interés compuesto
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para los que estudian administacion y contabilidadTRANSCRIPT
INTERÉS COMPUESTO
Lic. Carlos Goñy Ameri Pág. 1
Interés Compuesto
Definición. El interés compuesto es el proceso mediante el cual el interés
generado por un capital en una unidad de tiempo, se capitaliza, es decir se
adiciona al capital anterior formando un nuevo capital, el mismo que genera
un nuevo interés en la siguiente unidad de tiempo y así sucesivamente durante
el plazo pactado, experimentando al final de cada unidad de tiempo un
crecimiento geométrico.
El interés compuesto es una sucesión de operaciones a interés simple, en la
que después de la primera, su monto constituye el capital inicial de la
siguiente.
Al final del primer período de capitalización, el monto de una operación a
interés compuesto coincide con el monto a interés simple, si son iguales las
tasas y los capitales iníciales.
1. Cálculo del monto(S). Si tenemos un capital “P”, que gana una tasa “i”
por período de tiempo durante “n” períodos capitalizables, tendríamos al final
del horizonte temporal o línea de tiempo el monto “S” siguiente:
Período 1 : 𝐒𝟏 = 𝐏 𝟏 + 𝐢
Período 2 : 𝐒𝟐 = 𝐒𝟏 𝟏 + 𝐢 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝟏 + 𝐢 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝟐
Período 3 : 𝐒𝟑 = 𝐒𝟐 𝟏 + 𝐢 = 𝐏(𝟏 + 𝐢)𝟐 𝟏 + 𝐢 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝟑 . . .
Período n : 𝐒𝐧 = 𝐒𝐧−𝟏 𝟏 + 𝐢 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝐧−𝟏 𝟏 + 𝐢 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝐧 ∴ 𝐒 = 𝐒𝐧 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝐧
. . . 0 1 3 2 n n-1
P S=?
. . .
. . . 1período 1período 1período 1período
. . . S1 S2 S3 Sn Sn-1
S = P 1 + i n … (13)
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En esta fórmula (13) y las demás de interés compuesto que utilizaremos en
este apunte, la tasa de interés compuesto “i” se refiere al período a capitalizar
“n”, necesariamente deben estar referidos en la misma unidad de tiempo
con respecto a la tasa “i” (años, semestres, cuatrimestres, trimestres,
bimestres, meses, quincena, días, etc.).
1.1 El factor simple de capitalización El factor (𝟏 + 𝐢)𝐧 de la fórmula (13) es el factor simple de capitalización
compuesto FSC. La fórmula (13) se puede representar de la siguiente forma:
Y se lee: el FSC a una tasa “i” de “n” períodos transforma una cantidad
presente “P” en un valor futuro “S”.
Nota: La tasa de una capitalización o del monto compuesto se le llama tasa
efectiva (TE).
Observaciones
a) Para el buen uso de las fórmulas, las unidades temporales del tiempo “n” deben
expresarse de acuerdo a las unidades temporales de la tasa efectiva “i”.
b) Dado que la tasa de interés compuesto o tasa efectiva de interés, puede referirse a
diferentes plazos; se designará con las siguientes siglas.
Diferencias entre el interés simple y el interés compuesto
S = P. 𝐅𝐒𝐂i,n … (14)
Interés Simple Interés Compuesto Al final de cada unidad de tiempo el interés
periódico es constante y no genera nuevos
intereses. Es decir, el incremento generado
en cada periodo siempre es la misma
cantidad.
Al final de cada unidad de tiempo el interés
periódico es variable (creciente) y genera
nuevos intereses, ya que pasa a formar parte
del capital para efecto de calcular los
intereses de los periodos posteriores. Es
decir, el interés periódico se capitaliza.
El horizonte temporal se aplica como un
factor.
El horizonte temporal se aplica como un
exponente.
El stock final o monto crece a lo largo del
tiempo en forma de progresión aritmética y
está representado por una línea recta.
El stock final de dinero crece a lo largo del
tiempo en forma de progresión geométrica y
está representado por una línea curva
cóncava hacia arriba (exponencial).
Tasa Efectiva Siglas
Anual
Semestral
Cuatrimestral
Trimestral
Bimestral
Mensual
Quincenal
Diaria
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0 1 año n
S/. S2
S1
1 S/.100
S/.1000
Recta
Exponencial
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Para un capital P= S/.1000 y una tasa i = 10%.
Ejemplo 1.- Calcule el monto de un capital inicial de S/.1200 colocado
durante 5 años a una tasa de interés compuesto del 12% anual.
Solución:
S = ? Aplicando la fórmula: 𝐒 = 𝐏(𝟏 + 𝐢)𝐧 P =
n =
i =
Ejemplo 2.- Calcule el monto de un capital inicial de S/.2500 colocado
durante 8 meses en un banco que paga una tasa efectiva mensual del 4%.
Solución:
S = ? Aplicando la fórmula: 𝐒 = 𝐏(𝟏 + 𝐢)𝐧 P =
n =
i =
Ejemplo 3.- Calcular el monto a pagar dentro de 5 meses por un préstamo
bancario de S/.50000 que devenga una tasa nominal anual del 36% con
capitalización mensual.
Solución: Aplicando la fórmula: 𝐒 = 𝐏(𝟏 + 𝐢)𝐧 S = ?
P =
n =
i =
SIMBOLOGÍA:
S1 : Monto Simple
S2 : Monto Compuesto
INTERPRETACIÓN
* S1 > S2 : Menor a un año
* S1 = S2 : En un año * S1 < S2 : Mayor a un año
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Ejemplo 4.- Calcule el monto de un capital inicial de S/.4800 colocado
durante 9 meses en un banco que paga una tasa nominal mensual del 3% con
capitalización trimestral.
