Rev. Int. Met. Num. Calc. Dis. Ing.Vol. 20, 3, 235-246 (2004) Revista Internacional de

Metodos Numericos paraCalculo y Diseno en Ingenierıa

El metodo de puntos finitos para problemas de ladinamica de solidos

Franco PerazzoDepartamento de MecanicaUniversidad Tecnica Federico Santa MarıaAvenida Espana 1680, Valparaıso, ChileTel.: 56-32-65 41 62; Fax: 56-32-797 472e-mail: franco.perazzo@usm.cl

Juan Miquel y Eugenio OnateCentro Internacional de Metodos Numericos en Ingenierıa (CIMNE)Universidad Politecnica de CatalunaGran Capitan s/n, Edificio C1, Campus Norte08034 Barcelona, EspanaTel.: 34-93-205 70 16; Fax: 34-93-401 65 17e-mail: cimne@cimne.upc.es

Resumen

En este trabajo se desarrolla la formulacion del metodo sin malla de puntos finitos (MPF) para el analisis deproblemas de la dinamica lineal de solidos. El metodo utiliza una aproximacion por mınimos cuadrados conuna funcion de ponderacion fija y un esquema de colocacion puntual. Para resolver el sistema de ecuacionesdependientes del tiempo se ha implementado un esquema de integracion temporal explıcita de diferenciasfinitas centradas. Para mejorar la aproximacion de la solucion en las regiones cercanas al contorno se utilizauna tecnica de estabilizacion basada en el procedimiento de calculo finitesimal. Los ejemplos numericosdesarrollados muestran que con esta tecnica se pueden corregir las inestabilidades tıpicas que introduce elprocedimiento de colocacion puntual, principalmente en aquellos subdominios de interpolacion de formasasimetricas.

Palabras clave: metodos sin malla, metodo de puntos finitos, calculo dinamico.

A FINITE POINTS METHOD FOR SOLIDS DYNAMIC PROBLEMS

Summary

In this paper the formulation of meshless finite points method (FPM) for the analysis of lineal dynamic solidsproblems is developed. The method is based on a weighted least square function approach, with collocationscheme. To solve the system of dependent equations of the time, a method of explicit temporary integrationnamed centered finite differences has been implemented. To improve the approach of the solution in theboundary regions, a stabilization technique based on the procedure of finite calculus is used. The numericexamples developed show that with this technique, the typical problems that introduces the collocationprocedure can be corrected, mainly in those sub-domains with asymmetric shapes.

Keywords: meshless method, finite points method, dynamic problems.

c©Universitat Politecnica de Catalunya (Espana). ISSN: 0213–1315 Recibido: Abril 2004 Aceptado: Junio 2004

236 F. Perazzo, J. Miquel y E. Onate

INTRODUCCION

Desde sus inicios el Metodo de Puntos Finitos (MPF) ha demostrado ser una efectivatecnica sin malla para la resolucion de problemas de la mecanica de fluidos y solidos4,5,6,11.En el MPF la aproximacion local se obtiene mediante la tecnica de mınimos cuadradosponderados, utilizandose colocacion puntual para obtener el sistema de ecuaciones diferen-ciales.

En este artıculo se desarrolla la formulacion de esta tecnica para su utilizacion en pro-blemas de la dinamica de solidos. Un aspecto fundamental del MPF en las aplicacionespara problemas de la dinamica, consiste en la estabilizacion del sistema de ecuacionesdiferenciales. A diferencia de lo propuesto en otros metodos sin malla para este tipo deaplicaciones3,16,13,15, en el MPF la forma estable del sistema de ecuaciones diferenciales seobtiene por medio del procedimiento de calculo finitesimal7,8,10.

En los siguientes apartados se presentan los principales aspectos de la implementaciondel MPF para la solucion de problemas en la dinamica lineal de solidos; los ejemplosnumericos desarrollados permiten corroborar la importancia de la tecnica de estabilizacionutilizada.

APROXIMACION POR MINIMOS CUADRADOS CON FUNCION DEPONDERACION FIJA

Se presentan a continuacion las principales expresiones de la tecnica de interpolacionpor mınimos cuadrados utilizada en el MPF. Un estudio mas extenso de esta tecnica, suspropiedades y caracterısticas respecto de las aproximaciones utilizadas en otros metodossin malla, ha sido desarrollado por los autores en12.

