el fenómeno del primer dígito, o la ley de benford · knuth (1969) cálculos de la computadora...
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El Fenómeno del Primer Dígito, o la Ley de Benford
Ted HillProfessor Emeritus of Mathematics,
Georgia Institute of Technology, Atlanta
Internet base de datos
http://www.benfordonline.net/
Internet libro de la teoría de Benford
http://www.i-journals.org/ps/viewissue.php?id=11/ Vol 8, pp 1-126
XI Esc. Prob. & Estad. CIMAT 2012
Ejemplo 1 Cómo Sacar $ $ de Amigos
Juego de 2-Personas Dos Jugadores I y II, cada uno elige un entero
positivo.
Sea X = producto de los dos enteros.
Jugador I gana si X comienza con 1, 2, o 3
Jugador II gana si X comienza con 4, 5, 6, 7, 8, 9
Reclamo: El Jugador I puede ganar con una
probabilidad> 60%
Ejemplo 2
Comience con cualquier número positivo, y en
repetidas ocasiones se multiplican por 2.
Entonces, se empieza con 5,
5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, …
¿Qué proporción de la secuencia comienza con un 1?
R. Exactamente
La misma respuesta si se comienza con 7, o con 3 y
multiplicar repetidamente, etc por 5
10log 2 30.1%
Esquema de las Clases LB, CIMAT 2012
Clase 1 Introducción a la Ley de Benford (LB)
Definición de LB, la evidencia empírica
Caracterización, de aplicación a la detección de fraude
Clase 2 LB para variables aleatorias (VA)La evidencia más empírica, poderes y productos de la VA
Aplicación de pruebas de homogeneidad
Clase 3 LB para procesos determinísticosSecuencias clásicas, procesos exponenciales y super-
exponenciales, aplicaciones de pruebas de diagnóstico y
análisis de error de redondeo, Problemas Abiertos
Dígitos Significativos
1 1
2 3
2 2
1Sean
los de 0.
p. ej. (2,013) (0.02013)
( ), ( ), ( ), ...
digitos significativos
2
(
(dec
2,013) (0.02013) 0, etc.
enton
imale
c
s)
es
x
D D
D
x
D
D x D x D
1{1, 2,..., 9} {0, 1, 2,...,, y para tod9} os 2.
kD D k
LB para el primer dígito significativo
1
1
1
1
1
1
log 1
2 / 1
3 /
1 .301
2 .
Prob ( ) , 1,2, ,9
P( ( ) ) log( )
P( ( ) ) log( )
P( ( ) ) log( )
176
.125
.0 P( ( ) ) log( )
97
2
3 4 / 3
4 5
/ 4
D X d d
D X
D X
D
d
X
D X
1
1
1
1
1
P( ( ) ) log( )
P( ( ) ) log( )
P( ( ) ) log( )
P( ( ) ) log( )
P( ( ) )
5 6 / 5
6 7 / 6
7 8 / 7
8 9 / 8
.079
.067
.058
.051
9 .0log 0 9 461 /
D X
D X
D X
D X
D X
El Primer Dígito Significativo
Ley General de Benford
11 2
1
2
1
1
Un conjunto de datos si
P ( ), ( ), ..., ( )
para todos , {1,2,...,9}, y {0,1,2, ...,9}, 2 .
es Benford
, , ...,
lo
g
,
10
.
1
k k
kk j
j
j
j
D X D X D X
k d d j k
X
E
d d
d
j
d
1 2 3
1 ( , , ) ( ) lo3,1,4
31g 1 0.00138
4P D D D
Benford 1938
Datos Benford
Evidencia Empírica
Newcomb (1881) Tablas de logaritmos
Benford (1938) Colecciones de tablas
Knuth (1969) Cálculos de la computadora
Varian (1972) Previsiones económicas
Burke & Kincanon (1991) Constantes físicas
Buck, Merchant, Perez (1993) Alfa vida decaimiento medio
Nigrini (1995) Los datos fiscales, el censo
Ley (1996) Del mercado de valores
Tolle, Budzien, LaViolette (2000) Dinámicas moleculares
Plouffe (2006) .86525… = ? Calculadora simbólica inversa
Jolion, Abdallah et al (2007) Imágenes digitales
Mebane (2009) Elección de Irán
Sambridge et al) (2011) Detección de terremotos
Otra Formulación de LB General
La (decimal) , es
( ) 10 , donde es el único entero tal que 10 [1,10)
Ej., (20) 2, ( /
Def.