Solución:
S = ? Aplicando la fórmula: 𝐒 = 𝐏(𝟏 + 𝐢)𝐧 P =
n =
i =
Ejemplo 5.- ¿Calcular el importe capitalizado de un depósito a plazo de
S/.20000 colocado durante 6 meses, si el banco cobra una TNA del 36%
capitalizable diariamente?
Solución: Aplicando la fórmula: 𝐒 = 𝐏(𝟏 + 𝐢)𝐧 S = ?
P =
n =
i =
Ejemplo 6.- Una persona abre una cuenta bancaria el 14 de abril con
S/.1000 percibiendo una tasa nominal mensual del 4% con capitalización
diaria. El 2 de mayo retira S/.400, el 15 de mayo retira S/. 200 y el 3 de
junio deposita S/.100. ¿Qué monto acumuló desde la fecha de su depósito
inicial hasta el 24 de junio, fecha en que canceló la cuenta?
Solución:
S = ?
P =
i =
Aplicando la fórmula para hallar el monto en cada fecha: 𝐒 = 𝐏(𝟏 + 𝐢)𝐧
1ro El monto de la fecha 14 abril, a la fecha 2 de mayo es:
retira S/. ………… le queda como nuevo capital de S/. ………….
días días días días
abril mayo mayo junio junio
P=S/. S=?
S1-400 S2-200 S3+100
S1 = ⇒ S1 =
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2do El monto de la fecha 2 de mayo, a la fecha 15 de mayo es:
retira S/. ………… le queda como nuevo capital de S/. ………….
3do El monto de la fecha 15 de mayo, a la fecha 3 de junio es:
deposita S/. ………… le queda como nuevo capital de S/. ……….
4do El monto de la fecha 3 junio, a la fecha 24 de junio es:
Por lo tanto el monto acumulado del 14 de abril al 24 de junio es de:………….
Ejemplo 7.- El 1 de abril el precio de una materia prima fue de S/.20000 por
tm. 45 días después se incremento a S/.22000. ¿Cuál será el precio a pagar
por el nuevo stock que lo renovaremos dentro de 180 días más si nuestro
proveedor nos manifiesta que los precios se incrementan periódicamente cada
45 días en el mismo porcentaje original?
Solución:
S = ?
1ro Hallando la tasa de interés: Aplicando la fórmula: 𝐢 =𝐈
𝐏𝐧
I =
P =
n =
i = ? % tasa efectiva por cada 45 días.
2ro Hallando el monto: Aplicando la fórmula: 𝐒 = 𝐏(𝟏 + 𝐢)𝐧
P =
n =
i =
𝐒𝟐 = ⇒ 𝐒𝟐 =
𝐒𝟑 = ⇒ 𝐒𝟑 =
𝐒 = ⇒ 𝐒 =
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1.2 El FSC con “n” No Entero. Debido a que el interés está en función del tiempo, se considera que el capital
devenga un interés continuo que capitaliza discretamente (al final de cada
cierto período de tiempo). Entonces para un número no entero de períodos de
capitalización, el FSC se ajustará a la función exponencial del tipo.
Ejemplo 8.- Calcule el monto de un capital inicial de S/.2000 colocado
durante el primer semestre a una TEA del 25%.
Solución:
S = ? Aplicando la fórmula: 𝐒 = 𝐏(𝟏 + 𝐢)𝐇
𝐟
P =
H =
f =
i =
Este monto colocado nuevamente durante el segundo semestre a la misma tasa
efectiva anterior arroja el siguiente monto:
𝐒 = =
Puede observarse que el monto de S/.2500 al final del año representa un
incremento efectivo del 25% con relación al capital inicial colocado al inicio del
año y se puede obtener de la siguiente:
𝐒 = =
Ejemplo 9.- Una persona solicita al banco un préstamo de S/.5000, el mismo
que se le abona en su cuenta corriente el 26 setiembre. ¿Qué monto deberá
pagar el 24 de noviembre, fecha que cancela el préstamo, si el banco cobra una
TEM del 5%?
Solución:
S = ? Aplicando la fórmula: 𝐒 = 𝐏(𝟏 + 𝐢)𝐇
𝐟
P =
H =
f =
i =
𝐒 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝐇𝐟 … (14)
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Ejemplo 10.- ¿Qué monto deberá pagarse por un sobregiro bancario de
S/.12000 vigente desde el 14 de abril al 22 de octubre, si el banco cobra una
TEB del 6%?
Solución: Aplicando la fórmula: 𝐒 = 𝐏(𝟏 + 𝐢)𝐇
𝐟
S = ?
P =
H =
f =
i =
Ejemplo 11.- ¿Qué monto debe dejarse en letras con vencimiento dentro de
380 días si después de descontarlas se requiere disponer de un importe neto de
S/20000, sabiendo que el banco cobra una TET del 4.5%?
Solución:
S = ? Aplicando la fórmula: 𝐒 = 𝐏(𝟏 + 𝐢)𝐇
𝐟
P =
H =
f =
i =
1.3 Tasa Nominal y Tasa Efectiva.
Cuando una tasa es susceptible de proporcionalizarse (dividirse o
multiplicarse) para ser expresada en otra unidad de tiempo diferente al
original, con el objeto de capitalizarse una o más veces, recibe el nombre de
tasa nominal. En este caso la tasa nominal es una tasa referencial mientras la
tasa efectiva refleja el número de capitalizaciones que ha experimentado
durante un plazo determinado.
El monto compuesto aplicado una tasa nominal “j”, capitalizable “m” veces,
en un plazo determinado durante “n” períodos se calcula con la siguiente
fórmula:
Ejemplo 12.- Calcular el monto a pagar dentro de 5 meses por un préstamo
bancario de S/.7500 a una tasa nominal anual del 36% capitalizable
mensualmente.
