ejercico 3

INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

Fundamentos de la Investigación de Operaciones (I.O.)

1. Definición:

Para iniciar el estudio de una nueva disciplina debemos saber sobre

que trata y cuál es su aplicación mediante una definición, pero dar

una definición de I.O. es bastante compleja, debido al lugar y al

tiempo ha cambiando; para la ORSA

( The Operations Research Society of America ) "La I.O. concierne con

la decisión científica de como diseñar y operar el mejor sistema

hombre-máquina, usualmente bajo condiciones de asignar

óptimamente los recursos".

2.- Fases en un estudio de I.O.:

a) Observar la realidad

b) Definir el problema (alcances, límites, restricciones, objetivos).

c) Construcción o formulación del modelo (la realidad se expresa

en forma matemática)

d) Recojo de datos.

e) Solución del modelo (se utilizan diferentes algoritmos).

f) Validación del modelo (valores posibles para dar un resultado

esperado)

g) Interpretar resultados..

Santiago Javez Valladares Página 1



PROBLEMAMODELO

SOLUCIONVALIDACION

RECOJO DE

DATOSINTERPRETAR RESULTADOS

OBSERVAR


3.- BREVE HISTORIA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

1759 QUESNAY: Uso de

Modelos Primitivos de

Programación

Matemática

1874 WALRAS : uso de

técnicas similares a QUESNAY.

Precursores de los Modelos

Lineales

1873 Jordan , Minkowsky

en 1896 y Farkas en 1903.

Modelos Dinámicos

Probabilisticos:

Markov a fines del siglo

pasado.

Modelos de inve ntarios, de

Tiempo y Movimiento : en los

años 20 del siglo XX.

Modelos de Asignación : Konig

y Egervary en la segunda y

tercera década del siglo XX.

Estudios de las Líneas de

Esperas: Erlang a principios del

siglo XX.

Teoría de Juegos: Von Newman

en 1937.

Teoría de Preferencias:

Von Newman con Morgenstern.

Modelos de Distribución:

Kantorovich en 1939.

Durante la Segunda Guerra

Mundial existían grupos que

asesoraban con relación a las

acciones bélicas a realizar:

Análisis de estrategias de

bombardeo, defensa aérea y



programación de operaciones

logísticas; en 1937

Científicos ayudaron a detectar

aeroplanos enemigos mediante

el radar. En el verano de 1941

se

estable una sección de

Operations Research (O.R,en

español Investigación de

Operaciones o

( I.O.) en la RAF(Real Fuerza

Aérea) de igual modo en la

British


9 Army y la Navy. Estos científicos fueron conocidos como los O.R, por ser los primeros

investigadores operacionales. Al final de la guerra un grupo de ellos se dedica a la

industria y al gobierno, empezando la palabra I.O. para designar a aquellos científicos que

se preocupaban por resolver los problemas que aparecían en la administración.

Se le debe a Gran Bretaña el haber iniciado la I.O. y a Estados Unidos por el rápido

crecimiento de esta disciplina.

El auge empieza en 1947 :

• 1947 GEORGE DANTZING: EL MÉTODO SIMPLEX. PROGRAMACION DINAMICA: BELLMAN. PROGRAMACION NO LINEAL: KUHN Y TUCKER. PROGRAMACION ENTERA: GOMORY. REDES DE OPTIMIZACION: FORD Y FULKERSON. SIMULACION : MARKOWITZ. INVENTARIOS: ARROW, KARLIN, SCARF,WHITIN. ANALISIS DE DECISIONES: RAIFFA. PROCESOS MARKOVIANOS DE DECISION: HOWARD.

Debemos ser claros que los avance de los modelos matemáticos de la Investigación de

operaciones se han basado en estudios hechos de Cálculo Diferencial e Integral (Newton,

Lagrange, Laplace, Lebesgue, Leibnitz, Reimman, Stieltjes, por mencionar algunos), la

Probabilidad y la Estadística

( Bernulli, Poisson, Gauss, Bayes, Gosset, Snedecor, etc.).

* Año en que se dio inicio a la programación y con el uso de las computadoras se empezó

a extender la Investigación de Operaciones.

El tiempo va avanzando y para 1963, se habían clasificado las aplicaciones en I.O., en

problemas estructurales, de 8 formas básicas:

1. Asignación.

2. Inventario.

3. Reemplazo.

4. Líneas de espera.

5. Secuenciación y coordinación.

6. Trayectorias.

7. Competencia.

8. Búsqueda.

9

Beneficios de la Investigación de Operaciones

En la practica el uso de modelos basados en técnicas de investigación de Operaciones

generan soluciones a problemas de las organizaciones tanto sociales, políticas y

económicas. Se pueden definir algunos beneficios:

a) Genera la posibilidad de mejor toma de decisiones en toda organización, uniendo

técnicas, grupos multidisciplinarios, software, datos económicos, brindan una

mejor solución a problemas de gran interés a solucionarse.

b) Optimizar la coordinación entre los diferentes departamentos de las

organizaciones, generando un mayor flujo de información con orden y haciendo

buen uso del tiempo para generar información importante para mejorar la toma de

decisiones.

c) Se genera mayor control de los procesos y recursos, teniendo controlada la

organización para contribuir a lograr los objetivos planteados.

d) Se hace mejor uso de los factores económicos, disminuyendo costos y

aumentando las utilidades de las empresas.

9

SESION I

Introducción a la Programación Lineal

Los modelos lineales tienen una variedad de aplicaciones en la vida diaria, es por ello que

en esta sección vamos a dedicarnos a analizar algunos problemas aplicativos pero a la

vez didácticos para conocer lo potente que es esta herramienta.

Hablar de aplicaciones de modelos lineales es de nunca acabar, cada día aparecen

nuevas propuestas o modificaciones a los ya existentes que hacen que cada modelo sea

adaptado a diferentes realidades, es entonces que en este marco, los siguientes modelos

a desarrollar tienen la finalidad de hacer una introducción a la formar de modelar y poder

ver en parte sus aplicaciones a sistemas reales.

9

Modelos de Programación Lineal

Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden

resolver la situación siguiente:

Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias

variables, sujeta a:

una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales.

Función Objetivo(F.O.):

Para seleccionar que función objetivo debe elegirse se debe tomar en cuenta lo siguiente:

a) Si vamos a encontrar situaciones en las cuales tendremos solo costos ya sea de

materia prima, costo de mano de obra, costo de uso de máquina, costos de transporte,

costos de depreciación ,etc. esto indica que indudablemente la F.O. será de

MINIMIZACION.

b) Si el enunciado solo da datos económicos de ganancia, precio de venta o dinero a

recibir por unidad producida la F.O. será de MAXIMIZACION.

c) Si el enunciado nos da al mismo tiempo costos y ganancias restaremos de la siguiente

manera:

GANANCIAS - COSTOS = UTILIDAD, la que tendrá como F.O. MAXIMIZACION.

d) Si no nos dan ningún datos económico y solo se da tiempos, el tiempo se minimiza, si

nos da solo producción, la producción se ha de maximizar, si el modelo corresponde a

contratar al personal, la función objetivo se minimiza.

Restricciones:

Estas limitaciones o restricciones en los modelos lineales tienen sólo las siguientes

estructuras: <= , >=, =.

Muchos problemas tienen expresiones características que nos pueden anunciar que tipo

de restricción debemos usar, por ejemplo:

Usar Para expresiones como :<= Como máximo, a lo más, disponibilidad, demanda

máxima.>= Como mínimo, por lo menos, al menos, demanda

mínima.= total, proporción,igualdad

Finalmente las restricciones deben tener las mismas unidades en tanto en su lado

izquierdo como derecho.

La no negatividad de algunas variables son muy importante para definir la solución de

algunos modelos, por lo tanto se dice que todas las variables son >=0.

9

Algunas pautas para resolver Modelos Lineales

Se personalmente que la parte fundamental del curso es la del modelamiento, en algunas

partes se dice que es un arte, pero se que la constancia hace que sea más fácil esta parte

del curso, solo puedo pedirles lo siguiente:

a) Buena comprensión de lectura.

b) Atención a los datos de conversiones ( horas a minutos, kilogramos a libras, etc).

c) Paciencia, no todo sale a la primera vez, la constancia llevara al triunfo.

d) Preguntar lo mas que se pueda, de esa manera despejamos dudas.

Programación Lineal

Formulación

9

En esta parte debemos considerar algo muy importante, hay una variedad de

aplicaciones de modelos lineales, en las siguientes paginas vamos a tratar de considerar

la mayor variedad de modelos lineales y sobre todo de mas aplicación al inicio del

aprendizaje de formulación de modelos lineales.

PROBLEMA 1.1. PRODUCCIÓN EN LINEA

Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene dos departamentos. En el

departamento A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para

fabricar la de un automóvil se precisan 2 días-operario. En el departamento B se invierten

tres días operario tanto en carrocerías de camión como de automóvil. Por limitaciones de

mano de obra y maquinaria, el departamento A dispone de 300 días operario, y el

departamento B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión

son de $6000 y por cada automóvil $2000 ¿cuántas unidades de cada uno se deben

producir para maximizar las ganancias? (Considere que para la producción se debe

utilizar ambos departamentos).

Solución:

En primer lugar ordenamos la información en la siguiente tabla

1. Definición de las variables de decisión:

ix : Número de vehículos del tipo )(2,)(1 automóvilcamióni = a producir.

Camió

n

Automóvi

l

Disponibilidad

Departamento A (Días-

operario)

7 2 300

Departamento B (Días-

operario)

3 3 270

Beneficios ($) 6000 2000

9 * se usa un solo sub índice por que el sistema de producción es en línea.

2. Elaboración de la función objetivo:

El beneficio total se obtiene multiplicando el beneficio por el número de vehículos

producidos. Obteniendo así, un beneficio total de

automovilxautomovilcamionesxcamion ))(/2000($))(/6000($ 21 + . Finalmente

tenemos la siguiente función objetivo:

Maximizar 21 20006000 xxz +=

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:

Restricción de días-operario en el departamento A.

Podemos ver que, sólo disponemos de 300 días-operario en el departamento A;

pero para producir cada camión se necesita de 7 días-operario y para producir

cada automóvil se necesita de 2 días-operario. Por tanto la restricción de días-

operario en el departamento A, queda expresado como: 30027 21 ≤+ xx .

Restricción de días-operario en el departamento B.

Podemos ver que, sólo disponemos de 270 días-operario en el departamento B;

pero para producir cada camión se necesita de 3 días-operario y para producir

cada automóvil se necesita de 3 días-operario. Por tanto la restricción de días-

operario en el departamento A, queda expresado como: 27033 21 ≤+ xx .

Restricciones de no negatividad

Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos,

tenemos que 01 ≥x , 02 ≥x .

Problema 2.-(Producción en línea)La empresa Elit elabora yogurt y jugos a base de mango y durazno, esta empresa compra su materia prima al precio de $0,50 por kilogramo de mango y $0,30 por kilogramo de durazno, las cantidades máximas que puede comprar es de 1600 kilogramos de mango y 2100 kilogramos de durazno.El mercado de venta de yogurt es de 9000 botellas como máximo y para jugo no hay limite, el precio de venta del yogurt y de jugo es de $5 y $3 por cada botella respectivamente; estos datos y otros se dan en la siguiente tabla:

Yogurt Jugos Dispon. Costo

9 Mango 2 kg/botella 3 kg/botella 1600

kg$0.50/kg

Durazno 3 kg/botella 1 kg/botella 2100 kg

$0.30/kg

Venta <=9000 botellas

P.Venta $5/botella $3/botella

Elabore un modelo lineal para la empresa Elit.Solución:

Solución:

Como el producto se elabora a base de magno y durazno, esto permite hacer

uso de la variable con un solo sub-indice.


ix : Cantidad de botellas de 2,1=i (yogurt y jugo respectivamente) a producir.


)(/1

)/3)(/3.0($

)))(/3()(/2)(/5.0($

))(/3($))(/5($max

2

1

21

21

botellaxbotellakg

botellaxbotellakgkg

botellaxbotellakgbotellaxbotellakgkg

botellaxbotellabotellaxbotellaz

+−

+−+=


Restricción de la disponibilidad del mango.

kgbotellaxbotellakgbotellaxbotellakg 1600))(/3())(/2( 21 ≤+ .

Restricción de la disponibilidad del durazno.

kgbotellaxbotellakgbotellaxbotellakg 2100))(/1())(/3( 21 ≤+ .

Restricción de la cantidad de botellas de yogurt.

botellabotellax 90001 ≤ .



tenemos que 0, 21 ≥xx .

Problema 3.- (MEZCLA)Usted a decidido entrar en el negocio de los dulces. Está considerando producir dos tipos de dulces: Easy Out Candy y Slugger Candy , que se componen solamente de azúcar, nueces y chocolate. Actualmente, tiene en bodega 100 onzas de azúcar, 20 oz de nueces y 30 oz de chocolate. La mezcla para producir Easy Out Candy tiene que contener por lo menos 20% de nueces. La mezcla para producir Slugger Candy tiene que contener por lo menos 10% de nueces y por lo menos 10% de chocolate. Cada onza de Easy Out Candy se vende a 25

9 centavos(de dólar), y una onza de Slugger Candy a 20 centavos. Formule un PL que le permita maximizar sus ingresos por la venta de dulces.

Solución:Easy Out Candy Slugger Candy Disponibl

eAzúcar 100 onzasNueces Por lo menos

20%Por lo menos

10%20 onzas

Chocolate Por lo menos 10%

30 onzas

Precio de Venta

$0,25 $0.20


ijx : Cantidad de onzas usadas del ingrediente 3,2,1=i (azúcar, nueces y chocolate

respectivamente) para elaborar el tipo de dulce 2,1=j (Easy Out Candy y

Slugger Candy respectivamente).


Maximizar ozxxxozozxxxozz ))(/2.0($))(/25.0($ 322212312111 +++++=


Restricción de la disponibilidad del azúcar.

ozozxozx 1001211 ≤+ .

Restricción de la disponibilidad de las nueces.

ozozxozx 202221 ≤+ .

Restricción de la disponibilidad de chocolates.

ozozxozx 303231 ≤+ .

Porcentaje de nueces en Easy Out Candy:

ozxxxozx )(2.0 31211121 ++≥

Porcentaje de nueces en Slugger Candy:

ozxxxozx )(1.0 32221222 ++≥

Porcentaje de chocolate en Slugger Candy:

ozxxxozx )(1.0 32221232 ++≥



tenemos que 2,1,3,2,1;0 =∀=∀≥ jixij .

Problema 4.-(Mezcla:componentes indivisibles)

9 Pearce Dears, un antiguo entrenador de grupos de choque, se ha convertido en avicultor. Desea alimentar a sus animales en forma tal que se cubran sus necesidades de nutrición a un costo mínimo. Pearce está estudiando el uso de maíz, soya, avena y alfalfa. En la figura se muestra la información dietética importante por libra de grano (por ejemplo, 1 libra de maíz proporciona 15 miligramos de proteína). Elabore un modelo de PL para determinar la mezcla dietética que satisfará los requisitos diarios a un costo mínimo.

Nutrientes por libra de grano

Nutriente(mg)

Maíz Soya Avena

Alfalfa

Necesidades(mg)

Proteínas 15 30 15 7 Mínimo 50 Calcio 40 10 40 45 Mínimo 150Grasas 20 50 8 25 Máximo120

y Mínimo 25Calorías 850 150

01200 4000 Mínimo 5000

Costo por libra

70 45 40 90

Solución:


ix : Número de libras de 4,3,2,1=i (maíz, soya, avena y alfalfa respectivamente)

a comprar.


El costo total se obtiene multiplicando el costo de cada libra con la cantidad de libras

compradas. Obteniendo así, un costo total de

lbxlblbxlblbxlblbxlb ))(/90($))(/40($))(/45($))(/70($ 4321 +++ . Finalmente


Minimizar 7090404570 4321 xxxxz +++=


Restricción de proteínas.

507153015 4321 ≥+++ xxxx .

Restricción de calcio.

15045401040 4321 ≥+++ xxxx .

Restricción de grasas.

252585020 4321 ≥+++ xxxx .

1202585020 4321 ≤+++ xxxx .

Restricción de calorías.

5000400012001500850 4321 ≥+++ xxxx .

9 Restricciones de no negatividad


tenemos que 0,,, 4321 ≥xxxx .

Problema 5.-(Producción)Ginno Pizza fabrica pizzas congeladas. La compañía obtiene una utilidad de $2.00 por cada pizza normal que fabrica y $3.00 por cada pizza de lujo. Cada artículo incluye una combinación de mezcla de masa y de mezcla de aderezo. En estos momentos, la empresa tiene 320 libras de masa y 200 libras de aderezo. Cada pizza normal utiliza una libra de masa y 6 libras de aderezo. Cada pizza de lujo utiliza una libra de masa y 8 libras de aderezo.Ginno sabe por datos pasados que por cada dos pizzas normal debe fabricar una pizza de lujo además debe tener por política de la empresa por lo menos 20 pizzas normales. Una pizza normal demora 20 minutos y una pizza de lujo demora 30 minutos, actualmente se tiene 8 trabajadores a tiempo normal, Ginno Pizza desea saber ¿cuál es la combinación de pizzas que debe fabricar para obtener un mayor beneficio ? * Tiempo normal= (8h/día)/trabajador Solución:

Pizza Normal

Pizza de lujo

Disponible

Masa 1 lb/pizza 1 lb/pizza 320 lbAderezo 6 lb/pizza 8 lb/pizza 200 lbProporció

n de producció

n

2 1

Política de la

empresa

20

Tiempo 20 minutos/pi

zza

30 minutos/pi

zza

(8trabajadores)*(8h/trabajadore

s)(60 minutos/hora)

Precio de venta

$2/pizza $3/pizza

Función Objetivo :Max ($2.00/pizza normal)(X1 pizza normal) + ($3.00/pizza de lujo)(X2 pizza de lujo)sujeto a:

Restricción de disponibilidad de masa:(1 libra/pizza normal)(X1 pizza normal) +(1 libra/pizza de lujo)(X2 pizza de lujo) <= 320 lb

Restricción de disponibilidad de aderezo:(6 libras/pizza normal)(X1 pizza normal) +(8 libras/pizza de lujo)(X2 pizza de lujo)<= 200 lb

Restricción de proporción de Producción: (X1 Pizza Normal/ X2 Pizza de lujo) = 2 / 1

Restricción por política de la empresa: (X1 pizzas Normal) >= 20 pizzas

Restricción de Tiempo:

9 (20 minutos/pizza normal) +(30 minutos/pizza de lujo) <=8trabajadores(8h/trabajador)(60 minutos/h)

Restricción de proporción de Producción: ( X1 Pizza Normal/ X2 Pizza Lujo) = 2/1Restricción de no negatividad: X1>=0 , X2 >= 0

Problema 6.-(PERSONAL)Un cierto restaurante opera 7 días a la semana. A las camareras se les contrata para trabajar 6 horas diarias. El contrato del sindicato especifica que cada camarera tiene que trabajar 5 días consecutivos y después tener 2 días consecutivos de descanso . Cada camarera recibe el mismo sueldo semanal. En la tabla se presentan las necesidades de contratación. Supóngase que este ciclo de necesidades se repite en forma indefinida y no toma en cuenta el hecho de que el número de camareras contratadas tiene que ser un número entero. El gerente desea encontrar un programa de empleo que satisfaga estas necesidades a un costo mínimo. Formule este problema como un programa lineal.Necesidades de contratación de camareras

Día Mínima cantidad de horas

Lunes 150Martes 200

Miércoles

400

Jueves 300Viernes 700Sábado 800

Domingo 300

Solución:Variable de decisión:

Xi= Camareras que ingresan el día i ( i = lunes, martes, miércoles, jueves, sábado,

domingo = l, m, mi, j, v, s, d).

Función Objetivo:

Minimizar = XL+XM+XMI+XJ+XV+XS+XD

Restricciones:

Lunes :

Martes :

Miércoles:

9

Jueves:

Viernes:

Sábado :

Domingo:

No negatividad:

Xi>=0

Problema 7.- (Asignación)Se desea asignar 3 obreros a 3 maquinas, los costos por asignación son:

Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3Obrero 1

4 5 7

Obrero 2

5 3 6

Obrero 3

6 7 5

¿cómo distribuir los obreros para lograr el menor costo posible?Solución:Variable de Decisión:Xij = Obrero i(i=1,2,3) asignado a la maquina j(j=1,2,3)

Min=4x11+5x12+7x13+5x21+3x22+6x23+6x31+7x32+5x33Sujeto a:Obrero 1: x11+x12+x13=1Obrero 2:x21+x22+x23=1Obrero 3: x31+x32+x33=1Maquina 1: x11+x21+x31=1Maquina 2: x21+x22+x32=1Maquina 3: x31+x32+x33=1No negatividad:Xij>=0

Problema 8.-(Problema de transporte)Se tiene tres plantas de producción, estos desean saber como enviar sus productos a tres mercados, las ganancias que logran por cada unidad en cada mercado se dan en la tabla:

Mercado: DisponibleLocal Regional Extranjero Disponible

Danper $22/ud $24/ud $22/ud 6896 kg / díaTalsa $ 19/ud $22/ud $20/ud 6495 kg / díaGreen Peru

$20/ud $21/ud $22/ud 6173 kg / día

Demanda 4911 kg/dia 6763 kg/dia 6789 kg/dia

9 Variable de decisión:Xij= Cantidad de docenas a enviar desde i(i= Danper, Talsa, Green Perú =1,2,3) al cliente j(j=local,regional,extranjero=1,2,3)Función Objetivo:Max=22x11+24x12+22x13+19x21+22x22+20x23+20x31+21x32+22x33

LimitantesDanperX11+x12+x13<=6896TalsaX21+x22+x23<=6495Green PerúX31+x32+x33<=6173LocalX11+x21+x31=4911RegionalX12+x22+x32=6763ExtranjeroX13+x23+x33=6789No negatividadXij>=0

Problema 9.-(Producción)Una empresa ha decidido lanzar tres nuevos productos. Se muestran las capacidades de las plantas y los costos de producción. Identifique las variables de decisión y elabore un modelo PL que asigne la producción de los tres productos a las dos plantas en forma tal que cubran la demanda y minimicen los costos . Costos unitarios de producción

PRODUCTOPLANTA A B C CAPACIDAD1 $9/UNID $18 $12 5002 13 18 7 650DEMANDA 400 250 350

Solución:Variable de decisión:xij= numero de productos tipo i (i= a,b,c) elaborado en la planta j(j=1,2)

Funcion Objetivo:Minimizar ($9/unid)(xa1 unid) + ($18/unid)(xb1 unid) + ($12/unid)(xc1 unid)+ ($13/unid)(xa2 unid) + ($18/unid)(xb2 unid) + ($7/unid)(xc2 unid)

Restricciones:Capacidad:Planta 1(xa1 + xb1 + xc1) unid <= 500 unid

Planta 2(xa2 + xb2 + xc2) unid <= 650 unid

Demanda:Producto A:(xa1 + xa2) unid = 400 unidProducto B:(xb1 + xb2) unid = 250 unidProducto C:

9 (xc1 + xc2) unid = 350 unidNo negatividadXij>=0

LABORATORIO 1.

Problema 1.-Un problema de producción.La compañía Swelte glove manufactura y vende dos productos. La compañía obtiene una utilidad de $12 por unidad del producto 1 y $4 por unidad del producto 2 que se vendan. Las horas de trabajo que se requieren para los productos en cada uno de los tres departamentos de producción se sintetizan en la figura. Los supervisores de estos departamentos han estimado que durante el próximo mes estarán disponibles las siguientes horas de trabajo: 800 en el departamento 1, 600 en el departamento 2, y 200 en el departamento 3. Suponiendo que la compañía quiera maximizar las utilidades, formule el modelo de programación lineal de este problema. Datos de producción de la compañía Swelte Glove

Producto(h/unidad)1 2

Dpto. 1 1 2Dpto. 2 1 3Dpto. 3 2 3

(trabajar como el problema 1)

Problema 2.-

9 En la empresa agroindustrial San Jacinto, se produce: azúcar rubia, azúcar blanca y alcohol. Para producir dichos elementos, se requieren los siguientes recursos: caña de azúcar, agua, químicos, horno y mano de obra.Recursos Az. Blanca Az. Rubia Alcohol Disponible CostoCaña Az. 12 tn/ unid 10 tn/ unid 5 tn/ unid 800 tn/ día 1.0 $/ tnAgua 30 lt/ unid 25 lt/ unid 15 lt/ unid 1000 lt/ día 0.2 $/ ltQuímicos 5 kg/ unid 2 kg/ unid 7 kg/ unid 500 kg/ día 0.5 $/ kgHorno 6 hr/ unid 5 hr/ unid 8 hr/ unid 140 hr/ día 0.6 $/ hrMano Obra 6 hr/ unid 4 hr/ unid 3 hr/ unid 400 hr/ día 0.4 $/ hrPrecio venta

60 $/ unid 50 $/ unid 55 $/ unid

(trabajar como el problema 2)

Problema 3.-Considere le problema 3 con las condiciones adicionales (* ) :

Easy Out Candy Slugger Candy Disponible

Azúcar * Como máximo 15%

* Como minimo 5%

100 onzas

Nueces Por lo menos 20% Por lo menos 10% 20 onzasChocolate * Por lo menos 5% Por lo menos 10% 30 onzasPrecio de

Venta$0,25 $0.20

Problema 4.- Modifique le problema 4 según lo siguiente:

Nutriente(mg)

Maiz Soya Avena

Alfalfa

Necesidades(mg)

Proteina 15 30 15 7 Máximo 150 Calcio 40 10 40 45 Máximo 300

Mínimo 150Grasas 20 50 8 25 Máximo 120 y Mínimo

25Calorías 850 150

01200 4000 Mínimo 5000

Máximo 8000* Ganancia por libra

70 45 40 90

Problema 5.- Resuelva el problema 5 considerando el costo de materia prima: Pizza

NormalPizza de

lujoDisponible Costo

Masa 1 lb/pizza 1 lb/pizza 320 lb $0,04/lbAderezo 6 lb/pizza 8 lb/pizza 200 lb $0,05/lb

Proporción de

producción

2 1

Política de la

empresa

20

9 Tiempo 20 minutos

/pizza30

minutos/pizza

(8trabajadores)

(8h/trabajadores)(60

minutos/hora)

Precio de venta

$2/pizza $3/pizza

Problema 6.-Considere el problema 6 si en lugar de:El contrato del sindicato especifica que cada camarera tiene que trabajar 5 días consecutivos y después tener 2 días consecutivos de descanso.Se considera ahora:El contrato del sindicato especifica que cada camarera tiene que trabajar 4 días consecutivos y después tener 3 días consecutivos de descanso.

Problema 7.- (Asignación)Tome en cuenta el problema si en lugar de:“Se desea asignar 3 obreros a 3 maquinas “, se tiene lo siguiente:“Se desea asignar 3 obreros a 2 maquinas”

Problema 8.-(Problema de transporte)Se tiene tres plantas de producción, estos desean saber como enviar sus productos a tres mercados, las ganancias que logran por cada unidad en cada mercado se dan en la tabla:

Mercado: DisponibleLocal Regional Extranjero Disponible

Danper $22/ud $24/ud $22/ud 3000 kg / díaTalsa $ 19/ud $22/ud $20/ud 3200 kg / díaGreen Peru

$20/ud $21/ud $22/ud 3300 kg / día

Demanda 5000 kg/dia 4000 kg/dia 5000 kg/dia

Problema 9.-Una empresa ha decidido lanzar tres nuevos productos. Se muestran las capacidades de las plantas y las ganancias de producción. Identifique las variables de decisión y elabore un modelo PL que asigne la producción de los tres productos a las dos plantas en forma tal que cubran la demanda . ganancia unitaria de producción

PRODUCTOPLANTA A B C CAPACIDAD1 $9/UNID $18 $12 4002 13 18 7 350DEMANDA 200 450 300

9

NIVEL B

PROBLEMA 1 INVERSIÓN

Una persona tiene S/500.000 para invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene

bastante riesgo con un interés anual del 10% y el tipo B es bastante seguro con un

interés anual del 7%. Decide invertir como máximo S/300000 en A y como mínimo

S/100000 en B, e invertir en A por lo menos tanto como en B. ¿Cómo deberá invertir sus

S/500.000 para maximizar sus intereses anuales?

