EL TEOREMA DE DE MOIVRE

Si Z1=X 1+iY 1=r 1 (cosθ+isen θ ) y Z2=X2+iY 2=r2 (cosθ2+isenθ2) .

Z1Z2=r1r2 {cos (θ1+θ2 )+isen (θ1+θ2)}Z1

Z2

=r1

r2{cos (θ1−θ2 )+isen (θ1−θ2 )}

.

Por lo tanto:

Z1 Z2 .. .Zn=r1r 2. . .r n {cos (θ1+θ2+. ..+θn)+isen (θ1+θ2+ .. .+θn )} y si

Z1=Z2=. . .=Z n=Z1 la expresión anterior queda

Zn= {r (cosθ+isenθ ) }n=rn (cosnθ+isennθ ) .

Se llama frecuentemente el teorema de De Moivre.

(2−3 i )5

r=√x2+ y2

r=√ (2 )2+(−3 )2

r=√4+9r=3. 6055

cosθ1=23 .6055

cosθ1=0.5547

θ1=cos−1 0 .5547

θ=56 .300

θ=3600−56 .300=303. 700

(2−3 i )= (3 .6055 )5 ( cos (5 ) (303. 70 ) )+isen (5 ) (303 .70 )¿609 . 2948 ( cos1518. 5+isen1518 .5 )¿609 . 2948 ( 0. 1993+i 0. 9799 )¿121 . 4324+597 . 04 i

RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS

Un número w es llamado una raíz n-ésima de un numero complejo Z si Wn=Z y

escribimos W=Z1/n. Del teorema de De Moivre, podemos demostrar que si n es un entero

positivo.

Z1 /n= {r ( cosθ+isen θ ) }1/n

Z1 /n=r 1/n{cos(θ+2kπn )+isen(θ+2kπ

n )}Ejemplo:

Encontrar cada una de las raíces indicados y localizarlas gráficamente.

(−1+i )1/3

r=√x2+ y2

r=√ (−1 )2+(1 )2

r=√2r=1, 4142

cosθ1=−11 .4142

cosθ1=−0. 7071θ1=cos−0 . 7071

θ1=134 . 9994=1350

k=0

Z1=1. 41421/3{cos(135+2 (0 )π3 )+isen(135+2 (0 )π

3 )}Z1=1 .1224 {cos 450+isen450}Z1=0 . 7936+0 . 7936 i

k=1

Z2=1 . 41421/3{cos(135+2 (1 )π3 )+isen(135+2 (1 )π

3 )}Z2=1 .1224 {cos1650+isen1650}Z2=−1 . 0841+0 .2904 i

k=2

Z3=1 .41421/3{cos(135+2 (2 )π3 )+isen(135+2 (2 )π

3 )}Z3=1 .1224 {cos2850+isen2850 }Z3=0.2904−1.0841 i

Ejercicio:

Encontrar cada una de las raíces indicadas y localizarlas gráficamente.

(−32 )1/5

(−2√3−2 i )1/4

r=√x2

r=√ (−32 )2

r=√1024r=32

cosθ1=−3232

cosθ1=−1

θ1=cos−1−1

θ1=1800

k=0

Z1=321/5{cos (180+2 (0 )π5 )+isen(180+2 (0 )π

5 )}Z1=2 {cos360+isen360 }Z1=1 .6180+1. 1755 i

k=1

Z2=321/5{cos (180+2 (1 )π5 )+isen(180+2 (1 )π

5 )}Z2=2 {cos1080+isen1080 }Z2=−0 . 6180+1 . 9021i

k=2

Z3=321/5{cos (180+2 (2 )π5 )+isen(180+2 (2 ) π

5 )}Z3=2 {cos 1800+isen1800 }Z3=−2

k=3

Z4=321/5{cos(180+2 (3 )π5 )+isen(180+2 (3 ) π

5 )}Z4=2 {cos2550+isen2550 }Z4=−0 . 5196−1 . 9318 i

k=4

Z5=321/5{cos (180+2 (4 )π5 )+isen(180+2 ( 4 ) π

5 )}Z5=2 {cos 3240+isen3240 }Z5=1 . 6180−1 .1755 i

(−2√3−2 i )1/4

(−3 .4641−2 )

