el prodigioso jardin de las as

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Por Free-edit fecha 17:11 , 28/02/2004

PRIMERA EDICIN: SEPTIEMBRE DE 1943 SEGUNDA EDICIN: SEPTIEMBRE DE 1944 TERCERA EDICIN: F E B R E R O D E 1953 CUARTA EDICIN: AGOSTO D E 1964

DEPSITO LEGAL, B. 22089 - 1964 NM. DE REGISTRO:10,415-42

COPYRIGHT BY EDITORIAL IBERIA, S. A. DERECHOS LITERARIOS Y ARTSTICOS RESERVADOS PARA TODOS LOS PASES Casa P. de Caridad p Imprenta-Escuela - Montalegre, 5 - Barcelona

Prlogo

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PROLOGOTambin yo padec, durante mucho tiempo, del mal que aqueja a la mayora en cuestin de matemticas. Mi comprensin era muy escasa, y la mente no lograba asimilar ni siquiera los principios o leyes fundamentales de esa ciencia, tan difana a despecho de las asperezas que la revisten. Llegu incluso a sentirme avergonzado a causa de mi innata torpeza para la concepcin de ideas trascendentales, y hasta sufr el amargo sentimiento de inferioridad. Pero vino un da en que, gracias a la sobresaliente habilidad expositiva de un apreciado amigo mo, maestro en la ms hermosa de las ciencias, alcanc la necesaria comprensin y la satisfaccin consiguiente. Mi angustia y depresin se trocaron en frvido entusiasmo, y fue entonces cuando descubr con sorpresa todo el esplendor que irradia de esta magna obra de la inteligencia, de las tan deplorablemente aborrecidas matemticas. Pues bien, el objetivo primordial de este libro no es otro que el de lograr influir en modo semejante sobre el lector; y esto sin que pretenda, en modo alguno, llegar a ser un mtodo de clculo, ni mucho menos lo que se llama un tratado en el sentido usual de la palabra. No. Su aspiracin se reduce a exponer ante el lector las temidas matemticas bajo su aspecto ms atractivo, a familiarizarle del modo ms ameno posible con la esplndida belleza de alguna de sus ms importantes especulaciones. O, dicho en otras palabras: no pretendemos estudiar ni forzar la mquina. Nuestra empresa se reducir a guiar al lector en un paseo por el maravilloso jardn encantado, que el arte de ordenar y coordinar lgicamente pensamientos con pensamientos e ideas con ideas ha ido creando al comps de la multimilenaria evolucin de la humanidad.

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El prodigioso jardin de las matemticas

Estimamos necesario hacer constar de antemano que, con sujecin a este plan, no nos ser posible explicar hasta agotarlos - y menos demostrarlos con entero rigor- todos los conceptos que el itinerario nos vaya presentando. Ser, por lo tanto, imprescindible que el lector amable contribuya a nuestro propsito con un poco de confianza y de fe, animado de la esperanza de que ms tarde, por la consulta de un buen tratado de matemticas, le ser dable abarcar mejor, y completar, los conocimientos que aqu adquiera. Sentado esto, y saliendo al encuentro de una de las posibles objeciones que se concreta en el tpico de que la Matemtica es espantosamente seca y rida, es preciso decir que semejante reparo pueden ponerlo solamente los que ignoran por completo la ms excelsa de las ciencias, ya que, como se ver, su expresin ha de llevarnos de sorpresa en sorpresa. Estemos, pues, seguros de que no habr de rendirnos el hasto y a ello contribuirn, a un tiempo, la especie de mntico dramatismo en que se movern nuestros pasos, y el hecho de que cada operacin, cada problema, cada clculo, sin exclusin de la tabla de multiplicar (pese a su aparente sencillez), aparecer desarrollndose en la proximidad de un mundo extrao y misterioso, un mundo quimrico cuya contextura no puede idear nuestro cerebro, ni puede hallar figura ante nuestros ojos, pero cuya existencia puede ser -y acaso debe ser precisamente- tan real como cualquiera de las relaciones matemticas o cualquiera de las figuras geomtricas que nos son familiares. Siempre que la ocasin sea propicia haremos sentir hasta qu punto nos hallamos envueltos por un mundo omnipotente, insospechadamente prximo y desconcertante, cuya existencia se ve confirmada por cada concepto matemtico. Pero, aunque este mundo es hijo de nuestro propio intelecto, resulta tan irrepresentable para nosotros como lo es para las truchas, por ejemplo, el deslumbrante esplendor del valle por donde corre bullicioso el torrente que constituye su mundo de peces. Este ser, por consiguiente, el sentido en que vamos a conocer las matemticas, puesto que a nuestro modo de ver slo as podremos conjurar los pretendidos espectros, y slo de esta manera ser posible tender un puente de inteligencia hacia este magnfico dominio del pensamiento humano, cuyo usufructo haba ido convirtindose hasta aqu en especial privilegio de algunos elegidos, a causa de supuestas insuperables dificultades de concepcin por parte de los dems. Al lector le toca juzgar en definitiva si se ha cumplido la tarea que nos hemos impuesto. Esto es, l dir si nos ha acompaado la fortuna en esta empresa de vencer la repugnancia a las matemticas valindonos de las be-

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llezas que encierran. Y que los matemticos expertos no se nos quejen por esta especie de profanacin de su ciencia y reconozcan, al contrario, la buena intencin que nos gua. Para terminar, conste que, a nuestro parecer, no hay nada tan bochornoso como el hecho de que, a pesar del incesante avance triunfal de la ciencia y de la tcnica alemanas, sean todava numerosos los compatriotas que sienten horror ante el ms esplndido monumento del pensamiento, erigido por el espritu humano en el transcurso de milenios de incesante esfuerzo, y que por el slo motivo del temor que les inspira se vean privados de utilizar un auxiliar tan poderoso en el estudio de la Naturaleza. Y basta ya, porque es hora de que emprendamos nuestro anunciado paseo.

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PRLOGO DE KURT WULLSCHLAEGER EN LA OCTAVA EDICION ALEMANA

Sucedi en la repleta sala de espera, en la estacin de una gran ciudad. Tres jvenes ferroviarios estaban sentados segn todas las apariencias, despus de terminado el trabajo-, ante un vaso de cerveza, mientras esperaban el tren que deba llevarlos a casa. Un cuadro vulgar, tal como puede verse en cualquier ciudad. Y, sin embargo, cunto de especial haba en l!Era la conversacin que sostenan esos tres hombres. Cmo es posible obtener un resultado positivo -en esta conversacin se trataba del clculo logartmico-, cuando hay que restar una cifra negativa? Lo notable de este simple incidente es que un problema matemtico sea reconocido realmente como tal y no sea, sin ms, aceptado. Este hecho podria demostrar cun independiente es la receptividad para las elucubraciones matemticas de las premisas educativas. La opinin, ampliamente extendida, de que las matemticas son demasiado elevadas para la mayora de las personas, no aparece muy comprensible en este respecto. Para encontrar placer en los problemas matemticos no son precisas lecciones muy severas a modo de preparacin. Tampoco los relatos de viajes son ledos y comprendidos nicamente por los gegrafos. Por desgracia, a la mayor parte de los talentos latentes se les acaba muy de prisa el material. Facilitarles nuevos estmulos fue uno de los motivos que incitaron a Alexander Niklitschek a escribir su Prodigioso Jardn de las Matemticas. Aparte de ello, se propona comunicar a sus lectores parte de aquel entusiasmo que le invadi cuando, segn sus propias palabras, pudo reconocer, con asombro, el radiante esplendor del maravilloso edificio de ideas de las matemticas. Desgraciadamente, Niklitschek no ha podido ver la presente 8.a edicin de su obra. Como nuevo revisor de la misma, he debido modificar, alguna que otra vez, el sitio desde el cual Alexander Niklitschek contemplaba su Jardn Maravilloso, y es por ello que, en el marco -de la nueva

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ordenacin del texto, he credo necesario atribuir otra importancia a algunos problemas. Sin embargo, no se ha modificado la hbil ordenacin de conjunto. Me he esforzado por destacar, an ms acentuadamente, en primer plano, el bello concepto de la funcin tangencial, pasando por la tangente, hasta el clculo diferencial. El tema regla de clculo ha sido tratado algo ms ampliamente, para que el lector no deba remitirse, necesariamente, a otros manuales. Las breves iniciaciones facilitadas al comprar una regla -de clculo bastarn para entender perfectamente sus fundamentos, despus de la lectura de la presente obra. A este respecto quisiera agradecer especialmente a la firma Dennert & Pape, de Hamburgo-Altona, por habernos cedido el impresionante material de grabados que se incluye en el captulo Regla de Clculo. Bueno!Y, ahora, vayamos de paseo... con Alexander Niklitschek !

Brunswick, septiembre de 1956. KTRT WULLSCHLAEGER

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En blanco en el libro original

El secreto de termmetro

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EL SECRETO DEL TERMOMETRO

Nada hay que merezca ser tan justamente meditado y aquilatado como la eleccin, del apropiado sendero o de la puerta a travs de la cual conviene mejor penetrar en el recinto rutilante de la ms noble y la ms temida de las ciencias. Y opino que podramos partir confiadamente de algo conocido y evidente, esto es, de aquellos conocimientos matemticos que, por ser adquiridos en los primeros das de la escuela, no abandonan ya al hombre en todo el resto de su vida. Naturalmente, no queremos ni debemos permitir que los nmeros se precipiten ante nosotros sin orden ni concierto. Establecer un orden es cosa bien sencilla. Como ejemplo del mismo podramos tomar, desde luego, un metro con su escala, en la cual, muy bien ordenaditos conforme a su valor, se suceden los nmeros en cantidad limitada..., por supuesto. Pero vamos a ser todava ms precisos, y en lugar de la regla preferimos elegir un termmetro. Por qu? Muy pronto lo veremos. La escala del termmetro se distingue de la del metro -con la cual est, por lo dems, ntimamente emparentada - por la significacin que el conocido grado cero tiene en el primero de ellos. El metro posee tambin, ciertamente, un cero inicial, por el cual se comienza a medir siempre. Pero desde este extremo cero del metro no puede avanzarse ms que en un sentido nico, es decir, en el sentido que nos hace pasar a 10, 20, 30, etc., hasta 100 150 cm. segn la longitud de la regla. No ocurre as en el termmetro, cuyo cero corresponde a un punto que no es extremo de la escala. A partir de este punto cero, hacia arriba, se cuentan grados positivos (+), y, en cambio, des-

