Pgina 1 de 3

1

EJERCICIOS RESUELTOS 9 TEMA: Teorema del Lmite Central

1. El dimetro interior de un anillo de pistn seleccionado al azar es una variable aleatoria con valor medio de 12cm y desviacin estndar de .04cm

a) si x es el dimetro medio de la muestra para una muestra aleatoria de n=16 anillos, dnde est centrada la distribucin muestral de x , y cul es la desviacin estndar de la distribucin de x ?

01.016

04.0 ===nX

b) Conteste las preguntas formuladas en el inciso a) para un tamao muestral de n=64 anillos

005.064

04.0 ===nX

c) para cul de las dos muestras aleatorias, una del inciso a) y otra del inciso b), es ms probable que x est dentro de .01cm alejado de 12cm? Explique su razonamiento. La muestra del inciso b) ya que el tamao de muestra es mayor y por lo tanto es ms probable que est dentro del rango.

Nota: el smbolo (Z) se interpreta como buscar en tablas el rea a la izquierda del valor de Z que se esta manejando. 2. Consulte el ejercicio 2 y suponga que la distribucin del dimetro es normal.

a) calcule P(11.99 x 12.01) cuando n=16

( ) )00.1()00.1(01.0

00.1201.1201.0

00.1299.1101.1299.11 =

= XP

( ) 6826.01587.08413.001.1299.11 == XP b) cul es la probabilidad de que el dimetro medio muestral exceda 12.01 cuando n=25?

008.025

04.0 ===nX

( ) [ ] 1056.025.11008.0

00.1201.12101.12 ==

=>XP

3. Represente con X1,X2,.....X100 los pesos netos reales de 100 bolsas de 50 libras de fertilizante, seleccionadas al azar.

a) Si el peso especificado de cada bolsa es 50 y la varianza 1, calcule P(49.75 x 50.25)(aproximadamente) empleado el TLC

1.0100

1 ===nX

Pgina 2 de 3

2

( ) )50.2()50.2(01.0

00.5075.491.0

00.5025.5025.5075.49 =

= XP

( ) 9876.00062.09938.025.5075.49 == XP

b) Si el peso esperado es 49.8 lb, en lugar de 50 lb, de modo que en promedio las bolsas

tienen menos peso, calcule P(49.75 x 50.25)

( ) )50.0()50.4(1.0

8.4975.491.0

8.4925.5025.5075.49 =

= XP

( ) 6915.03085.0125.5075.49 == XP

4. La resistencia a la ruptura de un remache tiene un valor medio de 10 000 lb/pulg2 y una desviacin estndar de 500 lb/pulg2

a) cul es la probabilidad de que la resistencia media a la ruptura de la muestra, para una muestra aleatoria de 40 remaches, est entre 9 900 y 10 200?

1.7940

500 ===nX

( ) )26.1()56.2(1.79100009900

1.791000010200

102009900 =

= XP ( ) 8912.01031.09943.0102009900 == XP

b) Si el tamao muestral hubiera sido 15, en lugar de 40, podra calcularse la informacin

pedida en el inciso a) a partir de la informacin dada? No ya que la muestra es pequea y se desconoce la distribucin de la poblacin original.

5. Se sabe que la dureza Rockwell de pernos, de cierto tipo, tiene un valor medio de 50 y desviacin estndar de 1.2

a) si la distribucin es normal, cul es la probabilidad de que la dureza muestral media para una muestra aleatoria de 9 pernos sea por lo menos 51?

4.09

2.1 ===nX

( ) 0062.09938.01)50.2(14.05051

151 ===

=XP b) cul es la probabilidad (aproximada) de que la dureza muestral media para una muestra

aleatoria de 40 pernos sea al menos 51?

19.040

2.1 ===nX

( ) 0000.0000.11)26.5(119.05051

151 ===

=XP 6. Suponga que la densidad del sedimento (g/cm) de un espcimen seleccionado al azar, de cierta regin, est normalmente distribuida con media 2.65 y desviacin estndar .85 (sugerida en

Pgina 3 de 3

3

Modeling Sedimental anda Water Column Interactions for Hydrophobic Pollutants. Water Research, 1984, pp. 1169-1174).

a) si se seleccionan una muestra aleatoria de 25 especimenes, cul es la probabilidad de que la densidad promedio de sedimento muestral sea a lo sumo 3.00? y entre 2.65 y 3.00?

17.025

85.0 ===nX

( ) 9802.0)06.2(17.0

65.200.300.3 ==

=XP

( ) == = )00.0()06.2(17.0 65.265.217.0 65.200.300.365.2 XP ( ) 4802.05000.09802.000.365.2 == XP

b) Qu tan grande se requera un tamao muestral para asegurar que la primera probabilidad del inciso a) sea por lo menos .99?

( ) 99.085.0

65.200.300.3 =

=n

XP

( ) 33.299.0 == ZZ

3365.200.3)85.0)(33.2(

85.065.200.3 2 =

== n

n

Z

7. Se sabe que el tiempo de espera para ser atendido en una oficina es una variable aleatoria exponencial con = 17 minutos.

a) Encuentre la probabilidad de que una persona que se selecciona al azar haya tenido que esperar ms de 30 minutos.

1712.011)30(1)30( 1730

1730

==

==> eeFXP

b) Si se extrae una muestra de 64 personas, encuentre la probabilidad de que den un valor

medio en el tiempo de espera de menos de 12 minutos. 17== ; 17==

125.26417 ===

nX

[ ] 0094.035.2125.21712

)12( ==