Solución:


Acciones

A

Acciones

B

Disponibilidad

Interés0.1 0.07 40

Inversión 300000

(Máximo)

100000

(Mínimo)

60

Dinero

($)

500000

9


ix : Cantidad de dinero a invertir en acciones del tipo BAi ,= .


El interés total se obtiene multiplicando el interés de cada acción con la cantidad de

acciones compradas. Obteniendo así, un interés total de BA xx 07.01.0 + . Finalmente


Maximizar BA xxz 07.01.0 +=


Restricción de dinero máximo de inversión en las acciones A.

300000≤Ax .

Restricción de dinero mínimo de inversión en las acciones B.

100000≥Bx .

Invertir en A por lo menos tanto como en B

BA xx ≥ .

Restricción de disponibilidad de dinero.

500000≤+ BA xx .



tenemos que 0≥Ax , 0≥Bx .

PROBLEMA 2 ENCUESTA

Para realizar una encuesta por teléfono, un grupo de investigación de mercado necesita

comunicar por lo menos a 150 esposas, 120 maridos, 100 varones adultos solteros y 110

mujeres adultas solteras. Cuesta $2 realizar una llamada telefónica durante el día, y $5

realizar una llamada telefónica durante la noche (debido a mayores costos laborales).

Estos resultados se muestran en la tabla. Se pueden realizar a lo más la mitad de estas

llamadas en la noche, por disponer de un número limitado de empleados. Formule un PL

que minimice los costos para completar la encuesta.

Persona que % de llamadas % de llamadas

9 contesta diurnas nocturnas

Esposa 30 30Marido 10 30Soltero 10 15Soltera 10 20No contestan 40 5

Solución:


ix : Número de llamadas realizadas en horario 2,1=i (diurno y noche

respectivamente).


El costo total por las llamadas realizadas se obtiene multiplicando el costo de cada

llamada según el horario por la cantidad de llamadas realizadas. Obteniendo así, un

costo total de llamadaxllamadallamadaxllamada ))(/5($))(/2($ 21 + . Finalmente


Minimizar 21 52 xxz +=


Restricción de esposas encuestadas.

1503.03.0 21 ≥+ xx .

Restricción de maridos encuestados.

1203.01.0 21 ≥+ xx .

Restricción de solteros encuestados.

1102.01.0 21 ≥+ xx .

Restricción realizar a lo más la mitad de estas llamadas en la noche.

221

2xx

x+≤ .




PROBLEMA 3 COMPRA

Un hipermercado necesita como mínimo 16 cajas de langostino, 5 cajas de nécoras y 20

de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus

necesidades, pero sólo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A

envía en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de nécoras y 2 de percebes. Por su

parte, B envía en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que

9 suministra A cuesta S/210, mientras que los del mayorista B cuestan S/300 cada uno.

¿Cuántos contenedores deben pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer

sus necesidades mínimas con el menor coste posible?

Solución:


Contenedor A Contenedor B Necesidad

Langostino

8 cajas/contenedor 2cajas/contenedor 16 cajas

Nécoras 1 cajas/contenedor 1cajas/contenedor 5 cajas

Percebes 2 cajas/contenedor 7cajas/contenedor 20 cajas

Costo (S) 210/contenedor 300/contenedor


ix : Cantidad de contenedores del tipo BAi ,= a solicitar.


Minimizar contenedorxcontenedorcontenedorxcontenedorz ))(/300($))(/210($ 21 +=


Restricción de langostinos.

cajascontenedorxcontenedorcajascontenedorxcontenedorcajas 16))(/2())(/8( 21 ≥+

.

Restricción de nécoras.

cajascontenedorxcontenedorcajascontenedorxcontenedorcajas 20))(/7())(/2( 21 ≥+

.




9

Problema 4 Inventarios

Uno de los productos con mayor demanda en “Tecnologías Palermo “, es el tonner,(es un producto que se usa en las fotocopiadoras) ; entonces el modelo mixto que se va a elaborar se refiere a este producto, que en las ultimas doce semanas, según datos de la propia empresa ha mantenido su demanda, entonces primero se va a realizar un pronóstico para la demanda del próximo mes :Pronostico para calcular la demande del próximo mes

Semana Demanda1 402 403 404 40

Ahora otros Datos a considerar son:Precio de venta: s/ 20 / unidadCosto de Escasez: s/ 6 /unidadCosto de Inventario: s/ 0.50/unidadCosto de compra : s/ 14/unidadInventario inicial: 10 unidadesCosto Fijo de Inventario s/ 1

Cantidad de unidad posibles a quedar en inventario:

Semana 1 3 5 7 9

Semana 2 4 5 6 7Semana 3 5 6 7 8Semana 4 10 12 14 16

Según los datos obtenidos, un modelo de programación entera mixta aplicado a inventarios nos ayuda a determinar como va a estar desempeñándose óptimamente el sistema en las próximas cuatro semanas.El objetivo es maximizar la utilidad.

Modelo PLVariables:Vi= Numero de unidades vendidas durante la semana i (i=1,2,3,4)Ei= Numero de unidades en escasez durante la semana i (i=1,2,3,4)IFi= Numero de unidades en inventario durante la semana i(i=1,2,3,4)Ci= Numero de unidades compradas durante la semana i(i=1,2,3,4)Yij= 1 Unidades en inventario final en la semana i(i=1,2,3,4) en la opción j(j=1,2,3,4) 0 Unidades en inventario final en la semana i(i=1,2,3,4) en la opción j(j=1,2,3,4)Zi = 1 Se usa inventario en la semana i(i=1,2,3,4)

0 no se usa inventario

Formulas a usar:

Inventario Final: If = Io + C - VDemanda : D = V + E

Función Objetivo:

9 Max = 20v1+20v2+20v3+20v4-6E1-6E2-6E3-6E4-0.5IF1-0.50IF2-0.50IF3-0.50IF4-14C1-14C2-14C3-14C4-1z1-1z2-1z3-1z4

Limitantes:Inventario semana 1IF1=10+C1-V1Demanda pronosticada semana 1V1+E1=40Inventario semana 2IF2=If1+C2-V2Demanda pronosticada semana 2V2+E2=40Inventario semana 3IF3= If2+C3-V3Demanda pronosticada semana 3V3+E3=40Inventario semana 4IF4= If3+C4-V4Demanda pronosticada semana 4V4+E4=40Inventario Final al final de la semana 1IF1>=3y11+5y12+7y13+9y14Y11+y12+y13+y14=1z1Inventario Final al final de la semana 2IF2>=4y21+5y22+6y23+7y24Y21+y22+y23+y24=1z2Inventario Final al final de la semana 3IF3>=5y31+6y32+7y33+8y34Y31+y32+y33+y34=1z3Inventario Final al final de la semana 4IF4>=10y41+12y42+14y43+16y44Y41+y42+y43+y44=1z4Unidades a Comprar en la semana 1c1<=30Unidades a Comprar en la semana 2c2<=60Unidades a Comprar en la semana 3c3<=40Unidades a Comprar en la semana 4c4<=50Unidades en inventario final en la semana 1if1>=5Unidades en inventario final en la semana 2if2>=5Unidades en inventario final en la semana 3if3>=5Unidades en inventario final en la semana 4if4>=5

9

Pasando a forma de ingreso a LINDO

Max 20v1+20v2+20v3+20v4-6E1-6E2-6E3-6E4-0.5IF1-0.50IF2-0.50IF3-0.50IF4-14C1-14C2-14C3-14C4-1z1-1z2-1z3-1z4ST IF1+V1-C1=10V1+E1=40IF2+V2-C2-IF1=0V2+E2=40IF3+V3-C3-IF2=0V3+E3=40IF4+V4-C4-IF3=0V4+E4=4010y11+15y12+17y13+19y14-if1=0Y11+y12+y13+y14-1z1=014y21+15y22+16y23+17y24-if2=0Y21+y22+y23+y24-1z2=015y31+16y32+17y33+18y34-if3=0Y31+y32+y33+y34-1z3=010y41+12y42+14y43+16y44-if4=0Y41+y42+y43+y44-1z4=0c1<=30c2<=60c3<=40c4<=50if1>=5if2>=5if3>=5if4>=5

endint y11int y12int y13int y14int z1int y21int y22int y23int y24int z2int y31int y32int y33int y34int z3

int y41int y42int y43int y44int z4

9 OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 811.0000 utilidad maxima

VARIABLE VALUE REDUCED COST Y11 1.000000 125.000000 Se usa inventario en la semana 1 en opción 1 Y12 0.000000 187.500000 Se usa inventario en la semana 1 en opción 2 Y13 0.000000 212.500000 Se usa inventario en la semana 1 en opción 3 Y14 0.000000 237.500000 Se usa inventario en la semana 1 en opción 4 Z1 1.000000 1.000000 Se usa inventario en la semana 1 Y21 0.000000 0.000000 Y22 1.000000 0.000000 Se usa inventario en la semana 2 en opción 2 Y23 0.000000 0.000000 Y24 0.000000 0.000000 Z2 1.000000 1.000000 Se usa inventario en la semana 2 Y31 1.000000 15.000000 Se usa inventario en la semana 3 en opción 1 Y32 0.000000 16.000000 Y33 0.000000 17.000000 Se usa inventario en la semana 3 en opción 3 Y34 0.000000 18.000000 Z3 1.000000 1.000000 Se usa inventario en la semana 3 Y41 1.000000 145.000000 Se usa inventario en la semana 4 en opción 1 Y42 0.000000 174.000000 Se usa inventario en la semana 4 en opción 2 Y43 0.000000 203.000000 Se usa inventario en la semana 4 en opción 3 Y44 0.000000 232.000000 Se usa inventario en la semana 4 en opción 4 Z4 1.000000 1.000000 Se usa inventario en la semana 4 V1 30.000000 0.000000 venta de 30 unidades en la semana 1 V2 40.000000 0.000000 venta de 40 unidades en la semana 2 V3 40.000000 0.000000 venta de 40 unidades en la semana 4 V4 40.000000 0.000000 venta de 40 unidades en la semana 5 E1 10.000000 0.000000 Unidades en escasez en la semana 1 E2 0.000000 12.000000 Unidades en escasez en la semana 2 E3 0.000000 11.500000 Unidades en escasez en la semana 3 E4 0.000000 12.000000 Unidades compradas en la semana 4 IF1 10.000000 0.000000 Inventario de 10 unidades en la semana 1 IF2 15.000000 0.000000 Inventario de 15 unidades en la semana 2 IF3 15.000000 0.000000 Inventario de 15 unidades en la semana 3 IF4 10.000000 0.000000 Inventario de 10 unidades en la semana 4 C1 30.000000 0.000000 30 Unidades compradas en la semana 1 C2 45.000000 0.000000 45 Unidades compradas en la semana 2 C3 40.000000 0.000000 40 Unidades compradas en la semana 3 C4 35.000000 0.000000 35 Unidades compradas en la semana 4

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 26.000000 3) 0.000000 -6.000000 4) 0.000000 14.000000 5) 0.000000 6.000000 6) 0.000000 14.500000 7) 0.000000 5.500000 8) 0.000000 14.000000 9) 0.000000 6.000000 10) 0.000000 12.500000 11) 0.000000 0.000000 12) 0.000000 0.000000 13) 0.000000 0.000000 14) 0.000000 1.000000 15) 0.000000 0.000000

9 16) 0.000000 14.500000 17) 0.000000 0.000000 18) 0.000000 12.000000 19) 15.000000 0.000000 20) 0.000000 0.500000 21) 15.000000 0.000000 22) 5.000000 0.000000 23) 10.000000 0.000000 24) 10.000000 0.000000 25) 5.000000 0.000000

PROBLEMA 5.-( producción de ensamblaje ) Se va a elaborar un producto a base de tres componentes que se producen en tres diferentes departamentos, disponiendo con los siguientes datos. El objetivo es determinar el número de horas de cada departamento a ser asignadas a cada parte, para maximizar el número de unidades completas del producto final. Formule como un modelo de Programación lineal.

Departamento Capacidad(horas)

Tasa de Producción (unid/h) C 1 C 2 C 3

1 250 12 10 182 300 9 12 113 260 10 5 12

Variable de decisión:Xij= Numero de horas a laborar para la producción del componente i(i=1,2,3)en el departamento j(j=1,2,3).

Función Objetivo:Maximizar producción

Maximizar =P

Restricciones:

Numero de unidades del componente 1:12X11 + 9X12+10X13= P

Numero de unidades del componente 2: 10X21 + 12X22 +5X23= P

Numero de unidades del componente 3: 18X31 + 11X32 + 12X33=P

Capacidad de horas del departamento 1:X11 + X21+ X31<= 250

Capacidad de horas del departamento 2:X12 + X22 + X32 <= 300

Capacidad de horas del departamento 3:X13 + X23 + X33 <= 360

TRANSPORTE

9 Se tiene que distribuir un producto a 6 clientes utilizando cualesquiera de 5 camiones. Los datos de costos de traslado de cada camión a cada cliente son:

Cliente A

Cliente B

Cliente C

Cliente D

Cliente E Cliente F Capacidad(TN)

Camión 1 $15 $12 $17 $21 $16 $18 1.5Camion 2 $17 $15 $16 $19 $18 $15 2Camion 3 $21 $20 $14 $13 $17 $19 1Camión 4 $18 $15 $17 $19 $15 $17 2Camión 5 $20 $18 $16 $17 $14 $19 1.5Demanda(TN)

0.2 0.5 0.8 1.5 0.9 1.2

Existe un costo fijo de $50 para los camiones 1,2 y 4 y de $30 para camiones 3 y 5 por cada viaje realizado. En cada viaje un camión puede llevar pedidos para varios clientes, pero no puede llevar pedidos parciales. Formule un modelo de PLE si cada camión puede visitar hasta tres clientes.

Cliente A Cliente B

Cliente C

Cliente D

Cliente E Cliente F

Capacidad(TN)

CostoFijo

Camión 1

$15 y1a

$12 y1b $17 y1c $21 y1d $16 y1e $18 y1f 1.5 $50 y1

Camion 2

$17 y2a $15 y2b $16 y2c $19 y2d $18 y2e $15 y2f 2 $50 y2

Camion 3

$21 y3a $20 y3b $14 y3c $13 y3d $17 y3e $19 y3f 1 $30 y3

Camión 4

$18 y4a $15 y4b $17 y4c $19 y4d $15 y4e $17 y4f 2 $50 y4

Camión 5

$20 y5a $18 y5b $16 y5c $17 y5d $14 y5e $19 y5f 1.5 $30 y5

Demanda(TN)

0.2 0.5 0.8 1.5 0.9 1.2

Variables:Yij 1 Camión i(i=1,2,3,4,5) atiende al cliente j (j=a,b,c,d,e,f)

0 Camión i(i=1,2,3,4,5) no atiende al cliente j (j=a,b,c,d,e,f)

Yi 1 Se usa camión i(i=1,2,3,4,5) 0 No se usa Camión i(i=1,2,3,4,5)

Min 15y1a+12y1b+17y1c+21y1d+16y1e+18y1f +17y2a+15y2b+16y2c+19y2d+18y2e+15y2f +21y3a+20y3b+14y3c+13y3d+17y3e+19y3f +18y4a+15y4b+17y4c+19y4d+15y4e+17y4f +20y5a+18y5b+16y5c+17y5d+14y5e+19y5f +50y1+50y2+30y3+50y4+30y5

y1a+y2a+y3a+y4a+y5a=1 y1b+y2b+y3b+y4b+y5b=1 y1c+y2c+y3c+y4c+y5c=1 y1d+y2d+y3d+y4d+y5d=1 y1e+y2e+y3e+y4e+y5e=1

9 y1f+y2f+y3f+y4f+y5f=10.2y1a+0.5y1b+0.8y1c+1.5y1d+0.9y1e+1.2y1f<=1.5y10.2y2a+0.5y2b+0.8y2c+1.5y2d+0.9y2e+1.2y2f<=2y20.2y3a+0.5y3b+0.8y3c+1.5y3d+0.9y3e+1.2y3f<=1y30.2y4a+0.5y4b+0.8y4c+1.5y4d+0.9y4e+1.2y4f<=2y40.2y5a+0.5y5b+0.8y5c+1.5y5d+0.9y5e+1.2y5f<=1.5y5

LINDOMin 15y1a+12y1b+17y1c+21y1d+16y1e+18y1f +17y2a+15y2b+16y2c+19y2d+18y2e+15y2f +21y3a+20y3b+14y3c+13y3d+17y3e+19y3f +18y4a+15y4b+17y4c+19y4d+15y4e+17y4f +20y5a+18y5b+16y5c+17y5d+14y5e+19y5f +50y1+50y2+30y3+50y4+30y5st y1a+y2a+y3a+y4a+y5a=1 y1b+y2b+y3b+y4b+y5b=1 y1c+y2c+y3c+y4c+y5c=1 y1d+y2d+y3d+y4d+y5d=1 y1e+y2e+y3e+y4e+y5e=1 y1f+y2f+y3f+y4f+y5f=10.2y1a+0.5y1b+0.8y1c+1.5y1d+0.9y1e+1.2y1f-1.5y1<=00.2y2a+0.5y2b+0.8y2c+1.5y2d+0.9y2e+1.2y2f-2y2<=00.2y3a+0.5y3b+0.8y3c+1.5y3d+0.9y3e+1.2y3f-1y3<=00.2y4a+0.5y4b+0.8y4c+1.5y4d+0.9y4e+1.2y4f-2y4<=00.2y5a+0.5y5b+0.8y5c+1.5y5d+0.9y5e+1.2y5f-1.5y5<=0endint y1aint y1bint y1cint y1dint y1eint y1f

int y2aint y2bint y2cint y2dint y2eint y2fint y3aint y3bint y3cint y3dint y3eint y3fint y4aint y4bint y4cint y4dint y4eint y4fint y5aint y5bint y5c

9 int y5dint y5eint y5f

int y1int y2int y3int y4int y5

SOLUCION

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 226.0000

VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1A 0.000000 15.000000 Y1B 0.000000 12.000000 Y1C 0.000000 17.000000 Y1D 0.000000 21.000000 Y1E 0.000000 16.000000 Y1F 0.000000 18.000000 Y2A 0.000000 17.000000 Y2B 0.000000 15.000000 Y2C 1.000000 16.000000 Y2D 0.000000 19.000000 Y2E 0.000000 18.000000 Y2F 1.000000 15.000000 Y3A 0.000000 21.000000 Y3B 0.000000 20.000000 Y3C 0.000000 14.000000 Y3D 0.000000 13.000000 Y3E 0.000000 17.000000 Y3F 0.000000 19.000000 Y4A 1.000000 18.000000 Y4B 1.000000 15.000000 Y4C 0.000000 17.000000 Y4D 0.000000 19.000000 Y4E 1.000000 15.000000 Y4F 0.000000 17.000000 Y5A 0.000000 20.000000 Y5B 0.000000 18.000000 Y5C 0.000000 16.000000 Y5D 1.000000 17.000000 Y5E 0.000000 14.000000 Y5F 0.000000 19.000000 Y1 0.000000 50.000000 Y2 1.000000 50.000000 Y3 0.000000 30.000000 Y4 1.000000 50.000000 Y5 1.000000 30.000000

9

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 0.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 0.000000 0.000000 11) 0.400000 0.000000 12) 0.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 31 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0

Respuesta Costo minima 226. Y2C = 1,camión 2 abastece al cliente C Y2F =1, camión 2 abastece al cliente F. Y4A =1,camión 4 abastece al cliente A. Y4B = 1,camión 4 abastece al cliente B. Y4E =1,camión 4 abastece al cliente E Y5D = 1,camión 5 abastece al cliente D. Y2 = 1,se usa camión 2. Y4 =1,se usa camión 4. Y5 =1,se usa camión 5.

Gripe porcina dispara la demanda de mascarillas

Las farmacias están comprando más medicamentos antivirales y desinfectantes de manos, mientras que los fabricantes de mascarillas están aumentando la producción para satisfacer la demanda conforme crece la inquietud por la propagación de la gripe porcina. 3M Co. y Alpha Pro Tech Ltd. están fabricando más mascarillas.3M ha aumentado la producción mundial de mascarillas de respiración en respuesta a la epidemia de gripe porcina, dijo Jacqueline Berry, portavoz de la empresa de Minnesota, en una entrevista telefónica. ''Tenemos demanda de agencias gubernamentales y hospitales en todo el mundo'', dijo Berry, quien se negó a proporcionar números. 3M Co. y Alpha Pro Tech Ltd tienen capacidad de producción de 2000000 y 3000000 mascarillas, de su producción de cada fabrica el (55) % puede ser destinado al Perú, que según se pronostica demandaría 800000 mascarillas para niños, 1000000 mascarillas para jóvenes y 1200000 mascarillas para adultos.El costo de cada mascarilla vendida por ·M Co. es de $2, $3 y $4 para el tipo niños, jóvenes y adultos, de otro lado y Alpha Pro Tech Ltd tiene los costos de $1.5, $2.8 y $4.2 para el tipo niños, jóvenes y adultos. El precio de venta al publico será (6+x)% por encima de su costo.

9 EL costo del pedido ah 3M Co. y Alpha Pro Tech Ltd tendría un costo de $2000 y $2300 por transporte hacia Perú. Si en caso no se cubra la demanda se considera un costo de $100 por cada mascarilla independiente sea destinado a niño, joven o adulto. Elabore un PLE si el gobierno peruano desea elegir solo una empresa para la compra.Hallar:

a) Variables de decisión ( 1 puntos)

b) Limitantes ( 1 puntos)

c) Función objetivo. (1 puntos)

d) Solución en LINGO. ( 2 puntos)

e) Interpretación de LINGO.(2 punto)

Niños Jóvenes Adultos Oferta Costo

·M Co 2 3 4 2000000*0.55

2000

Alpha 1.5 2.8 4.2 3000000*0.55

2300

Penalidad 100 100 100 250000

Demanda 80000 1000000 1200000

Paso 1

Xij Cantidad de mascaras de tipo i(i= ·M Co,Alpha,penalidad=1,2,3) de tipo j(j=niños,jóvenes, adultos=1,2,3)

Paso 2

Y1+y2=1

X11+x12+x13<=2000000*0.55*y1

X21+x22+x23<=3000000*0.55*y2

X11+x21+x31=80000

X12+x22+x32=1000000

X13+x23+x33=1200000

Paso 3

9 Max 1.06(2x11+3x12+4x13+1.5x21+2.8x22+4.2x23)-2000y1-2300y2

-100x31-100x32-100x33

Caso Plan de Producción

Como se menciono, la empresa se dedica a la fabricación de bebidas gaseosas, siendo

las presentaciones comercializadas las que se demuestran a continuación:

Tabla 1 Presentación de las bebidas gaseosas

La empresa en estudio cuenta con una planta de producción que opera las 48 horas a la

semana. Esta planta tiene una capacidad de producción de 160,000 caja/mes.

El proceso de fabricación de estos productos se lleva a cabo en dos etapas (Áreas de

trabajo)

1. En el Dpto. de Elaboración se realiza la preparación de jarabes el mismo que cuenta

con 4 trabajadores permanentes.

2. En el Dpto. de Envasado se realiza trabajos inherentes al proceso de envasado y

presentación final del producto. Este Dpto. cuenta con 15 trabajadores. Las horas

requeridas en ambos departamentos para producir 1000 cajas de cada uno de los

productos mencionados en la tabla 1,se muestran en la tabla 2.

Tipo de bebida PresentaciónGaseosa de 2.65 Lt Caja de 12 unidadesGaseosa de 1.75 Lt Caja de 12 unidadesGaseosa de 0.60 Lt Caja de 12 unidadesGaseosa de 0.296Lt Caja de 24 unidades

2.65 lt 1.75 lt 0.60 lt 0.296 ltDpto

Elaboración

2,65 1,75 1,75 1,07

Dpto

Envasado

4,41 2,91 1,29 1,78

9 Tabla 2: requerimientos horas/1000 cajas

La demanda proyectada máxima para el mes de Julio se muestra en la siguiente tabla:

Tabla 3: Demanda proyectada máxima para el mes de Julio

El Dpto. de Contabilidad de la empresa estima un margen de ganancia para cada

producto,de:

Tabla 4: Margen

de ganancia por

producto

La Gerencia ha

solicitado determinar el Plan de Producción semanal óptimo para el siguiente mes.

6.- Hipótesis

Un modelo de Programación lineal aplicado al plan de producción va a permitir a Coca

Cola obtener una máxima ganancia.

7.-Objetivo:

Elaborar un Plan de Producción basado en Modelos Lineales.

8.-Descripción del Trabajo:

Se va a elaborar un modelo lineal para hallar el mejor plan de producción:

Tipo de bebida DemandaGaseosa de 2,65 lt 10 552 cajas/mesGaseosa de 1,75 lt 40 556 cajas/mesGaseosa de 0,60 lt 56 712 cajas/mesGaseosa de 0,296 lt 56 880 cajas/mesTotal 164 700 cajas/mes

Tipo de bebida Margen de GananciaGaseosa de 2,65 lt s/ 1,38 / cajaGaseosa de 1,75 lt s/ 1,22 /cajaGaseosa de 0,60 lt s/ 1,02/cajaGaseosa de 0,296 lt s/ 1,05 /cajaTotal

9 Para lo cual se va a considerar como variable de decisión la cantidad de cajas de cada

tipo a producir.

La función objetivo a considerar ser al de maximización por tener utilidades.

Las restricciones a tomar en cuenta son:

Demanda máxima

Tiempo de producción semanal en el departamento de elaboración

Tiempo de producción semanal en el departamento de envasado

Capacidad de producción

9.-Planteamiento:

Modelo LinealVariable de Decisión:

xij= Cantidad de cajas a producir de gaseosa tipo j(j=COCA COLA de 2.65 lt,COCA COLA

de 1.75 lt,COCA COLA de 0.60 lt, COCA COLA de 0.296 lt=1,2,3,4) en la semana

j(j=1,2,3,4)

Función Objetivo:

max=(S/1.38/caja)(x11+x12+x13+x14)cajas

+(S/1.22/caja)(x21+x22+x23+x24)cajas+(S/1.02/caja)(x31+x32+x33+x34)cajas

+(S/1.05/caja)(x41+x42+x43+x44)cajas;

Restricciones:

Demanda Máxima de:

gaseosas COCA COLA de 2.65 Lt.