r=√(−2√3 )2+(−2 )2

r=√12+4r=√16r=4

cosθ1=−24

cosθ1=−0. 5

θ1=cos−1−0. 5

θ1=1200

k=0

Z1=41/4 {cos(240+2 (0 )π4 )+isen(240+2 (0 )π

4 )}Z1=1 . 4142 {cos600+isen600}Z1=0 . 7071+1.2247 i

k=2

Z3=41 /4{cos(240+2 (2 )π4 )+isen(240+2 (2 )π

4 )}Z3=1 . 4142 {cos2400+isen2400 }Z3=−0. 7071−1 . 2247 i

k=1

Z2=41/ 4{cos(240+2 (1 )π4 )+isen(240+2 (1 )π

4 )}Z2=1 . 4142 {cos1500+isen1500}Z2=−1 . 2247+0 . 7071i

k=3

Z4=41/4 {cos(240+2 (3 )π4 )+isen(240+2 (3 )π

4 )}Z4=1. 4142 {cos3300+ isen3300 }Z4=1. 2247−0 .7071 i

FÓRMULA DE EULER

Al suponer que el desarrollo de la serie infinita e x=1+x+ x

2

2!+ x

3

3 !+. . .

del cálculo

elemental, se aplica cuando x=iθ , podemos llegar al resultado eiθ=cosθ+isenθ

e=2 .71828 . .. llamada la fórmula de Euler.

ECUACIONES POLINÓMICAS

A menudo en la práctica necesitamos resolver ecuaciones polinómicas de la fórmula

a0Zn+a1 Z

n−1+a2Zn−2+. . .+an−1Z+an=0 donde a0≠0 , a1 , .. .an son números complejos

dados y n es un entero positivo llamado el grado de la ecuación.

Ejemplo:

Resolver la ecuación de segundo grado azR+bz+c=0 , a≠0 .

z

az2+bz+ca

=0a

az2+bza

=−ca

z2+bza

+(b2a )2

=−ca

+(b2a )2

(z+b2a )2

=−ca

+b2

4 a2

(z+b2a )2

=−4 ac+b2

4 a2

(z+b2a )2

=b2−4ac

4 a2

z+b2a

=√b2−4ac4 a2

z+b2a

=√b2−4ac

√4 a2

z+b2a

=√b2−4ac2a

z=√b2−4 ac2a

−b2a

z=−b±√b2−4 ac2a

Ejercicio:

Resolver la ecuación z2+(2 i−3 ) z+5−i=0

z=−b±√b2−4ac2a

z=−(2 i−3 )±√ (2i−3 )2−4 (1 ) (5−i )2 (1 )

z=−(2 i−3 )±√4 i2−12i+9−20+4 i2

z=−2+3±√4 i2−8 i−112

z=3−2±√4 (−1 )−8 i−112

z=3−2±√−4−8i−112

z=(3−2i )±√−15−8 i2

=(3−2 i )±(−15−8i )1/2

2

z=3−2i±(−0 . 9975+4 .0006 i )2

x1=3−2 i−0 . 9975+4 .00062

x1=2. 0025+3 . 0062

=1.6013+1 .5050 i

x2=3−2 i+0 .9975−4 .00062

x2=3. 9995−6 . 006 i2

x2=1. 9988−3. 0003 i

r=√x2+ y2

r=√ (−15 )2+(−8 )2

r=√225+64r=√289=17

cosθ1=−1517

cosθ1=151−9275θ1=360−151. 9275θ1=208 . 07

k=0

Z1=171/2{cos(208+2 (0 )π2 )+isen(208+2 (0 )π

2 )}Z1=4 .1231 {cos 1040+isen1040 }Z1=−0 .9975+4 .0006 ik=1

Z2=171/2{cos(208+2 (1 )π2 )+isen(208+2 (1 )π

2 )}Z2=4 .1231 {cos 2840+isen2840 }