el método euleriano lagrangiano localizado adjunto para...
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El Método euleriano lagrangiano localizado adjunto para problemas no lineales: El caso de la
ecuación de Richards
Álvaro A. Aldama y Víctor Arroyo
Instituto Mexicano de Tecnología del AguaPaseo Cuauhnáhuac 8532, Jiutepec, Morelos, 62550 Mexico
2
ÍNDICE
Antecedentes
Motivación
Estudio de propagación de propiedades
Linealización Taylor-Fréchet
Formulación ELLAM
Ejemplos numéricos
Conclusiones
3
Antecedentes (1)
Métodos eulerianos para la solución de la ecuación de ADR lineal
El error de truncado en el tiempo domina la solución.
No aseguran conservación de masa global.
Un análisis de Fourier indica excesiva difusión numérica y grandes errores de fase.
Las mallas espacio-temporales deben ser excesivamente finas en problemas dominados por advección.
Cr<<1 (estabilidad)
Pe=O(1) (resolución espacial, problemático en problemas dominados por advección)
kccDcc+∇⋅∇
∂∂ ]-[- =
tv
4
Antecedentes (2)Métodos lagrangianos tradicionales (características o modificado de características) para la solución de la ecuación de ADR lineal
Tienen dificultad para incorporar los términos difusivos.
Mejoran considerablemente el error de truncado en el tiempo.
No aseguran conservación de masa global.
Hay dificultad en incorporar las condiciones de frontera sobre todo cuando las características interceptan las fronteras.
kccDcc+∇⋅∇
∂∂ ]-[- =
tv
5
Antecedentes (3)
Método euleriano-lagrangiano localizado adjunto (ELLAM; Celia et al., 1990, Herrera et al., 1994) para la solución de laecuación de ADR lineal
Mejoran considerablemente el error de truncado en el tiempo.
Aseguran conservación de masa global.
Cualquier condición de frontera se incorpora de manera natural cuando las características interceptan las fronteras.
Cr>0
Pe>0 (atractivo para problemas dominados por advección)
kccDcc+∇⋅∇
∂∂ ]-[- =
tv
6
Antecedentes (4)
Formulación ELLAM
ELLAM es un método de residuos ponderados, aplicable a ecuaciones diferenciales lineales del tipo siguiente:
fuL =)(
donde L( ) es un operador diferencial lineal; u, la variable dependiente, y f, un término independiente. ELLAM tiene su fundamento en la identidad siguiente (Herrera et al., 1993):
),()()( wuwuLuwL B⋅∇≡− ∗
donde w es una función de ponderación, L*( ) es el operador adjunto de L( ) y B( , ) es una forma bilineal apropiada. Usualmente w se elige de modo que L*(w)≡0, lo cual simplifica la solución de la ecuación anterior. Cuando dicha ecuación se plantea en forma localizada, se genera un sistema algebraico de ecuaciones lineales, de sencilla solución para valores discretos de u.
7
Antecedentes (5)
Ejemplo 1
8
Antecedentes (6)
Ejemplo 1 (continuación)
9
Antecedentes (7)
Ejemplo 2
10
Antecedentes (8)
Ejemplo 3
11
Antecedentes (9)
Ejemplo 4
12
Antecedentes (10)
Ejemplo 4 (continuación)
13
Antecedentes (11)
Ejemplo 4 (continuación)Solución en elemento finito tipo Galerkin (Wang et al., 1996)
14
Antecedentes (12)
Ejemplo 4 (continuación)Solución en elemento finito tipo Petrov-Galerkin (Wang et al., 1996)
15
Motivación (1)
Los métodos eulerianos no funcionan bien en la presencia de gradientes fuertes.
ELLAM ha sido aplicado satisfactoriamente en la solución de problemas lineales de transporte dominados por advección.
ELLAM, como cualquier otro método basado en la determinación de operadores adjuntos está limitado a problemas lineales. Por tanto, para solucionar problemas no lineales se deben de aplicar técnicas de linealización adecuadas.
Estrategias iterativas tipo Picard o de aproximaciones sucesivas han sido propuestas, sin embargo existe evidencia de que no trabajan de manera adecuada en la solución de la ecuación de Richards(Arroyo, 2004).