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de este mismo punto cero, hacia abajo, se cuentan grados negativos (-). Cuando la columna de mercurio desciende por debajo del cero, decimos que hace fro, y si, por el contrario, sube por encima del cero, decimos que hace calor. Aun sabiendo que estas expresiones no son estrictamente correctas desde el punto de vista de la Fsica, hemos preferido valernos de ellas, por tratarse de locuciones completamente usuales y comprensibles para todos. Y es precisamente en este desdoblamiento, o sea en la ordenacin de los nmeros en dos sentidos opuestos, donde reside el inters; pues en matemticas, como es generalmente sabido, existen nmeros positivos y nmeros negativos, los cuales se comportan entre s precisamente como los que llamamos grados de calor y grados de fro del termmetro. Sentado esto, precisaremos algo ms la cuestin. La primera distincin fundamental que nos separa de las convenciones del lenguaje ordinario cotidiano, y que debemos conservar grabada en la memoria, es la de que los signos + y -, que por convencin expresan en el clculo los imperativos de las operaciones de sumar y restar, respectivamente (equivaliendo a adase o a substrigase), aparecen ahora como vinculados al nmero en s. Es decir, ms precisamente, que matemticamente existe un - 9 (lase menos nueve), que se distingue del + 9 (lase ms nueve), tan fundamentalmente como los 9 grados bajo cero del termmetro se distinguen de los 9 grados sobre cero. Y es el momento de hacer notar la costumbre hondamente arraigada, no slo en el lenguaje corriente, sino tambin en el matemtico, de que al escribir 9 sin ningn signo se entiende sencillamente +9; de la misma manera al decir 12 grados, entendemos precisamente +12 grados, o sea 12 grados sobre cero. Pero no dejemos todava nuestra escala termomtrica y fijmonos un poco en las leyes que rigen el clculo de los nmeros positivos y negativos en esa doble sucesin de nmeros, para la cual se ha ideado expresamente el nombre arbitrario de alineacin numrica. Imaginemos que el termmetro seala 10 grados de calor. Si sobreviene un aumento de temperatura de 9 grados, el mercurio sealar 19 grados de calor. Ahora bien, si suponemos que cuando el termmetro marca los 10 grados


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sobre cero la temperatura experimenta un descenso de 18 grados, el mercurio bajar lgicamente hasta los 8 grados de fro (bajo cero). Y exactamente igual que con los grados de calor ocurre con la substraccin y la adicin de los nmeros positivos y negativos 10 - 23 = -13, mientras que 20+40= -20, etctera. Convengamos en considerar, a todos los efectos, como positivo, el dinero que poseemos o que nos pertenece, y como negativo, el correspondiente a pagos que hemos de efectuar o que adeudamos, y obtendremos as una idea tangible (y comprensible para todos) del balance resultante de operar con nmeros positivos y negativos. Si

tengo 100 pesetas y gasto 99, no me quedar finalmente en el bolsillo ms que 1 peseta, mientras que si uno sale de casa con 10 pesetas y gasta por valor de 25 ha tenido irremisiblemente que quedar a deber 15 pesetas en alguna parte. Son verdades sin vuelta de hoja, casi perogrulladas, no es cierto? Pero, calma! Conviene ya desde ahora poner un poco de atencin, preparndonos para contemplar, en visin, mezcla de grandiosidad y de pavor, las ms profundas simas de la representacin matemtica. Antes de ocuparnos de nuevos problemas es preciso introducir una forma de escritura que resulte adecuada. A este fin colocaremos los nmeros, con sus signos ms o menos, entre parntesis, para poder distinguir los signos de los nmeros de los correspondientes a la adicin y substraccin. As, por ejemplo, para el nmero positivo 9 escribiremos (+9), y para el nmero negativo -7, de manera correspondiente, (-7) . Por as decirlo - para servirnos de una imagen comprensible-, hemos guardado en cajas los nmeros con sus correspondientes signos. Si queremos, por tanto, resolver el problema (- 13) + (+ 23) ser preciso, naturalmente, liberar de nuevo los nmeros. Expresado matemticamente, esto significa que debemos quitar los parntesis. La manera de hacerlo se comprende, si expresamos este problema con palabras y lo resolvemos como hasta ahora: el nmero positivo + 23 debe ser sumado al nmero negativo - 13. El resultado es + 10. As, pues, (-13) + (+23) = - 13 + 23 = + 10

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+ (+) = + Tomemos nota: del signo matemtico ms delante del parntesis y del signo ms en el interior del parntesis resulta el signo matemtico ms. Si del nmero positivo + 36 substraemos el nmero positivo + 16 obtendremos entonces + 20. (+36) - (+16) = +36 16 = +20 - (+) = - El signo menos delante del parntesis y el signo ms en el interior del parntesis dan como resultado el signo matemtico menos. Para el lector impaciente hemos de anticipar aqu que no hemos introducido los parntesis con el simple objeto de expresar de manera complicada una cosa sencilla. La solucin del problema sumar al nmero positivo + 36 el nmero negativo - 16, por ejemplo, no resulta ya tan lgica. Planteemos, sin embargo, este problema de la manera ms comprensible posible: alguien tiene 36 pesetas en el bolsillo, y adems tiene deudas por un total de 16 pesetas. Nuestro amigo tiene, por consiguiente, slo 20 pesetas (+ 36) + (- 16) = + 36 - 16 = + 20 + (-) = -1 El signo matemtico ms delante del parntesis y el signo menos en el interior del parntesis dan como resultado el signo matemtico menos. Ejemplos

(+ 17 ) + (+ 16) = + 17 + 16 = +33 ( 12) (+ 35) = 12 + 35 = 47 ( 25) + ( 25) = 25 25 = 50

El ltimo ejemplo hace inmediata la pregunta: Qu representa (- 25) (- 25)? A primera vista esto parece muy difcil; pero si nos representamos los parntesis como cajas, todo aparece de nuevo muy sencillo. Tenemos dos cajas con el mismo contenido. Si restamos el contenido de una caja del contenido de la otra caja no nos quedar nada. As, pues, (-25)-(-25)=0


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De la misma manera, - 25 + 25 = 0. En consecuencia, podemos resolver, por ejemplo, tambin este problema, restando del nmero negativo - 36 el nmero negativo - 23. (- 36) - (- 23) = - 36 + 23 = -13 Una imagen ms fcil de comprender: alguien tiene 36 pesetas de deudas. Si se le perdonan 23 pesetas de deudas no tendr ya ms que 13 pesetas de deudas. -(-) = + El signo matemtico menos delante del parntesis y el signo menos en el interior del parntesis dan el signo matemtico ms. Esto seguir siendo vlido, tambin, al restar nmeros negativos de positivos, por ejemplo (+25) - ( -15) = +25 +15 = 40 Sin embargo, esto no se deduce necesariamente de nuestras anteriores consideraciones, aun cuando el lector acepte esta solucin casi como algo natural. Pero, tan natural no es la cosa!Por ejemplo, en, este caso falla el planteo del problema con ayuda de las deudas. Si alguien tiene 25 pesetas en el bolsillo y le son perdonadas 15 pesetas de deudas, seguir teniendo, como antes, solamente 25 pesetas. Y, de la misma manera, falla tambin el termmetro. Si de 25 de calor restamos I5 de fro, no se ve por ninguna parte cmo la temperatura puede subir en 15. El lector no debe dejarse confundir. Una imagen no corresponde nunca exactamente a la realidad, y, por este motivo, no hay que pretender nunca encontrar, en una imagen ms de lo que sta puede mostrar. Y ahora viene una pequea sorpresa; estas reglas de clculo, expuestas de manera tan lgica, no pueden demostrarse, en modo alguno, matemticamente. Para poder entender esto, en cierto modo, nos ocuparemos algo ms a fondo del concepto general de nmero. En su sentido original, los nmeros designan cantidades.

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Objetos iguales (por ejemplo: libros, pginas, sillas, gallinas, etctera), se cuentan con el fin de determinar su nmero. ste es el empleo natural de los nmeros. As, contamos I, 2, 3, 4, 5, 6, ... Con estos nmeros naturales es posible resolver cualquier problema de suma, por ejemplo 3+4=7 47+32=79 2+1=3.

El resultado es siempre otro nmero natural (7; 79; 3). En la substraccin podemos comprobar, para sorpresa nuestra, que no podemos restar cantidades cualesquiera. Hay problemas que no pueden resolverse simplemente con nuestros nmeros naturales. Qu significa, por ejemplo, 3 - 3, 1 - 2, 13 - 24? Naturalmente, sabemos cul es el resultado, pero si le preguntamos a un alumno de las primeras clases, nos contemplar sin entender, y dir: Esto no es posible! Y tiene razn!Es preciso introducir el nmero cero y los nmeros negativos, si queremos representar los correspondientes resultados: 3-3=0 1- 2 = -1 13 - 24 = -11

Estas invenciones pueden definirse matemticamente, pero no demostrarse, y, sin embargo, la introduccin de estos nmeros no es, en modo alguno, arbitraria; es preciso poder contar con ellos de una manera lgica. Estos nuevos nmeros no se presentan solos, sino tambin juntamente con los nmeros naturales, y en el clculo no deben presentarse contradicciones. Por tanto, es preciso incluirlos en las reglas de clculo de los nmeros naturales. Si se cumplen estas premisas, puede hablarse entonces de una ampliacin del concepto de nmero. Esto significa: los nuevos nmeros (0, - 1, -2, -3, ...) han sido aceptados, en igualdad de derechos, en la familia de los nmeros. Dentro de esta familia distinguiremos ahora, por tanto, los nmeros positivos, el nmero cero, y los nmeros negativos. Todos ellos, en conjunto, reciben el nombre de nmeros relativos. Todava tendremos ocasin de conocer otras ampliaciones del concepto de nmero. Es siempre el mismo principio el que nos encontramos en la introduccin de nuevos nmeros las leyes de clculo de los nmeros ya co-


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nocidos deben ser vlidas, tambin, conjuntamente, con los nuevos nmeros. Este principio recibe el nombre de Principio de permanencia1. Mencionaremos slo brevemente una segunda ampliacin. La introduccin de los nmeros quebrados o fracciones, como se designan en general. $u introduccin se deriva del hecho de que, en la divisin, se plantean muchos problemas que no salen. As, por ejemplo, el problema 2: 3 no tiene, en un principio, ningn sentido, pues no hay ningn nmero oue rueda indicarse como solucin. En el planteamiento

2:3 =

2 3

se introduce la fraccin 2/3 como nuevo nmero. Esto parece tan comprensible, que no es precisa ya ninguna distincin entre el signo : y la raya de quebrado. El conjunto de todos los nmeros enteros y quebrados positivos y negativos recibe el nombre de nmeros racionales. Un pequeo descanso nos vendr ahora muy bien. Nuestro paseo por el prodigioso jardn de las matemticas, iniciado de una manera tan inocente, nos ha demostrado, despus de los primeros pasos, que no es preciso buscar mucho para descubrir las bellezas del jardn. Cada flor que se encuentra junto al camino puede llenarnos de alegra. Y ya no es tan importante examinar exactamente todos los detalles. Sucede como en un rosal: nos encanta el esplendor de las flores, sin que se nos ocurra preguntarnos cmo sern sus races. Esto lo dejamos para el jardinero. Tambin los rtulos, cuidadosamente pintados por el jardinero, con los nombres casi. siempre latinos, nos interesan slo de pasada. Por otra parte, no tardamos en olvidarnos de ellos. Pero , sigamos ahora adelante ! Ser necesario, ante todo, enterarnos bien del mecanismo de la multiplicacin y divisin de los nmeros positivos y negativos. Las cosas ya no se presentan ahora con aquella sencillez tan absoluta. Claro est, y aqu huelga toda demostracin, que, por ejemplo: 25:5 = 5, en palabras (y sin lugar a duda!), ms veinticinco partido entre ms cinco es igual a ms cinco.Nombre designado por Hermann Hankel (1539-1373), matemtico de Erlangen; permanere (lat.): permanecer.1

