el nombre de función hiperbólica
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El nombre de función hiperbólica, surgió de comparar el área de una región semicircular, con el área de una región limitada por una hipérbola. En ciertas ocasiones las combinaciones de ex, e-x aparecen frecuentemente.
En las ecuaciones hiperbólicas , se acostumbra escribir el modelo matemático que le corresponde utilizando las funciones hiperbólicas definidas como sigue:
La función f: [R
Inversas de las funciones hiperbólicas
Las funciones recíprocas de las funciones hiperbólicas son:
Las series de Taylor de las funciones inversas de las funciones
hiperbólicas vienen dadas por:
FUNCIONES HIPERBOLICAS
Definiciones e Identidades
Las combinaciones
Cosh u = ½ ( e ^u + e ^-u) ( coseno hiperbólico de u)
Senh u = ½ ( e ^u - e ^-u) ( seno hiperbólico de u)
se presentan con tanta frecuencia en las aplicaciones que ha creído conveniente darles un nombre especial. De momento puede que no este clara la ecuación de los nombres introducidos, que resultaran obvios mas adelante.
Estas funciones se relacionan entre sí mediante reglas muy parecidas a las reglas que relacionan a las funciones cos u y sen u. Así como cos u y sen u pueden identificarse con el punto ( x, y) en el circulo unitario x² + y² = 1, así también las funciones cosh u y senh u pueden identificarse con las coordenadas de un punto ( x, y) sobre la hipérbola unitaria x² - y² =1.
A propósito suele pronunciarse cosh u como “cosh u” y senh u como “ senh u”.
Para comprobar que el punto de coordenadas x = cosh u e y = senh u esta sobre la hipérbola unitaria, sustituimos las relaciones que las definen en la ecuación de la hipérbola:
x² - y² =1
cosh² u - senh² u = 1
¼ ( e ^ 2u + 2 + e ^ -2u) - ¼ (e ^ 2u - 2 + e ^ -2u) = 1
¼ ( e ^ 2u + 2 + e ^ -2u - e ^ -2u + 2 - e ^ -2u) = 1
¼ ( 4) = 1
En realidad, si hacemos
x = cosh u = ½ ( e ^ u + e ^ -u).
y = senh u = ½ ( e ^ u - e ^ -u).
entonces, cuando u varia de - oo a + oo, el punto P ( x, y) describe la rama derecha de la hipérbola x² - y² = 1.
El primer elemento de la trigonometría hiperbólica que acabamos de establecer es la identidad básica
cosh² u - senh ² u = 1.
Esta expresión es análoga, pero no igual, a la identidad trigonometrica ordinaria cos² u + sen² u = 1.
Las funciones hiperbólicas restantes se definen en términos de senh u y cosh u como sigue:
Tangente
Cotangente
Secante
Cosecante
Dividiendo la identidad por cosh² u, resulta
1 - tanh² u = sech² u
Si dividimos por senh² u, obtenemos
coth² u - 1 = csch² u
Se deduce que
cosh u + senh u = e ^ u
cosh u - senh u = e ^ -u
Es, pues, evidente que cualquier combinación de las exponenciales e ^ u y e ^ -u puede sustituirse por una combinación de senh u y cosh u, y viceversa.
Como e ^ -u es positivo, se muestra que cosh u siempre es mayor que senh u. Pero para valores grandes de u, e ^ -u es pequeño y cosh u = senh u.
En x = 0, cosh x = 1 y senh x = 0, de modo que todas las funciones hiperbólicas tienen en x = 0 los mismos valores que las funciones trigonometricas correspondientes. El coseno hiperbólico es una funcion par, esto es,
cosh ( -x) = cosh x,
y el seno hiperbólico es una función impar, es decir,
senh (-x) = - senh x ;
de manera que la primera curva es simétrica respecto al eje x y la segunda lo es respecto al origen. Las funciones hiperbólicas se comportan también en esto como las funciones trigonométricas ordinarias ( o circulares).
GRAFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS
SENO HIPERBÓLICO:
COSENO HIPERBÓLICO
TANGENTE HIPERBÓLICA
COTANGENTE HIPERBÓLICA
SECANTE HIPERBÓLICA
COSECANTE HIPERBÓLICA
DOMINIOS Y RANGOS
SENO HIPERBÓLICO
DOMINIO : Reales
RANGO : Reales
COSENO HIPERBÓLICO
DOMINIO : Reales
RANGO : ( 1, oo)
TANGENTE HIPERBÓLICA
DOMINIO : Reales
RANGO : ( -1, 1)
COTANGENTE HIPERBÓLICA
DOMINIO : ( -oo, 0) ( 0, oo)
RANGO : ( -oo, -1 ) ( 1, oo)
SECANTE HIPERBÓLICA
DOMINIO : Reales
RANGO : ( 0, 1)
COSECANTE HIPERBÓLICA
DOMINIO : ( -oo, 0) ( 0, oo)
RANGO : ( -oo, 0) ( 0, oo)
IDENTIDADES
Mediante las definiciones y algo de álgebra se obtienen las identidades
senh ( x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y
cosh ( x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y
Las cuales, haciendo y = x,
Senh 2x = 2 senh x cosh x
Cosh 2x = cosh² x + senh² x
La segunda de estas expresiones permite obtener formulas del “ ángulo medio” sin mas que combinar la identidad
1 = cosh² x - senh² x.
Sumando resulta
cosh 2x + 1 = 2 cosh² x
mientras que si restamos se tiene
cosh 2x - 1 = 2 senh² x
Sustituyendo x = u / 2 y extrayendo raíces cuadradas, obtenemos las formulas
Cosh u /2 =* cosh u + 1 / 2
Senh u /2 = ± *cosh u -1 /2
La formula no tiene ( ±) en el segundo miembro porque el coseno hiperbólico es siempre positivo. El signo de senh ( u /2) es ( +) cuando u > 0, y ( -) cuando u < 0. Como el cosh u nuca es menor que 1, las formulas valen para todos los valores de u.
FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS
Usamos las inversas de las seis funciones funciones hiperbólicas en la integración. Dado que d ( senh x) / dx = cosh x > 0, el seno hiperbólico es una función creciente de x. La notación de su inversa es
y = senh ^ -1 x
Para cada valor de x en el intervalo - oo < x < oo, el valor de y = senh ^ -1 x es el número cuyo seno hiperbólico es x.
La función y = cosh x no es inyectiva, en cambio, la función restringida y = cosh x, x > 0, si lo es y, por tanto, tiene una inversa cuya notación es
y = cosh ^ x
para cada valor de x > 1, y = cosh ^ -1 x es el número, dentro del intervalo 0 < y < oo, cuyo coseno hiperbólico es x.
Igual que y = cosh, la función y = sech x = 1 / cosh x no es inyectiva, paro tiene inversa si se restringe a valores no negativos de x, y su notación es
y = sech ^ -1 x.
Para cada valor de x en el intervalo ( 0,1 ), y = sech ^ -1 x es el número no negativo cuya secante hiperbólica es x. La tangente, la cotangente y la cosecante hiperbólicas son inyectivas en sus dominios y por lo tanto, tienen inversas cuya notación es
y = tan^ -1 x, y = ctgh^ -1 x, y = csch ^ -1 x.
GRAFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
SENO HIPERBÓLICO INVERSO
COSENO HIPERBÓLICO INVERSO
TANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA
SECANTE HIPERBÓLICA INVERSA
COSECANTE HIPERBÓLICA INVERSA
COTANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA
DOMINIOS Y RANGOS
SENO HIPERBÓLICO INVERSO
DOMINIO : Reales
RANGO : Reales
COSENO HIPERBÓLICO INVERSO
DOMINIO : ( 1, oo)
RANGO : Reales
TANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA
DOMINIO : ( -1, 1)
RANGO : Reales
COTANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA
DOMINIO : ( -oo, -1) ( 1, oo)
RANGO : ( -oo, 0) ( 0, oo)
SECANTE HIPERBÓLICA INVERSA
DOMINIO : ( O, 1)
RANGO : Reales
COSECANTE HIPERBÓLICA INVERSA
DOMINIO : ( -oo, 0) ( 0, oo)
RANGO : ( -oo, 0) ( 0, oo)
Derivadas de funciones hiperbólicas
sinh(x)
cosh(x)
tanh(x)
csch(x)
sech(x)
coth(x)
--Jorgetr 22:09 3 ago 2009 (CST)
funciones hiperbólicas Inversas
