E l cálcul , ens agradi o no ens agradi, en­cara és una de les p e d r é s de toe de la m a t e m á t i c a i mes concretament del seu ensenyament a nivells e l emen tá i s . I ho és per dues raons fonamentals. Primerament per la dificultat que comporta compren-dre el p e r q u é deis sistemes de numera-ció i la seva posic ió , així com el seu fun-cionament i el domin i de les operacions, i en segon lloc per la forta i h i s t ó r i ca t radición i p r e s s ió social sobre la impor­tancia i necessitat del saber calcular, o, d i t d'una manera mes p l a ñ e r a , «el saber les quatre regles».

Indubtablement la c o m p r e n s i ó de les operacions i el domin i deis seus automa-tismes son dues coses que van totalment lligades, i és precisament quan falla aquest l l igam que es fa ga i r ebé impossible reei-x i r en el camp de les seves aplicacions i util i tzacions concretes, o siguí, en la re-solució de problemes.

Malgrat que malauradament encara h i ha massa ensenyants preocupats p e r q u é els nens de la seva classe sáp iguen operar al mes r á p i d a m e n t i m i l l o r possible, hem de r econé ixe r que encara és necessari i ú t i l el domin i del cálcul , ma l que siguí m í n i m a m e n t . I és en aquest aspecte, el del domin i del cálcul , on Fexerc i tac ió i la p r á c t i c a t e ñ e n un paper mol t impor tan t i significatiu, tant peí que fa al coneixement i domin i de m e c á n i q u e s concretes, com peí que fa a l 'agil i tat en el cá lcul mental , com fins i to t en el donar sentit a la re­solució de situacions o problemes.

Així, una p r á c t i c a continuada de cálcul amb una o mes operacions a r i t m é t i q u e s , pot faci l i tar —sempre que h i hagi hagut un t rebal l anterior d i r ig i t tant ais aspee-tes concep tuá i s com comprensius— la ra-pidesa del cálcul , la seva exactitud, el bon plantejament d ' e s t ra tég ies i t é cn iques en la reso luc ió de problemes i la correcta apl icac ió d'operacions per aconseguir aquesta reso luc ió .

De fet, una gran major ia de persones hem sofert, a la nostra infantesa, el «pal» que representa fer pagines i pagines de taules, sumes, restes portant-ne, divisions de mil-i-una xifres, fraccions... ¿Qui no ha maleit alguna vegada els seus mes tres, quan durant una estona de classe o com a deures de casa l i posaven una llarga tira-Uonga d'operacions a fer? M i r a que n'eren d'avorrides! I encara en son! De segur que les nenes i els nens de les nostres classes han pensat el mateix que nosaltres quan erem xics, pero ara, com que nosaltres som grans, i a mes mes tres, continuem fent fer ais nostres alumnes a l ió tant i tant feixuc que ens arribava a fer suar t in ta : la p r á c t i c a de cálcul .

Veient que malgrat els avéneos tecnoló-gics que cada dia a un r i tme ver t ig inós ens van embolcallant mes i mes (calcula­dores pe t i t í s s imes i p o t e n t í s s i m e s , rellot-ges calculadores, balances calculadores, re­gles calculadores, aguanta-fulls calculado­res..., i a veure quan surt el «boli» calcu­ladora!), encara continuem creient neces­sari que els infants deis vui tanta sáp iguen

El paper ha de t eñ i r escrit al mig el 1.089. Si voleu saber l'efecte, proveu-ho. Mi reu la proposta presentada a (1) i (13).

2. Escr iviu un n ú m e r o de tres xifres (479) i les torneu a escriure a con t inuac ió (479479). Div id iu aquest nombre de sis x i ­fres entre 7, el quocient resultant entre 11 i el resultant, de nou, entre 13. E l resultat final son les tres primeres xifres (479). M i ­reu les propostes que d'aquest joc-exercici es fa a (2) i (3).

3. Aquest és forca nou. E l dia 17 d'oc-tubre de 1986, ais voltants de la una del migdia, es va saber una noticia excepcional per a Barcelona. Quina és? 1986 + ((17 — - ( 1 0 + 1 ) ) = ?

De fet son molts i molts els recursos que existeixen i ens podem inventar o adaptar per ta l d'anar fent mes agradable i inte-

ressant la feixuga tasca del domini del cál­cul. Fem ara un r e p á s d'alguns d'aquests recursos, alguns exemples deis quals hau-reu de resoldre vosaltres per veure els seus «efectes cur iosos» .