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Pero el problema, aparentemente inofensivo, de saber cuntos son 10 x (-4) resulta un hueso duro de roer para los no matemticos. No obstante, he aqu que el ejemplo de las deudas e ingresos a que aludimos antes va a sacarnos de apuros. Consideremos sencillamente los nmeros negativos como deudas o gastos. As, si yo en diez ocasiones he quedado a deber a razn de 4 pesetas cada vez, adeudo simplemente 40 pesetas en total. Mediante el estudio de nuestra escala termomtrica llegamos al mismo resultado. Todo aumento de temperatura ha de considerarse evidentemente como positivo, y todo descenso de la misma como negativo. De suerte que si en el termmetro tienen efecto lo descensos sucesivos bajando 4 grados cada vez, es evidente que tendremos un enfriamiento total de 40 grados. Con eso hemos hallado la ley aplicable a nuestro caso, y que dice: Todo nmero positivo multiplicado por otro negativo da un producto negativo. Y puesto que la divisin representa el concepto inverso de la multiplicacin, la misma ley debe imperar tambin en ella, es decir que: Todo nmero negativo dividido por otro positivo -y viceversa- dar un cociente2 negativo. Si adeudo un total de 100 pesetas y descompongo el dbito en 20 partidas aisladas, tendr entonces justamente 20 veces 5 pesetas de deuda; pero jams conseguir con esta operacin dinero contante, positivo! Y es una verdad que comprender perfectamente el lector sin ms explicaciones. Mas ahora llega su turno a un problema ms serio, cuya solucin no se nos presentar tan clara y abierta. He aqu la pregunta: Cul es el producto que resulta de multiplicar dos nmeros negativos,? Sabemos que 2 x 2 = 4, que 2 x (-2), como acabamos de ver, es igual a -4; pero qu obtenemos si multiplicamos (- 2) x (- 2)? La dificultad capital que encierra esta cuestin reside, por decirlo as, en traducir al lenguaje vulgar la operacin matemtica planteada. Pero esto no tiene por qu sorprendernos, pues tambin en la substraccin de nmeros negativos nos hemos encontrado con la misma dificultad. En realidad, existe aqu una relacin. As, por ejemplo, (+ 3) (+ 4) = (+ 4) + (+ 4) + (+ 4) = 12 (3).

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As se designa el resultado de la divisin.Para el signo de multiplicacin utilizamos el punto. Anteriormente era usual tambin la x


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Por consiguiente, la multiplicacin puede ser concebida como una adicin con nmeros siempre iguales. Tres veces ms cuatro significa, por consiguiente: sumar tres veces el nmero + 4. En consecuencia, tambin (+3) (-4) = (-4) + (-4) + (- 4) = -12 Vemos, por tanto, que las reglas de clculo conocidas de la adicin y la substraccin de los nmeros relativos son vlidas. tambin, enteramente, para la multiplicacin

En consecuencia, convenimos nosotros que tambin debe ser

Y tambin (- 3) (+ 4) = -12 (- 3) (- 4) = + 12 Y comprobamos, en especial, la sorprendente realidad Dos nmeros negativos, multiplicados entre s, dan un producto positivo ! Para aquellos que estimen increbles todas estas historias voy a reproducir aqu un sencillo ejemplo que nos proporciona el estudio de las lenguas. Muchsimos idiomas - no todos, por supuesto! - se atienen estrictamente, por as decirlo, a las leyes matemticas. La lengua latina, estructurada le modo rigurosamente lgico, concepta dos negaciones sucesivas como una afirmacin, y, por cierto, como afirmacin reforzada: dos expresiones negativas equivalen, pues, a una positiva reforzada. Basta con mencionar la irnica inscripcin lapidaria Sit tibi terra levis mollisque tegaris harena, Ne tua non p.ossint eruere ossa canes ! Que traducido literalmente dice: Que la tierra te sea leve, y blanda la capa de arena que te cubre, que no puedan os perros no desenterrar tus huesos. Traducido a su verdadero sentido, el segundo verso dice as: que los

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perros den con tus huesos, de donde el piadoso deseo funeral llega a adquirir un amargo sabor de sarcasmo. Pues los romanos - expertos lingistas que saban, con rigurosa lgica, sacar partido a sus modismos-, consecuentes con su principio: Duplex negatio est afirmatio, convertan en afirmacin reforzada la doble negacin que en nuestro verso reside en las palabras ne (no) y non (no). Tambin nosotros significamos con no est mal algo que est mejor que bien; decir no poca velocidad equivale a un ritmo rpido, y explicar que fulano no es un descamisado da a entender que es todo lo contrario de un andrajoso. Vemos, pues, que es vlido en filologa el enunciado de que dos negaciones, o dos expresiones negativas, juntas, componen una afirmacin; y he aqu un notable paralelismo entre la ciencia del lenguaje y la ciencia de los nmeros ! Pero volvamos a nuestras matemticas!Porque a lo dicho tenemos todava algo que aadir. Ante todo, valga afirmar de nuevo que tambin en la divisin de dos nmeros negativos ocurre exactamente igual que en la multiplicacin el cociente resulta siempre positivo. Por qu? La cosa se nos aparece aqu con singular sencillez. Se deduce del hecho de que un nmero negativo multiplicado por otro positivo ha de dar forzosamente un producto negativo. Por consiguiente, (- 35): (- 5) = + 7 En efecto, es (- 5) (+ 7) = - 35. La multiplicacin del resultado de la divisin con el nmero, por el que ha sido dividido (divisor), es siempre una prueba muy til. Bueno, y ahora, para repetir una vez ms todo esto, y resumir todo lo dicho, escribiremos, de forma ampliada matemticamente, nuestra ya conocida tabla de multiplicar


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Y ahora vamos a evocar en nuestra memoria las correspondientes relaciones relativas al ms y menos para la divisin

Hasta aqu, el clculo con nmeros relativos. Los parntesis, que nos han sido tan tiles para la derivacin de las reglas de clculo, han cumplido ya con su deber!De ahora en adelante nos serviremos de ellos solamente cuando est clara la relacin entre ellos.

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En blanco en el libro original

De un nmero que vive solamente en la imaginacin

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DE UN NUMERO QUE VIVE SOLAMENTE EN LA IMAGINACION

Durante los primeros aos de colegio a todos les habr llamado la atencin aquellos peculiares clculos en los que un mismo nmero se multiplica por s mismo, como, por ejemplo, 3 3 = 9, 6 6 = 36, etc. Realmente, se trata de unas multiplicaciones maravillosas! Estos curiosos productos reciben el nombre de potencias. As, se dice 33=9 3 3 3 = 27 3333=8 3 3 3 3 3 = 243 es la segunda potencia de 3 (4) es la tercera potencia de 3 es la cuarta potencia de 3 es la quinta potencia de 3

y el juego se contina alegremente. Naturalmente, si uno encuentra la cosa divertida, o es necesario para algn clculo en particular, es posible, tambin, calcular la 38 potencia de algn nmero. Para resumir, con estos clculos es posible llegar, alegre y despreocupadamente, hasta lo desmesurado y lo ilimitado, a voluntad Esto parecer algo espantoso al lector!Para la expresin segunda potencia se utilizaba, a menudo, tambin el nombre de cuadrado.4

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La 38 potencia de 7? Cmo se escribe esto? Esta es una cosa muy complicada. Paciencia, querido lector, la cosa no es tan terrible como parece. La 38 potencia de 7 se escribe, simplemente, 738 (lase: 7 elevado a 38). El pequeo nmero en lo alto, el exponente, nos indica, por consiguiente, cuntas veces hay que multiplicar por s mismo el nmero base 7 para obtener la potencia. En consecuencia, por ejemplo, y as sucesivamente. Tampoco ser objeto de seria preocupacin la cuestin de los signos ms y menos en estas operaciones, pues toda multiplicacin de un nmero por s mismo, es decir, toda potenciacin, puede ser considerada como una multiplicacin normal repetida. Ocurre aqu, no obstante, algo ligeramente desconcertante. Estemos, pues, atentos para ver lo que sucede al ir multiplicando sucesivamente por s mismo un nmero tal como, por ejemplo, el - 2 23 = 2 2 2 = 8 54= 5 - 5 - 5 - 5 = 625,

Con sorpresa observamos en estos resultados que las potencias formadas por un nmero par de factores son siempre positivas, mientras que las de nmero impar de factores salen en cambio negativas. De suerte que - 2 multiplicado tres veces por s mismo da - 8, pero multiplicado cuatro veces por s mismo da + 16! La explicacin resulta obvia despus de pensar un poco. Realcense las multiplicaciones de la serie, y al ir hacindolo se reconocer la causa de que las cosas hayan de ser as: comencemos por multiplicar un dos negativo por otro tambin negativo, que da por resultado, como es lgico, un producto positivo; pero si este producto positivo se multiplica luego a su vez por un dos negativo, es natural que se obtenga por producto un nuevo nmero negativo, y as sucesivamente. Hasta aqu todo resulta muy comprensible, y no demasiado difcil. Sin embargo, no resulta ya tan fcil de contestar la pregunta de cul es la base que corresponde a un valor dado de la potencia.


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Para estos clculos se ha introducido el signo matemtico de la raz. Si, por ejemplo, se trata de encontrar la base que, multiplicada cuatro veces por s misma, da 625, la manera correcta de expresar este problema es: Cul es la raz cuarta de 625? La manera abreviada de expresarlo es4

625 = ?; donde

es el signo de " raz de"

El lector se dir: esto es muy sencillo, pues el nmero que multiplicado cuatro veces por s mismo da 625, es precisamente 5, 54 = 5 5 5 5 = 625 Esto es lo que hemos calculado anteriormente. De la misma manera, tenemos tambin (5)2 3

9 = 3, pues 3 2 = 9; 27 = 3, pues 33 = 27;

4 5

81 = 3, pues 3 4 = 81; 243 = 3, pues 35 = 243

Todo esto es muy bonito, pero con ello no hemos ganado todava mucho. Por el momento, lo nico que sabemos es que pueden calcularse las races de algunos nmeros bien determinados. De extraer races entendemos tan poco, como de multiplicar el alumno, que acaba, justamente, de aprenderse la tabla. Qu significa, por ejemplo, la raz cuadrada de 2? En buen lo nos hemos metido! Naturalmente, esto lo hemos aprendido ya en la escuela, pero, quin se acuerda todava de ello? Este clculo logaritmo de la raz es su nombre- es sumamente complicado, como puede deducirse del siguiente ejemplo

5

Raz segunda de se denomina, tambin, raz cuadrada. El 2 se omite. No se es2

cribe, pues,

9 , sino simplemente 9

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Pero, basta de este cruel juego!Esto es muy poco satisfactorio. Por ello no vamos a meternos ahora en detalles. Y si al lector le parece esto muy complicado, que no se preocupe, ya aprenderemos otros mtodos ms sencillos, no tan exactos, es cierto, pero del todo suficientes para los clculos en la prctica. Y sta es tambin la razn de que el logaritmo de la raz no tenga ya una mayor importancia. En el maravilloso jardn de las matemticas se encuentra, por decirlo as, bajo proteccin. Otra conclusin, an ms excitante: como se deduce de la potenciacin de bases positivas y negativas, a la pregunta de cul es el nmero que multiplicado por s mismo da 36, no existe una, sino dos respuestas, y ello porque existen dos nmeros capaces de hacerlo, a saber, + 6 y - 6. Por lo tanto, 36 = + 6, y tambin - 6, de la misma manera que, 25 = + 5 y -5, y 1 = + 1 y - 1, etc. Un mismo problema tiene, por tanto, dos soluciones! Pero hagamos la cosa an ms emocionante. De acuerdo con lo expuesto hasta ahora, podemos plantear la pregunta, realmente lgica y justificada: cul es el nmero que multiplicado por s mismo da, por ejemplo, -4? Despus de una breve reflexin se deduce que nos encontramos ante una nueva complicacin, surgida de manera inesperada. Qu nmero podr ser este? Tratamos de descubrirlo con nuestro prctico sistema de deudas y clculo con dinero. Pero la conclusin primera es realmente desoladora: Cuntas veces debo contraer, o no contraer, deudas, para acabar debiendo cuatro pesetas, pidiendo prestado dinero tantas veces, como indica la suma parcial? Y ah nos quedamos atascados, como en una trampa sin remisin. se es, precisamente, el abismo adonde da la puerta!, y al contemplarlo debemos confesar, simplemente, en medio de un escalofro, que: No existe ningn nmero que multiplicado por s mismo produzca -4! Sentimos, sin embargo, picado nuestro amor propio y reaccionando ante semejante derrota, probamos fortuna partiendo de otro valor distinto, tal como el -36, y preguntamos: Cul es la raz cuadrada de - 36? Pero tampoco nos


