitiva de una función definida en unintervalo, es natural esperar que obtengamos diferentes expresiones para la primitiva, dehecho podemos esperar obtener diferentes primitivas. Sin embargo, dos diferentes primitivasde una misma función deberán diferir en una constante (consecuencia del teorema del valormedio). Mas, debemos cuidar que el método utilizado para hallar una primitiva efectivamentenos produce una primitiva de la función (en el intervalo de definición). No es difícil verificarque las siguientes funciones de la siguiente lista cumplen que F ′i (x) = f(x).

• F1(x) =14arctan

(54tanx

)− 1

4arctan

(34sinx

)• F2(x) = −1

2arctan

(2 cot x

2

)• F3(x) = x− 2 arctan

(tan x

2

)+ 1

2arctan

(12tan x

2

)• F4(x) =

14arctan

(4 sinx

3+5 cosx

)Estas primitivas se obtuvieron mediante recursos que por el momento no interesa exponer.

Lo que deseamos destacar ahora es que para cada función Fi se tiene F ′i (x) = f(x), noobstante ninguna de estas funciones se puede usar para calcular la integral en el intervalo[0, 2π]. La razón es que nuevamente no se cumple F ′i (x) = f(x) para toda x ∈ [0, 2π]. Porlo tanto, no podemos decir que las funciones Fi son primitivas de la función f porque tienen


diferentes dominios, al menos hemos de decir que no son primitivas en el intervalo [0, 2π]

como se puede apreciar en las figuras 4.7-4.10.

Figura 4.7: Gráfica de F1(x)





Una primitiva del integrando f en el intervalo [0, 2π] que podemos usar para aplicar elTFC es la función G : R→ R dada por

G(x) =1

4x− 1

2arctan

(senx

cosx+ 3

)(4.3)

En el Apéndice D se propone una manera para calcular esta primitiva.

Figura 4.11: Gráfica de G(x) = 14x− 1

2arctan

(senx

cosx+3

)

Se puede verificar que efectivamente G′(x) = f(x) para toda x ∈ [0, 2π].Usando estaprimitiva, obtenemos ∫ 2π

0

1

5 + 3 cosxdx = G(2π)−G(0) = π

2.

En este caso la primitiva G está definida no sólo en el intervalo [0, 2π] sino sobre todo R.


El método de integración que consiste en el cambio de variable u = tan x2, plantea una

problemática5, pues proporciona una función (aparentemente una primitiva) que no estádefinida en el mismo intervalo dominio del integrando. Esta situación ocurre cuando uti-lizamos este método, en particular para calcular primitivas de funciones racionales en lafunciones trigonométricas senx y cosx.

Para tratar de explicar y profundizar sobre este fenómeno, es necesario analizarlo entérminos del siguiente teorema.

Teorema 4.2 (Método de substitución). Sea f : I ⊆ R → R una función continua. Seaϕ : J ⊆ R→ R una función diferenciable. Supongamos que f , ϕ y ϕ′ son integrables y tambiénque ϕ (J) ⊆ I. Entonces para cada a ∈ J y b ∈ J , tenemos∫ b

a

f (ϕ(x))ϕ′(x)dx =

∫ ϕ(b)

ϕ(a)

f(x)dx.

Demostración. Sea F : I → R una primitiva de f en I. La función H = F ◦ϕ es derivableen J y

H ′(x) = F ′ (ϕ(x))ϕ′(x) = f (ϕ(x))ϕ′(x)

para x ∈ J . Por lo tanto, H es una primitiva de (f ◦ ϕ)ϕ′ en J , de donde∫ b

a

f (ϕ(x))ϕ′(x)dx = H(b)−H(a)

= F (ϕ(b))− F (ϕ(a))

=

∫ ϕ(b)

ϕ(a)

f(y)dy.

por el teorema fundamental del cálculo. Así que∫ b

a

f (ϕ(x))ϕ′(x)dx =

∫ ϕ(b)

ϕ(a)

f(y)dy.

2

Este método es muy socorrido para el cálculo de primitivas y es común encontrarlo enlos libros de Cálculo, en los cuales se le suele dedicar páginas extensas a su aplicación para

5Se pueden encontrar ejemplos similares de estas situaciones en: Abramowitz y Stegun (1965), Banach(1991), Granville (1911, 2009), Hirst (2006), Kline (1977), Kuratowsky (1962), Spivak (1994).


diversos casos de funciones. Desafortunadamente, por lo general no siempre se pone atenciónen el dominio de las funciones y se aplica el método a modo de algoritmo. Si se aplica sin unareflexión previa, nos conduce a situaciones como la descrita anteriormente. A continuación,exponemos una manera de tratar casos específicos de funciones racionales trigonométricaspara usar el método de substitución de manera adecuada.

4.4.2 Integrales de la forma∫ ba f (senx, cosx) dx

Una función f es racional de dos variables si hay dos polinomios p y q de dos variables talesque

f(x, y) =p(x, y)

q(x, y)

Esta función tiene por dominio el conjunto de puntos (x, y) donde q(x, y) es diferente decero, es decir {

(x, y) ∈ R2 : q(x, y) 6= 0}

Mostraremos cómo integrar funciones de la forma x 7→ f (senx, cosx) donde f es unafunción racional.

Pero antes, recordemos algunas identidades trigonométricas. Para x ∈ R, tenemos

senx = 2 senx

2cos

x

2

cosx = cos2x

2− sen2 x

2

Si x ∈ R y cos x26= 0, entonces tenemos

senx =

2 sen x2

cos x2

1

(cos x2 )2

=2 tan x

2

1 + tan2 x2

(4.4)

y

cosx =1−

(sen x

2

cos x2

)21

(cos x2 )2

=1− tan2 x

2

1 + tan2 x2

(4.5)

Recordemos también que cosx 6= 0 si y sólo si x 6= (2k+1)π2

para k ∈ Z; por lo tanto cos x26= 0

si y sólo si x 6= (2k + 1)π para k ∈ Z.


Se sigue de (4.4) que si x ∈ R y k ∈ Z, entonces

sen(2kπ + 2arctanx) = sen(2 arctanx)

=2 tan(arctan x)

1 + (tan(arctanx))2

=2x

1 + x2

y de (4.5) que

cos(2kπ + 2arctanx) = cos(2 arctanx)

=1− (tan(arctanx))2

1 + (tan(arctanx))2

=1− x2

1 + x2

Por lo tanto, tenemos

sen(2kπ + 2arctanx) =2x

1 + x2(4.6)

cos(2kπ + 2arctanx) =1− x2

1 + x2(4.7)

Ahora, sea f una función racional y sea D su dominio. Sea [a, b] ⊆ R un intervalo tal quesi x ∈ [a, b] se tiene que (senx, cosx) ∈ D. Entonces x 7→ f(senx, cosx) está bien definiday es una función continua en el intervalo [a, b]; por tanto podemos considerar la integral∫ b

a

f (senx, cosx) dx. (4.8)

La evaluación de integrales de la forma (4.8) se pueden reducir a la evaluación de integralesde funciones racionales. Dividiremos la discusión en tres casos.

Caso I: Supongamos [a, b] ⊆((2k − 1)π, (2k + 1)π)

)para algún k ∈ Z.

Sean α = tan a2y β = tan b

2. Sea φ : [a, b]→ R definida por

φ(x) = 2kπ + 2arctanx

para x ∈ R. Entonces φ(α) = a y φ(β) = b.

Nótese quearctan

(tan(x2

))=x

2− kπ


para x ∈ (2kπ − π, 2kπ + π).

Usando el método de substitución, se sigue que si hacemos F (x) = f(senx, cosx) parax ∈ [a, b], entonces∫ b

a

F (x)dx =

∫ φ(β)

φ(α)

F (x)dx =

∫ β

α

F (φ(x))φ′(x)dx

De (4.6) y (4.7), obtenemos

F (φ(x)) = f(senφ(x), cosφ(x)) = f

(2x

1 + x2,1− x2

1 + x2

)para x ∈ [α, β] =

[tan a

2, tan b

2

]. Como

φ′(x) =2

1 + x2

para x ∈ R, podemos deducir que en este caso∫ b

a

f(senx, cosx) =

∫ tan b2

tan a2

f

(2x

1 + x2,1− x2

1 + x2

)2

1 + x2dx (4.9)

Obsérvese que como f es una función racional, la función

x 7→ f

(2x

1 + x2,1− x2

1 + x2

)2

1 + x2

de [α, β] en R es una función racional en x. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 4.3. Sea g : (0, π)→ R una función definida por la fórmula

g(x) =1

senx.

Determinar una primitiva de g en (0, π).

Primero, definamos

G(x) =

∫ x

π2

1

sen tdt para x ∈ (0, π).

G es una primitiva de g en (0, π); sólo falta determinar G de manera explícita. Para haceresto, definamos D = {(x, y) : y 6= 0}, f(x, y) = 1

yfor (x, y) ∈ D y I = (0, π). Entonces

G(x) =

∫ x

π2

f(sen t, cos t)dt.


Usando el método antes descrito tenemos

G(x) =

∫ tan x2

π2

1 + t2

2t

2

1 + t2dt

=

∫ tan x2

π2

1

tdt

= log t|tanx2

π2

= log(tan

x

2

)− log

(tan

π2

2

).

Como tan π4= 1 y log 1 = 0, se sigue que

G(x) = log(tan

x

2

)para x ∈ (0, π). 3

Caso II: Supongamos ahora que [a, b] ⊆[(2k − 1)π, (2k + 1)π

]para algún k ∈ Z.

Notemos que si a = (2k − 1)π, entonces no existe α ∈ R tal que a = φ(α); similarmente noexiste β ∈ R tal que b = φ(β). Sin embargo, podemos reducir el Caso II al Caso I por un“proceso de límite”. Ilustremos esto con un ejemplo.

Ejemplo 4.4. Evaluar ∫ π

0

senx

senx+ 2dx.

Notemos que la función g : [0, π]→ R dada por

g(x) =senx

senx+ 2

es continua; por tanto, esta función tiene primitiva G : [0, π] → R. Más aún, como G escontinua en [0, π] tenemos∫ π

0

senx

senx+ 2dx = G(π)−G(0)

= limx→π

G(x)−G(0)

= limx→π

∫ x

0

sen t

sen t+ 2dt


Usando (4.9), obtenemos, para x ∈ (0, π)∫ x

0

sen t

sen t+ 2dt =

∫ tan x2

0

4t

(t2 + 1)(t+ 1)2dt

=

∫ tan x2

0

(2

t2 + 1− 2

t2 + t+ 1

)dt

= 2arctan t|tanx2

0 − 4√3

3arctan

(√3

3(2t+ 1)

)∣∣∣∣∣tan x

2

0

= 2arctan(tan

x

2

)− 4√3

3arctan

(√3

3

(2 tan

x

2+ 1))

+

√3π

9

Como limx→π arctan(tan x

2

)= π

2, tenemos que∫ π

0

senx

senx+ 2dx = lim

x→π

∫ x

0

sen t

sen t+ 2dt

= π

(1− 4

√3

9

). 3

Caso III: Supóngase que [a, b] es un intervalo al cual el Caso II no aplica. En este casoexisten k ∈ Z, p ∈ Z, k < p tales que

a ∈[(2k − 1)π, (2k + 1)π

)y b ∈

((2p− 1)π, (2p+ 1)π

].