Solución: Aplicando la fórmula: 𝐒 = 𝐏(𝟏 +𝐣
𝐦)𝐧
S = ?
P =
n =
j =
m=
𝐒 = 𝐏 𝟏 +𝐣
𝐦 𝐧
… (15)
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Fecha D/R Importe Movimiento Saldo
Tasa de interés días FSC
Saldo Acumulado
Debe Haber Gana Paga
agos.
agos.
agos.
agos.
agos.
agos.
agos.
agos.
Ejemplo 13.- la empresa San Antonio S.A. compro en el Banco Interbank un
certificado de depósito a plazo (CDP) por el importe de S/.45000 a un año de
vencimiento ganando una tasa nominal anual del 36% con capitalización
trimestral, el cual tuvo que rendirlo al final del octavo mes. ¿Cuál fue el monto
que genero dicha inversión?
Solución:
S = ? Aplicando la fórmula: 𝐒 = 𝐏(𝟏 +𝐣
𝐦)𝐇
𝐟
P =
H =
f =
j =
m=
Ejemplo 14.- Una empresa abre una cuenta corriente bancaria por la cual
gana una tasa de interés efectivo mensual del 3% sobre sus saldos
acreedores y paga una tasa nominal mensual del 3% con capitalización
diaria sobre sus saldos deudores (sobregiros bancarios). Calcule el monto de la
cuenta al 31 de agosto, cuyo movimiento fue el siguiente:
Solución:
Tasa cuando gana: i = 3% TEM. = 0.03 TEM.
Tasa cuando paga: i = 3% TNM. <> (3/30)% TED.=0.001 TED.
Fecha 04 agos. 06 agos. 09 agos. 12 agos. 15agos. 25 agos. 31 agos.
Deposito 10000 5000 3000 0000 30000 9000 15000
Retiro 0000 2000 0000 37000 0000 0000 0000
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1.4 El FSC con Variaciones en la Tasa de Interés.
Cuando la tasa efectiva no varía durante el plazo pactado, el FSC capitaliza la
unidad monetaria a esa misma tasa durante n periodos:
𝟏 + 𝐢 𝐧 = 𝟏 + 𝐢 𝟏 + 𝐢 𝟏 + 𝐢 … 𝟏 + 𝐢 𝐧_𝐯𝐞𝐜𝐞𝐬
Si la tasa por período varía, las capitalizaciones durante el plazo pactado “H”,
se efectúan cambiando la tasa tantas veces como sea necesario para cada
período de tiempo vigente.
Siendo 𝐢𝟏, 𝐢𝟐 , 𝐢𝟑, … , 𝐢𝐦 las tasas efectivas e interés vigentes durante los períodos
de tiempo 𝐧𝟏, 𝐧𝟐 , 𝐧𝟑,… , 𝐧𝐦 periodos respectivamente y observamos el
siguiente diagrama:
Período n1 : 𝐒𝟏 = 𝐏(𝟏 + 𝐢𝟏)𝐧𝟏
Período n2 : 𝐒𝟐 = 𝐒𝟏(𝟏 + 𝐢𝟐)𝐧𝟐 = 𝐏(𝟏 + 𝐢𝟏)𝐧𝟏(𝟏 + 𝐢𝟐)𝐧𝟐
Período n3 : 𝐒𝟑 = 𝐒𝟐(𝟏 + 𝐢𝟑)𝐧𝟑 = 𝐏(𝟏 + 𝐢𝟏)𝐧𝟏(𝟏 + 𝐢𝟐)𝐧𝟐(𝟏 + 𝐢𝟑)𝐧𝟑
.
.
.
Período nm : 𝐒𝐦 = 𝐒𝐦−𝟏(𝟏 + 𝐢𝐦)𝐧𝐦 = 𝐏(𝟏 + 𝐢𝟏)𝐧𝟏(𝟏 + 𝐢𝟐)𝐧𝟐(𝟏 + 𝐢𝟑)𝐧𝟑 … (𝟏 + 𝐢𝐦)𝐧𝐦
Habiendo definido 𝐧 =𝐇
𝐟, entonces el FSC queda modificado de la siguiente
forma:
Donde: 𝐇 = 𝐇𝟏 + 𝐇𝟐 + 𝐇𝟑 + ⋯ 𝐇𝐦
𝐒𝐦 = 𝐏(𝟏 + 𝐢𝟏)𝐇𝟏𝐟 (𝟏 + 𝐢𝟐)
𝐇𝟐𝐟 (𝟏 + 𝐢𝟑)
𝐇𝟑𝐟 … (𝟏 + 𝐢𝐦)
𝐇𝐦𝐟 … (17)
P S=?
. . .
. . . S1 S2 S3 Sn Sn-1
. . . i1 im i3 i2
. . . 0 n3
n1
nm n1 n2
∴ 𝐒 = 𝐏 (𝟏 + 𝐢𝐤)𝐧𝐤
𝐦
𝐤=𝟏
… (16)
𝐒 = 𝐏(𝟏 + 𝐢𝟏)𝐧𝟏(𝟏 + 𝐢𝟐)𝐧𝟐(𝟏 + 𝐢𝟑)𝐧𝟑 … (𝟏 + 𝐢𝐦)𝐧𝐦 … (𝟏𝟔)
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Ejemplo 15.- Calcule el monto de un capital de S/. 2000 colocado durante 12
meses. La tasa de interés efectiva mensual pactada es del 2% para los seis
primeros meses, el 3% para los cuatro meses siguientes y el 5% para los dos
últimos meses.