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acompaa el xito y, no obstante, como si furamos vctimas de una burla, al ir ms all, hallamos que existe, en cambio, una raz cbica de - 27, y es - 3, puesto que (- 3) (- 3) (- 3) = - 27. Nada nos excusa; estamos abochornados y corridos por el hecho de vernos incapaces de contestar a una pregunta de aparente sencillez infantil, y no acertamos a encontrar un nmero del cual slo se exige que llene un requisito que se nos antoja casi natural. La cuestin, en conjunto, es mucho ms sencilla y, al mismo tiempo, sin embargo, bastante ms compleja de lo que a primera vista poda parecernos. Trataremos, antes de seguir ms adelante, de la simplificacin en matemticas, y puesto que con ello adquiriremos una nueva costumbre, permtaseme, tambin en este caso, que para llegar a mi objeto me valga de imgenes tomadas de la vida real. En el lenguaje usual no es indiferente el modo en que se expresa una opinin determinada. El decir gracias y escribir donaires es de grandes ingenios, dice Cervantes. Si se me ocurre dirigirme a mi jefe para elogiar las elevadas cualidades espirituales que reconozco en l y le digo: Le felicito, seor, por su amplitud de miras, es algo muy distinto que decirle: Bien sabe Dios, seor director, que no es usted ningn cretino. Aun cuando ambas frases expresan; lgicamente, conceptos parecidos, el justo parabin me ser seguramente agradecido en el primer caso, pero si adopto la segunda modalidad me ver sin duda obligado a salir por pies del despacho de la persona alabada. En el reino de las fras matemticas, tan rigurosamente objetivas, no se tienen en cuenta esta clase de sutilezas. Aqu todo est sencillamente permitido, y puedo, pues, servirme de cualquier determinada expresin, perfrasis o modismo, por muy estrafalarios que sean, siempre que, sin alterar un valor dado, su empleo me proporcione una ventaja cualquiera. Lo nico absolutamente necesario es atenerse a la verdad. Todo lo dems, es decir, lo que slo atae al modo, nos est plenamente permitido. Permitmonos ahora un ardid semejante. He aqu la nuez dura como el acero: 4 ? En este caso empezaremos por descomponer el nmero que figura bajo el signo de raz (signo radical), de este sencillo modo: -4 = 4 (-1)

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lo cual es enteramente lcito. Pongamos el producto resultante debajo del signo mencionado, y tendremos: 4(1) -Podemos hacer esto? S, podemos!Para hacer ver que s, partamos de otro ejemplo: En vez de 36 , que nos da 6, podemos escribir 4 9 , tambin 4 9 ; pues si extraemos las races y multiplicamos obtendremos: 2 3 = 6, lo cual es enteramente exacto. As, pues, la escisin de 4 en 4 ( 1) debe ser tambin lcita. Ahora podemos dar un nuevo paso, extrayendo la raz de 4. El malhadado (-1), al cual no hemos llegado todava, lo dejamos sencillamente donde est, es decir, debajo del signo radical, mientras esperamos que llegue para l la orden de extrigase la raz! Tenemos, pues, que: 4 = 2 1 . As, pues, habiendo llegado a esta conclusin lcitamente, hemos demostrado que, al fin y al cabo, todos estos nmeros enigmticos cuya raz no es posible extraer, se descomponen fcilmente, dando lugar a un producto formado de dos nmeros: uno de ellos posible y el otro (o sea el 1 ) imposible. Gracias a ese procedimiento, el problema se ha simplificado, puesto que por una diseccin anloga nos ser posible aislar en otros nmeros, tales como los - 16, - 64, - 25, etc., la parte que podramos llamar misteriosa, cargndola toda sobre el raro y desagradable -1. As nos habremos ido acercando al fatal menos uno y a su raz, y podremos estar en posicin de sorprender mejor su secreto. Pero aqu te quiero, escopeta ! A la raz de -1 se le ha dado el nombre de i. Tomemos nota, por tanto: En lugar de 1 , diremos, en adelante, i! El lector querr saber, sin duda, qu es lo que sucede con este notable. Es realmente un nmero? Es posible calcular con este nmero, como con los nmeros hasta ahora conocidos? Solamente en este caso estaremos autorizados - recordemos, en este lugar, el principio de permanencia- para hablar de un nmero i. Con la adicin y la substraccin no tendremos, en principio, mayores dificultades. Podemos ver, sin dificultad, que i i.= 2i. Esto nos parece muy natural, aun cuando no sepamos nada de este i, de la raz de - 1. Es tan irreal, y, sin embargo, vive en nuestra imaginacin. Y nosotros calculamos con esta irrealidad, como si fuera algo completamente natural. 8i - 5i = 3i; 3i + 5i = 8i; - 4i - i = - 5i, etc.


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Todo esto se ordena tan fcilmente en la estructura de nuestros clculos, que no permite se presente duda. Estos enigmticos nmeros i, 3i; 8i; 5i, etc., son designados por el matemtico con el nombre de nmeros imaginarios, en oposicin a los nmeros reales, los verdaderos, de los que nos habamos ocupado hasta ahora. Pero pueden compaginarse, realmente, los nmeros imaginarios con los reales? En un principio, parece ser as, en efecto, como si esto fuera; lo ms natural del mundo. Esta i se alinea pacficamente con un factor numrico real. Sin embargo, tan pronto se le aade un nmero real, se presentan dificultades. Qu significa, por ejemplo, 4 3i? Es algo tan absurdo como, por ejemplo, querer sumar 4 arenques y 3 limones! Imposible!. Y, sin embargo, con estas criaturas imposibles 4 + 3i; 6 - 2i, etc., empieza uno de los captulos ms importantes de la moderna matemtica. Fue preciso que transcurrieran siglos y siglos en la historia de las matemticas, antes de que el espritu humano pudiera concebir esta imposibilidad. Muy tmidamente fue imponindose la certeza de que estas formaciones -los nmeros complejos- ocupaban un lugar.muy destacado en el conjunto de las matemticas. Los trabajos de C. F. Gauss, en la primera mitad del siglo XIX, fueron los que aportaron una total claridad sobre este problema. A su extraordinario genio debemos tambin un mtodo para representar grficamente todas las magnitudes complejas e imaginarias. El haz de nmeros, pensemos aqu en el modelo adecuado, en nuestro termmetro, no basta, evidentemente, para representar los nmeros complejos. En el ascenso y descenso de las temperaturas, los -4 grados, 5 grados, - 1 grado, cero grados, etc., pueden leerse siempre con una sola representacin numrica. Todos estos nmeros tienen siempre slo una dimensin, es decir, los nmeros pueden moverse siempre slo en una direccin, y no tienen, por tanto, ninguna posibilidad de movimiento. Por lo contrario, los nmeros complejos vienen dados siempre por dos referencias numricas. Por ello se habla tambin de pares de nmeros y se abrevia, por ejemplo, como sigue 4 + 3i = (4;3) El par de nmeros (- 2; 6) corresponde, por tanto, al nmero complejo - 2+ 6i. Naturalmente, esto es solamente una forma de representacin, pero nos permite comprender de lo que se trata. Estos pares de nmeros, cada uno de los cuales representa siempre slo un nmero complejo, no pueden ser llevados unos junto a otros en un haz de nmeros. Despus de Gauss podemos representarnos los nmeros complejos como situados fuera de las rectas de los nmeros. Tienen, por tanto, una

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doble dimensin y se los representa en el llamado plano numrico de Gauss.

Te arde ya un poco la cabeza, mi querido lector? No te inquietes por eso! Has de saber que todas las cantidades e interpretaciones matemticas, slo una parte nfima se halla a nuestro alcance. Fuera de nuestra esfera habitual (que con criterio equivocado se considera como lo nico realmente existente) residen infinidad de maravillas y rarezas intangibles, verdaderamente incompatibles con las leyes de nuestra inteligencia. Ocurre con nosotros algo anlogo a lo que sucede, por ejemplo, con los peces de ro. Todo el mundo, para los peces, se encierra en los lmites del angosto y cristalino arroyo. Los prados y alamedas, los sembrados, las aldeas y el bosque son sin duda para las truchas algo que no son capaces de representarse, algo imaginario, y esto por la sola razn de formar parte integrante de un mundo que en realidad existe, pero que ellos desconocen. Y es, simplemente, que toda la estructura corporal de los peces, y la conformacin de sus rganos sensoriales no hablemos de su constitucin psquica! - los hace ineptos para captar las cosas de este mundo que existe fuera de sus aguas. Nuestra conducta ante la verdad realmente existente, o tan slo sospechada, no resulta ms atinada que la de las truchas. De igual modo que los giles peces huyen despavoridos al chocar de la piedra que un zagal arroja


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en el torrente, nosotros nos _ sentimos tambin presa de pnico ante los nmeros imaginarios que llegan a nuestra esfera vulgar, procedentes de otros mundos en los cuales -en consonancia con nuestra naturaleza - no podemos penetrar ni siquiera con el pensamiento.

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La magia de la tabla de multiplicar

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UN POCO DE FANTASMAGORIA NUMRICA Descubrir, presentar y barajar en ingeniosos malabarismos las mil y una propiedades curiosas que en s encierran los nmeros, constituye de antiguo un dilecto esparcimiento, y se han publicado volmenes enteros dedicados a semejantes pasatiempos. As, por ejemplo, el nmero 37 ofrece la rara propiedad de que muchos de sus mltiplos estn formados por la repeticin de una misma cifra: 3 37 = 111; 12 37 = 444; 27 37= 999. Ms extraordinario es todava en esta particularidad el nmero 3367, pues si se multiplica por ciertos mltiplos de 33 da lugar a productos que tambin constan de una cifra repetida, y sta es, precisamente, el multiplicador que se ha tomado para formar el mltiplo 33; as: 33 3367 = 111 111; 165.3367 = 555 555, etc. Como nmero final presentaremos el refinado 11, con la gracia de que multiplicado por s mismo (o sea, 11) da 121, es decir, un nmero en el cual el valor de sus cifras asciende primero, para descender luego simtricamente. En este caso parece simple casualidad. Sin embargo, tambin en ms altas esferas permanece fiel a esta curiosa propiedad.