(x11+x12+x13+x14)cajas<=10552 cajas;

gaseosas COCA COLA de 1.75 Lt

(x21+x22+x23+x24)cajas<=40556cajas;


(x31+x32+x33+x34)cajas<=56712cajas


(x41+x42+x43+x44)cajas<=56880cajas

Tiempo de producción en el departamento de elaboración en la semana 1:

(2.65h/caja)(x11 caja)+(1.75 h/caja)(x21 caja)+(1.17 h/caja)(x31 caja)

+(1.07 h/caja)(x41 caja)<=48000 horas


(2.65 h/caja)(x12 caja)+(1.75 h/caja)(x22 caja)+(1.17 h/caja)(x32 caja)+(1.07 h/caja)(x42

caja)<=48000 horas


(2.65 h/caja)(x13 caja)+(1.75 h/caja)(x23 caja)+(1.17 h/caja)(x33 caja)

+(1.07 h/caja)(x43 caja)<=48000horas

9 Tiempo de producción en el departamento de elaboración en la semana 4:

(2.65 h/caja)(x14caja)+(1.75 h/caja)(x24 caja)+(1.17 h/caja)(x34 caja)

+(1.07 h/caja)(x44 caja)<=48000horas;

Tiempo de producción en el departamento de envasado en la semana 1:







(4.41 h/caja)(x 13 caja)+(2.91 h/caja)(x23 caja)+(1.29 h/caja)(x33 caja)





Capacidad de producción:

(x11+x12+x13+x14+x21+x22+x23+x24+x31+x32+x33+x34

+ x41+x42+x43+x44) cajas<=160000 cajas;

No negatividad:

Xij>=0

Modelo :

max=1.38x11+1.38x12+1.38x13+1.38x14+1.22x21+1.22x22+1.22x23+

1.22x24+1.02x31+1.02x32+1.02x33+1.02x34+1.05x41+1.05x42+1.05x43

+1.05x44

x11+x12+x13+x14<=10552

x21+x22+x23+x24<=40556

x31+x32+x33+x34<=56712

x41+x42+x43+x44<=56880

2.65x11+1.75x21+1.17x31+1.07x41<=48000

2.65x12+1.75x22+1.17x32+1.07x42<=48000

2.65x13+1.75x23+1.17x33+1.07x43<=48000

2.65x14+1.75x24+1.17x34+1.07x44<=48000

4.41x11+2.91x21+1.29x31+1.78x41<=48000

4.41x12+2.91x22+1.29x32+1.78x42<=48000

4.41x13+2.91x23+1.29x33+1.78x43<=48000

4.41x14+2.91x24+1.29x34+1.78x44<=48000

9 x11+x12+x13+x14+x21+x22+x23+x24+x31+x32+x33+x34+

x41+x42+x43+x44<=160000

10.-Resultados:


1) 124946.9

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X11 0.000000 0.468866

X12 0.000000 0.468866

X13 0.000000 0.468866

X14 0.000000 0.468866

X21 6046.433105 0.000000

X22 0.000000 0.000000

X23 0.000000 0.000000

X24 0.000000 0.000000

X31 23569.673828 0.000000

X32 0.000000 0.000000

X33 33142.324219 0.000000

X34 0.000000 0.000000

X41 0.000000 0.000000

X42 26966.292969 0.000000

X43 2947.415771 0.000000

X44 26966.292969 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 10552.000000 0.000000

3) 34509.566406 0.000000

4) 0.000000 0.479175

5) 0.000000 0.303746

6) 9842.223633 0.000000

7) 19146.068359 0.000000

8) 6069.744141 0.000000

9) 19146.068359 0.000000

10) 0.000000 0.419244

9 11) 0.000000 0.419244

12) 0.000000 0.419244

13) 0.000000 0.419244

14) 40361.566406 0.000000

NO. ITERATIONS= 7

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

X11 1.380000 0.468866 INFINITY

X12 1.380000 0.468866 INFINITY

X13 1.380000 0.468866 INFINITY

X14 1.380000 0.468866 INFINITY

X21 1.220000 0.496573 0.000000

X22 1.220000 0.000000 INFINITY

X23 1.220000 0.000000 INFINITY

X24 1.220000 0.000000 INFINITY

X31 1.020000 0.000000 0.000000

X32 1.020000 0.000000 INFINITY

X33 1.020000 0.000000 0.000000

X34 1.020000 0.000000 INFINITY

X41 1.050000 0.000000 INFINITY

X42 1.050000 INFINITY 0.000000

X43 1.050000 0.000000 0.000000

X44 1.050000 INFINITY 0.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 10552.000000 INFINITY 10552.000000

3 40556.000000 INFINITY 34509.566406

4 56712.000000 13639.627930 23569.673828

5 56880.000000 9884.899414 2947.415771

6 48000.000000 INFINITY 9842.223633

7 48000.000000 INFINITY 19146.068359

9 8 48000.000000 INFINITY 6069.744141

9 48000.000000 INFINITY 19146.068359

10 48000.000000 16366.211914 17595.119141

11 48000.000000 5246.400391 17595.119141

12 48000.000000 6692.281738 17595.119141

13 48000.000000 5246.400391 17595.119141

14 160000.000000 INFINITY 40361.566406

Plan de producción:

Ganancia: S/ 124 946.9/mes

Semana 1

X21 6046.433105 cajas de gaseosa COCA COLA de 1.75 lt, en la semana 1

X31 23569.673828 cajas de gaseosa COCA COLA de 0.60 lt en la semana 1

Semana 2


Semana 3



Semana 4


11.-Conclusiones y Recomendaciones

1.- Tener un modelo lineal aplicado a un sistema de producción va a permitir llevar un

mejor control semanal y por lo tanto adecuar nuestro ritmo de trabajo para lograr el

objetivo de maximizar la ganancia.

2.- Se debe adecuar la maquinaria actual para evitar contratiempos y lograr los

volúmenes de producción semanales y con ello la producción mensual.

3.-Al tener un plan de producción estructurado se puede luego calcular la cantidad de

ingredientes que se necesita para cumplir la producción.

9

CASO APLICADO A FINANZAS

1. Un banco trata de determinar su portafolio de inversiones para el próximo año. Actualmente dispone de $ 500,000 para invertir en bonos, préstamos hipotecarios, préstamos para compra de automóviles y préstamos personales.

La tasa de rendimiento anual para cada inversión resulta ser:

X1 = Dinero invertido en Bonos: 0.08X2 = Dinero invertido en Préstamos hipotecarios: 0.16X3 = Dinero invertido en Préstamos para compra de automóviles: 0.13X4 = Dinero invertido en Préstamos personales: 0.20

Para asegurar que la cartera del banco no sea demasiado arriesgada, el gerente de inversiones del banco ha puesto las siguientes tres restricciones de cartera:

• La cantidad invertida en préstamos personales, debe ser mayor que la invertida en bonos. X4 >= x1

• La cantidad invertida en préstamos hipotecarios, no puede ser mayor que la invertida en préstamos para automóviles. X2<= x3

• No puede invertirse más del 25 % de la cantidad total invertida, en préstamos personales, ni menos del 15 %. X4<= 0.25( x1+x2+x3+x4)

• X4 >=0.15(x1+x2+x+3x4)• El objetivo del banco es maximizar el rendimiento anual de su cartera de

inversiones.• Max 0.08x1+0.16x2+0.13x3+0.20x4• X1+x2+x3+x4<=500000

El gerente financiero del banco opina que, el objetivo a priorizar debería ser el rendimiento,

pero el gerente de operaciones opina que el objetivo prioritario debería ser los depósitos personales, seguido del rendimiento, y el gerente general considera que gustaría minimizar los préstamos hipotecarios, además de lo que solicitan sus compañeros de trabajo.

9 ¿Cuál debería ser la política de inversiones?. Sustentar su análisis.

Modelo 1:Gerente Financiero

Max 0.08x1+0.16x2+0.13x3+0.20x4stx1+x2+x3+x4<=500000x4-x1>=0x2-x3<=0x4-0.25*x1-0.25x2-0.25x3-0.25x4<=0x4-0.15x1-0.15x2-0.15x3-0.15x4>=0

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3


1) 79375.00

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 0.165000 X2 187500.000000 0.000000 X3 187500.000000 0.000000 X4 125000.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.158750 3) 125000.000000 0.000000 4) 0.000000 0.015000 5) 0.000000 0.055000 6) 50000.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 3


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 -0.020000 0.165000 INFINITY X2 0.160000 0.110000 0.030000 X3 0.130000 0.030000 0.330000 X4 0.200000 INFINITY 0.055000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 500000.000000 INFINITY 500000.000000 3 0.000000 125000.000000 INFINITY 4 0.000000 375000.000000 375000.000000 5 0.000000 375000.000000 50000.000000 6 0.000000 50000.000000 INFINITY

9

Función Objetivo: s/ 79 375Bonos: s/0Prestamos hipotecarios:s/ 187500Prestamos para compra de automóvil: s/ 187500Prestamos personales:s/ 125000

Modelo 2Gerente de operaciones

Min 100D1+D3X4+D1-D2=1250000.08x1+0.16x2+0.13x3+0.20x4+D3-D4=79375x1+x2+x3+x4<=500000X4-X1>=0X2-X3<=0x4-0.25x1-0.25x2-0.25x3-0.25x4<=0x4-0.15x1-0.15x2-0.15x3-0.15x4>=0


1) 0.0000000E+00

VARIABLE VALUE REDUCED COST D1 0.000000 100.000000 D3 0.000000 1.000000 X4 125000.000000 0.000000 D2 0.000000 0.000000 X1 0.000000 0.000000 X2 187500.000000 0.000000 X3 187500.000000 0.000000 D4 0.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 125000.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 0.000000 0.000000 8) 50000.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 3


OBJ COEFFICIENT RANGES

9 VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE D1 100.000000 INFINITY 100.000000 D3 1.000000 INFINITY 1.000000 X4 0.000000 100.000000 0.000000 D2 0.000000 INFINITY 0.000000 X1 0.000000 INFINITY 0.000000 X2 0.000000 0.000000 200.000000 X3 0.000000 0.000000 0.000000 D4 0.000000 0.000000 0.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 125000.000000 0.000000 0.000000 3 79375.000000 0.000000 INFINITY 4 500000.000000 333333.312500 0.000000 5 0.000000 125000.000000 INFINITY 6 0.000000 375000.000000 0.000000 7 0.000000 INFINITY 0.000000 8 0.000000 50000.000000 INFINITY

Función Objetivo:0Bonos: s/0Prestamos hipotecarios:s/ 187500Prestamos para compra de automóvil: s/ 187500Prestamos personales:s/ 125000

Interes= 0.08x1+0.16x2+0.13x3+0.20x4+D3-D4=79375Como D3 y D4 son cero, los intereses ganados son de s/ 79 375

Modelo 3Gerente General

Min D2+D4X2+D1-D2=185800X4+D3-D4=125000X1+X2+X3+X4<=500000X2-X3<=0x4-0.25*x1-0.25x2-0.25x3-0.25x4<=0x4-0.15x1-0.15x2-0.15x3-0.15x4>=0X4-X1>=00.08x1+0.16x2+0.13x3+0.20x4>=79375

1) 1700.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST D2 1700.000000 0.000000 D4 0.000000 1.000000 X2 187500.000000 0.000000 D1 0.000000 1.000000 X4 125000.000000 0.000000 D3 0.000000 0.000000 X1 0.000000 1.666667 X3 187500.000000 0.000000

9

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 1.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 4.916667 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 2.333333 7) 50000.000000 0.000000 8) 125000.000000 0.000000 9) 0.000000 -33.333332

NO. ITERATIONS= 6


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE D2 1.000000 INFINITY 1.000000 D4 1.000000 INFINITY 1.000000 X2 0.000000 INFINITY 1.000000 D1 0.000000 INFINITY 1.000000 X4 0.000000 2.333333 INFINITY D3 0.000000 INFINITY 1.000000 X1 0.000000 INFINITY 1.666667 X3 0.000000 0.625000 INFINITY

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 185800.000000 1700.000000 INFINITY 3 125000.000000 INFINITY 0.000000 4 500000.000000 0.000000 0.000000 5 0.000000 INFINITY 0.000000 6 0.000000 0.000000 0.000000 7 0.000000 50000.000000 INFINITY 8 0.000000 125000.000000 INFINITY 9 79375.000000 0.000000 51.000004

Función Objetivo:s/1700 , dinero que es un perjuicio.Bonos: s/0Prestamos hipotecarios:s/ 187500Prestamos para compra de automóvil: s/ 187500Prestamos personales:s/ 125000

Multa=

D2 1700 , la meta de Dinero invertido en Préstamos hipotecarios esta incrementándose en s/ 1700 por encima de la meta, lo cual va a perjudicar ya que gerente general considera que gustaría minimizar los préstamos hipotecarios y el modelo resuelto hace crecer estos prestamos.

AnalisisSe descarta el modelo 3 por generar un perjuicio.

9

Al analizar el modelo 1 y 2, ambos generan la misma ganancia por interés gana dos por los prestamos, pero El gerente financiero del banco opina que, el objetivo a priorizar debería ser el rendimiento,

y el gerente de operaciones opina que el objetivo prioritario debería ser los depósitos personales, seguido del rendimiento, al comparar ambas posiciones la que mas se acerca a la realidad seria la del gerente financiero por que abarca a todas las posibilidades dejando de lado la del gerente de operaciones que solo se inclina por la que genera mayor interés.

X1 = Dinero invertido en Bonos: 0.08X2 = Dinero invertido en Préstamos hipotecarios: 0.16X3 = Dinero invertido en Préstamos para compra de automóviles: 0.13X4 = Dinero invertido en Préstamos personales: 0.20

Respuesta; implantar modelo 1. por que a pesar que se puede invertir todo el dinero a la tasa de mayor interés, esto no es permitido por la limitante que solo deja que los prestamos personales estén entre el 15% y el 25% de total a invertir.

SESION II

9

1.- METODO GRAFICO

Indudablemente plasmar un modelo y tratar de resolverlo gráficamente tiene una limitación muy grande, sólo se pueden resolver modelos que tengan sólo dos variables( bidimensional ) ya que contamos con un plano formado por X1 y X2 que es la región en la cuál vamos a trabajar, se podría tener la posibilidad de trabajar con modelos que tienen tres dimensiones pero sería muy tedioso ( sin embargo en la parte final de este libro realizaremos algunos ejemplos para resolver estos tipos de modelos).Vamos entonces a desarrollar modelos relativamente pequeños pero que sean provechosos para cumplir con los objetivos que deseamos alcanzar , los cuales son familiarizarnos con una representación geométrica de un modelo lineal y llegar a tener algunas respuestas importantes a algunas interrogantes que nos vamos a plantear a través del desarrollo del tema.

5.- TIPOS DE GRAFICAS

Bueno por lo menos ya tenemos una idea de como enfrentar un modelo y graficarlo, pero algunas veces no basta con esto si no que también tenemos que decir que tipo de gráfica es, por lo que al tener que solucionar modelos, podemos diferenciar una variedad de tipos de gráficas , cada una con características especiales y propias, es por eso que a continuación vamos a explicar cada una de estas.

5.1.-. FACTIBLE

9 Es toda gráfica que tiene solución, es decir basta con que todas las restricciones del modelo lineal tengan un área de contacto para que se denomine factible .

Ejemplos:

x2 x2

x1 x1

x2 x2

X1 x1

x2 x2

x1 x1

5.2- ACOTADA O LIMITADAEs aquella gráfica que tiene solución, pero cuya región factible esta limitada , es decir esta formada por un polígono.Esta gráfica desde que tiene solución también es factible .

Ejemplos:

x2 x2

9

x1 x1

x2 x2

x1 x1

x2 x2

x1 x1

5.3.- NO ACOTADA, INFINITA O ILIMITADA

La característica de este modelo es que se tiene una Región Factible pero que se desplaza en forma infinita. En este modelo su solución debemos separar de acuerdo a la función objetivo, podemos entonces diferenciar: si la función objetivo es Minimizar si podemos decir que se tiene una solución real del modelo por que se elige el punto mas bajo de la región factible, pero si se tiene una función objetivo de Maximizar el punto que se tome como solución será en algunos casos solo un punto de referencia puesto que como la Región Factible se desplaza en forma infinita no se puede definir un punto máximo.Este modelo si la función objetivo es minimizar la solución es factible .*****

Ejemplos:

x2

9

x1 x1

x2 x2

x1 x1

x2 x2

x1 x1

5.4.- DEGENERADA

Es una gráfica que tiene Región Factible , cuya solución tiene una variable inicial ( x1 ó x2 ) con valor de cero (0). Esta gráfica puede ser acotada o ilimitada.

Ejemplos:

x2 x2

* PUNTO OPTIMO

PUNTO OPTIMO *

x1 x1

9

x2 x2

PUNTO *PUNTO * OPTIMOOPTIMO

x1 x1

x2 x2

PUNTO OPTIMO PUNTO OPTIMO * ** x1 x1

*RESTRICCIONES REDUNDANTES*En algunos modelos algunas restricciones no tienen un papel importante dentro de la formación de la Región Factible, es decir no forman parte de algún lado de la región donde se cruzan las restricciones por lo que si se dejaran de lado ( es decir se excluyeran) no se tendría ningún problema al hallar el punto óptimo ya que su presencia no es de importancia, a estas restricciones le llamamos Restricciones Redundantes .Ejemplo:

x2 (II) x2 (I)

(I) (II)

(III)(III)

x1 x1

9 La restricción (III) es redundante. La restricción (I) es redundante.

x2 x2 (I)

(I) (II)

(II) (III) (III) (IV)

x1 x1

La restricción (II) es redundante. La restricción (II) es redundante.

x2 (II) x2

(I) (I)

(II)

(III) (III)

x1 x1 (IV)

La restricción (IV) es redundante. La restricción (III) es redundante.

6.- NO FACTIBLEDebemos aclarar que un modelo es factible si todas sus restricciones se cruzan en una área y que no basta que algunas nada mas se crucen, por lo tanto modelos no factibles son aquellos en las que todas sus restricciones no se cruzan en ninguna área por lo que no se puede hallar solución alguna, por lo tanto se le considera Modelos no Factibles.

Ejemplos:

x2 x2

9

x1 x1

x2 x2

x1 x1

x2 x2

x1 x1

Debemos dejar claro que los modelos lineales : no acotados, degenerada, no factible, se les considera problemas no económicos.

2.- PASOS PARA RESOLVER MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL MEDIANTE GRAFICAS

Se va a tener que llevar un orden para poder resolver un modelo, supongamos que tenemos el siguiente problema planteado:

9 Ejemplo 1.-

Maximizar = 4 x1 + 9 x2sujeto a: 5x1 + 8x2 <= 50 6x1 + 5x2 <= 60 8x1 - 5x2 <= 40 x1>=0, X2>=0

Los pasos que tenemos que seguir son los siguientes:1.- TODA RESTRICCIÓN DEBE CONVERTIRSE A IGUALDAD,SEA CUAL SEA SU ORIENTACIÓN

Aplicando este primer paso a nuestro ejemplo:

5x1 + 8x2= 506x1 + 5x2 = 608x1 + 5x2 = 90

2.- SE DEBE DESPEJAR LAS VARIABLES EN CADA UNA DE LAS RESTRICCIONES, COLOCANDO A UNA DE LAS VARIABLES EL VALOR DE CERO Y DESPEJANDO LA OTRA.

En nuestro ejemplo:Para la primera restricción: 5x1 + 8x2 = 50Si x1= 0 , la restricción queda:5(0) + 8x2 = 50despejando x2= 50/8Entonces agrupando en par ordenado: (x1,x2) = ( 0,50/8) ,Luego si x2=0, la restricción queda:5x1 + 8(0) = 50despejando x1 = 50/5Entonces agrupando en pares ordenados: (x1,x2) = ( 50/5,0)Para la segunda restricción:6x1 + 5x2 = 60si X1=0. La restricción queda:6(0) + 5x2 = 60despejando x2= 60/5 entonces agrupando en pares ordenados: (x1,x2) = (0,60/5)Luego ,si x2=0, la restricción queda6x1 + 5(0) = 60despejando : x1= 60/6entonces agrupando en pares ordenados: ( x1,x2)=(60/6,0)Para la tercera restricción:8x1 +5x2 = 40si x1=0 , la restricción queda:8(0) + 5x2 = 40despejando: x2 = 40/5entonces agrupando en pares ordenados: (x1,x2) =(0, 40/5)Luego, si x2=0, la restricción queda:8x1+5(0)=40despejando: x1= 40/8entonces agrupando en pares ordenados: (x1,x2) =(40/8,0) 3.- REALIZAR LA GRÁFICA .

9 Teniendo los pares ordenados podemos realizar la gráfica ya que por cada restricción tenemos dos puntos, los cuales al unirse nos darán las líneas rectas que son las representaciones geométricas de las restricciones.(x1,x2) = ( 0,50/8=6.23) , (x1,x2) =(50/5=10,0)(x1,x2) = (0,60/5=12) , (x1,x2) =(60/6=10,0)(x1,x2) =(0, 40/5=8) , (x1,x2) =(40/8= 5,0)

4.- ORIENTACIÓNLa parte mas importante en la gráfica es la orientación, para este caso vamos a tomar en cuenta las siguientes condiciones generales de acuerdo a los tipos de restricciones que se tiene.

LIMITANTE ORIENTACION<= Se acerca al origen= No tiene orientación

>= Se aleja del origen Debemos aclarar que estas orientaciones sirven para restricciones que contengan las dos variables, lado derecho positivo y con valores numéricos diferentes de cero ( casos diferentes lo trataremos posteriormente) .Entonces nuestra gráfica queda:

9

5.- UBICACIÓN DE LA REGIÓN FACTIBLE Una vez dada la orientación a cada restricción es importante hallar una región donde todas las restricciones se cumplan, esta región se llama REGION FACTIBLE que no viene a ser sino el lugar donde se va a encontrar la solución a nuestro problema lineal planteado, es por eso que debemos tener mucha visión para ubicar esta región , es necesario aclarar que hay veces en que no se puede hallar una región factible .Para nuestro ejemplo , la región factible esta dada por la región con bordes mas oscuros y limitado con las letras A, B , C y D.

Entonces nuestra gráfica queda:

9

Como vez, la región factible es aquella que en sus esquinas A,B,C,D tienen las posibilidades de ser el punto que solucione el modelo, a ese punto le llamaremos PUNTO OPTIMO.

6.- HALLAR EL PUNTO OPTIMO

Una vez que se han identificado los puntos extremos, vamos a reemplazar las coordenadas de los puntos extremos en la Función Objetivo:

Puntos Coordenadas MAX. F.O. 4x1 + 9x2

A ( 0 , 0 ) 4(0) + 9(0) = 0 B ( 0, 6) 4(0) + 9(6) = 54 *C (1.79488 , 5.1282) 4(1.79488 ) + 9( 5.1282) =53.33332 D ( 5 , 0) 4(5) + 9(0) = 20

*El punto C se halla por ecuaciones simultáneas de las rectas que dan origen a este punto, es decir las rectas I y II, calculando:

( I ) 5x1 + 8x2 = 50 (-8 ) (II ) 8x1 - 5x2 = 40 (5 )

-64x2+25x2= -400+200 -39x2 = -200 x2 = 5.1282 Reemplazando en ( I ) :

9

5x1 + 8(5.1282)=50Como la Función Objetivo es de maximización , entonces se comparan los resultados de reemplazar las coordenadas de los puntos extremos en la función objetivo y se elige el mayor, para este ejemplo: 54 es el mayor valor y entonces el punto B es el punto optimo.

7.- GRAFICA DE LA FUNCION OBJETIVOBueno pero ahora falta graficar la Función objetivo, procederemos de la siguiente manera: Maximizar = 4 x1 + 9 x2Como podemos ver la función objetivo no tiene lado derecho, entonces nosotros lo vamos a crear multiplicando sus coeficientes, entonces queda así: 4x1 + 9x2 = (4)(9)Ahora podemos tratar a la función Objetivo como lo hicimos con las restricciones: 4x1 + 9x2= (4)(9)Sí x1=0 entonces: 4(0) + 9x2= (4)(9)despejando: x2= 4(9)/9 entonces queda : x2=4 el par ordenado es: (x1,x2) = (0,4)Luego :4x1 + 9x2= (4)(9), si x2=0 entonces: 4x1 + 9(0)= (4)(9) x1 = (4)(9)/4 queda: x1= 9 el par ordenado es: (x1,x2)= (9,0). La gráfica es: X2

8.- GRAFICAR LA FUNCION OBJETIVO EN EL PUNTO OPTIMO

9 Ahora, lo único que nos falta es trasladar la Función Objetivo(F.O.) al punto óptimo, entonces la F.O. se iguala al valor máximo, es decir 54: 4x1 + 9x2 = 54 despejando X1: 4x1 + 9(0) = 54 x1 = 13.5 , las coordenadas queda : ( 13.5 , 0 )despejando X2: 4(0) + 9x2 = 54 x2 = 6 , las coordenadas queda: ( 0 , 6 )Teniendo estos dos puntos, la gráfica final queda:

Como se puede apreciar la F.O. se ha trasladado hacia el punto óptimo.

Entonces la respuesta es:Rpta.x1= 0 , x2 = 6 . el valor de la F.O. es: 54

Como las variables son >= que cero, entonces la gráfica queda en el primer cuadrante,

pero nada impide que en algún momento se tenga regiones factibles en otros cuadrantes

cuando se tengan variables irrestrictas( son aquellas que pueden tener valores positivos

o negativos) eso va a suceder cuando experimentemos con otros ejemplos por el

momento nos limitaremos al primer cuadrante.

Ahora vamos a graficar otro modelo:

9

EJEMPLO 2:

Minimizar 8X1 + 5X2

SUJETO A: 5X1 + 6X2 >= 30 3X1 + 6X2 >= 18 2X1 + 4X2 >= 8 X1>=0, X2>=0

SOLUCION:

( I ) 5x1 + 6x2 = 30 Si: X1 = 0 entonces X2 = 5, la coordenada es : ( 0,5) Si : X2=0 entonces X1 = 6 , la coordenada es : ( 6,0)

( II ) 3x1 + 6x2 = 18 Si : X1=0 entonces X2- 3 , la coordenada es : ( 0,3) Si: X2=0 entoncesX1=6, la coordenada es: ( 6,0) ( III ) 2x1 + 4x2 = 8 Si X1=0 entonces: X2=2, la coordenada es: ( 0,2) Si X2= 0 entonces: X1=4, la coordenada es: (4,0)

Como todas las restricciones son >= , entonces todas se alejan del origen,

Buscando punto Optimo:

9

PUNTOS COORDENADAS MIN. 8X1 + 5X2 A ( 0, 5) 8(0) + 5(5) = 25 B ( 6,0 ) 8(6) + 5(0) =48

Al comparar los puntos,el punto mínimo es A con valor de 25.

Para culminar la gráfica, vamos a dibujar la F.O. en su ubicación inicial:

8x1 + 5x2 = (8)(5)

Si : X1= 0 entonces X2=8, la coordenada es: ( 0,8)Si X2=0 entonces X1= 5 , entonces la coordenada es: ( 5,0)

Ahora la F.O. se traslada al punto optimo: 8x1 + 5x2 = 25Si X1=0 entonces: x2=5, la coordenada es: (0,5)Si x2=0 entonces: x1= 3.125, la coordenada es: ( 3.125 , 0)

La gráfica final queda:

Como se puede observar la F.O. ha tenido que bajar en busca del punto óptimo. Rpta.

