El Curso de Actualización La Problemática de la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas en la Escuela Primaria II, fue elaborado por la Universidad de Sonora y la Sociedad Matemática Mexicana en colaboración con la Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio de la Subsecretaría de Educación Básica, de la Secretaría de Educación Pública. Autores: Dr. Ramiro Ávila Godoy M. C. Ana Guadalupe Del Castillo B. Dr. Agustín Grijalva Monteverde Dra. Silvia Elena Ibarra Olmos M. C. Jorge Ruperto Vargas Castro M. C. Martha Cristina Villalba Gutiérrez Dr. José Luis Soto Munguía Supervisión Técnica y Pedagógica: Maestra Ma. Alma Díaz Barriga Ing. Alma Lucía Hernández Pérez Diseño de portada Ricardo Muciño Mendoza Este programa es de carácter público, no es patrocinado ni promovido por partido político alguno y sus recursos provienen de los impuestos que pagan todos los contribuyentes. Reservados todos los derechos. El contenido de esta obra no podrá ser reproducido total ni parcialmente, ni almacenarse en sistemas de reproducción, ni transmitirse por medio alguno sin permiso de los titulares de los derechos correspondientes. Está prohibido el uso de este programa con fines políticos, electorales, de lucro y otros distintos a lo establecido. Primera edición: 2009 D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2009 Argentina 28, Colonia Centro, C.P. 06200, México D.F. ISBN en trámite.

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................. 1 Sesión I Fracciones ............................................................................................................... 2 Sesión II Porcentajes ............................................................................................................ 6 Sesión III Resolviendo problemas de proporcionalidad ....................................................... 9 Sesión IV Construcciones y clasificación de figuras geométricas ...................................... 15 Sesión V Medición ............................................................................................................. 18 Materiales didácticos requeridos para el Curso “La Problemática de la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas en la Escuela Primaria II” ....................... 21

INTRODUCCIÓN

En este segundo curso sobre la problemática y el aprendizaje de las matemáticas en la escuela primaria, uno de los propósitos fundamentales es ampliar y profundizar el análisis de los contenidos disciplinarios en algunos temas de los tres ejes temáticos en que están organizados dichos contenidos: “Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico”, “Manejo de la información” y “Forma, Espacio y Medida”. Es muy importante que el conductor de este espacio de formación, (ya sea en su papel de formador de instructores o en el de formador de profesores), conozca el documento denominado “Descripción del curso”, donde se expone la fundamentación bajo la cual éste ha sido elaborado, los contenidos seleccionados, cómo se organizó, las estrategias de enseñanza y aprendizaje propuestas, los productos esperados y las propuestas de evaluación con evidencias del desarrollo de las competencias docentes establecidos en los planes y programas vigentes. Toda esa información complementa la que se presenta en el material que ahora tiene en sus manos, donde se encontrará: a) La descripción de cada una de las sesiones, así como de las actividades que la conforman b) Los aprendizajes esperados por sesión y por actividad c) Estrategias se conducción d) La relación de material didáctico de apoyo Es fundamental que el formador, a la hora de realizar la planeación de sus asesorías, revise con detenimiento las sugerencias específicas, aquí incluidas, para cada una de las actividades propuestas en el “Material del Participante”, con el propósito de que tenga claridad en lo que se pretende con ellas. También es importante que las actividades propuestas en cada uno de los dos apartados de este módulo se desarrollen de acuerdo a la metodología propuesta en la “Descripción del curso”, metodología acorde a la concepción que se tiene de la enseñanza y del aprendizaje de las matemáticas en la escuela primaria. El curso se ha organizado en cinco sesiones, atendiendo prioritariamente la necesidad de fortalecer aspectos matemáticos que en el currículo de la escuela primaria tienen un papel fundamental, lo cual puede también constatarse en la importancia que se le asigna en diversas evaluaciones sobre aprovechamiento escolar (ENLACE Y PISA).

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Sesión I Fracciones

Está compuesta por 9 actividades, con las cuales se pretende enriquecer los significados que tiene la fracción, aspecto que tiene como antecedente lo realizado durante el curso previo al presente, “La Problemática de la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas en la Escuela Primaria”. En aquella ocasión, se trabajaron situaciones en donde las fracciones se utilizan para analizar y resolver problemas de reparto y medición; aquí continuaremos analizando y resolviendo problemas en los que se utilizan las fracciones con nuevas contextos y significaciones, como son la comparación de longitudes, el cálculo de la fracción de una fracción, las fracciones y el tiempo, por mencionar algunas. De esta manera, al terminar de resolver los problemas de este apartado, se espera que se haya enriquecido el significado de este objeto matemático, lo cual deberá reflejarse en el desarrollo de una mayor competencia para plantear, analizar, interpretar y resolver problemas en una mayor diversidad de contextos y de mayor grado de dificultad. Actividad 1

Comparando longitudes El propósito fundamental de esta actividad es reflexionar sobre la relatividad de la fracción, es decir, darse cuenta de que cuando decimos que una cantidad es un medio, un tercio o dos quintos, etc., nos referimos a que es un medio, un tercio o un quinto de alguna unidad, de tal manera que si cambiamos la unidad de referencia entonces la fracción también cambia y, como consecuencia, una misma cantidad puede ser un medio de una unidad y un tercio de otra o dos quintas partes de otra más; lo que a su vez da lugar a que un medio de una cantidad pueda ser igual o incluso menor que un tercio de otra. Para la realización de esta actividad las tiras de tela o cartón que deben emplearse deberán establecer una relación sencilla entre sus longitudes, de tal suerte que las longitudes de las tiras pueden ser de 1, 2, 3, 4 y 5 unidades respectivamente.