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Motivación (2)
Aldama y Arroyo (1998) han desarrollado y aplicado una estrategia de linealización basada en el uso de una expansión Taylor-Fréchet sobre un operador no lineal de ADR.
El procedimiento de solución viaELLAM se construye sobre la base de una linealización Taylor-Fréchet a lo largo de las líneas características.
La ecuación de Richards constituye un modelo adecuado para probar nuevas metodologías para la solución de problemas altamente no lineales.
),()(2
2
txf =cckxcD
xcv
tc +
∂∂−
∂∂+
∂∂
17
Motivación (3)
La ecuación de Richards (ER), que describe el movimiento del agua en suelos parcialmente saturados, es una EDP altamente no lineal.
Las técnicas eulerianas aplicadas a su solución requieren el uso de mallas extremadamente finas.
Esto queda claro al expresar la ER en la forma de una ecuación de advección-difusión-reacción.
Cuando hay un gradiente abrupto de contenido de humedad y, por tanto, de carga de presión, la ER posee propiedades análogas a las de de un problema dominado por advección.
zS
K = zz
SK
t
SKKwhere
=z
K z
K z
t
S N
2
2ψ)ψ()ψ(ψψ1
)ψ()ψ('ψ
ψ)ψ(;
ψ)ψ(':
;0ψ)ψ('ψ)ψ(ψ)ψ()ψ(
∂∂
∂∂
∂∂
+−∂∂
⇒∂∂
=∂∂
=
∂∂
−
∂∂
∂∂
−∂∂
≡
θ
18
Objetivo:
Desarrollar una técnica de linealización eficiente para la ecuación de Richards (EDP altamente no lineal) y verificar si ELLAM conserva sus ventajas en relación con las técnicas eulerianas.
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Estudio de propagación de propiedades de ELLAM (1) (análisis de Fourier)
Planteamiento del problema:
Considérese el siguiente problema lineal de advección-difusión-reacción (ADR) de valor inicial puro:
)(0)(
][);,(
)(
xh = x,c
0, = tx
0 = kc + xcD-
xcv +
tc c
t
2
2
∞Ω∈∞−∞∈
∂∂
∂∂
∂∂
≡
20
Estudio de propagación de propiedades de ELLAM (2) (análisis de Fourier)
Defínanse los siguientes números adimensionales:
)(10)(
)(
)(
)(
)(1
1)exp(,
2
tiempoelparapesodefactorCrINTNc
mallaladePecletdenúmeroCrPe
CourantdenúmeroxtVCr
dispersióndenúmerox
tDNcCr
tK
≤θ≤=
ρ=
∆∆
=
∆∆
=ρ
−−=ακ
−κ=γ
∆=κ
21
Estudio de propagación de propiedades de ELLAM (3) (análisis de Fourier)
Representación de Fourier de la solución analítica:
Factor de amplificación analítico:
Módulo:
Fase:
[ ])()(exp),(
)()(exp),(
2 kDtvtxiUtxc
ktxiUtxc
mmm
mm
+σ−−σ=
⇒ω=ω⇒ω−σ=
[ ][ ] [ ])()cos()(exp
)(exp)(2
2
tvisentvkDt
kDttviG
mmm
mmanm
∆σ−∆σ+σ∆−=
+σ∆−∆σ−=
( ) [ ])(exp)( 2 kDtGr manmanm +σ∆−=≡
[ ] [ ] tvGG manal anmanm ∆σ≡φ −=− )(Re/)(Imtan 1
22
Estudio de propagación de propiedades de ELLAM (4) (análisis de Fourier)
Representación de Fourier de la solución numérica:
Factor de amplificación numérico:
Módulo:
Fase:
⇒σω=ω⇒
∆ω−∆σ=≈
)(
)(exp~),(
m
mm
numnum
numnj tnxjiUctxc
)()cos(2)()Im()Re()(BExAE
iG numm +∆ση+η=
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ][ ] [ ])1()()(
)1()()2()()Im(
)1(cos)(cos)()1(cos)()2(cos)()Re(
−∆σ+∆σ++∆σ++∆σ=η
−∆σ−∆σ−+∆σ−+∆σ−=η
NcxsenGExNcsenFENcxsenEENcxsenDE
NcxGExNcFENcxEENcxDE
[ ] [ ] )()cos(2)(
)Im()Re(2/122
BExAErnum +∆σ
η+η=
ηη
=φ −
)Re()Im(tan 1
num
23
Estudio de propagación de propiedades de ELLAM (5) (análisis de Fourier)
Coeficientes para la función de peso lineal. ( )
( )
−−
−=
−−+
−=
−−+
−=
−−−
−=
+=
−=
αθγρα
ααγρα
αθγρ
α1θ1γρ622
γθρκ
γθρκ
32
32
32
αα
αα
ααα
)(163
1))(3(12-2+2+61
)3)(2(12+-32
GE
FE
EE
-+-61DE
2exp32EB
exp61EA
))((
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Estudio de propagación de propiedades de ELLAM (6) (análisis de Fourier)
Coeficientes para la función de peso constante.
