4.9 Gradiente El gradiente de una funcin de 2 v variables es una funcin vectorial de 2 variables. Esta funcin tiene mltiples aplicaciones importantes, algunas de las se describen ms adelante en esta misma seccin.Definicin de gradiente de una funcin de 2 variables:

Sea una funcin de tal que , existen. Entonces el gradiente de , denotado por , es el vector

=.

Se le cmo delta . Otra notacin para el gradiente es grad . En la siguiente figura hay que observar que para cada , el gradiente es un vector en el plano (no es un vector en el espacio).

Nota: el smbolo no tiene ningn valor. Es un operador de la misma manera que es un operador. Cuando opera sobre , produce le vector.Ejemplo

Hallar el gradiente de en el punto (1,2) Solucin utilizando

ySe tiene

En el punto (1,2), el gradiente es

Como el gradiente de en la direccin de es un vector, se puede expresar la derivada direccional de en la direccin de cmo.

En otras palabras, la derivada direccional es el producto escalar del gradiente del vector direccin. Teorema Forma alternativa de la derivada direccional

Sies una funcin diferenciable de (x,y), entonces la derivada direccional de en la direccin del vector unitario es

Aplicacin del gradiente

Se ha visto ya que hay muchas derivadas direccional en un punto (x,y)de una superficie. En muchas aplicaciones, se desea saber en qu direccin moverse de manera que crezca ms rpidamente. Esta direccin se llama la direccin de mayor ascenso, y viene dada por el gradiente, como se establece en el teorema siguienteTeorema Propiedades de la grafica

Sea diferencial en el punto .

1.-Si , entonces para todo .

2.-La direccin de mximo incremento de esta dada por . El valor mximo

3.- La direccin de mnimo incremento de esta dada por -. El valor mnimo de de Demostracin

Si , entonces en cualquier direccin (con cualquier u) se tiene.

Si , sea el ngulo entre y un vector unitario . Usando el producto escalar se puede aplicar el teorema 11.5 para concluir que.

Y se sigue que el valor mximo de se presentara cuando por tanto, , y el valor mximo de la derivada direccional se tiene cuando tiene la misma direccin que . Este valor mximo de es precisamente.

De igual forma, el valor mnimo de puede obtenerse haciendo de manera que apunte en direccin opuesta a como se muestra en la figura.

Para visualizar una de las propiedades del gradiente, imaginar un esquiador que desciende de una montaa. Si denota la altitud a la que se encuentra el esquiador, entonces indica la direccin de acuerdo a la brjula que debe el esquiador para seguir el camino de descenso ms rpido. (Recurdese que el gradiente indica una direccin en el plano y no apunta hacia arriba ni hacia debajo de la ladera de la montaa).

Otra ilustracin del gradiente es la temperatura en cualquier punto (x, y) de una placa metlica plana. En este caso, de la direccin de mximo aumento de temperatura en el punto (x, y).Ejemplo 1Halla la direccin del mximo incremento La temperatura en grados Celsius en la superficie de una placa metlica es:

Donde x y y se miden en centmetros en qu direccin a partir de (2,-3) aumenta ms rpido la temperatura? Cul es la tasa o ritmo de crecimiento?Solucin El gradiente es

=Se sigue que la direccin de mximo incremento est dado por

Como se muestra en la figura, y la tasa o el ritmo de incremento es

La solucin del ejemplo 5 puede entenderse errneamente. Aunque el gradiente apunta en la direccin de mximos de mximo incremento de temperatura, no necesariamente apunta hacia el punto ms caliente de la placa. En otras palabras, el gradiente proporciona una solucin local para encontrar un incremento relativo de temperatura en el punto (2,3). Una vez que se abandona esa posicin, la direccin de mximo incremento puede cambiar.Ejemplo 2 Hallar un vector normal a una curva de nivel

Dibujar la curvatura de nivel que corresponde a para la funcin dada por

Y hallar un vector normal a varios puntos de la curva

Solucin.- La curva de nivel para esta dada por

Como se muestra en la figura como el vector gradiente de es

Se puede utilizar el teorema para concluir que es normal a la curva de nivel en el punto . Algunas vectores gradientes son.