X1= 0 , X2= 5 , el valor de la F.O. es 25

9

Ejemplo 3: Maximizar: 3x1 + 2x2sujeto a: 2x1 + 4x2 <= 16 4x1 - 5x2 <= 20 6x1 - 3x1 <= 18 X1>=0, X2 >=0Solución:( I ) 2x1 + 4x2 = 16 Si: x1=0 entonces: x2= 4 , la coordenada es: ( 0 ,4 ) Si: x2=0 entonces: x1= 8 , la coordenada es: ( 8 , 0)( II) 4x1 - 5x2 = 20 Si: x1=0 entonces: X2= -4 , la coordenada es: ( 0, -4) Si: x2=0 entonces: X1= 5 , la coordenada es: ( 5, 0)( III ) 6x1 - 3x2 = 18 Si: x1=0 entonces x2= -6 , la coordenada es: ( 0, -6) Si: X2=0 entonces X1= 3 , la coordenada es: ( 3, 0 )Como todas las restricciones son <= , entonces todas se acercan al origen.Graficando:

Ahora vamos a hallar los puntos óptimos,

PUNTOS OPTIMOS COORDENADAS F.O. MAX. 3X1 + 2X2

A ( 0, 4 ) 3(0) + 2(4) = 8 B *( 4, 2 ) 3(4) + 2(2) = 16 C ( 3, 0 ) 3(3) + 2(0) = 9 D ( 0, 0 ) 3(0) + 2(0) = 0

9

* Hallando las coordenadas para B: (I) 2x1 + 4x2 = 16 (-3)

(II) 6x1 - 3x2 = 18

-15x2= - 30 x2= 2

Reemplazando en (I): 2x1 + 4(2) = 16 2x1=8 x1=4 la coordenada es: ( 4 , 2 ) Al comparar los resultados de los puntos en la F.O. el mayor valor: 16 , por lo tanto el punto óptimo es B.

Para culminar la gráfica, falta la F.O. entonces:

Posición Inicial:

3x1+ 2x2= (3)(2) Si x1=0 , entonces x2=3 , por lo tanto la coordenada es: ( 0,3) Si x2=0, entonces x1=2 , por lo tanto la coordenada es: ( 2,0)

Posición Final:

3x1+2x2= 16Si x1=0, entonces x2=8, por lo tanto la coordenada es: ( 0,8)Si x2=0, entonces x1=16/3=5.333 , por lo tanto la coordenada es: (5.333,0)

La gráfica final queda:

9

Como te has dado cuenta ya hemos usado otro cuadrante para la gráfica, esto sucede por que tenemos coeficientes negativos en las variables de las restricciones pero a pesar de eso la región factible se encuentra en el primer cuadrante por que las variables son mayores que cero: ( x1>=0, x2>=0).

EJEMPLO 4: MINIMIZAR 5X1 - 6X2 SUJETO A: 3X1 - 5X2 <= 15 4X1 + 3X2 = 12 2X1 + 6X2>= 12 x1>=0, x2>=0Solución:(I) 3x1 - 5x2= 15 Si x1=0, entonces x2=-3, las coordenadas son: ( 0,-3) Si x2=0, entonces x1= 5, las coordenadas son: ( 5,0)(II) 4x1 + 3x2 = 12 Si x1=0, entonces X2= 4 , las coordenadas son: ( 0,4) Si x2=0 , entonces x1=3 , las coordenadas son: ( 3,0)(III) 2x1 + 6x2= 12 Si x1=0, entonces x2=2, las coordenadas son: (0,2) si x2=0 , entonces x1=6, las coordenadas son: ( 6,0)Orientación:(I): se acerca al origen(II): se queda solo la línea graficada.(III): se aleja del origen

9

Ahora te das cuenta que la Región Factible es un segmento que va desde el punto A hacia el punto B, esto sucede por que se tiene una restricción con orientación de igualdad (=), entonces recuerda:Una restricción con orientación =, da una región factible que es un segmento o en extremo un punto.

PUNTOS COORDENADAS MNIMIZAR 5X1-6X2

A ( 0 , 4 ) 5(0) - 6(4) = -24 B *( 2, 1.333) 5(2) - 6(1.333) = 2

* Punto B:Como es la intersección de II y III:Las coordenadas se hallan por ecuaciones simultaneas:

(II) 4X1 + 3X2 = 12 (III) 2X1 + 6X2 = 12 (-2)

-9x2=-12 x2= 1.333 Reemplazando en (II) : 4x1 + 3(1.333) = 12 x1 = 2Al comparar los resultados de las coordenadas remplazadas en la F.O. se tiene que en punto mínimo es A con valor -24.Ahora falta graficar las F.O.Posición Inicial:5x1 - 6x2 = (5)(-6)Si x1=0 entonces x2=5, las coordenadas son: ( 0, 5 )Si x2=0 entonces x1= -6, las coordenadas son: (-6,0)Posición Final:5x1-6x2= -24Si x1=0 entonces x2=4, las coordenadas son: (0,4)Si x2=0 entonces x1=-24/5=-4.8 , las coordenadas son: ( -4.8,0)

9 La gráfica queda: Ahora la F.O. se encuentra en el segundo cuadrante por que uno de sus coeficientes es negativo , pero eso no afecta en nada el procedimiento.

EJEMPLO 5:

MINIMIZAR 6X1 - 5X2SUJETO A: 3x1 + 4x2 <= 15 -2x1 - 3x2 <= 6 x1 >=2 x1>=0, x2>=0Solución:(I) 3x1 + 4x2 = 15 Si x1=0 entonces x2=15/4=3.75 , las coordenadas son: (0,3.75) Si x2=0 entonces x1=5, las coordenadas son: (5,0)(II) -2x1-3x2=6 Si x1=0 entonces x2= -2, las coordenadas son: (0,-2) Si x2=0 entonces x1=-3, las coordenadas son: (-3,0)(III) x1=2 la tercera restricción solo se convierte en una línea.

Orientación:(I) se acerca al origen(II) se acerca al origen(III) se aleja del origenGraficando:

9

PUNTOS COORDENADAS MIN. 6X1-5X2 A * ( 2 , 2.25 ) 6(2) - 5(2.25) =0.75 B ( 5 , 0 ) 6(5) - 5(0) = 30 C ( 2 , 0 ) 6(2) - 5(0) = 12

* Hallando las coordenadas para B mediante ecuaciones simultáneas:El punto B es la intersección de I y III:(I) 3x1 + 4x2 = 15

(III) x1 = 2 Reemplazando en I: 3(2) + 4x2 = 15 x2= 2.25 Las coordenadas de B son: ( 2, 2.25)Al comparar los resultados de reemplazar las coordenadas en la F.O. se ve que el menor valor es0.75 que corresponde al punto A.Ahora graficando la F.O.Posición inicial: 6x1 - 5x2 = (6)(-5)Si x1=0 despejando: x2=6 entonces las coordenadas son: (0,6)si x2=0 despejando: x1= -5 entonces las coordenadas son: (-5,0)Posición final:6x1 - 5x2 = 0.75Si x1=0 despejando: x2= -0.15 entonces las coordenadas son: (0,-0.15)Si x2=0 despejando: x1=0.125 entonces las coordenadas son: (0.125,0)

9

EJERCICIOS:

GRAFICAR :

1.- MAX IMIZAR : 3X1 + 4X2 2.- MAXIMIZAR : 4X1 - 5X2 SUJETO A: SUJETO A: 3X1 + 4X2 <=20 2X1 - 5X2 >= 30 4X1 - 6X2>=10 2X1 + 4X2 <= 40 X1 + X2>=4 X1 - X2 >=20 X1>=0, X2>=0 X1>=0, X2>=0Rpta: x1=6.66 , x2= 0 , F.0. : Z = 20 Rpta. X1=20 , x2=0 , F.O. Z=80

3.-MINIMIZAR : 6X1 + 7X2 4. - MINIMIZAR : 5X1 + 3X2 SUJETO A: SUJETO A: X1 + 5X2 >= 12 3X1 + 5X2 >= 4 2X1 + 6X2 <=24 4X1 - 4X2 <= 12 X1 + X2 >= 3 X1 >= 3

9 3X1 - 4X2 <=10 X2 <= 5 X1>=0, X2>=0 X1>=0, X2>=0Rpta. X1= 0.75 , x2=2.25 . F.O. Z=20.25 Rpta. X1=3 , X2=0, F.O. Z=15

5.- MAXIMIZAR 8X1 + 9X2 6.- MAXIMIZAR 5X1 + 8X2SUJETO A: SUJETO A: 2X1 + 6X2 >=12 -3X1 + 4X2 <= 12 X1 + 6X2 >= 20 2X1 - 6X2 <= 20 X1 + X2 <= 60 X1>=10 X1 >= 10 X2>= 3 X2 <= 5 2X1 + 5X2 <= 40 X1>=0, X2>=0 X1>=0, X2>=0Rpta. X1=55, X2=5 , F.O. Z=485 Rpta. X1= 12.5 , X2=3 , F.O. Z=86.5

7.- MAXIMIZAR 10X1 - 6X2 8.- MINIMIZAR 4X1 - 3X2 SUJETO A: SUJETO A: -3X1 +6X2 <= 40 -3X1 - 2X2<=12 4X2>=12 -5X1 - 6X2<=15 3X2 <=15 7X1 + 10X2 <=15 X1-X2<=30 X1>=2 -X1- X2<=40 X2<=5 X1>=0, X2>=0 X1>=0, X2>=0Rpta. X1=35, X2=5 , F.O. Z=320 Rpta. X1=2 , X2=0.10 , F.O. Z=7.70

9.- MINIMIZAR -5X1 - 6X2 10.- MINIMIZAR -10X1 - X2 SUJETO A: SUJETO A: X1 >=4 X1 - X2 >= 3 X2<=10 X1 + X2 <= 10 X1 - X2 >=5 X1>=2 2X1 - 5X2 <=10 X2<=5 X1 + X2 <=15 X1 + 3X2 <=12 X1>=0, X2>=0 X1>=0, X2>=0

9 Rpta. X1=10 , X2=5, F.O. Z= -80 Rpta. X1=10 , X2=0 , F.O. Z=-100

3.- GRAFICAS CON LADOS DERECHOS CON VALOR DE CERO La variedad de gráficas muchas veces nos lleva a toparnos con restricciones que después de realizar el modelo de programación lineal donde los lados derechos deben considerarse como valores numéricos nos enfrentamos a modelos como por ejemplo: x1- x2 <=0, x1 +x2 >=0 , x1 + 3x2 = 0Estas restricciones aparecen en la mayoría de los casos cuando se tienen problemas de mezcla, por ejemplosi deseamos como mínimo que x1 sea el 60% de la mezcla total la restricción quedaría: x1 >= 0.60 x1 +x2 Realizando las operaciones: x1 >= 0.60(x1 + x2) entonces: x1 -0.60x1-0.60x2>=0 la restricción queda: 0.40x1 - 0.60x2 >=0Este tipo de restricciones tiene otra manera de graficar y por lo tanto de orientación.Para restricciones de la forma : ax1 + bx2 >=0Ejemplo: 4x1 + 8x2 >=0 Igualando: 4x1+ 8x2=0 4x1= -8x2 despejando: x1= -2x2 Tabulando:

-2 x2 x1 Coordenadas (x1,x2) Si -2(0) 0 ( 0, 0) Si -2(1) -2 (-2,1) Si -2(2) -4 (-4,2)

x2La gráfica queda: 2 1

9

-4 -3 -2 -1 0 x1

Orientación:4x1 + 8x2 >=0Se toma un punto exterior a la línea trazada ( es decir que no pertenece a ella) por ejemplo: (0,2) , reemplazando en la restricción: 4(0) + 8(2)>=0 entonces: 16 >=0 si, la recta es orientada al punto (0,2)La gráfica final queda:

REGION FACTIBLE x2: 2 1

-4 -3 -2 -1 0 x1

Para restricciones de la forma -3x1 + 9x2>=0Igualando: -3x1 + 9x2=0 -3x1= -9x2despejando: x1= 3x2

Tabulando:

3x2 x1 Coordenadas (x1,x2) Si 3(0) 0 (0,0) Si 3(1) 3 (3,1) Si 3(2) 6 (6,2)

x2La gráfica queda: 2 1

0 1 2 3 4 5 6 x1

Orientación: Tomando el punto (1,0) como punto de orientación: - 3x1 + 9x2 >=0 Reemplazando: -3(1) + 9(0) >=0 -3 >=0 ,no entonces la recta se orienta hacia el lado opuesto de este punto.

Gráfica final:

x2 REGION FACTIBLE 2 1

0 1 2 3 4 5 6 7 x1Para restricciones de la forma 6x1 - 4x2 <= 0

9 Igualando: 6x1 - 4x2 = 0despejando: x2 6x1 =4x2 Gráfica Inicial: x1= (4/6)x2 12 11Tabulando: 10 9 (4/6) x2 x1 Coordenadas 8 (x1,x2) 7 6 Si (4/6)0 0 ( 0, 0) 5 Si (4/6)6 4 (4, 6) 4 Si (4/6)12 8 (8,12) 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1

Utilizando un punto de orientación por ejemplo (0,5), reemplazando este punto en la restricción6x1 - 4x2 <= 0 6(0) - 4 (5) <= 0 -20 <=0 si , como cumple la restricción se orienta hacia este punto.Gráfica Final: x2

12 11 : 10 REGION 9 FACTIBLE 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1

Entonces ahora que ya tenemos la noción de como graficar las restricciones cuyos lados derechos tienen valor de cero, vamos a resolver los siguientes ejemplos:

Ejemplo 11 Max 8x1 + 4x2sujeto a: x1 <= 4 -x1 + x2 >=0

9 2x1 + 5x2 <= 10 x1 >=0 , x2>=0

Solución:

(I) x1= 4(II) -x1 + x2 =0 Despejando: x2=x1

Tabulando: x1 x2 Coordenadas (x1,x2)

0 0 ( 0,0) 1 1 (1,1) 2 2 (2,2)

Utilizando al punto (0,2) como punto de orientación se reemplaza en la restricción: -1(0) + 1(2) >=0 entonces 2 >=0 si cumple, entonces la restricción debe orientarse a este punto.(III) 2x1 + 5x2 = 10 Si x1=0 despejando x2= 2, entonces las coordenadas son (0,2) Si x2=0 despejando x1=5 , entonces las coordenadas son (5,0)Orientación:(I) Se acerca al origen.(II) Se acerca al punto (0,2).(III) Se acerca al origen.Ubicación Inicial de la F.O.8x1 + 4x2 = (8)(4)Si x1=0 entonces x2=8, las coordenadas son (0,8)Si x2=0 entonces x1= 4, las coordenadas son (4,0)

Gráfica Inicial: x2 8 7 6 5 4 3 (II) (I) 2 B 1 C A 0 1 2 3 4 5 x1 (III) POSICION INICIAL DE LA F.O

Hallando el punto C que es la intersección de II y III: (II) -x1+x2=0 (2)(III) 2x1+5x2=10

7x2= 10 despejando: x2= 10/7 , reemplazando este valor en (II) -x1+ 10/7 =0

9 despejando: x1=10/7 Entonces:

PUNTOS COORDENADAS MAX. 8X1+ 4X2 A ( 0 , 0 ) 8(0) + 4(0) = 0 B ( 0 , 2 ) 8(0) + 4(2) =8 C (10/7 ,10/7 ) 8(10/7)+4(10/7)=17.1428

Punto óptimo: es el punto C , trasladando la función objetivo para que pase por ese punto: 8x1 + 4x2 = 17.1428 Si x1=0 despejando x2=4.2857, entonces la coordenada es (0,4.2857) Si x2=0 despejando x1= 2.14285, entonces la coordenada es ( 2.14285 , 0)

La Gráfica final queda:

Gráfica Final: x2 8 7 6 5 4 3 (II) (I) 2 B 1 C A 0 1 2 3 4 5 x1 (III) POSICION INICIAL DE LA F.O

POSICION FINAL DE LA F.O.

Respuesta: x1= 10/7 , x2= 10/7 , el valor de la F.O. es : 17.1428

EJEMPLO 12: Minimizar 6x1 - 5x2sujeto a: - 4x1 - 5x2 <= - 20 2x1 -3 x2 >=0 x1 <= 6 x1>=0 , x2>=0

Solución:(I) -4x1 - 5x2 <= -20 , multiplicando por -1 se tiene 4x1+5x2>=20, entonces: 4x1 + 5x2 = 20 Si x1=0 despejando x2=4 , entonces la coordenada es: (0,4) Si x2=0 despejando x1=5, entonces la coordenada es: (5,0)(II) 2x1 - 3x2 =0 despejando : 2x1=3x2 entonces: x1= 1.5x2

9 Tabulando:

1.5 x2 x1 Coordenada Si 1.5( 0) 0 (0,0) Si 1.5( 1) 1.5 (1.5,1) Si 1.5(2) 3 (3,2)

(III) x1= 6Orientación: Utilizando el punto (0,5) como punto de orientación se tiene: 2x1 - 3x2 >=0 2(0) - 3(5) >=0 -15 >=0 no , entonces la restricción de orientarse al lado opuesto de (0,5)Orientación:(I) se aleja del origen.(II) Se aleja del punto (0,5)(III) Se acerca al origen.

Ubicación inicial de la F.O: 6x1 - 5x2 = ( 6)(-5) Si x1=0 despejando x2= 6, entonces la coordenada es: (0,6) Si x2=0 despejando x1= -5, entonces la coordenada es: (-5,0)

Gráfica Inicial: x2 6

5 (I) (III) 4 B POSICION INICIAL 3 (II) DE LA F.O. 2 REGION A FACTIBLE 1 D C -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x1

Hallando punto A:Intersección de I y II: 4x1 + 5x2=20 2x1 - 3x2=0 (-2) 11x2= 20 x2= 1.8181, reemplazando en (I) 4x1 + 5(1.8181)=20 se tiene x1=2.7272 , entonces la coordenada es: (2.7272 , 1.8181)Hallando punto B: Intersección de II y III: 2x1 - 3x2=0 x1=6

2(6) - 3x2 =0 despejando: x2=4 , entonces la coordenada es: (6, 4)

Punto C: (6,0)Punto D: (5,0)

9

PUNTOS COORDENADAS MIN 6X1 - 5X2

A (1.8181 , 2.7272) 6(2.7272) - 5(1.8181)= 7.2727 B ( 6, 4 ) 6(6) - 5(4) = 16 C (6.0) 6(6) - 5(0) = 36 D (5,0) 6(5) - 5(0) = 30

Punto optimo: APosición Final de la F.O.6x1 - 5x2 = 7.2727Si x1=0 despejando x2= -1.45454 , entonces la coordenada es: (0, -1.45454)Si x2=0 despejando x1=1.2121 , entonces ;a coordenada es: ( 1.2121, 0)

Gráfica Final:

x2 6

5 POSICION FINAL (I) (III) DE LA F.O. 4 B POSICION INICIAL 3 (II) DE LA F.O. 2 REGION A FACTIBLE 1 D C -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x1

-1

Respuesta: X1= 1.8181 , x2= 2.7272 el valor de la F.O. es: 7.2727

Ejemplo 13: Maximizar 7x1 - 8x2sujeto a: x1 - 2x2 >=0 x1 - 3x2 <=0 2x1 + 4x2 <= 10X1>=0 , X2>=0

Solución:(I) x1 - 2x2=0 despejando: x1= 2x2 Tabulando:

9 2 x2 x1 Coordenadas Si 2(0) 0 (0,0) Si 2(1) 2 (2,1) Si 2(2) 4 (4,2)

Si tomamos a (0,5) como punto de referencia se tiene: 1(0) - 2(5) >=0 entonces: -10 >=0 , no cumple , entonces la restricción no se orienta hacia el punto (0,5).

(II) x1 - 3x2 =0 despejando: x1= 3x2 Tabulando:

3x2 x1 Coordenadas Si 3(0) 0 (0,0) Si 3(1) 3 (3,1) Si 3(2) 6 (6,2)

Tomando el punto (0,2) como punto de referencia se tiene:(0) - 3(2) <=0

entonces: -6 <=0, si cumple , entonces la restricción se acerca del punto (0,2).

(III) 2x1 + 4x2 = 10 Si x1=0 despejando x2=2.5 ,entonces la coordenada es: (0,2.5) Si x2=0 despejando x1=5 ,entonces la coordenada es: (5,0)

Orientación:(I) Se aleja del punto (0,5)(II) Se acerca al punto ( 0,2)(III) Se acerca al origen.

Ubicación Inicial de la Función Objetivo: 7x1 - 8x2 =(7)(-8)Si x1=0 despejando x2=7 , entonces la coordenada es: (0,7)Si x2=0 despejando x1=-8, entonces la coordenada es: (-8,0)

Gráfica Inicial: X2 7 POSICION 6 INICIAL DE LA F.O. 5

4 (I) (III) 3

2 (II) B 1 C

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 X1

9 APuntos Extremos: A: (0,0)

B: Intersección de I y III hallando las coordenadas de este punto por ecuaciones simultaneas: x1 - 2x2=0 (-2) 2x1 +4x2=10 8x2=10 despejando: x2=1.25

Reemplazando en (I): x1 - 2(1.25)=0 x1=2.50, entonces la coordenada es (2.50 ,1.25)

C: Intersección de II y III, hallando las coordenadas de este punto por ecuaciones simultaneas: x1 - 3x2=0 (-2) 2x1 + 4x2=10 10x2= 10entonces: x2=1, reemplazando en II : x1 - 3(1)=0 entonces: x1=3, por lo tanto la coordenada es (3,1)

PUNTOS COORDENADAS MAXIMIZAR 7X1 - 8X2

A (0,0) 7(0) - 8(0) =0 B (2.50 , 1.25) 7(2.50) - 8(1.25)= 7.5 C (3,1) 7(3) - 8(1) =13

El punto óptimo es C, por lo que trasladando la F.O. hacia ese punto se tiene: 7x1 - 8x2=13

Si x1=0 , despejando: x2=-1.625 , entonces la coordenada es : (0, -1.625)Si x2=0 , despejando : x1=1.857 , entonces la coordenada es: (1.857 , 0)La gráfica Final es:

X2 7 POSICION 6 INICIAL DE LA F.O. 5 POSICION FINAL DE LA F.O.

4 (I) (III) 3

2 (II) B

9 1 C

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 X1 A -1

Rpta. X1=3 , X2=1, Valor de F.O. Z=13Ejemplo 14:Maximizar 3x1 + 2x2sujeto a: -2x1 + x2>=0 -3x1 + 6x2 >=-10 x1 >=-5 -4x1+7x2<=28 x1>=0 , X2>=0

Solución:

(I) -2x1 + x2 = 0 Despejando: x2=2x1 Tabulando:

2x1 x2 Coordenadas Si 2(0) 0 (0,0) Si 2(1) 2 (1,2) Si 2(2) 4 (2,4)

Utilizando el punto (0,5) como punto de referencia y reemplazando en la restricción: -2(0) + 5 >=0entonces: 5>=0 si cumple, por lo tanto la restricción se orienta hacia el punto (0,5)

(II) -3x1 + 6x2 >=-10 , multiplicando por -1 se tiene: 3x1 - 6x2<= 10 , entonces: 3x1 - 6x2=10 Si x1=0 despejando x2= -1.667 , entonces las coordenadas son: (0, -1.667) Si x2=0 despejando x1= 3.333 , entonces las coordenadas son: ( 3.333 , 0)(III) x1 >=-5 , multiplicando por -1 se tiene -x1 <= 5, entonces: 5,4,3,2,1,0….están comprendidos en esta restricción.

(IV) -4x1+7x2=28 , Si x1=0 despejando x2=4, entonces las coordenadas son: (0,4) Si x2=0 despejando x1= -7 , entonces las coordenadas son: ( -7,0) Orientación:(I) se orienta hacia (0,5)(II) Se acerca al origen.(III) Se acerca a los puntos 5,4,3,2,1,0…(IV) Se acerca al origen.

Posición Inicial de la Función Objetivo:

3x1 + 2x2= (3)(2)Si x1=0 despejando x2=3 , las coordenadas son: (0,3)Si x2=0 despejando x1= 2 , las coordenadas son: (2,0)

9

Gráfica Inicial: (III) X2 A POSICION INICIAL DE LA F.O. 5 (IV) 4 ( I ) B REGION 3 FACTIBLE

2

1 (II) C -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 X1

-1

-2

Puntos Extremos:

A es la intersección de (I ) y ( IV), despejando por ecuaciones simultaneas:(I) -2X1 + X2=0 (-7)(IV) -4X1 + 7X2 =28

10x1 = 28despejando: x1=2.8, reemplazando en (I): -2(2.8) + x2=0 entonces: x2= 5.6 , la coordenada es: ( 2.8 , 5.6) B : (0,4) C : (0,0)

9

PUNTOS COORDENADAS MAXIMIZAR 3X1 + 2X2

A (2.8,5.6) 3(2.8) + 2(5.6) =19.6 B (0 , 4) 3(0) +2(4)= 8 C (0,0) 3(0) + 2(0) =0

El punto óptimo es A , entonces trasladando la Función Objetivo a este punto se tiene: 3x1 + 2x2 = 19.6Si x1=0 despejando x2=9.8 , entonces las coordenadas son: ( 0, 9.8)Si x2=0 despejando x1=6.533 , entonces las coordenadas son: (6.5333, 0)

X2 10

La gráfica final es: 9

8

7 (III) 6 A POSICION INICIAL DE LA F.O. 5 (IV) 4 ( I ) B REGION 3 FACTIBLE

2 POSICION FINAL DE LA F.O. 1 (II) C -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 X1

-1

-2

Rpta. X1=2.8 , X2=5.6 , el valor de la F.O. es Z=19.6

Ejemplo 15.-Minimizar 6x1 - 5x2sujeto a: x1 <= 4 5x1 - 4x2=0 x2<=5 2x1 + 3x2 >=6 x1>=0 , x2>=0

9

Solución:(I) x1=4 , valores como 4,3,2,1,0 cumplen la restricción.(II) 5x1 - 4x2 = 0 despejando: 5x1=4x2 entonces: x1= 4x2/5 , luego : x1= 0.8x2

0.8x2 x1 Coordenadas Si 0.8(0) 0 (0,0)

Si 0.8(1) 0.8 (0.8,1) Si 0.8(5) 4 (4,5)

Como la restricción tiene orientación de igualdad entonces en la gráfica solo se considera la línea trazada.

(III) x2=5 , valores como 5,4,3,2,1,0 cumplen la restricción.(IV) 2x1 + 3x2=6 Si x1=0 despejando x2= 2 , entonces las coordenadas son: (0,2) Si x2=0 despejando x1=3, entonces las coordenadas son: (3,0)

Orientación:(I) Valores como 4,3,2,1,0 cumplen la restricción.(II) La línea trazada.(III) Valores como 5,4,3,2,1,0 cumplen la restricción.(IV) Se aleja del origen.

Posición Inicial de la Función Objetivo: 6x1 - 5x2 = (6)(-5)Si x1=0 despejando x2=6, entonces las coordenadas son: (0,6)Si x2=0 despejando x1= -5, entonces las coordenadas son: (-5,0)

Gráfica Inicial:

6 POSICION INICIAL DE LA B F.O. 5 (III) 4 (II) 3 (IV) (I) 2 A 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Por tener la (II) como dirección una igualdad (=) , entonces la región factible es un segmento.

