:

t

r T �ODCTCCION

¡,o es la pre-te si6n de ezto trabajo el considerar de manera

rtgu.rosa.r.'.Emte foranlista todo.G lo..G cuestiones relativas al c6..lcu­

lo nroposicional, sino \lcx• w1c. idea prác-tice, de "r¡ué es" y c6rno

oe opero. en él: así,. no se t rntc.rC.I .. s:Lno muy nor encino. la.o cuer:;-

tiorws, i porto.ntes dosde el rrunto de vj_sta del Y;icor, atmc:uc :::w

úosdo el d 3 la prlctica, re:,·ere:ltes c. lo.. con:rpletitnd, indenende:n-

ciu ;:.¡ consiste ... 1 cia .

Tase,: os secuidu::. ente r� dar las nociones preliDin<.:.ros ir:-:pre::J-

cincli bles r;ar3. le� cor nrc-nsi6n de las -.·�e;inD,s siguiGntco �

- .Distinción �e;· 'nticn y fdn-C�:�xis: dada ln teorí.o, ·11 oob!"'C un

1.m:L veroo U como un len¿'1J.aje L, llr.•mnr�oc meto.teoría T 'n l; L too río..

cuyo universo U' es ·el lenp;u.aje I, fü; T. En ol C.:'SO ele ciue so estu­

die D', cor:io l&r: relaciones entr•! 3-V.S elementos, prescina.icncJ.o do

0ue .1nblon de U, :nos h.allr'.mos anto una consideración U.o co.r'"ctor

"" 1· r1·�· -' ,..., -1.; .¡ ,...o · e·.1 .... v . !;..; '-'-'-' ' - - el cnso oont:co.rio, deci11os c .. ue consicle.rai 1os o.. U,.

tlo:;c.i.e el mmto de vista ceJ:";tm"tico ( 1).

1. o.jt!'aci6n, cuu...lldo se nroscinde ele los "conte::id. os" se '' ... ticos . -.. . ·O.L

- Soi:irc 12,s !lOGiones dE� irnlicoci6x1 e infe:-ce. !Cia., 11"": .tonte

ov:Lc.10:r::..tes por si oisrnai'3, <1.i::'or oti c�ue, u• entr:J..s la p:ci: üí.'L, objO"l;o

ele ln 16cica, reviste ccrt�ctor sintfictico, la sccur1d[I lo tiono Ge-

1. - ,n p:r-obler...;e. de la �:.xiOi"!l:!,tiz:: c:i.6n de lE 16cica.

il obje co de 12- lóc:ic<.."1 foroal son les estrc!.ctv.r'."'n do lo::;; dl.c­

curcos. Loe;ro. afir�;o.ciones sie":lnre verd�derc.o ldol ti:no ':3i. A = .'3

y 3 =: C, e::i.toncor:; /l. ::: C"1 �· no 1A == :3", Ct\Y'"' VGrd0<1 O fnlsed2.d ·"o-

C., ' • " ·1 • ' t. ,.., e . 6 � d ' "n <'. A .. �1 ,..,. , '4 1· •1 ->" ) . I' L� V<X".'1.<'.'.r eic, 11 .u: urc erpre· '"� 2 h b�k .. ( . . , ""' .J .... •

Es irrlJ)Orto.r·t.e l�. distinción. ontre ley y roe.lo. lóe;ica:

"� 2 1Gy lógici.1 intente. oxprcs�r alc;o cmu es ele tlW1 dcter-

=i.nad� ncno�a" (�). - ''La regle.- 16p-ic::, i�1eica c6n.o se puedo proceder y.>arc. pnsar

de W-3 o nt..o pronosiciones u. otro." ( 5) ..

P�:-r(I. uxiome.tiz2.r la ldgicc,,, noD harlt fultr:::t:

- SoloccionL:.:r. cügnn2::::1 J..eyc:H'.:! como prini ti vc\s ( axiomo.n).

- :6st.:blocer reglas '1 .. �rr� obtener otras leyes 16cicnr3. ( G)

El si1-ibolis�o usado en el tro.b2.jo eo el de lo, escucl� polr\cn

(de Lu.Lt-:;sie\·;-icz), r"tie di 'iere po::�' razones de cor.odicl.n. · ti.TJot:rúficn

dol empleado en Gl texto.

Silementos conr.ititutivos de la lógica proposic:t,onal..

':.!ocl::. proposición ( 7) conste de térciuos. .l!so·toc pueden di vidiz·­

se on cc.·;:,0gore t�ticos - 'tiono:::1 sigll.ificndo prOT.JiO y e.ut6nomo - y

· t.üncateeoreu·"tioos -no tienen sj.enif'icado propio ni r:.utóno�o. Se

llt\ma:J. tr:unbién eor1ectores u operr:i.dorGs lógicos (tal la pale.brc�."Y"

o le pale,bro. "nero .. ). - Je nuedc�" encadenar pronosiciones mod.iante

·t�rriínos sincnteeorer�,tl.oo"J ! dad.ns lo..s 1raoes r.1Ju..an es ri..1bio" y

"Ju�.n tiene ouince aiíon" � TJOclemos obtener, por ejemplo,. lo.s si.:,uicg

tes:

Juo.n OD rubio y Jue.n tieno quince o.'too.