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Bien empiezan las cosas!Estas cifras son imposible., de enunciar 12 345 678 987 654 321 Un nmero de 17 cifras? Son 12 mil millones, 345 billones, 678 millardas, 987 millones, 654 mil y 321. 1 billarda es un uno seguido de 15 ceros 1 billarda = 1 000 000 000 000 000 Naturalmente, no hay nadie que escriba un nmero as. Es preferible servirnos de las prcticas potencias ya conocidas de todos nosotros 1 billarda = 1015 Pero esto es secundario. Ms tarde hablaremos de ello con ms detalle. Podemos imaginarnos un tal nmero? - 1015 Su aspecto es tan inofensivo! Cunto tiempo se necesitara para contar de 1hasta 1billarda? 1 ao o 100 aos? O, quizs, incluso 1000 aos? Las estimaciones estn aqu fuera de lugar; ser preferible calcularlo. Supongamos que para cada cifra se requiere un segundo. Ya para ello se precisa una tcnica especial de conteo, no tan fcil de conseguir. Dmosla por conseguida! Adems, es necesario contar ininterrumpidamente, da y noche. Varias personas pueden relevarse en esta tarea. En este caso, se contarn en 1 minuto 1 hora 24 horas 1 ao 6o cifras 3. 6oo cifras 86 400 cifras 31 536 000 cifras

En un ao no hemos llegado, por tanto, muy lejos. Y tambin en 1000 aos estaremos an muy lejos de la meta; slo despus de 30 millones de aos estaremos ya algo ms cerca de la cifra de 1 billarda. Tardaremos, exactamente 31.709.791 aos, 359 das, 1 hora, 46 minutos y 40 segundos Quien no lo crea, puede calcularlo!


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Probemos, ahora, en el mundo de los tomos! Un electrn tiene un dimetro de 0,000 000 000 005 mm. Esta pequeez no podemos, tampoco, apenas concebirla, pero, de todos modos, sabemos que un tal electrn es muy, muy pequeo. Si alineamos ahora, uno al lado del otro, una billarda de estos electrones, qu longitud tendr esta cadena? Exactamente, 5636mm. = 5 m., 63 cm. y 6 mm. Prestemos ahora atencin a la siguiente clasificacin 1 millar 1 milln 1 millarda 1 billn 1 billarda 1 trilln 1 trillarda 1 cuatrilln = 1000 unidades = 1000 millares = 1000 millones = 1000 millardas = 1000 billones = 1000 billardas = 1000 trillones = 1000 trillardas

Todo esto, a fin de cuentas, no son ms que historias verdaderamente entretenidas y no vamos a malgastar tiempo en tales superfluidades; antes bien, nos es preciso excavar un poco ms profundamente y empezar ante todo por el desarrollo de una cuestin que al lector se le habr ocurrido ya, sin duda, al final del captulo anterior. Vimos all, para sorpresa nuestra, que, al lado de los nmeros que nos son ya de antiguo familiares, existe, adems, un extrao mundo de ficcin poblado de nociones completamente distintas de la nocin vulgar de nmero: es el reino ideal de los nmeros susceptibles slo de interpretacin figurada, de los nmeros que dimos en llamar imaginarios o complejos. Pero ahora, slidamente apoyados en nuestros leales nmeros guas, vamos a tratar bsicamente la inmediata cuestin de si existe todava otra clase de nmeros. Esta pregunta ha de contestarse afirmativamente! Partamos, para nuestro examen, de los conocimientos que ya nos son familiares, y veamos, en primer lugar, los nmeros enteros. Nos es bien conocida la clasificacin que se acostumbra hacer de los mismos: nmeros pares y nmeros impares, llamando par a todo nmero divisible por 2. Nada hay de interesante o singular en esta vulgar subclasificacin. Un poco ms curiosa, empero, resulta ya la cuestin referente a los

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nmeros denominados primos. Son stos aquellos caprichosos nmeros (impares casi sin excepcin), que adems de ser divisibles por s mismos (naturalmente) lo son tan slo por 1. Por qu decimos casi sin excepcin? No debe olvidarse que existe un nico nmero Par, el 2 precisamente, que a pesar de ser par es tambin primo. Tras los nmeros primos -y es sta una maravilla que vamos a conocer bien como de paso en nuestro paseo- se esconde uno de los ms grandes enigmas que las matemticas encierran. Lo ms desconcertante en la distribucin de los nmeros primos consiste ciertamente en su irregular distribucin. No se someten a ninguna ley. As, su sucesin empieza (prescindiendo de i), con dos nmeros primos, que son el 2 y el 3, seguidos de 5 y 7, 11 y 13, 17 Y 19, etc. Como se ve, estos nmeros gustan a menudo de aparecer en pareja, como apoyndose mutuamente. Sin embargo, las lagunas que se extienden entre ellos son bien visiblemente desiguales, unas mayores, otras ms pequeas. Lo notable es la evidencia que se tiene de la absoluta imposibilidad de hallar una ley para la distribucin y extensin de esas lagunas y, por lo tanto, la imposibilidad de saber determinar a priori los nmeros primos. As, pues, a pesar del gigantesco instrumento del razonamiento matemtico, cuando nos proponemos averiguar si un nmero determinado es primo o no lo es, nos vemos forzados a perder nuestro tiempo en fatigosas pruebas. As ocurre que slo a costa de largas y pesadas divisiones podemos llegar al conocimiento de que el 589 no es primo, por ser el producto de 19 por 31. Como decimos, no hay ley. Inversamente, podr sospecharse que los nmeros primos se hacen ms raros, sucedindose a intervalos cada vez mayores a medida que se aproximan a las esferas del milln, del trilln, etc. Podra deducirse de esto que ha de alcanzarse un instante en que los nmeros primos dejan de existir y que, por consiguiente, debe haber uno de dichos nmeros como punto final, mayor que todos los restantes, y tras el cual no existe ninguno ms. Pero, ya alrededor del ao 300 antes de J. C., saba el genial Euclides que la serie de los nmeros primos no se agota nunca. Ocurre tan slo que los mayores de ellos no nos son, naturalmente, conocidos. A partir de cierta altura en esta serie hay campo para una especie de deporte matemtico: la caza de los nmeros primos. Durante muchos aos el nmero 261 - 1 = 2 305 843 009 213 693 951


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pudo ser considerado como el ms elevado trofeo del que un cazador de nmeros primos haba podido vanagloriarse, una sexagsima primera potencia que conserv, durante largo tiempo, el campeonato del mayor nmero primo conocido de la humanidad. Pero entre tanto surgi un nuevo matemtico, ms afortunado todava, que logr destacar al primer plano el nuevo nmero primo. 2127 - 1 = 170 141 183 460 469 231731687 303 715 884 105 727 Para saber, pues, cmo es este fenmeno bastar multiplicar el nmero 2 ciento veintisiete veces por s mismo y restar 1 al producto. Esto nos dar un nmero primo que, hasta hace todava poco tiempo, poda vanagloriarse de ser el rey entre los nmeros primos. Pero tambin ste ha sido ya destronado!Hoy da se sabe ya que 22281 - 1 es un nmero primo. Nuestra capacidad de representacin queda con ello prcticamente agotada. Para poder representar este nmero, que consta de 687 cifras, necesitaramos 14 lneas, muy comprimidas, de este libro. Hasta aqu lo referente a los nmeros primos. Fuera de ellos no encontraremos en nuestra alineacin numrica nada que, en apariencia, ofrezca inters inquietante, siempre que nos atengamos a los nmeros enteros. Pero hemos de considerar que stos no estn solos, ni mucho menos, en el mundo real. A su lado se encuentran las famosas fracciones: las fracciones decimales, algo ms modernas, que se nos presentan por doquier en la vida prctica corriente, y los quebrados o fracciones comunes, relegados hoy da_ a un plano notablemente secundario. Qu es en suma un quebrado? La respuesta no deja de ser interesante. Los quebrados proceden, en cierto modo, de la divisin. La raya del quebrado constitua originariamente el signo ms usado para indicar dicha operacin aritmtica. Fue Leibniz el primero en adoptar los dos puntos (: ), hoy da comnmente empleados como signo de la operacin divdase por. El quebrado es, pues, en realidad, una divisin planteada, pero no efectuada todava. Si escribo 14: 9 propongo la operacin tan correctamente como si

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escribo 14/9. Conocida nos es, por lo dems, la clasificacin en quebrados propios (por ejemplo, 1/2) e impropios (por ejemplo, 4/3), etc. Con la introduccin del sistema decimal, los quebrados o fracciones comunes han desaparecido de tal manera en la vida prctica, que hoy ya son pocas las personas familiarizadas con las sencillas reglas para su operacin. Y esto es una lstima, pues los quebrados comunes son altamente instructivos! Se ha podido comprobar que determinados valores que, mediante un nmero quebrado, podan escribirse sencilla y exactamente, quedaban, en cambio, incompletamente expresados al serlo mediante fracciones decimales. As, 1/3 = 0,3333... 2/3 = o,666666..., lo cual resulta todava ms desconcertante al saber que hay otros quebrados, por ejemplo, 3/4, que se pueden expresar, tambin, completamente en decimales (0,75 en este caso). Los puntos tras una fraccin decimal indican que sta es infinitamente larga, y que puede ser, por tanto, eternamente prolongada hasta lo infinito, ya que contiene un sinfn de lugares decimales. Se debe, pues, tener presente que algunos sencillos quebrados comunes son tan slo susceptibles de ser traducidos a la forma decimal mediante fracciones decimales prolongadas hasta lo infinito, o sea que prcticamente -puesto que hemos de permanecer siempre en lo finito- no pueden ser representados con exactitud, mediante fracciones decimales. Y para hacernos cargo del tipo de expresiones a que, en determinadas circunstancias, hemos de vernos conducidos, daremos como muestra la transformacin, mediante una sencilla divisin, del quebrado 10/7 , en una fraccin decimal. Procdase a realizar la operacin y se ver que es cuento de nunca acabar; pues obtendremos el divertido resultado siguiente: 10: 7 = 1,42 857 142 857 142 857... y as indefinidamente ! Semejantes expresiones reciben el nombre de fracciones decimales peridicas (infinitas) y se escriben abreviadamente poniendo para 0,666666... sencillamente 0,6, as como para 1,42 857 142... sencillamente 1,42857. Tras todo esto no parece que se escondan grandes hechos, aun cuando debamos hacer la revelacin de que incluso los nmeros enteros pueden ser expresados en forma de semejantes decimales peridicos. As, por ejemplo, 1 = 0,9 999 999..., o sea igual a 0,9, y 17 = 16,9999999...,= 16,9, etc.