Punto A : Intersección de (II) y (IV) Hallando las coordenadas por ecuaciones simultaneas: 5x1 - 4x2=0 (3) 2x1 + 3x2=6 (4)

23 x1 = 24

9 x1 =1.043 Reemplazando en (II): 5(1.043) - 4x2=0

5.215 - 4x2=0 5.215= 4x2

entonces: x2=1.30375 las coordenadas son: (1.043 , 1.30375) Punto B: (4,5)

PUNTOS CORDENADAS MINIMIZAR0 6X1 - 5X2

A (1.043 , 1.30375) 6(1.043) - 5(1.30375) = -0.26075 B (4,5) 6(4) - 5(5) = -1

Entonces el punto optimo es: B con valor -1, trasladando la función Objetivo para que pase por el punto optimo se tiene: 6x1 - 5x2 = -1 si x1=0 despejando x2=-0.20 , entonces las coordenadas son: ( 0,-0.20) Si x2=0 despejando x1=-0.1666 , entonces las coordenadas son : (-0.1666,0)

Gráfica Final:

POSICION FINAL 6 DE LA F.O. POSICION INICIAL DE LA B F.O. 5 (III) 4 (II) 3 (IV) (I) 2 A 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Rpta. X1=4 , X2=5 , el valor de la F.O. es Z= -1

EJERCICIOS:

9 1.- MAXIMIZAR X1 + 6X2 2.- MINIMIZAR 4X1 + 5X2 SUJETO A: SUJETO A: 3X1 - 4X2<=0 2X1 + 6X2 >=3 3X1 + X2 >=1 3X1 - 4X2<=0 -X2 >= -12 4X1 + 6X2 >=0 X1>=1 X2<=15 X1<=20 X1>=0 ,X2>=0 X1>=0 , X2>=0Rpta. X1=16 , X2=12 , F.O. Z=88 Rpta. X1=0 , X2=0.50 , F.O. Z=2.503.- MAXIMIZAR 3X1 + 6X2 4.- MAXIMIZAR 6X1 + 8X2 SUJETO A: SUJETO A: X2 <= 12 5X1 - 6X2 <=0 X1<=5 -X1 - 6X2 <= -2 X1 - 4X2 =0 X2 <= 15 X1 <= 20 X1>=0 ,X2>=0 X1>=0 , X2>=0 Rpta. X1=5 , X2=1.25 , F.O. Z=22.5 Rpta. X1=18 , X2=15 , F.O. Z=2285.- MINIMIZAR 6X1 + 9X2 6.- MINIMIZAR 5X1 + 6X2 SUJETO A: SUJETO A: 5X1 + 6X2 <= 120 3X1 + 6X2 >= 12 4X1 - 6X2 >=0 4X1 - 6X2 <=0 -X1 >= -10 X2>= 12 X2 >= 1 X1 + 4X2 >= 1X1>=0 ,X2>=0 X1>=0 , X2>=0Rpta. X1=1.50 , X2=1 . F.O. Z=18 Rpta. X1=0 , X2=12, F.O. Z=727.- MAXIMIZAR 10X1 + 12X2 8.- MINIMIZAR 7X1 - 7X2 SUJETO A: SUJETO A: 6X1 + 7X2 >= 10 4X1 - 5X2 >=0 5X1 - 5X2 <=0 X1 -3X2 <=0 X1>=1 X1>=2 X2 <= 12 X2 <=10 2X1 + 4X2 >=0 X1>=0 ,X2>=0 X1>=0 , X2>=0Rpta. X1=12 ,X2=12 ,F.O. Z=264 Rpta. X1=2, X2=1.6 . F.O. Z=2.8

9.- MAXIMIZAR 5X1 + 6X2 10.- MINIMIZAR X1 - X2 SUJETO A: SUJETO A: 5X1 - 6X2 >=0 -2X1 - 5X2 <= -2 -X1 >= -19 3X1 - 4X2 >= -12 -2X1-7X2 >= -10 3X1 - 4X2 <=0 X2 >= 1 X2 <= 10 X1>=0 ,X2>=0 X1>=0 , X2>=0Rpta. X1=5.5. , X2=1 , F.O. Z=33.5 Rpta. X1=0 , X2=10 , F.O. Z= -10

9

SESION III

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

9

1.1.-¿Qué es LINDO o LINGO ?Lindo es un sofware usado para la solución de modelos lineales, su nombre se debe a la nomenclatura de:LINDO (Linear, INteractive, and Discrete Optimizer), LINGO (Linear, INteractive, and General Optimizer)1.2.-¿Qué es Análisis de Sensibilidad?Es ver como se comporta el modelo elaborado ante algunos cambios que se pueden realizar.1.3.-¿Cómo se ingresan los datos a LINDO?Una vez elaborado el modelo lineal, se ingresa primero la Función Objetivo (F.O.):Si la F.O. es maximizar, se ingresa: MaxSi la F.O. es minimizar, se ingresa: MinLuego se ingresa los coeficientes con sus respectivas variables.Para ingresar las restricciones se escribe antes st (subjet to) (sujeto a )Una vez ingresado el modelo se culmina con la expresión end (fin).Ejemplo:max 2x1+3x2st2x1+3x2<=15x1+4x2>=10x1+2x2=8end1.4.-¿Cómo es el reporte de LINDO?Para responder esta pregunta no hay mejor manera que tener el reporte (la traducción se ha incluido para entender mejor el reporte).

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1(El modelo Lineal ha logrado su optimo en los pasos) OBJECTIVE FUNCTION VALUE (Valor de la Función Objetivo) 1) 15.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST (Variable) (Valor) (Costo Reducido) X1 6.000000 0.000000 X2 1.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES (Fila ) (Holgura o Superflua) (Precios Dual) 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 -0.500000 4) 0.000000 2.500000

NO. ITERATIONS= 1(Número de Iteraciones)

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:(Rangos para los que no cambia la Base) OBJ COEFFICIENT RANGES(Rangos de Coeficientes de la función Objetivo) VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE(Variable) (Coeficientes) (Incremento (Decremento

Permitido) Permitido) X1 2.000000 INFINITY 0.500000

9 X2 3.000000 1.000000 INFINITY

RIGHTHAND SIDE RANGES (Rangos de Términos Independientes) ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE (Fila) (Termino ( Incremento (Decremento

Independiente) Permitido) Permitido) 2 15.000000 INFINITY 0.000000 3 10.000000 6.000000 0.000000 4 8.000000 0.000000 3.0000001.5.-¿Qué partes se destacan en el reporte de LINDO?La estructura del reporte tiene las siguientes partes:a)Valor de la Función Objetivob)Valor de las Variables, Costos Reducidos.c) Rangos de coeficientes de las variables de la función objetivo.d)Rangos de coeficientes de los términos independientes de las restricciones.1.6.-¿Qué es un Costo Reducido?Es la cantidad que debe variar el coeficiente de una variable para que este llegue a tener valor.Pero esto depende de la función objetivo, por ejemplo si la función objetivo es de Maximización el costo reducido se debe sumar al coeficiente de la variable.si la función objetivo es de Minimización el costo reducido se debe restar al coeficiente de la variable.Ejemplo 1:Max 3x1+2x2Variable Valor Costo ReducidoX1 10 0.00000X2 0 3.50000La variable x2 para que llegue a tener valor su coeficiente debe ser:C2>(2+3,5)Ejemplo 2:Min 4x1+5x2Variable Valor Costo ReducidoX1 0 2.00000X2 10 0.00000La variable x1 para que llegue a tener valor su coeficiente debe ser:C1<(4-2)1.7.-¿Qué es una Variable de Holgura?Es la cantidad que sobra de un recurso. Aparecen cuando la restricción es <=1.8.-¿Qué es una Variable Superflua?Es la cantidad adicional que se usa de un recurso. Aparecen cuando la restricción es >=1.9.-¿Qué es un Precio Dual?Es la cantidad que se gana o se pierde en la función objetivo por cada unidad adicional que crece un recurso.El precio dual cuando su signo es positivo y su función objetivo es Maximización aumenta el valor de la función en esa proporción por cada unidad adicional. El precio dual cuando su signo es negativo y su función objetivo es Maximización disminuye el valor de la función en esa proporción por cada unidad adicional. El precio dual cuando su signo es positivo y su función objetivo es Minimización disminuye el valor de la función en esa proporción por cada unidad adicional. El precio dual cuando su signo es negativo y su función objetivo es Minimización aumenta el valor de la función en esa proporción por cada unidad adicional.

9 Función Objetivo

(F.O)Maximización

Función Objetivo (F.O.)

MinimizaciónPrecio Dual Positivo Aumenta la F.O. Disminuye la F.O.

Precio Dual Negativo

Disminuye la F.O. Aumenta la F.O.

10.-¿Para que sirven los rangos de los Coeficientes?Para hallar el valor máximo y minino ya sea del ingreso como del costo de cada variable.11.-¿Para que sirven los rangos de los términos Independientes (Recursos)?Para hallar el valor máximo y minino de uso de cada recurso.

9

2.1 Análisis de Sensibilidad (NIVEL A)

1 )1 ) Una compañía fabrica dos modelos de sombrero: Bae , Viz y Ala. La fabricación de los sombreros se realiza en las secciones de moldeado, pintura y montaje. La fabricación de cada modelo Bae requiere 2 horas de moldeado, 3 de pintura y una de montaje. La fabricación del modelo Viz requiere tres horas de moldeado, 2 de pintura y una de montaje.La fabricacion frl modelo Ala requiere 2horas de moldeado, 2 horas de pintura y 1 hora de montaje Las secciones de moldeado y pintura disponen, cada una, de un máximo de 1.500 horas cada mes, y la de montaje de 600. Si el modelo Bae se vende a S/100 , el modelo Viz a S/120 y el de ala a S/ 110, ¿Qué cantidad de sombreros de cada tipo ha de fabricar para maximizar el beneficio mensual?

Solución:

Bae Viz Ala DisponibilidadMoldeado 2h 3h 2h 1500 h

Pintura 3h 2h 2h 1500 hMontaje 1h 1h 1h 600 h

Precio de Venta

S/100 S/120 S/110

Variable de Decisión:Xi=Número de sombreros tipo i(i=Bae, Viz, Ala=1,2,3) a producir.Función Objetivo: Max=100x1+120x2+110x3Moldeado2x1+3x2+2x3<=1500Pintura3x1+2x2+2x3<=1500Montaje1x1+1x2+1x3<=600

Modelo PLMax 100x1+120x2+110x3st2x1+3x2+2x3<=15003x1+2x2+2x3<=15001x1+1x2+1x3<=600end



1) 69000.00

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 10.000000 X2 300.000000 0.000000 X3 300.000000 0.000000

9

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 10.000000 3) 300.000000 0.000000 4) 0.000000 90.000000

NO. ITERATIONS= 2


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 100.000000 10.000000 INFINITY X2 120.000000 45.000000 10.000000 X3 110.000000 10.000000 10.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 1500.000000 300.000000 300.000000 3 1500.000000 INFINITY 300.000000 4 600.000000 150.000000 100.000000

Interpretación:Ingreso por Precio de Venta: 69000 X1 0 sombreros tipo Bae, para que se elabore se debe tener un precio de venta mayor de:100 + 10=110 X2 300 sombrero tipo Viz, X3 300 sombreros tipo Ala

Moldeado:Se usan todas la horas de moldeado, por cada hora adicional se gana 10

Pintura: 300 horas sobra del departamento de pintura.Montaje: Se usan todas las horas de montaje, por cada hora adicional se gana 90

Optimalidad:

Rangos de Ci:Sombrero BaeX1 100.000000 10.000000 INFINITY(100-infinito)<=c1<=(100+10)-infinito<=c1<=110El precio máximo del sombrero tipo Bae es: 110 El precio mínimo del sombrero tipo Bae es: 0

Sombrero Viz X2 120.000000 45.000000 10.000000(120-10)<=c2<=(120+45)110<=c2<=165El precio máximo del sombrero tipo Viz es: 165 El precio mínimo del sombrero tipo Viz es: 110

Sombrero Ala

9 X3 110.000000 10.000000 10.000000(110-10)<=c3<=(110+10)100<=c3<=120El precio máximo del sombrero tipo Ala es: 120 El precio mínimo del sombrero tipo Ala es: 100

2 )2 ) Un hipermercado necesita como máximo 16 cajas de langostino, 5 cajas de nécoras y 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades, pero sólo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de nécoras y 2 de percebes. Por su parte, B envía en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que suministra A da una ganancia de S/210, mientras que los del mayorista B S/300 cada uno. ¿Cuántos contenedores debe pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades mínimas con el menor coste posible?Solución:

Contenedor A Contenedor B Compra MáximaLangostino

8 cajas/contenedor

2 cajas/contenedor 16 cajas

Nécoras 1 cajas/contenedor


Percebes 2 cajas/contenedor


Ganancia S/210/contenedor

S/ 300/contenedor

Variable de Decisión:Xi= Numero de contenedores de tipo i(i=A,B=1,2) a pedir.Función Objetivo:Max=210x1+300x2Sujeto a:Cajas de Langostinos:8x1+2x2<=16Cajas de Nécoras:1x1+1x2<=5Cajas de Percebes:2x1+7x2<=20

LINDO:

Max 210x1+300x2St8x1+2x2<=161x1+1x2<=52x1+7x2<=20end


9


1) 1029.231

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1.384615 0.000000 X2 2.461539 0.000000


NO. ITERATIONS= 2


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 210.000000 990.000000 124.285713 X2 300.000000 435.000000 247.500000


Interpretación:

Ganancia a obtener: 1029.231

Contenedores tipo A : X1 1.384615 Contenedores tipo B: X2 2.461539

Cajas de Langostinos: 0.000000 ,se usa todo lo disponible y si se pide una caja mas se gana: 16.730770Cajas de Nécoras: 1.153846 , son cajas que no se han usado por lo tanto su precio dual es :0.000000Cajas de Percebes:

0.000000,se usa todo lo disponible y si se pide una caja mas se gana: 38.076923

Optimalidad:Rangos en Ci La ganancia por cada tipo de contenedor tiene el siguiente rango:

9 Tipo A: X1 210.000000 990.000000 124.285713(210-124.285713) <= c1<= (210+990)

El precio máximo es de :1200El precio mínimo es de:85,71Tipo B: X2 300.000000 435.000000 247.500000(300-247,5)<= c2<=(300+435)

El precio máximo es de :735El precio mínimo es de: 52,5Mientras se este dentro de estos rangos la solución no cambia.

Rangos en Bi

Cajas de Langostinos: 16.000000 12.000000 10.285714(16-10,285714)<=b1<=(16+12)La máxima cantidad de cajas que puede comprar el supermercado es: 16+12=28La mínima cantidad de cajas que puede comprar el supermercado es: 16-10,285714=5,714Cajas de Nécoras: 5.000000 INFINITY 1.153846(5-1,153846)<=b2<=(5+infinito)La máxima cantidad de cajas que puede comprar el supermercado es: 5+infinito= InfinitoLa mínima cantidad de cajas que puede comprar el supermercado es: 5-1,153846=3,846Cajas de Percebes: 20.000000 10.000000 16.000000(20-16)<=b3<=(20+10)La máxima cantidad de cajas que puede comprar el supermercado es: 20+10=30La mínima cantidad de cajas que puede comprar el supermercado es: 20-16=4Si se mantienen dentro de estos rangos el modelo es optimo.

3 )3 ) Un carpintero tiene que construir mesas rectangulares cuyas dimensiones no sobrepasen 2 metros y tales que la suma de su dimensión mayor y el doble de la menor no sobrepase 4 metros. ¿Cuál es el máximo valor del perímetro de dichas mesas?

Solución:Variable de Decisión:Xi= Dimensión del lado i(i=Mayor, Menor=1,2) de las mesas a construir.Función Objetivo:MAX=2X1+2X2Sujeto a:Dimensión del lado mayor:X1<=2

9 Dimensión del lado menor:X2<=2Requerimiento:X1+2X2<=4

LINDO

MAX 2X1+2X2stX1<=2X2<=2X1+2X2<=4endLP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 6.000000

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 2.000000 0.000000 X2 1.000000 0.000000


NO. ITERATIONS= 2


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 2.000000 INFINITY 1.000000 X2 2.000000 2.000000 2.000000


Interpretación:La máxima dimensión de la mesa es: 6.La dimensión del lado mayor es de: X1=2.La dimensión del lado menor es de: X2 =1.

Dimensión del lado mayor: 0.000000 ,se ha cumplido con el requerimiento, si se incrementa en una unidad ,la dimensión se incrementa en 1 unidadDimensión del lado menor:

9 1,se esta por debajo del requerimiento máximo en 1 dimensión, por lo tanto su precio dual es 0.000000Requerimiento:Se ha cumplido el requerimiento del perímetro, si este se incrementa la dimensión se incrementa en 1

Optimalidad:Rango en Ci

Lado Mayor X1 2.000000 INFINITY 1.000000(2-1)>=c1<=(2+infinito)La dimensión máxima del lado mayor es : 2+infinito = InfinitoLa dimensión mínima del lado mayor es: 2-1=1 Lado Menor X2 2.000000 2.000000 2.000000(2-2)<=c2<=(2+2)La dimensión máxima del lado menor es : 2+2 = 4La dimensión mínima del lado mayor es: 2-2=0. Cosa que seria imposible.

Factibilidad:Rangos en Bi

Dimensión del lado mayor: 2 2.000000 2.000000 2.000000(2-2)<=b1(2+2)El valor máximo del lado mayor es: 2+2=4El valor mínimo del lado mayor es: 2-2=0Dimensión del lado menor: 3 2.000000 INFINITY 1.000000(2-1)<=b2<=(2+infinito)El valor máximo del lado menor es: 2-1=1El valor mínimo del lado menor es: 2+infinito=infinito

Requerimiento: 4 4.000000 2.000000 2.000000(4-2)<=b3<0(4+2)

El valor máximo del requerimiento es: 4 +2=6El valor mínimo del requerimiento es: 4 -2=2

4) Una fábrica textil elabora prendas de punto de calidades A , B y C. Las de calidad A se fabrican con 1 unidad de lana y 2 unidades de fibra sintética y las de calidad B con dos unidades de lana y 1 de fibra sintética.,las de calidad C con 2 unidades de lana y 3 de fibra sintetica. Los beneficios obtenidos en la venta de las prendas son de S/1500 para las de calidad A ,S/1000 para las de calidad B y S/800 para las de calidad C. Sabiendo que sólo se dispone de 180 unidades de lana y 240 de fibra sintética, se pide:

a) Determinar cuántas prendas de cada tipo deben elaborarse para obtener un beneficio máximo si la producción no puede ser superior a 1.000 prendas.

b) ¿A cuánto ascenderá dicho beneficio? Justificar las respuestas.

Solución:

A B C DISPONIBLELANA 1 2 2 180

FIBRA SINTETICA 2 1 3 240

9 Beneficios S/ 1500 S/ 1000 S/ 800

Variable de Decisión:Xi= Número de unidades de prendas de calidad i(i=A,B,C=1,2,3) a elaborar.Función Objetivo:Max=1500x1+1000x2+800x3Restricciones:Lana:1x1+2x2+2x3<=180Fibra Sintética:2x1+1x2+3x3<=240Producción:x1+x2+x3<=1000

LINDO

Max 1500x1+1000x2+800x3st1x1+2x2+2x3<=1802x1+1x2+3x3<=240x1+x2+x3<=1000end



1) 190000.0

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 100.000000 0.000000 X2 40.000000 0.000000 X3 0.000000 1533.333374


NO. ITERATIONS= 2


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 1500.000000 500.000000 1000.000000 X2 1000.000000 2000.000000 250.000000 X3 800.000000 1533.333374 INFINITY

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 180.000000 300.000000 60.000000 3 240.000000 120.000000 150.000000 4 1000.000000 INFINITY 860.000000

9

Interpretación:Beneficio: 190000

Producción: X1 100 prendas tipo A X2 40 prendas tipo B X3 0 prendas tipo C,para elaborarse debe tener un beneficio mayor de:800 + 1533.333374 = 2333,33

Lana: Se usa toda la lana disponible, si se usa 1 unidad mas se gana 166,666Fibra Sintética: Se usa toda la lana disponible si se usa 1 unidad mas se gana 666.666687Producción: 860 unidades de capacidad de producción no se usa.

Optimalidad:Rangos de Ci:Prenda tipo A

X1 1500.000000 500.000000 1000.000000(1500-1000)<=c1<=(1500+500)500<=c1<=2000El beneficio máximo del producto tipo A es:2000El beneficio mínimo del producto tipo A es:500

Prenda tipo B X2 1000.000000 2000.000000 250.000000(1000-250)<=c2<=(1000+2000)750<=c2<=3000El beneficio máximo del producto tipo B es:3000El beneficio mínimo del producto tipo B es:750

Prenda tipo C X3 800.000000 1533.333374 INFINITY(800-infinito)<=c3<=( 800 +1533,33)-infinito<=c3<=2333,33El beneficio máximo del producto tipo C es:2333,33El beneficio mínimo del producto tipo C es: 0

Factibilidad:Rangos de Bi Lana: 180.000000 300.000000 60.000000(180-60)<=b1<=(180+300)120<=b1<=480Cantidad máxima de unidades de lana: 480Cantidad mínima de unidades de lana: 120

Fibra Sintética: 240.000000 120.000000 150.000000(240-150)<=b2<=(240+120)90<=b2<=360

9 Cantidad máxima de unidades de fibra sintética: 360Cantidad mínima de unidades de fibra sintética: 90

Producción: 1000.000000 INFINITY 860.000000(1000-860)<=b3<=(1000+infinito)140<=b3<=infinitoCantidad máxima de unidades de producción: InfinitoCantidad mínima de unidades de producción: 140

Factibilidad:Rangos en Bi

Moldeado: 1500.000000 300.000000 300.000000(1500-300)<=b1<=(1500+300)1200<=b1<=1800Horas máximas para moldeado: 1800Horas mínimas para moldeado: 1200

Pintura: 1500.000000 INFINITY 300.000000(1500-300)<=b2<=(1500+infinito)1200<=b2<=infinitoHoras máximas para pintura: infinitoHoras mínimas para pintura: 1200

Montaje: 600.000000 150.000000 100.000000(600-100)<=b3<=(600+150)500<=b3<=750Horas máximas para montaje: 750Horas mínimas para montaje: 500

9

PROBLEMA 6.- Un editor dedica parte de su tiempo a la elaboración de afiches publicitaria. La empresa A le paga 5. por cada afiche elaborado y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 por afiche. El editor hace dos tiraje: una para los afiches A, en la que caben 120, y otra para los afiches B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de elaborar 150 afiches como máximo.

Afiche A Afiche B disponibleGanancia 5 7Cantidad <=120 <=100Cantidad Máxima

150

Variable:Xi= Número de afiches tipo i(i=A,B=1,2)Función Objetivo:Max 5x1+7x2StCantidad maxima de Afiche AX1<=120Cantidad maxima de afiche BX2<=100Cantidad maxima combinadaX1+x2<=150End

LINDO LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 950.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 50.000000 0.000000 X2 100.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 70.000000 0.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 0.000000 5.000000

NO. ITERATIONS= 2


9 OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 5.000000 2.000000 5.000000 X2 7.000000 INFINITY 2.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 120.000000 INFINITY 70.000000 3 100.000000 50.000000 70.000000 4 150.000000 70.000000 50.000000

OBJECTIVE FUNCTION VALUEGANANCIA

2) 950.0000UNIDADES A ELABORAR VARIABLE VALUE REDUCED COST

TIPO A X1 50.000000 0.000000 TIPO B X2 100.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICESSOBRANTE DE CAPACIDAD DE AFICHE TIPO A

2) 70.000000 0.000000, precio dual ceroNO HAY SOBRANTE DE CAPACIDAD DE AFICHE TIPO B 3) 0.000000 2.000000 ,precio dual 2,es decir por cada afiche tipo B adicional se gana 2NO HAY SOBRANTE DE CAPACIDAD MAXIMA 4) 0.000000 5.000000, precio dual 5,es decir por cada unidad adicional combinada se gana 5

NO. ITERATIONS= 2


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE

X1 5.000000 2.000000 5.000000Para afiche tipo ALa ganancia máxima es : 5+2 =7La ganancia mínima es: 5-5=0 X2 7.000000 INFINITY 2.000000Para afiche tipo BLa ganancia máxima es : 7+infinito =InfinitoLa ganancia mínima es: 7-2=5

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE

9 2 120.000000 INFINITY 70.000000Afiche tipo A:Cantidad Máxima : 120+0=120Cantidad Mínima: 120-70=50 3 100.000000 50.000000 70.000000Afiche tipo B:Cantidad Máxima : 100+50=150Cantidad Mínima: 100-70=30

4 150.000000 70.000000 50.000000Cantidad máxima combinadaValor máximo : 150+70=220Valor mínimo: 150-50=100

PROBLEMA 7.- SONY fabrica dos productos: (1) el Pentium III un radiocasete portátil y (2) el Pentium IV. El proceso de producción de ambos productos se asemeja en que los dos necesitan un número de horas de trabajo en el departamento de electrónica, y un cierto número de horas de mano de obra en el departamento de montaje. Cada Pentium III necesita cuatro horas de trabajo de electrónica y dos en el taller de montaje. Cada Pentium IV necesita tres horas de electrónica y una en montaje. Durante el actual período de producción se dispone de doscientas cuarenta horas en el departamento de electrónica y de cien horas en el de montaje. Cada Pentium III vendido supone un beneficio de 700 dólares, mientras que para una Pentium IV el beneficio unitario es de 500 dólares. El problema de SONY es determinar la mejor combinación posible de Pentium III y PENTIUM IV que debe producir para alcanzar el máximo beneficio.

Pentium III Pentium IV Disponible

Dpto. Electrónica 4h/unid 3h/unid 240 hDpto. Mano de Obra

2h/unid 1h/unid 100 h

Beneficio $700/unid $500/unid

Variable de Decisión:Xi= Número de unidades del producto tipo i(i= Pentium III, Pentium IV=1,2) a producir.Función Objetivo:Max 700x1+500x2Restricciones:Dpto. Electrónica4x1+3x2<=240Dpto. Mano de Obra2x1+x2<=100

LINDOMax 700x1+500x2St4x1+3x2<=2402x1+x2<=100



1) 41000.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST

9 X1 30.000000 0.000000 X2 40.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 150.0000 3) 0.000000 50.0000 NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 700.000000 300.000000 33.3333 X2 500.000000 0250.000 150.0000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 240.000000 60.000000 40.000000 3 100.000000 20.000000 20.000000

Ganancia: 41000Producción: X1 =30 Pentium III , X2 =40. Pentium IV

Dpto Electronica,todo el tiempo se usa.y si se incrementa se gana 150 por cada hora adicional.Dpto de Mano de Obra, todo el tiempo se usa.y si se incrementa se gana 50 por cada hora adicional. Variación de beneficios:Pentium III ,

X1 700.000000 300.000000 33.3333(700-33,3)<=c1<=(700+300)667.7<=c1<=1000Beneficio maximo: 1000Beneficio minimo:667,7

Pentium IV X2 500.000000 25.0000 150.0000(500-150)<=c2<=(500+ 25)350<=c2<=525Beneficio máximo :525Beneficio mínimo: 350

Variación de horas:Dpto. electrónica: 2 240.000000 60.000000 40.000000(240-40)<=b1<=(240+60)200<=b1<=300Horas máximas :300 horasHoras mínimas: 200 horasDpto. Mano de obra 3 100.000000 20.000000 20.000000

9 (100-20)<=b2<=(100+20)80<=b2<=120Horas máximas :120 horasHoras mínimas: 80 horas

Problema 8.