10.10 campos vectorialesDefinicin de campos de vectores

Sean funciones de 2 variables , definidas en una regin plana R.La funcin F definida por

PlanoSe llama un campo de vectores en R.

Sea funciones de tres variables x, y,z definidas en una regin slida en el espacio . La funcin F definida por

Se llama un campo de vectores enDe esta definicin se puede ver que el gradiente es un ejemplo de un campo de vectores. Por ejemplo, si

Entonces el gradiente de

Es un campo de vectores en el plano. La interpretacin grafica de este campo es una familia de vectores cada uno cada uno de los cuales apunta a la direccin de mximo crecimiento a lo largo de la superficie dada por . Para esta funcin particular, la superficie es un paraboloide y el gradiente informa que la direccin de mximo incremento a lo largo de la superficie es la direccin dada por el rayo que va del origen a travs del punto (x, y).De manera similar, si

Entonces el gradiente de

Es un campo de vectores es continuo en un punto si cada una de sus funciones componen M,N y P es continuo en ese punto.

Algunos ejemplos fsicos comunes de campos vectoriales son los campos de velocidades, los gravitatorios y los de fuerza elctrica.1.- Un campo de velocidades describe el movimiento de sistemas de partculas en el plano o en el espacio. Por ejemplo, la figura 15.1 muestra el campo de vectores determinado por una rueda que gira en unos ejemplos. Los vectores velocidad determina la localizacin de sus puntos iniciales: cuanto ms lejano. Esta un punto del eje, mayo es su velocidad. Otros campos de velocidad estn determinados por el flujo de corrientes areas alrededor de un objeto mvil, como se muestra en la figura.

2.- Los campos gravitatorios los define la ley de la gravitacin de Newton, que establece que la fuerza de atraccin ejercida en una partcula de masa localizados en (0,0,0) est dada por :

Donde G es la constante gravitatoria y u es el vector unitario en la direccin del origen a (x, y, z). En la figura 15.3 se puede ver que el campo gravitatorio F tiene las propiedades de que todo el vector apunta hacia el origen y que la magnitud, y que la magnitud de es la misma en todos los puntos equidistas del origen. Un campo de vectores cos estas dos propiedades se llama un campo de fuerza central.

Utilizando el vector posicin.

Para el punto (x,y,z)se puede expresar el campo gravitatorio F campo gravitatorio F como

Tal campo de fuerzas se llama un campo cuadrtico inverso.Definicin de un campo cuadrtico inverso

Sea un vector posicin. El campo de vectores F es un campo cuadrtico inverso si

Donde k es un nmero real y es un vector unitario en la direccin de r.Como los campos constan de una cantidad infinita de vectores, no es posible hacer un dibujo del todo el campo de vectores. En lugar de esto, cuando se esboza un campo vectorial, el objetivo es dibujar vectores representativos que ayuden a visualizar el campo.Ejemplo Dibujo de un campo de vector Dibujar algunos vectores del campo vectorial dado por

Solucin Se podra trazar los vectores en varios puntos del plano, al azar. Sin embargo, es ms demostrativos trazar vectores de magnitud igual. Esto corresponde de a encontrar curvas de nivel en los campos escalares. En este caso, vectores de igual magnitud se encuentran en crculos.

Vectores de longitud CEcuacin del crculoPara empezar a hacer el dibujo, se elijan un valor de c y se dibujan varios vectores en el crculo resultante. Por ejemplo, los vectores siguientes se encuentran en el crculo unitario.Punto Vector

(1,0)F(1,0)=j

(0,1)F(0,1)=-i

(-1,0)F(-1,0)=-j

(0,-1)F(0,-1)=i

BibliografaLarson, R., Hostetler, R. P., & Edwards, B. H. (s.f.). Clculo II Octava Ed. Mc-Graw-Hill.