El mtodo de los elementos finitos en la ingeniera prcticaEl clculo en ingenieraUna de las tareas fundamentales del ingeniero consiste en el "clculo", esto es la prediccin cuantitativa del comportamiento de un sistema tecnolgico para proceder a su diseo eficiente.Para ello debe hacer uso de conceptos de fsica y matemtica, adems de cuestiones relacionadas con el estado del arte de una aplicacin en particular, para formular un modelo matemtico del sistema en consideracin. Dicho modelo no es ms que un sistema de ecuaciones cuyas incgnitas representan magnitudes de inters tecnolgico que permiten describir el comportamiento del objeto bajo anlisis. Consecuentemente, para llevar a cabo la prediccin en s misma, el ingeniero debe resolver cuantitativamente las mencionadas ecuaciones para dedicarse, a continuacin, a la interpretacin tcnica y al anlisis de los resultados.En muchas situaciones, los modelos pertinentes involucran problemas de contorno gobernados por ecuaciones diferenciales a derivadas parciales. Por mencionar algunos de dichos casos pueden citarse el estudio estructural de automviles, aviones, puentes, o el anlisis de campo de flujo de calor en componentes de mquinas, flujo de fluidos, filtracin en presas de tierra, etc.Debido a la gran dificultad para obtener soluciones analticas a las ecuaciones aludidas, la ingeniera ha recurrido, histricamente, al uso de modelos simplificados basados en resultados experimentales, experiencia y en el mejor de los casos en unas pocas soluciones matemticas particulares relativas a un modelo ms preciso.Estos modelos simplificados constituyen la denominada "ingeniera prctica" y se encuentran reunidos en manuales y cdigos de recomendaciones prcticas o reglamentos.Esta metodologa general de la ingeniera ha dado muy buenos resultados y an lo sigue haciendo. No obstante, es importante notar que se trata de una metodologa que presenta fuertes limitaciones en cuanto a las posibilidades de anlisis, hecho que se hace ms grave si se consideran las crecientes necesidades de la tecnologa moderna.Este cuadro ha ido cambiando con el advenimiento de la computacin electrnica y con el desarrollo asociado de mtodos computacionales. En el contexto que se alude han aparecido importantes tcnicas numricas entre las cuales se destacan los mtodos de diferencias finitas, elementos de contorno y elementos finitos.En particular este ltimo es el ms poderoso y, en consecuencia, el ms utilizado.A continuacin se realiza una somera descripcin del mismo para luego comentar algunas de sus muchsimas aplicaciones en la ingeniera prctica.fundamentos del mtodo de los elementos finitosSe trata de un mtodo general para la solucin de problemas de contorno gobernados por ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales. En esencia se trata de una tcnica que sustituye el problema diferencial por otro algebraico, aproximadamente equivalente, para el cual se conocen tcnicas generales de resolucin. Para ello hace uso de la "discretizacin" o subdivisin de una regin sobre la cual estn definidas las ecuaciones en formas geomtricas simples denominadas elementos finitos. Las propiedades materiales y relaciones gobernantes en estos elementos se expresan en funcin de los valores desconocidos en las "esquinas" de los elementos o nodos (ver Figura 1).Una de las ventajas de este mtodo es su facilidad de implementacin en un programa computacional, que a su vez es una condicin bsica para su utilizacin ya que para el tratamiento de un problema en particular debe efectuarse un nmero muy elevado de operaciones para resolver sistemas algebraicos del orden de cientos o miles de ecuaciones. No obstante, esta cantidad no es una limitacin con las computadoras estndar de hoy.Las ideas bsicas de este mtodo se originaron en avances en el anlisis estructural de la industria aeronutica en la dcada del '50. En la dcada del '60 el mtodo fue generalizado para la solucin aproximada de problemas de anlisis de tensin , flujo de fluidos y transferencia de calor. El primer libro sobre elementos finitos fue publicado en 1967 por Zienkiewicz y Cheung. En la dcada del '70 el mtodo fue extendido al anlisis de problemas no lineales de la mecnica del continuo. Hoy el mtodo permite resolver prcticamente cualquier situacin fsica que pueda formularse mediante un sistema de ecuaciones diferenciales.En sus principios el mtodo de los elementos finitos no lleg masivamente a la prctica de la ingeniera debido a la no disponibilidad de computadoras en los estudios de ingeniera y por el otro al requisito de conocimientos profundos no solamente de la tcnica y de los modelos matemticos pertinentes sino tambin de programacin computacional. Actualmente, la situacin es completamente diferente, ya que las modernas computadoras personales soportan sin inconvenientes poderosos programas de propsito general de fcil utilizacin.