En este caso, la integral se puede escribir como una suma de integrales sobre los intervalos[a, (2k + 1)π

],[(2k + 1)π, (2k + 3)π

], . . . ,

[(2p− 1)π, b

].

Cada caso se puede tratar como en el Caso II. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 4.5. Evaluar ∫ 2π

0

1

5 + 3 cosxdx.

Observemos que∫ 2π

0

1

5 + 3 cosxdx =

∫ π

0

1

5 + 3 cosxdx+

∫ 2π

π

1

5 + 3 cosxdx


Por (4.9), obtenemos

F1(x) =1

2arctan

(1

2tan

x

2

)para x ∈ (0, π) y

F2(x) =1

2arctan

(1

2tan

x

2

)para x ∈ (π, 2π). Por lo tanto∫ 2π

0

1

5 + 3 cosxdx =

∫ π

0

1

5 + 3 cosxdx+

∫ 2π

π

1

5 + 3 cosxdx

= limx→π

(F1(x)− F1(0)

)+ lim

x→π

(F2(2π)− F2(x)

)=

(π4− 0)+(0 +

π

4

)=π

2.

ya que limx→π F1(x) =π4para x ∈ (0, π) y limx→π F2(x) = −π

4para x ∈ (π, 2π). 3

Queremos finalizar este capítulo haciendo una última observación. Es posible encontrarde forma explícita primitivas para cierto tipo de funciones trigonométricas. Por ejemplo,sean a, b ∈ R tales que a2 > b2, entonces tenemos∫

1

a+ b cosxdx =

1√a2 − b2

[x− 2 arctan

(2b senx

2b cosx+(√a− b+

√a+ b

)2)]

(4.10)

∫1

a+ b senxdx =

1√a2 − b2

[x+ 2arctan

(2b cosx

2b senx+(√a− b+

√a+ b

)2)]

(4.11)

También tenemos las siguientes identidades∫1

a+ b cos2 xdx =

1√a√a+ b

[x− arctan

(b sen 2x

b cos 2x+(√a+ b+

√a)2)]

(4.12)

∫1

a+ b sen2 xdx =

1√a√a+ b

[x− arctan

(b sen 2x

b cos 2x−(√a+ b+

√a)2)]

(4.13)

para a, b ∈ R tales que a > 0 y a+ b > 0.

Notemos que los integrandos en las expresiones (4.10), (4.11), (4.12) y (4.13), son fun-ciones racionales de la forma f(senx, cosx) tal que f es continua y está bien definida paracada x ∈ R; es decir, el dominio de f es R. Estas primitivas están definidas para cada x ∈ Ry se pueden usar para evaluar la integral en cualquier intervalo I ⊆ R. Cabe resaltar que losresultados anteriores se pueden encontrar usando identidades trigonométricas adecuadas.6

6Ver Apéndice D


Sin embargo, aún queda una pregunta abierta: ¿Existe algún método general para deter-minar primitivas de funciones racionales f(senx, cosx) tal que f es continua y su dominiosea R?

El método de cambio de variable u = tan x2es muy socorrido en los libros de Cálculo7, sin

embargo presenta una problemática que no se había advertido hasta ahora. Como hemos ob-servado en las secciones previas, para ciertos casos produce funciones que no están definidasen el mismo dominio del integrando y por lo tanto no son primitivas. En el siguiente capí-tulo, además de discutir otros ejemplos relacionados con el cálculo de primitivas, seguiremosanalizando este método haciendo uso de la ayuda de la tecnología.

7Ver por ejemplo: Abramowitz & Stegun (1965, p. 78), Banach (1991), Granville (1911, p. 344; 2009, p.369), Hirst (2006, pp. 195-196), Kline (1977), Kuratowsky (1962, pp. 219-224), Spivak (1994, p. 360).

Capítulo 5

Un análisis del uso de la tecnología parael cálculo de primitivas

La computadora puede servir como una herramienta para complementar el pensamientomatemático avanzado de varias maneras. [...] En la educación se puede usar para [...] ayu-dar a los estudiantes a conceptualizar y construir por ellos mismos las matemáticas que ya hansido formuladas por otros.

Ed Dubinsky y David Tall (1991, p. 231)

5.1 Introducción

En la actualidad, el uso de la tecnología en las escuelas ha modificado la manera de en-señar matemáticas. La introducción de nuevas herramientas tecnológicas, como calculadorasgraficadoras y también computadoras personales, ha permitido nuevos acercamientos hacialas matemáticas. La computadora, por ejemplo, ayuda a los estudiantes a conceptualizar yconstruir matemáticas que ya han sido formuladas por otros; además, es un complemento delpensamiento matemático avanzado porque sugiere posibles teoremas, realiza cálculos difícileso prueba teoremas que involucran un número finito de casos algorítmicos (Dubinsky y Tall1991).

Gracias al trabajo en conjunto de matemáticos, educadores matemáticos y programadores,se han desarrollado diferentes tipos de software que pueden ser usados con fines didácticos.

67

68 Un análisis del uso de la tecnología para el cálculo de primitivas

Entre ellos se encuentran los llamados Sistemas de álgebra computacional (CAS, del inglésComputer Algebra System) los cuales son programas para computadora o calculadora avan-zada que nos permiten manipular expresiones algebraicas, graficar funciones y operar connúmeros. Es bien reconocido que los CAS ofrecen la posibilidad de reducir una gran cantidadde cálculos engorrosos y repetitivos, dejando mayor tiempo para aspectos más interesantesde la materia (Dubinsky y Tall 1991; Lagrange, 2005; Leinbach, Pountney y Etchells, 2002).

Existen diversas investigaciones al respecto del uso del CAS para la enseñanza y el apren-dizaje del Cálculo Diferencial e Integral, las cuales muestran evidencia de que los estudiantesque usan dichos sistemas obtienen grandes beneficios para abordar problemas específicos,mejorando potencialmente su aprendizaje.1

Aceptamos que las calculadoras o sistemas electrónicos de cómputo son medios legítimospara hacer y aprender matemáticas. Son además recursos poderosos que empleados ade-cuadamente, desde un punto de vista didáctico, nos permiten incursionar en la matemáticade una manera diferente a como lo haríamos sin ellos, pero al igual que Lagrange (1999), dife-rimos de la postura de que la enseñanza y el aprendizaje con la tecnología son definitivamentemejores que la manera tradicional con lápiz y papel.

Ciertamente, los beneficios que ofrece el uso del CAS son muchos. Sin embargo, nosiempre podemos confiar plenamente él. De hecho, en algunas ocasiones el CAS empleamétodos que podrían producir resultados más complejos a los que pueden ser obtenidoscomúnmente, aun en casos simples. Para ello nuestra experiencia y capacidad de análisisen ocasiones supera a la computadora y nos ayuda a elegir mejores métodos para casosespecíficos.

En el presente capítulo ejemplificaremos situaciones matemáticas relacionadas con elcálculo de primitivas en donde los resultados obtenidos con diversos CAS difieren de los nor-males, con los cuales se analizan y profundizan conceptos matemáticos específicos del Cálculotales como: cálculo de primitivas, integral definida, constante de integración, continuidad defunciones y el Teorema Fundamental del Cálculo.

Para nuestro análisis hemos utilizado tres herramientas provistas con CAS: los programasDerive 6.0, Scientific Work Place 5.5 y Mathematica 8.0 y el sitio de acceso libre WolframAlpha (http://www.wolframalpha.com/). Es importante señalar que no se trata de casosaislados, sino de ejemplos particulares de una familia de situaciones que muestran fenómenos

1Ver por ejemplo los trabajos de: Camacho & Depool (2003); Camacho, Depool & Santos-Trigo (2010);Gorgievski, Stroud, Truxaw, & DeFranco (2005); Forster (2003); Kendal & Stacey (2001) y Schnepp &Nemirovsky (2001)

Un análisis del uso de la tecnología para el cálculo de primitivas 69

similares.

5.2 Uso del CAS para el cálculo de primitivas

En los cursos básicos de Cálculo, es común considerar la integración como la inversa de ladiferenciación. Dada una función f , el problema es encontrar otra función F cuya derivada esf . En otras palabras, encontrar la primitiva de f . Esta idea general es debido a la conexiónentre los procesos de integración y diferenciación establecida por el teorema fundamental delcálculo.

Para el caso del cálculo de primitivas el CAS resulta ser una herramienta muy eficaz yaque en la práctica puede facilitar cálculos engorrosos. Camacho (2005) comenta, por ejemplo,que:

...el uso del software (Derive y Maple) proporciona un importante instrumentopara que los estudiantes puedan librarse de memorizar fórmulas o procedimientosde cálculo, aunque es fundamental tener en cuenta que los estudiantes necesitanun cierto tiempo para madurar y desarrollar una comprensión conceptual segurade los conceptos. Necesitan prestar atención al proceso de transformación yrelación que pueden establecerse entre las representaciones gráficas, algebraicasy numéricas. (Camacho, 2005, pp. 108)

Sin embargo, existen casos donde los resultados del CAS difieren a los tradicionalesusando la teoría, lo cual puede ser útil para realizar una discusión acerca de algunos conceptosmatemáticos particulares. A continuación analizamos tres situaciones diferentes al respectodel cálculo de primitivas con la ayuda del CAS.

5.2.1 Situación I: Diferentes expresiones para una misma primitiva

Iniciemos nuestra discusión con el siguiente problema:

Ejemplo 5.1. Calcular∫senx cosxdx.

Como podemos apreciar en la Tabla 5.1 cada programa ofrece diferentes respuestas.


CAS ResultadoDerive sen2 x

2

Wolfram Alpha − cos2 x2

+ constantScientific Work Place −1

4cos 2x

Mathematica − cos2 x2

Tabla 5.1: Resultados del CAS para∫senx cosxdx

De esta manera, podríamos escribir

∫senx cosxdx =

sen2 x

2+ C1

− cos2 x2

+ C2

−14cos 2x+ C3

con C1, C2, C3 ∈ R.