En el MPF la aproximacion local de la funcion incognita u(x) en el subdominio o nubeΩI se construye de la siguiente forma

u(x) ∼= u(x) =

m∑

i=1

pi(x)αi = pT (x)α ∀xI ∈ Ω,∀x ∈ ΩI (1)

siendo αT = [α1, α2, . . . , αm] un vector de parametros constantes, es decir, validos unicamenteen la respectiva nube ΩI y que no dependen de las coordenadas espaciales x, y pT (x) labase de interpolacion que contiene tıpicamente monomios. Tal como en una interpolacionpor mınimos cuadrados, la condicion de que el numero de puntos n en la nube sea mayorque el numero de terminos m de la base de interpolacion, impide que la aproximacion u(x)se ajuste a todos los valores nodales u(xj) = uh

j con j = 1, ...., n. Para solventar esto serecurre a la minimizacion de la suma del error en cada punto, ponderado por una funcionfija como

JI =

n∑

j=1

w(xI − xj)(uh

j − pT (xj)α)2

(2)

cuya forma compacta matricial es

JI =(uh−P(xI)α

)TWI

(uh−P(xI)α

)(3)

donde

uh =[uh

1 , uh2 , . . . , uh

n

]T,∈ V ec(n)

El metodo de puntos finitos para problemas de la dinamica de solidos 237

P(xI ) =

p1(x1) p2(x1) · · · pm(x1)p1(x2) p2(x2) · · · pm(x2)...

.... . .

...p1(xn) p2(xn) · · · pm(xn)

, ∈ Mat(n × m) (4)

WI =

w(xI − x1) 0 · · · 00 w(xI − x2) · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · w(xI − xn)

, ∈ Mat(n × n) (5)

siendo w(xI − xn) la funcion de ponderacion fija de Gauss10,11. La minimizacion estandardel funcional (2) respecto del vector α permite obtener

α =C−1I uh, conC

−1I = A−1

I BI (6)

con AI = A (xI) (matriz de momentos) y BI = B (xI) , respectivamente

AI = PT (xI )WIP(xI) (7)

[AI ]ij =

n∑

k=1

pi(xk)w(xI − xk)pj(xk) i, j = 1, ....,m (8)

BI = PT (xI)WI (9)

[BI ]ij = pi(xj)w(xI − xj) i = 1, . . . ,m j = 1, . . . , n (10)

La aproximacion final en el MPF se consigue reemplazando la expresion (6) en (1), con loque se obtiene

u(x) ∼= u(x) = pT (x)C−1I uh

=

n∑

i=1

m∑

j=1

m∑

k=1

pk(x) [AI ]−1kj [BI ]ji u

hi ∀x ∈ ΩI (11)

siendo las funciones de forma

φiI(x) = pT (x)C

−1I = pT (x)A−1

I BI

=

m∑

j=1

m∑

k=1

pk(x) [AI ]−1kj [BI ]ji , i = 1, ...n (12)

Si en (2) se elige una funcion de ponderacion igual a la unidad, se obtiene una aproximacionpor mınimos cuadrados estandar. Se debe notar, de acuerdo con la expresion (1), que laaproximacion se define para cada subdominio de interpolacion ΩI . En consecuencia, unpunto i que pertenezca a dos nubes ΩI y ΩJ , respectivamente, y entre las cuales existacierto traslape, tendra asociadas diferentes funciones de forma segun si se adscribe a una uotra nube, lo que significa φi

I(x) = φiJ(x). La interpolacion resulta ahora multievaluada en

i, por lo que es preciso tomar alguna decision que limite la eleccion a un unico valor. En elMPF, por ejemplo, esta disyuntiva se resuelve utilizando un procedimiento de colocacionpuntual4,6,9,11.

238 F. Perazzo, J. Miquel y E. Onate

FORMULACION DEL PROBLEMA DINAMICO

En este apartado se desarrolla la formulacion del MPF para su aplicacion en ejemplos dela dinamica lineal de solidos. Se pretende de esta manera extender el campo de utilizaciondel MPF a problemas donde intervienen fuerzas de inercia, pero sin considerar fuerzas deamortiguamiento. Sin perdida de generalidad, a continuacion se ejemplifica la obtenciondel sistema de ecuaciones para el caso 2D. Igual procedimiento se puede adoptar para elcaso 3D. Utilizando los conceptos del calculo finitesimal7, se plantea el equilibrio de fuerzasen el interior del cuerpo para el dominio finito de espesor unitario mostrado en la Figura 1.