[ ]
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ][ ][ ]
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
[ ] 5.0)(0;2)(5.05.0
5.0)(;05.0)(0;5.05.15.05.05.15.0
5.0)(;2)(5.15.0
5.0)(0;2)(5.05.0
5.0)(;5.15.05.05.05.25.05.0)(0;0
5.0)(;2)(5.05.0
)exp(243
)exp(81
≤−≤−−=
>−=≤−≤−−−++−+−−=
>−−−=
≤−≤−+=
>−−−−++−−−−=≤−≤=
>−−+−=
κ
ρ+=
κ
ρ−=
NcCrparaNcCrGE
NcCrparaGENcCrparaNcCrNcCrNcCrNcCrFE
NcCrparaNcCrFE
NcCrparaNcCrEE
NcCrparaNcCrNcCrNcCrNcCrEENcCrparaDE
NcCrparaNcCrDE
BE
AE
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Estudio de propagación de propiedades de ELLAM (7) (análisis de Fourier)
Condición de estabilidad:
Parámetros para la evaluación de la precisión:
Relación de amplitud
Error de fase
1≤numr
=
an
numm r
rR
π−
=Ω⇒φ+φ−=Ω − 2
)Re()Im(tan; 1
numm
nummmmanalmnummm G
GNNN
26
Estudio de propagación de propiedades de ELLAM (8) (análisis de Fourier) ecuación de advección pura
27
Estudio de propagación de propiedades de ELLAM (9) (análisis de Fourier) ecuación de advección-difusión
28
Estudio de propagación de propiedades de ELLAM (10)-ejemplo 1
1.0
c(x,t)
- 0.0 2.0 x
Advección pura
Pulso cuadrado
Caso Conservativo
0),2(2
;0)(
)(
)2,2()2,2(
][)2,2(
=
=−∉−∈
∞Ω∈−∈
∂∂
∂∂
tc
1;x,0c
1; = t,-c
xx
0, = t;x
0 = xcv+ t
c
t
2.0
29
Estudio de propagación de propiedades de ELLAM (11)-ejemplo 1 (continuación)
30
Estudio de propagación de propiedades de ELLAM (12)-ejemplo 2
0 = t,xc10;= t0,c0; = x,0c
0, = t;x
0 = kc+ xcD - x
cv+ tc
t
2
2
)(50)()(
25][)50,0(
∂∂
Ω∈∈
∂∂
∂∂
∂∂Advección-difusión-reacción.
31
Estudio de propagación de propiedades de ELLAM (13)-ejemplo 2 (continuación)
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Estudio de propagación de propiedades de ELLAM (14)
El estudio de propagación de propiedades permite concluir que:
No existen diferencias apreciables al usar una función de peso constante o una de tipo lineal.
La función de peso constante, propuesta por Herrera & Herrera (1993), es preferible para problemas con coeficientes variables, no lineales y en múltiples dimensiones, ya que la evaluación de las integrales que aparecen vía ELLAM se simplifica, especialmente cuando las características chocan con las fronteras.
33
Linealización (1) Expansión Taylor-Fréchet
Sea
donde
representa una función de corrección.
es evaluada en un tiempo previo, a lo largo de las líneas características.
v es definida como una “velocidad advectiva”.