La empresa de zapatos Risto, elabora dos tipos de zapatos de adultos y de niños, los datos recogidos Se dan en la siguiente tabla:

RECURSOS ZAPATOS DE ADULTOS

ZAPATOS DE NIÑO DISPONIBLE

CUERO 35 PIES/DOCENA 24 PIES/DOCENA 1250 PIES/SEMANAPLANTAS 12 PLANTAS/DOCENA 12 PLANTAS/DOCENACOSTO DE PLANTAS

S/90/DOCENA S/60 /DOCENA

OTROS COSTOS S/42/DOCENA S/30/DOCENAPERFILADO S/28/DOCENA S/20/DOCENAENSUELADO S/30/DOCENA S/25/DOCENAALISTADO S/8/DOCENA S/8/DOCENACUEROS(S6/PIE) S/210/DOCENA S/144/DOCENACOSTO TOTAL S/408/DOCENA S/227/DOCENAPRECIO DE VENTA

S/540/DOCENA S/300/DOCENA

UTILIDAD S/132/DOCENA S/73/DOCENA

DEMANDA 20 DOCENAS/SEMANA

15 DOCENAS/SEMANA

PERFILADO 8H/DOCENA-TRABAJADOR

8H/ DOCENA-TRABAJADOR

(6TRABAJ/DIA)(6DIAS

/SEMANA)*(10H/DIA)

ENSUELADO 8H/ DOCENA-TRABAJADOR

8H/ DOCENA-TRABAJADOR

(7TRABAJ/DIA)(6DIAS/SEMANA)*(10H/DIA)

ALISTADO 4H/ DOCENA- 4H/ DOCENA- (3TRABAJ/DIA)

9 TRABAJADOR TRABAJADOR (6DIAS

/SEMANA)*(10H/DIA)

Con la información dada, elaborar el modelo lineal y hacer el análisis de sensibilidad.

Solución:

Variable de decisión:Xi= Docenas de zapatos de tipo I(I= de adultos,de niños=1,2) a producir semanalmente

Función Objetivo:

Maximizar utilidades:

MAX=(S/132/docenas)(X1 docenas/semana)+(S/73/docena)(X2 docenas/semana)

Cuero:35X1+24X2<=1250Perfilado:8X1+8X2<=360Ensuelado:8X1+8X2<=420

Alistado:4X1+4X2<=180Demanda de zapatos de adultos:X1>=20Demanda de zapatos de niños:X2>=15

LINDO

MAX132X1+73X2

ST

35X1+24X2<=12508X1+8X2<=3608X1+8X2<=4204X1+4X2<=180X1>=20X2>=15



1) s/4451.571 de utilidad semanal.

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 25.428572 0.000000 ,producir 25.42 docenas de zapatos de adultos a la semana

9 X2 15.000000 0.000000,producir 15 docenas de zapatos de niños a la semana

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.771429,todo el cuero se usa,por cada pie adicional se gana s/3.77 3) 36.571430 0.000000,sobra 36.57 horas de perfilado 4) 96.571426 0.000000,sobra 96.57 horas de ensuelado 5) 18.285715 0.000000,sobra 18.28 horas de alistado 6) 5.428571 0.000000,sobra 5.52 docenas de zapatos de adultos 7) 0.000000 -17.514286,sobra 0 docenas de zapatos para niños, por cada docena adicional se pierde s/17.51 .

NO. ITERATIONS= 2


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 132.000000 INFINITY 25.541666, la utilidad de zapatos de adultos puede crecer infinito y puede disminuir s/25.54 X2 73.000000 17.514286 INFINITYla utilidad de zapatos de niños puede crecer s/17.51 y puede disminuir infinito

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 1250.000000 160.000000 189.999985, se puede incrementar los pies de cuero en 160 pies o se puede disminuir 189.99 pies 3 360.000000 INFINITY 36.571430se puede incrementar infinito las horas de perfilado o se puede disminuir 36.57 horas 4 420.000000 INFINITY 96.571426se puede incrementar infinito las horas de ensuelado o se puede disminuir 96.57 horas 5 180.000000 INFINITY 18.285715se puede incrementar infinito las horas de alistado o se puede disminuir 18.28 horas 6 20.000000 5.428571 INFINITYse puede incrementar 5.42 docenas la demanda de zapatos de adultos o se puede disminuir infinito 7 15.000000 7.916666 15.000000se puede incrementar 7.91 docenas la demanda de zapatos de niños o se puede disminuir 15 docenas

Modificando la disponibilidad de cuero e incrementando a su máximo el modelo queda:

MAX132X1+73X2

ST

9 35X1+24X2<=14108X1+8X2<=3608X1+8X2<=4204X1+4X2<=180X1>=20X2>=15

LINDO


OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 5055.000 ,la utilidad se increnta a s/ 5055. VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 30.000000 0.000000 X2 15.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.771429 3) 0.000000 0.000000 4) 60.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 10.000000 0.000000 7) 0.000000 -17.514286 NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 132.000000 INFINITY 25.541666 X2 73.000000 17.514286 INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 1410.000000 0.000000 350.000000 3 360.000000 INFINITY 0.000000 4 420.000000 INFINITY 60.000000 5 180.000000 INFINITY 0.000000 6 20.000000 10.000000 INFINITY 7 15.000000 0.000000 15.000000

Problema 9El año venidero una compañía constructora puede participar en dos futuros proyectos. El

flujo de efectivo trimestral para los dos proyectos (las flechas hacia arriba representan

gastos) se resume en la siguiente figura.

9

Todos los fondos están en millones de unidad monetaria. La compañía tiene efectivo de

$1 000 000 por trimestre y puede obtener préstamos por una unidad igual, al principio de

cada trimestre, con un interés nominal de 10% anual. Cualquier préstamo debe pagarse

al principio del siguiente trimestre. De esta manera los fondos excedentes pueden

invertirse al 8% anual.

La compañía constructora desea determinar el resultado neto (pérdida o ganancia) se si

emprenden los proyectos. Supóngase que la compañía puede participar en los proyectos

de forma parcial o total. La participación parcial escalará los fondos de flujo de efectivo

en forma proporcional.La empresa desea maximizar sus fondos al final del año.

SOLUCION

a) Variables

Pi = fracción del proyecto i por emprenderse (0 ≤ Pi ≤ 1), i = 1.2.

Bi = cantidad tomada en préstamos (millones de unidad monetaria) en el

trimestre j, j = 1, 2, 3, 4.

Si = cantidad excedente (millones de unidad monetaria) al principio del

trimestre j, j = 1, 2, 3, 4.

b) Grafica:

1 2 3 4 5

1+B1 1+B2 1+B3 1+B4

1P1+3P2 3.1P1+2.5P2 1.5P1-1.5P2 -1.8P1-1.8P2 -5P1-2.8P2

1.025B1 1.025B2 1.025B3 1.025B4

S5

S4S3S1 S21.02B1 1.02B2 1.02B3 1.02B4

c) Modelos Matemático

P1 + 3 P2 + S1 = 1 +B1

3.1 P1 + 2.5 P2 – 1.02S1 + S2 + 1.025B1 = 1 + B2

1.5 P1 - 1.5 P2 – 1.02S2 + S3 + 1.025B2 = 1 + B3

-1.8 P1 – 1.8 P2 – 1.02S3 + S4 + 1.025B3 = 1 + B4

-5 P1 – 2.8 P2 – 1.02S4 + S5 + 1.025B4 = 0

0 ≤ Pi ≤ 1, i = 1, 2.

0 ≤ Bj ≤ 1, j = 1,2,3,4.

9 Global optimal solution found. Objective value: 4.836624 Total solver iterations: 6

Variable Value Reduced Cost S5 4.836624 0.000000 P1 0.7112528 0.000000 P2 0.000000 0.3796149 S1 0.2887472 0.000000 B1 0.000000 0.6121702E-02 S2 0.000000 0.5972392E-02 B2 0.9103617 0.000000 S3 0.000000 0.1540784 B3 1.000000 0.000000 S4 1.255255 0.000000 B4 0.000000 0.5000000E-02

Row Slack or Surplus Dual Price 1 4.836624 1.000000 2 0.000000 1.248827 3 0.000000 1.224340 4 0.000000 1.194478 5 0.000000 1.020000 6 0.000000 1.000000 7 0.2887472 0.000000 8 1.000000 0.000000 9 1.000000 0.000000 10 0.8963830E-01 0.000000 11 0.000000 0.1489784 12 1.000000 0.000000

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease S5 1.000000 INFINITY 1.000000 P1 0.0 INFINITY 0.5173937 P2 0.0 0.3796149 INFINITY S1 0.0 0.6116225E-02 0.1675047 B1 0.0 0.6121702E-02 INFINITY S2 0.0 0.5972392E-02 INFINITY B2 0.0 0.5993967E-02 0.2069426 S3 0.0 0.1540784 INFINITY B3 0.0 INFINITY 0.1489784 S4 0.0 0.5000000E-02 3.797778 B4 0.0 0.5000000E-02 INFINITY

Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 1.000000 1.580583 0.3352941 3 1.000000 1.612195 0.3420000 4 1.000000 0.1245146 1.264563 5 1.000000 INFINITY 1.255255 6 0.0 INFINITY 4.836624 7 1.000000 INFINITY 0.2887472

9 8 1.000000 INFINITY 1.000000 9 1.000000 INFINITY 1.000000 10 1.000000 INFINITY 0.8963830E-01 11 1.000000 0.1245146 1.000000 12 1.000000 INFINITY 1.000000

Análisis de Sensibilidad

Para el problema planteado, podemos observar en los cuadros que la solución

recomendada es: La empresa debe invertir en el proyecto 1 de manera parcial, con una

participación del 71.13% y abstenerse de participar en el proyecto 2. Obteniendo así una

fondo acumulado al final del año de 5.8366 millones de Um.

También se puede determinar que si se desea obtener un poco más de fondo acumulado,

es recomendable gestionar un aumento en el préstamo del 3er trimestre, aumento que

sería de 0.1245 millones de Um, obteniendo así un aumento en la función objetivo de

0.01855 millones de Um.

PROBLEMA 10

El vivero Walnut tiene dos granjas en donde se cultiva trigo y maíz. Debido a las condiciones del suelo distintas, hay diferencias en el rendimiento y el costo al cultivar los cereales en las dos granjas. Ambas granjas cuentan cada una con 100 acres disponibles para el cultivo. Se deben sembrar 1100 bushel de trigo y 7000 bushel de maíz. Encuentre un plan de siembra q minimice el costo para poder cumplir con la demanda ¿Como se podría usar una generalización de este modelo para asignar en forma eficiente la producción de cultivos en toda una nación?

Granja 1 Granja 2 RequerimientoTrigo 400 bushel/acre 350 bushel/acre 1100 bulshelsCosto 90$/acre 80 $/acre Maíz 500 bushel/acre 850 bushel/acre 7000 bulshelsCosto 100 $/acre 120 $/acre Disponible 1000 acre 1000 acre

MODELO DE PL

min 90x11+80x12+100x21+120x22stx11+x21<=100 Acresx12+x22<=100 Acres400x11+350x12>=11000 bushels de trigo 500x21+650x22>=7000 bushels de maiz End

ANALISIS DE SENSIBILIDAD:



9 1) 3767.308 $/acre

VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 27.500000 acres 0.000000 X12 0.000000 acres 1.250000 X21 0.000000 acres 7.692307 X22 10.769231 acres 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 72.500000 (slack) acres 0.000000 3) 89.230766 (slack) acres 0.000000 4) 0.000000 (surplus) bushels -0.225000 5) 0.000000 (surplus) bushels -0.184615

NO. ITERATIONS= 0


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X11 90.000000 1.428571 90.000000 X12 80.000000 INFINITY 1.250002 X21 100.000000 INFINITY 7.692306 X22 120.000000 9.999998 120.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 100.000000 INFINITY 72.500000 3 100.000000 INFINITY 89.230766 4 11000.000000 29000.000000 11000.000000 5 7000.000000 57999.996094 7000.000000

• Analizando las variables: X11:Es conveniente cultivar27.500000 acres trigo en la granja 1. X12: No es conveniente cultivar trigo en la granja 2. X21: No es conveniente cultivar maíz en la granja 1. X22 :Es conveniente cultivar10.769231 acres de maíz en la granja 2.

• Analizando slack o surplus:

2) Sólo se uso27.5 acres, es decir hubo un sobrante de 72.5 acres .3) Se utilizó 10.77 acres, es decir hubo un sobrante de 89.23 acres 4) Se usaron los 11000 bushels, es decir no hubo excedentes.5) No hubo excedentes. Se usaron los 7000 bushels.

9

Problema 11

Steelco produce dos tipos de acero en tres acererías distintas. Cada acerería tiene disponibles en un mes dado 200 horas de tiempo de alto horno. Debido a las diferencias en los hornos de cada acerería, el tiempo y el costo por producir una tonelada de acero son distintas en cada una de ellas. El tiempo y el costo en cada una de ellas se proporciona en la tabla. Cada mes Steelco debe producir por lo menos 500 toneladas de acero 1 y 600 toneladas de acero2. Plantee un PL para minimizar el costo de producir el acero deseado.

Acero 1 Acero 2 Disponible

Acerería 1

tiempo costo

20’ /tn $10 /tn

tiempo costo

22’/tn $11/tn

200 h/mes

Acerería2 24’ /tn $12/tn 18’/tn $9/tn 200 h/mes

Acerería 3

28’ /tn $14/tn 30’/tn $10/tn 200 h/mes

MODELO DE PLmin 10x11+11x12+12x21+9x22+14x31+10x32st20x11+22x12<=1200024x21+18x22<=1200028x31+30x32<=12000x11+x21+x31>=500x12+x22+x32>=600end




1) 10400.00 $/mes

VARIABLE VALUE REDUCED COST X11: 500.000000 tn/mes 0.000000 X12: 0.000000 tn/mes 2.000000 X21: 0.000000 tn/mes 2.000000 X22: 600.000000 tn/mes 0.000000 X31: 0.000000 tn/mes 4.000000 X32: 0.000000 tn/mes 1.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

9 2) 2000.000000 (slack) min/mes 0.000000 3) 1200.000000 (slack) min/mes 0.000000 4) 12000.000000 (slack) min/mes 0.000000 5) 0.000000 (surplus) tn/mes -10.000000 6) 0.000000 (surplus) tn/mes -9.000000

NO. ITERATIONS= 2


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X11 10.000000 2.000000 10.000000 X12 11.000000 INFINITY 2.000000 X21 12.000000 INFINITY 2.000000 X22 9.000000 1.000000 9.000000 X31 14.000000 INFINITY 4.000000 X32 10.000000 INFINITY 1.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 12000.000000 INFINITY 2000.000000 3 12000.000000 INFINITY 1200.000000 4 12000.000000 INFINITY 12000.000000 5 500.000000 100.000000 500.000000 6 600.000000 66.666664 600.000000

• Analizando las variables:

X11:, Es conveniente producir 500.000000 tn/mes de acero de tipo 1 en la acerería 1. X12: No es conveniente producir acero de tipo 2 en la acerería 1. X21: No es conveniente producir acero de tipo 1 en la acerería 2. X22: Es conveniente producir 600.000000 tn/mes de acero de tipo 2 en la acerería 2. X31: No es conveniente producir acero de tipo 1 en la acerería 3. X32:No es conveniente producir acero de tipo 2 en la acerería 3.


2) Sólo se uso 10000 min/mes, es decir hubo un sobrante de 2000 min/mes. 3) Sólo se uso 10800 min/mes, es decir hubo un sobrante de 1200 min/mes. 4) Sólo se uso 0 min/mes, es decir hubo un sobrante de 12000 min/mes. 5) Se usaron los 500 toneladas/mes, es decir no hubo excedentes. 6) Se usaron los 600 toneladas/mes, es decir no hubo excedentes.

Problema 12

Candy Kane Cosmetics (CKC) fabrica el pefume Leslie, el cual requiere productos químicos y mano de obra. Hay dos procesos de producción: En el proceso 1 se transforma

9 una unidad de mano de obra y dos unidades de productos químicos en 3oz de perfume. En el proceso 2 se transforma dos unidades de mano de obra y tres unidades de producto químico en 5oz de perfume. CKC gasta 3 dólares al comprar una unidad de mano de obra y 2 dólares por una unidad de productos químicos. Se pueden comprar cada año hasta 20000 unidades de mano de obra y 35000 unidades de productos químicos. Como no hay publicidad, CKC opina que puede vender 1000oz de perfume. Para estimular la demanda de Leslie, CKC. Desea contratar a la bella modelo Jenny Nelson. Jenny cobra 100 dolares la hora. Se estima que por cada hora que Jenny trabaja por la compañía la demanda del producto se incrementa en 200oz. Cada onza del perfume Leslie se vende en 5 dólares. Utilice la PL para determinar como CKC puede maximizar su utilidad.

Proceso 1 Proceso 2 Costo Disponible

MO 1 unid/corrida

2 unid/corrida

3 $/unidad 2000 unidades

P. Químicos 2 unid/corrida 3 unid/corrida

2 $/unidad 35000unidades

Producción 3 onz/corrida 5 onz/corrida

Venta 1000 oz modelo

Precio de Venta

5 $/onza 5 $/onza 100$/unid 200 onz/unid

MODELO DE PL

max 15x1+25x2-100h-3x1-6x2-4x1-6x2st1x1+2x2<=200002x1+3x2<=350003x1+5x2-200h=1000end


OBJECTIVE FUNCTION VALUE: 1) 118000.0$/corrida

VARIABLE VALUE X1 10000.000000 corrida X2 5000.000000 corrida H 270.000000 horas

ROW SLACK OR SURPLUS2) 0.000000 (slack) unidades 3) 0.000000 (slack) unidades

4) 0.000000 (slack) onzas

NO. ITERATIONS= 3

9


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 15.000000 1.833333 2.250000 X2 25.000000 4.500000 2.750000 H -100.000000 100.000000 900.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 20000.000000 3333.333252 2500.000000 3 35000.000000 5000.000000 5000.000000 4 1000.000000 14000.000000 INFINITY

• Analizando las variables:

El maximo beneficio es de 118000.0$/ y se da mediante lo sgte:

X1: Es conveniente 10000.000000 corridas en el proceso 1. X2 : Es conveniente 5000.000000 corridas en el proceso 2. H: Asimismo es conveniente contratar a la modelo por 270 horas.


2) Se usaron las 20000 unidades, no hubo sobrantes. 3) Se usaron las 35000 unidades, no hubo sobrantes. 4) Se usaron las 1000 onzas, no hubo sobrantes.

9

SESION IV

TRANSPORTE

9

EL MODELO DE TRANSPORTE

En particular, el problema general de transporte se interesa en la distribución de

cualquier artículo desde cualquier grupo de centros de suministro, llamados

FUENTES, hacia cualquier grupo de centros receptores, llamados DESTINOS, de

modo que se minimicen

los costos totales de distribución.

Así entonces, en general, la fuente i (i=1,2,.....,m) tiene un suministro de Si

unidades para distribuir a los destinos, y el destino j (j = 1,2,......,n) tiene una demanda

de dj unidades para ser recibidas de las fuentes i al destino j es

directamente proporcional al número distribuido, donde Cij denota el costo por

unidad distribuida.

El planteamiento de programación lineal de esta problema queda como sigue:

m nMinimizar Z = CijXij

i j1

Sujeta a

n

Xij Si , para i = 1,2,...,mj 1

9

m

X

ij

d

jj 1

, para j = 1,2,....,n

Xij 0 , para todo i y j

Costos por unidad distribuida

Destino

1 2 ................ n Suministro

1 C11 C12 ................ C1n S1

2 C21 C22 ................ C2n S2

M M M M M

m Cm1 Cm2 ................ Cmn Sm

Demanda d1 d2 ................ dn

Debe hacerse notar que el modelo tiene soluciones factibles sólo si

m

S

ii 1

n= dj

i 1

Esta condición de que la oferta total debe ser igual a la demanda total simplemente requiere

que el sistema esté en equilibrio.

Si el problema tiene significado físico y no se satisface

esta condición, por lo común significa que Si , o bien , dj en

realidad representa una cota, en lugar de un requerimiento

exacto. Si este es el caso puede introducirse una “fuente” o

“destino” ficticios para captar la holgura con el fin de convertir

las desigualdades en igualdades y satisfacer la condición de

factibilidad.

Formato del cuadro símplex de transporte

Destino

1 2 ................ n Suministro Ui

C11 C12 ................ C1n

1 S1

C21 C22 ................ C2n2 S2

Fuente

M M MM M

Cm1 Cm2 ................ Cmnm Sm

Demanda d1 d2 ................ dn

Vj

Información adicional a que debe agregarse en cada celda

Si Xij es unavariable básica

Si Xij es unavariable no básica

Cij

Cij

Xij Cij –Ui –

PASO DE INICIALIZACIÓN

Veamos primero, cuál es el número de Variables Básicas en cualquier

solución básica de un problema de transporte. Aún cuando hay (m+n) restricciones

funcionales, el número de variables básicas es tan solo (m+n-1). La razón es que

tienen restricciones de igualdad y este conjunto de (m+n) ecuaciones tiene una

ecuación extra (o redudante) que puede eliminarse sin cambiar la región factible, es

decir, cualquiera de las restricciones se satisfacen automáticamente siempre que se

satisfagan las otras m+n-1 restricciones.

Criterios Alternativos para el Paso de Inicialización

1- Método de aproximación de Vogel

2- Método de aproximación de Russell

Destino

1 2 3 4 5 Abast. Ui

16 16 13 22 17

1 50

14 14 13 19 152 60

Fuente

19 19 20 23 M3 50

4(F)

M 0 M 0 0

50

METODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL

Para cada renglón y columna que queda bajo consideración, se calcula la

diferencia, que se define como la diferencia aritmética entre el costo unitario más

pequeño (Cij) y el que sigue, de los que quedan en ese renglón o columna. En el

renglón o columna que tiene

la mayor diferencia se elige la variable que tiene el menor costo unitario que queda.

METODO DE APROXIMACIÓN DE RUSSELL

Para cada renglón de origen que queda bajo consideración debe determinarse ui ,

su

mayor costo unitario (Cij) de los que quedan en ese renglón. Para cada columna de destino

que todavía está bajo consideración, determínese su vj , el mayor costo unitario de los

que

hay en esa columna. Para cada variable Xij que no haya sido seleccionada en

estos

renglones o columnas, calcúlese

ij = Cij

- ui

- vj . Selecciónese la variable

con el mayor

valor negativo (en términos absolutos) de ij .

ff

Solución básica factible inicial a partir del método de aproximación de Vogel

1 2 3 45 Abast.

Dif

renglón

1 16 16 13 22 1750 3

2 14 14 13 19 1560 1

3 19 19 20 23 M50 0

4(F) M 0 M

0 0

Demanda 30 20 70

30 60

50

0

Dif.

Columna

02 14 19 15

Mayor

Selecciónese X44 = 30 Elimínese la columna 4 50-30=20

°

1 2 35 Abast.

Dif

renglón

1 16 16 13 17 503

2 14 14 13 15 601

3 19 19 20 M 500

4(F) M 0M 0

20 0

Demanda 30 20 70 60

Dif.

Columna

2 140

Selecciónese X45 = 20

15Elimínese la fila 4(F)

Mayor

60 – 20 =40

`̀

1 2 35 Abast.

Dif

renglón

1 16 1613 17

50

3

Mayor

2 14 14 13 15 601

3 19 19 20 M 500

Demanda 30 20 70 60

Dif.

Columna

2 2 0

70 – 50 =

20

Selecciónese X13 = 50 Elimínese el renglón 1

1 2 35 Abast.

Dif

renglón

2 14 1413 15

60 1

M3 19 19

20

50 0

Demanda 30 20 20 40

Dif.

Columna

5 57

M-15 Mayor

Selecciónese X25 = 40 Elimínese columna 5 60-40=20

1 2 3Abast.

Dif

renglón

2 14 14

1320 1

3 19 19 20 50 0

Demanda 3020

Dif.5

5Columna

Selecciónese X2320

=20 Elimínese el

7renglón 2

Mayor

1 2 3Abast.

3 19 1920 50

Demanda 30 200

Selecciónese

X31 =30

X32= 20

X33= 0

Variable básica degenerada

Solución básica factible inicial a partir del método de aproximación de Russell

ij = Cij - ui - vj .

Iteración

u1

u2

u3

u4

v1

v2

v3

v4

ij mayor

v5negativo

Asignación

1 22 19 M M M 19M 23 M

45 = -2M X45 = 50

2 22 19 M 19 1920 23 M

15 = -5M X15 = 10

3 22 19 23 19 19 20 23

13 = -29 X13 = 40

4 19 23 19 19 20 23

23 = -26 X23 = 30

5 19 23 19 19 23

21 = -24 X21 = 30

Inaplicable X31 = 0 ; X32 = 20X34 = 30

Destino

1 2 3 4 5Abast. Ui

16 16 13 22 171

50

40 10

14 14 3 19 152

60

30 30

19 19 20 23 M3

50

0 20 30

4(F)

M 0 M 0 050

50

Demanda 30 20 70 30 60

Vj

METODO SIMPLEX DE TRANSPORTE

Paso Iterativo

Como con el método simples, el paso iterativo debe determinar una variable

básica que entra (Parte 1), una variable básica que sale (Parte 2) y, a continuación,

identificar la nueva solución básica factible resultante (Parte 3).

Parte 1: Como (Cij - ui - vj ) representa la tasa a la cual cambiaría la función objetivo a

medida que se incrementa la variable no básica Xij, la variable básica que entra

debe tener una (Cij - ui - vj ) negati va para hacer decrecer el cost o t ot al Z.

Parte 2: Al incrementar la variable básica que entra a partir de cero se inicia una reacción

en cadena de cambios compensadores en las otras variables básicas.

REGLA DE DETENCIÓN

Criterio de Optimidad

Una solución básica factible es óptima si,

sólo si (Cij - ui

- vj ) 0

para toda

( i,j) tal que Xij sea no básica.

Por lo tanto, el único trabajo requerido por la regla de detención es obtener el valor

de las ui y vj

p

para la solución básica factible en curso y entonces calcular estas

(Cij - ui-vj ).

Puesto que se requiere que (Cij - ui - vj ) sea cero si Xij

es una variable básica, las

ui y

vj

satisfacen el conjunto de ecuaciones

Cij =Ui+ Vj

para cada (i , j) tal que Xij sea

básica.

1 2 3 4 5 Abast. Ui

16 16 13 2217 -

+1

50-5

+2

+2

40 +4 10

14 1413

2

- 19 15

+ 60-5

30

0

30 +1 -2

19 19 2023 M

350

00 20

+2

30 M-22

4(F

) M

0

M

0

0

M + 3 +3 M + 4 -1 50

50 -22

Demanda 30 20 70 30 60

Vj 19 19 18 23 22

C

i

j

-

u

i

-

v

j

= IM ij

˜̃

1 2 3 4 5 Abast. Ui

16 16 1322 17

150

-5+2

+2

50 +4+2

14

-2

14 13 19

15 + 60-5

30

0

20 +1 10

19

+3

19 20 23

- M 50

00 20

+2

30 M-20

4(F)

M 0 M0

+ 0

- 50 -20

M + 1 +1 M + 2 -3

50

Demanda 30 20 70 30 60

Vj 19 19 18 23 20

1 2 3 4 5Abast. Ui

16 16 1322 17

150

-8

�

+5 +550

14 1413

-2

+7

+2

19 15

+

60-8

+3

+3

20 +4 40

19 19 2023 -M

3

+

50

0

30

20

-1 0 M-23

4(F)

M 0 M 0

+ 0 -

M + 4 +4 M + 230 20

50 -23

Demanda 30 20 70 30 60

Vj 19 19 21 23 23

1 2 3 4 5 Abast. Ui

16 16 1322 17

150

-7+4

+4

50 +7 +2

14 14 1319 15

260

-7+2

+2

20 +4 40

19 19 2023 M

350

030

20

0

+1

M-22

4(F)

M 0 M0 0 50

-22

M + 3 +3M

+ 2

Demanda 30 2070 3060

Vj 19 1920 2222

30 20

30 60

22 22

1.-¿El método de transporte puede formularse como programación lineal?Sí, pero hay un método exclusivo que resuelve este tipo de problemas.