Una primera pregunta aquí es: ¿Son correctos los diferentes resultados que dan los difer-entes programas? Para responderla se deriva cada resultado para determinar si obtenemosla función bajo el signo de la integral. De hecho, no es difícil verificar que

d

dx

(sen2 x

2+ C1

)=

d

dx

(−cos2 x

2+ C2

)=

d

dx

(−1

4cos 2x+ C3

)= senx cosx

Ahora nos preguntamos cómo podemos explicar a los estudiantes por qué son diferentesestos resultados. Aquí podemos decir que las diferentes expresiones de las primitivas de unamisma función se deben a la naturaleza de las funciones trigonométricas y a la estrategiaelegida para resolver la integral. Claramente, cada programa sigue diferentes estrategiaspara tratar la integral. Por ejemplo, no es difícil observar que Scientific Work Place usa laidentidad trigonométrica

senx cosx =1

2sen 2x.

Por lo que ∫senx cosxdx =

1

2

∫sen 2xdx = −1

4cos 2x+ C3.


Figura 5.1: Showing Steps: Wolfram Alpha

Figura 5.2: Showing Steps: Derive

Afortunadamente, Derive y Wolfram Alpha tienen la opción de mostrar los pasos (Show-ing Steps Option), tal que podemos observar su estrategia (ver Figuras 5.1 y 5.2). Por una


parte, Derive utiliza la expresión∫F n(x)F ′(x)dx =

F n+1(x)

n+ 1

donde F (x) = sen x y n = 1. Por otra parte, Wolfram Alpha usa la expresión

−∫udu = −u

2

2+ constant

donde u = cosx.

En realidad, las diferentes respuestas que ofrece el CAS se obtienen de forma normal. Dehecho, esto sucede en general y no solo con las funciones trigonométricas. Es decir, si f esuna función continua, entonces es posible encontrar más de una expresión algebraica parauna primitiva de f , dependiente de nuestra estrategia, lo único que necesitamos es asegurarque las diferentes primitivas difieran entre sí en una constante.

Por ejemplo, si consideramos las siguientes identidades trigonométricas

sen2 x+ cos2 x = 1 y cos 2x = cos2 x− sen2 x

obtenemos lo siguiente

−1

4cos 2x = −cos2 x

2+

1

4=

sen2 x

2+

1

4y − cos2 x

2= −1

2+

sen2 x

2.

Lo anterior corrobora el hecho de que las primitivas que ofrece el CAS difieren en unaconstante entre sí (ver Figuras 5.3, 5.4 y 5.5).

Figura 5.3: Gráfica de sen2 x2


Figura 5.4: Gráfica de − cos2 x2

Figura 5.5: Gráfica de −14cos 2x

De esta manera, es correcto escribir∫senx cosxdx =

sen2 x

2+ C1 = −

cos2 x

2+ C2 = −

1

4cos 2x+ C3

debido a que cada expresión representa el mismo conjunto de primitivas de f .

Ahora, pasemos a otro ejemplo en donde debemos tener cuidado con los resultados quenos ofrece el CAS. Consideremos el siguiente problema:

Ejemplo 5.2. Calcular∫

cos 2xsenx cosx

dx.

Como podemos observar en la Tabla 5.2, otra vez encontramos más de un resultado.En este caso, podemos observar que hay tres expresiones algebraicas diferentes. De hecho,podemos obtener una más usando la identidad trigonométrica

cos 2x

senx cosx= 2

cos 2x

sen 2x


y la fórmula ∫u′(x)

u(x)dx = log |u(x)|+ C

con u(x) = sen 2x, obtenemos∫cos 2x

senx cosxdx = 2

∫cos 2x

sen 2xdx = log | sen 2x|+ C.

CAS ResultadoDerive 2 log(senx)− log(tan x)

Wolfram Alpha log(cos x) + log(senx) + constantScientific Work Place 1

2log(2− 2 cos 4x)

Mathematica log(cos x) + log(senx)

Tabla 5.2: Resultados del CAS para∫

cos 2xsenx cosx

dx

De esta manera, podríamos escribir

∫cos 2x

senx cosxdx =

2 log(senx)− log(tan x) + C1

log(cosx) + log(senx) + C2

12log(2− 2 cos 4x) + C3

log | sen 2x|+ C4

con C1, C2, C3, C4 ∈ R.

Además de las diferencias de forma en estas respuestas, también las hay de fondo. Primeroveamos las de forma: ¿Nos encontramos ante cuatro expresiones diferentes del mismo resul-tado? ¿De las cuatro, hay algún mejor resultado? ¿En qué sentido sería un mejor resultado?Esto podría parecer un problema difícil, al considerarlo como equivalencias de expresiones endonde, para probarlas, se requiere cierta destreza en el manejo de identidades trigonométricaspara transformarlas.

Una estrategia, quizá la más simple, es derivar todos los miembros de la derecha y mostrarque en todos los casos se obtiene el integrando. La insuficiencia de este procedimiento radicaen que además deben analizarse los dominios de las funciones involucradas. Al derivary simplificar (también se puede utilizar el CAS para simplificar esta laboriosa tarea) los


resultados anteriores, obtenemos:

d

dx(2 log(senx)− log(tan x)) = 2 cotx− 1

senx cosx= 2 cot 2x =

cos 2x

senx cosxd

dx(log(cos x) + log(senx)) =

− senx

cosx+

cosx

senx=

cos 2x

senx cosxd

dx

(1

2log(2− 2 cos 4x)

)= 2 cot 2x =

cos 2x

senx cosx

d

dx(log | sen 2x|) =

cos 2x

senx cosx

Lo anterior podría convencernos de que los resultados son correctos, ya que las derivadasde las funciones del miembro derecho son iguales al integrando, lo cual puede dejarnos insatis-fechos, pues quizá algunos deseen verificar que ciertamente cada resultado es transformableen cualquier otro. Esto puede presentar algunas dificultades, pero ofrece una magníficaoportunidad para revisar relaciones trigonométricas y propiedades de los logaritmos.

La transformación de un resultado requiere del importante concepto de constante deintegración, ya que los resultados deberán ser funciones que difieren en una constante, yaquí aparece ésta como un concepto relevante.

Observación 5.1. Un hecho curioso, que el lector podrá verificar por sí mismo, ocurrecuando al programa Mathematica le planteamos el cálculo de la integral∫

cos 2x

senx cosxdx

Al parecer, no determina que se trata de una integral inmediata y presenta la respuesta∫cos 2x

senx cosxdx = log(cos x) + log(senx).

Pero si “le ayudamos” con el factor 2 y planteamos la integral

1

2

∫2 cos 2x

senx cosxdx,

entonces presenta la respuesta

1

2

∫2 cos 2x

senx cosxdx = log(sen 2x).

©

Los resultados de los distintos programas dan respuestas diferentes, de lo cual nos con-vencemos mediante sus mismas gráficas (ver Figuras 5.6, 5.7 y 5.8).


Figura 5.6: Gráficas de F (x) y G(x) (Wolfram Alpha y Derive)

Figura 5.7: Gráfica de H(x) (Scientific)

Figura 5.8: Gráfica de K(x) (Solución teórica)

Las funciones dadas por Wolfram Alpha y Derive

F (x) = log(cosx) + log(senx) y G(x) = 2 log(senx)− log(tan x)

tienen como dominio el conjunto

A = {x ∈ R : senx cosx > 0} =⋃n∈Z

(2nπ,

4n+ 1

2π

).


Por otra parte, las funciones obtenidas con Scientific y con lápiz y papel

H(x) =1

2log(2− 2 cos 4x) y K(x) = log |sen 2x|

cuyo dominio es el conjunto

D = {x ∈ R : 2− 2 cos 4x 6= 0} = {x ∈ R : |sen 2x| 6= 0} =⋃n∈Z

(n

2π,n+ 1

2π

).

Consideremos I ⊆ D cualquier intervalo y sea f : I → R definida por

f(x) =cos 2x

senx cosx.

Entonces, considerando la definición de primitiva, no podemos considerar a las funcionesF y G primitivas de la función f debido a que no podemos restringirlas cualquier intervaloI ⊆ D, de tal manera que F ′(x) = f(x) = G′(x) para todo x. Por ejemplo, si

I =(π2, π)

f está bien definida en el I, pero F y G no. En este caso, I no está contenido en A. Portanto, F y G no son primitivas de f .

Por otra parte, dado que, H yK están definidas en el conjunto D yH ′(x) = K ′(x) = f(x)

para cada x ∈ I ⊆ D, entonces H y K son primitivas de f . De esta manera, debemos escribir∫cos 2x

senx cosxdx =

1

2log(2− 2 cos 4x) + C1 = log |sen 2x|+ C2.

Figura 5.9: Gráfica de f(x) = cos 2xsenx cosx

Como podemos observar, la solución teórica es mejor que las de Wolfram Alpha y Derive,pues las respuestas de estos últimos no están definidas en el mismo dominio que el integrando(Figura 5.9). Por otra parte, Scientific Work Place ofrece una solución que difiere solamenteen una constante.


5.2.2 Situación II: Una función definida en el conjunto vacío

Consideremos ahora el siguiente problema:

Ejemplo 5.3. Calcular∫

tanxlog(cosx)

dx.

De la Tabla 5.3, la respuesta que presentan los distintos CAS es la misma. Lo cual implicaque podríamos escribir ∫

tanx

log(cos x)dx = − log(log(cosx)).

Podemos suponer que los diferentes CAS usan el mismo algoritmo y aparentemente todoestá correcto, pero si analizamos cuidadosamente el resultado, notamos que −1 ≤ cosx ≤ 1,

entonces se tiene que log(cos x) ≤ 0. Esto significa que log(log(cosx)) no está definido enlos números reales, por lo que la respuesta dada por los diferentes CAS es incorrecta.

CAS ResultadoDerive − log(log(cosx))

Wolfram Alpha − log(log(cosx)) + constantMathematica − log(log(cosx))

Scientific Work Place − log(log(cosx))

Tabla 5.3: Resultados del CAS para∫

tanxlog(cosx)

dx

Para precisar lo anterior, consideramos la función u(x) = log(cos x), la cual tiene pordominio en el conjunto

D =⋃n∈Z

(−π2+ 2nπ,

π

2+ 2nπ

).

(ver Figura 5.10). Notemos que los valores de u son negativos, es decir, u(x) ≤ 0 para todox ∈ D. Por lo que la función F (x) = − log(log(cosx)) tiene por dominio el conjunto vacío.

Por otra parte, la función

f(x) =tanx

log(cos x)

tiene por dominio la unión de intervalos de la forma(4n− 1

2π,

4n+ 1

2π

)


Figura 5.10: Gráfica de u(x) = log(cosx).

con excepción de los puntos 2nπ (ver Figura 5.11). Es decir, el dominio es el conjunto

A = {x ∈ R : cosx > 0 y log(cos x)} =⋃n∈Z

[(4n− 1

2π, 2nπ

)∪(2nπ,

4n+ 1

2π

)]

Figura 5.11: Gráfica de f(x) = tanxlog(cosx)

.