Al final de esta actividad, en la que se pide que se comparen las longitudes de varias tiras de cartón, se formulan una serie de cuestionamientos encaminados a tomar conciencia de lo aquí comentado, razón por la cual se sugiere que se ponga especial cuidado en promover la discusión sobre esta cuestión y se procure sistematizar e institucionalizar dicha propiedad del significado de las fracciones.

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Actividad 2 Un juego con fracciones

Esta actividad tiene varios propósitos: en lo relativo al contenido matemático, se trata de sumar un medio y un cuarto repetidamente lo cual seguramente, resultará muy sencillo para los profesores alumnos, por lo que esto no es el propósito esencial; el propósito más importante es el relacionado con el diseño de la estrategia ganadora pues para hacerlo, es necesario analizar el proceso, formular conjeturas, ponerlas a prueba, evaluarlas, validarlas o modificarlas, etc. y todas estas acciones permiten el desarrollo de habilidades intelectuales necesarias para mejorar la competencia de los estudiantes para la resolución de problemas. Por otra parte, los propósitos didácticos de esta actividad son muy importantes por lo que es necesario que se ponga especial cuidado en el análisis y discusión de los cuestionamientos de la última parte de la actividad con los que se pretende hacer consciente a los profesores alumnos de la importancia de desarrollar habilidades que les permitan modificar una situación que puede parecerles interesante y útil, pero que consideran que no pueden usarla en su grupo, a veces por creer que no es adecuada para el nivel de sus alumnos, por ser demasiado difícil o demasiado fácil. La recomendación es que se ponga especial cuidado en promover la discusión y el análisis de los cuestionamientos de esta última parte de la actividad y que se enfatice la importancia del desarrollo de este tipo de habilidades y actitudes en los profesores. Actividad 3

Calculando una fracción de una fracción Esta actividad tiene el propósito de propiciar la reflexión sobre el significado de una fracción de una fracción y sobre cómo puede calcularse. En particular se utiliza el procedimiento gráfico por considerar que cumple una doble función: ayudar a entender el significado y poder calcularlo. Asumimos que es una buena referencia cuando se quieren enseñar los procedimientos aritméticos de la multiplicación y división de fracciones, que no son propósito de esta actividad. Esta actividad es conceptualmente una profundización de la actividad 2, pero ahora no se modifica la unidad original. Operativamente, al hacer un cálculo de determinación de una fracción de otra fracción, la última juega, en algún sentido, el papel de unidad, lo cual debe ser motivo de discusión y análisis.

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Actividad 4

Diseñando problemas con fracciones Esta actividad, al igual que la número 2, tiene propósitos didácticos, pues se trata de que los profesores, a partir de los problemas propuestos en la actividad 3, diseñen nuevos problemas; de ahí que la recomendación es similar a la hecha en el problema 2, que se promueva la discusión y el análisis de la actividad y que se enfatice la importancia del desarrollo de este tipo de habilidades y actitudes en los profesores. Una posible discusión general es el establecimiento de pautas generales (no sólo para el tratamiento de las fracciones) que los profesores pueden emplear para diseñar problemas o modificaciones de los mismos, que hagan más interesantes o trascendentes las situaciones de aprendizaje para sus alumnos. En particular es importante analizar las ventajas didácticas que representa plantear situaciones en las cuales las incógnitas a considerar obedecen a una cuestión práctica de cálculo o cuándo son útiles para reflexionar y mejorar el aprendizaje de los procedimientos empleados. Por ejemplo, en la situación modificada del problema 1 de la actividad 3, se plantea que “al repartir, en forma equitativa, una parte de un pastel entre siete niños, a cada uno le tocó dos veintiunavas partes, ¿qué parte del pastel fue la que se repartió?” es un problema que en principio no parece tener un sentido práctico, en la vida cotidiana, pues al repartir un pastel lo más natural es que sepamos qué parte se repartió. Este tipo de situaciones son propias de la escuela, en las que se plantean situaciones hipotéticas o modificaciones de problemas que ayuden a desarrollar las habilidades de los estudiantes, mejoren su comprensión conceptual y de los algoritmos involucrados, a la vez que contribuyen a mejorar sus capacidades para la abstracción matemática y del pensamiento en general. Actividad 5

Las fracciones en el contexto de la Aritmética Esta actividad es, esencialmente, con propósitos de ejercitación del significado de fracción de fracción y de los procedimientos para calcularla, así que las preguntas que ahí se formulan deben considerase sólo como ejemplos del tipo de interrogantes que pueden proponerse a los profesores, por lo cual se deja al formador la decisión de si considera necesario formular más interrogantes del mismo o de otros tipos que ayuden a los profesores a adquirir una mayor práctica para hacer estos cálculos.

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Debe resaltarse el hecho de que, a diferencia de los problemas presentados en la actividad 3, aquí los ejercicios que se muestran sólo tienen sentido aritmético y no se corresponden con situaciones extra matemáticas. Actividad 6

Las fracciones como operadores multiplicativos

Esta actividad pretende propiciar la reflexión sobre el carácter de número que tiene la fracción, pues se trata de un obstáculo difícil de superar; los estudiantes ven en las fracciones una operación y no un número, lo cual tiene muchas y diversas implicaciones en su uso. Por ejemplo, es muy frecuente que cuando un alumno necesita sumar un tercio más un cuarto, primero efectúe las divisiones (por lo general utilizando una calculadora) uno entre tres y uno entre cuatro y después sume los resultados. Esto es, a su vez, un ejemplo de que los alumnos, por lo general ven en las fracciones una división y una muestra de las implicaciones de uso que esto tiene. Si los profesores alumnos tienen la concepción de la fracción como operación, en la actividad aquí propuesta, al pedirles que calculen, por ejemplo, de una cantidad, primero van a dividir entre cuatro y después van a multiplicar por tres que, aunque correcto como procedimiento, evidencia la forma en que conciben a la fracción, pues de concebirla como número, el procedimiento sería multiplicar la cantidad señalada, por , como hace cuando quiere calcular el doble de una cantidad, multiplicando por dos o cuando quiere calcular el triple, multiplicando por tres.

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La recomendación es que, al terminar la actividad, se propicie el análisis y los comentarios sobre este hecho, es decir sobre el carácter de número de la fracción. Actividades 7, 8 y 9

Las fracciones en otros contextos Estas actividades tienen el propósito de que los profesores alumnos tengan otras experiencias de uso de las fracciones en contextos diversos como son los utilizados en estas actividades sin pretender ser exhaustivos al respecto, sino sólo ilustrativos. En la actividad 9 se aprovecha también para hacer otro ejercicio de diseño de actividades por parte de los profesores, en concordancia con lo señalado en las actividades 2 y 4, de ahí que las recomendaciones para esta actividad sean equivalentes.

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Sesión II Porcentajes Formada por cuatro actividades, esta sesión aborda el tema de porcentajes siendo consistente con el enfoque general postulado en este curso; esto significa que se privilegia la resolución de problemas en la discusión del tema y en particular se tratan de enfatizar los aspectos conceptuales. Tanto el plan y programas de estudio, como los libros de texto gratuito de quinto y sexto grado, revelan que el tema no ha recibido la atención debida. Un estudio detallado sobre la matemática y su enseñanza en la escuela primaria, realizado en la Universidad Pedagógica Nacional, ha llegado a la conclusión de que:

Es especialmente notorio el muy incipiente trabajo de conceptualización en porcentaje, pues es un conocimiento que requiere comprenderse y que el alumno esté en capacidad de operar con él en múltiples situaciones cotidianas básicas y por ende ligadas a las finalidades de la educación primaria.1

Los contextos y situaciones abordadas van desde asuntos de la vida cotidiana, hasta recorrer diversas posibilidades de uso de los porcentajes. Pensando en la generación de recursos docentes para la atención centrada en el alumno, se caracterizan los diversos tipos de problemas relacionados con el cálculo de porcentajes, lo que permitirá al docente tener una fuente de producción para el diseño de actividades propias, que le ayuden a impulsar el pensamiento lógico y creativo de los alumnos. Actividad 1

Los porcentajes en la vida cotidiana En esta actividad se hacen algunas afirmaciones o se formulan algunas preguntas sobre situaciones concretas con las que se pretende generar la discusión sobre algunos significados e interpretaciones que tiene el término porcentaje. Los profesores-alumnos discutirán en equipo y responderán por escrito lo pedido en cada caso. Las respuestas deberán orientarse hacia el significado que adquiere el concepto de porcentaje en diferentes contextos, más que hacia el o los procedimientos mecánicos para hacer cálculos. Es importante conducir la discusión hacia la justificación matemática de las respuestas.

1 Alatorre, Silvia, et al (1999). Propósitos y Contenidos de la Enseñanza de las Matemáticas en el Nivel de Educación Primaria en México. http://miayudante.upn.mx/docint/DI0007.pdf [15 de enero de 2008]

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Actividad 2

Diversas situaciones en la que es necesario calcular porcentajes

Se presentan aquí nueve problemas planteados en contextos diferentes. Se trata de una actividad con la que se pretende profundizar en las reflexiones iniciadas en la actividad anterior. Al igual que en otras partes de este curso es importante fijar la atención en las diferentes estrategias con las que se resuelven los problemas. Los problemas han sido seleccionados para resaltar el carácter multiplicativo que tiene el cálculo de porcentajes, pero el énfasis deberá ponerse en cómo se utilizan y cómo se interpretan estos cálculos, más que en los cálculos mismos. No está por demás señalar que esta actividad está pensada para que la lleven a cabo profesores en servicio y no se recomienda su traslado mecánico a las aulas de educación primaria, sin embargo sí se pretende que los profesores-alumnos puedan adaptar estos problemas o crear los propios para utilizarlos con sus estudiantes. De nueva cuenta se espera que los problemas sean resueltos en equipo para que puedan contrastarse las diferentes estrategias que surjan durante el proceso de resolución y puedan enriquecerse las diferentes interpretaciones de los resultados. Actividad 3

Los tipos de problemas relacionados con el cálculo de porcentajes

Esta actividad es muy breve y está basada en la anterior. Se pretende con ella, en primer lugar, que los profesores-estudiantes puedan identificar los diferentes tipos de cálculo que intervienen al resolver un problema de porcentaje. La familiaridad con los cuatro tipos de cálculo que se enuncian aquí, no son por supuesto suficientes para resolver un problema sobre este tema, pero proporcionan una idea clara sobre la diversidad de los problemas que pueden plantearse. Se pretende que esta clasificación sirva como una guía para diseñar problemas esencialmente distintos con fines de enseñanza. Actividad 4

Dos dispositivos que pueden utilizarse para calcular porcentajes

Esta actividad se refiere al uso de dos modelos con los que se pretende discutir el cálculo de porcentajes de manera significativa. Los modelos utilizados se basan en la representación gráfica de la cantidad total a la que se pretende calcular un porcentaje y en ambos casos se trata de enriquecer con diferentes representaciones el proceso de calcular un porcentaje, en particular el que se refiere a dividir una cantidad entre 100, proceso que resulta crucial en el

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cálculo de porcentajes. En ninguno de los dos casos se pretende obtener cálculos de manera más eficiente o precisa, se trata más bien de reflexionar sobre estos cálculos y enriquecer sus significaciones. La descripción de los modelos pretende no solamente promover la utilización de herramientas didácticas sobre el tema, sino promover el diseño de estas herramientas. El profesor-alumno deberá observar la diferencia que existe en el diseño de un problema como los que se muestran en la Actividad 1 y el diseño de una actividad didáctica cuando se piensa utilizar un material didáctico específico como los que se muestran aquí. El diseño de la cuadrícula, está pensado para obtener una representación gráfica de la centésima parte de una cantidad dada, bajo el entendido que aritméticamente la obtención de esta centésima parte no es una operación complicada y que debe intentarse hacer incluso mentalmente. Una vez representada gráficamente la centésima parte de una cantidad, la obtención de un porcentaje de ella puede ser representado gráficamente simplemente tomando tantos cuadros de la cuadrícula como sean necesarios. En el caso del porcentígrafo se trata de un aparato directamente manipulable en la pantalla de una computadora, que está basado también en la posibilidad de dividir una cantidad dada en 100 partes. Sin embargo el diseño es muy distinto al de la cuadrícula, empezando por el hecho de que las representaciones gráficas de las cantidades son lineales, aunque la diferencia principal radica en la manipulación.

La dirección electrónica en la que se puede disponer del porcentígrafo virtual de manera gratuita es: http://www.mat.uson.mx/eduardo/porcenti.htm Se recomienda sea proporcionada a los profesores para su uso.

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Sesión III Resolviendo problemas de proporcionalidad

Está constituida por 9 actividades las cuales atienden básicamente los siguientes aspectos importantes del estudio de la proporcionalidad: a) El conocimiento y reflexión sobre las estrategias más comunes para resolver problemas de proporcionalidad, de tal suerte que los profesores tomen conciencia, a partir de sus propias experiencias, tanto de las dificultades de los niños al resolver problemas, como de las estrategias que pueden usar al resolverlos. En algunas investigaciones se ha detectado que tanto estudiantes como profesores muestran una tendencia a considerar muchos problemas como si las situaciones que se presentaran fueran proporcionales aunque ello sea erróneo. Así, en problemas en los cuales son conocidos tres valores involucrados, con frecuencia se aplica “la regla de tres” para determinar un cuarto valor que se esté buscando, sin cuestionarse sobre lo adecuado de proceder de esta manera.

b) La ubicación de las situaciones problemáticas típicas en las que puede aparecer la proporcionalidad y sus características:

• Búsqueda del valor perdido.- En este tipo de problemas se proporcionan tres valores numéricos y con base en ellos se busca un cuarto.

• Comparación numérica.- Se dan cuatro datos y aunque no se requiere una respuesta numérica, los valores dados deben ser comparados.

• Problemas de predicción y comparación cualitativa.- La comparación que se establece entre los elementos intervinientes en el problema no depende de valores numéricos específicos. El pensamiento proporcional cualitativo sirve de base para conjeturar sobre la factibilidad de los resultados buscados y para el posterior desarrollo, si lo vemos en el ámbito escolar, de la proporcionalidad cuantitativa.

c) Profundización en la noción de proporcionalidad. No es raro escuchar a profesores de diferentes niveles educativos, declarando que dos cantidades son directamente proporcionales si al aumentar una aumenta la otra. Esta caracterización de la proporcionalidad no es correcta, por lo que se retoma como un aspecto importante a estudiar en este bloque.

d) Con base en la identificación de los anteriores elementos, se busca que los profesores desarrollen habilidades para diseñar situaciones problemáticas en esta temática, que complementan las que tienen a su disposición en los materiales de apoyo editados por la SEP.

Estos elementos deberán ser retomados al término de la discusión de las actividades que conforman este bloque, buscando se hagan conscientes en los participantes en el curso. A

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continuación describiremos las actividades, enfatizando los aspectos que se consideren centrales en cada una de ellas.

Actividad 1 El convertidor de divisas

En esta actividad se plantea una situación típica en la que aparece la proporcionalidad. A partir del establecimiento del tipo de cambio entre un peso mexicano y otras cuatro monedas, se plantean interrogantes que llevan como propósito el que puedan aparecer las diferentes estrategias para resolver los problemas de proporcionalidad: a) La técnica del valor unitario. En este caso determinamos el valor de una cantidad cuando otra toma el valor 1. Por ejemplo, en el inciso b), se pregunta cuántos pesos mexicanos se podrán obtener con 2300 dólares canadienses; como se tiene la información de que un dólar canadiense equivale a $12.59, bastará entonces multiplicar 12.59 por 2300. Otro ejemplo sería: “Si un automóvil recorre 360 km en cuatro horas, ¿qué distancia recorre en 16 horas a la misma velocidad promedio? En este caso la cantidad de kilómetros recorridos en una hora es 90. El resultado buscado es entonces 16 x 90 = 1340 km. Esta técnica tiene como variante la denominada “técnica de las fracciones”, en donde se usa un razonamiento similar, pero ahora por medio de la equivalencia de fracciones. Aplicada al ejemplo del automóvil, tendríamos que se procedería así: (360 / 4) x (16 / 1) = (360 x 16) / (4 x 1) = 1440. b) La técnica del factor de cambio. Una variante de la estrategia anterior es tomar un factor de cambio que no necesariamente compare el valor unitario. En el caso del inciso d), en la tabla proporcionada se advierte que 15 dólares norteamericanos son equivalentes a $196.50; entonces por ejemplo para responder la pregunta de cuántos pesos mexicanos obtenemos al cambiar 5 dólares, podremos razonar que 5 es la tercera parte de 15 y que por lo tanto obtendremos la tercera parte de $196.5, es decir $65.50. c) La regla de tres. Ésta se corresponde con la estrategia más empleada en le escuela y la que más usamos los maestros. Como todo algoritmo, la regla de tres tiene la enorme ventaja de que su utilización adecuada conduce invariablemente a obtener un resultado correcto. Sin embargo, su abuso lleva también a riesgos pues su aplicación mecánica oscurece las razones de su validez y, en algunos casos a su aplicación ante problemas que no son de proporcionalidad. Si quisiéramos responder el inciso d) usando esta estrategia, las coordenadas del punto nos indican que por 5 dólares conseguimos $62.5; si nos preguntaran entonces por el número de pesos obtenidos al cambiar 38.75 dólares, planteamos:

5 - 62.5 38.75 - Cantidad en pesos

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De aquí que la cantidad en pesos resulta de multiplicar 62.5 por 38.57 y dividir este resultado por 5. Actividad 2

Construyendo rectángulos En esta actividad se formula ahora una situación geométrica, donde las figuras mostradas son proporcionales. De igual manera que en el caso anterior, se pueden emplear diferentes estrategias para encontrar las respuestas solicitadas, por ejemplo: determinar las medidas del rectángulo más pequeño y emplear la proporcionalidad cualitativa para estimar que el rectángulo más pequeño cabe cuatro veces en el mediano, lo cual implicaría que las medidas de sus lados han sido duplicadas. Con respecto al rectángulo de mayor área, estimar que el más pequeño cabe 8 veces en él, lo que significaría que sus medidas han sido cuadruplicadas. Ambas conjeturas se pueden comprobar midiendo las bases y alturas de los rectángulos mediano y más grande. Estas observaciones nos ayudan a encontrar el patrón de construcción, que no es otra cosa que la relación de crecimiento (que podría ser también de decrecimiento) entre la base y la altura. No se debe despreciar ninguna estrategia que sea propuesta por los profesores, al contrario, deben retomarse y compararse, impulsando que sean argumentadas. En caso de que haya argumentos inadecuados, el formador deberá formular preguntas que lleven a que el que argumenta confronte lo inadecuado de su razonamiento y lo pueda reconstruir, ahora de manera correcta. Actividad 3

Las elecciones para presidente de la Sociedad de alumnos

Sugerimos al formador promover, al final del trabajo con la actividad, la reflexión sobre el hecho de que la situación presentada tiene como objetivo principal poner en juego la profundidad de las nociones de razón y proporcionalidad con la que cuentan los profesores, para detectar cuáles son algunos de los errores más frecuentes que pueden cometer nuestros estudiantes. Se destaca que en la respuesta del inciso 1), los alumnos ni siquiera repararon en que conseguir una respuesta fraccionaria no tenía sentido en el contexto tratado; de igual manera tampoco se percataron de que obtener 68 votos no llevaba a ganar la contienda, pues no representa la mayoría del total de los votos computados.

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De igual manera, en la respuesta del inciso 2), resalta el que los estudiantes acomodaron los argumentos para que su estrategia de solución tuviera sentido, sin cuestionarse la validez de su resultado. Esta actividad es un buen ejemplo de que el algoritmo de las razones cruzadas es usado muchas veces acríticamente. Actividad 4

El experimento de la clase de química

Se presenta en esta actividad a la proporcionalidad en un contexto diferente a los previos, el de las mezclas; en este tipo de problemas, aparece una dificultad adicional: el hecho de que los elementos intervinientes (agua a diferentes temperaturas), se han integrado de tal manera que es imposible distinguirlas, lo que vuelve más complejo el establecimiento de la proporcionalidad. Este elemento vale la pena ponerlo en la mesa de la reflexión, pues también constituyen problemas típicos en el estudio del tema que nos ocupa.

Actividad 5

Los mapas Otro tipo de situaciones donde es frecuente el empleo de la proporcionalidad es el de la escala. Sin embargo, en esta actividad se ha incluido una variante, que consiste en partir del reconocimiento de la existencia de la escala en dos mapas dados, para comparar los “productos” de su uso, en este caso el tamaño de los mapas.

Actividad 6

Comparando cualitativamente Los investigadores que han trabajado la noción de proporcionalidad con niños de primaria, coinciden en asegurar que si se desarrolla de manera adecuada la proporcionalidad cualitativa, ésta puede convertirse en una buena plataforma para desarrollar la proporcionalidad cuantitativa. El caso que se presenta en la Actividad 6, es un ejemplo de una situación típica de proporcionalidad cualitativa: la reproducción, mediante el aumento o disminución del tamaño de una figura dada. Nótese que aquí no hay unidades de medida que ayuden a establecer la relación proporcional, la base deberá ser la comparación cualitativa mediante la percepción de los elementos intervinientes en los dibujos dados y sus respectivas formas y magnitudes.

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Actividad 7

Promoviendo una vida saludable Las dos situaciones planteadas son ejemplos que pueden abordarse mediante la técnica del factor de cambio, la cual como ya dijimos, no compara con el valor unitario. Por ejemplo, en el problema de la bicicleta podemos partir que por cada 300 metros que recorre María, Luisa recorre 200 metros. Así, como el recorrido de María es 5 veces 300, esto es, 1500 metros, el recorrido de Luisa será el quíntuple de 200, es decir, 1000 metros. Actividad 8

Diseñando problemas de proporcionalidad En esta actividad se proponen problemas de carácter didáctico, modificando las condiciones de los problemas o formulando nuevas interrogantes que pueden resultar de interés. De esta manera se persigue un doble objetivo: por una parte discutir posibles caminos para enriquecer las situaciones formuladas a los estudiantes, robusteciendo con ello la gama de recursos de los profesores para motivar a sus alumnos y, por otra, profundizar en las características de la proporcionalidad mediante la reflexión global de las situaciones analizadas. Actividad 9

La variación directamente proporcional En esta actividad se plantean tres situaciones, organizadas en las actividades 9.1, 9.2 y 9.3, las cuales llevan por intención que aparezcan en la discusión los elementos necesarios para poder llegar a una caracterización de la proporcionalidad directa, proceso que se trabaja mediante la actividad 9.4. Se esperaría que los profesores-alumnos identificasen las siguientes propiedades de las situaciones abordadas: 1) En todas al valor cero de una de las magnitudes le corresponde un cero en la cantidad variable asociada. 2) Al dividir dos valores correspondientes de las magnitudes involucradas (sin considerar cuando sus valores son 0), el resultado siempre es una constante. A las magnitudes que satisfacen esta condición se les llama magnitudes directamente proporcionales y a la constante se le conoce con el nombre de razón de proporcionalidad. 3) La gráfica de dos magnitudes proporcionales, tomada una en cada eje, siempre es una línea recta que pasa por el origen.

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4) Cuando sólo se consideran magnitudes de valor positivo, una característica de las cantidades directamente proporcionales es que al aumentar una la otra aumenta en la misma proporción, esto es, si una aumenta el doble la otra también aumentará el doble, si la primera aumenta el triple, la segunda también aumentará el triple, y así sucesivamente.

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Sesión IV Construcciones y clasificación de figuras geométricas

Las 6 actividades que constituyen esta sesión, tienen como centro la construcción de trazos y figuras en las que las acciones requeridas para llevarlas a cabo ponen en juego la utilización de estrategias que implican a su vez búsqueda de relaciones entre los elementos geométricos implicados. A través de la construcción, observación, manipulación, trazo y clasificación, utilizando el geoplano, tangram, etc., se exploran las propiedades de triángulos, cuadriláteros y polígonos en general. La clasificación es una parte importante en la geometría y otras ramas de las matemáticas. Se promueve el desarrollo de habilidades de clasificación a través de la búsqueda de relaciones entre figuras. Actividad 1

Construcciones geométricas en contexto

• En esta actividad se solicitan cuatro construcciones geométricas en las que los conocimientos implicados ya fueron revisados en el primer módulo. Sin embargo en esta ocasión se plantean cuatro situaciones en contexto mediante problemas que incluyen el uso de tales conocimientos. Como otra novedad, se les requiere a los participantes el uso de regla y compás. • Sugerimos a los formadores presten especial atención a la utilización adecuada de estos instrumentos, pues consideramos que su uso es una herramienta adecuada para promover niveles de abstracción de diferente índole a los logrados mediante las manipulaciones hechas anteriormente con el doblado de papel y las tiritas acoplables. • Aunque en los cuatro casos el trazo de la mediatriz con regla y compás es clave para encontrar la solución, en las construcciones 1 y 3 el problema queda resuelto al trazar el punto solicitado, mientras que en las construcciones 2 y 4 las construcciones están propuestas para promover la reflexión sobre la aplicabilidad de las soluciones que puede generar el método aplicado. Esperemos los participantes perciban que el método permite encontrar soluciones correctas desde el punto de vista matemático, pero cuya aplicación carezca de sentido. Actividades 2 y 3

Clasificación de polígonos y jugando con polígonos

• Estas actividades se refieren a polígonos. En la actividad 2 se promueve la identificación de polígonos y sus características. Se promueve también una primera

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clasificación en términos de su número de lados. Sugerimos prestar atención a aquellos profesores que solamente consideran polígonos a los que son regulares, dejándolos que se expresen libremente y puedan apreciar la fuerza de una definición matemática. • En la actividad 3 se promueve la identificación de diversos polígonos en ciertas figuras planas, en un ambiente de juego. El diseño de estrategias para localizar todos los posibles polígonos es importante en este proceso. • Sugerimos prestar una especial atención a ciertos cuadriláteros que aparecen en ambas actividades que comúnmente provocan conflicto, nos referimos en particular a aquellos en los que dos de sus lados se cruzan, los cuales se conocen precisamente como cuadriláteros cruzados. Nos interesa enfatizarlo pues existe mucha confusión, e incluso discrepancia conceptual entre diversos autores de libros sobre este tema. Lo importante no es provocar una discusión estéril entre los profesores sino hacer notar que los conceptos matemáticos han sido producto de convenciones entre diversas comunidades de expertos. En particular el concepto de cuadrilátero cruzado es de valiosa utilidad en geometría más avanzada. Actividades 4 y 5

Construyendo diferentes cuadriláteros en el geoplano y Clasificación de cuadriláteros

En estas actividades se construyen cuadriláteros a partir de características que deben tener sus diagonales, y se inicia una clasificación. Se requiere un geoplano y ligas de colores. En su defecto, puede utilizar las retículas dibujadas en las hojas de actividades, o bien, puede utilizar un geoplano simulado con un software de geometría dinámica. En este caso, recomendamos poner atención a ciertas concepciones erróneas y muy arraigadas entre los profesores. En primer término mencionamos las que se refieren a la forma como confunden los conceptos de cuadrado, rombo y rectángulo, considerándolos generalmente como figuras esencialmente distintas, pensando por ejemplo, que un cuadrado no puede ser rombo, salvo que se le coloque en cierta posición, o que un cuadrado no es un rectángulo. Vale la pena discutirlo y aclararlo. Otra confusión generalizada está relacionada con en el concepto de diagonal de un polígono (segmento de recta que une dos vértices no consecutivos), pues es común que sólo consideren aquellas diagonales que quedan en el interior del polígono, aquellas que no son horizontales ni verticales, y aquellas que sólo unen vértices “diametralmente opuestos” sin tomar en cuenta que cualquier par de vértices no consecutivos, determinan una diagonal.

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Actividad 6

Explorando propiedades de triángulos y cuadriláteros a través del uso del Tangram

Los rompecabezas geométricos o Tangram dan lugar a un interesante análisis de las figuras: para realizar las distintas configuraciones es necesario observar las piezas, darles vuelta, acomodarlas de distintas maneras e imaginar las combinaciones posibles para obtener determinadas formas. Esta actividad es muy amplia. Se sugiere, a juicio del formador, seleccionar lo que vea más adaptado al ritmo y necesidad de su grupo. Igualmente se pueden dejar como tarea algunos puntos.

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Sesión V Medición Las 7 actividades de esta sesión tienen como finalidad promover la reflexión sobre lo que significa medir, identificando algunas propiedades medibles de objetos geométricos, como longitud, superficie y volumen. Se utilizarán, de inicio, unidades no estándar, para posteriormente dar paso a la discusión de las convenciones establecidas en la determinación de unidades de medición. Las actividades están diseñadas para mostrar una manera de construir el concepto de medición de forma significativa, ayudando a los participantes a establecer estrategias de cálculo y/o propuestas de algoritmos para la determinación de perímetros, áreas y volúmenes. Se insiste en evitar el uso de fórmulas pre-establecidas a cambio de que sus estrategias los lleven a establecer una regla general que podemos llamar fórmula, y que en este caso cobra sentido. En pocas palabras, hemos de procurar siempre que los procedimientos heurísticos precedan a todo formalismo. Así, el cubrir totalmente una superficie, mediante la repetición de una figura conocida estará en el centro de la discusión del concepto y determinación del área de una superficie, así como el visualizar, manipular y contar arreglos tridimensionales de cubos, estará en el centro de la discusión del concepto y determinación del volumen de un cuerpo. Una vez establecidas las reglas para el cálculo del área de un cierto tipo de superficies (como podría ser un rectángulo) y entendiendo el área como la medida del espacio encerrado en una figura plana, y mediante la descomposición de una figura en otra a manera de rompecabezas, se podrán establecer reglas para la determinación del área de otro tipo de figuras. Algo similar puede hacerse para la determinación de longitudes y volúmenes. En el caso de la determinación de volúmenes, una estrategia acorde con estas ideas es utilizar el llenado de recipientes para comparar el volumen de dos cuerpos, entendiendo éste como la medida del espacio ocupado por un sólido. A través de estas secuencias se busca que los procesos de razonamiento, como parte del pensamiento matemático, sean promovidos mediante una variedad de acciones hechas por los participantes en equipos de trabajo. con el fin de comunicarse y explicar a otros, tanto como a ellos mismos, lo que ven, lo que descubren y lo que piensan y concluyen. Actividad 7

Área de la palma de la mano

Con esta actividad se pretende que los profesores midan el área de una figura plana irregular utilizando distintas unidades de medición y promover la reflexión acerca de las características deseables para la determinación de una unidad de medición. Se organiza a los profesores en equipos de tres y se recomienda que cada participante seleccione sólo una de las retículas incluidas en la actividad impresa, teniendo cuidado que los integrantes de un mismo equipo seleccionen retículas distintas. Se sugiere que conforme avanzan en la actividad, se compartan, en forma grupal, las estrategias utilizadas y los resultados obtenidos, de tal forma que a partir de éstos se determine la conveniencia de utilizar las unidades de medición presentadas.