2.-¿Qué pasos tiene el método de transporte? a. Llenado del tablero.

a. Cumplimiento de la fórmula de no degeneración.b. Optimización de la solución.

3.-¿Qué métodos hay para llenar el tablero? Varios: Esquina Noroeste, costo mínimo, Vogel De los cuales él mas conveniente es Vogel.

4.-¿Cuál es la fórmula de no degeneración? Filas + columnas – 1 = Casilleros llenos

5.-¿Cuál es el método de Optimización? Es el Método de Russell, llamado también Modificador de Indices (MODI,DIMO)

6.-¿Las demandas y las ofertas deben equilibrarse? Sí, siempre debe equilibrarse antes de empezar a llenar el tablero.

7.-¿Al equilibrarse se crean valores ficticios? Sí, todo depende si es fila o columna la que se necesita para equilibrar el tablero.

8.-¿Las filas ó columnas se contabilizan para cumplir la fórmula de no degeneración? Sí, deben considerarse para cumplir la fórmula de no degeneración.

9.-¿Cuántos pasos tiene el Método Russell? Dos pasos ,utilizando las siguientes fórmulas:

a. Casilleros llenos: Cij = ui + vjb. Casilleros vacíos: Imij=cij-(ui)-(vj)

10.-¿Cuándo un tablero es óptimo? Cuando todos los casilleros vacíos llegan a tener valores positivos.

11.-¿Si hay algún casillero vacío con Imij negativo? Se elabora un recorrido que se inicie en el casillero seleccionado y que retorne al mismo casillero, etiquetando con signos alternados (positivos y negativos) iniciando el recorrido con signo positivo. El etiquetado puede ser en sentido horario ó antihorario.

12.-¿Cómo se debe asignar un valor de cero a una variable ui ó vj? Se elige la fila o columna con mayor cantidad de casilleros llenos, a la variable que le corresponde se le da el valor de cero.

13.-¿El Método de Vogel se llama también de penalización? Sí, por que elige los dos valores mas pequeños para restarse, a este resultado se le llama penalización.

14.-¿Cuál es la lógica del método de Transporte?

EQUILIBRIO DEL TABLERO

Si Demanda> Oferta, agregar fila ficticia Si Demanda < Oferta, agregar columna

ficticia Si Demanda=Oferta, no agregar fila ni

columna ficticia.

LLENADO DEL TABLERO

METODO VOGEL (PENALIZACION)

ECUACION DE NO DEGENERACION

FILAS + COLUMNAS –1 =CASILLEROS LLENOS

OPTIMIZACION METODO RUSSELL

CASILLERO LLENOS: Cij = ui + vj

CASILLEROS VACIOS: Imij = Cij - ( ui ) - ( vj )

¿TODOS LOS

Imij>=0? NO

SI

TABLERO OPTIMO

. EJERCICIOS

PROBLEMA 1

Tres plantas de producción P1, P2 y P3 con capacidades de 1000, 1000, y 1500, respectivamente, tienen que abastecer cuatro ciudades C1 ,C2, C3 y C4, que demandan 500, 700, 600 y 800 unidades, respectivamente. Los costes de producción por unidad de cada planta son de 1 u. m., y los costes asociados al transporte por unidad se reflejan en la siguiente tabla:

Costo de transporte

Costo deProducción

C1 C2 C3 C4

4 P1 6 10 7 123 P2 19 16 11 92 P3 7 17 12 9

PROBLEMA 2


Costo de transporte

Costo deProducción

C1 C2 C3 C4

4 P1 6 10 7 123 P2 19 16 11 92 P3 7 17 12 9

El precio de venta varía de acuerdo al tipo de cliente, al cliente 1 se le vende a $25, al cliente 2 se le vende $26, al cliente 3 se le vende a $20 y al cliente 4 se le vende a $18.

PROBLEMA 3


Costo de transporte

Costo deProducción

C1 C2 C3 C4

4 P1 6 10 7 123 P2 19 16 11 92 P3 7 17 12 9

El precio de venta varía de acuerdo al tipo de cliente, al cliente 1 se le vende a $25, al cliente 2 se le vende $26, al cliente 3 se le vende a $20 y al cliente 4 se le vende a $18.Por cada unidad que se queda sin distribuir se tiene un costo de $4.

PROBLEMA 4

Una empresa suministra patatas a cuatro mayoristas cuyas demandas respectivamente son 100, 75, 50 y 125 toneladas. Dispone de tres almacenes, en diferentes puntos, cuyas capacidades son 150, 100 y 50 toneladas. Si los costos de distribución, en miles de pesetas por tonelada, de cada almacén a cada mayorista son:

M1 M2 M3 M4A1 12 15 16 14A2 15 2 18 16A3 10 15 8 6

Formular un programa lineal que permita calcular la política de distribución óptima sabiendo que por cada tonelada de demanda insatisfecha la empresa tiene unas

pérdidas de 20000, 25000, 20000 y 15000 pts. respectivamente.

PROBLEMA 5

Una empresa se dedica a recoger y comercializar naranjas. Estas son recogidas, empaquetadas y trasladadas a uno de los almacenes que la empresa posee en Tampa, Miami y Fresno. Desde estos almacenes, a su vez, se transportan las naranjas a los mercados de Nueva York, Filadelfia, Chicago y Boston.En el cuadro siguiente se muestran los costes de transporte por tonelada ($) y los requerimientos máximos de demanda y oferta de los mercados y de los almacenes:

Nueva York

Filadelfia

Chicago

Boston

OFERTA

Tampa 9 14 12 17 200Miami 11 10 6 10 200Fresno 12 8 15 7 200

DEMANDA 130 170 100 150

Formular un programa lineal que permita a la empresa saber qué política de transporte debe aplicar, de tal modo,

que el coste sea mínimo. Por condición de atención se debe enviar como mínimo 70 unidades a Nueva York.

PROBLEMA 6

Una compañía dispone de tres factorías, A, B y C, en las que elabora 100, 70 y 50 unidades de un producto que debe ser suministrado a cinco clientes, C1, C2, C3, C4 y C5 que demandan 60, 40, 30, 20 y 40 unidades respectivamente. Los beneficios netos asociados con el transporte de cada unidad desde cada factoría a cada cliente son los siguientes:

C1 C2 C3 C4 C5A 6 7 8 6 9B 10 8 9 5 3C 2 9 5 10 6

Formular un programa lineal que permita a la empresa determinar el plan de suministro que maximiza los beneficios teniendo en cuenta que la primera factoría debe distribuir toda su producción.

PROBLEMA 7

Una compañía tiene factorías en A, B y C desde donde suministra a almacenes situados en D, E, F y G, un determinado producto. Las capacidades mensuales de las factorías, en producción regular, son 250, 300 y 200, respectivamente. Si se emplean horas extraordinarias en la producción, las capacidades pueden ser incrementadas hasta 320, 380 y 210, respectivamente. Los costos de las unidades producidas en horas extras son superiores a la normales en 500, 600 y 800 pts por unidad, para cada una de las tres factorías.Las necesidades actuales de los almacenes son 170, 190, 230 y 180, respectivamente. Los costes unitarios de fabricar y transportar de las factorías a los almacenes son:

D E F GA 800 900 1000 1100B 600 1200 900 700C 400 1300 300 1200

Formular un programa lineal que permita a la empresa determinar la distribución óptima para que esta compañía minimice sus costos.

PROBLEMA 8

En la actualidad William Auto Carries mantiene plantas en Atlanta y Tulsa para proveer a importantes centros de distribución en los Ángeles y Nueva York .Debido a la creciente demanda Willians ha decidido abrir una tercera planta y ha restringido su elección a una de dos ciudades -New Orleans y Houston la tabla muestra la producción

pertinente y los costos de producción así como las capacidades de la plantas y las demandas de distribución. El costo de producción es de $10 por cada unidad La pregunta importante a la que Williams se encara es: Cual de las nuevas localizaciones generara un menor costo para la empresa en combinación con las plantas existentes y los centros de distribución?

Desde Plantas Los Angeles

Nueva york

Producción Normal

Plantas Existentes

Atlanta $8 $5 600

Tulsa $4 $7 900Plantas propuestas

Nueva Orleans

$5 $6 500

Houston $4 $6 500

Pronostico de demanda

800 1100

Considere que le costo de tener unidades sin producir es de $10 en cualquier planta.

PROBLEMA 9

Una Compañía panificadora puede distribuir un pan especial en cualquiera de sus dos plantas, la planta tiene capacidad de 2500 unidades y la B 2100 unidades, el costo de producción es de 24 y 25 centavos la unidad respectivamente.El reparto es a cuatro cadenas de ventas que consumen, 1800, 2300, 550 y 1750 respectivamente. El precio con que se les vende a cada una es de : 39,37,40 y 36 centavos la unidad. Además el costo de embarque de cada planta a cada cadena es :Planta A : 6,8,11 y 9 centavos.Planta B: 12,6,8 y 5 centavos.

Hallar el mejor plan de distribución de pan.por cada pan no cubierto se penaliza con 1 centavo.

PROBLEMA 10

Tres ciudades se abastecen de electricidad de tres centrales electricas con capacidades de 25,40 y 30 megawatts (MW).Las demandas máximas en las tres ciudades se estiman en 30,35y 25 MW.El precio por MW en las tres ciudades son:

CIUDAD1

CIUDAD2

CIUDAD3

PLANTA 1 600 700 600PLANTA 2 330 600 300PLANTA 3 500 480 450Durante el mes de agosto hay un aumento de 20% en la demanda de cada ciudad, que se puede satisfacer comprando electricidad de otra red, a una tasa elevada de $1000 por MW,sin embargo la red no esta conectada a la ciudad 3.Cual debe ser el costo mínimo para el mes de agosto?PROBLEMA 11

Dada la siguiente tabla de costo de transporte:Ciudad Ciudad Ciudad3

1 2Fabrica 1

3 4 3

Fabrica 2

4 4 4

Fabrica 3

2 7 3

Además se sabe que la producción de la fabrica 1 es el doble de la fabrica 2 y triple de la 3, la suma de toda la producción es de 1100 unidades. Un requisito a cumplir es que la ciudad 1 pide 400 unidades pero acepta como mínimo un envió de 100 unidades, la ciudad 2 solicita 400 unidades y la ciudad 3 , 500 unidades. Aplicar el método de transporte.

PROBLEMA 12

Una compañía tiene seis personas, 3 ubicadas en EEUU, 2 en Rusia y 1 en Nigeria. Arabia desea tener dos personas, Venezuela 1 y 3 Indonesia ,se les pagara: $4200, $4000 y $3500 en cada país. Los gastos de permanencia en cada pais ascienden a $1200 en Arabia, $1000 en Venezuela y $ 900 en Indonesia. La tabla siguiente muestra el costo del pasaje de un país a otro de ida y vuelta.

Desde Arabia Venezuela

Indonesia

EEUU 1800 800 1500Rusia 1500 1200 1400

Nigeria 1300 1200 1300

Como debe realizar esta compañía el traslado de su personal para lograr la máxima utilidad posible.

PROBLEMA 13

El traslado de los almacenes de Rex a sus puntos de venta en cuanto a costo ,depende de la distancia que existe entre ellos, esto va de acuerdo a la siguiente tabla dada en kilómetros:

A B C1 80 50 302 20 50 603 30 60 80

Loa costos a cobrar son:Km Costos ($/km-

unid)0< X <=40 $240 <X <=70 $470< x <=100 $6

Además la capacidad a trasladar de la oferta son de 50,60 y 100 unidades. La demanda se considera de 80 en cada punto de venta, por cada unidad no satisfecha se cobra $1.Hallar el costo minino de transporte.

PROBLEMA 14

Dos compañías farmacéuticas tienen inventarios de dosis de 1.1 a 0.9 millones de cierta vacuna contra la gripe y se considera inminente una epidemia de gripe en tres ciudades. Ya que la gripe podría ser fatal para los ciudadanos de edad avanzada, a ellos se les debe vacunar primero ,a los demás se les vacunar, según se presenten ,mientras duren los suministros de la vacuna. Las cantidades de vacuna(en millones de dosis) que cada ciudad estima poder administrar son las siguientes:

Ciudad 1

Ciudad 2

Ciudad 3

A ancianos

0.325 0.26 0.195

A otros 0.795 0.8 0.65Los costos de embarque(en centavos por dosis) entre las compañías farmacéuticas y las ciudades son los siguientes

Ciudad 1

Ciudad 2

Ciudad 3

Compañia1

3 3 6

Compañía 2

1 4 7

Determínese un programa de embarque de costo mínimo que provea a cada ciudad de vacuna suficiente para atender al menos a los ciudadanos de edad avanzada.

PROBLEMA 15

Un fabricante recibe de una gran ciudad un pedido de seis autobuses de dos pisos, los cuales seran entregados por pares durante los próximos tres meses. Las fechas de producción para el fabricante se muestran en la tabla

Mes 1 Mes 2 Mes 3Cap.TN 1 2 3Cap.T.E. 2 2 2Costo /und. TN

35 43 40

Costo /und. TE

39 47 45

Los autobuses puden entregarse a la ciudad al final del mes que se ensamblan,o el fabricante puede almacenarlos con un costo mensual de $3000 por autobús, para embarcarlos durante un mes posterior. El fabricante no tiene almacenado ningún autobús de este tipo y no desea ninguno después de terminar este contrato. Determínese un programa de producción que cumpla las condiciones de la ciudad, a un costo mínimo para el fabricante.

PROBLEMA 16

Una compañía farmacéutica estima la demanda para una de sus vacunas (en millones de dosis),de la siguiente forma: octubre,7.1;noviembre,13.2;diciembre,12.8;enero,7.7;y febrero, 2.1.durante los otros meses, la demanda es relativamente baja y la política de la compañía para cubrir estas demandas es tener, para fines de febrero ,un inventario de un millón de dosis. lleva cuatro semanas producir la vacuna, asi que no hay dosis disponibles para

embarque durante el mes que son producidas. Una vez que la vacuna esta lista, sin embargo, se la puede enviar de inmediato a los consumidores o conservarla en inventario a un costo de 10 centavos mensuales por dosis. Tradicionalmente, la compañía produce la vacuna solo entre agosto y diciembre. El 1 de setiembre se distribuye cualquier sobrante del inventario de vacuna del año anterior.

Mes Capacidad CostoAgosto 12.5 63Setiembre 11 68Octubre 9.5 75Noviembre 8.1 52Diciembre 5.5 48

Determines un progrma de producción que cubra toda la demanda a un costo minimo.

PROBLEMA 17

MGM tiene la posibilidad de hacer uso de sus tres fabricas para elaborar artículos a tres lugares de expendio .La capacidad de cada fabrica es de 350 artículos y la demanda de cada articulo es de 280 unidades. Los costos de transporte al lugar 1 para cada fabrica es de 5,3 y 3 .Los costos de transporte al lugar 2 son de: 6,2 y 6. Los costos de transporte al lugar 3 son de: 4,6 y 9. La fabrica 2 no debe ir al cliente 2.¿Cuál debe ser el embarque optimo, si el negociante vende los productos al valor de: $10, $12 y $11 en cada lugar.

PROBLEMA 18Una empresa desea determinar su política de distribución, para lo

cual va a minimizar sus costes de transporte. Esta compañía tiene

tres plantas, y tres almacenes, y sus costes de transporte son los

siguientes:

Almacén 1

Almacén 2

Almacén 3

Planta A 40 20 20Planta B 35 30 15

Planta C 20 13 15

Plantee el programa lineal que minimice los costes de transporte en los siguientes casos:a) Capacidades de producción : Planta A: 1000 unidades ; Planta

B:2000 unidades ; Planta C: 700 unidades ; Demanda: Almacén 1: 700 unidades ; Almacén 2: 500 unidades ; Almacén 3: 1500 unidades

b) Igual que en el apartado a) pero asumiendo el siguiente coste de penalización por capacidad ociosa para cada planta: Planta A: 500 u.m. ; Planta B: 700 u.m.; Planta C: 800 u.m.

PROBLEMA 19

Una empresa fabrica 3 tipos de acero en diferentes plantas. el tiempo requerido para manufacturar 1 ton, de acero ,sin importar el tipo, y los costos de cada planta se presentan en el cuadro 1.Cada semana se deben producir 100 ton. De cada tipo de acero, Cada planta trabaja 40 horas a la semana.

Acero 1

Acero 2

Acero3

Tiempo (min/ton)

Planta 1 $60 $40 $28 20Planta 2 $50 $30 $30 16Planta 3 $43 $20 $20 15Hallar el costo mínimo.

Problema 13.-Dado 4 trabajadores, para ser asignados a cuatro maquinas, los valores que estos trabajadores brindan son:

12 12 13 95 11 8 206 7 10 128 4 3 7

Hallar:a).el costo mínimo.b) considere que los valores son ingresos.

c) Resuelva si el trabajador 1 puede ser asignado a 2 maquinasProblema 14Dado cuatro plataformas para tres puestos con las ganancias:

PuestoPlatafor

ma1 2 3 4

1 27 12 48 302 38 34 51 283 27 23 - 234 35 28 59 24

El puesto 2 necesita de dos trabajadores.Hallar la asignación optima.

SESION V

REDES

MODELO DE REDES

La importancia del análisis de flujo de redes, en los últimos años ha crecido de una manera progresiva en todos los campos de la planificación; de procesos tareas y recursos tanto económicos como físicos y del tiempo de los proyectos que requieren de este tipo de planificación.La aplicación de estos tipos de modelos tiene infinidades campos de acción en los diferentes proyectos de inversión tales como:

• En los proyectos de diseños de tuberías de acueducto, gas natural, electrificación, vías, tanto férreas como carrete hables.

• En la determinación del camino más corto entre dos lugares o ciudades de acuerdo a una red existente.

• En la determinación de las capacidades máximas que deben fluir a través de una red, de un recurso especifico.

• La determinación del programa de flujo de costo mínimo de los campos de origen a los centros de distribución de un recurso especial.

Un estudio de esta lista representativa, revela que los problemas de optimización de redes se pueden representar en términos generales a través de los siguientes modelos.

• Modelo del flujo máximo• Modelo de la ruta más corta.• Modelo del árbol de extensión mínima.• Modelo de red de capacidad de costo mínimo.• Modelo de la ruta critica.• Modelo de la técnica de evaluación y revisión de proyectos

(PERT.Para la comprensión de los diferentes modelos, se deben tener en cuenta las siguientes definiciones.

DEFINICIÓN DE RED. Es un conjunto de nodos conectados por arcos o ramas, a veces los nodos reciben el nombre de “vértices” y los ramales de “arcos”.

CADENA : Una cadena es una secuencia de ramales que conectan dos nodos que al especificarles dirección forman lo que se llama un camino o ruta.

RED SIMÉTRICA: Significa que un vértice “x” esta conectado a uno “y”; entonces “y”, esta conectado a “x”.

RED ASIMÉTRICA: Significa que un vértice “x” esta conectado a uno “y”; entonces “y”, no esta conectado a “x”.

CAPACIDAD: Es el flujo que circula por una determinada red y puede ser finita o infinita.

RAMA DIRIGIDA U ORIENTADA: Cuando se permite el paso de un flujo positivo en una determinada dirección y cero en la dirección opuesta.

TRAYECTORIA: Es una secuencia de ramas que conectan dos nodos sin considerar su orientación de las demás ramas individuales.

LASO O CICLO: Se presenta cuando un nodo se conecta consigo mismo.

LASO DIRIJIDO U CIRCUITO: Es un lazo donde todas las ramas tienen las mismas dirección u orientación.

Ruta Corta: El modelo de la ruta mas corta se refiere a una red en la cual cada arco (i;j) tiene asociado un numero Cij; el cual se interpreta como la distancia (o tal vez el costo o el tiempo) desde el nodo i hasta el nodo j. Una ruta o camino entre dos nodos en cualquier secuencia de arcos que los conecte.El objetivo consiste en encontrar las rutas mas cortas ( o de menor costo o mas rápidas) desde un nodo especifico hasta cada uno de los demás nodos de la red.

ARCOS DIRIGIDOS:Problema 1.-Un transportista desea llevar su mercadería (nodo 1) desde su punto de producción hacia su cliente (nodo 5),la siguiente

gráfica da los posibles camino que el puede seguir así como las distancias(km) respectivas, ¿Cuál es la distancia mas corta para trasladar ls carga?

ARCOS NO DIRIGIDOS: La empresa Sullivan S.A. desea hallar la ruta mas conveniente que se debe usar desde su fabrica hacia su puerto de embarque, sus técnicos han elaborado un gráfico para tener todas sus posibilidades de recorrido (distancias en kilometros). Su fabrica se encuentra ubicada en 0 y el puerto de embarque esta ubicado en T, como se puede apreciar hay una variedad de rutas, el siguiente gráfico esboza los caminos entre esos dos puntos.

ALGORITMO DE ARBOL DE EXPANSION MINIMA. Este algoritmo enlaza los nodos de una res, en forma directa o indirecta, con la minima longitud de las ramas enlazantes. Una aplicación caracteristica es en la construccion de carreteras pavimentadas que unen varias poblaciones. El diseño optimo indica que se han minimizado las distancias entre todas las poblaciones, a traves de la minimización de las distancias de los caminos que los unen.

Un problema de este tipo se resuelve a traves del siguiente algoritmo conocido como algoritmo de kruskal, el cual se describe a continuación:

1. Comenzar en forma arbitraria en cualquier nodo y conectarlo con el mas proximo, menos distante o menos costoso.

2. Identificar el nodo no conectado que esta mas cerca o menos costoso de alguno de los nodos conectados. Deshacer los empates de forma arbitraria. Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado.

3. Repetir este paso hasta que se hayan conectado todos los nodos.

Modelo de Flujo Máximo

Se trata de enlazar un nodo fuente y un nodo destino a través de una red de arcos dirigidos. Cada arco tiene una capacidad máxima de flujo admisible. El objetivo es el de obtener la máxima capacidad de flujo entre la fuente y el destino.

Características:

1. Todo flujo a través de una red conexa dirigida se origina en un nodo, llamado fuente, y termina en otro nodo llamado destino.

2. Los nodos restantes son nodos de trasbordo.

3. Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dad por la capacidad del arco. En la fuente, todos los arcos señalan hacia fuera. En el destino, todos señalan hacia el nodo.

4. El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino. Esta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es, la cantidad que sale de la fuente o la cantidad que entra al destino.

El problema de flujo máximo se puede formular como un problema de programación lineal, se puede resolver con el método símplex y usar cualquier software. Sin embargo, se dispone de un algoritmo de trayectorias aumentadas mucho más eficientes. El algoritmo se basa en dos conceptos intuitivos, el de red residual y el de trayectoria aumentada.

Algoritmo de la trayectoria de aumento para el problema de flujo máximo:

1. Se identifica una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoria dirigida del origen al destino en la red residual, tal

que cada arco sobre esta trayectoria tiene capacidad residual estrictamente positiva. (Si no existe una, los flujos netos asignados constituyen un patrón del flujo óptimo).

2. Se identifica la capacidad residual c* de esta trayectoria de aumento encontrando el mínimo de las capacidades residuales de los arcos sobre esta trayectoria. Se aumenta en c* el flujo de esta trayectoria.

3. Se disminuye en c* la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de aumento. Se aumenta en c* la capacidad residual de cada arco en la dirección opuesta en esta trayectoria. Se regresa la paso 1.

una red no dirigida.

VISTA GENERAL DE ALGUNAS APLICACIONES PRÁCTICAS DE LA OPTIMIZACIÓN DE REDES

1. Diseño de redes de telecomunicación (redes de fibra óptica, de computadores, telefónicas, de televisión por cable, etc.)

2. Diseño de redes de transporte para minimizar el costo total de proporcionar las ligaduras (vías ferroviarias, carreteras, etc.)

3. Diseño de una red de líneas de transmisión de energía eléctrica de alto voltaje.

4. Diseño de una red de cableado en equipo eléctrico (como sistemas de computo) para minimizar la longitud total del cable.

5. Diseño de una red de tuberías para conectar varias localidades.

6. Diseño de una red de tuberías de gas natural mar adentro que conecta fuentes del golfo de México con un punto de entrega en tierra con el objetivo de minimizar el costo de construcción.

7. Determinación de la ruta más corta que une dos ciudades en una red de caminos existentes.

8. Determinar la capacidad anual de máxima en toneladas de una red de conductos de pasta aguada de carbón que enlaza las minas carboneras de Wyoming con las plantas generadoras de electricidad Houston. (Los conductos de pasta aguada de carbón transportan éste bombeando agua a través de tubos adecuadamente diseñados que operan entre las minas de carbón y el destino deseado.)

9. Determinación del programa de costo mínimo de los campos petrolíferos a refinerías y finalmente a los campos de distribución. Se pueden enviar petróleo crudo y productos derivados de la gasolina en buques tanque, oleoductos y/o camiones. Además de la disponibilidad de la oferta máxima en los campos petrolíferos y los requisitos de demanda mínima en los centros de distribución, deben tomarse en cuenta restricciones sobre la capacidad de las refinerías y los modos de transporte.

2) La administracion de cierto parque necesita determinar los caminos bajo los cuales se deben tender las comunicaciones para conectar todas las estaciones con una longitud total minima de cable. Dada la siguiente red determine la mejor configuracion de conexión.

http://www.monografias.com/trabajos/ofertaydemanda/ofertaydemanda.shtml

http://www.monografias.com/trabajos/ofertaydemanda/ofertaydemanda.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtml

http://www.monografias.com/trabajos10/petro/petro.shtml#pe

http://www.monografias.com/trabajos11/travent/travent.shtml

http://www.monografias.com/Computacion/Programacion/

http://www.monografias.com/trabajos14/problemadelagua/problemadelagua.shtml

http://www.monografias.com/trabajos10/nofu/nofu.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/plantas/plantas.shtml

3)

4)

EJERCICIOS

APLICACIÓN FLUJO MÁXIMO

Gloria vera está a cargo de la comisión de Planeación de Desarrollo Urbano, un grupo de estudio ad hoc de interés especial. La responsabilidad actual del grupo consiste en coordinar la construcción de un nuevo sistema de vías subterráneas con el departamento de mantenimiento de caminos. En virtud de que el nuevo sistemas de vías subterráneas se construirá cerca del circuito periférico de la

ciudad, el tráfico de que éste se dirige al oriente deberá ser desviado. La desviación planeada es en realidad una red de rutas alternas propuestas por el departamento de mantenimiento de caminos. Los diferentes límites de velocidad y los patrones de tráfico producen distintas capacidades de flujo de los diferentes arcos de la red propuesta como se presenta en la siguiente figura. Determine el flujo máximo de la red y tanto de nodo 1 (empieza la desviación y el nodo 6 termina la desviación), de sus recomendaciones,

Algoritmo de la Ruta más corta.

Un camión debe repartir concreto de una planta de mezcla preparada a un sitio de construcción. La red que muestra la figura representa las rutas disponibles entre la planta y el sitio de construcción. Cada ruta está designada con dos piezas de información (d, t), donde d es la longitud de la ruta y t es el tiempo que tarda el camión en atravesar el segmento de camino. La velocidad del camión en cada segmento esta decidida por la condición del camino y también por el número y duración de las paradas del camión. ¿Cuál es la mejor ruta de la planta a la construcción y su tiempo de duración?.