Figura 1. Dominio finito en el interior del cuerpo

El sistema de ecuaciones que se obtiene es

hy

2[(σx)A + (σx)D] −

hy

2[(σx)C + (σx)B] +

hx

2

[(τyx)A + (τyx)B

]−

−hx

2

[(τyx)C + (τyx)D

]+ hxhyρbx = m

..u (13)

para el eje x.

hx

2

[(σy)B + (σy)A

]−

hx

2

[(σy)D + (σy)C

]+

hy

2

[(τxy)B + (τxy)C

]−

−hy

2

[(τxy)D + (τxy)A

]+ hxhyρby = m

..v (14)

para el eje y, respectivamente. Las fuerzas de inercia se han reemplazado por el productode la masa m del dominio y la correspondiente aceleracion

..u o

..v.

Utilizando una expansion en serie de Taylor de tercer orden para los esfuerzos en B, C,D en las expresiones anteriores y simplificando por el producto (hxhy), se obtiene

[∂σx

∂x+

∂τyx

∂y+ ρbx

]−

hx

2

[∂2σx

∂x2+

∂2τyx

∂x∂y

]−

hy

2

[∂2σx

∂x∂y+

∂2τyx

∂y2

]= ρ

..u

[∂σy

∂y+

∂τxy

∂x+ ρby

]−

hx

2

[∂2σy

∂x∂y+

∂2τxy

∂x2

]−

hy

2

[∂2σx

∂y2+

∂2τxy

∂x∂y

]= ρ

..v

El metodo de puntos finitos para problemas de la dinamica de solidos 239

o en forma compacta matricial

r3 −1

2hT · ∇r3 = 0

r4 −1

2hT · ∇r4 = 0 (15)

donde

r3 =∂σx

∂x+

∂τxy

∂y+ ρbx − ρ

..u

r4 =∂σy

∂y+

∂τxy

∂x+ ρby − ρ

..v

siendo ∇ el operador gradiente y el vector h

h =

[hx

hy

]

El sistema de ecuaciones (15) se puede particularizar para los casos que se ejemplificaranmas adelante, es decir, cuando no existen fuerzas masicas y se utiliza un polinomio base deinterpolacion cuadratico (m = 6). Bajo estos supuestos, el sistema final de ecuaciones enel dominio es

r3 =∂σx

∂x+

∂τxy

∂y− ρ

..u = 0

r4 =∂σy

∂y+

∂τxy

∂x− ρ

..v = 0 (16)

Para obtener el sistema de ecuaciones estabilizado en el contorno de Neumann se planteael equilibrio de fuerzas horizontales y verticales sobre el prisma de espesor unitario mostradoen la Figura 2.

Figura 2. Dominio finito en el contorno del cuerpo

240 F. Perazzo, J. Miquel y E. Onate

Reemplazando los terminos de las fuerzas de inercia como antes, el sistema adopta lasiguiente forma

∑Fx = (σx)B 2hy + (τyx)D 2hx −

4

2hxhyρbx − txl + m

..u= 0

∑Fy = (σy)D 2hx + (τxy)B 2hy −

4

2hxhyρby − tyl + m

..v= 0 (17)

utilizando una expansion en serie de Taylor de segundo orden para los esfuerzos en B, D setiene en (17)

σx2hy

l+ τyx

2hx

l− tx −

2hxhy

l

[∂σx

∂x+

∂τyx

∂y+ ρbx − ρ

..u

]= 0

σy2hx

l+ τxy

2hy

l− ty −

2hxhy

l

[∂σy

∂y+

∂τxy

∂x+ ρby − ρ

..v

]= 0 (18)

Notando que las componentes de la normal unitaria en el punto A del contorno son

nx =2hy

l, ny =

2hx

l

y que

2hxhy

l=

hxhy

l+

hxhy

l=

hxnx

2+

hyny

2=

1

2[hxnx + hyny]

se tiene finalmente en (18), cuando no existen fuerzas de cuerpo, el siguiente sistema

σxnx + τyxny − tx −1

2[hxnx + hyny]

[∂σx

∂x+

∂τyx

∂y− ρ

..u

]= 0

σxny + τxynx − ty −1

2[hxnx + hyny]

[∂σx

∂x+

∂τyx

∂y− ρ

..v

]= 0

el cual puede ser expresado en forma compacta como

(σxnx + τxyny − tx

)−

1

2hT · n [r3] = 0

(σxny + τxynx − ty

)−

1

2hT · n [r4] = 0 (19)

siendo el vector normal n

n =

[nx

ny

]

Es interesante destacar como el sistema de ecuaciones (19) incluye el efecto de los puntosadyacentes al contorno de Neumann, terminos r3 y r4, respectivamente.