10) (10 ) ( ) .
: si
función mantisa : [1,10)
La Ley de Benford General y só o se s l
k k
S x x k x
S
X Benford
S S S S
1
i
para todos 1 10
Ej., ( ( ) 1) ( ( ) 2) log 2 0.
( ( ) ) log
301...
tP S X t
P X
t
P D X S
La distribución de LB de S(X)
Conceptos ImportantesPara , mod 1 es de , e.g.,
mod1 (3.1416...) 3 0.1416...
así mod1 [0,1) para todos .
Un conjunto de dat
la parte fraccionaria
uniforos es memente distribuido
x x x
x x
X
(u.d. mod 1) si mod1 es uniformemente distribuido en [0,1]
i.e.
módulo 1
dígitos significativos invariantes en e
, mod1 (0,1)
tiene si
scala
( ) = ( ) pP S c
X
X U
X
X t P S X t
1 1
ara todos 0.
Ej., ( ) ( ) para todos 0, {1, ...,9}
c
P D cX d P D X d c d
Teoremas de Caracterización
T. 1.
T. 2. La Ley de Benford es la única distribución de
dígitos significativos que es invariante en escala
T. 3. La Ley de Benford es la única distribución
continua de dígitos significativos que es invariante
en base
es Benford log es u.d. mod1X X
Demostración del Teorema 1
En primer lugar, suponemos que [1,10), entonces ( ) , y
es Benford ( ( ) ) log t para todos [1,10)
( ) (log log t) = log t para todos [1,10)
(log ) = s para todos
X S X X
X P S X t t
P X t P X t
P X s s
[0,1) log es u.d. mod 1.
Para general y positivo,el argumento es similar.
X
X
Ilustración de la Invariancia de Escala
Old British ₤ US $ (x 2)
10 20
15 30
20 40
25 50
30 60
35 70
40 80
45 90
50 100
55 110
60 120
65 130
70 140
75 150
80 160
85 170
90 180
95 190
U
N
I
F
O
R
M
B
E
N
F
O
R
D
Old British ₤ US $ (x2)
11 22
12 24
14 28
16 32
18 36
19 38
21 42
24 48
28 56
33 66
37 74
42 84
47 94
55 110
64 128
71 142
83 166
96 192
Dinámica de la Invariancia de Escala
$$$ Solución del Ejemplo 1 $$$
Jugadores I y II, cada uno elige un entero positivo.
Sea X = producto de los dos enteros,
J1 gana si X comienza con 1, 2, o 3.
Si el J1 escoge su número al azar siguiendo LB,
ya que LB es invariante en escala, el producto X
sigue LB, para cualquier número que elige J2
Entonces Prob (J1 gana) =
Prob (X comienza con 1,2 o 3) = log 4 = 0.6020 ...
Dinámica de la Invariancia de Base
Wall Street Journal 1995
Prueba LB para Detectar Datos Fraudulentos o Inventados
Las frecuencias de los primeros dígitos (%)1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ley de Benford 30.1 17.6 12.5 9.7 7.9 6.7 5.8 5.1 4.6
Datos
verdaderos
impuestos
30.5 17.8 12.6 9.6 7.8 6.6 5.6 5.0 4.5
Datos
fraudulentos
0 1.9 0 9.7 61.2 23.3 1.0 2.9 0
Aplicaciones para la Detección del Fraude
Ej. 1 Fraude fiscal (Nigrini, Durtschi et al)
Ej. 2 Fraude en datos de clínicos, pruebas (IIDD, Buyse et al)
Ej. 3 Fraude en datos de la encuesta
(Judge, Schechter y Grendar, Swanson et al)
Ej. 4 Fraude en imágenes digitales
(Abdallah, Heileman y Pérez González; Jolion)
Ej. 5 Fraude ambiental (Marchi & Hamilton, Brown)
Ej. 6 Fraude electoral (Mebane)
Ej. 7 Fraude de seguros de salud (Lu y Boritz)
Newcomb 1881