Solución:
S = ?
P =
i1 = n1 =
i2 = n2 =
i3 = n3 =
Aplicando la fórmula: 𝐒 = 𝐏(𝟏 + 𝐢𝟏)𝐧𝟏(𝟏 + 𝐢𝟐)𝐧𝟐(𝟏 + 𝐢𝟑)𝐧𝟑
Ejemplo 16.- Una compañía solicito a un banco un préstamo de S/.12000
cancelable dentro de doce meses a un tasa nominal del 36% con capitalización
bimestral. La tasa es variable de acuerdo a las condiciones del mercado. Para
la fecha del vencimiento del contrato de crédito se conocen las siguientes
variaciones de tasas anuales: 36% durante los 3 primeros meses, 40% los
cinco siguientes meses y 48% para el resto del período, capitalizables
bimestralmente. ¿Qué monto deberá cancelar al vencimiento?
Solución:
S = ?
P =
i1 = H1 = f=
i2 = H2 = f=
i3 = H3 = f=
Aplicando la fórmula: 𝐒 = 𝐏(𝟏 + 𝐢𝟏)𝐇𝟏𝐟 (𝟏 + 𝐢𝟐)
𝐇𝟐𝐟 (𝟏 + 𝐢𝟑)
𝐇𝟑𝐟
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2. Cálculo del Capital Inicial (P).
De la ecuación (13) tenemos: 𝐒 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝐧
Dividiendo entre el factor 𝟏 + 𝐢 𝐧 : 𝐏 =𝐒
(𝟏+𝐢)𝐧
Por lo tanto:
El factor 𝟏 + 𝐢 −𝐧 de la fórmula (18) es el factor simple de actualización
compuesto FSA. La fórmula (18) se puede representar de la siguiente forma:
y se lee: el FSA a una tasa “i” de “n” períodos transforma una cantidad futura
“S” en un valor presente “P” o capital inicial.
2.1 El Factor Simple de Actualización (FSA).
El FSA, Factor Simple de Actualización, 𝟏 + 𝐢 −𝐧 es el valor presente
compuesto de 1 a una tasa “i” por período, durante “n” períodos y su función
es traer al presente cualquier cantidad futura o llevar al pasado cualquier
cantidad del presente. Generalmente “n” es un exponente entero, pero cuando
“H” y “f” no sean múltiplos de “n” se expresará en la forma de fracción 𝐧 =𝐇
𝐟 ,
adoptando el FSA la siguiente expresión 𝟏 + 𝐢 − 𝐇
𝐟 .
Ejemplo 17.- El 6 de setiembre una empresa descontó en el “Banco Azteca” un
pagaré cuyo valor nominal fue de S/.50000 y su vencimiento el 5 de
noviembre del mismo año. Calcule el importe abonado por el “Banco Azteca”,
considerando una tasa nominal anual del 48%, con capitalización mensual.
Solución:
P = ?
S =
i =
n =
𝐏 = 𝐒 𝟏 + 𝐢 −𝐧 … (18)
P = S .𝐅𝐒𝐀𝐢;𝐧 … (19)
0 n_periodos
i
P=?
S
Aplicando la fórmula: 𝐏 =𝐒
𝟏+𝐢 𝐧= 𝐒 𝟏 + 𝐢 −𝐧
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Ejemplo 18.- Faltando 83 días para el vencimiento una letra de S/.4500 es
descontada en un banco a una tasa nominal anual de 36% con capitalización
mensual. ¿Qué importe recibió el descontante?
Solución:
P = ? Aplicando la fórmula: 𝐏 = 𝐒 𝟏 + 𝐢 − 𝐇
𝐟 S =
i =
H =
f =
2.2 FSA con Variaciones en la Tasa de Interés.
Cuando la tasa de interés por período varía, la actualización durante el plazo
pactado se efectúa cambiando la tasa tantas veces como sea necesario para
cada período de tiempo vigente. En forma similar al FSC, el FSA queda
modificado del siguiente modo:
Habiendo definido 𝐧 =𝐇
𝐟, entonces el FSA queda modificado de la siguiente
forma:
Donde: 𝐇 = 𝐇𝟏 + 𝐇𝟐 + 𝐇𝟑 + ⋯ 𝐇𝐦
Ejemplo 19.-Un pagaré de S/.2750 y con vencimiento dentro de 60 días es
descontado hoy, aplicado una tasa nominal anual del 48% con capitalización
mensual.
a) ¿Cuál será el importe a cancelar al vencimiento, si la tasa anual bajo al 36%
después de 20 días?
b) ¿Cuál hubiese sido el importe verdadero del abono de haber conocido de
antemano la disminución en la tasa de interés?
Solución:
a) Importe a Cancelar al Vencimiento.
Debido a que el monto se ha descontado originalmente con la tasa del 48%
hallaremos el valor presente o capital inicial y lo llevaremos al futuro con las
variaciones de tasas ocurridas: 20 días al 48% y 40 días al 36%.
𝐏 = 𝐒(𝟏 + 𝐢𝟏)− 𝐇𝟏𝐟 (𝟏 + 𝐢𝟐)−
𝐇𝟐𝐟 (𝟏 + 𝐢𝟑)−
𝐇𝟑𝐟 … (𝟏 + 𝐢𝐦)−
𝐇𝐦𝐟 …(21)
𝐏 = 𝐒(𝟏 + 𝐢𝟏)−𝐧𝟏(𝟏 + 𝐢𝟐)−𝐧𝟐(𝟏 + 𝐢𝟑)−𝐧𝟑 … (𝟏 + 𝐢𝐦)−𝐧𝐦 …(20)
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a1) Cálculo del valor presente o capital inicial:
P = ?
