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Capítulo 1

El espacio normado Rn

En este curso supondremos conocida la estructura de R y su topología,así como las propiedades de las funciones continuas o derivables de una va-riable. Todo este bagaje inicial se usará, sin necesidad de hacer las demostra-ciones que correspondan. Nuestro objetivo fundamental serán las funcionesde varias variables, más exactamente el cálculo diferencial para funcionesdefinidas en subconjuntos de Rn. Muchos de los resultados serán extensio-nes a las varias variables de otros ya estudiados en una variable, otros encambio serán nuevos por responder a problemas que no tienen sentido en1-variable.

A pesar de que sólo estamos interesados en las funciones de un númerofinito de variables, muchos conceptos y demostraciones se establecerán parafunciones definidas entre espacios vectoriales reales de cualquier dimensión,sentando así las bases para un Cálculo Diferencial en espacios funcionalesy, evitando además el uso de coordenadas, cuando éstas no sean necesarias.Consideramos pues funciones f : A ⊂ E → F , siendo E y F espacios vecto-riales sobre el cuerpo de los números reales de dimensión ≥ 1 . Cuando Esea de dimensión n diremos que f es una función de las n-variables reales(x1, x2, . . . , xn). En tal caso, puesto que E es isomorfo a Rn, estamos iden-tificando E y Rn. También es habitual decir que una función que toma susvalores en R (i.e. F = R ) es una función escalar, mientras que la función sedice vectorial cuando dim(F ) > 1. En el caso en que F sea el producto deun número finito de espacios vectoriales,

f : A ⊂ E → F1 × F2 × · · ·Fp,

si se denota por fi(x) la i-ésima coordenada de f(x), escribiremos f =(f1, . . . , fp) y diremos que las funciones fi : A ⊂ E → Fi; i = 1, 2, . . . , p, sonlas funciones coordenadas de f .

1

2 El espacio normado Rn 1.1

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K = R ó C indistintamente.Una norma sobre E es una aplicación de E en R que satisface las trespropiedades siguientes:

NOR1. ‖x‖ = 0 si y sólo si x = 0

NOR2. ‖λx‖ = |λ| ‖x‖, ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E

NOR3. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, ∀x, y ∈ E

Al número real ‖x‖ se le denomina norma del vector x y se dice queel par (E, ‖ ‖) es un espacio normado. En lo sucesivo, todos los espaciosvectoriales serán reales, es decir K = R.

Ejemplos 1.1 (1) Las únicas normas sobre R son el valor absoluto y susmúltiplos positivos. En efecto, sea ‖ ‖ una norma cualquiera sobre R y seak = ‖1‖. Entonces

‖x‖ = ‖x·1‖ = |x|‖1‖ = k|x|.

Para probar que k debe ser un número real mayor estrictamente que 0,sólo hay que tener en cuenta que toda norma sobre un espacio vectorial Esatisface las propiedades:

NOR4. Toda norma es simétrica, es decir ‖ − x‖ = ‖x‖, para todox ∈ E,NOR5. La norma de todo vector de E es un número real positivo,

La propiedad NOR4 se obtiene trivialmente de la segunda condición denorma. NOR5 se demuestra así:

0 = ‖x− x‖ ≤ ‖x‖+ ‖ − x‖ = 2‖x‖ ⇒ ‖x‖ ≥ 0.

(2) En Rn las normas más utilizadas son

‖(x1, . . . , xn)‖p =(

n∑i=1|xi|p

)1/p

, p ≥ 1

‖(x1, . . . , xn)‖∞ = max{|x1|, . . . , |xn|}.

La comprobación, en las del tipo p, de la tercera propiedad de norma se basaen la desigualdad de Hölder (Ver ejercicio 1A), aunque para el caso p = 2cabe una demostración alternativa, basada en la desigualdad de Cauchy-Schwartz, que veremos a continuación. La ‖ ‖2 es la norma de la geometríaeuclídea, ella forma parte del importante grupo de normas que se derivan

1.1 El espacio normado Rn 3

de un producto escalar las Normas Euclídeas. La norma ‖ ‖∞ es conocidacomo la norma producto.

Como es bien conocido mediante la igualdad

(x, y) · (u, v) = xu+ yv,

se define una aplicación bilineal de R2×R2 en R, el producto escalar euclídeo(ejercicio). Obviamente, se tiene que el producto escalar de un vector porsí mismo es justamente el cuadrado de su norma euclídea: (x, y) · (x, y) =x2 + y2 = ‖(x, y)‖2.

Vamos a ver que se satisface la desigualdad,∣∣(x, y) · (u, v)∣∣ ≤ ‖(x, y)‖‖(u, v)‖,

conocida como Desigualdad de Cauchy-Schwartz.Es obvio que esta desigualdad es cierta sii

(xu+ yv)2 ≤ (x2 + y2)(u2 + v2) sii2xyuv ≤ x2v2 + y2u2 siix2v2 + y2u2 − 2xvyu ≥ 0,

y es claro que esto último es cierto pues x2v2 + y2u2 − 2xvyu = (xv− yu)2.Deducimos entonces que

‖(x, y) + (u, v)‖2 =(

(x, y) + (u, v))·(

(x, y) + (u, v))

= (x, y) · (x, y) + 2(x, y) · (u, v) + (u, v) · (u, v)

≤ ‖(x, y‖2 + 2‖(x, y)‖‖(u, v)‖+ ‖(u, v)‖2 =(‖(x, y)‖+ ‖(u, v)‖

)2.

Las normas anteriores pueden definirse sobre productos finitos de espaciosnormados, o sea si E en en vez de Rn es un producto de los espacios normadosEi, i = 1, . . . , n, entonces sobre el espacio vectorial E = E1 × · · · × En

podemos considerar de forma análoga la norma producto y las normas p.

Ejercicio. Una norma ‖ ‖ sobre Rn la llamaremos monótona si satisface lacondición:

|xi| ≤ |yi|, i = 1, . . . , n ⇒ ‖(x1, . . . , xn)‖ ≤ ‖(y1, . . . , yn)‖.