IMPLEMENTACION COMPUTACIONAL

La solucion al problema dinamico se encuentra resolviendo para cada instante de tiempoel sistema que forman (16) y (19) mas las condiciones de contorno de Dirichlet. Para resolverel sistema final de ecuaciones, ademas de reemplazar las relaciones tension-deformacion

El metodo de puntos finitos para problemas de la dinamica de solidos 241

y deformacion-desplazamientos para un material elastico lineal, es necesario implementarun esquema de integracion temporal para obtener los desplazamientos en un determinadopaso de tiempo. Utilizando un esquema explıcito de diferencias centradas, se tiene que losdesplazamientos en el intervalo de tiempo (t + ∆t) se calcularan recursivamente como2,1

u(t+∆t) = 2u(t) − u(t−∆t) + ∆t2..u(t)

v(t+∆t) = 2v(t) − v(t−∆t) + ∆t2..v(t) (20)

lo que supone conocer o calcular el desplazamiento y la aceleracion actual(u(t),

..u(t)

), pero

tambien el desplazamiento previo u(t−∆t). Para esto se utiliza la siguiente relacion

u(t−∆t) = u(t) − ∆t.u(t) +

∆t2

2

..u(t) (21)

donde la velocidad es

.u(t)=

u(t+∆t) − u(t−∆t)

2∆t

Similares relaciones se emplean para v(t−∆t). Se debe tener presente que en el inicio, esdecir, en t = 0, es necesario calcular u(−∆t) mediante la relacion (21) para que de comienzoel algoritmo (20). Esto supone conocer como dato inicial el desplazamiento y la velocidaden t = 0 (u0 y v0). Notar en este caso que la aceleracion en t = 0 (

..u0) se obtiene resolviendo

inicialmente el sistema que forman (16) y (19).Por ultimo, para encontrar la solucion del problema dinamico es necesario calcular las

componentes del vector h. Para esto se utilizan los conceptos de las distancias mınimascaracterısticas en la nube descritos en la referencia 12.

EJEMPLOS NUMERICOS

Propagacion de una onda 1D

Como primer ejemplo se analiza el comportamiento del MPF para el problema de propa-gacion de una onda en un medio unidimensional. La Figura 3 muestra las caracterısticasgeometricas del modelo, siendo las propiedades mecanicas del material: E = 3, 0 × 107 psi,ρ = 7, 35 × 10−4 slug/in3 y el area de la barra A = 1 in2. La barra se somete a un esfuerzoaxil impulsivo, constante en el tiempo, de σ0 = 1000 psi. Para obtener la solucion numericaen el caso del MPF se ha utilizado un paso de tiempo ∆t = (Lmin/c), donde Lmin es la

distancia mınima entre dos puntos y c = (E/ρ)1/2 la velocidad de propagacion de la ondaen el cuerpo.

Figura 3. Barra sometida a carga impulsiva

242 F. Perazzo, J. Miquel y E. Onate

La solucion teorica para este ejemplo viene dada por la referencia 1

u(x, t) =8σ0L

π2E

∞∑

n=1

±

(1 − cos

[(2n−1

2

)π ct

L

]

(2n − 1)2

)sin

[(2n − 1)

2π

x

L

](22)

expresion que permite ademas encontrar la velocidad.u y la deformacion u,x.

Los resultados indican el correcto comportamiento del metodo, tanto en desplazamien-tos como en tension, para las distintas discretizaciones utilizadas. En todos los casos sehan utilizado nubes de n = 5 puntos y una base de interpolacion cuadratica (m = 3). Porejemplo, las Figuras 4, 5 y 6 muestran la convergencia hacia la solucion teorica del desplaza-miento, la velocidad y el esfuerzo para un punto ubicado en el centro de la barra (x = 50).En el caso de los desplazamientos se comprueba que con 33 puntos la solucion numericacoincide con la expresion (22); esta buena correlacion con los valores teoricos tambien selogra para la velocidad y el esfuerzo con tan solo 41 puntos.

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

0.0035

0.004

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004

Des

pla

zam

iento

[in

]

Tiempo [s]

7-puntos11-puntos33-puntos

teorica

Figura 4. Desplazamiento del punto central para distintas discretizaciones

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004

Vel

oci

dad

[in

/s]

Tiempo [s]

7-puntos33-puntos41-puntos

teorica

Figura 5. Velocidad del punto central para distintas discretizaciones

El metodo de puntos finitos para problemas de la dinamica de solidos 243

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004

Esf

uer

zo [

psi

]

Tiempo [s]

7-puntos11-puntos41-puntos

teorica

Figura 6. Esfuerzo en el punto central para distintas discretizaciones

Finalmente, la Figura 7 muestra la posicion de la onda de 1000 psi en un instante detiempo, durante su viaje de propagacion a traves de la barra. Se aprecia claramente comoel perfil de la onda comienza a definirse a medida que se aumenta el numero de puntos,lograndose ya con 41 puntos el perfil esperado.

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 20 40 60 80 100

Esf

uer

zo [

psi

]

Posicion (x)

11-puntos21-puntos33-puntos41-puntos

Figura 7. Distribucion del esfuerzo axil en el vigesimo paso de tiempo

Ejemplo 2D. Mensula sometida a carga impulsiva

La mensula de la Figura 8 esta sometida en su extremo libre a una carga impulsivade magnitud P0 = 1000 lb. Sobre el empotramiento se prescriben los desplazamientosde acuerdo con la solucion teorica para un caso estatico14, utilizandose una discretizacionregular de 27, 95 y 175 puntos. Para las propiedades del material se han utilizado los

244 F. Perazzo, J. Miquel y E. Onate

siguientes valores: modulo de elasticidad E = 2, 08×106 psi, coeficiente de Poisson ν = 0, 3y densidad ρ = 7, 35 × 10−4 slug/in3. El problema se ha resuelto considerando condicionesde deformacion plana, una base de interpolacion cuadratica y nubes de 9 puntos.

En este caso se ha efectuado una modelacion mediante el metodo de elementos finitos(MEF) para comparar los resultados; tambien en la referencia 2 se analiza el comportamien-to dinamico de la mensula de este ejemplo. Los resultados que se obtienen para las tresconfiguraciones de puntos muestran un adecuado comportamiento respecto de la modela-cion con el MEF. A continuacion se muestran los principales resultados para el arregloregular de 95 puntos.

Figura 8. Mensula sometida a carga impulsiva

Las Figuras 9 y 10 muestran la variacion temporal del desplazamiento en el punto A dela mensula, para un tiempo total de analisis de 0,025 s. Esta vez el paso de tiempo se hacalculado como ∆t = 0, 1(Lmin/c). En ambos casos los resultados que se obtienen con elMPF se comparan favorablemente con aquellos que entrega el codigo de elementos finitos,usando elementos CST.

Figura 9. Variacion temporal del desplazamiento horizontal para el punto A dela mensula

El metodo de puntos finitos para problemas de la dinamica de solidos 245

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

MPF

MEF

Tiempo (s)

De

sp

laza

mie

nto

(in

)

Figura 10. Variacion temporal del desplazamiento vertical para el punto A de lamensula

Finalmente, a traves del analisis con el MPF se ha calculado un perıodo fundamentalde 0,0123 s para la mensula, valor que se compara favorablemente con los 0,0124 s que seobtienen en la referencia 2.

CONCLUSIONES

Se ha desarrollado la formulacion de las ecuaciones estabilizadas que rigen el compor-tamiento dinamico 2D, de un solido lineal elastico, para ser implementadas numericamenteen el metodo sin malla de puntos finitos. Este desarrollo se puede extender sin dificultadpara un caso 3D. La tecnica de estabilizacion mediante el procedimiento del calculo finites-imal resulta fundamental de cara a obtener resultados satisfactorios en el analisis dinamicomediante el MPF.

Los resultados de los ejemplos 1D y 2D muestran una adecuada convergencia del metodoy se comparan favorablemente con los que proporciona el MEF. En el caso 1D el metodo depuntos muestra una convergencia mas rapida que el MEF para las diferentes discretizacionesanalizadas. En el caso 2D el metodo de puntos y el MEF muestran una convergenciasimilar, sin embargo, el intervalo de tiempo crıtico condiciona notablemente los resultadosen el MPF. Como se sabe, el esquema de integracion de diferencias centradas que se utilizoes condicionalmente estable; esto supone calcular un intervalo de tiempo ∆t crıtico paraprevenir posibles problemas de estabilidad.

AGRADECIMIENTOS

El presente trabajo ha sido auspiciado por el Programa MECESUP del Ministerio deEducacion del Gobierno de Chile a traves del proyecto FSM 0104, y de la Direccion Generalde Investigacion y Postgrado de la Universidad Tecnica Federico Santa Marıa a traves delproyecto de investigacion USM 250301.

246 F. Perazzo, J. Miquel y E. Onate

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