S =
i =
n =
Aplicando la fórmula: 𝐏 = 𝐒 𝟏 + 𝐢 −𝐧 =
a2) Cálculo del valor futuro (importe al vencimiento)
S1= ?
P =
i1 = H1= días, f= .
i2 = H2= días, f= .
Aplicando la fórmula: 𝐒𝟏 = 𝐏(𝟏 + 𝐢𝟏)𝐇𝟏𝐟 (𝟏 + 𝐢𝟐)
𝐇𝟐𝐟 =
b) Cálculo del valor presente con variaciones de tasa Si se hubiese conocido en la fecha del descuento las futuras variaciones de
tasas el importe verdadero del valor presente sería calculado del siguiente
modo:
P = ?
S =
i1 = ⇒ H1= días, f= .
i2 = ⇒ H2= días, f= .
Aplicando la fórmula: 𝐏 = 𝐒(𝟏 + 𝐢𝟏)−
𝐇𝟏
𝐟 (𝟏 + 𝐢𝟐)−
𝐇𝟐
𝐟 =
0 60 días
i= TNA
P=?
S=s/.
% TNA % TNA
0 20 días 60 días
P1=S/.
S1=?
0 20 días 60 días
P=? S=s/.
i1= % TNA i2 = % TNA
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3. Cálculo de la Tasa de Interés (i). De la ecuación (13) despejando “i” siguiente manera:
Sea la fórmula del monto: 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝐧 = 𝐒
Dividiendo entre P: 𝟏 + 𝐢 𝐧 =𝐒
𝐏
Extraemos la raíz n_ésima: 𝟏 + 𝐢 = (𝐒
𝐏)𝟏
𝐧
Por lo tanto:
Ejemplo 20.- ¿A qué tasa efectiva mensual un capital de S/.2000 se habrá
convertido en un monto de S/.2400 si dicho capital original fue colocado a 6
meses?
Solución: Aplicando la fórmula: 𝐢 = (𝐒
𝐏)𝟏
𝐧 − 𝟏
i = ? P =
S =
n =
4. Cálculo del Número de Períodos de Capitalización (n).
De la fórmula (13) despejando “n” siguiente manera:
Sea la fórmula del monto: 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝐧 = 𝐒
Dividiendo entre “P”: 𝟏 + 𝐢 𝐧 =𝐒
𝐏
Aplicando logaritmo base 10: 𝐋𝐨𝐠(𝟏 + 𝐢)𝐧 = 𝐋𝐨𝐠(𝐒
𝐏)
Por propiedad tenemos: 𝐧 𝐋𝐨𝐠(𝟏 + 𝐢) = 𝐋𝐨𝐠(𝐒
𝐏)
Por lo tanto:
𝐢 = 𝐒
𝐏
𝟏𝐧−𝟏 … 22
𝐧 =𝐋𝐨𝐠
𝐒𝐏
𝐋𝐨𝐠 𝟏 + 𝐢 … 23
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En la fórmula (23) “n” es el número de unidades de tiempo a la hace referencia
“i”. Por ejemplo, si “i” es mensual “n” es el número de meses, si “i” es anual
“n” es el número de años, etc.
Ejemplo 21.-Despues de colocar un capital de S/.1000 a una tasa de interés
efectiva del 4% mensual se ha obtenido un monto de S/.1500. ¿A qué tiempo
se colocó el capital?
Solución: ? Aplicando la fórmula: 𝐧 =𝐋𝐨𝐠
𝐒
𝐏
𝐋𝐨𝐠 𝟏+𝐢
n = ? P =
S =
i =
5. Cálculo del Interés Compuesto (I).
Por definición el interés es la diferencia entre el monto y el capital inicial de la
siguiente manera:
Sea la diferencia: 𝐈 = 𝐒 − 𝐏
Reemplazando “S”: 𝐈 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝐧 − 𝐏
Factorizando “P” tenemos:
De la fórmula (24) podemos obtener despejando “P”, “i” y “n”.
𝐈 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝐧 − 𝟏 … (24)
𝐏 =𝐈
𝟏 + 𝐢 𝐧 − 𝟏 … 25
𝐢 = 𝐈
𝐏+ 𝟏
𝟏𝐧− 𝟏 … 26
𝐧 =𝐋𝐨𝐠
𝐈𝐏
+ 𝟏
𝐋𝐨𝐠 𝟏 + 𝐢 … 27
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Ejemplo 22.- Calcule el interés compuesto ganado en 7 trimestres por una
inversión de S/.5000, colocado a una tasa nominal del 20% anual con
capitalización bimestral.
Solución: Aplicando la fórmula: 𝐈 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝐧 − 𝟏 I = ? P =
n =
i =
Ejemplo 23.- Calcule el interés compuesto ganado en 5 semestres por una
inversión de S/.36500, colocado a una tasa nominal del 14.5% anual con
capitalización cuatrimestral.
Solución: Aplicando la fórmula: 𝐈 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝐧 − 𝟏 I = ? P =
n =
i =
Ejemplo 24.-Para ganar un interés compuesto de S/.9000 a un plazo de 18
meses, ¿Cuánto debe colocarse en una institución de crédito que paga una
tasa efectiva anual del 36%?
Solución: Aplicando la fórmula: 𝐏 =𝐈
(𝟏+𝐢)𝐧−𝟏
P = ?
I =
n =
i =
Ejemplo 25.- Calcule la tasa efectiva mensual por la compra de un automóvil
cuyo precio de contado es de S/.30000, pero financiado con una cuota inicial
de S/.10000, con letras mensuales durante un año por un importe de
S/.24000.
Solución: Aplicando la fórmula: 𝐢 = (𝐈
𝐏+ 𝟏)
𝟏
𝐧 − 𝟏
i = ?