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He aqu, para distraccin y recreo, dos acertijos matemticos: Cmo se escribe 100 con seis nueves? Pues -as reza la respuesta en diversos libros de pasatiempos- sencillamente: 99 + 99/99. Igualmente gracioso, pero ms ingenioso todava sera preguntar, cmo se escribe 10 con dos nueves? As: 10 = 9,9, lo cual es rigurosamente justo desde el punto de vista matemtico. No deja de ser tambin interesante la traduccin inversa y se demuestra de manera fehaciente que toda fraccin decimal exacta (finita o infinita peridica) puede ser transformada en un quebrado comn. As, 0,013 equivale a 13/1000; 24,05 = 2405/100; 1,32 es igual a 132/100 etctera. En las fracciones decimales infinitas no podemos seguir, naturalmente, as adelante. Un ejemplo: existe un quebrado comn para

2 = 1,41421... ?Podemos formar el mltiplo por mil, el mltiplo por cien mil o un mltiplo todava mayor: la coma no desaparece, es imposible eliminarla. Probemos ahora con las fracciones decimales peridicas ms sencillas. Aqu sabemos, por lo menos, qu aspecto tienen las infinitas cifras detrs de la coma 2,6666...; 1,42857142857... Los llamados perodos 6, respectivamente, 142 857 se repiten hasta el infinito. Merced a un pequeo juego de manos podemos eliminar la coma. El dcuplo del nmero 2,6666... tiene las mismas cifras, detrs de la coma, que el nmero sencillo 10 2,6666... = 26,6666... 1 2,6666... = 2,6666... Si del dcuplo quitamos el nmero sencillo obtenemos, sencillamente, 24. Esto es, por tanto, nueve veces el nmero. Exactamente de la misma manera como 10 limones menos 1 limn son 9 limones. As, pues, 9 2,6666... = 24 El nmero sencillo es, en este caso, la novena parte. Con ello hemos resuelto nuestro problema 2,6666... = 24/9 = 8/3

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El quebrado lo hemos podido acortar, todava, con 3, es decir, hemos dividido numerador y denominador del quebrado por el mismo nmero. Como es sabido, el valor del quebrado permanece, con ello, invariado. Tanto si dividimos 12 manzanas por 4, o 6 manzanas por 2, el resultado es el mismo: 3. De la misma manera, todas las fracciones decimales peridicas pueden transformarse en quebrados comunes. Probmoslo, ahora, todava con el nmero algo ms difcil 1,42 857 142 857... obtenido por la divisin 10: 7. En esta fraccin decimal, slo el mltiplo milln del nmero tiene las mismas cifras. detrs de la coma. como el nmero sencillo

1.000.000 1.42857142857... = 1428571,42857142857.. 1 1.42857142857... = 1.42857142857... 999.999 1.42857142857. = 1428571De este modo se deduce el nmero simple como la 999 999 ava parte 1,42857142857 = 1 428 570 /999 999 Con ello hemos terminado ya, realmente, pues hemos obtenido un quebrado comn. De todos modos, este quebrado parece todava muy complicado. Por ello vamos a ver si podemos abreviarlo. Y, en efecto, podemos dividirlo, sucesivamente, por 9, 3, 37, 13 y 11. As tenemos

1.4285070 158.730 52.910 1.430 110 10 = = = = = 999.999 111.111 37.037 1.001 77 7Hemos obtenido, por tanto, el siguiente resultado 1,428571428 = 10/7 Llegar hasta aqu no ha sido, en realidad, nada sencillo!


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Hasta aqu vamos bien; pero la siguiente pregunta, lgica, nos abre otra vez la puerta a un nuevo misterio de los nmeros, realmente profundo: ,Qu ocurre con las fracciones decimales infinitas, pero nol peridicas? Cmo se reducen a quebrados comunes? Hemos de suplicar al lector que crea simplemente el enunciadorespuesta que vamos a dar a esta pregunta. Pues la demostracin matemtica, que no puede ser ms sencilla, nos resultara, sin embargo, en extremo difcil a causa sobre todo de nuestro poqusimo dominio del lenguaje matemtico. La respuesta dice sencillamente: Las fracciones decimales infinitas no peridicas no son susceptibles de ser transformadas en quebrados comunesl A primera vista esto no parece en verdad nada fuera de razn. Habremos de ir, pues, ms adentro para mostrar al lector la insondable y sobrecogedora profundidad de este misterio. Para ello volveremos de nuevo a los quebrados comunes, que estn ntimamente emparentados con los nmeros enteros y a base de los cuales se estructuran directamente, pues el numerador y el denominador, que son los trminos de que constan, son nmeros enteros. Estos trminos pueden elegirse pequeos o grandes, a discrecin. Sin ms, por lo tanto, puedo escribir, sea encima o sea debajo de la raya dei quebrado, trillones, cuatrillones, hasta los nmeros gigantes ms descomunales, en la forma que mejor me parezca. De todo esto se deduce inmediatamente que a la vista de un quebrado comn dado no puedo declarar cul es su inmediato mayor ni cul su inmediato menor. Cul es el quebrado que siendo mayor que 1/2 difiere menos de ste? Pregunta sin respuesta posible, pues en seguida me pierdo aqu entre cmulos de nmeros de magnitud rayana en lo infinito. Y puedo sin cesar ir construyendo quebrados cada vez ms prximos al . As 51/100 es contiguo al , pero 50.000.001 /100.000.000 se le acerca aun mas, y si recurro a los nmeros gigantescos, la diferencia con ser cada vez ms pequea, sin que, de todos modos, llegue a desaparecer nunca por completo. Como consecuencia inmediata de esta prueba parece desprenderse la posibilidad de que cualquier valor fraccionario, por finamente aquilatado que sea, admita ser representado, o transcrito, mediante un quebrado comn; porque digo siendo as que tengo mi disposicin, en caso necesario, cantidades enormes de nmeros, bien podr -para expresarme en trminos completamente populares - atrapar, en la tupida red de los quebrados comunes, cualquier valor fraccionario que se presente.

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Dndose la mano con lo expuesto - y si retrocedemos de nuevo a la alineacin numrica - se nos ocurre la idea de que tambin en ella podran los quebrados comunes, sucedindose ininterrumpidamente en un escalonamiento escrupuloso, llenar todo el espacio comprendido entre un nmero entero y su inmediata superior, y -lo que es ms importante- llenar, por tanto, en toda su extensin longitudinal, la alineacin numrica. Pero resulta que ambas conclusiones son sorprendentemente, y casi increblemente, falsas; y es que, si bien es cierto que entre dos nmeros enteros se alinean, sucesivamente, un sinfn de quebrados propios, no lo es menos que, por muy apretadas que sean las filas de los quebrados, han de persistir, sin embargo, entre ellos determinados espacios. Pues, por aadidura, no todos los valores fraccionados pueden representarse mediante quebrados comunes, y los nicos nmeros de que disponemos para intercalar entre los quebrados comunes finsimamente escalonados y probar de llenar, en cierta medida, las lagunas de la alineacin son las fracciones decimales no peridicas, cada una de las cuales se prolonga, de forma inacabable, hasta lo infinito. Ahora bien, esta conclusin se les antojar ilgica y contradictoria creo yo- a algunos lectores. Y lo es si se mira lo fundamental. Ya los antiguos griegos -de tan antiguo arranca la consideracin de este hecho, hoy solamente conocido por muy pocos de entre los iniciados - se haban quebrado la cabeza con semejante problema, y este resultado reciba de ellos, desde Pitgoras, la denominacin de alogos, que significa algo as como ilgico o carente de sentido. Por lo dems, el punto de vista de las matemticas es hoy, a este respecto, exactamente el mismo; y a estos nuevos nmeros -las fracciones decimales no peridicas- que se hallan en contradiccin con la razn -con la ratio - se los denomina nmeros irracionales. Con esto hemos trabado, pues, conocimiento con una nueva especie de nmeros. De suerte que los nmeros reales, que ya conocamos, se clasifican, pues, en: racionales (conformes con la razn) e irracionales (contrarios a la razn). Como aclaracin a lo dicho conviene presentar aqu una imagen de la cual hay que decir, ya desde ahora, que, como toda comparacin, resulta coja, y ms en este caso, en que pretendemos demostrar algo infinitamente delicado mediante un ejemplo de lo ms basto. Comenzaremos por ampliar nuestra alineacin numrica, representndola como un trayecto de ferrocarril de algunos centenares de kilmetros de longitud. Tambin sta resulta una alineacin numrica excelente, por


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cuanto en su trayecto aparece sealado, comenzando por la estacin de partida, el llamado kilometraje. A derecha e izquierda de la va se yerguen en tamao grande los hitos indicadores de kilmetros, y entre ellos, otros ms pequeos que indican la subdivisin en hectmetros. Desde la ventanilla del coche pueden verse unos y otros en todas las lneas de ferrocarril, y su combinacin nos da indicaciones tales como 27,8, 27,9; 40 Km., 40,1, 40,2, etc. Esta grosera divisin llena su objeto plenamente desde el punto de vista de la tcnica ferroviaria y prcticamente basta para todos los efectos. Cualquier ocurrencia en algn punto del trayecto se localiza de modo suficiente mediante la indicacin: en el Km. 44,7 o entre los 56,6 y los 56,7 Km.. Estas marcas itinerarias podemos compararlas con nuestros quebrados comunes y considerarlas, por tanto, como los indicadores racionales o razonables del trayecto. Pero al mismo tiempo es innegable que en el imaginado trayecto ha de haber, por ejemplo, un punto cuya distancia al de partida sea exactamente 4,427448 Km. Sucede nicamente que no podemos determinarlo con exactitud por ninguno de los medios tcnicos que nos son conocidos; y ello a causa, precisamente, de que no existe ninguna medida de longitud que, tratandose de tan grandes distancias, permita afinar a la perfeccin un punto en dcimas de milmetro. Este punto - y una infinidad de puntos semejantes - existe, pues, de hecho en el trayecto mencionado, sin que nos sea posible determinarlo ni siquiera mediante los instrumentos de medicin ms delicados. Un tal punto es, pues, verdaderamente irracional, es decir, absurdo. Resultara en gran manera ridculo que un ferroviario transmitiese un parte del tenor siguiente: A causa de una avera en la locomotora, el tren D 76 se halla detenido a mitad del trayecto y el primer par de ruedas de la mquina se halla exactamente a la altura del kilmetro 429,7758. Lo mismo ocurre con los nmeros irracionales. As como nos es imposible determinar con toda exactitud un punto del trayecto en dcimas o centsimas de milmetro, nos lo es igualmente al escribir en cifras un nmero irracional; pues los quebrados comunes, muy manejables, pero demasiado bastos y de insuficiente afinacin, no se prestan a ello; y si recurrimos a los decimales quedaremos en seguida defraudados, puesto que no ya toda una vida, ni siquiera las eras irrepresentables transcurridas desde la aurora de los tiempos, seran suficientes para trasladar al papel un quebrado decimal no peridico de una extensin realmente infinita... Lstima que la bonita y luminosa idea que sobre esto tenamos resulte enteramente falsa, pues en ella nada hay de irracional o irrazonable !

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Ms justo hubiera sido representar los hitos itinerarios - es decir, los smbolos de los quebrados comunes - infinitamente ms estrechos en el sentido del camino y sucedidose ininterrumpidamente, de forma que la ms insignificante variacin de distancia imaginable viniese al momento sealada por su hito correspondiente. Estos hitos, entre los cuales nada se interpondra, ni siquiera el ms leve resquicio, formaran, pues, una pequea e ininterrumpida valla paralela a la va. Y sin embargo, aun as habran de existir intervalos suficientes entre los hitos en cuestin para que en su espacio pudieran intercalarse, en cierto modo, una inmensa cantidad de fracciones decimales infinitas no peridicas. Esta incompatibilidad entre las sucesiones hermticas y los incontables intersticios que manifiestamente han de coexistir con el hermetismo, es lo irrazonable, lo irracional, en este misterio de los quebrados, que desde hace casi dos mil aos importuna a la humanidad y que en la actualidad no ha logrado todava penetrar en nuestra mente. Convengamos en que este asunto de los nmeros irracionales resulta, por dems, enfadoso y enrevesado. Y ahora nos encontramos con un hecho que nos parece casi absurdo, despus de todo lo visto hasta ahora: los nmeros irracionales pueden dibujarse. Veamos, a este respecto, un bonito ejemplo. Una de las relaciones de cantidad ms importantes y ms frecuentemente utilizadas es la existente entre la longitud de uno de los lados iguales de un cuadrado cualquiera y la longitud de la diagonal de ste. Propongamos, por ejemplo, inscribir una figura (o sea un ornamento de envolvente cuadrada) en un crculo de determinado tamao. Cul ser la longitud del lado del cuadrado, dada la longitud del dimetro del crculo? A poco que se reflexione se ver que la cuestin se reduce a la consideracin de un tringulo rectngulo e issceles al que puede aplicarse el viejo teorema de Pitgoras y llegar por l a la conclusin de que la diagonal de un cuadrado (que en este caso es el dimetro del crculo) es igual a la longitud de uno de los lados multiplicada por un nmero en extremo sencillo, el expresado por que como es natural se halla de antiguo calculado y vale 1,414214..., que resulta ser un nmero fraccionario infinito y no peridico, es decir irracional. Si dibujamos, por tanto, en un cuadrado cuyo lado es 1, la diagonal, la longitud de sta ser 2 = 1,4142 ...