1. Probar que las normas ‖ ‖p y la norma producto son normas monótonasde Rn.

2. Probar que la norma ‖(x, y)‖ = |x|+ |x−y| no es una norma monótonade R2.

3. Si Ei, i = 1, . . . , n son espacios normados y ‖ ‖∗ es una norma monó-tona de Rn, entonces mediante la fórmula

‖(x1, . . . , xn)‖ =∥∥(‖x1‖, . . . , ‖xn‖

)∥∥∗se define una norma en E = E1 × E2 × · · · × En.

4. Si ‖ ‖1, . . . , ‖ ‖n son normas sobre el mismo espacio vectorial E y ‖ ‖∗

es una norma monótona de Rn, entonces mediante la fórmula

‖x‖ =∥∥(‖x‖1, . . . , ‖x‖n

)∥∥∗se define una norma en E.

5. Utilizar uno de los dos apartados anteriores para justificar que lassiguientes expresiones son normas

en R2:

‖(x, y)‖ = |x|+ |y|+√x2 + y2

‖(x, y)‖ =√

(max{|x|, |y|})2 + x2 + y2 + (|x|+ |y|)2

en R3:

‖(x, y, z)‖ = 2|x|+ 3|y|+ |z|

‖(x, y, z)‖ = max{|x|, 3√|y|3 + |z|3}

‖(x, y, z)‖ =√x2 + y2 + z2 + (|x|+ |y|+ |z|)2

6. Procediendo de la misma forma, construir más normas.


1.2 Toda norma lleva asociada de forma natural una distancia d definidapor d(x, y) = ‖x− y‖. En particular, en R la distancia asociada a la norma“valor absoluto” es la usual d(x, y) = |x − y|. Para E = R2 la distanciaasociada a ‖ ‖2 es la distancia euclídea. Para ‖ ‖∞ es fácil ver que si P,Qson dos puntos del plano situados en un rectángulo de lados paralelos a losejes de medidas s, t, entonces d∞(P,Q) ≤ max{t, s}.

Definición 1.3 En un espacio normado (E, ‖ ‖),i) al conjunto de puntos de E que distan de un punto a menos que r > 0

lo llamaremos bola abierta de centro a ∈ E y radio r > 0 y se denotarápor B(a, r). Luego B(a, r) = {x ∈ E : ‖x − a‖ < r}. Análogamente la bolacerrada será, B[a, r] = {x ∈ E : ‖x− a‖ ≤ r} y la esfera, S[a, r] = {x ∈ E :‖x− a‖ = r};

ii) un subconjuntoA ⊂ E se dirá acotado si existe alguna constante α ≥ 0tal que ‖x‖ ≤ α para todo x ∈ A. Equivalentemente si A está contenido enalguna bola.

1.4 Algunas de las propiedades elementales de las bolas en un espacio nor-mado son las siguientes:

1. “La geometría” de las bolas no depende del centro ni del radio. Estoes debido a la igualdad B(a, r) = a+ rB(0, 1) (ejercicio), que nos diceque toda bola se obtiene mediante la traslación de una homotética dela bola unidad (de centro 0 y radio 1).

2. Cada bola tiene infinitos puntos. En efecto, consideremos la bolaB(a, r).Entonces para cada de los infinitos puntos b ∈ E, b 6= 0; b 6= a es in-mediato ver que los infinitos puntos a + tb, con t ∈ (−r/‖b‖, r/‖b‖)pertenecen a B(a, r).

3. Para cada par de puntos distintos a, b ∈ E existes dos bolas centradasen a y en b respectivamente que son disjuntas: Si a 6= b entoncesr = 1/2‖a−b‖ es mayor estrictamente que 0 y las bolas B(a, r) y B(b, r)son disjuntas, pues si x ∈ B(a, r) entonces ‖a−b‖ ≤ ‖a−x‖+‖x−b‖ <r + ‖x− b‖, lo que implica que ‖x− b‖ > r y por tanto x 6∈ B(b, r).

Ejercicio. Dibujar en R2 una bola respecto a la normas ‖ ‖∞, ‖ ‖1, ‖ ‖2 ytambién respecto a la norma ‖(x, y)‖ = |x|+ |x− y|.


1. Normas equivalentes

Análogamente a cómo se hacía en R, a partir de la distancia asociada auna norma, podemos dar la definición de sucesión convergente en espaciosnormados . Concretamente:

Definición 1.5 La sucesión de puntos del espacio normado (E, ‖ ‖) se diceque converge (o que ‖ ‖-converge, si pudiera haber confusión) al punto x,{xp} → x, si para cada ε > 0 existe un índice ν tal que si p ≥ ν entonces‖xp − x‖ < ε. En otras palabras, si a partir de ν todos los términos de lasucesión están en la bola B(x, ε).

Por tanto, es claro que una sucesión no puede converger a dos puntosdistintos. Si la sucesión {xp} convergiese a los dos puntos distintos x1 6= x2,tomando ε tal que B(x1, ε)∩B(x2, ε) = ∅, todos los términos de la sucesión apartir de uno en adelante deberían estar en ambas bolas, lo cual es absurdo.Cuando la sucesión {xp} converge a x, también se dice que x es el puntolímite de la misma y se escribirá lım

p→∞xp = x.

Es inmediato comprobar que si {xp} es una sucesión convergente enton-ces también es de Cauchy, i.e para cada ε > 0 existe un índice ν tal que sip, q ≥ ν entonces ‖xp − xq‖ ≤ ε.

Ejemplo 1.6 Es fácil ver que en R2 respecto a la norma producto, una suce-sión {(xp, yp)} converge al punto (x, y) si y sólo si las sucesiones coordenadas{xp} y {yp} convergen respectivamente a x e y. Igualmente en Rn.

Puesto que el concepto de sucesión convergente lo hemos expresado entérminos de la norma, parece posible que una misma sucesión de puntos delespacio vectorial E pueda ser convergente o no dependiendo de cuál sea lanorma con la que trabajemos. De hecho, como veremos a continuación, dosnormas sobre E que proporcionan las mismas sucesiones convergentes sonjustamente las que denominaremos equivalentes.

Definición 1.7 Dos normas ‖ ‖, ‖ ‖∗ sobre el mismo espacio vectorial E sedicen equivalentes si existen dos números reales α, β mayores estrictamenteque 0 tales que ‖x‖ ≤ α‖x‖∗; ‖x‖∗ ≤ β‖x‖,∀x ∈ E.

