EL INTERES COMPUESTO

El interés compuesto surge cuando los intereses se añaden al

principal y por tanto dichos intereses también generales

intereses, es decir, tenemos un efecto multiplicador del dinero

y esto ocurre habitualmente en las cuentas corrientes donde

los intereses se depositan en la misma cuenta donde tenemos

el capital.

La formula que se aplica para encontrar el interés es:

£n = £ * (1 + i) ^n

£n = Monto

£ = Capital

i = Tasa de interés

n = Números de periodos

Ejemplo:

Si tenemos un capital inicial de $1000 al cabo de 2 años cuanto

será el monto si se considera una tasa de interés al 1% anual.

£i = 1000

£ = 1% £2 = 1000 (1 + 0.1)2 £2 = 1000 (1.21)

i = 2 £2 = 1000 (1.1)2 £2 = 1210 //R.

n = ?

CALCULO DE INTERES COMPUESTO DE FORMA ANUAL

Otro caso importante es saber el capital que tendremos en una

cuenta al cabo de varios años si los tipos de interés no los dan

anualizados (es lo típico) y el pago de intereses es mensual

(típico) la formula a utilizar es la siguiente

£final = £ * (1 + r/n)(n.t)

£ = Capital Inicial r = Tasa de interés anual

n = número de periodos t = El número de años

Ejemplo:

Dos bancos distintos nos ofrecen dos depósitos. El primer el

del banco A nos ofrece un depósito anual a un 20% de

intereses pagados al finalizar el depósito. El Segundo, el del

banco B nos ofrece un deposito al 19% pero los intereses se

paga mes a mes y se reingresan en el propio deposito. El

capital es $1000, al cabo de un año.

BANCO A

Datos

£i = 1000 £n = Ci * (1 + i)n

i = 20% £2 = 1000 * (1 + 0.2)1

n = 1 año £2 = 1000 * (1.2) .

Cn = ? £2 = 1200 //R

BANCO A

Datos

C final = ? £final = C * (1 + r/n)(n.t)

r = 0,19% £final = 1000 * (1 + 0.19/12)(12-1)

n = 12 meses £final = 1207.45

t = 1 año

£n = 1000

Una suma de $500 se impone al 6% de interés compuesto

durante 3 años ¿en cuanto se invertirá?

Datos

£ = 500 M = C (1 + 1)t

t = 3 años M = 500 (1 + 0.06)3

r = 6 ÷ 100 = 0.06 M = 500 (1.06)3

M = log500 + 3 (log 1.06)

M = 595.51 //R.

VARIABLE DEL INTERES COMPUESTO

M = Monto

C = Capital

I = Tasa de interés

n = Número de periodos de capitalización

%

i = -----------------------------------------------------------------

# de periodos de capitalización que tiene el año

Tiempo en meses

n = ------------------------------------------------------------

# meses periodo de capitalización

Calcular a cuanto ascender un capital de $ 2000 colocado al 6%

de interés compuesto durante 8 años, si los intereses se

capitalizan trimestralmente.

Datos

C = 200

M = ?

i = 6% anual

t = 8 años (trimestralmente)

0.06 8 x 12

i = ---------- = 0.015 n = ------------------- = 32

4 3

M = 2000 (1 + 0.015)32 M = 3220.65 // R.

$ 675 al 2% en 7 años

Datos

C = 675

i = 2% M = Log 675 + 7 (log 1.02)

t = 7 años M = 8.639 // R.

EJERCICIO 188

Averiguar a cuánto asciende al cabo de 6 años un capital de $ 225

colocado al 5% de interés compuesto anual

Datos

Ci = 225 M = C (1 + i)n

i = 5% anual M = 225 (1 + 0.05)6

n = 6 años M = 301.52 //R.

M = ?

A cuánto ascenderá dentro de 9 años un capital de $120 colocado al 6%

de interés compuesto anual.

Datos

Ci = 1200 M = C (1 + i)n

i = 6 M = 1200 (1 + 0.06)9

n = 9 M = 2027.37 //R.

Hallar el monto de $825,40 al 35% de interés compuesto durante 12 años

Datos

Ci = 825,40 M = C (1 + i)n

i = 35 M = 825,40 (1 + 0.035)12

n = 12 M = 1247.24 //R.