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También se promueve la reflexión sobre la determinación de unidades de medición para mejorar la estimación del área de una figura dada. Actividades 8 y 9

Explorando áreas en el geoplano y Áreas de triángulos y cuadriláteros en el geoplano

El propósito de esta actividad es la de explorar la determinación de áreas de polígonos irregulares que pueden construirse en un geoplano. En la Actividad 8 es muy probable que la estrategia utilizada sea el conteo directo de las unidades de área, mientras que en la Actividad 9 será necesaria la construcción de rectángulos. Se promueve el uso de material manipulable: un geoplano y ligas de colores. En su defecto, puede utilizar los puntos marcados en la hoja de trabajo, o bien, puede utilizar un geoplano simulado con un software de geometría dinámica. Actividades 10 y 11

Un número especial y Estimando el área del círculo

El propósito de estas actividades es construir de manera significativa una aproximación al número π y establecer su utilidad para el cálculo del perímetro y el área de un círculo. Los resultados se expresan en términos de una fórmula, la cual cobra sentido a través de la actividad realizada. Para la Actividad 11 se requieren varios círculos, en distintos tamaños, y una tira extendida de papel milimétrico de por lo menos medio metro de largo. El perímetro de los círculos utilizados no debe exceder la longitud de la tira de papel milimétrico. En la Actividad 12, se estima el área del círculo a través del uso de la transformación del círculo en una figura que semeja un paralelogramo, cuya área puede calcularse por un algoritmo conocido. Para ello se requieren varios círculos del mismo tamaño, divididos en sectores circulares iguales, y cada círculo debe tener un número distinto de divisiones. Se recomienda dividir un círculo en 8 sectores regulares, otro en 12 y otro en 16, por lo menos. Actividad 12

Adquiriendo la noción de volumen

El propósito de esta actividad es construir el concepto de volumen de manera significativa. Así, el visualizar, manipular y contar arreglos tridimensionales de cubos, estará en el centro de la discusión del concepto y determinación del volumen de un cuerpo. Primeramente, se

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trabajará con prismas rectangulares y después se tratarán de generalizar estos resultados a prismas arbitrarios, cilindros y cuerpos con secciones transversales paralelas y congruentes. Para esta actividad se requieren varios cubos del mismo tamaño. Se pueden comprar paquetes de cubitos, los cuales generalmente, tienen 1.5 cm de lado. También deberá construirse una cajita, que pueda ser medida con un número exacto de cubitos: se recomienda un arreglo de 2 x 3 x 4 cubitos, lo que requerirá que las medidas de la cajita sean de 3 x 4.5 x 6 cm. También será necesario contar con un semiespejo. Actividad 13

Volumen de cilindros y conos

El propósito de esta actividad es la estimación del volumen de un cuerpo, utilizando el llenado de recipientes y la comparación con el volumen conocido de otro. Se tratará de establecer una regla general para la determinación del volumen de uno de ellos, dado que se conoce el algoritmo para calcular el volumen del otro. Para esta actividad se requiere arroz o algún polvo liviano, un cilindro y un cono circular recto sin tapa de igual base y altura. También se necesita un prisma y una pirámide de igual base y altura. Los desarrollos para hacer las construcciones se encuentran incluidos en la hoja de la actividad. Se recomienda pedir con anticipación a los profesores participantes, como tarea, reproducir los diseños en un material más grueso, como cartoncillo, y llevar las construcciones listas a la sesión presencial.

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Materiales didácticos requeridos para el Curso “La Problemática de la Enseñanza y el Aprendizaje de las

Matemáticas en la Escuela Primaria II”

Sesión No. de Actividad Material Requerimientos

Fracciones 1

5 tiras de cartón de longitudes 1, 2, 3, 4 y 5 unidades, lo cual se especifica en la Guía del Formador

Un juego de 5 tiras por equipo

Construcciones y clasificación de figuras geométricas

1 Regla y compás Un juego por equipo

Construcciones y clasificación de figuras geométricas; Medición

4, 5, 8 y 9 Un geoplano y ligas de colores Un juego por equipo

Construcciones y clasificación de figuras geométricas

6 Un tangram recortable, trazado en cartulina

Un tangram por persona y las tijeras una por equipo

Medición 7 Tres retículas impresas, una cuadriculada, otra triangulada y otra hexagonalizada

Un juego con las tres retículas por equipo

Medición 10

Cinco círculos de cartulina de diferentes tamaños, con el centro marcado, y una tira de papel milimétrico de medio metro de largo.

Un juego por equipo

Medición 11

Cuatro círculos de cartulina con radios trazados que los dividan en 4, 8, 16 y 20 partes respectivamente

Un juego por equipo

Medición 12

Un semiespejo, un modelo de caja para armar, trazado en una cartulina y dos docenas de pequeños cubos.

Un juego por equipo

Medición 13-3 Modelos recortables de un cono y un cilindro, de la misma altura y base del mismo radio.

Un juego por equipo