Juan C '"' ·� rubio o Juan tiene ouince años.

SI Juan ec' ...,., rubio, R??ONCES Juan tiene quincn años.

Juan SS T\.ll)iO SI y SOLO JI Juan tiene C'uinco años.

Juan no oo rubio.

,Juan NO tie::.'le quince 82Jos.

Podemoo renresento.r cad!. pro'}Josici6n r·or una le·tra dol alt"v,­

beto: llr:unm'ldO a "Juan tiene ouince nfíos' g; y u "Juan es rubio" 1h

las proposiciones cnterioreLJ (!UOd<:n coco sinuc: J2 Y g,; E. O _u; .�:I

::1 l!:H�OIWES q; 1') SI y :SOLO SI q; 1!0 p; i�o q, (.UO convenimos arbitra-•

riumente on c1eoien:::i:r � de n.horti.. • ' tl adelante, res' ecti van.ente, por· Kpq, Apq, Cpq, Epq, Np, Nq.

Obs6rvoso <;ue hubiósemon nodíd.o proceder o.n�logamentc con

o :: ro par cuc,lquiera. do pro:nosiciones.

. .// ..

V�o,;-ie to.rbi�n que cato, unr• .. Lle l·,c propooiciono:J ob'tGnid, s

o::J. <-:: : ; ¡_. vez uno. :nu.evn prOT)Osici6n, c·uc ucile sor unidc. a otro.

meúi!'.'.ntG c.i-�ro cor!ector: ln í·r:::i.:,e ''Si Jum1 e::> ru.b.i.o �' ,Tuan tiene

�ui· iCC o.í1.or.;, ontonces \Tunn o::; rubio': ' , ciue nfirr a SI í'C1, .Ji:.10 ... -·

,..., . -c. . •

. ·.;Mc; t� n . . .

. : pq

Apq

Cpq

Dün0minaci6n

�onjur1ción

.ti.lterunti v:::i.

co11cl.icional

dcondicion 1

3eeo.ci6n

I �.. l - . tl l .. D:.; .L i..:u .. c1oncs ue ver ac •

Uirnificn.do

y C]

p o q

SI ri, EHTONCES q

n dI Y OU. SI q

�o n {uo .q) (b)

· ·ocl.. nroposici6n, por do •"'inici6n, puede sor-t mar loG

vo.lo-r·cs Jo- verd,�dern o :falsfa . Llru:.8I'los o.. ºverd· dero" y n "fn.1_

C•º v· lores de verded. l valor de verCl.ad do un pr0posici6n

rLOlüC lr ! .. alla.r10 .. mo s nolCCtll.18.r' U toda }JT01")0Sici6n 0_UO CO:..'lo·t;o, ÜO 1

t.iás de uno. letra min 'scv.lo.- ¡') "'t'-� en funei6n ele �.os valores c1c

verdc;,r:' de las propocdc orico sl1 ples i .t<'cr�.ntec, llama.do.o vnric�-

bles •

.. je plo: dadas do:: proposiciones p y q9 lo :>rOT�osici6n Kpq

s.jlo e. vord:--.dero.. si lo son n �· q. Bsqnewo:�izándolo:

p q

Vert1�'rlero vcrdnde:ro P1:1.lso verdad.oro \erdn.dcro f2.lso 'nlso falso

verdn,dero falso f.'f'lSO ff'.10·

l'. - :..ndo, :·ia.rn abreviar' "1" a "verdndoro" y n ü" n "fr.lso" p

el Goqucra ante ior (Ueda coro s±gue:

p <l pe

1 1 l 1 o

1 (1 o o o

Poderos hace:;:� J.cr� · ic. o con los domó.e concc toree, obteniendo:

p q pq Apr (�pq Epq p ::p

1 1 ..&. 1 J. l l 1 o o l () 1 1 u 1

(�) l o 1 o o " " 1 .,

- 4 -

�L��[l i1nlltu' ln ftt t.ci6n dú vcrc1r'd c.l.o exr>rcei�ncs �.ús �o�plc-

j. �, Y. l' eje: nlo � 0.Knq n c1, ampe7.tlJ' os ostablcciondo unn. Vr'.lorc�­

ci6r� ·o l�a v::u·ia.bJcs, cui.d.ando d.c no olvide . . � ningun& de la:..: con:­

bi «"'.civUH3 .Josiblc · de Vi: lorco o vord· d-fnlso·1r'..d ntre lci.s vo.rin-

rüos:

. .., q :J J pqEpNci

�-�l 11 1 1 u l r11 l. l

1 o 1 1 () o o 00 o o

P a �fCKpq .prTq

1 l 111 101 o 1 001 OUl 1 ü 01' J.J:._, '1 o ooo v1·

P e . •CKpq..:;n ·e

1 1 1110101 o l 011001 1 0101110 o o 0000010

P e . C1. pq::pNc�

1 1 lul110101 (.) 1 010011001 1 o OJ.OlOJ.110 o o l•J000010

OOi'm0!100 luego, fJCGÚ!l lao tablas de

vcr<lad d fü s, valoras n 10.o -.,ro.,...osicion-

oo inmocllatno o. ·11 y q, asto os, a »pq

y a q:

ncirJm,�oo sccu.itl. r:·onte czi, hallo.r el valor

do EpNq, rocord,1ndo qua lo•J vo.loros quo

use oo h.:m t1c ser los colocados bnjo

P Y r:

; . .:_ . .::9t· do-

r 6.o e n'3tC'..!1tes ( tlo::. r.os constante o a

la.o lotro.o r o.yi1nculo3) ( 10), obtoncr..os:

n6tcoo m.l.c VCU'Ot: si tuo.nd loo ve.loros

d(� vor1l"' l ro!1; .. osi v • n01�tc br jo J.o.s cons­

tQ.l'ltoc eri�r. ou r3.élio el e ac ción. (Do rno-

1·or o r·0yor)(ll)

l Vt' lor de verde� do la ex11rosi6n, Cúlocado bajo la. !l, G::J

l,O, ·-..,o.

t> r;uc· :en h�llar corcco"l')onde· ciflo entre ftu.:cio:l.os de verdud

< e o•·raz<.;o..n � cado co bínvci6 .. 1 do VP.lores el.e lr>-s vo.ri oles el

. iomo Valor. bservo.z::::OS C'Ue lo fU.1.1CiÓn l !fq tor 8. loo .-- Í S .• OS VC.lOr­

eu 0uc .pq. 0<1e;· os, pues, oocribir, y c·�11 blece os por ·lefinici�n:

Df. Opq·-]. C!P (12)(13)(14),

3 . - 1"<;1 problcw&. de lo. dccüü611

l!.xisten .1ro1 osicionos nie pro vorüCldorno: :r>or ejer. :nlo, AnNp,

que vo.le aic\m:r>re l. J!:rJt['.J no1 _ i:irocia ante l. o lcyus lógico.a. ( 15)

..... l. problema de lt1. (l.ocisi6n cri liri bn f3n el hnllu�r-o de un pro-­

codi · ie;tto n ccñnico C0""lO.Z c1c dctC' �irw.r ni unC:.. ey .. ,.,�c.; ión c"1 · lri. ·3S

1ey 16cico. o :10. Jor. o �1roc odi· ien·t:o" f· n,q:: cn::.t-:1le . eaoa citar el

uso ele le.. t(>.1112.; (�1.,. vor<.lod y lo. rcducr-i6n [l. lo, fo.!· n ,_or..: <.:l COl".-

- 5 -

l!· , ... I.a deducci6�:1 al nive l de lG. lÓ(''ica )roposicionnl. (17)

lTos hallcunos an·líe la necesidad <..le encontrar un ti6to.do

que liOS pcrr,.:L to.. üea.ucir cie unwJ 1eyeo 16rl.cas to1. aélas cono

axj. JT!lnr..; to 1 • n J., s der.i�.s. H. • roc �dimm:ent o oencJ.llo es Gl

oic;u.io:nte :

-Damos une scr�.c d(• f6rcu1�·s pri :ltivo..s (FP)(leyec ovi­

clontes y co: Jrobí.lb..'-os):

FP l rT'PHP FP 10 CqAp< p 2 0)1P F 11 E�pqaTipq

F� 3 AtJ.lp FP 12 EC"!')c .�TKpNq FP 4 KClpp FP 13 t.. r.qtiA � piJq FP 5 Cp(�Cqp FP 14 EApqill:l�pJq FP G E•·pqAqp FP 1" . ' _,, ECpqCWq:Np l:l'P 7 C.-rqp �" ) 16 CLCpqGqrC-pr

r 8 11qq F _, 17 C1'01:Jqpq F 9 CpA.pq

-Damos ir;ua.lmen·te las ci uientes rer;le.s :

I- l!:s l .�ci to Gubsti tuir en cua.l0u or :f6r. ulo. v...ri..a ex .res:D.1

qn0 fii-1.1.ro en olla >Or ot:co. c>:nrcsi6n unid'"'. en o.lr :una FP :i. la

·rir ere -niedian·to el bicondici inul. ::-• f6rí u.la obte11.ida no di-

fim:·c c10 lo. oricino.1 en lo que res�..,ec·í.;fl, a los ve.lo ... -cs de ver-

dl:lcl�

II- :·íi se ob1,iene un conc1icional Cnq ( r1. y (1 re!)rcso ntan

1")l'Oposiciones �io neces ri ; e�1te -.:1:b6r ivo.o) 9 ,Jr, t�·r b.i.ó�·: se obtie- .

ne p, se · 1Jttedo co ... sitlor<.....1.' c. J o c.i..erto e:.

5. - 3x111'esi6n axioná:ti.ce:. pura.