Proposición 1.8 Sean ‖ ‖, ‖ ‖∗ dos normas sobre el mismo espacio vectorialE. Los enunciados siguientes son equivalentes:

1) Las normas ‖ ‖, ‖ ‖∗ son equivalentes,


2) Cada sucesión que converge respecto a una de ellas converge tambiénrespecto a la otra y al mismo límite,

3) Cada sucesión que converge respecto a una de ellas converge tambiénrespecto a la otra.

Demostración. 1) implica 2) Supongamos que las normas son equivalentesi.e existen α, β mayores estrictamente que 0 tales que ‖x‖ ≤ α‖x‖∗; ‖x‖∗ ≤β‖x‖,∀x ∈ E, y sea {xp} una sucesión ‖ ‖-convergente a x. Luego dadoε > 0, a partir de un cierto índice, los términos de la sucesión ‖ ‖-distan dex menos que ε. Se deduce entonces que, a partir de ese índice, ‖xp − x‖∗ ≤β‖xp − x‖ < βε. Es decir la sucesión {xp} también ‖ ‖∗-tiende a x.

2) implica 1) Recíprocamente, supongamos que las normas no son equi-valentes, por ejemplo que no se satisface ‖ ‖∗ ≤ β‖ ‖ para ningún β > 0. Enparticular, que para cada p ∈ N existe xp ∈ E tal que ‖xp‖∗ > p‖xp‖. O loque es lo mismo, que

‖xp‖‖xp‖∗

< 1/p,

lo que significa que la sucesión,{ xp

‖xp‖∗}, ‖ ‖-converge a 0. Pero, en cambio,

esta sucesión no ‖ ‖∗-converge a 0, pues∥∥ xp

‖xp‖∗

∥∥∗ = 1.Trivialmente 2) implica 3).3) implica 2) Teniendo en cuenta que una sucesión {xp} converge a a

si y sólo si la sucesión {xp − a} converge a 0, bastará probar que si {xp}es una sucesión que ‖ ‖-converge a 0 entonces esta sucesión ‖ ‖∗-converge a0. Por 3) {xp} debe ser ‖ ‖∗-convergente. Lo que se trata de probar es queademás debe hacerlo a 0. En efecto, supongamos que {xp} ‖ ‖∗-converge ab, entonces es obvio que la sucesión {2xp} ‖ ‖-converge a 0 y ‖ ‖∗-convergea 2b. Sea {yp} la sucesión definida por yp = xp si p es impar e yp = 2xp

si p es par. Obviamente {yp} ‖ ‖-converge a 0, por lo que según 3), debeser ‖ ‖∗-convergente a algún c. Pero la subsucesión de los términos impares‖ ‖∗-converge a b mientras que la de los términos pares converge a 2b. Portanto c = b = 2b que implica b = 0 como queríamos probar.

Teorema 1.9 En Rn todas las normas son equivalentes.

Demostración. Vamos a probar que cada norma ‖ ‖ sobre Rn es equivalentea la norma ‖ ‖∞.


1) Denotemos por ei = (0, . . . , 1, . . . , 0) entonces

‖x‖ = ‖(x1, . . . , xn)‖ == ‖n∑

i=1xiei‖

≤n∑

i=1|xi|‖ei‖ ≤

∑(‖x‖∞‖ei‖) = (

∑‖ei‖)‖x‖∞.

Entonces, si β =∑‖ei‖, se ha probado que para todo x ∈ Rn, ‖x‖ ≤ β‖x‖∞.

2) Para probar la otra desigualdad razonaremos por inducción sobre n.Ya sabemos que es cierta para n = 1, pues las únicas normas sobre R sonlos múltiplos positivos del valor absoluto. Supongamos cierto en Rn−1 laexistencia de una desigualdad en este sentido entre cada norma y la normaproducto. Para probar esto mismo sucede en Rn, observemos que si v =(x1, x2, . . . , xn) es un vector no nulo, entonces para cada xj 6= 0 podemosescribir v = xj(x1/xj , . . . , 1, . . . , xn/xj), de lo que se deduce que ‖v‖ =‖v‖∞‖u‖, donde u es un vector que tiene un 1 en alguna de sus coordenadas.La desigualdad que buscamos se obtendría si fuese cierto que existe algunaconstante α > 0 tal que para cada vector u de este tipo ‖u‖ fuese mayorque α. Denotemos por L1, L2, . . . los conjuntos formados por los puntos quetienen un 1 en la 1a coordenada, un 1 en la 2a coordenada,. . . y veamos que encada uno de ellos es cierto lo anterior. Supongamos que no y que por ejemploexiste una sucesión de vectores up = (1, yp

2 , . . . , ypn) ∈ L1, p = 1, 2, . . . tal que

‖up‖ ≤ 1/p. Teniendo en cuenta que

‖up‖ = ‖(1, yp2 , . . . , y

pn)‖ = ‖(1, 0, . . . , 0) + (0, yp

2 , . . . , ypn)‖,

eso significaría que la sucesión {(0, yp2 , . . . , y

pn)} ‖ ‖-converge a (−1, 0, . . . , 0)

(luego también es ‖ ‖-Cauchy).Denotemos por ‖ ‖∗ a la norma sobre Rn−1 definida así: ‖(y2, . . . , yn)‖∗ =

‖(0, y2, . . . , yn)‖ (comprobar que es norma). Por hipótesis de inducción debeexistir una constante s > 0 tal que ‖(y2, . . . , yn)‖∞ ≤ s‖(y2, . . . , yn)‖∗ =s‖(0, y2, . . . , yn)‖. De esta desigualdad se deduce entonces que el carác-ter ‖ ‖-Cauchy de la sucesión {(0, yp

2 , . . . , ypn)} implicaría que la sucesión

{(yp2 , . . . , y

pn)} es ‖ ‖∞-Cauchy, equivalentemente que las sucesiones coor-

denadas son sucesiones de Cauchy de números reales, luego convergentes.Si c2, c3, . . . , cn fuesen sus límites entonces la sucesión {(yp

2 , . . . , ypn)} con-

vergería respecto a la norma ‖ ‖∞ al punto c = (c2, . . . , cn), pero enton-ces, teniendo en cuenta que (según vimos en 1) ‖ ‖ ≤ β‖ ‖∞, la sucesión{(0, yp

2 , . . . , ypn)} ‖ ‖-convergería a ‖(0, c2, . . . , cn)‖. Habríamos obtenido dos

límite diferentes para la misma sucesión.


Corolario 1.10 Rn es un espacio normado completo (un espacio de Ba-nach) respecto a cualquier norma i.e., cada sucesión de Cauchy en (Rn, ‖ ‖)es convergente cualquiera que sea la norma ‖ ‖.

Demostración. Puesto que en Rn todas las normas son equivalente, unasucesión es ‖ ‖-Cauchy si y sólo es ‖ ‖∞-Cauchy y, por tanto, si y sólo si cadasucesión coordenada es una sucesión de números reales de Cauchy (luegoconvergente, pues suponemos conocido que R es completo). Se tiene puesque dicha sucesión, según veíamos antes, es ‖ ‖∞-convergente lo que, segúnla proposición 1.8, equivale a ser ‖ ‖-convergente.

2. Continuidad y limites de funcionesComenzamos aquí con el estudio de las funciones de varias variables, y

más generalmente con el de las funciones del tipo f : A ⊂ E → F con E yF espacios normados. Para ello necesitaremos definir previamente algunosconceptos de topología:

Definición 1.11 Un subconjunto A de un espacio normado (E, ‖ ‖) se diráentorno del punto a (o equivalentemente que a es un punto interior de A:a ∈

oA) si existe un número real r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A. Un subconjunto

U se dirá abierto cuando sea entorno de todos sus puntos o dicho de otraforma si

oU= U . A los complementarios de abiertos se les llama cerrados.

Nos referiremos a la familia τ de los abiertos como a la topología del espacionormado.

Es obvio que todo conjunto que contenga un entorno de un punto a estambién entorno de a y que la intersección de dos entornos del punto a estambién entorno de a. Asimismo es claro que la unión arbitraria de abiertosy la intersección finita de abiertos es un abierto.

Proposición 1.12 Un conjunto U es abierto del espacio normado E si ysólo si U es unión de bolas abiertas.

Demostración. Si U es abierto entonces U =⋃

x∈U B(x, rx). Recíproca-mente, cada B(a, r) es un conjunto abierto. En efecto si x ∈ B(a, r) y0 < rx < r − ‖x − a‖ entonces cada y ∈ B(x, rx) verifica que ‖y − a‖ ≤‖y − x‖+ ‖x− a‖ < rx + ‖x− a‖ < r.

Proposición 1.13 Dos normas sobre el espacio vectorial E son equivalentessi y sólo si inducen la misma topología sobre E. También, si y sólo si losentornos de cada punto son los mismos para las dos normas.


Demostración. De acuerdo a la definición de abierto, bastará probar la se-gunda de las afirmaciones. Sean ‖ ‖ y ‖ ‖∗ dos normas sobre E y para a ∈ E,denotemos por V (a) y V∗(a) a la familia de entornos de a respecto a esasnormas. Supongamos que son equivalentes y que U ∈ V (a), es decir queexiste B(a, r) ⊂ U . Al ser equivalentes ambas normas existe α > 0 tal que‖x − a‖ ≤ α‖x − a‖∗ para todo x. Por tanto si ‖x − a‖∗ < r/α enton-ces ‖x − a‖ < r o sea que B∗(a, r/α) ⊂ B(a, r) ⊂ U , lo que implica queU ∈ V∗(a).

Recíprocamente, supongamos que los entornos de cada punto son los mis-mos para ambas normas y veamos que entonces las sucesiones convergentesa cada punto son también las mismas para ambas normas. Supongamosque {xp} es una sucesión que ‖ ‖-convergente a b, y sea ε > 0, como labola B∗(b, ε) es un entorno de b (respecto a ambas normas) debe existirB(b, ε′) ⊂ B∗(b, ε). Se deduce pues que todos los términos de la sucesión apartir de uno en adelante están en B(b, ε′) y por tanto en B∗(b, ε), lo quesignifica que {xp} es una sucesión que ‖ ‖∗-converge a b.

Ejercicio. Probar que todo subespacio vectorial de Rn es cerrado.

Definiciones 1.14 La función f : A ⊂ E → F se dice:1) continua en el punto a ∈ A, si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que

si ‖x− a‖ < δ (x ∈ A) entonces ‖f(x)− f(a)‖ < ε.Es fácil ver que un toda función continua en un punto es secuencialmente

continua en ese punto, i.e. si la función f es continua en el punto a y {xp}es una sucesión de puntos que converge al punto a, entonces la sucesión desus imágenes {f(xp)} converge a f(a).

2) continua en A, cuando sea continua en todos los puntos de A.3) uniformemente continua en A, si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal

que si ‖x− y‖ < δ (x, y ∈ A) entonces ‖f(x)− f(y)‖ < ε.De la definición se deduce que si f es uniformemente continua en A

entonces es continua en A, es decir continua en cada punto x ∈ A, pero conla particularidad de que el δ no depende más que de ε, es decir δx puedetomarse el mismo para todo x.

4) lipschitziana, si existe una constante k > 0 tal que ‖f(x) − f(y)‖ ≤k‖x− y‖.

Obviamente cada función lipschitziana es uniformemente continua.

Ejemplos 1.15 1. Cada función constante es trivialmente continua.2. En todo espacio normado (E, ‖ ‖) la aplicación norma, ‖ ‖ : E → R ,

es continua.


En efecto, de hecho esta aplicación es lipschitziana, pues como es fácilde comprobar se tiene la siguiente desigualdad (ejercicio):∣∣∣‖x‖ − ‖y‖∣∣∣ ≤ ‖x− y‖

3. Sean (Ei, ‖ ‖), i = 1, 2, . . . , p espacios normados. Consideremos sobreE = E1 × E2 × · · · × Ep la norma producto

‖(x1, . . . , xp)‖∞ = max1≤i≤p

‖xi‖

Entonces, cualquiera que sea j, la aplicación proyección πj : E → Ej

πj(x1, . . . , xp) = xj es continua (lipschitziana), pues

‖πj(x1, . . . , xp)− πj(y1, . . . , yp)‖ = ‖xj − yj‖≤ ‖(x1 − y1, . . . , xp − yp)‖∞ = ‖(x1, . . . , xp)− (y1, . . . , yp)‖∞.

Proposición 1.16 La función f : A ⊂ E → F es continua en A si y sólo sipara cada conjunto abierto V de F la antimagen f−1(V ) es un abierto de Ai.e. existe algún abierto U de E tal que f−1(V ) = U ∩A.

Demostración. Supongamos f continua en A y sea V un abierto de F . Vea-mos f−1(V ) abierto de A: si x ∈ f−1(V ) se tiene f(x) ∈ V luego existeB(f(x), εx) ⊂ V y por la continuidad de f en x debe existir δx tal quef(B(x, δx) ∩A) ⊂ B(f(x), εx) ⊂ V ⇒ B(x, δx) ∩A ⊂ f−1(V ). Entonces:

f−1(V ) ⊂⋃

x∈f−1(V )B(x, δx) ∩A ⊂ f−1(V ).

Luego tomando el abierto U =⋃

x∈f−1(V )B(x, δx) se tiene que f−1(V ) =

U ∩A.(Probar como ejercicio la implicación en el otro sentido).

Completaremos la serie de definiciones anteriores con la definición delímite. Para ello necesitaremos referirnos previamente a la noción de puntode acumulación:

Definición 1.17 Sea A un subconjunto de un espacio normado E. Un puntoa se dice de acumulación del conjunto A (lo que se expresará como quea ∈ A′) si cada entorno de a tiene algún punto de A distinto de a. Dehecho en espacios normado el punto a será de acumulación de A si y sólo si


cada entorno de A contiene infinitos puntos de A (ejercicio). Observar quea puede ser de acumulación de A sin necesidad de pertenecer a A. Por otraparte también es inmediato probar que si un punto a es interior a A o másgeneralmente si existe una B(a, r) ⊂ A ∪ {a} entonces a ∈ A′.

Definición 1.18 Sea f : A ⊂ E → F y a un punto de acumulación de A.Diremos que el punto l ∈ F es límite de la función en el punto a, lo quedenotaremos como

lımx→a

f(x) = l,

si para ε > 0, existe δ > 0 tal que si x ∈ A, x 6= a y ‖x − a‖ < δ entonces‖f(x)− l‖ < ε.

Consecuencias directas de la definición son:a) Una función no puede tener dos límites diferentes en el mismo punto.

Como antes con las sucesiones, la demostración de la unicidad del límite sebasa en que puntos distintos admiten entornos disjuntos.

b) Sea f : A ⊂ E → F y a ∈ A. Se tiene:

Si a no es de acumulación de A (en ese caso se dice que a es un puntoaislado de A) entonces f es continua en a.Si a ∈ A′ entonces f es continua en a si y sólo si lımx→a f(x) = f(a).

Si a es aislado de A entonces existe δ tal que el único x de A con lapropiedad ‖x − a‖ < δ es justamente el punto a. Por lo tanto es obvio quef es continua en a.

Si a ∈ A′ ∩A, entonces:(f continua en a) significa:

∀ε > 0, ∃δ ‖x− a‖ < δ, x ∈ A ⇒ ‖f(x)− f(a)‖ < ε

(lımx→a f(x) = f(a)) significa:

∀ε > 0, ∃δ ‖x− a‖ < δ, x ∈ A, x 6= a ⇒ ‖f(x)− f(a)‖ < ε

Obviamente los dos enunciados coinciden pues para x = a, ‖f(a)− f(a)‖ =0 < ε.

c) Si f : A ⊂ E → F y a ∈ A′ (respectivamente a ∈ A), entonceslımx→a f(x) = l (respect. f continua en a) si y sólo si para cada V ∈V (l) (respect. V (f(a)) exista algún U ∈ V (a) tal que f(U∗∩A) ⊂ V (respect.f(U ∩A) ⊂ V ), donde U∗ = U \ {a}.

La demostración consiste en una sencilla adaptación de la definición ε−δen términos de entornos: supongamos que lımx→a f(x) = l y sea V ∈ V (l).


Entonces existe ε > 0 tal que B(l, ε) ⊂ V y para este ε existe δ tal que six ∈ A, x 6= a y ‖x− a‖ < δ entonces ‖f(x)− l‖ < ε. Dicho de otra forma six ∈ B∗(a, δ)∩A entonces f(x) ∈ B(l, ε) ⊂ V i.e., si consideramos el entornoU = B(a, δ) se tiene que f(U∗ ∩ A) ⊂ V . La implicación en el otro sentidoes análoga (ejercicio).

De la definición de límite por entornos dada en b) se deduce:d) la existencia y el valor del límite de una función en un punto o la

continuidad se mantienen, si se cambian las normas de E y F por otro parde normas equivalentes. En particular, si los espacios E y F son de dimensiónfinita, para estudiar la existencia de límite de una función en un punto o lacontinuidad, podemos utilizar las normas que queramos.

2.1. Reglas de cálculo para límites

1.19 Sean E,F1, . . . , Fp espacios normado f : A ⊂ E → F donde F =F1×F2× · · ·Fp con la norma producto. Sea a ∈ A′ y denotemos por fi, i =1, 2, . . . , p a las funciones coordenadas de f , entonces

lımx→a

f(x) = l = (l1, . . . , lp) ⇔ lımx→a

fi(x) = li.

Demostración. Teniendo en cuenta que

‖f(x)− l‖∞ = ‖(f1(x)− l1, . . . , fp(x)− lp)‖∞ = max1≤i≤p

‖fi(x)− li‖,

es obvio que ‖f(x)− l‖∞ → 0 sii ‖fi(x)− li‖ → 0, ∀i.

1.20 Sea f : A ⊂ E → F tal que en el punto a ∈ A′, lımx→a f(x) = b ysupongamos que g es una función definida en un subconjunto B de F quecontiene a f(A) ∪ {b} y que es continua en b. Entonces,

lımx→a

g(f(x)) = g( lımx→a

f(x)) = g(b).

Demostración. Trivial.

1.21 Sea f : A ⊂ E → F , a ∈ A′. Si lımx→a f(x) = b y b 6= 0, entoncesexiste un entorno U de a y α > 0 tal que ‖f(x)‖ ≥ α para cada x ∈ U∗ ∩A.En particular, f(x) 6= 0 para cada x ∈ U∗ ∩A.


Demostración. Como consecuencia de lo anterior y de la aplicación “norma”es continua en todo punto se tiene que lımx→a ‖f(x)‖ = ‖ lımx→a f(x)‖ =‖b‖. Por tanto, tomando ε = ‖b‖/2, existirá δ > 0 tal que si ‖x−a‖ < δ, x ∈A, x 6= a entonces∣∣∣‖f(x)‖ − ‖b‖

∣∣∣ ≤ ‖b‖/2 ⇔ ‖b‖/2 ≤ ‖f(x)‖ ≤ 32‖b‖.

Luego tomando U = B(a, δ) se tiene que ‖f(x)‖ ≥ α = ‖b‖/2 para todox ∈ U∗ ∩A.

1.22 Si f : A ⊂ E → F y lımx→a f(x) = l, entonces si B ⊂ A y a ∈B′, lımx→a f|B(x) = l.

Demostración. Trivial.

Es claro que, contrariamente, la existencia de lımx→a f|B(x) no implica ladel lımx→a f(x). Sin embargo en el caso particular en el que B = B(a, r)∩A,entonces

a ∈ B′ ⇔ a ∈ A′ y lımx→a

f(x) = l ⇔ lımx→a

f|B(x) = l

1.23 Para el cálculo de límites son aplicables las siguientes fórmulas:

1) lımx→a

(f + g)(x) = lımx→a

f(x) + lımx→a

g(x); lımx→a

(λf)(x) = λ lımx→a

f(x)

2) Si f, g son funciones escalares, entonces lımx→a

(fg)(x) = lımx→a

f(x) lımx→a

g(x)

3) Si f, g son escalares y lımx→a

g(x) 6= 0, entonces lımx→a

(1/g)(x) = 1lımx→a g(x).

Por tanto lımx→a

(f/g)(x) = lımx→a f(x)lımx→a g(x).

Demostración. Las demostraciones son totalmente análogas a las correspon-dientes para funciones de 1-variable:

1) es inmediata.2) Si lımx→a f(x) = l; lımx→a g(x) = r, entonces:

|(fg)(x)− lr| = |f(x)(g(x)− r) + r(f(x)− l)|≤ |f(x)||g(x)− r|+ |r||f(x)− l|

≤ |f(x)− l||g(x)− r|+ |l||g(x)− r|+ |r||f(x)− l|.


Puesto que cada uno de los tres sumandos anteriores tienden a 0 cuandox→ a, se deduce que lımx→a(fg)(x) = lr.

3) Puesto que lımx→a g(x) = r 6= 0, de 1.21 se deduce que existe α > 0y δ1 > 0 tal que si ‖x − a‖ < δ1, x ∈ A, x 6= a entonces |g(x)| > α. Por lotanto, ∣∣∣ 1

g(x) −1r

∣∣∣ = 1|r||g(x)| |g(x)− r| ≤ 1

|r|α|g(x)− r| → 0.

Los resultados anteriores sobre límites se trasladan de forma automáticaa resultados análogos sobre continuidad:

Corolario 1.24 La función f = (f1, . . . , fp) es continua en un puntoa si y sólo si las funciones coordenadas fi son todas continuas en a.Si f continua en a, g continua en b = f(a), entonces g ◦ f es continuaen a.Si f, g continuas en a , entonces f + g, λf, (y si f, g son escalares) fgy f/g(cuando g(a) 6= 0), son continuas en a.

Otras consecuencias

En espacios normados la suma y la multiplicación por escalares sonaplicaciones continuas.Cada función polinómica definida en Rn es continua en todo punto.Si f, g son funciones continuas sobre un subconjunto A de un espacionormado y toman sus valores en R, entonces {x ∈ A : f(x) < g(x)} esabierto de A y los conjuntos {x ∈ A : f(x) ≤ g(x)} y {x ∈ A : f(x) =g(x)} son cerrados de A.

2.2. Límites iterados y límites direccionales

A continuación establecemos algunas condiciones necesarias para la exis-tencia de límite de funciones (escalares, si se quiere) de varias variablesreales.

Definición 1.25 (Límites iterados) Sea f : A ⊂ R2 → R y (x0, y0) ∈ A′.A cada uno de los límites

lımx→x0

( lımy→y0

f(x, y)), lımy→y0

( lımx→x0

f(x, y))

se les denomina límites iterados.


Proposición 1.26 Con las notaciones anteriores, si existe

lım(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = l,

y en algún entorno U de (x0, y0) existe el límite lımy→y0 f|U∗∩A(x, y) entoncestambién existen y es igual a “l” el límite iterado lımx→x0(lımy→y0 f(x, y)).Mismo enunciado para el otro límite iterado.

Demostración. Resulta directamente de aplicar la definición de límite.

Definición 1.27 (Límites direccionales) Dada una recta r que pasapor el punto (x0, y0) Llamaremos límite de la función f en el punto (x0, y0)siguiendo esa recta al lım(x,y)→(x0,y0) f|B(x, y), donde B = r ∩ A (supuestoque (x0, y0) ∈ B′). Por tanto, si r es la recta de pendiente m, y − y0 =m(x− x0), entonces el límite siguiendo esa recta será:

lımx→x0

f(x, y0 +m(x− x0)).

Los límites siguiendo rectas serán los límites direccionales.(Análoga defini-ción para límite siguiendo curvas que pasan por el punto).

Nota. La definición 1.25 se generalizan de manera natural al caso de fun-ciones de 3 o más variables. Para generalizar también la noción de lími-tes direccionales de una función en un punto, deberemos escribir en for-ma paramétrica las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto. Así sia = (a1, . . . , an), entonces

x1 = a1 + th1, x2 = a2 + th2, . . . , xn = an + thn

es la ecuación de la recta que tiene como vector director h = (h1, . . . , hn) yque pasa por a. El límite siguiendo esta recta será entonces

lımt→0

f(a1 + th1, . . . , an + thn).

Para n = 2 el límite anterior coincide con el límite direccional en el sentidode la definición 1.27, siguiendo la recta de pendiente m = h2/h1.

