EL TEOREMA DE PITÁGORAS

El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae en la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal y como se indica en algunas tablillas o papiros, peo no ha perturbado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén datada en el siglo XXVI. A.C. fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado de Egipto.

La relación por la que se conoce el Teorema de Pitágoras es que en un triángulo rectángulo cualquiera de su hipotenusa mide a y los dos catetos miden b y c, se verifica la relación:

a ( al cuadrado)= b ( al cuadrado) + c ( al cuadrado)

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas: 

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es

decir de 90º.

En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre

de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa

es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Demostración: 

Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del

enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que

tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide

el cateto c, es decir b+c, como en la figura de la derecha. 

El área de este cuadrado será (b+c)2.

Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos

rectángulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El

área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner

ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos

rectángulos azules (base por altura partido por 2): 

 

Más el área del cuadrado amarillo  . Es decir, el área del cuadrado grande también es

el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo:

Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos:

Si ahora desarrollamos el binomio, nos queda:

Que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando: