teórico método de elementos finitos

Clculo Estructural II Dpto. Estructuras FCEFyN UNC

2014

Introduccin al Mtodo de los Elementos Finitos

(FEM)

Clculo Estructural II FCEFyN Dpto. Estructuras

Juan Gir - 2014

3

Orgenes del Mtodo de los Elementos Finitos

Collar, Duncan y Frazer plantearon a la aeroelasticidad en forma matricial (1934-1938). Propusieron la formulacin y terminologa para la discretizacin del continuo utilizada actualmente.

Argyris sistematiz el concepto del ensamble de sistemas estructurales a partir de componentes elementales y algebra matricial (1954).

Turner desarroll un modelo de un ala delta para su estudio areoelastico con elementos tringulos (1953 a 1956).

Clough denomin FEM al nuevo mtodo (1960). UNC FCEFyN

CE II - 2014

4

Orgenes del Mtodo de los Elementos Finitos

Zienkiewicz impuls la difusin del mtodo a travs de la publicacin de su reconocido libro (1960).

Wilson y Bathe contribuyeron a la utilizacin practica del mtodo con la difusin, sin costo, de excelentes programas de calculo, tales como el SAP Structural Analysis Program (1965).

La NASA inici el proyecto que condujo al NASTRAN (1965).

Westinghouse envi al mercado el programa ANSYS (1969).

UNC FCEFyN CE II - 2014

5

Campos de aplicacin de los Elementos Finitos

Estructuras aeronuticas Diseo de elementos de mquinas Estructuras civiles y mecnicas Transferencia de calor Aerodinmica y mecnica de los fluidos Geomecnica Hidrulica Mquinas elctricas y electromagnetismo. Bioingeniera.


6

Desarrollo de modelos discretos

Sistema Fsico

Modelo Conceptual

Modelo Matemtico

Modelo Discreto

Solucin Discreta

Idealizacin Discretizacin Solucin

Errores de la Solucin

Errores de la Discretizacin y Solucin

Errores de la Formulacin Matemtica, Discretizacin y Solucin

Errores de la Idealizacin, Formulacin Matemtica, Discretizacin y Solucin

Verificacin

Validacin


7

Desarrollo de modelos discretos


Desarrollo de un elemento


9

Funciones de Aproximacin

Las funciones de aproximacin de los desplazamientos son claves en la definicin de

los elementos, ya que son las que permiten representar el comportamiento en el interior del dominio en funcin del desplazamiento de unos

pocos nudos. Estas deben ser: 1) Continuas y derivables 2) Integrables 3) Representar correctamente los

desplazamientos en todo el dominio 4) Representar el movimiento de cuerpo rgido.


10

Coordenadas Triangulares

(j) P

AK

AJ Ai

I

J

K

(i)

(k)

a1i

a2i

x1

x2

1 1 2 2 2 11 2

1 1 2 2 2 11 2

1 1 2 2 2 11 2

( ) ( )( , )2

( ) ( )( , )2

( ) ( )( , )2

j i j ii

i

k j k jj

j

i k i kk

k

A x x a x x ax xA AA x x a x x ax xA AA x x a x x ax xA A

= =

= =

= =

1 2 3

1 2 1 2 1 1 2 2 2 1

1 1 2 2

1 1 1( , ) ( ) 0 ( ) ( )2 2 2

0

i i j i j ii

j j

t t tA x x JK JP a a x x a x x a

x x x x = = =

1 2 3

1 2 1 2 1 1 2 2 2 1

1 1 2 2

1 1 1( , ) ( ) 0 ( ) ( )2 2 2

0

j j k j k jj

k k

t t tA x x KI KP a a x x a x x a

x x x x = = =

1 2 3

1 2 1 2 1 1 2 2 2 1

1 1 2 2

1 1 1( , ) ( ) 0 ( ) ( )2 2 2

0

k k i k i kk

i i

t t tA x x IJ IP a a x x a x x a

x x x x = = =


11

Coordenadas Triangulares


12

Funcin de aproximacin lineal

(j) P

AK

AJ Ai

I

J

K

(i)

(k)

a1i

a2i

x1

x2

1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2

2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

i j ki j k

i j ki j k

u x x u x x u x x u x x

u x x u x x u x x u x x

= + +

= + +

I

J

K

I

J

K

I

J

K


13

Ecuaciones Fundamentales

11 211

1 2

12 222

1 2

0

0

Fx x

Fx x

+ + = + + =

11 222

122

1 2

1

1 2

1

12

;

+

u ux x

u ux x

= =

=

11 11

22 222

12 12

1 01 0

(1 ) 10 02

E

=

Ecuaciones de Equilibrio

Ecuaciones Cinemticas

Relaciones constitutivas

111 1 1

1 1 1 1

1

ji k

i j k

u u u ux x x x

= + +

=

1 211 1 2 1 2 1 2

2 122 2 1 2 1 2 1

1 1 2 212

12 2

12 2

4

= + + =

= + + =

=

m mi i j j k k

m mi i j j k k

m m m m

u au a u a u aA A

u au a u a u aA A

u a u aA

Deformaciones en funcin de los desplazamientos


14

Energa de Deformacin de un elemento ( )11 11 22 22 12 12

1 2 .2n A

W h dA = + +2 2 2 2

11 22 12 12 122 2 2(1 ) .2(1 )n A

EW h dA

= + + +

( )2 2 2 211 22 12 12 122. . 2 2(1 )2(1 )nh E AW

= + + +

Potencial de las cargas exteriores ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2n

A S

U F u F u dA f u f u dS= + + +

( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2i j k i j kn i j k i j kA A

U F u u u dA F u u u dA = + + + +

1 2 3 3A A A

AdA dA dA = = =

( ) ( )1 21 1 1 2 2 23 3i j k i j k

nF A F AU u u u u u u= + + + +


15

Mnima Energa Potencial Total

n n nW U = +

1 1

N N

n nn n

W U W U= =

= + = + 1 1 1

2 2 2

0 ; 0 ; 0

0 ; 0 ; 0

i j k

i j k

u u u

u u u

= = =

= = =

211 22 22 11 1211 22 11 22 122

1 1 1 1 1 1 1

. . 2(1 )2(1 )i i i i i i i

h E A Uu u u u u u u

= + + + + +

211 22 22 11 1211 22 11 22 122

2 2 2 2 2 2 2

. . 2(1 )2(1 )

= + + + + +

i i i i i i i

h E A Uu u u u u u u

1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 121

2 1 1 2 2 1 2 1 1 222

1( ) ( ) ( )4 (1 ) 2 3

1 1( ) ) ( )4 (1 ) 2 2 3

= + + = + +

m m i m m i m m m m i ii

m i m m i m m i m i ii

AFEh a u a a u a a u a u au A

AFEh u a a a a u a a a au A


16

Matriz de Rigidez del Elemento Tringulo 11 12 11 12 11 12

21 22 21 22 21 22

11 12 11 12 11 12

21 22 21 22 21 22

11 12 11 12 11 12

21 22 21 22 21 22

ii ii ij ij ik ik

ii ii ij ij ik ik

ji ji jj jj jk jk

ji ji jj jj jk jk

ki ki kj kj kk kk

ki ki kj kj kk kk

k k k k k kk k k k k kk k k k k kk k k k k kk k k k k kk k k k k k

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

3

=

i i

i i

j j

j j

k k

k k

u Fu Fu F Au Fu Fu F

112 2 1 12

121 2 2 12

212 1 1 22

221 1 2 22

14 (1 ) 2

14 (1 ) 2

14 (1 ) 2

14 (1 ) 2

= + = + = +

= +

m i m iim

m i m iim

m i m iim

m i m iim

Ehk a a a aA

Ehk a a a aA

Ehk a a a aA

Ehk a a a aA


17

Ejemplo del clculo de la Matriz de Rigidez

[ ]

1 1 4 4 4 4 3 5 2 3 5 2 2 24 4 2 2 1 1 2 2 1 12

1 2 4 4 4 444 1 2 2 12

2 1 4 4 4 444 2 1 1 22

1 ( ) ( ) ( 80) ( 60)4 (1 ) 2

1 ( 60).( 80). ( 80).( 60).4 (1 ) 2

14 (1 ) 2

Ehk a a a a x x x xA

Ehk a a a aA

Ehk a a a aA

= + = + = + = + = + = + =

[ ]

2 2 4 4 4 4 3 5 2 3 5 2 2 24 4 1 1 2 2 1 1 2 22

( 80).( 60). ( 60).( 80).

1 ( ) ( ) ( 60) ( 80)4 (1 ) 2

Ehk a a a a x x x xA

+

= + = + = +

11 12 11 12 11 1233 33 34 34 35 3521 22 21 22 21 2233 33 34 34 35 3511 12 11 12 11 1243 43 44 44 45 4521 22 21 22 21 2243 43 44 44 45 4511 12 11 12 11 1253 53 54 54 55 5521 22 21 22 21 2253 53 54 54 55 55

A

k k k k k kk k k k k kk k k k k k

Kk k k k k kk k k k k kk k k k k k

=

3 4

5

20 80

10

90

A


Otros elementos


19

Tringulos de Tensin Lineal y Cuadrtica Cuadrilteros Tetraedros de Tensin Constante Prismas rectangulares Elementos placa y slidos regulares Elementos isoparamtricos Elementos axil simtricos. Bandas finitas Elementos de compuestos Elementos prismticos rectos y curvos

Tipos de elementos de dos y tres dimensiones


20

Complejidad de elementos y grados de libertad

I

J

K

L

M

N

I

J

K

L M

N O

P

Q

Grado de la funcin de aproximacin

Grado de la funcin de deformacin Cantidad de Nudos

Grados de libertad

Lineal Constante 3 6 Cuadrtica Lineal 6 12

Cbica Cuadrtica 9 18

I

J

K

L

I

J K

L

Otros elementos


21

Otros elementos finitos

Axil simtricos Bandas Finitas


22 UNC FCEFyN CE II - 2014

23

Tipo

s de

ele

men

tos

Grados de libertad

Funciones de aproximacin

de los desplaza-mientos


Ensamble de elementos


Armado de la Matriz de Rigidez

global

11 12 11 12 11 1211 11 12 12 14 1421 22 21 22 21 22

11 11 12 12 14 1411 12 11 12 11 1221 21 22 22 24 2421 22 21 22 21 2221 21 22 22 24 24

11 12 11 12 1141 41 42 42 44 44

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

K K K K K KK K K K K KK K K K K KK K K K K K

KK K K K K K

=12

21 22 21 22 21 2241 41 42 42 44 44

0 0 0 00 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

K K K K K K

1

2

3 5

4 6

A C B D


26


global

11 11 12 12 11 12 11 12 11 11 12 1211 11 11 11 12 12 13 13 14 14 14 1421 21 22 22 21 22 21 22 21 21 22 22

11 11 11 11 12 12 13 13 14 14 14 1411 12 11 12 11 1221 21 22 22 24 2421 22 21 22 221 21 22 22 24

0 0 0 00 0 0 0

0 0 0 0 0 00 0

K K K K K K K K K K K KK K K K K K K K K K K K

K K K K K KK K K K K

K

+ + + ++ + + +

=

1 2224

11 12 11 12 11 1231 31 33 33 34 3421 22 21 22 21 2231 31 33 33 34 34

11 11 12 12 11 12 11 12 11 11 12 1241 41 41 41 42 42 43 43 44 44 44 4421 21 22 22 21 22 21 22 2141 41 41 41 42 42 43 43 44 4

0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

0 0 0 0

KK K K K K KK K K K K K

K K K K K K K K K K K KK K K K K K K K K K

+ + + ++ + + 21 22 224 44 44 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

K K

+

1

2

3 5

4 6

A C B D

27


global

1

2

3 5

4 6

A C B D

11 11 12 13 14 14

21 22 24

31 33 33 33 34 34 35 36 36

41 41 42 43 43 44 44 44 46

53 55 56

63 63 64 65 66 66

0 00 0 0

00

0 0 00 0

A B A B A B

A A A

B B C D B C D C D

A B A B C A B C C

D D D

C D C D C D

K K K K K KK K KK K K K K K K K K

KK K K K K K K K K

K K KK K K K K K

+ + + + + +

= + + + +

+ +

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6


Criterios para el ensamble de elementos generacin

de mallas


29

Criterios para la generacin de mallas

Objetivos Facilidad para la definicin del modelo y sus

datos. Adecuada representacin de las caractersticas

elsticas del objeto estudiado. Ausencia de problemas numricos Reduccin del esfuerzo de clculo (tiempo de

proceso) Facilidad para la interpretacin de los

resultados.


30


Recomendaciones a) Utilizar elementos de forma regular. b) La malla debe respetar fielmente los contornos

del objeto representado. c) Las mallas deben densificarse en las zonas

donde se espera el mayor gradiente de tensiones.

d) Las mallas deben densificarse gradualmente, y no en forma brusca, evitndose que elementos finitos de tamaos muy diferentes compartan un mismo nudo.


31


Recomendaciones e) Las mallas deberan ser regulares en el

sentido de que cada nudo sea compartido por una cantidad similar de elementos.

f) En un proceso de refinamiento es recomendable que las mallas mas densas estn incluidas en las anteriores.

g) Las mallas densas son costosas y deben evitarse. Solo densificar las mallas de manera localizada y no general.


32



33



34



35


Malla 1 Malla 2

Malla 3 Malla 4

Malla 5


Convergencia


37

Condiciones de Consistencia

Completitud Las funciones de desplazamiento deben ser

capaces de representar los desplazamientos del cuerpo rgido y los estados de deformacin

constante. Compatibilidad

Dentro de los elementos, y a travs de sus bordes, las funciones de desplazamiento deben ser

continuas. No deben presentarse aberturas entre elementos bajo condiciones de carga.


38

Condiciones de Convergencia

Consistencia Debe haber consistencia entre el modelo fsico y

el modelo discreto que lo representa. Estabilidad

A medida que se afina la malla la solucin tiende en forma asinttica a un cierto valor, a condicin

de que no haya excesiva distorsin en los elementos. Exactitud

La aproximacin asinttica tiene a valores correctos de la solucin del problema


39

Convergencia

Completitud Compatibilidad

Consistencia Estabilidad

Convergencia

Exactitud UNC FCEFyN

CE II - 2014

40

Convergencia

d

e

f


Modelo Elementos Nudos Grados de Libertad 14.d 96 65 120 14.e 150 96 180 14.f 600 341 660

Convergencia


Convergencia


43

Implementacin: Contexto Sistema MEF


44

Implementacin: Ncleo de Calculo


45

Sistemas de clculo ms difundidos

SAP (Structural Analysis Program), SAP4, SAP 6, NONSAP, SAP7 y SAP 2000, desde 1970. STRUDL (STRUctural Design Language), 1967. NASTRAN (Nasa STRuctural ANalysis), 1964. ANSYS (Analysis System), 1969. ASKA, 1970 NISA (Numerically Integrated elements of System Analysis), 1978. ABAQUS, 1978. CATIA (Computer Aided Three-Dimensional Interactive), 1980. SOLIDWORKS, 1995.


46

Ejemplo: chasis de auto de frmula 2

Elementos .....: 550 Nodos..........: 193 Grados Libertad: 1.000 Elementos: Vigas y TTC


47

Ejemplo: chasis de un camin

Elementos .....: 1.400 Nodos..........: 4.400 Grados Libertad: 24.000 Elementos: General shell 8 nodos


48

Ejemplo: anlisis de mltiple de escape

Elementos .....: 234 Nodos..........: 1.488 Grados Libertad: 4.464 Elementos: Thick Shell 16 nodos


49

Ejemplo: modelo de carcaza de diferencial

Elementos .....: 192 Nodos..........: 1.308 Grados Libertad: 7.800 Elementos: Thick Shell 16 nodos, slidos de 20 nodos y general shell de 8 nodos


50 UNC FCEFyN CE II - 2014

teórico método de elementos finitos

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