Como en el caso de los límites iterados, es evidente que la existencia de límiteimplica la de los límites direccionales y siguiendo curvas. Se deduce, pues,que la existencia de los límites iterados, direccionales y siguiendo curvas soncondiciones necesarias para la existencia del límite. Por lo tanto:

NO existe límite cuando


1. No existe alguno de los límites iterados o existen pero son distintos.

Ejemplo 1.28 Consideremos la función

f(x, y) = x2 + y√x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0); f(0, 0) = 0.

Esta función no es continua en (0, 0) ya que uno de los límites iterados noexiste:

lımy→0

( lımx→0

x2 + y√x2 + y2 ) = lım

y→0

y

|y|= ±1.

Ejemplo 1.29 Este es un ejemplo de una función para la que los límitesiterados existen pero son diferentes (luego el límite no existe)

f(x, y) = (x+ y − 1) ln(x2 + 2y2)(x− 1)2 + y2 , si (x, y) 6= (1, 0).

Se tiene que

lımx→1

( lımy→0

f(x, y)) = lımx→1

2(x− 1) ln x(x− 1)2 = 2

lımy→0

( lımx→1

f(x, y)) = lımy→0

y ln(1 + 2y2)y2 = lım

y→0

4y1 + 2y2 = 0.

2. No existe alguno de los límites direccionales o existen, pero no soniguales.

Ejemplo 1.30 Sea

f(x, y) = xy

x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0).

Los límites direccionales de esta función no son todos iguales. En efecto:

lımx→0

f(x,mx) = lımx→0

mx2

(m2 + 1)x2 = m

m2 + 1

que depende de m. Se deduce pues que el límite no existe.


Ejemplo 1.31 Sea

f(x, y) = x2y

x4 + (y − x)2 si (x, y) 6= (0, 0); f(0, 0) = 0.

Es inmediato comprobar que lımx→0 f(x,mx) = 0 para m 6= 1. En cambiopara m = 1 el límite anterior no existe, es decir la función no tiene límite en(0,0) siguiendo la recta y = x y por lo tanto no admite límite en ese punto(no es continua en (0,0)).

3. No existe el límite siguiendo alguna curva que pasa por el punto o ellímite varía dependiendo de la curva que se tome.

Ejemplo 1.32 Consideremos la función

f(x, y) = xy2

x2 + y4 si (x, y) 6= (0, 0).

Tanto los límite iterados como los límites direccionales en el punto (0,0)existen y valen 0, sin embargo esta función no tiene límite en ese punto, yaque si tomamos las curvas y = m

√x, se tiene:

lımx→0

f(x,m√x) = lım

x→0

m2x2

x2 +m4x2 = m2

m4 + 1 .

Es decir los límites siguiendo esa familia de curvas existen todos pero sondiferentes entre sí, luego el límite no existe.

Ejemplo 1.33 Sea

f(x, y) = x2 ln yx4 + (x2 + ln y)2 , si (x, y) 6= (0, 1); f(0, 1) = 0.

Es inmediato comprobar que también en este caso los límites iterados en(0,1) valen 0. En cuanto a los límites direccionales

lımx→0

x2 ln(1 +mx)x4 + (x+ ln(1 +mx))2 = lım

x→0

ln(1 +mx)x2 + (x+ 1/x ln(1 +mx))2 = ln 1

m2 = 0.

Sin embargo tampoco existe el límite ya que si consideramos la curva y =e−x2 , que obviamente pasa por (0,1), la función admite límite siguiendo estacurva, pero es diferente de 0.


Ejercicios. 1. Sea f la función definida en A = {(x, y) ∈ R2 : x 6= 0; y 6=0; xy 6= 1} por

f(x, y) = x3 − y3

x2y2 − xy.

a) Probar que f es continua es cada punto de A.b) Estudiar la existencia de límite de f en los puntos (a, 0), (0, b), (c, 1/c)

siendo a 6= 0, b 6= 0 y |c| 6= 1.c) Obtener los límites iterados de f en los puntos (1, 1) y (−1,−1)

para estudiar si existe límite de f en esos puntos.d) Comprobar que los límites iterados de de f en (0, 0) no están

definidos; que los límites direccionales en ese punto son todosiguales, pero que la función f no tiene límite en (0, 0).

e) Considerar la función g definida en A por

g(x, y) = (x+ y) sen x3 − y3

x2y2 − xy,

y demostrar que tiene límite en (0, 0) a pesar de que los límitesiterados no están definidos en (0, 0).

2. Considerar las funciones definidas en A = R2 \ {(0, 0)}:

f1(x, y) = (x+ y)2(ey − 1)x2 + y2 ; f2(x, y) = (x+ y)2(ey − 1)

x4 + y2

f3(x, y) = xy(ey − 1)x4 + y2 .

a) Probar que f1 tiene límite en (0, 0).b) Probar que los límites iterados y direccionales de f2 en (0, 0)

existen, pero f2 no tiene límite en (0, 0).c) Probar que la función f3 tiene límite en (0, 0).

3. a) Probar que la función de 1-variable

g(t) = sen tt

si t 6= 0; g(0) = 1,

es continua en todo punto t ∈ R.


b) Utilizar el apartado anterior para probar que la función

f(x, y) = sen xyy

si y 6= 0; f(x, 0) = 1,

es continua en todo punto de R2.

c) Utilizar de nuevo el apartado a) para obtener lım(x,y)→(a,a) f(x, y),a ∈ R, siendo f la función definida en el conjunto A = {(x, y) ∈R2 : |x| 6= |y|} por

f(x, y) = cosx− cos yx2 − y2

3. Funciones continuas sobre compactos

De nuevo nos referiremos a la topología de un espacio normado paraenunciar, sin demostración, algunos resultados de las funciones continuas,por otra parte ya conocidos para las funciones de una variable. Las demos-traciones de estos resultados se verán en la asignatura de Topología delsegundo semestre de este curso o bien pueden encontrarse en los apuntes deesta misma asignatura del curso 2011/12 (Compacidad).

Definición 1.34 Un conjunto K de un espacio normado se dice compactosi de cada recubrimiento de K por conjuntos abiertos se puede extraer unsubrecubrimiento finito. Abreviadamente si K ⊂

⋃i∈I Ui entonces existe un

subconjunto finito J ⊂ I tal que K ⊂⋃

i∈J Ui.