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De este modo hemos representado grficamente el nmero irracional

2 sin muchos problemas.

Irracionales son, adems, casi todas las races; por ejemplo, las races cuadradas de 5, de 8, la raz cbica de 36, de 49 6 112, etc. Una excepcin la constituyen todas las races que se abren; por ejemplo

Tambin el infinito ejrcito de los logaritmos -ya tendremos ocasin de conocerlos ms a fondo- son, casi todos, nmeros irracionales. Con los logaritmos llegamos, sin embargo, todava, a otro grupo de nmeros -al que esperamos tener ocasin de conocer durante nuestro paseolos nmeros trascendentes. Tambin stos pertenecen a los nmeros irracionales, pero se caracterizan por el hecho de que no pueden representarse ya como races (6). Mientras que los nmeros irracionales ya provocaron el despecho de los antiguos griegos, el descubrimiento de los nmeros trascendentes es producto de tiempos ms modernos. El propio C. F. Gauss, rey de las matemticas, nada preciso saba acerca de ellos, pues hasta el cuarto decenio del pasado siglo se ignoraban del todo estas curiosas particularidades. El lector, si es que no ha perdido ya la cabeza, opinar tal vez que nos hemos elevado en exceso. Clmese, pues ha de saber que uno de los nmeros ms importantes en el orden prctico, sin el cual toda la tcnica actual resultara inconcebible, pertenece a este grupo de trascendentes. Se trata del(') Ms exactamente races de una ecuacin algebraica; pero esto no lo entendemos, y no es, tampoco, importante para nosotros.6

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llamado nmero de Ludolf, ms o menos conocido desde hace milenios, y que nos dice las veces que la longitud de una circunferencia contiene la longitud de su dimetro; se trata, en fin, del clebre nmero , usado a diario millones y millones de veces. Es, desde luego, un nmero, naturalmente, irracional, o sea que slo puede expresarse -mediante una fraccin decimal infinita no peridica. Helo aqu, incompleto 3,14159265358979323846.. Lindemann demostr por primera vez, en 1882, que este nmero es trascendente. Con anterioridad, en 1873, haba hecho ya Hermite el gran descubrimiento de que el nmero entre todos los nmeros, acaso el ms importante de todos, la verdadera piedra fundamental y angular de toda la Matemtica, el nmero e, clebre base del llamado sistema de logaritmos naturales y cuyo valor incompleto es 2,718281828459045... es tambin un nmero trascendente. No nos reproches, lector amigo, el que hayamos abusado un poco de tu facultad imaginativa. Pues cabe preguntar No son verdaderamente grandiosos y espectaculares los misterios que durante este ligero paseo por los dominios de los nmeros han aparecido a nuestros ojos? Y qu msero resulta, sin embargo, nuestro poder, que no alcanza siquiera a expresar mediante cifras un nmero tan simple como habra de ser el que multiplicado por s mismo diese por producto 2 Y qu gigantescamente grande y noble es el trabajo de la inteligencia que ha sabido proporcionarnos toda esta serio de conocimientos ! He aqu una exposicin que en los que reflexionan seria mente habr de despertar un presentimiento de la augusta belleza del mundo de la concepcin matemtica.


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LA MAGIA DE LA TABLA DE MULTIPLICAR

Las primeras impresiones del prodigioso jardn de las matemticas han hecho cambiar fundamentalmente el mundo de nuestras representaciones. Cun interesantes son, sin embargo, todas las relaciones que unen entre s aun los clculos ms sencillos! Antes de ocuparnos ms a fondo de la teora, que no nos parece ya tan gris, estudiaremos primero algunos problemas prcticos. Procuraremos, como medida de precaucin, callar prudentemente de lo que se trata, para evitar que el lector, asaltado otra vez por el temor a una supuesta nueva dificultad de concepcin, cierre el libro, en la creencia de que no lograr desentraar jams tan intrincadas materias. En realidad, la cosa es, tambin en este caso, tan sencilla, que - como est comprobado - hasta los alumnos algo listos de las escuelas elementales se ocupan de ella. Siempre ha gozado el nmero 10 de una especial y plena popularidad, y el motivo es fcil de comprender. El 10 es el nmero bsico que, en cierto modo, se repite desde un principio en toda la numeracin. Y es por esa caracterstica sistemtica que esta prctica decena nos permite contar del modo mejor y ms sencillo; es el nmero ms grato por ser el que menos quebraderos de cabeza nos ocasiona al practicar la_ adicin, multiplicacin, divisin y substraccin. As, pues, vamos a entretenernos un poco con este nmero, calificado como el ms sencillo.

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Empecemos, pues, a contar con nuestro sencillo nmero! En cierto modo curiosa es la multiplicacin de diez por s mismo, es decir, la llamada potenciacin. Para ello nos serviremos, naturalmente, de los pequeos y conocidos nmeros plantados en lo alto las potencias. Recordamos todava cmo debe leerse esta forma de anotacin. 10 10 = 102 equivale cuadrado de diez o segunda potencia de diez, o -con expresin acertadsima, que utilizaremos las ms veces- diez elevado a dos. En consecuencia, diez elevado a tres 103, es decir, mil, y as sucesivamente.

Esta notacin nos lleva a considerar algo que al lector acaso pueda antojrsele disparatado. Se trata del smbolo 101, es decir, diez elevado a uno. Pero si lo consideramos ms a fondo podremos darnos cuenta de que 101 se incluye de manera perfectamente armnica. Significa, simplemente en comparacin con las otras potencias-, que el diez debe escribirse slo una vez. Era necesario detenernos en esta aclaracin porque a partir de ella podemos establecer inmediatamente una estrecha relacin entre los nmeros pequeos que figuran en la parte superior derecha del diez, y el valor relativo del producto, o sea el nmero de ceros que lleva. El producto tiene exactamente -vulgarmente hablando- tantos ceros detrs del uno como indica el numerito colocado arriba. Segn esto, 1.000.000 es =106, y se escribe, pues, con seis ceros; del mismo modo que: 102, o sea l00, se escribe tan slo con dos ceros. De aqu resulta una comodidad extraordinariamente grande, y es que ahora podemos expresar los monstruosos nmeros gigantes mediante combinaciones de nmeros sencillsimas, claras y de fcil interpretacin al primer golpe de vista. As, por ejemplo 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 equivale sencillamente a 1030.


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Incluso los nmeros descomunales cuyos primeros lugares no se hallan ocupados por uno y ceros podrn ser traducidos por nuestro cmodo y recin hallado procedimiento. As: 29 000 000 000 es sencillamente 29 109, o 29 000 millones. Ahora bien, estas pequeas cifras colocadas en la parte superior derecha, llamadas exponentes, nos permitirn adems ampliar tilmente nuestra tcnica relativa a la multiplicacin, divisin, elevacin a potencias y extraccin de races. Procediendo por partes y sin prisas, fijmonos en que 100 1000 da 1.000.000, y esto, en nuestra nueva escritura, equivale a: 102 103 = 105; del mismo modo que, por ejemplo: 1.000.000 1.000 = 1.000.000.000 = 106 103 = 109. Con natural sorpresa nos damos as cuenta de que la multiplicacin de los nmeros reales se convierte en una adicin de los consabidos nmeros de la derecha, es decir, de los exponentes, y es fcil ver que esto no slo es aplicable al caso de la unidad seguida de ceros, sino que tambin lo es cuando se trata de otros nmeros cualesquiera. As 3 9= 27 equivale a 31 33 = 33. Y este caso nos hace comprender al mismo tiempo la oportunidad de haber anteriormente colocado un pequeo uno en la parte superior derecha de un simple diez. Lo mismo ocurre con la divisin, pero a la inversa. Vemoslo tambin prcticamente: 1.000: 10 = 100, equivaldr, segn el nuevo modo de expresin, a 103: 101 = 102 As, pues, a divisin de los nmeros reales se ha convertido en una substraccin de los exponentes! Una vez aqu nos falta muy poco para poder contestar a la pregunta siguiente: De qu modo puedo escribir por este procedimiento las fracciones decimales? Primero, una pregunta: Qu es 10l: 103? Si, de acuerdo con la regla establecida, restamos los exponentes, obtendremos 10-2. sta es una cosa casi absurda, con la que poco podemos empezar, a primera vista. 10-2? Diez no escrito dos veces y luego multiplicado entre s? Nuestra comprensin, evidentemente, ha terminado. Pero en este caso no resulta tan difcil descubrir el meollo de este misterio. Como ya sabemos, 10: 103 equivale tambin a

101 10 = 3 100 10

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Este quebrado podemos, empero, dividirlo, tambin, por 10, obteniendo de este modo 1/100 La potencia 10-2 se revela como el quebrado 1 / 100 Y lo mismo puede hacerse con cualquier nmero!As, por ejemplo, de 22: 25 se deduce que 2-3 no es otro que el quebrado 1/23 = 1/8 -. Quien no vea esto con claridad, puede hacer los clculos correspondientes, sin utilizar las potencias. Otros ejemplos, todava

Los quebrados pueden representarse, tambin, como fracciones decimales. La cosa es particularmente sencilla ron los quebrados de 10:


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La potencia negativa indica, por consiguiente, cuntos ceros debe tener la fraccin decimal. Sin necesidad de ningn clculo especial, podemos convertir una potencia de diez, de exponentes negativos, inmediatamente en una fraccin decimal. As, por ejemplo, en el caso de 10-8 se aaden simplemente 8 ceros, se aade un 1 y se aade, finalmente, todava la coma. Todo ello es muy sencillo! No hay que indicar siquiera que las potencias con exponente negativo estn muy indicadas para la representacin de nmeros muy pequeos. Recordaremos, todava, un ejemplo: el dimetro de un electrn, al que dimos como 0,000 000 000 005 636 mm. Si tenemos en cuenta que 56360,00000000000001 = 0,000000000005636 podremos escribir esta formacin numrica, tan poco manejable, de una manera mucho ms sencilla Dimetro del electrn = 5636 . 10-15 mm. Y as se representa, tambin, en todas las obras cientficas ! Algunos de nuestros lectores habrn observado ya que en la introduccin de los exponentes negativos estaba, tambin, en juego el principio de la permanencia: hemos ampliado el concepto de potencia a las potencias con exponente negativo, consiguiendo, con ello, que nuestras reglas de potenciacin sigan siendo vlidas para un campo mucho mayor de tareas. Lo importante es aqu que no se deriven cualesquiera contradicciones. Probemos, de momento, con la multiplicacin: 10 0,01 = 0,1, o expresado en palabras: diez veces una centsima es igual a una dcima. De acuerdo con nuestra anotacin, significa esto: 101 10-2 = 101. Por consiguiente, da resultado ! Conviene, sin embargo, prestar ahora un poco de atencin, pues del desarrollo ulterior de nuestro problema resulta algo que a primera vista parece estar en franca contradiccin con toda lgica usual. No nos apartemos de nuestro diez tan fcilmente manejable. Sabemos ya que 102 = 100, y que, por el contrario: 10-2 es igual a 1/100, etc. Entre los valores 102 y 10-2 debe existir, sin duda, tambin el valor 10, y aqu se nos presenta una delicada cuestin: qu significa entonces realmente diez elevado a cero? Si le atribuyramos la significacin del imperativo: no escribas para nada el 10, ni lo multipliques tampoco por s mismo!, no sera un patente disparate? Concedamos que la tal pregunta planteada en esta forma suena en cierto modo a necedad. Pero la prctica, me-