!�s ncce cario a:-.i.tes de la cxposici n nxioc,tic�'- t�cltt,Y'�Z'

los conceptos de:(15)

-Deri 1ra.bil:.1.dad. \erivr ole es toda expresión obtenible de

otras ediante unas ror·lcS'�

-Demostro.bilidacl. 11,_r ostro.ble es toda �&presi6n c:uc no

necesita de otras pa1·c, cer afirm0.d<:: •

..... sto e el 'llr•.no sL.1táctic .• �n el s�1 lntico:

-vonsecuencia 16r.,ica( qui v ... lente n d�;'SEtfabiliC.ecl). Uno.

exp.i.."Of i n es co 1secuen.cia 1 'c,ico (10 ot:r.:��s ht':.s.i.cn.f.J s�i. cualc u.ier

-Vo..lill.Ct.z. ( éi.emo;..1trabilido.l�). VQ.lifü · es todo. ex iresi6n < ue

. . // ..

no necc,itu oc COYU'.lCCUOncü:.. de otro.s

:Son i ntcrc...,nntes -t::.:u .• bién lns nociones ele ct�lcnl . y lengv.3-

jo :i:'·�'I---: alise.do:

Se, llnmc, álculo u. un conjunto de nroponicioncs obtc ni­

d •. ;J d uno:; n iciI1es 1.or la. .!'iJlaci6n de ll G 1 ·i va'b:l..lifü ... d.

Se llama len:--u.nje fo :r;. e li z nclo c .. un co11junto c1.c proposi­

ciones obteni ad <le ot ·�i.;:; �·or la x·el. •(�i6n ele consecuencia. l 'gi-

ca. •

..,i;xpresi6n axio1'1á:ttca purB:( l�)

;:)!G"JOS:

-Variables: p9 <�,:e, s, • • • , con . ub:fn<lices si es necesario.

-Jonst · tes: 4,A

...., · • .• .:.;;Hu �S:

..?Sr ulP.. os oualru:::.cr aL.neaci6n ho:;;"izonto.l rlc oirnoD. s�· o

nos inter so.n las 'f6_1-1itlas b ·en for1i:uc1n3" C..-'BF)' o exnresj_ones,

cuyo conjunto queda dcfin::i.do rr..edinntc l:JS sit,i.,ientes TPf·lri.s G.0

fo:rLc..ci6n" ( d.-')�

RP 1.-- 1Jualquicr vB.riable es unn · 1.P •

..:F 2, - 1'! sor:uido (1 o una. PBF es une. FBF •

.HP j.- 'l se&uid.o de dos .FF3:.l::?P es na F·.3P,

A 1. - .hl'-1Appp

A ? .- A!11'1Apq

A 3 .. - Ai'".'ApcA< 1)

A 4 . - ANAikrANf\pqAp:t·

.u; _ l � Ii� 1 .{ ::crA ( RI} :

.I 1.-;iecla tJ.e suüSJtituci(n r.11iforr.·e: "en cu ... lopiar f,'rr:,uL

d o ri vabl .· cuo.lcuier vnri. b�e "i ede .Jor oubsti ttüfü:, or cuo.louier

s..'' F, mientras a subpti tu,plil.6n se vorifü uc en todos loo lugares

c�:i.1 • u.e .1.i.chn vc?.ri· ; .le a:::ic.rozc:::. en la f6r ulo. • .i:.o. fór ulo. obtenido,

os, e. :::m ve�;, derivable" ( 20)

R..i. 2 .-.-¿o@l . ".\.G sono.rnci6n: ºoi :) es una f6ri uln. rleri vnbl3

d .. l si::1t hD- y turr:bi�n lo es 1\1fPC, entoncofJ Q es. otra f6rr..ula.

., • bl 'I ( ".>l) a.er;.va e · c. , •

-· 7 -

Dl.- Df. :.pq= � l.Jp

D?.- pq

LjP �110 é�c de:mostro.ci6n( · soo t;Crviros r:e la -/;r sis

�brnvic. , a. '.n sin dcr:1ontrn.rlo.J:

( l) AN; ::inp=l�l

( 2) LNApqAqp:::A3

(?)r1/AApp,c1/'i=(3) , o son por '1.I 1

( 3) A {Aii!J\pppApNApp

(3)=- . (1)(4), o oea nor •U 2

(4) J\n�App

\4)p/ lp=(5)

( �) A �p�.AITpNp

( 5 ) I>/ • .:1pp = ( 6 )

(G) A . .ru;�p A A<pphaNpp

( 7) Af� Jpc:Tesif:l

( 6 ) ::= • -('7) ( v )

( l; ) úAI u�:�ppNJ mp

( b }¡1/ .¡A:lpNq = ( )

( í i'iAi�AHHAilpuq li Jp· .qat\.NNAU.,.).qdA:lfo Iq

np ar<'

.Aplicanclo ·.e potid ·, on'Lo .Ul, J2 y D3 a ( 1.,,), obtc 10mo . :

L:YpCI ¡\f A1 lp 1q

6 .- ..sO'J : r , l.üe:-ia.o ..-:ctateor(!ticus "i i.nda ·o ta.les del c6.lculo ronoo __ _

cionnl en forna é.'.Xior .ttj_cn.. ( 22)

Son los relativos a la completitud , consistenciv. r indcpcn-

clei..cíc:

- Gn '1iotei: a es sintd.cticattentc ;0�1niote�l.tc cuv.::id·.· en él

e,j¡ ir. "JOsioJ.G deriv� � mm exnrct..i6n cu. le uicra..