Puesto que la definición de compacto se hace exclusivamente en tér-minos de los abiertos, es claro que que si dos normas sobre el mismoespacio vectorial E son equivalente, un conjunto K ⊂ E es compactorespecto a una de la normas si y sólo si lo es respecto a la otra. En par-ticular en Rn la compacidad de un conjunto no depende de la normaque se tome.

Es cierto, aunque no lo demostraremos, que todo compacto de unespacio normado es un conjunto cerrado y acotado. Ya sabemos queen R el recíproco también se satisface: los conjuntos compactos sonjustamente los que son cerrados y acotados . Esto también es cierto enRn, es decir en los espacios normados de dimensión finita y, según unteorema de F. Riesz (Ver Manual, Teorema 2.9), sólo en ellos.

http://matematicas.unex.es/~montalvo/Grado en Matematicas/Analisis Matematico I/Apuntes/2011/cap1.pdf

http://matematicas.unex.es/~montalvo/Analisis_Varias_Variables/apuntes/cap02.pdf

1B El espacio normado Rn 21

1.35 (Funciones continuas sobre compactos). Sean E,F espacios nor-mados y f : A ⊂ E → F una aplicación continua, entonces:

i) La imagen por f de cada compacto K ⊂ A, f(K), es un conjuntocompacto de F y por tanto cerrado y acotado.

ii) f es uniformemente continua sobre cada compacto K ⊂ A.iii) Si F = R entonces f alcanza un valor máximo y un valor mínimo

sobre cada compacto K ⊂ A.

Ejercicios1A Sean p, q números reales positivos tales 1/p + 1/q = 1 (observar que en estascondiciones p y q deben ser mayores que 1).

(a) Demostrar la desigualdad:

xy ≤ 1pxp + 1

qyq, x, y ≥ 0.

Indicación. Escribir xy = e1p ln xp+ 1

q ln yq

y tener en cuenta que la fun-ción ex es convexa.

(b) (Desigualdad de Hölder) Utilizar el apartado anterior para demostrar que

n∑i=1

xiyi ≤

(n∑

i=1|xi|p

)1/p( n∑i=1|yi|q

)1/q

.

En otros términos, 〈x, y〉 ≤ ‖x‖p‖y‖q, x = (x1, . . . , xn); y = (y1, . . . , yn).Indicación. Suponer en una primera etapa que ‖x‖p = 1, ‖y‖q = 1 y de-mostrar que entonces 〈x, y〉 ≤ 1.

(c) Demostrar que ‖x‖p = (∑n

i=1 |xi|p)1/p es una norma sobre Rn.

1B Sea p un número real mayor o igual que 1 y denotemos por lp al conjunto desucesiones de números reales (xn) tales que

∑∞n=1 |xn|p < ∞. Definamos también

l∞ como el conjunto de las sucesiones acotadas de números reales.

(a) Probar que lp y l∞ son espacios vectoriales y que la expresiones

‖x‖p =( ∞∑

n=1|xn|p)1/p; ‖x‖∞ = sup

n∈N|xn|

definen sendas normas sobre lp y l∞(b) Demostrar que la adherencia en l∞ del conjunto de sucesiones que tienen

todos sus términos nulos, salvo un número finito de ellos, es c0: el espaciovectorial de sucesiones reales que convergen a 0.

22 El espacio normado Rn 1C

1C Demostrar que si ‖ · ‖ es una norma sobre Rn tal que

‖(u1, . . . , un)‖ ≤ 1 ⇒ |ui| ≤ 1,(*)

entonces |xi| ≤ ‖x‖, para cada x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn. Dar ejemplos de normas queno satisfagan la condición (*) para ningún i.

1D Estudiar si las expresiones siguientes definen una norma sobre R2 :

1. ‖(x, y)‖ =√

4x2 + y2.

2. ‖(x, y)‖ =√|x|+ |y|.

3. ‖(x, y)‖ = |x|+ | 3√x3 + y3|.

4. ‖(x, y)‖ =√

(x− y)2 + y2.

1E Sean (Ei, i = 1, 2, . . . , n) una familia finita de espacios normados y empleemosla notación común ‖ · ‖ para designar a las normas de Ei.

(a) Demostrar que

‖(x1, . . . , xn)‖ =n∑

i=1αi‖xi‖, αi ≥ 0,

‖(x1, . . . , xn)‖ =√‖x1‖2 + . . .+ ‖xn‖2

son normas sobre E = E1 × . . .× En.(b) Utilizar lo anterior para demostrar que

‖(x, y, z)‖ =√

(2|x|+ |y|)2 + z2

es una norma sobre R3.

1F Demostrar que la expresión

‖(x, y, z)‖ =√x2 + (y − x)2 + (z − y)2

define una norma sobre R3. Compararla con la norma euclídea.

1G Sea (E, ‖ · ‖) un espacio normado. Estudiar si la aplicación de E en sí mismo,f(x) = x‖x‖, es continua, uniformemente continua o lipschitziana.

1H Encontrar una norma sobre R2 para la que la esfera unidad sea la elipse deecuación x2 + 4y2 = 4.

1I Sea {xn} con xn 6= 0 para todo n, una sucesión de Cauchy en un espacionormado.

(a) Probar que la sucesión de números reales {‖xn‖} es convergente. Sea α sulímite.

1K El espacio normado Rn 23

(b) Probar que si α > 0 entonces la sucesión { xn

‖xn‖} es de Cauchy.(c) Demostrar con un ejemplo que si α = 0, la sucesión { xn

‖xn‖} no es necesaria-mente de Cauchy.

1J Sea {xn} una sucesión convergente a 0 en un espacio normado. Probar quetambién converge a 0 la sucesión:

yn = x1 + x2 + . . .+ xn

n

1K Sea E el espacio vectorial de las funciones polinómicas sobre el intervalo [0, 1].Consideremos sobre él las normas:

‖a0 + a1x+ . . .+ anxn‖∞ = max(|a0|, . . . , |an|)

‖a0 + a1x+ . . .+ anxn‖1 = |a0|+ · · ·+ |an|

‖a0 + a1x+ . . .+ anxn‖ = max

x∈[0,1]|a0 + a1x+ . . .+ anx

n|.

Establecer las comparaciones posibles entre ellas, probando, en particular, que laprimera y la tercera no son comparables.

el espacio normado rn - unex.esmatematicas.unex.es/~montalvo/grado en matematicas... ·...

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