E l s quadrats mágics (2), (4), (5), (7), (15) i (16):

Quadrats amb diverses caselles al seu inter ior , a dintre de cada una de les quals cal anar posant un nombre deis d'una se­rie de nombres consecutius, amb la pro-pietat m á g i c a que la suma de cada colum­na, de cada fila i cada diagonal sigui sem-pre constant. Un parell d'exemples que cal que completeu:

N ú m s . de F l al 9 Suma — 15

Quadrat m á g i c del quadre de Durer «Melanchol ia 1». N ú m s . de F l al 16 Suma = 34

16

6

15 14

Operacions amb xifres perdudes (3) esborrat a lgún n ú m e r o , i operacions en les i críptiques (6): quals s'han s u b s t i t u í t les xifres per lletres,

tenint cada l letra el mateix valor a cada Operaciones en les quals s'ha perdut o ope rac ió . Exemples:

5439 5.087 CUATRO X.43 + 123. CUATRO

CUATRO CINQ SIS ..317 54.. 1 CUATRO CINQ SET

21.56 + CUATRO + V I N G T + SIS .43.

V E I N T E T R E N T E TRES (R = I ) 77.77.

Jocs d'endevinar nombres, edats, dades (7), (8) i (9):

Son series d'operacions consecutives que aplicades a qualsevol nombre in ic ia l do­nen com a resultat el nombre de part ida, un nombre constant o b é un nombre cu­rios. Per exemple:

1. Escriu un n ú m e r o , m u l t i p l i c a ! per 3, suma-li 30, mul t ip l ica per 5, suma-li 600, divideix per 15, resta-li 50 i dona...?

2. Escriu el n ú m e r o de sabates que gastes, m u l t i p l i c a ! per 2, suma-li 5, mul­t i p l i c a ! per 50, suma-li 1736 i resta'n Fany que vas né ixer . Les dues primeres xifres del resultat son el n ú m e r o de les sabates

i les dues darreres els anys que tens o fas enguany.

Jocs amb calculadores (9), (10) i (11):

Jocs de cálcul ; jocs en els quals les x i ­fres es consideren com a lletres tot gi-rant la calculadora; jocs com els deis apartats d'endevinar nombres i d'opera­cions curioses o jocs específics per a cal­culadores, Alguns exemples son:

— 385 x 8 = instrument musical. — 154787 x2 = amic deis sobres. — 86346 : 123 = astre d iü rn . — 8423 x 6 = els que m'agradaria fer-vos. — Tecle j a r 3 x X = = = , i veure el re­

sultat. — Tecle j a r 7 x X 2 = , i veure el resultat;

afegir 3 = i veure el resultat; afegir 7 = i veure el resultat i treure conclu-sions.

Problemes d'enginy i enganyifa (2), (7), (12), (13) i (14):

Son problemes, generalment mol t antics, que de vegades es resolen mes per perspi­cacia i «peí compte de la vella», que no per plantejaments purament m a t e m á t i c s . Aquest tipus de problema son perfecta-ment adaptables a qualsevol tipus de si­tuado. Per exemple: d iu en Joan Ama-des (12) que «Un ase i una m u í a anaven carregats de sarrions de ca rbó . L'ase no parava de rondinar, queixant-se de portar massa cá r r ega . Cansada la m u í a de tant sentir-lo rondinar i grinyolar l i va d i r :

»—Calla, gandul, que j o vaig mes car-regada que t u i no dic res; si j o et donava un sarrio deis meus, d u r í e m tots dos la c á r r e g a igual, i si t u me'n donaves un deis teus, j o duria el doble que tu .

»¿Quants sarrions duia Fase i quants la mu ía?»

Ara bé , t a m b é podem d i r al temps de Tots Sants que un pare va comprar dues paperines de castanyes per ais seus dos filis i els va d i r : «A cada paperina h i ha una quanti tat diferent de castanyes. Si en trec una de la paperina que t inc a la m á dreta i la poso a la de Fesquerra, les dues paperines en t indran la mateixa quanti tat , pero si en trec una de la paperina de la m á esquerra i la poso a la de la dreta,

aquesta en t i n d r á el doble». A l l l ibre Re-lacionem (7), h i podem trobar una al tra var iac ió , com t a m b é a (13).

Un altre exemple mes difícil i actual pot ser aquell que d iu que en formar els j u -gadors del Barca per fer-se la foto i es-tant tots d'esquena, cal endevinar quin dorsal porta el porter, que se Fha canviat, sabent que el producte del n ú m e r o de j u -gadors que té a la dreta pels que t é a la seva esquerra, ens dona 5 mes que si fem el mateix a pa r t i r del jugador que el por­ter t é a la seva esquerra.