La función f es continua en su dominio. Si se restringe a un intervalo cerrado contenidoen su dominio A, el Teorema Fundamental afirma que existe una primitiva en dicho intervalo.Pero tendríamos que expresar esa primitiva en términos de operaciones finitas de funcioneselementales, es decir, es posible que la primitiva no sea elemental. Sin embargo, podemoshallar una primitiva elemental, utilizando de manera adecuada la expresión∫

u′(x)

u(x)dx = log(u(x)) + C.

la cual es equivalente a la fórmula que usa el CAS (ver Figuras 5.12 y 5.13).


Figura 5.12: Showing Steps: Derive

Figura 5.13: Showing Steps: Wolfram Alpha


Es importante resaltar que la anterior expresión es válida cuando u(x) > 0. Para ser másprecisos, debería escribirse de la siguiente manera∫

u′(x)

u(x)dx = log |u(x)|+ C.

Considerando lo anterior, la respuesta a la que llegamos es la siguiente∫tanx

log(cosx)dx = −

∫u′(x)

u(x)dx = − log |u(x)|+ C = − log |log(cos x)|+ C.

Como hemos visto, si se aplica un método para calcular primitivas de manera automática(usado como un algoritmo sin reflexión previa), llegamos a soluciones incorrectas. Además,en este caso, ninguno de los CAS nos ofrecen una respuesta apropiada.

5.2.3 Situación III: Cálculo de primitivas para evaluarintegrales definidas

Otra situación interesante, que discutiremos a continuación, se presenta en el cálculo deprimitivas de la forma ∫

R(senx, cosx)dx

donde R(senx, cosx) es una función racional en las funciones seno y coseno, por ejemplo,

1

5 + 3 cosx,

1

6 + 4 cosx+ 4 senx,

1

2 + 2 cosx senx.

Como ya hemos mostrado (Capítulo 4, sección 4.4), si queremos calcular el valor de laintegral definida ∫ 2π

0

1

5 + 3 cosxdx

entonces el método para encontrar la primitiva no funciona. Esto es, al usar la función

F (x) =1

2arctan

(1

2tan

x

2

)para evaluar la integral obtenemos∫ 2π

0

1

5 + 3 cosxdx =

1

2arctan

(1

2tan

x

2

)∣∣∣∣2π0

= 0.


CAS ResultadoDerive x

4− 1

2arctan

(senx

cosx+3

)Wolfram Alpha −1

2arctan

(2 cot x

2

)+ constant

Mathematica −12arctan

(2 cot x

2

)Tabla 5.4: Resultados del CAS para

∫1

5+3 cosxdx

ya que tan(2π) = tan(0) = 0 y arctan(0) = 0. Sin embargo, la función f es continua ypositiva en el intervalo [0, 2π] por lo que el valor de la integral definida debe ser positivo yesto es contradictorio con el resultado obtenido.

De igual manera, hemos visto que la función F es una “primitiva” de f sólo en el conjunto

I =((2n− 1) π, (2n+ 1) π

)con n ∈ N.

En este caso, utilizamos el CAS para calcular una primitiva, usando solo sólo Derive,Mathematica y Wolfram Alpha. De la Tabla 5.4, podemos apreciar que el CAS nos ofrecedos respuestas distintas. Así que podríamos escribir∫

1

5 + 3 cosxdx =

{−1

2arctan

(2 cot x

2

)+ C1

x4− 1

2arctan

(senx

cosx+3

)+ C2

con C1, C2 ∈ R.

Al derivar obtenemos al menos el integrando, es decir

d

dx

(−1

2arctan

(2 cot

x

2

)+ C1

)=

d

dx

(x

4− 1

2arctan

(senx

cosx+ 3

)+ C2

)=

1

5 + 3 cosx

Por una parte, consideremos el resultado que dan Wolfram Alpha y Mathematica (verFigura 5.14)

H(x) = −1

2arctan

(2 cot

(x2

))cuyo dominio es el conjunto

A ={x ∈ R : sen

x

26= 0}=⋃n∈Z

(2nπ, 2 (n+ 1) π

).

No podemos utilizar esta función para evaluar la integral definida ya que la función H noestá definida en x1 = 2π y x2 = 0. La función H no es una primitiva del integrando en elintervalo [0, 2π].


Figura 5.14: Gráfica de H.

Ahora, del resultado de Derive, es decir, de la función

G(x) =x

4− 1

2arctan

(senx

cosx+ 3

).2

se tiene la respuesta correcta∫ 2π

0

1

5 + 3 cosxdx = G(2π)−G(0) = π

2

Figura 5.15: Gráfica de G.

Más aún, la función G está bien definida en todo R (ver Figura 5.15). Por tanto, es unaprimitiva de f . Por lo tanto, afirmamos que la respuesta correcta es∫

1

5 + 3 cosxdx =

x

4− 1

2arctan

(senx

cosx+ 3

)+ C

2Otra manera de calcular G se puede ver en el Apéndice D.


Observación 5.2. La situación aquí presentada se puede abordar también por medio de lavariable compleja, utilizando el Teorema del Residuo. Es decir, si queremos evaluar∫ 2π

0

R(senx, cosx)dx,

necesitamos hacer una sustitución z = eix para obtener

−i∫z=1

R

(1

2i

(z − 1

z

),1

2

(z +

1

z

)).

Finalmente, se deben determinar los residuos que corresponden a los polos del integrandodentro del círculo unitario. Para mayor información se puede consultar: Alfors (1979),Conway (1978), Gilman, Kra, & Rodríguez (2007) y Marsden & Horrman (1999). ©

Es claro que podemos utilizar el CAS para calcular la integral definida. Sabemos perfec-tamente que los programas como Mathematica o Derive cuentan con algoritmos diseñadosespecíficamente para calcular integrales definidas utilizando métodos numéricos o variablecompleja. Sin embargo, en los cursos básicos de Cálculo donde no se tiene un fácil acceso ala tecnología, es común la aplicación de algún método de integración y de la fórmula provistapor el TFC para calcular integrales definidas.

Con o sin la tecnología, observamos que el método de substitución u = tan x/2 fallapara ciertos casos (ver capítulo anterior) y al parecer Mathematica y Wolfram Alpha com-parten el mismo problema. Elbaz-Vincent (2005) y Pavlyk (2008) han abordado y explicadoeste problema. Sin embargo, cometen algunos errores. Por ejemplo, Elbaz-Vincent (2005)menciona:

Uno de los principales resultados de los cursos universitarios en Cálculo... es que laintegral indefinida es una primitiva de f . Pero si f es continua en I, así lo tiene que serG. Sin embargo, una primitiva no es necesariamente una integral indefinida y el CASnos da muchos ejemplos:

>int(6/(5-3*cos(x)),x);3 arctan(2tan(1/2 x))

Aquí el resultado es una primitiva en R, pero falla en ser continua. Como unaconsecuencia, no podemos usar esta primitiva “fuera de la caja”, para calcular la integraldefinida de la función en [0, 4π], por ejemplo. El resultado no tiene sentido (peroaparentemente la mayoría de los estudiantes no se percatan de eso). Actualmente,nuevas heurísticas y algoritmos tratan de producir mejores resultados, más cercanos auna integral indefinida. (p. 62)


Por otra parte, Pavlyk (2008) comenta:

Consideremos un caso más complicado:In[4] :=f [x_] =

∫1

5+4Sin[x]dx//Simplify

Out[4] :=23ArcTan

[13

(4 + 5Tan

[x2

])]Podemos comprobar que esta integral indefinida al menos se deriva correctamente:

In[5] :=D[f [x], x]//SimplifyOut[5] := 1

5+4Sin[x]Ahora, calculemos la integral definida∫

15+4Sin[x]dx

restando los valores de nuestra indefinida:In[6] :=f [2π]− f [0]Out[6] :=0

Pero esto no puede ser correcto. Si graficamos el integrando, podemos ver que espositivo en todo el rango de 0 a 2π. La integración definida incorporada en Mathematica,por supuesto, da exactamente la respuesta correcta:

In[8] :=∫ 2π0

15+4Sin[x]dx

Out[8] :=2π3

Entonces, ¿qué salió mal al restar los puntos extremos? La cuestión es que el TeoremaFundamental del Cálculo no es directamente aplicable en este caso. Porque, si lo con-sideramos de manera general, el teorema requiere que la primitiva que se va a restarsea continua en todo el intervalo. [...] La primitiva tiene una discontinuidad justo enmedio del intervalo.

En resumen, lo que se afirma en las dos anteriores citas es que: “una primitiva puede serdiscontinua”. Lo cual no es posible porque una primitiva siempre es continua (recordemosque una primitiva es una función derivable y toda función derivable es siempre continua).Por otra parte, los ejemplos que son discutidos por ambos autores, es decir, las funciones

F (x) = 3 arctan(2 tan

(x2

))y G(x) =

2

3arctan

(2

3

(4 + 5 tan

(x2

))),

son consideradas como “primitivas discontinuas” de las funciones

f(x) =6

5− 3 cosxy g(x) =

1

5 + 4 senx,

respectivamente. Pero esto no es correcto, ya que F y G no son discontinuas (son continuasen sus respectivos dominios), ni mucho menos primitivas de f y g, respectivamente.


Mucho se ha escrito sobre el gran potencial que ofrece el uso de los CAS en el aprendizajede las matemáticas, pero poco sobre la problemática que se crea cuando estos sistemasno generan los resultados esperados o presenta resultados aparentemente incorrectos. Lopositivo de estas situaciones es que pueden ser una oportunidad para profundizar en loscontenidos matemáticos.

El principal punto que hemos tratado de establecer en el presente capítulo es que nopodemos utilizar el CAS como una caja negra para resolver cualquier problema. Comoprofesores debemos tener un conocimiento adecuado, dependiendo de las actividades que selleven a cabo, del comportamiento del CAS para comprender los resultados por nosotrosmismos y así, alentar a los estudiantes a ser más reflexivos con el uso del CAS.

Epílogo

Un escritor demoró veinte años en terminar una novela. Des-pués decidió eliminar de ella todo lo superfluo. Trabajó otrosveinte años, al cabo de los cuales sólo le quedó la palabra:COCODRILO.

El Teorema Fundamental del Cálculo es, sin lugar a dudas, una herramienta indispensabledel Cálculo Diferencial e Integral. Desde un punto de vista histórico, resulta relevante elcontexto en el cual se originó y la evolución que ha sufrido. Como hemos observado enel capítulo 1, su origen se remonta al siglo XVII dentro de un contexto geométrico. Enaquella época facilitó el cálculo de áreas limitadas por curvas, razón por la cual, durantelos siglos XVIII y XIX, el problema de integración era considerado como un problema deantiderivación, que en términos modernos es el cálculo de funciones primitivas.