Figura 1El proceso de anlisis de un problema fsico mediante elementos finitos se muestra en la figura 1. La geometra puede ser definida por el analista o creada a partir de algn programa CAD. El segundo paso consiste en definir el modelo matemtico a resolver. Este es el paso fundamental donde se especifica el tipo de ecuaciones a determinar, las condiciones de borde, propiedades materiales, y otros detalles acerca del mtodo en s mismo. Una vez efectuada dicha definicin el programa resuelve automticamente las ecuaciones pertinentes y provee los resultados en una forma apropiada para el analista.AplicacionesModelo Elastohidrodinmico de un cojineteEn la figura 2 se observa la distribucin de presiones en un cojinete desarrollado. Se arrib a dicha solucin considerando el problema acoplado elastohidrodinmico bidimensional, es decir tratando conjuntamente la obtencin de las presiones debidas al flujo de lubricante dentro del cojinete (aplicando la ecuacin de Reynolds modificada) y la modelizacin del mismo como una placa elstica simplemente apoyada en sus extremos. Este tratamiento permite aproximar mejor que los modelos analticos convencionales la distribucin de presiones en el interior del cojinete al considerar simultneamente la deformacin por los efectos de sta. Tambin es posible considerar los efectos en los bordes del cojinete al trabajar con un modelo bidimensional.

Figura 2Estudio dinmico de un sistema presa - embalse(Extractado del trabajo "Fluid-structure interaction analysis by means of FlexPDE" por V. H. Cortnez y S. Machado )En este ejemplo se ha desarrollado el anlisis dinmico de una presa de gravedad junto con el reservorio de lquido que interacta con ella. Se ha considerado para esto una excitacin sinusoidal horizontal (representativa, por ejemplo, de un movimiento ssmico) sobre la parte slida del dominio (presa). Desde el punto de vista analtico clsico, este problema debe ser tratado obteniendo, en primer lugar, las presiones hidrodinmicas en el embalse, considerando al dique como un cuerpo rgido; en un paso posterior se puede determinar el problema elstico en la estructura. Mediante un modelo computacional de elementos finitos puede analizarse simultneamente la dinmica en el embalse y en la presa. Fcilmente pueden considerarse otras complejidades como interaccin con fundaciones estratificadas, existencia de galeras de inspeccin en la presa, geometras complejas del embalse, etc. En la figura 3 puede observarse la malla de elementos finitos del modelo, mientras que en la figura 4 se describe la presin en la interface entre el medio slido y el lquido.

Figura 3

Figura 4Observaciones finalesEn este artculo se ha intentado difundir someramente una de las herramientas ms importantes con las que cuenta la ingeniera para el anlisis de complejos problemas que hasta hace algunos aos resultaban inabordables.Paradjicamente, el diseo curricular de las carreras de ingeniera an no le da a este mtodo el lugar que le corresponde, reducindose as las posibilidades de anlisis de los futuros ingenieros. Esta situacin debe ser remediada a corto plazo a fin de formar ingenieros que sean capaces de utilizar la poderosa tecnologa computacional que tienen al alcance de la mano para realizar modernos y ms eficientes diseos.Dr. Ing. Vctor CortnezIng. Pablo Girngasm@frbb.utn.edu.arEl Dr. Cortnez y el Ing. Girn son respectivamente Director e Investigador del Grupo Anlisis de Sistemas Mecnicos de la Facultad, y docentes de la ctedra Mecnica de Fluidos correspondiente a la carrera de Ingeniera Mecnica.