Operacions amb resultats curiosos:

Son operacions simples o combinades que donen resultats curiosos i sorprenents. De vegades, el que crida Fa tenc ió és que fan servir nou dígi ts , o que es fan servir quatre xifres iguals per c o m p o n d r é dife-rents n ú m e r o s , o que els resultats son inesperats. Alguns exemples poden ser:

— Operacions amb nou d íg i t s : . i + 2 + 3 + 4 + 5 + 6+7 + (8x9) = ... • 990662 = els nou dígi ts d e s o r d e n á i s . • 154 + 782 = 936. • 42 x 138 = 5796. • 16785 -r- 2394 = 7.

— Productes: • 3367 x mú l t i p l e s de 33. • 3367 x mú l t i p l e s de 3. • 12345679 x mú l t i p l e s de 9. • 65359477124183 x mú l t i p l e s de 17. • 37037 x n ú m e r o s naturals mes grans

que 2.

— Divisions: • 355 - 113 = ... . 974974 -4- 1001 • 45678,979-T- 37 • 1 — els nous pr imers nombres na­

turals. • 6729 + 13458 = ...

— Potencies: • 882 + 332 = ... . 6423 — 6413 = ... • l i l i 2 - ... • (30 + 25)2 = ... • 25-92 = ...

— Sumes: • 123456789 + 987654321 + 123456789 +

+ 987654321 + 2 = ...

— Cap-i-cues: • 10989 x 9 = ... • 21978 x 4 = ... • 139 + 931 = ...

— Nombres reversibles: • 10989 x 9 = ... • 21978 x 4... • 0,15 X 3400 = ...

— Series n u m é r i q u e s : . 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... • 100, 90, 81, 73, 66... • 12, 23, 34, 45... . 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17... • 121, 232, 343... • 98, 87, 76... . 3, 9, 27, 81...

Existeixen molts d'altres recursos, pero a q u í no ten im pas p rou lloc per exposar­los. Tan sois farem un esment de les es­cales a r i t m é t i q u e s (2), els n ú m e r o s creuats (2), els trucs de cá lcu l (17), els ordinoma-tes, els engraellats, els totxos (18), les ma­quines (1) i (19), i així moltes al tres técni-ques, jocs i recursos.

Les fletxes (19), diagrames, taules (19)...

Notes bibliográfiques

( 1 ) CANALS; FERNÁNDEZ; SUCARRATS; VALLES: Dotze i tretze, Barcelona, Onda, 1982.

( 2 ) CANALS; QUINTANA; ROIG; SALES: Matema-titzem, Barcelona, Onda, 1983.

(3 ) PERELMAN, Y.: Matemáticas recreativas, Barcelona, Martínez Roca, 1968.

(4 ) ANTOÑANA, H . : La danza de los números, Bilbao, Mensajero, 1982.

(5 ) ALEM, J. P.: Juegos de ingenio y entre­tenimiento matemático, Barcelona, Ge-disa, 1984.

( 6 ) «Maximath», París, Keesing, 1986 (re­vista).

(7 ) ALMATO; CANALS; FOIX; QUINTANA: Rela-cionem, Barcelona, Onda, 1984.

(8 ) LANDER, I . : Magia matemática, Barcelo­na, Labor, 1985.

( 9 ) VANNIER, E. : Nuevas formas de jugar y divertirse con su calculadora, Madrid, Altalena, 1979.

(10) LANGDON, N . : Cálculos y habilidades con calculadoras, Madrid, Plesa, 1985.

( 1 1 ) HAMILTON, B.: Calculator fun and ga-mes, Londres, Armada, 1981.

(12) AMADES, J.: Números meravellosos, Bar­celona, Selecta, 1982.

(13) IGNÁTIEV, E . L : En el reino del ingenio, Moscou, Mir, 1986.

(14) RIVERA, J. J.: Comecocos, Madrid, Ála­mo, 1981.

(15) PERELMAN, Y.: Problemas y experimen­tos científicos, Moscou, Mir, 1975.

(16) RODRÍGUEZ, R.; RODRÍGUEZ, M. C : Cuen­tos y cuentas de los matemáticos, Bar­celona, Reverte, 1986.

(17) REPER; GRES: 300 trucs de calcul mental, Bélgique, Marabout, 1982.

(18) EDO; PUIGARDEU; TORRA: Ciempiés, Bar­celona, Barcanova, 1985.

(19) VALLES, J.: Didáctica de la matemática al Cicle Inicial, Barcelona, Dossiers de Rosa Sensat, 1985.