Así que el problema histórico del cálculo de primitivas como resultado de las relacionesde reciprocidad entre la derivada y la integral, prevalece hoy en día en el estudio del Cálculo,incluso después de que se introdujera, a inicios del siglo XIX, el concepto de integral definidaen términos analíticos (como límite de sumas).

En lo que se refiere a la enseñanza del Cálculo Diferencial e Integral, en particular delTeorema Fundamental, queremos resaltar dos hechos. Por una parte, existen diferentesacercamientos en la enseñanza de los conceptos de derivada, integral y del TFC. Por otraparte, existen diferencias notables con respecto a la terminología que se usa en los libros detexto («integral», «integral definida» e «integral indefinida»)3. Ambos hechos influyen demanera significativa en el comprensión del TFC por parte de los estudiantes.

Desde nuestro punto de vista, considerando lo antes mencionado, deseamos enfatizar dospuntos:

3Ver Capítulo 2.

87

88 Epílogo

1. Consideramos que el TFC no sólo se debería presentar en su forma acabada en losprimeros cursos de Cálculo sino que también se podría realizar una discusión de suorigen, lo cual puede permitir una mejor comprensión de su significado y utilidad.Una versión intuitiva y geométrica del teorema, podría ser incluso más útil. De hecho,en el contexto de funciones continuas, se puede realizar una justificación del TeoremaFundamental de manera intuitiva y geométrica, rescatando algunas ideas generales deNewton.

2. De los diferentes acercamientos que existen para la enseñanza de los conceptos dederivada e integral y del TFC, consideramos que el orden más conveniente es el sigu-iente: primero enseñar el concepto de derivada, después el concepto de integral, en-seguida el TFC para funciones continuas y finalmente se desarrollar técnicas paracalcular primitivas. En este contexto, el TFC da sentido a los Métodos de Integración,es decir, al cálculo de primitivas.

Efectivamente, el TFC facilita el cálculo de integrales definidas por medio de la fórmula∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a),

no obstante debemos tener presente el hecho de que existen situaciones que requieren de unanálisis cuidadoso. En primer lugar, hemos observado que al derivar funciones conocidas nosiempre se producen funciones integrables. Es decir, si tenemos una función F definida en[a, b], la función F ′ resulta no ser siempre Riemann integrable. Hemos mostrado ejemplosde funciones cuya derivada es no integrable. Uno de ellos ampliamente conocido es el deuna función cuya derivada es no acotada y por lo tanto no integrable. Otro más interesante,no muy conocido, es el de una función acotada que debido a su comportamiento dentro deun conjunto generalizado de Cantor, resulta ser no integrable4. En estos casos, la integraldefinida

∫ baF ′(x)dx no existe. Por esta razón la ecuación∫ b

a

F ′(x)dx = F (b)− F (a)

no puede ser cierta. De hecho, la versión del Teorema Fundamental para funciones Lebesgueintegrables sufre del mismo defecto. Aquí es imprescindible que la derivada F ′ sea Lebesgueintegrable (Swartz, 1994, pp. 158-159). Lo ideal sería tener una teoría de integración para la

4Ver Apéndice C.

Epílogo 89

cual el TFC se cumpla de forma general, donde todas las funciones derivada sean integrables.Una teoría que se aproxima a este ideal es la que propusieron los matemáticos Ralph Henstocky Jaroslav Kursweil durante la primera mitad del siglo XX. Según Bartle (2001, p. ix), lateoría de integración de Henstock-Kurweil corrige las limitaciones de la teoría clásica deRiemann y además simplifica y extiende la de Lebesgue5.

En segundo lugar, hemos observado que el método de cambio de variable u = tanx2

(método muy socorrido para calcular primitivas de funciones del tipo R(senx, cosx), dondeR es una función racional en las funciones seno y coseno) funciona para una clase de funciones,sin embargo, existen clases de funciones para las cuales no produce primitivas. El métodoproporciona una función (aparentemente una primitiva) que no está definida en el mismointervalo dominio del integrando. Esta es una problemática que antes no se había observadopero que puede ser útil para futuras investigaciones. Básicamente lo que se aplica es elmétodo de substitución, sin embargo, la identificación del dominio de las funciones resultaser un detalle frecuentemente descuidado en la práctica, incluso por expertos en la materia.

Finalmente, hemos realizado una discusión de algunas situaciones matemáticas al re-specto del cálculo de primitivas, con el uso de la tecnología. Los ejemplos analizados condiferentes programas provistos con CAS nos muestran situaciones que pueden ser potencial-mente utilizadas para realizar discusiones dentro de algún curso de Cálculo. La comparaciónde los resultados obtenidos, ya sea con el CAS y con la teoría, da pauta para realizar unanálisis profundo de los conceptos y métodos relacionados con el cálculo de primitivas. Lainvestigación en educación matemática nos dice que este tipo de situaciones ayuda a losestudiantes a plantearse de manera diferente conceptos matemáticos e incluso permite lle-gar a nuevos resultados o quizá resultados ya descubiertos, pero desde otro punto de vista(Dubinsky & Tall 1991).

Esperamos que el presente trabajo sea una fuente de información y de reflexión paraprofesores que enseñan Cálculo, en particular cuando presentan el Teorema Fundamental delCálculo.

5Para mayores referencias al respecto de esta teoría se pueden consultar los siguientes: Bartle (1996);Bartle, Henstock, Kurzweil, Schechter, Schwabik & Vyborny (1997); Bartle (2001); Bosch(1999) y Schechter(2009).

Apéndices

91

Apéndice A

Demostraciones de Barrow, Leibniz,Newton y Cauchy

A.1 Introducción

A diferencia de lo que se suele creer, dominar uno o varios idiomas extranjeros no es condi-ción suficiente para poder traducir a nivel profesional. Los idiomas extranjeros no son sinouna más de las herramientas necesarias para poder desempeñarse en traducción. Traducirsignifica estar en capacidad de comprender el sentido y re-expresarlo en otra lengua de man-era efectiva y libre de las ataduras sintácticas de la lengua de origen; está muy lejos de seruna mera sustitución de una palabra por otra.

En el presente apéndice, se encuentran las traducciones al español de las demostracionesdel Teorema Fundamental realizadas por Barrow, Leibniz y Newton. Dichas traducciones serealizaron a partir de fuentes, en inglés, primarias y secundarias. Espero sean de utilidadpara aquellos lectores cuya lengua es el español. Sin embargo, si el lector desea profundizaren el estudio de dichas demostraciones, lo ideal es que consulte las fuentes originales.

93

94 A. Demostraciones de Barrow, Leibniz, Newton y Cauchy

A.2 Demostración de Barrow

Lecciones Geométricas, Lección X

11. Sea ZGE (Figura A.1) una curva cuyo eje es V D y consideremos las ordenadas (V Z,PG y DE) perpendiculares a este eje y continuamente creciendo desde la ordenada inicialV Z; también sea V IF una curva tal que si una línea recta EDF es trazada perpendicularal eje V D, cortando a las curvas en los puntos E, F y V D en D, el rectángulo determinadopor DF y una longitud dada R es igual al espacio V DEZ; también sea DE : DF = R : DT ,y unimos [T y F ]. Entonces TF tocará a la curva V IF .

Figura A.1:

Tomemos un punto I en la curva V IF (primero del lado F hacia V ) y, a través de él, tracemosIG paralelo a V Z y IL paralelo a V D, cortando a las líneas dadas como se muestra en lafigura; entonces, LF : LK = DF : DT = DE : R, es decir R× LF = LK ×DE. Pero de lanaturaleza de las líneas DF y LK se tiene R × LF = área(PDEG) por tanto se tiene que

A. Demostraciones de Barrow, Leibniz, Newton y Cauchy 95

LK ×DE = área(PDEG) < DP ×DE, por lo tanto se tiene LK < DP < LI. De formaanáloga, si el punto I se toma del otro lado de F , se haría la misma construcción de antes yse puede fácilmente demostrar LK > DP > LI. De donde es completamente claro la líneacompleta TKF permanece en o debajo de la curva V IFI.

Resultados análogos se obtienen si las ordenadas V Z, PG y DE decrecen en forma continua,la misma conclusión se obtiene mediante un argumento similar; sólo una particularidadocurre, a saber; en este caso, al contrario que en el otro, la curva V IF es cóncava respectoal eje V D.

Corolario. Observe que DE ×DT = R×DF = área(V DEZ).

Fuente: Geometrical Lectures, pp. 167-168. Versión en inglés de la obra de Isaac Barrowpublicada en 1735 (ver también Child, 1916, pp. 116-118).

A.3 Demostración de Leibniz

Suplemento de medición geométrica, o más general, de todas la maneras prácticas paracuadrar una curva a través del movimiento: es decir, varias maneras para construir una

curva a partir de una condición basada en su tangencia.

Demostraré ahora que el problema general de cuadraturas puede ser reducido al de encontraruna línea que tiene una ley de tangencia dada (declivitas), esto es, para la cual los lados deltriángulo característico tienen una relación mutua dada. Entonces mostraré como esta línease puede describir por un movimiento que yo he imaginado.

Para este propósito [Figura A.2] asumo que para cada curva C(C ′) un doble triángulo car-acterístico1, uno, TBC, que es asignable, y otro, GLC, que es inasignable, y estos dostriángulos son similares entre sí. El triángulo inasignable consiste de las partes GL, LC, conlos elementos de las coordenadas CF , CB como lados, y GC, el elemento del arco, como labase o hipotenusa. Pero el triángulo asignable TBC consiste de los ejes, la ordenada, y latangente, y por tanto contiene el ángulo entre la dirección de la curva (o su tangente) y eleje o base, esto es, la inclinación de la curva al punto dado C. Ahora sea F (H), la regiónde la cual se quiere encontrar su cuadratura, determinada entre la curva H(H), las líneas

1En la figura Leibniz asigna el símbolo (C) a dos puntos, los cuales nosotros denotamos por (C) y(C ′). Si, con Leibniz, escribimos CF = x, BC = y, HF = z, entonces E(C) = dx, CE = F (F ) = dy,y H(H)(F )F = z dy. Primero Leibniz introduce la curva C(C ′) con su triángulo característico y luegoentonces la re-introduce como la curva [quadratrix ] de la curva AH(H).