- Un siotc a es ser.. tico.ocn.t� consiotente si sus oxn rc oio-

i·ii:;o ... �clL iton un r odolo.

-u_1 �i. · t; 0rn os sü1.tácticarn0nte co rilcto si se nace i!1con­

oiotcnt 1 o.l , !.f.ir.di:r a •. �us 2xiomas una cx"'lrc::Jijn cua.l' uiore. no

d os 1,rai:>lo.

- 1J.1 ::;i 1te. n eo sern1nticUJ11cntc co· �1J eto si tod s .:ms oxpr0-�

�-------- aio.n. J,;Li,;ll......ll�...&J.oi.1.-.ii ...... �---;¡;¡...¡MJ.ólw.¡. ..&;,¡,U:tá

"l

- 8 -

- I.oo a.xio:mi:�s í.le un sistema son i'l.denend5.entec e ·ando .

n .. ng1.mo de ellos nuede ncr (1b·- ·nido co: 0 t orera a · '•rtir do

los restantes ..

.-· · ru iba sint6.etica dG le. co1J.SiBtoncio.( 23):

\Jonven:tp;os en r¡ue o. cun.lnuier v rio.b é 1uede 8orle o.oienc.­

d0 un o <1.o Los dor:i vr1.loroo O o L( 24). signamos a lo.s constanto:::.i

L .. s si{';'v.iontos funciones:

n (' Apq_ p :¡p IIf:l-ciendo los cr:.�lculos, o l>norvnr10 o

1 1 1 1 . quo todos los axiomc:...; valen J..oSurgo la. o 1 1 o 1

·· uror,unta: V�ÜOl' pu.e den tener lt:.tfJ 1 f) 1

¿auo

() o o tesis:·. Para (;on·t starln es neceoario

forxrulnr los sie,uieni;oi.; lewo.a:

Lema 1.- �odo c.xioma va.le sieBpre y so1o l (Gal ;:�l<H:>e i

Lenm ?. .- Si p vale siemT�rc y solo 1, tar-bi�n v 'le sierr:pre

y s�:So l cualquier exr.H.'eoi6:n obtcniéln o partir de ell�1 r)Qr IU /!-·

Bn ofócto , pnes el vnlor üe co· .1.junto es independiente del do

lus variablos(FFlBFF).

Lenn 3 .- :.:>:t 11 ·:,r AJpo · .nn expre3iOn"s Pue valen siempre y

sol o 1, onto::ces e ta: bi�n vrle siemp1'G y sol.o l. En efecto:

si e, v �liGrt:'. 1 , al oor i e. nro p=l,. sería L'�lü=O, l)O!' sor -:-u=O

y AOO=O, contra lo supuor to el.o que sea. nie1 pro y solo 11I�·pq:::l.

P· oa1 os seguic1rn'.'Ontc c. cler ostro;(·:

. .;i la cl.Gó.ucci6n no:r la que he. Of� obtenido la tusi:.::i cst�.

vordr.:cl.cro e ·irtud del lema l.

-... '. i le, deducci6n c onst o .. do n.;1 oxurcsiones de 12-E: Cl.1.:::i..le:::;

l�L í! rit .eruc vo.len sier nre y solo 1, lrt (n-!-1)-ésif c. ha cJo

ser o un a . .t.oma9 siernnre verdulero nor lcmn 1, o urn cxnresi611

ob·t;cnidi� a · ar1.ir de 12 s otrc�r. por lgun. · de lao rer L e ·e infe­

rencia:

en el �ricer ca�o( 'educida Dor .I 1), vnle oio. �re y solo

.1 en vLr-tud del emn �

0:-:1 el H9gu.ndo cnso, ve.lo sie1 ; pre " 1 ;olo 1 en vi1 ·t;u.d del V

'11 GXi:Jtir O.' Tlí.."'fJ . io:r.:.cs qtrn no vr.le:: sic: ! 're :L, noclei os

--

- 9 -

po� existir ex1¡J:'osion rn 110 c"'..e.cilJ:. bl

ó.-·1�1e·bi:t '.le l"'. ir1d.<::pendencic. el.e lo' u.xio:::-• !; <'.< 1 cálculo 1:Jroponi­

cionnl, f24)

,c;1 1 étodo a set:�ui:c p. o: rn establecer lP. indepo,..i.clencic. de lo:::: . .

axioma, es o:L ..;i' .... iente: oc ·lef'j.:.1011 i�· s fu�1.c, onos de lc....s troitil:i.ti.n-

to1 nn ciertr ;s vnloroo diotin:tos , 1 o ., os . uc • a..1 r:.e:r:.os on un cnso,

tioi .� el restn.nte, c�e do �de el :':in:.. no c;-."J deducible de loe

ot:"oo "i'ire • .La;_, v: lora.cienes do lo:·; va"!"iablcs aon:

-Pare ln intl1 .pend1...mciü do Al:

p ""ip CJ

lll [. (1 012

íl ID o 000 / 2· I p l 012

� O'JC

-·Para /\. ,\ o _noxa A3: - nra A4: C: c . a q

n Q 1"'}

"'Tp TI �,p l ·J Apq 01'!3 Ar.>CI ll23

Apc Jlt! -e 2 ) 1 o 1 1 1 o 000 o

ºººº l o

o 0000 l.

l 01�3 1 0123 0 1 'L 2 2 o 2 " '- " p ?. u2?.0

j ·y> 2 ú22v ? l>22 ·4 ,., .3 .J

3 0333 3 03J3

- - h't.tebe. de l:...� co: n_eti tu,· 3i:it6-c t.icc.. del c6.lculo pro:josieioncl ( 25:

::.. · licard·:·os :-)rcv:i.0J .. 1ente , cor.o hc.bíaro;,.? indicado arit(Js, la

reducci6n de unl� Gxi;n·esi6n cut•louicra a lt.i. forr n. r1crr.,:::i.l cou;jun-

ti vo.( p-iC) :.

si en u.._'l'l(� G.í:qlresi6n flC sri.iJ.:t:t t-¡,1.ye 1mtJ '"mbcxnro i6n ouya

nor ot1·n e<" t �-v, lG:nte, la ox-1:resi6n total ciue resulte;. os (:1qni·1ai:

lente o, la o:ciginn,l. Com:ücl era -oo <'los cx�·ro ·; ones p y o ecuiv::.i.-

leEtcf.J cu� -,d e::> denos ��:-o.ble �r)q. s evid.c.:nto que . ediar.rte emw

substi tucion.<JS y o·l�r.10s ir .ha.cicndo desr.pnrocor de u n z'6r::.u.L

loe conGctoros hnsta ht,.ner tma cxprcoi6n 1 uc see e junción

de vr :-i:·ü�s su.bo}"pr1;;sione·:; rue s1wo.n a su. vez al tcrnn. 1 vas de

variables :nc·· 1dan o no "A e3n 0xprcsi6n se 10. llam:::\ ..:.:'!'fv f1e lo.

f>or o j Gl rüo: la f6n. uJ.::i. !' CpqC' 1 e .i.'ormo. norr:.c:tl co junti v:1

scr:Ca ,. J.i:r>0 e

- Uno.. exprcoi6n e:n f'l'TC 0a dcribable

sus o.lterna:tivo.r-i iutcgrontos.

oí y · 1 ..

solo si .l<¡> ssor¡ I ! .

;s ce dici6n nGceot.?.rio. y ouficir.mte l"ara cue C< d:.:"' una.

da las 1"'Gcrnativt. <:.i 8CB dcrj.v�hle c1ue con-te -i:t,corao ·1.niri· una

V"z, .� varic.1.bh1 r G�l ��r10.ci6n ( ·i cr,..,:. vo.ric•.ble es-tá solo

a:i'i1"· · de, o solo ncn'.nn, ü!'!.ndo '('18 ve.1.orc�1 co"lvnnientos :--. lr<'3

-vcrio..bloo � lo. al tcr�"-�tivü \T[:'�ldl'L, o, y se .... · ñ no dori ve.ble do

u:�iorr:o.s) ..

�'l6teoe e-no 1?.. ¡:•cc.1.u.cci6n �-'. �' 1C o• un prvcedi: iento r.ieci...;o­

:rio, ;mes dcd�. \."_?U?, exnr�si6n cAt...�lC'uicrn, ba .... te, reduc:i.rl. o. .:N0

rnra sab.... ui es 10.:.· v ble o no�

u le e uo.

ro�Y

cJ"., , � l'. com loti tucl, rt.ircr os 1 u0 ol e 'lcu­

o rro, osi.--io �al ·as sint:' 0t:rG.n'ente comnleto, uea so ha.ce

inconsi otonte al oiio.,' ir.1.0 u.:J.n o:<p esi6 no dccost1" hle:

sea. p le cxprc i6n. leJ ��· .... t'111osla :.; .ti' 1•J., _;n e1.1o. figu. UTá clguna

al-�t rnut:lva en lu 0l:>.e cc�do. vo.r.Lo.ble anC":r.ocerá solo nee,ada o . . .

a.i'in:iad�. Subs1.,j.tt.Q: D ·os (por T\!)l )lLi.S varia1Jles negadns ele . 1-

dicho. 2.lt,:..rnn.tiv .. � ( ciuo l•Odo• •os repreoentar, or ejcr lr, oor

Arl..Ap •q:rls) por Ln y luo afinradas nor p: obtendrenoE AA.Ary ::,pp :'tJ ,

o Gea �Ll\r.Jpnp, de ü:Jnclc, 1 ctliantü l" dcducJ,.i:. __ p. �i 11 por ol .