P=
I =
n =
Ejemplo 26.-¿Cuántos días serán necesarios para que un capital de S/.13000
produzca un interés de S/.1500 a una tasa nominal anual del 24% con
capitalización mensual?
Solución: Aplicando la fórmula: 𝐧 =𝐋𝐨𝐠
𝐈
𝐏+𝟏
𝐋𝐨𝐠 𝟏+𝐢
n = ?
P =
I =
i =
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Ejemplo 27.-¿Cuántos bimestres serán necesarios para que un capital de
S/.35000 produzca un interés de S/.12500 a una tasa nominal quincenal del
0.75% con capitalización trimestral?
Solución: Aplicando la fórmula: 𝐧 =𝐋𝐨𝐠
𝐈
𝐏+𝟏
𝐋𝐨𝐠 𝟏+𝐢
n = ? P = I = i =
Ejemplo 28.- Calcule el interés compuesto ganado en 5 bimestres por una
inversión de S/.7000, colocado a una tasa nominal del 15% trimestral con
capitalización cuatrimestral.
Solución: Aplicando la fórmula: 𝐈 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝐧 − 𝟏 I = ? P = n = i =
Ejemplo 29.-Para ganar un interés compuesto de S/.2000 a un plazo de 27
meses, ¿Cuánto debe colocarse en una institución de crédito que paga una
tasa efectiva semanal del 0.5%?
Solución: Aplicando la fórmula: 𝐏 =𝐈
(𝟏+𝐢)𝐧−𝟏
P = ? I = n = i =
Ejemplo 30.-¿Cuántos bimestres serán necesarios para que un capital de
S/.45000 produzca un interés de S/.3000 a una tasa nominal semestral del
12% con capitalización bianual?
Solución: Aplicando la fórmula: 𝐧 =𝐋𝐨𝐠
𝐈
𝐏+𝟏
𝐋𝐨𝐠 𝟏+𝐢
n = ? P = I = i =
Ejemplo 31.- Calcule la tasa efectiva semanal por la compra de un inmueble
cuyo precio de contado es de S/.80000, pero financiado con una cuota inicial
de S/.30000, con letras mensuales durante un año por un importe de S/.5000.
Solución: Aplicando la fórmula: 𝐢 = (𝐈
𝐏+ 𝟏)
𝟏
𝐧 − 𝟏
i = ? P= I = n =
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Lic. Carlos Goñy Ameri Pág. 18
6. Interés Generado en un Determinado Intervalo de Tiempo,
del “Período_n-1” al “Período_n”.
El interés compuesto tiene un crecimiento geométrico en el cual el interés de
cualquier período después del primer período es mayor que el generado en el
período anterior; entonces ¿Cómo podríamos conocer los intereses generados
por un determinado capital durante cada uno de los períodos capitalizables
que estuvo impuesto?
Si el período “N” comienza en el momento “n-1” y acaba en el momento “n”,
para obtener el interés “IN” generado en ese período, calculamos la diferencia de
los intereses acumulados hasta el momento “n” y los intereses generados hasta
el período anterior “n-1”
El interés compuesto generado del período “N” se obtiene restando el interés
generado hasta el momento “n” y el interés generado hasta el momento “n-1”
de la siguiente manera:
Observamos que: 𝐈𝐍 = 𝐈𝐧 − 𝐈𝐧−𝟏
Reemplazando los intereses: 𝐈𝐍 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝐧 − 𝟏 − 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝐧−𝟏 − 𝟏
Factorizando el capital: 𝐈𝐍 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝐧 − 𝟏 − 𝟏 + 𝐢 𝐧−𝟏 + 𝟏
Eliminando 1: 𝐈𝐍 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝐧 − 𝟏 + 𝐢 𝐧−𝟏
Factorizando 𝟏 + 𝐢 𝐧−𝟏 : 𝐈𝐍 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝐧−𝟏 𝟏 + 𝐢 − 𝟏
𝐈𝐍 = 𝐏 𝐢 𝟏 + 𝐢 𝐧−𝟏
𝐈𝐍 = 𝐏 𝐢 𝟏 + 𝐢 𝐧−𝟏 … (28)
𝐈𝐧 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝐧 − 𝟏
𝐈𝐧−𝟏 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝐧−𝟏 − 𝟏
𝐈𝐍 =? 𝐈 = 𝐏 𝟏+ 𝐢 𝐧 − 𝟏
00
n-1 n n+1 m …
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Ejemplo 32.- Para demostrar “como crece el dinero del ahorrista”, cuyo
depósito inicial sería S/.1000 percibiendo una tasa nominal anual del 36% con
capitalización mensual, calcule el interés que devengará ese capital en cada
uno de los doce primeros meses. Grafique y compare los intereses acumulados
en cada mes a interés simple y compuesto.