Figura A.2:

paralelas FH y (F )(H), y el eje F (F ); en ese eje sea A un punto fijo, y sea una línea AB, eleje conjugado, dibujado a través de A perpendicular a AF . Asumimos que el punto C estáen HF (prolongar si es necesario); esto da una nueva curva C(C ′) con la propiedad que, si setrazan las coordenadas CB (igual a AF ) y la tangente CT desde el punto C al eje conjugadoAB (prolongado si es necesario), entonces la parte TB del eje entre ellos es a BC como HFes a un [segmento] constante a, o a por BT es igual al rectángulo AFH (circunscrito en lafigura compuesta por tres líneas AFHA). Establecido esto, afirmo que el rectángulo en a

y E(C) (debemos discriminar entre las ordenadas FC y (F )(C) de la curva) es igual a laregión F (H). Por lo tanto, cuando prolongo la línea H(H) a A, la figura compuesta porlas tres líneas AFHA de la figura de la cual se requiere encontrar su cuadratura es igual alrectángulo con lados la constante a y la ordenada FC de la curva, de la cual se ha encontradosu cuadratura. Esto se sigue inmediatamente de nuestro cálculo. Sea AF = y, FH = z,BT = t, y FC = x; entonces t = z y : a, de acuerdo a nuestra hipótesis; por otra parte,t = y dx : dy debido a la propiedad de las tangentes expresada en nuestro cálculo. Por lotanto a dx = z du y de esta manera ax =

∫z dy = AFHA. Por lo tanto la curva C(C ′) es la

quadratrix con respecto a la curva H(H), mientras que la ordenada FC de C(C ′), multipli-cada por la constante a, hace al rectángulo igual al área, o la suma de las ordenadas H(H)


corresponden a las abscisas correspondientes AF . Por tanto, dado que BT : AF = FH : a

(por hipótesis), y la relación de este FH a AF (lo cual expresa la naturaleza de la figuraa cuadrar) está dada, la relación de BT a FH o a BC, así como de BT a TC, será dada,esto es, la relación entre los lados del triángulo TBC. Por lo tanto, todo lo que se necesitapara poder obtener cuadraturas y medidas es poder describir la curva C(C ′) (la cual, comohemos mostrado, es la quadratrix ), cuando se da la relación entre los lados del triángulocaracterístico asignable TBC (esto es, la ley de inclinación de la curva).

Fuente: A source Book in the Mathematics, 1200-1800, pp. 282-284, editado por D. J.Struik.

A.4 Demostración de Newton

Sea la ordenada BD perpendicular a la base AB de alguna curva AD y sean AB igual a xy BD igual a y. Sean a, b, c, . . . cantidades dadas y m,n enteros. EntoncesRegla 1. Si y = axm/n, entonces el área de la región ABD es an

m+nx(m+n)/n (Whiteside, 1968,

p. 207).

Figura A.3:

1. La cuadratura de curvas simples en la Regla 1. Sea entonces cualquier curva ADδ quetiene a AB = x como base, perpendicular a la ordenada BD = y, y sea ABD = z el área.Ahora, sean Bβ = o, BK = x y consideremos el rectángulo BβHK(ov) igual al rectánguloBβδD.

Esto es, por tanto, Aβ = x+o y Aδβ = z+ov. Con estas premisas, asumiendo cualquierrelación arbitraria entre x y z, buscaré el valor de y de la siguiente manera. Tomemos avoluntad 2

3x

32 = z o 4

9x3. Entonces, cuando x+ o(Aβ) se sustituye por x y a+ ov(Aδβ) por


Figura A.4:

z, se obtiene (por la naturaleza de la curva)

4

9(x3 + 3x2o+ 3x2o2 + o3) = z3 + 2zov + o2v2.

Ahora, eliminando las cantidades iguales (49x3 y z2) y dividiendo el resto por o, nos queda

49(3x2 + 3xo+ o2) = 2zv + ov2. Si suponemos ahora qe Bβ sea infinitamente pequeño, esto

es, que o sea cero, v y y serán iguales y los términos multiplicados por o desaparecerán yen consecuencia quedará 4

9× 3x2 = 2zv o 2

3x2(z = y) = 2

3x

32y, es decir, x

12 (= x2/x

32 ) = y.

Inversamente, por lo tanto, si x12=y, entonces tendremos 2

3x

32=z. En general si

z =n

m+ nax(m+n)/n,

esto es, haciendo un cambio de variable c = na/(m + n) y p = m + n, tenemos que siz = cxp/n o zn = cnxp, entonces cuando x+ o se sustituye2 por x y z + oy por z obtenemos3

cn(xp + poxp−1 . . .) = zn + noyzn−1 . . . ,

2Newton pensó en términos de un incremento en el área de z a oy, correspondiente a un incremento dex a x+ o, siendo o un incremento infinitesimal.

3Aplicando el teorema del binomio desarrollado por Newton.


omitiendo los otros términos, los cuales se desaparecen al final. Ahora, al cancelar lostérminos iguales cnxp y zn y dividiendo el resto por o queda

cnpxp−1 = nyzn−1 = nycnxp/cxp/n.

Ahora, al dividir por cnxp, obtenemos

px−1 = ny/cxp/n

Despejando a y queday = pcx(p−n)/n.

En otras palabras, al sustituir los valores de c y p se tiene que

y = axm/n.

Inversamente, si y = axm/n, entonces

z =n

m+ nax(m+n)/n.

Fuente: The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. II, pp. 206-247, editado porD. T. Whiteside.

A.5 Demostración de Cauchy

Si en la integral definida∫ Xx0f(x)dx se hace variar uno de los dos límites; por ejemplo la

cantidad X, la integral variará junto con esa cantidad. Si se sustituye el límite de la variableX por x, se obtendrá como resultado una nueva función de x que será llamada integraltomada a partir del origen x = x0. Sea

(1) F(x) =∫ x

x0

f(x)dx

esta nueva función. Se obtendrá de la fórmula (19)(lección 22)

(2) F(x) = (x− x0)f [x0 + θ(x− x0)], F (x0) = 0,

donde θ es un número menor que la unidad, y de la fórmula (7) (lección 23)∫ x+α

x0

f(x)dx−∫ x

x0

f(x)dx =

∫ x+α

x

f(x)dx = αf(x+ θα)


o bien

(3) F(x+ α)−F(x) = αf(x+ θα).

Se sigue de las ecuaciones (2) y (3) que si la función f(x) es finita y continua en la vecindadde un valor particular atribuido a la variable x, la nueva función F(x) será finita y ademáscontinua en la vecindad de este valor, ya que a un incremento infinitamente pequeño de xle corresponderá un incremento infinitamente pequeño de F(x). Así, si la función f(x) esfinita y continua desde x = x0 hasta x = X, lo mismo será válido para la función F(x).Podemos añadir que si se dividen entre α los dos miembros de la fórmula (3) se concluirá,al pasar al límite,

(4) F ′(x) = f(x).

Así la integral (1), considerada como función de x, tiene como derivada a la función f(x)

que se encuentra bajo el signo∫. Se probará de igual manera que la integral∫ X

x

f(x)dx = −∫ x

X

f(x)dx

considerada como función de x tiene como derivada a −f(x). Se tendrá entonces

d

dx

∫ x

x0

f(x)dx = f(x) yd

dx

∫ X

x

f(x)dx = −f(x).

Problema I. Se busca una función ω(x) cuya derivada ω′(x) sea cero. En otras palabras,se busca la solución de la ecuación

(6) ω′(x) = 0

[...]

Problema II. Encontrar el valor general de y que satisface la ecuación

(11) dy = f(x)dx.

Solución. Si se designa por F (x) a un valor particular de la incógnita y, y por F (x)+ω(x)

su valor general, se obtendrá de la fórmula (11), la cual esos dos valores deberán satisfacer,

F ′(x) = f(X), F ′(x) + ω′(x) = f(x)


y en consecuenciaω′(x) = 0.

Por otro lado, se concluye de la primera de las ecuaciones (5), que la fórmula (11) se satisfaceal tomar y =

∫ xx0f(x)dx. Así, el valor general de y será

(12) y =

∫ x

x0

f(x)dx+ ω(x),

en donde ω(x) designa a una función que satisface la ecuación (6). Este valor general dey, que comprende como caso particular a la integral (1) y que conserva la misma forma dela integral, cualquiera que sea el origen x0 de esta integral, se representa en el cálculo pormedio de la simple notación

∫f(x)dx, y recibe el nombre de integral indefinida. Dicho ésto,

la fórmula (11) implica siempre a la siguiente

(13) y =

∫f(x)dx

y recícrocamente, de modo que se tiene

(14) d

∫f(x)dx = f(x)dx.

Si la función F (x) difiere de la integral (1), el valor general de y o∫f(x)dx se podrá siempre

presentar bajo la forma

(15)

∫f(x)dx = F (x) + ω(x),

y deberá reducirse a la integral (1) para un valor particular de ω(x) que verifica al mismotiempo la ecuación (6) y a

(16) F(x) =∫ x

x0

f(x)dx = F (x) + ω(x).

Si, además, las funciones f(x) y F (x) son continuas entre los límites x = x0, x = X, lafunción F(x) será también continua, y en consecuencia ω(x) = F(x) − F (x) conservará elmismo valor entre esos límites, entre los cuales se tendrá

ω(x) = ω(x0)

F(x)− F (x) = F(x0)− F (x0) = −F (x0),

F(x) = F (x)− F (x0),


(17)

∫ x

x0

f(x)dx = F (x)− F (x0).

En fin, si en la ecuación (17) se toma x = X, se encuentra

(18)

∫ X

x0

f(x)dx = F (X)− F (x0).

Resulta de las ecuaciones (15), (17), y (18) que dado un valor particular F (x) de y queverifique la fórmula (11) se pueden deducir: 1o el valor de la integral indefinida

∫f(x)dx,

2o los valores de las dos integrales definidas∫ xx0f(x)dx = F (x) − F (x0),

∫ Xx0f(x)dx =

F (X)−F (x0) en el caso en el que las funciones f(x), F (x) permanezcan continuas entre loslímites de esas dos integrales.

Fuente: Cita textual de la obra Curso de análisis, pp. 311-317. Servicios editoriales dela Facultad de Ciencias, UNAM. México.