con·urario, sub:;:¡·t;ituirto::.: le s vo.ri�.blo::: uegc.das nor p y le . n.o

cgndcs por , , obtonenos AARpN:pNpr· , ,., e donde deducimos ·¡p. A:

ser deriv:.\ulcs p y Ip, el sioter se hnce i.uconsictcnte.

l ··- .ua 16eica y le vcrd�d.&cl c:iJnr's p·,.crc sor:r,6r..tica y sL. o.xi .•

<..ucrc;· ,os hr llt·�r las rcüacioncs entre cálculo y lcn..--1.1ajo

for.nlizado, y, on oo sccuoncia, o:ntre �on�ecue!'-Cia 16J'·icc ¿j

deri vc.bilida ' . P.� b..:. Ói'l i te11tw os eotc.blecer -ª ecui valencin

entre c1c1 os'trc ilid'.1(1 y vn.lidoz.

(.,'uo.nJo ::;;e da. ·¡Jn'3 cim.'J. P.. into prctnci6n que trf'nsforma

una expreoi<Sn p en vordt'.dorr. a.cerco. de .-· u i verso de.do, se

dice que l::'l- interpretación es un "Lodelo" a.e p, llo.z:1ándoso p

satiofact:tble. enedc cv.l .. l. ir que uno. interpretación sea 1:ioélolo

<Jo n y no d.e q. Una oxpx·e>oi611 oiornpro s tis:fnctible se TI.ar¡ a

,r(ilida. Un c., njv.nto !l de ex i-·esi ones se llama satisf ctible :!.

hci.:J unn rcprescnt11.ci6n que es su rr.C.>c1elo, y válido si e t lquic.i;

- 11 -

ir:i:c01rpretaci6n e�} , ·.odelo suyo. ( 21·.)

....:xtensi6n él.e u:i ;,·ujeto es tm individuo. xtensi6n do una

pr0 ¡_•0stci6n B:::l su vc.lor el.o vercla.C . .. ( 2, )

Judo cuo, cxteniJionnlmente • u...-i-i::•.. roposici6n denota u.n �.¡g­

lor de vorde..d, . U11r'1. expresi6n 1nter�r0 t.:.da será una succsi6n ,1 o

co_ s·\iantes, unos y cero e. cclisn ;e ol uso . e ln::J tabl .. o c.10 ver,..

t,.:id so ne drá cnlcuL r el v lor rlc lri. nx"">r - ii.'>n cn.tera. · ·.:i v�üe

1, direrros que es satisf0cha oor e c •·-. �.-. .:. interprctaci6n.(?8)

�..08 2.x 01 .8.<3 son S::'.tief'úl�ho.- T.:or cu.alqu.:i.er ü�terprc·t0ci6n,

de donéle ... on vó.liclos. Al n 1lioar la.o ·r �:. los axio ri n. , l<'.rJ

OXi1:c .:io .. J.e,;j ")te· idas so:'l t::-mbi�n válidt1D.

JJe todo ello dafü.tcimos r ue to . ::i ex ·r . r.:;_6n üor..ostrr\ble os

vó.lido.. ,l e 'i.lculo .,Jfoposi ·io11ul solo "Derr.¡i Le la l .educci6n a.e

f(5::..: '!.!la.o vól:ldas ..

11 o.bc.lloe .!e d(:•r.'ostr·o.r. l'ue tocln cYrreoi6n cler ost1·0,blo

válid�.... Fnltf.I. dm . o 3 t . ·ar lo cou:t:re.rL . • i?af:Jamos �t h-..ce r.·lo:

r> t'• "'"""' .

een P uno. ':X. )rooi6n cuaJ.q_uierg, y vt-lidc .. � y .J' la ir,is!: a P en

F:;c. ü.:\dr-, o.ltcrna:tiva ric i>' contendrá una va.ric.1ble y cu r.«:e;n.ci6·l,

de donde ' es derJostre ble, y tarniJi�n P. ( '9 1

11.- . . n tcorer.a de deducción. ( 3 )

l.. u.erc1 os ho.llar la;J r:onexion existentes entre der10st:I·a-

bilidad y:· ���'ie.'tlt·l;dttd� y entre veli(:0z y consecuencir:i: 16e;ica.

:.s f � l de h�\llar la ec:·ü v-- lc nci · ont:t.·e 1ernostrabilidaü

(vali.dez) ;v· deriVi. bilifü:td{ Consecucncir .:i .. 16e;icu): una expre:::.:ión

de. ostr· ble ( váli.da.) uedc consi• 0· ;:;.r.·c(; deri vr .. ble ( co:nsccuencin

16.nica) <le IJ hi �iótefds ( Premisac).

j_ v��:sa, l:ü�i i;ó.ndonos t"'. e' uncia.�lo.:

· · T-ecr'e:ia de defüi.cci6n: ::-i, a: do un c:::mju..:tto .1� de expre. ·io­

nes quG contiene cor,; o st·1¡osici.611 la e:>�prc·· . . i6 ", se 'I)Uec.J e deri­

v2,r (se �uede conso['.UJ.r co· .o consecuencia 16gica) de �l. lo..