Hallar el monto de $50 colocado durante 10 años al 8% anual de interés

compuesto, capitalizándose los intereses cada 6 meses

Datos

Ci = 50 M = C (1 + i)n

i = 8 M = 50 (1 + 0,04)20

n = 10 semestral M = 109,56 //R.

t = 6

TAREA

$ 675 al 2% en 7 años

Datos

Ci = 675 M = log 675 + 7 (log 0.02)

i = 2 M = 8.6399 //R

n = 7

$ 1400 al 3,5% en 4 años

Datos

Ci = 1400 M = log 1400 + 4 (log 0.035)

i = 3.5 M = 2.100875 //R

n = 4

$ 900 al 4% en 8 años

Datos

Ci = 900 M = log 900 + 8 (log 0.04)

i = 4 M = 5.89824 //R

n = 8

$ 2700 al 5.5% en 3 años

Datos

Ci = 2700 M = log 2700 + 3 (log 0.055)

i = 5.5% M = 0.04492 //R

n = 3

VALOR ACTUAL

M – C (1 + i)n

M

C = -----------

(1 + I)n

Calcular el valor de una deuda de $800 pagadera dentro de 6

años si el tipo de interés (compuesto) es el 3% anual.

Datos M C = 669,99//R

M = 800 C = -----------------

Ci = ? (1 + i)n

i = 3% 100= 0.03 800

n = 6 C = ----------------

(1 + 0.03)6

Retrotraer a la actualidad una suma de $3400 pagadera dentro de 5 años,

calculando los intereses al 2.5%

Datos M C = 3005,10//R

M = 3400 C = -----------------

Ci = ? (1 + i)n

i = 2,5 ÷ 100= 0.025 3400

n = 5 C = ----------------

(1 + 0.025)5

LOGARITMOS

$ 1425 descontado 8 años al 3%

DATOS

M = 425,76 C = M (1 + i)-n

n = 8 años C = 425.76 (1 + 0,03) -8

i = 3 ÷ 100 = 0.03 C = log 425.76 – 8 log 1.03

C = 336.098 //R

$ 300 descontado 7 años al 2%

DATOS

M = 300 C = M (1 + i)-n

n = 7 C = 300 (1 + 0,02)-7

i = 0.02 C = log 300 – 7 log 1.02

C = 261.17 //R

$ 850 descontado 3 años al 6% anual pero suponiendo que los intereses

se capitalizan trimestralmente.

DATOS

M = 850 C = M (1 + i)-n

n = 3 x 12/3 = 12 C = 850 (1 + 0,015)-12

0.02 C = log 850 – 12log 1.015

i = ------------ = 0.015 C = 710.93 //R

4

TASA DE INTERES

M = C (1 + i)n

Tasa interes Número de periodos

C (1 + i)n = M C (1 + i)n = M

(1 + i)n = M log C + n log (1+ i) = log n

(1 + i)n = n M n log ((1 + i) = logm – logC

n log m – log C

1 + i = M n = -------------------------

C log (1 + i)

Averiguar a que tanto de interés estuvo compuesto un capital de $700 que

en un año se convirtió en $885,72

DATOS

C = 700 n M i = 0.0399 x 100

N = 6 años i = ----- – 1 i = 4%

M = 885,72 C

6 885,72

i = ----------- – 1

700

Un capital de $2500 colocando al 5% de interés compuesto importó

$3038,80 ¿Cuánto años duro la inversión?

DATOS log 3038,80 – log 2500

C = 2500 n = ------------------------------------

I = 5 log (1 + 5)

M = 3038,80 n = 0,131 x 12 n = 1,6 n = 1 año y 6 meses

EJERCICIOS

Calcule el monto a interés compuesto y a interés simple de un capital de

$1000000 durante 10 años a una tasa de interés del 12% anual. Analice los

resultados.

DATOS I. COMPUESTO I. SIMPLE

% t C = 100000 M = (1 + i)t M = C (1 + ------) 100 t = 10 M = 100000 (1 + 0,12)10 i = 12 M = 3105848.203 //R M = 1000000 1 + 10(12) 100

M = 2200000 //R

Calcule el monto a interés compuesto y el interés compuesto de un

capital del $500000 colocado a una tasa de interés del 10% anual

capitalizado semestralmente durante 7 años.

C = 500000 M = (1 + i)t I = M – C i = 15 ÷ 100 = 0,075 M = 500000 (1 + 0,075)14 I = 1376222,025 - 500000 7 x 12 M = 137622.025 //R n = ------------ = 14 I = 876222,025 6

Una empresa obtiene un préstamo de $4000000 a 10 años de plazo con

una tasa de interés del 15% capitalizable semestralmente. Calcule el

interés y el monto que debe pagar a la fecha de vencimiento.

C = 4000000 M = C (1 + i)n I = M – C i = 15 ÷ 100 = 0,075 M = 400000 (1 + 0,075)20 I = 16991404.4 - 400000 n = 10 x 12/6 = 20 M = 16991404.4 //R I = 12991404.4 //R