Crecimiento del interés simple y del interés compuesto
N
𝐈𝐍 = 𝐏 𝐢 𝟏 + 𝐢 𝐧−𝟏
Interés Compuesto Interés Simple
IN Acumulado I Acumulado
1 𝐈𝟏 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 × 𝟎.𝟎𝟑 × 𝟏.𝟎𝟑𝟏−𝟏 30,00 30,00 30 30
2 𝐈𝟐 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 × 𝟎.𝟎𝟑 × 𝟏.𝟎𝟑𝟐−𝟏 30,90 60.90 30 60
3 𝐈𝟑 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 × 𝟎.𝟎𝟑 × 𝟏.𝟎𝟑𝟑−𝟏 31,83 92,73 30 90
4 𝐈𝟒 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 × 𝟎.𝟎𝟑 × 𝟏.𝟎𝟑𝟒−𝟏 32,78 125,51 30 120
5 𝐈𝟓 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 × 𝟎.𝟎𝟑 × 𝟏.𝟎𝟑𝟓−𝟏 33,77 159,27 30 150
6 𝐈𝟔 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 × 𝟎.𝟎𝟑 × 𝟏.𝟎𝟑𝟔−𝟏 34,78 194,05 30 180
7 𝐈𝟕 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 × 𝟎.𝟎𝟑 × 𝟏.𝟎𝟑𝟕−𝟏 35,82 229,87 30 210
8 𝐈𝟖 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 × 𝟎.𝟎𝟑 × 𝟏.𝟎𝟑𝟖−𝟏 36,90 266,77 30 240
9 𝐈𝟗 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 × 𝟎.𝟎𝟑 × 𝟏.𝟎𝟑𝟗−𝟏 38,00 304,77 30 270
10 𝐈𝟏𝟎 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 × 𝟎.𝟎𝟑 × 𝟏.𝟎𝟑𝟏𝟎−𝟏 39,14 343,92 30 300
11 𝐈𝟏𝟏 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 × 𝟎.𝟎𝟑 × 𝟏.𝟎𝟑𝟏𝟏−𝟏 40,32 384,23 30 330
12 𝐈𝟏𝟐 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 × 𝟎.𝟎𝟑 × 𝟏.𝟎𝟑𝟏𝟐−𝟏 41,53 425,76 30 360
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
30
60.9
92.73
125.51
159.27
194.05
229.87
266.77
304.77
343.92
384.23
425.76
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 2 4 6 8 10 12 14
𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫é𝐬 𝐂𝐨𝐦𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨 →
← 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫é𝐬 𝐒𝐢𝐦𝐩𝐥𝐞
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7. Ecuaciones de Valor Equivalente a Interés Compuesto.
En el interés compuesto dos capitales ubicados en diferentes tiempos de un
horizonte temporal son equivalentes si una fecha determinada sus respectivos
valores (descontados capitalizados, o uno capitalizado y otro descontado,
etc.), aplicado en todos los casos la misma tasa de interés son iguales.
Por ejemplo considerando una tasa efectiva mensual del 4% y los capitales de
S/.1040 y S/.1081,6 ubicados al final del mes 1 y al final del mes 2, se
puede demostrar las siguientes equivalencias financieras mediante el diagrama
de línea de tiempo.
a) Equivalencia financiera descontando los flujos. Los montos S1 y S2 son equivalentes en el momento “0” porque sus valores
descontados con la tasa “i”, son iguales (S/.1000).
Aplicando: 𝐏 = 𝐒 𝟏 + 𝐢 −𝐧
𝐏 = 𝐒𝟏 𝟏+ 𝐢 −𝟏 = 𝟏𝟎𝟒𝟎 𝟏+ 𝟎.𝟎𝟒 −𝟏 =
𝐏 = 𝐒𝟐 𝟏 + 𝐢 −𝟐 = 𝟏𝟎𝟖𝟏,𝟔 𝟏 + 𝟎.𝟎𝟒 −𝟐 =
b) Equivalencia financiera capitalizando los flujos. Los montos S1 y S2 son equivalentes en el momento “3” porque sus valores
capitalizados con la tasa “i”, son iguales (S/.1124,864).
Aplicando: 𝐒 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝐧
𝐒𝟑 = 𝐒𝟏 𝟏 + 𝐢 𝟐 = 𝟏𝟎𝟒𝟎 𝟏+ 𝟎.𝟎𝟒 𝟐 =
𝐒𝟑 = 𝐒𝟐 𝟏 + 𝐢 𝟏 = 𝟏𝟎𝟖𝟏,𝟔 𝟏+ 𝟎.𝟎𝟒 𝟏 =
c) Equivalencia financiera capitalizando “P” y descontando S3. Los importes “P” y S3 son equivalentes en el momento “2” porque sus valores
capitalizados y descontados respectivamente con la tasa “i”, son iguales (S/1081,6).
Aplicando: 𝐒 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝐧 ⇒ 𝐒𝟐 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝟐 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏+ 𝟎.𝟎𝟒 𝟐 =
Aplicando: 𝐏 = 𝐒 𝟏 + 𝐢 −𝐧 ⇒ 𝐒𝟐 = 𝐒𝟑 𝟏 + 𝐢 −𝟏 = 𝟏𝟏𝟐𝟒,𝟖𝟔𝟒 𝟏+ 𝟎.𝟎𝟒 −𝟏 =
0
0
1 2 3
𝐒𝟏 = 𝟏𝟎𝟒𝟎
𝐒𝟑 = 𝟏𝟏𝟐𝟒,𝟖𝟔𝟒
𝐒𝟐 = 𝟏𝟎𝟖𝟏, 𝟔
𝐏 = 𝟏𝟎𝟎𝟎
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d) Equivalencia financiera descontando S1 al momento “0”. El monto S1 es
equivalente a “P” porque su valor descontado a la tasa “i” es igual a “P”
(S/.1000)
Aplicando: 𝐏 = 𝐒 𝟏+ 𝐢 −𝐧
𝐏 = 𝟏𝟎𝟒𝟎 𝟏 + 𝟎.𝟎𝟒 −𝟏 =
Aplicando la misma tasa:
1. Si dos capitales son equivalentes en una determinada fecha focal o de
evaluación, también lo será en cualquier otra fecha focal.
2. Si dos capitales no son equivalentes en una determinada fecha focal, no
lo será en cualquier otra fecha.
Dada la importancia de la sustitución de capitales, tanto en el sistema
financiero como en las diversas actividades mercantiles desarrollaremos
algunas de las principales aplicaciones de ecuaciones de valor equivalentes.