Apéndice B

Tabla Cronológica

Antecedentes de la relación entre cuadraturas y tangentes:Investigaciones medievales acerca del movimiento

1350 Oresme: Tratactus de configurationibus qualitatum etmotuum (Aprox.)

1638 Galileo: Due nove scienze

1644 Torricelli: Opera geometrica

Versiones preliminares del Teorema Fundamental1670 Barrow: Lectiones geometricae; demostración ge-

ométrica de la relación entre cuadraturas y tangentes

1693 Leibniz: Supplementum geometriae dimensoriae, publi-cado en la revista alemana Acta Eruditorium; a partirde la relación entre sumas de sucesiones y las diferen-cias de sus términos consecutivos, Leibniz demuestra larelación entre cuadraturas y tangentes

1711 Newton: De analysi (obra escrita en 1669); Newton de-muestra la relación entre cuadraturas y tangentes conbase en los conceptos de fluxión y fluente

103

104 B. Tabla Cronológica

La integración considerada como proceso inverso de la derivación1748 Maria Gaetana Agnesi: Istituzioni analitiche

1768 Euler: Institutiones Calculi Integralis

1796 J. A. J. Cousin: Traité de Calcul Différentiel et de CalculIntégral

1802 S. F. Lacroix: Traité élémentaire de Calcul Différentiel et deCalcul Intégral

Formalización del Teorema Fundamental1821 Cauchy: Cours d’analyse; introducción del concepto de inte-

gral definida como un límite de sumas; Cauchy demuestra deforma analítica el Teorema Fundamental del Cálculo (aunqueno le llama de esta manera)

1845 Riemann: Ueber die Darstellbarkeit ; extensión del conceptode integral definida para funciones más generales

1880 Paul du Bois-Reymon publica el artículo Der beweis des fun-damentalsatzes der integralrechnung:

∫ baF ′(x)dx = F (b) −

F (a), en la revista alemana Mathematische Annalene; duBois-Reymon presenta la versión compuesta en dos partes del“Teorema Fundamental del Cálculo” (con ese nombre).

Apéndice C

Función con derivada acotada y nointegrable

Un ejemplo famoso de una función cuya derivada es acotada y no integrable, fue dado porel matemático italiano Vito Volterra (1860-1940) a finales del siglo XIX (Volterra, 1881b).Volterra demostró primero que se podían construir conjuntos densos en ninguna parte demedida positiva, o en otra palabras, conjuntos de medida positiva cuya adherencia o cer-radura tiene interior vacío (Volterra, 1881a). Actualmente a estos conjuntos se les conocecomo Conjuntos de Cantor Generalizados1.

El ejemplo de Volterra se basa esencialmente en la función f dada por

f (x) =

{x2 sen

(1x

), si x 6= 0;

0, si x = 0

cuya derivada está dada por

f ′ (x) =

{2x sen

(1x

)− cos

(1x

), si x 6= 0;

0, si x = 0.

Mirada superficialmente la construcción de la función de Volterra, puede quedar la im-presión de que la no integrabilidad de la derivada se debe a que la función en la cual se basaesa construcción oscila infinitas veces alrededor del origen, por esta razón presentaremos unafunción similar a la de Volterra, cuya función base tiene una derivada mejor comportada.

1Para más detalles al respecto de los Conjuntos de Cantor generalizados se pueden consultar Swartz(1994), Buskes & Van Rooij (1997) y Rudin (1981).

105

106 C. Función con derivada acotada y no integrable

Para construirla, como en el ejemplo de Volterra, usaremos un conjunto de Cantor gen-eralizado. Para probar la no integrabilidad usaremos la importante caracterización de lasfunciones Riemann.

Teorema C.1. Una función acotada f definida en [a, b] es Riemann integrable si y solamentesi el conjunto de discontinuidades de f tiene medida cero2.

La función que construiremos será derivable en [0, 1] con derivada discontinua en unconjunto de Cantor de medida mayor que cero, específicamente, de medida 1

2.

Construyamos un conjunto de Cantor contenido en [0, 1] de medida 12. El primer paso de

esta construcción consiste en eliminar del intervalo [0, 1] un subintervalo abierto E10 centrado

en [0, 1] de longitud 16= 1

2·3 . Este intervalo es E10 =

(512, 712

).

Sea C1 el conjunto compacto que resulta de la unión de los 2 = 21 intervalos cerradosrestantes

C1 =

[0,

5

12

]∪[7

12, 1

].

El segundo paso consiste en eliminar 2 = 21 intervalos abiertos, uno de cada uno delos subintervalos compactos que componen C1, ambos intervalos abiertos centrados en susrespectivos intervalos compactos y de longitud 1

2·32 = 118. Sean E1

1 y E21 estos intervalos

abiertos.

En general, habiendo construido el conjunto compacto Ck constituido por 2k intervaloscerrados, construimos Ck+1 mediante la eliminación de 2k intervalos abiertos, cada uno cen-trado en el intervalo cerrado correspondiente que componen Ck. Cada uno de estos intervalosabiertos, que denotamos por Ei

k, es de longitud 12·3k+1 .

Para cada entero no negativo k, sea Uk la unión de los intervalos abiertos Eik

Uk =2k⋃i=1

Eik.

Como los 2k intervalos abiertos Eik son ajenos a pares, la medida de Uk es m(Uk) =

2k 12·3k+1 .

Para cada entero no negativo n, sea

Vn =n⋃k=0

Uk.

2Para una demostración de este teorema se puede consultar Spivak (1965, p. 53).

C. Función con derivada acotada y no integrable 107

Figura C.1:

Como Vn es la unión de intervalos abiertos ajenos, su medida está dada por

m(Vn) =1

2 · 3+ 2

1

2 · 32+ 22

1

2 · 33+ 23 · · ·+ 2n

1

2 · 3n+1=

1

2

(1−

(2

3

)n+1).

Puesto que (Vn)∞n=0 es una sucesión creciente de conjuntos abiertos, tenemos que la medida

de la unión de ellos

U =∞⋃n=0

Vn

es m(U) = limn→∞m(Vn) =12. Por lo tanto el conjunto de Cantor

H = [0, 1] \ U = [0, 1] \∞⋃k=0

2k⋃i=1

Eik

también es de medida 1

2.

Observemos que H es la intersección infinita de conjuntos compactos Ck, es decir

H =⋂{Ck | k ∈ N} ,

así que H es un conjunto compacto. De hecho, el conjunto de Cantor H es infinito nonumerable, cerrado, sin puntos interiores y sin puntos aislados. Un conjunto cuya adherencia


tiene interior vacío se llama denso en ninguna parte y si el conjunto no tiene puntos aisladosse llama perfecto, tal que el conjunto de Cantor H es denso en ninguna parte y perfecto.

Ahora construimos una función F : [0, 1] → R, derivable, con derivada acotada y dis-continua en el conjunto de Cantor H. Para cada intervalo abierto (a, b) = Ei

k, montamos larestricción de una función derivable fa,b : [a, b]→ R tal que ella y su derivada f ′a,b toman elvalor cero en los extremos a y b. Cuidamos que siempre haya un punto en (a, b) donde laderivada f ′a,b tome el valor 1. En los puntos de H = [0, 1] \ U , a F la hacemos igual a cero.

Para construir fa,b en un intervalo [a, b], partimos de la función

h(x) =2

1 + x2

Figura C.2: Gráfica de h

Primero tomamos de esta función la parte correspondiente al intervalo [−1, 1], luegoextendemos esta parte al intervalo [−2, 2] tomando los trozos en los intervalos [0, 1] y [−1, 0]debidamente reflejados y trasladados. Dado que h′(−1) = 1 y h′(1) = −1, con los trestrozos obtenemos una curva suave. Observemos que la gráfica de la función resultante tienetangentes horizontales en los puntos (−2, 0), (0, 2) y (2, 0). Véase Figura C.3.

g (x) =

2(x+2)2

(x+2)2+1, si −2 ≤ x ≤ −1;

21+x2

, si −1 < x < 1;

2(x−2)2(x−2)2+1

, si 1 ≤ x ≤ 2.


Figura C.3: Gráfica de g

La derivada g′ está dada por

g′ (x) =

4(x+2)(x2+4x+5)2

, si −2 ≤ x ≤ −1;

− 4x(1+x2)2

, si −1 < x < 1;

4(x−2)(x2−4x+5)2

, si 1 ≤ x ≤ 2.

Observe que g′(−2) = g′(0) = g′(2) = 0, g′(−1) = 1 y g′(1) = −1.

Figura C.4: Gráfica de g′

Mediante una composición adecuada, obtenemos una función f : [0, 1] → R, con lasmismas cualidades de g, específicamente si f(x) = g(4x− 2) obtenemos

f (x) =

32x2

16x2+1, si 0 ≤ x ≤ 1

4;

21+(4x−2)2 , si 1

4< x < 3

4;

32(x−1)216(x−1)2+1

, si 34≤ x ≤ 1.


Figura C.5: Gráfica de f

La derivada de f se anula en los extremos del intervalo [0, 1] y toma el valor 1 en el puntox = 1

4.

Si [a, b] es cualquier intervalo cerrado y acotado, definimos fa,b : [a, b]→ R como fa,b(x) =(b− a)2 f

(x−ab−a

), es decir

fa,b(x) =

(b− a)2 32(x−ab−a )

2

16(x−ab−a )

2+1, si a ≤ x ≤ a+ b−a

4;

(b− a)2 21+(4x−a

b−a−2)2, si a+ b−a

4< x < b− b−a

4;

(b− a)2 32( b−xa−b )

2

16( b−xa−b )

2+1, si b− b−a

4≤ x ≤ b.

Esta función se anula en los extremos a y b. Además, su derivada satisface f ′a,b(a) = f ′a,b(b) =

0 y f ′(3a+b4

) = 1. Esencialmente hemos llevado la función f definida en [0, 1] al intervalo[a, b]. El factor (b − a)2 tiene la finalidad de comprimirla suficientemente, para cuando lalongitud del intervalo [a, b] es pequeña. Esto lo necesitamos para que la función F que vamosa definir resulte diferenciable.

Lo expuesto anteriormente nos permite presentar un ejemplo de una función F cuyaderivada F ′ es acotada pero no integrable:

Ejemplo C.1. Sea F : [0, 1]→ R definida de la siguiente forma:

1. Si x ∈ U , sea Eik el único intervalo de esta familia de intervalos, al cual pertenece x.

Denotemos por (a, b) este intervalo. Definimos entonces

F (x) = fa,b(x)


2. Si x ∈ H, definimos F (x) = 0.

La función F es derivable en todo punto t ∈ [0, 1]. Más aún, F ′ es discontinua en el conjuntode Cantor H, el cual es de medida 1

2, por lo que F ′ no es Riemann integrable (Ponce &

Rivera, 2009). Las figuras C.6 y C.7 muestran las gráficas de algunas de las funciones fa,by sus derivadas f ′a,b, con lo cual podemos tener una idea del aspecto que va adquiriendo lagráfica de F durante su construcción, así como la de su derivada. 3

Figura C.6:

Figura C.7:

Apéndice D

Otra forma de calcular la integral∫ 1a+b cosxdx

Sean a, b ∈ R tales que a2 > b2. Consideremos el problema de calcular∫1

a+ b cosxdx. (D.1)

Una estrategia para calcular la integral (D.1) es calcular primero la integral∫ √a2 − b2

a+ b cosxdx. (D.2)

El integrando, en (D.2), lo podemos expresar de la siguiente forma:√a2 − b2

a+ b cosx=

a+ b cosx− (a+ b cosx) +√a2 − b2

a+ b cosx

= 1−b cosx+

(a−√a2 − b2

)a+ b cosx

.