e:c resi6n e_., entonce,, ec d1-ri va.ble ( co_1secu.e 'Ci.r- =�6gica l del

co·.L j unto t.U-· se obtiene elirrünando P de

v:!:.covcr::;a. (31)

e >ID . .t 'JI "'T. s ;'I AL_,s

- 1.::: -

pLrtc, une. visi6n do1 c:ilcu.lo --.:ro,)osicio�nl b: sta.!1te <'.c.1llgad2

,:1 '·" 1 n -..e.-.1 .\ ,..., "1 c'l YJ � ...,; ..... t... ... . l. c..:� .......... ""' ... .. .... ? -

u.i.Olif.Lct�r�.o set t1ntico: o.1 d0cir 'u.e l(,S símbolos tlel cálculo

O'.:.rtt�,n. dus rov Gto�, do s ·1, tüi'ic�' .io, i ·1tc!!.tc: .os c:x"Jrcsar :_uostro

tc�cr .:.:.2..c,,ru1 zi·t:.ifica· o1 ··uc.::; de lo ..:OrJtrnri� ;1r.> las co..; prendG­

f>:r.·eJ1100,, ·e· ,Je pu.e; que1 cm Últi.:.o t�r .. ino, Jru�.;t¡•o C'.�lcv.lo .na

d1:. Hcuü.ir r.-. le;t.a1c.s nocio_ior.; de vo�.:-cl id.. . a motlerna. lÓf;icu.. fl ate-

:--.. ��ti cc, ria.-r:-te de 1s. cv.a ... o.:;; el �lculo yrrc · '-'sicional, h . obtení­

a.o con 1-..::s::ecto ::t le l6Gicri tradicioncl u ndel�nto inr prcciüblo:

u·· c;iaantesco aur l ento del rigo;:' y un sic ten; n:"'r·a lin,11(.'\_r i· 1fe­

rr.>ncic.s e iri�. ica0ion0s CT1 tao.yo�� n1·icro �· dG .. in,yor c,m•; · icc.ci6n,

labor q_ue hubie=:e llevado 8 los ru.1ti'"'U.O(: l �cicos o.. os enteros do

tr b[.1..jO •

•

-·· 13 -

-AG l .I, 7ardro .. . v. ... �Gi "ª cir b1'lica. d.. l.:.erdor . :r.Ja .... celo·o.,

1 6 7. 1 qu ...

(1) Gf. · r�f!_��.ui: la l '-·ico. sit:.b6lic-:"., pa15·. 33.

(t.!) lo. l.'e;lcn f:lu:·o6lic. , pae· ljl

( _) Jf. ib.,,. c. p. lJGs

(..¡.) Ib. ,o. e,, p·;i.g 15B

( �) 13 16 �-i��- 3Í'!:.:b61:i C.:', 1. C • o

{') .Jf. il.1.,0. c., n. 159

( '{) ... ¡ ter;:e al re: :;pecto < ue ·l ef inición tr-die ion, .1 ( ... ·o-

pc�ici6n es le forr:n.. 16ci 1 ... ci ruc ai'ir · a nj oe;cl, i;n cosa)excluy.;:

frases co o " '. J(..:..latc ! ", "x es in yor que y", etc .. . .

Para tollo el p�rr .fo, cf. J>. 1.4s

P�rn todo el ._Jlrrc.fo, e+· - . .. 16 s, !7t �.

Of. o.e • . P• 171-.75

.Jf. 7). lvj•�

( ,, )

(- )

(l. )

(11)

( 1,.,) • • 9 = so lee"os i ual. por defLlici6 ,., • . .

[13) Otrar defi�icionos puP.den estableccrnc: nor e je• :plo: I J)f . pe =N I:lpNq

j)f. ! pq =Ni\ 1p. iq

(14)

(1:))

(l()

' . .;.11¡

• ·t' J - .

í'.

o .. c.

o. e.

o.e.

"'.) . 101

p. 193

l.c.

(17) 'ara todo c�Le parágrafo,�r. �. 194ss

(1 ) Cf. o.e. p. 206s

(lJ) �ara todo el r.'rrafo, cf. p. 209s

( 2C.) o. e. 9..,. 210

c�.l) l.c.

( 22) Cf • p., 23 'S

(2J) cf. p. 244s

( 24) l'rc ;cin<li 03 de loo sif-11.ifice:.�dos <�e verdad que les

� .. t¡·.i.iJu:!:1· •O.J.

(25) f. o.e. �· ?.49s

{26) ara �odo el nú: e�o 10. cr. p.256s

(?7) Q.J:li_o e� i liter ente de •

-.

( 2i. ) f.. p. ' GG

(? .. ) :1 • �). 2:--

( ... ) vf. p. '27u...,

(�l) ,orio c2 ,i li ta:cal ente de n. -:>7 - <!O

- 14 -

co'nota.r l� bihliogr. Í.l de U ... "l ."'OlO libro,. he uejo,do

de ci tr.rlo en la ��o� ía ds l o �ot s. ...