1~
,),(~),(),( <<ψψ
ψ+ψ=ψ tztztz
vdttztz tt τ−∫=ξτ−ξ−ψ=ψ ),,(),(
),( tzψ
),(~ tzψ∗iz
1iz− 1iz+1nt +
nt
iz
)t,z(ψ
)t,z(~ψ
ξ
τ
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Linealización (2) Expansión Taylor-Fréchet
Sustituyendo en la ecuación de Richards se obtiene:
0);~()()~( 2 =ψ+ψψ+ψ=ψ+ψ
OdNNN
donde:
[ ]ψψ+
∂ψψ∂
−
∂ψ∂
ψ∂∂
−∂ψ∂
ψ=ψψ ~)(ˆ~)(ˆ~
)(~
)();~( Sz
Kz
Kzt
SdN
)/1)(()(ˆ zKK ∂ψ∂+ψ′≡ψ
tSS ∂ψ∂ψ′≡ψ /)()(ˆ
35
Linealización (3) Expansión Taylor-Fréchet
)ψ()ψ(ψ~)ψ(ˆ)ψ(ˆ
)ψ(1
ψ~)ψ()ψ(ψ~1ψ2
)ψ()ψ('ψ~
2
2
SNS
zK
S
zS
K = zz
SK
t
−
−
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
−∂∂
+∂ψ∂
ψψ−= 12)()('
z
SKv
Despreciando los términos de O(||ψ||2) , se obtiene la siguiente ecuación lineal no homogénea:
)ψ()ψ;ψ~( NdN −=
∼
o
Como puede observarse la ecuación anterior tiene la forma ADR, con velocidad advectiva dada por:
36
Linealización (4) Expansión Taylor-Fréchet
Se puede establecer el siguiente algoritmo para implementar la metodología expuesta:
Continuar
fin ,toleranciaψψψ Si
iteración) ésima-(ψ~ψ~ψ Hacer)ψ()ψ~( Solucionar
ψψ Hacers)iteracione de número máximo( hasta1: Para
iteración) (primeraψ~ψ~ψ Hacer)ψ()ψ~( Solucionar
),(ψψ Hacer
)1(
)1((j)
(j)
)1(
(0)
≤−
+=
−==
==+=
−=−−=
−
−
−
j
j
j
jNdN
nnj
NdNtx τξ
37
Formulación ELLAM (1)
Frontera de salida
1Cr0 ≤≤
2/1z 1z 2z3z 2/9z4z
*2z*
3z
*2/7t
*4t
nt
1nt +
Frontera de entrada
2/5z 2/7zELLAM considera la primera forma débil dN(ψ;ψ)=-N(ψ), integrándola sobre el dominio espacio-temporal en contra de la función de peso, como sigue:
( )
( )∫∫
∫∫
∂∂+
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−∂∂
+
=++
LT
LT
dtdztzwzKK ztS
dtdztzwSz
K
Kzt
S
00
0
,ψ)ψ()ψ(ψ)ψ(
,ψ~)ψ(ˆψ~)ψ(
ψ~)ψ(ˆψ~)ψ(0
∼ _ _
donde w es una función de peso.
38
Formulación ELLAM (2)
Integrando por partes, resulta:
∫
∫
∫
−
T
T
T
∫∫∫
∫∫
∫ ∫∫∫
∫∫∫
∫ ∫∫
+
−
∂∂
−∂∂
+∂∂
∂∂
−−
−
∂∂
+∂∂
+∂
∂
=
−
∂∂
−∂∂
−∂∂
∂∂
+
∂∂
+∂∂
−∂
∂
LTL
LT
T LLT
LTL
L LT
dzdtwSdzdtwSzwK
twS
dzdtzw
zKKK
dzdtwz
KKz
dzdttwS
dzdtwSzwK
twSdzdt
zw
zK
dzdtwz
KKz
dzdttwS
0000
00
0 000
0000
0 000
ψ)ψ(ˆ)ψ(ˆ)ψ(ˆ)ψ(
ψ)ψ()ψ(ψ)ψ(ˆ
ψ)ψ()ψ()ψ()ψ(
~)ψ(ˆ)ψ(ψ~)ψ(
ψ~)ψ(ψ~)ψ(ˆ)ψ~()ψ(
ψ
ψ
39