7.1 Refinanciación de Deudas Sustituyéndolas por Una Sola.
Ejemplo 33.- En la negociación sostenida por la empresa “ANIPSA” con el
sectorista de crédito del “Banco KGW”, se aprobó un contrato por sustituir las
deudas de la empresa de S/.10000 y S/.15000 con vencimientos dentro de 2
y 4 meses respectivamente por un único pago con vencimiento en tres
meses a una tasa anual del 36% con capitalización mensual. ¿Cuál será el
importe del pago que deberá realizar “ANIPSA” en esa fecha?
Solución1:
En el momento 0:
meses
i = i=0.03
S/.X
S/. S/.
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Solución 2:
En el momento 1:
Solución 3:
En el momento 2:
Solución 4:
En el momento 3:
00
1 2 3 4 meses
i=0.03
S/.X
S/.10000 S/.15000
i=0.03
00
1 2 3 4 meses
S/.X S/.10000 S/.15000
00
1 2 3 4 meses
i=0.03
S/.X
S/.10000 S/.15000
INTERÉS COMPUESTO
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Solución 5:
En el momento 4:
Observamos que los problemas de equivalencia financiera pueden resolverse
planteando ecuaciones de valor en cualquier fecha horizonte temporal e
incluso fuera de los meses (mes -1,-2, 5, 6, etc.) produciendo el mismo
resultado; pero siempre habrá un planteamiento más sencillo, el cual se podrá
visualizar de acuerdo a la experiencia del analista. Por ejemplo la evaluación
más simple sería en el momento “3”, en donde el importe a cancelar en esa
fecha es igual a la suma de los S/.10000 capitalizados y los S/.15000
descontados, ambos flujos en un periodo.
7.2 Diferimiento de Pagos.
Ejemplo 34.- Una empresa debe pagar al “Banco Continental” dos deudas de
S/.50000 y de S/.100000 cada una, la primera a 90 días y la segunda a 180
días. La gerencia financiera de la empresa, analizando su estado de flujo de
caja proyectando, conoce de la futura falta de efectivo para esas fechas, por lo
que negociando con el “Banco Continental” se difieren los pagos para el día
270, a una tasa efectiva mensual del 5% (incluyendo mora) ¿Qué importe
deberá pagar la empresa el día 270?
Solución:
En el momento 270 días:
i=0.03
00
1 2 3 4 meses
S/.X S/.10000 S/.15000
i=0.05
S/.X S/.50000 S/.100000
00
90 180 270 días
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7.3 Consolidación de Pasivos.
Ejemplo 35.-Actualmente la Empresa “PALPA”, la cual mantiene varias líneas
de financiamiento con diversos bancos del sistema financiero, tiene los créditos
vencidos y por vencer resumidos en el siguiente cuadro:
Debido a que las tasas de interés en mora son más elevadas que para los
créditos por vencer, la Empresa “PALPA” ha tramitado y obtenido del Banco
“E” un financiamiento para consolidar y amortizar sus pasivos vencidos y por
vencer a una tasa efectiva mensual del 3% el cual será desembolsado dentro
de 30 días. ¿Qué importe deberá solicitar “PALPA” al Banco “E”?
Solución:
El día de hoy lo designaremos como el momento “0”, los tiempos transcurridos
vencidos tendrán signos negativos, mientras los créditos por vencer tendrán
signo positivo.
𝐗 =
Plazo Banco S/. TEM Línea
Venció hace 95 días A 10000 5,0% Importaciones
Venció hace 85días B 12000 4,0% Pagaré
Venció hace 20 días C 8000 4,5% Sobregiro
Por vencer dentro de 50 días D 5000 3,0% Pagaré
Por vencer dentro de 65días C 9000 3,0% Letras
Por vencer dentro de 80 días A 4000 3,5% importaciones
i=0.03
S/. S/.X S/. S/. S/. S/. S/.
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7.4 Cálculo de la Tasa de Interés Implícita Cobrada en
Financiamientos.
Ejemplo 36.- Una compañía comercializadora de equipos electrónicos, vende
un producto al contado en S/.350. Al crédito lo ofrece con una cuota inicial y
3 cuotas mensuales, las 4 cuotas de S/.95 cada una ¿Cuál es el la tasa de
interés efectiva cargada en este financiamiento?
Solución: Tomando como fecha focal el momento “0”.
Planteando la ecuación de valor:
Este planteamiento corresponde a una ecuación de tercer grado cuya
solución se obtiene interpolando diversos valores que arbitrariamente se dan a
“i” con el objeto que se cumpla la igualdad.
Asemos que sea una función F(i) el segundo miembro de la ecuación y
asignamos diversos valores a “i” para aproximar a 255 .
Interpolando:
i=?
S/.95
0
0 1 2 3 meses
S/.95 S/.95 S/.95
P=S/.350
# i F(i) 1 0.040
2 0.050
3 0.055
i 255,00 4 0.060
5 0.070
6 0.080
7 0.09
𝐅 𝐢 =𝟗𝟓
(𝟏+ 𝐢)+
𝟗𝟓
(𝟏 + 𝐢)𝟐+
𝟗𝟓
(𝟏 + 𝐢)𝟑
𝟐𝟓𝟓 =𝟗𝟓
(𝟏+ 𝐢)+
𝟗𝟓
(𝟏 + 𝐢)𝟐+
𝟗𝟓
(𝟏 + 𝐢)𝟑
𝟑𝟓𝟎 = 𝟗𝟓 + 𝟗𝟓 𝟏 + 𝐢 −𝟏 + 𝟗𝟓(𝟏+ 𝐢)−𝟐 + 𝟗𝟓(𝟏+ 𝐢)−𝟑