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diante un sencillo ejemplo, nos da una contestacin enteramente clara y significativa. As tenemos que: 103 10 debe equivaler simplemente a 103, pues la suma de los exponentes 3 + 0 no puede dar ms que 3. Si a un nmero cualquiera no le aado nada (ni nada le resto) dicho nmero permanece simplemente invariable. Nuestro ejemplo nos dice, por lo tanto, que podemos multiplicar 103 por un cierto nmero (desconocido todava y que no se oculta tras el disfraz de 10) sin que el 103, o sea 1.000, sufra variacin alguna. Una cosa igual ocurre en la divisin de 103 por este mismo misterioso nmero. Qu clase de nmero puede ser ste, que cuando multiplica o divide a otros no los hace variar en lo ms mnimo? No necesitamos investigar mucho, pues el curioso prodigio, tras el cual andamos, ha de ser forzosamente el nico posible y precisamente el uno! Y as llegamos al hecho sorprendente, pero innegable, de que diez elevado a cero es igual a 1. Por tanto, hemos inventado un nuevo smbolo numrico. Para qu?, se preguntar el lector. Para contestar esta inmediata pregunta; ah va un ejemplo 102: 102 = 10 2 2 = 100 = 1 Sin la definicin de un nuevo smbolo 100 = 1 fallara, en este caso, la regla de la potenciacin. De la misma manera, sera imposible de resolver, por este sistema, el problema 34: 34 = 34-4 = 30. Naturalmente, sabemos perfectamente, cul ha de ser el resultado

3 4 3333 = =1 3 4 3333Y as nos encontramos con la sorpresa de que tambin 30 = 1. Esta curiosa relacin es vlida, sencillamente, para cualquier nmero. Como hemos mencionado ya, repetidamente, es lgico que todas las operaciones numricas encontradas y su bsica simplificacin, mediante los nmeros pequeos, son vlidas tambin para todos los otros nmeros. As, por ejemplo, 152.154 = 156, de la misma manera que 2112 2114 = 2126 Esta profundizacin no habra de prestarnos ya ningn valioso servicio, pues las operaciones semejantes a las de estos dos ltimos ejemplos


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son en cierto modo raras y los conocimientos' que hemos adquirido acerca de esto no nos serviran ms que como interesantes y entretenidas piezas del arte de calcular en casos determinados y especiales, si no fuera que habrn de permitirnos utilizar y aplicar el truco de nuestros numeritos a otros nmeros fundamentalmente distintos. La solucin del problema 4261 . 33448 =? quedara en efecto muy simplificada si pudisemos resolverlo jugando con nuestros numeritos como en el caso, por ejemplo, de la multiplicacin de 10 l00 El camino que conduce a este fin, y algunos se habrn ya percatado de ello, nos va a resultar poco largo. Sabemos que 100 = 10 10 = 102 y 1.000= 10 10 10= l03. Y ahora viene la cuestin que a primera vista parece sin sentido y absurda: Cuntas veces necesito multiplicar el 10 por s mismo para obtener, por ejemplo, 500? La pregunta nos choca de pronto porque en nuestro lenguaje vulgar y corriente nos dice de algo enteramente fuera de lgica. En realidad, es decir, concebida de modo puramente matemtico, la cosa vara por completo, pues puedo hallar en seguida una respuesta aproximada a nuestra pregunta. As: 500 se halla entre 100 y 1.000, es decir, entre 102 y 103. Para obtener 500 necesito, pues, indudablemente, multiplicar 10 por s mismo algo ms de dos veces y algo menos de tres. Reflexiona un poco por favor, lector amigo, depn los prejuicios que empaan la visin justa de las cosas y procura abarcar con la mirada enteramente despejada la clara evidencia de este desconcertante aserto! Despus de haberlo calculado realmente a fuerza de tiempo, se sabe hoy con absoluta precisin que para obtener 500 es necesario multiplicar 1o por s mismo 2,698970... veces (este nmero acaba en una fraccin decimal infinita no peridica). A la pregunta de: cuntas veces habr que multiplicar 10 por s mismo para obtener, por ejemplo, 7?, se puede contestar de modo anlogo. Tambin en este caso salta claramente a la vista que este ltimo nmero ser menor que 1 y mayor que 0; pues l00 da 1, mientras que 101 da l0. El nmero buscado es realmente 0,845098...; y ahora, para poner un par de instructivos ejemplos, vamos a escribir el valor de los numeritos que habrn de indicarnos las veces que debe multiplicarse el 10 por s mismo para obtener algunos nmeros vulgares. As, por ejemplo 100,47712... = 3 101,30103... = 20 101,69897... = 50 102,17609... = 150, etc

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Ms adelante averiguaremos de dnde salen estos nmeros. Ahora vamos a hacer, en primer lugar, un experimento de la mayor importancia. Puesto que 102 105 es igual a 107, la ley de simplificacin que aparece aqu de manifiesto debe conservar su validez aun cuando los numeritos que hacen de exponente de 10 no sean nmeros enteros, sino fracciones decimales. Vemoslo! 20 50, por ejemplo, equivale a 1.000, o sea l03. Pero si yo escribo 101,30103 en lugar de 20, y l01,69897 en lugar de 50, habr de resultar, para que dicha ley se cumpla, que el exponente del producto sea precisamente 3; y, para alegra nuestra, podemos ver que realmente estos excelentes numeritos cumplen fielmente su palabra; as: 101,30103 101,69897 = 101,30103 1,69897 =103 = 1.000 Una segunda prueba nos proporcionar un resultado idnticamente brillante con 3 = 100,47712 y 50 = 101,69897. As, pues, la suma de estos pequeos nmeros habr de darnos aquel pequeo nmero que nos indica cuntas veces hemos de multiplicar 10 por s mismo para obtener 150. Y, en efecto, es correcto! 3 50 = 100,47712 101,69897 = 100,47712 + 1, 69897 = 102,17609 Como podemos deducir de los ejemplos numricos arriba mencionados, tenemos 102,17609 = 150, lo que quera demostrarse. Una historia realmente fantstica ! No queremos ocultar ya, por ms tiempo, al lector, el nombre de estos exponentes quebrados. Todos aquellos pe-, queos nmeros que indican cuntas veces debe multiplicarse 10 por s mismo para obtener un nmero determinado se llaman logaritmos! Antes de seguir adelante en nuestro empeo de dar a conocer en toda su amplitud la curiosa magia de la tabla de multiplicar, descubriremos el secreto de la procedencia de estos logaritmos. Su obtencin en las tablas logartmicas es cosa bien sencilla, porque en stas figuran asentados en disciplinadas columnas los logaritmos pertenecientes a todos y cada uno de los nmeros imaginables... El lector dir Alto ah!sto es un disparate! Cmo es posible colocar todos estos nmeros en un breve manual? Esto es imposible! Pero se equivoca el amigo lector !Pues lo maravilloso de los logaritmos es que con un modesto montoncito de estos peones del arte de calcular basta ya para dominar todo el panorama de los nmeros que nos


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son accesibles. Cosa, aunque maravillosa, fcilmente comprensible, ya que lo que se ha procurado en primer trmino ha sido establecer un modo de escribir simplificado. Como hemos afirmado anteriormente, 3, por ejemplo, es igual a 100,477121.... Segn eso, el nmero 0,47712 es el logaritmo de 3. No hemos de olvidar, ni por un instante, que este logaritmo es el exponente de 10. Por consiguiente, se escribe: 10 log 3 = 0,47712... donde log es, simplemente, la abreviatura para logaritmo. Esto no significa sino que 0,47712... es el exponente de 10, equivale a 100,47712... = 3 De la misma manera, 10 log 2 = 0,30103... significa que 100,30103... = 2, y as sucesivamente. Los logaritmos que hemos tenido ocasin de conocer hasta ahora estn todos ellos referidos a nuestros aplicados' dieces. Existen, tambin, sistemas de logaritmos edificados sobre otros nmeros, es decir, tienen una base distinta de Io. Sin embargo, para facilitar las operaciones de multiplicar, dividir, etc., estn indicados solamente los logaritmos decimales. As, pues, en nuestros clculos nos las tendremos que ver siempre con estos logaritmos. Por consiguiente, no es siquiera necesario que hagamos alusin cada vez al:ro. Adems, prescindiremos tambin de los puntos, que significan simplemente que se trata de una fraccin decimal infinita. Esto lo sabemos ya, de una vez para siempre! As, pues, los logaritmos decimales los expresaremos sencillamente log 2 = 0,30103 log 3 = 0,47712 lo que debe enunciarse diciendo: El logaritmo de 3 es igual a 0,47712, y as sucesivamente. Naturalmente, tambin es posible una inversin de este mtodo, a saber, cuando se trata de buscar el nmero que corresponde a un logaritmo determinado. Esto se escribe como sigue antilog 0,47712 = 3

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Planteemos inmediatamente la siguiente pregunta: Cules son los logaritmos de 0,3, 3, 30, 300 y 3000? Basndonos en los conocimientos adquiridos, podemos averiguarlo enseguida, aunque sea de modo aproximado. Estos nmeros podemos representarlos como productos, es decir: 0,3=3 10-1; 3 =3 100, 30 = 3 101, 300=3 . 102, etc. Tenemos, por consiguiente 0,003 = 3 10-3 = 100,47712 10-3 = 100,47712 - 3 0,03 = 3 10-2 = 100,47712 10-2 = 100,47712 - 2 0,3 = 3 10-1 = 100,47712 10-1 = 100,47712 - 1 3 = 3 10-0 = 100,47712 10-0 = 100,47712 + 0 30 = 3 10+1 = 100,47712 10+1 = 100,47712 + 1 300 = 3 10+2 = 100,47712 10+2 = 100,47712 + 2 3000 = 3 10+3 = 100,47712 10+3 = 100,47712 + 3 30.000 = 3 10+4 = 100,47712 10+4 = 100,47712 + 4 Y este examen nos ofrece algunas comprobaciones del mayor inters y el ms elevado valor. En primer lugar, es vano el temor, antes enunciado, especto al desmesurado nmero de logaritmos que necesitaramos tener dispuestos para poder calcular con ellos, pues las partes de los logaritmos que no pueden saberse sin consultar las tablas, es decir, que no trascienden al exterior y que

el prodigioso jardin de las as

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