Así que ∫ √a2 − b2

a+ b cosxdx =

∫ (1−

b cosx+(a−√a2 − b2

)a+ b cosx

)dx

=

∫dx−

∫b cosx+

(a−√a2 − b2

)a+ b cosx

dx. (D.3)

Ahora, para poder de calcular (D.2), necesitamos primero calcular la integral∫b cosx+

(a−√a2 − b2

)a+ b cosx

dx. (D.4)

113

114 D. Otra forma de calcular la integral∫

1a+b cosx

dx

Para calcular (D.4), consideremos el cambio de variable u = tan x2. Entonces, dado que

cosx = 1−u21+u2

, x = 2arctanu y dx = 21+u2

du, tenemos

∫b cosx+

(a−√a2 − b2

)a+ b cosx

dx =

∫ b(

1−u21+u2

)+(a−√a2 − b2

)a+ b

(1−u21+u2

) 2

1 + u2du

= 2

∫ (a−√a2 − b2 + b

)+(a−√a2 − b2 + b

)u2

((a+ b) + (a− b)u2) (1 + u2)du. (D.5)

Para facilitar los cálculos hagamos el siguiente renombre de variables

m = a−√a2 − b2 + b

n = a−√a2 − b2 − b

p = a+ b

q = a− b

Sustituyendo los valores anteriores en (D.5), obtenemos

2

∫ (a−√a2 − b2 + b

)+(a−√a2 − b2 + b

)u2

((a+ b) + (a− b)u2) (1 + u2)du = 2

∫m+ nu2

(p+ qu2) (1 + u2)du.

El integrando del lado derecho, en la identidad anterior, se puede descomponer en fraccionesparciales, es decir

m+ nu2

(p+ qu2) (1 + u2)=n+ m−n

1− pq

p+ qu2−

m−n(q−p)

1 + u2.

Usando la identidad anterior, obtenemos

2

∫m+ nu2

(p+ qu2) (1 + u2)du = 2

∫ (n+ m−n1− p

q

p+ qu2−

m−n(q−p)

1 + u2

)du

= 2

∫ n+ m−n1− p

q

p+ qu2du− 2

∫ m−n(q−p)

1 + u2du

= 2mq − np

√p√q (q − p)

arctan

(√q√pu

)− 2

m− nq − p

arctanu

Ahora, si regresamos todo en términos de a y b, obtenemos la identidad

2mq − np

√p√q (q − p)

arctan

(√q√pu

)− 2

m− nq − p

arctanu =

− 2

√a2 − b2√

(a− b) (a+ b)arctan

(√(a− b)√(a+ b)

u

)+ 2arctanu (D.6)

D. Otra forma de calcular la integral∫

1a+b cosx

dx 115

Sustituyendo el valor u = tan x2y considerando que a2 > b2, la expresión del lado derecho

de la igualdad (D.6) se reduce a:

2 arctan(tan

x

2

)− 2 arctan

(a− b√a2 − b2

tanx

2

)(D.7)

De lo anterior, se deduce que la integral en (D.4) es igual a la expresión en (D.7). Esdecir,∫

b cosx+(a−√a2 − b2

)a+ b cosx

dx = 2arctan(tan

x

2

)− 2 arctan

(a− b√a2 − b2

tanx

2

)(D.8)

De esta manera, usando la identidad (D.8), podemos calcular la integral en (D.2). Estoes

∫ √a2 − b2

a+ b cosxdx =

∫dx−

∫ b cosx+(a−√a2 − b2

)a+ b cosx

dx

= x− 2

(arctan

(tan

x

2

)− arctan

(a− b√a2 − b2

tanx

2

))Y por tanto, dado que a2 > b2, tenemos∫

1

a+ b cosxdx =

1√a2 − b2

[x− 2

(arctan

(tan

x

2

)− arctan

(a− b√a2 − b2

tanx

2

))](D.9)

Notemos que la expresión del lado derecho en la identidad (D.9) no está definida en x =

(2k+1)π para cada k entero. Sin embargo, podemos re-escribir esta expresión de tal maneraeste defina en todo R. Para ello, definamos la función F : R\{x : x = (2k + 1)π} → R dadapor

F (x) =1√

a2 − b2

[x− 2

(arctan

(tan

x

2

)− arctan

(a− b√a2 − b2

tanx

2

))]

Si usamos las identidades

arctanx− arctan y = arctan

(x− y1 + xy

)sen2 x+ cos2 x = 1

tanx

2=

senx

cosx+ 1

116 D. Otra forma de calcular la integral∫

1a+b cosx

dx

podemos obtener la siguiente igualdad

arctan(tan

x

2

)− arctan

(a− b√a2 − b2

tanx

2

)=

arctan

(2b senx

2b cosx+(√

a− b+√a+ b

)2)

(D.10)

válida para todo x 6= (2k + 1)π.

Usando (D.10) tenemos que

limx→(2k+1)π

F (x) = limx→(2k+1)π

arctan

(2b senx

2b cosx+(√

a− b+√a+ b

)2)

=(2k + 1)π√a2 − b2

Por lo tanto, el límite de F (x), cuando x tiende a (2k + 1)π, existe, para cada k entero.

De esta manera, podemos re-escribir la integral en (D.9) de la siguiente forma

∫1

a+ b cosxdx =

1√a2 − b2

[x− 2 arctan

(2b senx

2b cosx+(√

a− b+√a+ b

)2)]

. (D.11)

La expresión del lado derecho de esta identidad está definida para todo x ∈ R y ademásse verifica que su derivada es igual a

1

a+ b cosx.

Nota: Con la fórmula (D.11), para los valores a = 5, b = 3, se obtiene∫1

5 + 3 cosxdx =

x

4− 1

2arctan

(senx

cosx+ 3

)Aquí se debe hacer la aclaración de que la anterior solución, definida para todo x ∈ R,

se obtuvo al encontrar una identidad trigonométrica adecuada. Otros resultados generalesque se pueden obtener como el anterior, son:∫

1

a+ b sinxdx =

1√a2 − b2

[2 arctan

(a tan x

2 + b√a2 − b2

)+ 2arctan

(tan

x

2

)− x]

=1√

a2 − b2

[x+ 2arctan

(2b cosx

2b sinx+(√a− b+

√a+ b

)2)]

D. Otra forma de calcular la integral∫

1a+b cosx

dx 117

Si ba> −1∫

1

a+ b cos2 xdx =

1√a√a+ b

[x− arctan (tanx) + arctan

( √a√

a+ btanx

)]=

1√a√a+ b

[x− arctan

(b sin 2x

b cos 2x+(√a+ b+

√a)2)]

∫1

a+ b sen2 xdx =

1√a√a+ b

[x− arctan (tanx) + arctan

(√a+ b√a

tanx

)]=

1√a√a+ b

[x− arctan

(b sen 2x

b cos 2x−(√a+ b+

√a)2)]

.

El anterior procedimiento se hizo para obtener una solución definida en todo R y paraencontrar los resultados que da Derive al usar el método tradicional de integración. Sinembargo, si usamos otra estrategia los resultados varían, por ejemplo, si empezáramos usandola siguiente igualdad

1

a+ b cosx=

a+ b cosx− (a+ b cosx) + 1

a+ b cosx

= 1− (a− 1) + b cosx

a+ b cosx

con el cambio de variable u = tan x2y el método de fracciones parciales, con la condición

a2 > b2, obtendríamos:∫1

a+ b cosxdx = x− 2 arctan

(tan

x

2

)+

2√a2 − b2

arctan

(a− b√a2 − b2

tan(x2

))∫

1

a+ b senxdx =

2√a2 − b2

arctan

(a tan x

2+ b

√a2 − b2

)+ 2arctan

(tan

x

2

)− x.

Si ab> −1, tenemos∫

1

a+ b cos2 xdx = x− arctan (tan x) +

1√a√a+ b

arctan

( √a√

a+ btanx

)∫

1

a+ b sen2 xdx = x− arctan (tan x) +

1√a√a+ b

arctan

(√a+ b√a

tanx

).

Como se puede apreciar, las anteriores fórmulas generales no están definidas en todo R.Se invita al lector a cerciorarse de los anteriores resultados generales; ya sea, haciendo loscálculos manualmente o usando alguna herramienta provista con CAS.

Apéndice E

Productos: Publicaciones y congresos

Gran parte de la investigación del presente trabajo se ha publicado en memorias de congresosy en revistas (nacionales e internacionales) de investigación en matemática y de matemáticaeducativa.

Publicaciones en revistas

1. Ponce-Campuzano, J. C. & Rivera-Figueroa, A. (2011). Unexpected results usingcomputer algebraic systems for computing antiderivatives. Far East Journal of Math-ematics Education. Vol. 7. Number 1. pp. 57-80.

2. Ponce-Campuzano, J. C. & Rivera-Figueroa, A. (2011). A discussion on the sub-stitution method for trigonometric rational functions. Mathematics and ComputerEducation. Vol. 45 (1). pp. 44-51.

3. Ponce Campuzano, J. C. & Rivera Figueroa, A. (2011). Un análisis del uso de latecnología para el cálculo de primitivas. Números Didáctica de las matemáticas. Vol.77. pp. 85-98.

4. Ponce Campuzano, J. C. & Rivera Figueroa, A. (2009). Casos en los que no es aplicablela fórmula

∫ baf(x)dx = F (b)− F (a). Miscelánea Matemática, 48 pp. 59-74.

119

120 E. Productos: Publicaciones y congresos

Publicaciones en memorias de congreso

1. Ponce-Campuzano, J. C. & Rivera-Figueroa, A. (2011). Using Computer AlgebraicSystems to compute antiderivatives: Showing some mathematical facts that shouldnot be neglected. In the Eight Southern Right Delta Conference on the Teaching andLearning of Undergraduate Mathematics and Statistics. Rotorua, New Zealand. pp.206-215.

2. Ponce-Campuzano, J. C. & Rivera-Figueroa, A. (2009). Reflections on the methodfor computing primitives: u=tan(x/2). In D. Wessels (Ed.) Proceedings of the Sev-enth Southern Right Delta Conference on the Teaching and Learning of UndergraduateMathematics and Statistics. Gordon’s Bay, South Africa. pp. 206-215.

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• Mathematics from the 17th Century: http://www.17centurymaths.com/

• Books Online: http://onlinebooks.library.upenn.edu/

• The project Gutenberg: http://www.gutenberg.org/

El genio, recién liberado le dijo al pescador:– Pide tres deseos y te los daré.– Me gustaría - dijo el pescador - que me hicieseslo bastante inteligente como para hacer unaelección perfecta de los otros dos deseos.

– Hecho - dijo el genio - ¿cuáles son los otros dos?– Gracias. No tengo más deseos

el teorema fundamental del cálculo: un estudio sobre algunos conceptos, fórmulas y métodos...

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