Formulación ELLAM (3)En el marco de ELLAM la función de peso w(z,t) se elige de tal forma que la cuarta integral de ambos miembros se elimine. Por otra parte, aplicando la fórmula de Green a la segunda integral de ambos miembros éstas se convierten en integrales de frontera. Por tanto, se obtiene:
( )∫∫∫∫
∫
∫∫∫
∫∫∫
∫ ∫∫
+∂∂
∂∂
−−
+
∂∂
+
+
∂∂
+−∂
∂−
=∂∂
∂∂
+
∂∂
+
−
∂∂
++∂
∂
LTLT
T
tL
T
t
LT
LTT
tL
L T
t
T
dzdtwSdzdtzw
zKKK
dttLwz
KK
dttwz
KKdzdttwS
dzdtzw
zKdttLw
zKK
dttwz
KKdzdttwS
0000
0 ),(
0 ),0(00
000 ),(
0 0 ),0(0
ψ)ψ(ˆψ)ψ()ψ(ψ)ψ(ˆ
),(ψ)ψ()ψ(
),0(ψ)ψ()ψ()ψ()ψ(
ψ~)ψ(),(ψ~)ψ(ψ~
),0(ψ~)ψ(ψ~)ψ~()ψ(
40
Formulación ELLAM(5)
zi+1zizi-1
z*i-1/2 z*itn
X
t
z
z
t
z*i-1/2 z*iz*i+1/2
zi zi+1/2
tn+1
tn+1
tn
z i+1/2
z*i+1/2
zi-1/2
zi-1/2
i2Ωi
1Ω
Con el fin de obtener expresiones localizadas, el dominio de integración espacio-temporal Ω≡[0,L]×[0,T] se subdivide en subdominios Ωj
n+1, de tal suerte que:
∪nj
nj
,
1+Ω=Ω
Las funciones de ponderación correspondientes a cada subdominio Ωj
n+1, wjn+1, se eligen de modo que
se satisfagan las siguientes expresiones:
1
2
12
111
Ω en
0
0)ψ()ψ(ˆ
)ψ()ψ(ˆ
+
+
+++
=∂
∂
=−∂
∂−
∂∂
nin
j
nj
nj
nj
zw
wSS
zw
SK
tw
Las funciones de ponderación espacialmente constantes poseen propiedades de propagación similares a las lineales, por tanto, wj
n+1 se elige como sigue:
Ω∈=++
∫
formaotrade0),(;),(
11
~)()(ˆ
ni
nj
tzetzw
t
nttd
SS
ψψ
41
Formulación ELLAM (6)
Tomando en cuenta el soporte compacto de wjn+1, la ecuación a resolver se transforma en:
∫∫∫∫
∫
∫
∫∫∫∫
∫
∫ ∫∫
+
−
++
−
+
+
+
+
−
++
−
+
+
+
−
++
++
+
+
++
+
++
+∂
∂
∂∂
−−
+
∂∂+
+
∂∂
+
−∂
∂−=
∂∂
∂∂
+
∂∂
+
−
∂∂
++∂
∂
2/1
2/1
12/1
2/1
1
1
1
2/1
2/1
12/1
2/1
1
1
2/1
2/1
11
ψ)ψ(ˆψ)ψ()ψ(ψ)ψ(ˆ
),(ψ)ψ()ψ(
),0(ψ)ψ()ψ(
)ψ()ψ(ψ~)ψ(
),(ψ~)ψ(ψ~)ψ(ˆ
),0(ψ~)ψ(ψ~)ψ~(
)ψ(
11
1
),(
1
),(
11
1
),(
1
),0(
1
i
i
n
n
i
i
n
n
n
n
n
n
i
i
n
n
i
i
n
n
n
n
i
i
n
n
n
n
z
z
nj
t
t
z
z
nj
t
t
t
t
nj
tL
t
t
nj
to
z
z
nj
t
t
z
z
nj
t
t
nj
t
t tL
z
z
nj
t
t t
nj
t
t
dzdtwSdzdtz
wz
KKK
dttLwz
KK
dttwz
KK
dzdtt
wSdzdt
zw
zK
dttLwz
KK
dttwz
KKdzdtt
wS
Esta ecuación puede ser resulta a través de técnicas estándar de integración, como la regla trapezoidal.
