Espacios Vectoriales con Producto InternoEjercicios

David Choez

11 de Noviembre del 2014

Ejercicio 5:Probar o Refutar: Sea R2 un espacio con producto interno ,es tal que la

norma asociada es de la forma:

‖(x1, x2)‖ = |x1|+ |x2| (1).

Solucion: Probaremos que no existe un producto interno que tiene asociada unproducto interno de esa forma, para ello mostraremos con un contra-ejemplopor la definicion de la ley del paralelogramo tenemos:

‖u + v‖2 + ‖u− v‖2 = 2(‖u‖2 + ‖v‖2).

Sea u = (x1, x2) y v = (y1, y2) que satisface (1) es decir por ejemplo:u = (3, 4) y v = (0,−7) de la ecuacion (1) se obtiene

‖u‖ = |3|+ |4| = 7.

y‖v‖ = |0|+ | − 7| = 7.

por otro lado

‖u + v‖2 = ‖(3, 4) + (0,−7)‖2 = ‖(3,−3)‖2 = (√

18)2 = 18.

y

‖u− v‖2 = ‖(3, 4)− (0,−7)‖2 = ‖(3, 11)‖2 = (√

1302

= 130.

finalmente‖u + v‖2 + ‖u− v‖2 = 18 + 130 = 148.

y2(‖u‖2 + ‖v‖2) = 2(72 + 72) = 196

entonces:‖u + v‖2 + ‖u− v‖2 6= 2(‖u‖2 + ‖v‖2).

por lo tanto la igualdad (1) no es correcta.

1

Ejercicio 7:Sea V un espacio vectorial con producto interno, entonces:

〈u, v〉 =‖u + v‖2 − ‖u− v‖2 + ‖u + iv‖2 i− ‖u− iv‖2 i

4.

para todo u, v ∈ V.Solucion: primero vamos a etiquetar de la siguiente manera:

〈u, v〉 =I1 − I2 + I3 i− I4 i

4(1)

donde :

I1 = ‖u + v‖2 = 〈u + v, u + v〉 = 〈u, u〉+ 〈u, v〉+ 〈v, u〉+ 〈v, v〉= ‖u‖2 + ‖v‖2 + 〈u, v〉+ 〈u, v〉 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2Re(〈u, v〉)

I2 = ‖u− v‖2 = 〈u− v, u− v〉 = 〈u, u〉+ 〈u,−v〉+ 〈−v, u〉+ 〈v, v〉= ‖u‖2 + ‖v‖2 − 〈u, v〉 − 〈u, v〉 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2Re(〈u, v〉)

I3 = ‖u + iv‖2 = 〈u + iv, u + iv〉 = 〈u, u〉+ 〈u, iv〉+ 〈iv, u〉+ 〈iv, iv〉= ‖u‖2 + i〈u, v〉+ i〈v, u〉+ ii〈v, v〉 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + i〈v, u〉+ i〈v, u〉

= ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2=〈v, u〉

I4 = ‖u− iv‖2 = 〈u− iv, u− iv〉 = 〈u, u〉 − 〈u, iv〉 − 〈iv, u〉+ 〈iv, iv〉= ‖u‖2 − i〈u, v〉 − i〈v, u〉+ ii〈v, v〉 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − i〈v, u〉 − i〈v, u〉

= ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2=〈v, u〉

de lo anterior se tiene:I1 − I2 = 4Re(〈u, v〉)

I3 i− I4 i = i(‖u‖2 + ‖v‖2 + 2=〈v, u〉)− i(‖u‖2 + ‖v‖2 − 2=〈v, u〉)

I3 i− I4 i = 4i=〈v, u〉

Sustituimos I1, I2, I3, I4,debidamente en (1) y obtenemos:

〈u, v〉 =4Re〈u, v〉+ 4i=〈v, u〉

4= Re〈u, v〉+ i=〈v, u〉 (2)

donde:2Re(〈u, v〉) = 〈u, v〉+ 〈u, v〉

2=〈v, u〉 = i〈v, u〉+ i〈v, u〉

entonces:2i=〈v, u〉 = 〈v, u〉 − 〈v, u〉 = −〈u, v〉+ 〈u, v〉 ası:2Re(〈u, v〉) + 2i=〈v, u〉 = 2〈u, v〉 → Re(〈u, v〉) + i=〈v, u〉 = 〈u, v〉 (3) en

consecuencia de (2) y (3) se concluye ,lo que se querıa probar.

2

Ejercicio 10:Sea P2(<) En considerar el producto interno dado por:

〈p, q〉 =

∫ 1

0

p(x)q(x) dx

Aplicar el procedimiento de Gram-Schmidt a la base (1, x, x2)para obteneruna base orto-normal de P2(<)

Solucion:Sea (1, x, x2) una base ,para hallar por el proceso de Gram-Schmidt una

base orto-normal,hacemos lo siguiente: denotamos (v1, v2, v3)=(1, x, x2)e1 = v1

‖v1‖ ,es decir e1 = 1‖1‖ = 1

2√〈1,1〉

donde

〈1, 1〉 =

∫ 1

0

(1)(1) dx = 1

asi e1 = 1‖1‖ = 1

2√1 = 1parae2 = v2−〈v2,e1〉 e1

‖v2−〈v2,e1〉 e1‖ = x−〈x,1〉 1‖x−〈x,1〉 1‖ como

〈x, 1〉 =

∫ 1

0

(x)(1) dx =1

2

entonces e2 =x− 1

2

‖x− 12‖ =

x− 12

2√〈x− 1

2,x− 1

2〉

〈x− 12, x− 1

2〉 =

∫ 1

0(x− 1

2)(x− 1

2) dx = 1

12

→ e2 =x− 1

2

‖x− 12‖ =

x− 12

2√

112

por lo tanto:

e2 =2√

3(2x− 1)

Finalmente para: e3 = x2−〈x2,1〉−〈x2, 2√3(2x−1)〉 2

√3(2x−1)

‖x2−〈x2,1〉−〈x2, 2√3(2x−1)〉 2

√3(2x−1)‖ calculamos el produc-

to interno:

〈x2, 1〉 =

∫ 1

0

(x2)(1) dx =1

3

〈x2,2√

3(2x− 1)〉 =

∫ 1

0

(√

3)(x2)(2x− 1) dx =

√3

6

e3 =x2− 1

3−

√3

6

√3(2x−1)

‖x2− 13−

√3

6

√3(2x−1)‖

= 6x2−6x+1‖6x2−6x+1‖ = 6x2−6x+1√

〈6x2−6x+1,6x2−6x+1〉como:

〈6x2 − 6x + 1, 6x2 − 6x + 1〉 =∫ 1

0(6x2 − 6x + 1)2 dx = 1

5de donde:

e3 =6x2 − 6x + 1√

15

=√

5(6x2 − 6x + 1)

finalmente nuestra base orto-normal es:

(1,√

3(2x− 1),√

5(6x2 − 6x + 1))

3