42
Ejemplos numéricos (1)Ejemplo 1
Considérese un flujo de redistribución con flujo total de Darcy nulo en la superficie, donde la columna de suelo tiene una altura de 5m. En la base, la carga de presión es nula. La condición inicial es cercana a la saturación.
z=0
z=5m
0;01ψ >=
+∂∂−= tzKq
z
0;07.0),0(ψ >−= tt
33.05
54.0)0,(ψ
−+−= zz
15.0r =θ
38.0s =θ
m2.1s −=ψ
4n =
m/h01.0Ks =
0Ss =
43
Ejemplos numéricos (2)Ejemplo 1 (continuación)
-6
-5
-4
-3
-2
-1
00 1 2 3 4 5
Depth, m
Pre
ssur
e, m
HYD1T-F ELLAM1HYD2T-F ELLAM2FD
t=1 hr
t=70000 hr
t=0EF (HYD1) (∆t=0.01h, ∆z=0.1m)
FD (∆t =0.1h; ∆z = 0.1m)
T-F ELLAM1 (∆t =1hr; ∆z =1m)
T-F ELLAM2 (∆t =0.25, ∆z =0.5m)
Elemento finito y diferencias finitas no convergen a la solución para tiempos largos.
T-F ELLAM converge a la distribución hidrostática para tiempos largos.
44
Ejemplos numéricos (3)Ejemplo 2
En este caso se simula infiltración en una columna de suelo de 1.25 m de altura. La condición inicial es una condición uniforme de humedad en toda la columna que corresponde a una presión de –3m (suelo seco), la condición de frontera en la superficie es una condición tipo Dirichlet con un valor de la presión de –1.0m. En la parte inferior (z=0) la condición de frontera es también tipo Dirichlet con un valor de la presión de –3.0 m. Los parámetros del suelo empleados son:
z=0
z=1.250;0.1),25.1(ψ >−= tt
0;0.3),0(ψ >−= tt
0.3)0,(ψ −=z
m2.1s −=ψ
4n =
m/h01.0Ks =
0Ss =
15.0r =θ
38.0s =θ
45
Ejemplos numéricos (4)Ejemplo 2 (continuación)
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
z, m
carg
a de
pre
sión
, m "exacta"
T-F ELLAM 10
EF 10
T-F ELLAM 120
EF 120
“Exacta” FD (∆t =0.01h; ∆z = 0.00833 m)
T-F ELLAM (∆t =1h; ∆z =0.125 m)
EF ( ∆t=1h, ∆z =0.125 m)
Las soluciones se presentan para:
t=10 h
t=120 h
46
Ejemplos numéricos (5)Ejemplo 3
Este ejemplo en dos dimensiones corresponde a una infiltración de una lámina parcial de agua en una columna de suelo de 5.0 m x 5.0 m. La condición inicial es una condición uniforme de humedad en toda la columna que corresponde a una carga de presión de –1.0 m.
m2.1s −=ψ
4n =
m/h01.0Ks =
0Ss =
15.0r =θ
38.0s =θ
47
Ejemplos numéricos (16)Ejemplo 6 (continuación)
Solución “exacta”
∆z=0.125m, ∆t =0.25ht=30 h t=1000 h
48
Ejemplos numéricos (17)Ejemplo 6 (continuación)
Solución T-F ELLAM
∆z=0.125m, ∆t =25 ht=30 h t=1000 h
49
Ejemplos numéricos (18)Ejemplo 6 (continuación)
Solución Picard ELLAM
∆z=0.125m, ∆t =25 ht=30 h t=1000 h
50
Conclusiones
Se ha demostrado la viabilidad de aplicar ELLAM a la solución de problemas no lineales en los que existe la propagación de frentes con gradientes pronunciados.
Se ha realizado, por vez primera, un análisis de Fourier para determinar las propiedades de propagación de ELLAM. Gracias a esto, se ha demostrado que la función de ponderación espacialmente constante posee propiedades de propagación muy similares que las de la función de ponderación espacialmente lineal. La primera es preferible al aplicar ELLAM a problemas multidimensionales y no lineales, pues facilita el tratamiento de las integrales espacio-temporales que surgen al aplicar el método.
Se desarrolló una metodología de linealización basada en una expansión Taylor-Fréchet a lo largo de las características, con el objeto de aplicar ELLAM a una ecuación diferencial lineal, y estar en posibilidad de determinar el operador adjunto del operador diferencial original.
El método TF-ELLAM funciona incluso en casos en los que el método de Picard-ELLAM falla.
La metodología desarrollada ha sido probada con excelentes resultados en la solución de la ecuación diferencial altamente no lineal de Richards.