PROBLEMAS PARA RESOLVER

PROBLEMA 1

En una fábrica grande de productos de jabón los inspectores de control de calidad muestran diversos productos, en diversas áreas de producción, y después entregan las muestras para su análisis en el laboratorio. El proceso de inspección lento, y los inspectores invierten una cantidad considerable de tiempo transportando las muestras desde las áreas de producción hasta el laboratorio. La compañía esta evaluando la instalación de un sistema de conductor mediante tubos neumáticos que se podrían utilizar para transportar las muestras entre las áreas de producción y el laboratorio. La red que aparece en seguida muestra las ubicaciones del laboratorio y las áreas de producción (nodos) en donde se recolectan las muestras. Las ramas son las alternativas que se están considerando para el sistema conductor. ¿Cuál es la longitud total mínima del diseño del sistema de conducción que permitirá que todas las áreas de producción envíen sus muestras al laboratorio?

PROBLEMA 2

Recientemente el estado de Ohio adquirió terreno para un nuevo parque estatal. Las personas que están elaborando los planes para el parque han identificado las ubicaciones ideales para la casa club, las cabañas, los espacios para días de campo, el muelle para embarcaciones y los puntos escénicos de interés. Estos espacios están representados mediante los nodos de la red que aparece en seguida. Las ramas de la red representan las posibles alternativas de caminos en el parque. Si los diseñadores del parque estatal desea minimizar el total de millas de caminos que se deben construir en el parque y al mismo tiempo ofrece acceso a todas las instalaciones (nodos) ¿Qué caminos en alternativas se deben construir?

PROBLEMA 3

El sistema de carreteras norte – sur que pasa por Albany, New York, tiene las capacidades que se muestran en la siguiente grafica.

PERT-CPM

Sesión VII

TEORIA DE

COLAS

7 Líneas de espera.

7.1 introducción

7.1.1 Definiciones, características y suposiciones.

El problema es determinar que capacidad o tasa de servicio

proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que el cliente

no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que

momento llegarán los clientes, aunque se suele calcular mediante un

promedio. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo y

también se maneja con un promedio.

Definición.

Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección

de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera

particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el

comportamiento de estado estable, como la longitud promedio de la

línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. Esta

información, junto con los costos pertinentes, se usa, entonces, para

determinar la capacidad de servicio apropiada.

1.-¿Cómo se llama la velocidad de llegada de los clientes?Se llama lamda (λ ), sus unidades son : clientes/unidad de tiempo.

2.-¿Cómo se llama la velocidad de atención a los clientes?Se llama mu (µ ),sus unidades son : clientes/unidad de tiempo.

3.- ¿Qué es Rho?Es la división de λ /sµ , significa el porcentaje de uso del sistema.

4.-¿cómo se identifican los Sistemas de colas?Hay una nomenclatura ,que reúne las características mas importantes de los sistemas, esta formado de la siguiente manera:(a/b/c) (d/e/f)a: Velocidad de llegada de los clientes, en la mayoría de los casos se considera Poisson( M)b: Velocidad de atención de los clientes, en la mayoría de los casos se considera Exponencial( M)c: Numero de servidores (S)d: Orden de atención , aquí se puede encontrar el orden FIFO,LIFO,PRIORIDAD, el mas usado es FIFO.e: Capacidad del sistema puede ser finita ( K) o infinita ( ∞ )f: Población , puede ser finita ( K) o infinita ( ∞ )

5.-¿Qué factores importantes se halla en el sistema de colas?Lq: Clientes en promedio en cola (todos menos el que esta siendo atendido)Ls: Clientes en promedio en el sistema (todos los que están en el sistema)Wq: Tiempo en promedio en la cola (tiempo que se demora en llegar hasta el cliente)Ws: Tiempo en promedio en el sistema (tiempo que demora desde que llega hasta que sale del sistema)

Pn: Probabilidad de tener n clientes en el sistema

Costos de los sistemas de colas.

Un sistema de colas puede dividirse en sus dos componentes de

mayor importancia, la cola y la instalación de servicio . Las llegadas

son las unidades que entran en el sistema para recibir el servicio.

Siempre se unen primero a la cola; si no hay línea de espera se dice

que la cola esta vacía . De la cola, las llegadas van a la instalación de

servicio de acuerdo con la disciplina de la cola, es decir, de acuerdo

con la regla para decidir cuál de las llegadas se sirve después. El

primero en llegar primero en ser servido es una regla común, pero

podría servir con prioridades o siguiendo alguna otra regla. Una vez

que se completa el servicio, las llegadas se convierten en salidas.

Ambas componentes del sistema tienen costos asociados que deben

de considerarse.

Costo de Espera.

Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se

puede aprovechar en otra cosa y esta dado por :

Costo total de espera = CwL

Donde Cw = costo de espera por hora (en dólares) por llegada por

unidad de tiempo y L= longitud promedio de la línea.

Costo de Servicio.

Este en la mayoría se trata de comprar varias instalaciones de

servicio , en estos casos solo se ocupan los costos comparativos o

diferenciales.

Sistema de costo mínimo.

Aquí hay que tomar en cuenta que para tasas bajas de servicio, se

experimenta largas colas y costos de espera muy altos. Conforme

aumenta el servicio disminuyen los costos de espera, pero aumenta el

costo de servicio y el costo total disminuye, sin embargo , finalmente

se llega a un punto de disminución en el rendimiento. Entonces el

propósito es encontrar el balance adecuado para que el costo total

sea el mínimo.

Estructuras típicas.

Las llegadas pueden ser personas, cartas, carros, incendios,

ensambles intermedios en una fábrica, etc. En la siguiente tabla se

muestran algunos ejemplos de varios sistemas de colas.

Ejemplos de sistemas de colas

Situación Llegadas Cola Mecanismo de

Servicio

Aeropuerto Aviones Aviones en

carreteo

Pista

Aeropuerto Pasajeros Sala de espera Avión

Depto de

bomberos

Alarmas de

incendio

Incendios Depto. De

Bomberos.

Compañía

telefónica

Números

marcados

Llamadas Conmutador

Lavado de

carros

Autos Autos sucios Mecanismo de

lavado

La corte Casos Casos

atrasados

Juez

Panadería Clientes Clientes con

números

Vendedor

Carga de

camiones

Camiones Camiones en

espera

Muelle de carga

Fábrica Subensamble Inventario en

proceso

Estación de

trabajo.

Hospital Pacientes Personas

enfermas

Hospital

Permitiendo que varíen el número de colas y el número de

servidores, pueden hacerse los diagramas de los cuatro tipos de

sistemas de la siguiente figura. Cada línea de espera individual y cada

servidor individual se muestra por separado.

El primer sistema que se muestra en la figura, se llama un sistema

de un servidor y una cola o puede describir un lavado de carros

automático o un muelle de descarga de un solo lugar. El segundo, una

línea con múltiples servidores, es típico de una peluquería o una

panadería en donde los clientes toman un número al entrar y se les

sirve cuando llega el turno. El tercer sistema, aquél en que cada

servidor tiene una línea de separada, es característico de los bancos y

las tiendas de autoservicio. El cuarto sistema, es una línea con

servidores en serie, puede describir una fábrica.

Ejercicios

Problema 1.- Se tienen tres cajeros, los clientes llegan a la velocidad de 10 por minutos ,atienden a la velocidad de 5 por minuto, se permite que los clientes esperen por la atención y pueden llegar de cualquier lugar.Problema 2.-Un club de 40 socios, realizan una actividad bailable exclusiva para su club, alquilan un local ,se ubican dos ventanillas de ventas de boletos ,los socios llegan a razón de 3 por hora, atienden cada cliente en 3 minutos .Problema 3.-Se tiene una cochera con la posibilidad de albergar 15 vehículos, estos llegan con un proceso de Poisson de 4 por hora y se demoran en la cochera 0,5 h .con una distribución exponencial.Problema 4.-Se ha inaugurado un exclusivo lugar de venta de comida, por política de la empresa no permite que esperen en las afueras del local. el local tiene 4 mozos,10 mesas, cada mesa con 4 sillas, los comensales llegan 4 por 0,5 horas y se demoran en comer 0,15 horas.Problema 5.-Se tiene una piscina con tres carriles, cada carril es separado en lado derecho e izquierdo, un nadador solo puede hacer uso de un lado. Si un nadador llega y encuentra ocupado la piscina se va a otro local. En promedio los nadadores llegan a razón de 3 por hora y usan la piscina 45 minutos.Problema 6.-Un detective se ve abrumado por la cantidad de casos policiales que existen en su jurisdicción, este pide un asistente para resolver juntos los casos. Los casos suceden 3 por semana y solucionarlos demora 10 díasProblema 7.-En una oficina estatal las personas llegan y solicitan una solicitud para llenarlo con sus datos ,estos ingresan a razón de 3 por minutos, una persona llena en promedio la solicitud en 10 minutos. Problema 8.-En el muelle estatal llegan los barcos cada día a la velocidad de 5 por día, una cuadrilla de 5 personas atienden a un barco para descargar sus bodegas, se demoran en atender a un barco 6 días.Problema 9.-Un mecánico es contratado para atender 4 maquinas en un departamento de producción. El mecánico se demora 0,3 días en atender cada maquina y estas se malogran a razón de 4 por día.Problema 10.-Una maquina destinada a colocar las tapas de frascos con espárragos hace su trabajo a la velocidad de 10 frascos por

minutos. Los frascos llegan a la velocidad de 20 por hora con una varianza de 4 minutos.

Problemas

Problema 1.-Se tiene una centro de vente de lotería en la entrada de un centro comercial, allí la venta lo realiza la señorita Cynthia, anfitriona ella de la Lotería “Gana Mas”; ella atiende de 8 am hasta las 8 pm, en horario corrido , y con su experiencia ganada saber convencer a los potenciales clientes para la compra de la lotería. Ella a calculado que los compradores de lotería llegan a razón de 10 por hora, ellas los atiende en un lapso de 5 minutos, mientras le conversas sobre la lotería, les propone números en fin, para este escenario se desea saber:a) ¿Cual es la probabilidad de que su enamorado llegue y lo encuentre desocupada para charlar con ella?b) ¿Cuánto tiempo de una hora podría conversar con su enamorado sin afectar su trabajo?c) ¿Cuál es la probabilidad que su enamorado tenga que esperar para que hable con ella?d) ¿Si su enamorado se pone a la cola, cuanto demoraría en estar frente a ella?e)Si Cynthia gana $0.5 por lotería que vende, ¿Cuánto seria si su ingreso diario promedio?

Problema 2.-En una paradero de autobuses, una persona espera la pasada del micro que lo conduzca a casa, la cantidad de pasajeros que llegan al terminal se puede cuantificar en una cantidad de 1.5 por minuto, el vendedor de boletos atiende a una velocidad de 100 por hora gracias su experiencia ganada en al venta de boletos, se desea hallar:

a) Cual es la probabilidad de encontrar colab) Cuantos pasajero se puede hallar en cola en cualquier

momentoc) Cuanto tiempo en promedio se demora el vendedor de boletos

en atender a los nuevos pasajerosd) Cual es la probabilidad de encontrarlo ocioso.e) Cuanto tiempo se demora una persona en comprar un boleto

f) Cual es la probabilidad de hallar por lo menos 3 personas en la boletería

g) Cual es la probabilidad de hallar cuatro personas en cola exactamente

Problema 3.-Una señorita tipeadora, esta siempre atareada con diversos trabajos, estos llegan a su estudio con una frecuencia de 4 por hora, para culminarlos se demora 10 minutos en promedio, según sus deseos quiere averiguar:

a) Cuantos trabajos recibe en promedio diariamenteb) Cuantos trabajos estarían por culminar por horac) Cual es la probabilidad de tener 4 trabajo por terminard) Cual es la probabilidad que termine todos los trabajos.e) La probabilidad de que un trabajo quede concluido en menos

de 45 minutos después de su llegada.f) Cual es la probabilidad que un cliente espera mas de 5

minutos en espera para que inicien su trabajo. Problema 4.-

Los trabajos llegan aun centro de control de calidad de acuerdo a un proceso poissoniano,con la tasa media de dos por hora, y son inspeccionados de uno en uno siguiendo un orden tipo FIFO.el ingeniero de control de calidad inspecciona y realiza ajustes menores, si esto es todo lo necesario para que un trabajo termine esta fase. el tiempo total de servicio por trabajo aparentemente se distribuye exponencialmente, con una media de 25 minutos. Los trabajos que llegan pero no pueden ser inspeccionados de inmediato por el ingeniero, deben ser almacenados hasta que el ingeniero pueda encargarse de ellos, Cada trabajo requiere de 10 pies 2 de espacio mientras esta almacenado.a) cual es la probabilidad de hallar al ingeniero ocupadob) Cual es la probabilidad de hallar como mínimo 3 trabajos en

cola.c) Cuantos trabajos en promedio tiene el ingeniero en su locald) Cuanto tiempo tiene que esperar un trabajo para ser atendido.e) Cual es la probabilidad que un trabajo demore terminado en

menos de 30 minutos después de su llegadaf) Cual es la probabilidad que un trabajo demore 5 minutos por lo

menos para ser atendido g) Si por cada trabajo gana $10,cuanto es su ingreso por hora

h) cual es la probabilidad de hallar mas de dos trabajos esperando servicio.

Problema 5.-Los clientes llegan a un banco de una ventanilla para atención en el auto de acuerdo con una distribución de poisson, con una media de 10 por hora El tiempo de servicio por cliente es exponencial, con una media de 5 minutos. Hay tres espacios frente a la ventanilla, incluyendo el del auto al que le esta dando servicio. Otros vehículos que llegan se forman fuera de ese espacio para tres autos.

a) cual es la probabilidad de que un auto que llega pueda entrar en uno de estos tres espacios,?

b) Cual es la probabilidad de que esten llenos estos tres espacio?c) Cuanto tiempo espera un cliente antes de ser atendido?d) Que porcentaje de su tiempo el servidor esta ocupadoe) Cual es la probabilidad que no exista cola

Problema 6.- Si un ingeniero se encarga de las reparaciones de maquinas en un centro de producción, el acomoda las maquinas a una velocidad de 2 por hora, las maquina se malogran a un promedio de 0.5 por hora. se pide:

a) cual es la probabilidad de hallar al ingeniero ocupadob) Cual es la probabilidad de hallar una maquina en colac) Cuantos trabajos en promedio tiene el ingeniero en su locald) Cuanto tiempo tiene que esperar un trabajo para ser atendido.e) Cual es la probabilidad que un trabajo demore terminado en

menos de 20 minutos después de su llegadaf) Cual es la probabilidad que un trabajo demore 5 minutos por lo

menos para ser atendido g) Si por cada trabajo gana $12,cuanto es su ingreso por horah) cual es la probabilidad de hallar mas de un trabajos

esperando servicio. Problema 7-En un banco los clientes forman su cola y según se desocupe el cajero el cliente es atendido, se tiene dos cajeros, igualmente eficiente y atienden a un promedio de 60operaciones/cliente por hora. Los clientes llegan al banco siguiendo un proceso de Poisson, a una tasa promedio de 100 por hora.

saber:a) ¿Cual es la probabilidad de encontrar un cajero ocupado?b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya una persona en cola exactamente?c) ¿Cuál es la probabilidad de no hacer cola?d) ¿Cuántos clientes habrá en el banco en promedio?e)Si una persona ingresa a cola, en cuanto tiempo estará frente al cajero ?Problema 8.-Una estación de servicio tiene una bomba para despachar gasolina. Los autos llegan a comprar gasolina con una tasa promedio de 10 por hora. Aparentemente el tiempo necesario para dar servicio a un automóvil con una media de 2 minutos. En la estación caben un máximo de cuatro automóviles y las leyes locales de transito prohíben que los autos esperen en al via publica.hallar:

a) Cual es la probabilidad de encontrar lleno el local

b) En promedio cuantos se van a otro local a comprar gasolinac) En cuanto tiempo en promedio es atendido un cliente por el

cajero.d) Cual es la probabilidad que yo sea el único en ser atendidoe) Cuanto tiempo estará ocioso el servidor si trabaja 8 horasf) Si se tendría otra bomba similar ,en cuanto disminuirían los

clientes que se van a otro lugar

Problema 9.-Un pequeño banco tiene dos cajeros, uno para depósitos y uno para retiro. el tiempo de servicio para cada cajero se distribuye exponencialmente, con una media de 1 minuto. Los clientes llegan al banco siguiendo un proceso poissoniano, con una tasa media de 40 por hora, se considera que cada uno con una tasa media de 20 por hora, y que ningún cliente realiza tanto un deposito como un retiro. El banco esta considerando cambiar el arreglo actual para permitir que cada cajero se encargue tanto de depósitos como de retiros. El banco esperaría que el tiempo medio de servicio de cada cajero aumentara a 1.2 minutos, pero desea que el nuevo

arreglo impida que se forme largas colas frente a un cajero. Hallar un cuadro comparativo de los dos sistemas en base de:a) Tiempo en que un cliente espera para ser atendidob) Cola que se forma en cada sistemac) Probabilidad de hallar desocupado el sistemad) Tiempo que un cliente pasa en el bancoe) Probabilidad de hallar colaf) Cajeros ociosos

SISTEMAS DE

INVENTARIOS

Inventario de Mercancías:

Están formados por todos aquellos bienes que le pertenecen a la

empresa bien sea comercial o mercantil, los cuales los compran para

luego venderlos sin ser modificados ó las que compran las empresas

manufactureras para usarlas como materia prima.

Se ha de encontrar diferentes tipos de inventarios como:

1.- Inventario de Productos Terminados:

Son todos aquellos bienes adquiridos por las empresas

manufactureras o industriales, los cuales son transformados para ser

vendidos como productos elaborados.

2.- Inventario de Productos en Proceso de Fabricación:

Lo integran todos aquellos bienes adquiridos por las empresas

manufactureras o industriales, los cuales se encuentran en proceso

de manufactura. Su cuantificación se hace por la cantidad de

materiales, mano de obra y gastos de fabricación, aplicables a la

fecha de cierre.

3.- Inventario de Materias Primas:

Lo conforman todos los materiales con los que se elaboran los

productos, pero que todavía no han recibido procesamiento.

4.- Inventario de Suministros de Fábrica:

Son los materiales con los que se elaboran los productos, pero que no

pueden ser cuantificados de una manera exacta (Pintura, lija, clavos,

lubricantes, etc.).

Los inventarios son importantes para los fabricantes en general, y

varia ampliamente entre los distintos grupos de industrias. La

composición de esta parte del activo es una gran variedad de

artículos, y es por eso que se han clasificado de acuerdo a su

utilización en los siguientes tipos:

• Inventarios de Materia Prima

• Inventarios de Producción en Proceso

• Inventarios de Productos Terminados

• Inventarios de Materiales y Suministros

Inventarios de Materias Primas

En toda actividad industrial concurren una variedad de artículos

(Materias Primas) y materiales, los que serán sometidos a un proceso

para obtener al final un articulo terminado o acabado. A los

materiales que intervienen en mayor grado en la producción se les

considera “Materia Prima”, ya que su uso se hace en cantidades los

suficientemente importantes del producto acabado. La Materia prima,

es aquel o aquellos artículos sometidos a un proceso de fabricación

que al final se convertirá en un producto terminado.

5.- Inventarios de Productos en Proceso:

El inventario de productos en proceso consiste en todos los artículos o

elementos que se utilizan en el actual proceso de producción. Es

decir, son productos parcialmente terminados que se encuentran en

un grado intermedio de producción y a los cuales se les aplico la labor

directa y gastos indirectos inherentes al proceso de producción en un

momento determinado.

Una de las características del Inventario de producción en proceso es

que va aumentando el valor a medida que es transformado de

materia prima en el producto terminado como consecuencia del

proceso de producción. Inventario de Productos Terminados:

Comprenden estos, los artículos transferidos por el departamento de

producción al almacén de productos terminados por haber estos

alcanzado su grado de terminación total y que a la hora de la toma

física de inventario se encuentren aun en los almacenes, es decir, los

que todavía no han sido vendidos. El nivel de inventario de productos

terminados va a depender directamente de las ventas, es decir, su

nivel esta dado por la demanda. Inventario de Materiales y

Suministros:

En el inventario de materiales y suministros se incluye:

• Materias primas secundarias, sus especificaciones varían según el

tipo de industria, un ejemplo para la industria cervecera es, sales

para tratamiento de agua.

• Artículos de consumo destinados para ser usados en la operación de

la industria, dentro de estos artículos de consumo los mas

importantes son los destinados a las operaciones, y están formados

por los combustibles y lubricantes, estos en la industria tienen gran

significación.

• Los Artículos y materiales de reparación y mantenimiento de las

maquinarias y aparatos operativos, los artículos de reparación por su

gran volumen necesitan ser controlados adecuadamente, la

existencia de estos varían en relación a sus necesidades.LOTE ECONÓMICO DE

PEDIDO

Es aquel pedido que optimiza los costos de pedido, almacenaje y ruptura.

El Lote Económico es aquella cantidad de unidades que deben solicitarse al proveedor en cada pedido, de manera que se logre minimizar el costo asociado a la compra y al mantenimiento de las unidades en inventario. El objetivo básico que se persigue al determinar el Lote Económico es la reducción de costos, a la vez que se responden dos preguntas claves:

• ¿Cuánto pedir?• ¿Cuándo pedir?

Para determinar el lote económico debemos identificar cuáles son los costos asociados a los inventarios:

1. COSTOS DE COLOCACION DEL PEDIDO C1: Este valor se considera fijo cualquiera sea la cuantía del lote, pues no están afectados por el tipo de políticas de inventarios. Está representado por el costo del formato de compra, tiempo de computador, el costo de enviar la orden de compra al proveedor, etc.

2. COSTOS DE MANTENIMIENTO/UNID DE TIEMPO C2: Se define como el costo de mantener una unidad o artículo durante un tiempo determinado. Los artículos que se almacenan en inventario, además están sujetos a pérdidas por robo, obsolescencia y deterioro.

3. COSTOS DE QUEDARSE CORTO: Cuando una empresa por cualquier circunstancia no puede cumplir un pedido, por lo general ocurren dos comportamientos, que dan lugar a dos tipos de costos:

** Costos de ruptura :Está representado por la falta de un artículo durante un tiempo determinado. La característica principal es que a pesar del incumplimiento, el cliente prefiere esperar.

** Costos de Faltantes : Está representado por la falta de un artículo durante un tiempo determinado. En este caso la demanda no es cautiva, se pierde la venta y se pierde el cliente.

4. COSTOS DE SOBRANTES C5: Este costo es causado por deterioro, obsolescencia, inversión inoficiosa e inutilidad de un artículo o material cuando no es utilizado antes de determinado tiempo.

El cálculo del Lote Económico pude obtenerse a través de la aplicación de modelos matemáticos, cada uno de los cuales utiliza ciertos supuestos. Algunos de estos modelos son:

ProbabilisticoDemanda Flexible

Suministro Incierto

DeterministicoDemanda Constante

Suministro Instantáneo

Vamos a calcular el tamaño del lote a través de la aplicación del modelo Determinístico de Harris:

Alternativa 1

Alternativa 2

Alternativa N

De las gráficas anteriores, se puede deducir:

• Si T es grande, q (tamaño del lote) también lo es y el costo de almacenamiento es grande. En cambio n es pequeño, pues hay que hacer pocos pedidos.

• Si T es pequeño, q (tamaño del lote) también lo es y el costo de almacenamiento es pequeño. En cambio n es grande, pues hay que hacer muchos pedidos.

MODELO DE TAMAÑO DEL LOTE ECONÓMICO BÁSICO (EOQ) Esta técnica es relativamente fácil de usar pero hace una gran cantidad de suposiciones. Las más importantes son:1. La demanda es conocida y constante2. El tiempo de entrega, esto es, el tiempo entre la colocación de

la orden y la recepción del pedido, se conoce y es constante.3. La recepción del inventario es instantánea. En otras palabras, el

inventario de una orden llega en un lote el mismo momento.4. Los únicos costos variables son el costo de preparación o de

colocación de una orden (costos de preparación) y el costo del manejo o almacenamiento del inventario a través del tiempo (costo de manejo).

5. Las faltas de inventario (faltantes) se pueden evitar en forma completa, si las órdenes se colocan en el momento adecuado.

Variables del modelo:

Q = número de piezas por orden.Q* = número óptimo de piezas por orden (EOQ).D = demanda anual en unidades para el producto del inventario.k = costo de preparación para cada orden.C = costo unitario I = porcentaje de conservaciónH = costo de manejo del inventario por unidad por año.( c*i%)N = número esperado de órdenes.T = tiempo esperado de órdenes.CT = costo total.

EJEMPLO Agujas S.A., una empresa que comercializa las agujas hipodérmicas indoloras en los hospitales, desea reducir sus costos de inventario mediante la determinación del número de agujas hipodérmicas que debe obtener en cada orden. La demanda anual es de 1000 unidades; el costo de preparación o de ordenar es de 10 dólares por orden; y el costo de manejo por unidad de año es de 50 centavos de dólar. Utilizando estos datos, calcule el número óptimo de unidades por orden (Q*), el número de órdenes (N), el tiempo transcurrido (T), y el coso total anual del inventario. Utilizar un año laboral de 250 días.

unidades200Q*

40000Q*

0.50

)2(1000)(10Q*

H

2DKQ*1.

==

=

=

Solución:

Inventarios para un Sistema de Producción

Características:

El inventario pertenece a uno y sólo a un artículo.

El inventario se abastece por lotes.

La demanda es determinística y ocurre a una tasa constante conocida

de demanda.

Un costo de organización de producción fijo de $CRu por pedido.

órdenesentredías50T

órdenes5

añolaborales/días250T

N

añolaborales/díasdeNúmero3.T

=

=

=

añoporórdenes5N200

1000N

*Q

DN 2.

=

=

=

Inventario150

0 0.5 0..8 0..13 0.16

TC

$50$50TC

0)(100)($0.5(5)($10)TC

($0.50)2

200($10)

200

1000 TC

H2

Qk

Q

DTC4.

=+=

+=

+=

+=

Un costo de compra de $c por unidad.

Una tasa de transferencia de i(es decir, el costo de conservación es

CPu=i*c por cada unidad en inventario por periodo.

El pedido se produce a una tasa de producción (p) conocida.

Calculo de la cantidad optima de pedidos:

Dados los siguientes datos:

1.Tasa de producción p =800 unidades al mes.

2.Demanda anual de D=(6000/año)(12 meses/año)=500 unidades al

mes.

3.Tiempo guía de L=1 semana = 1/52 año=12/52 mes

4.Costo de organización de CRu=$1000 por corrida de producción

5.Valor de cada unidad c=$250

6.Tasa de transferencia de i=0.24 al año=0,24/12 al mes=0.0.02

7.Costo de conservación mensual de CPu=i*c=0.02*250=$5 por

unidad al mes.

Para comprender como se relacionan la cantidad de pedidos Q y el

punto de nuevos pedidos R y como afectan el nivel de inventario con

el tiempo, suponga que no hay inventario y que acaba de iniciar una

corrida de producción de Q=400 unidades.El nivel de inventario con

el tiempo se ilustra en la figura, el eje horizontal representa el tiempo

en meses y el eje vertical representa el numero de unidades en

inventario. El nivel de inventario en un punto en el tiempo se basa en

las siguientes observaciones:

1.Las 400 unidades son producidas a una tasa de P=800 al mes. Esta

corrida, entonces requiere Q/P =400/800= 0.5 mes para cubrir.

2.Durante este 0.5 mes, las unidades se venden a una tasa de 500 al

mes. Por tanto, el inventario se construye a una tasa neta de P-

D=800-500=300 al mes.

Durante el periodo de producción de 0.5 meses ,el nivel de inventario

se incrementa de su valor de inicio de 0 a un valor final de (P-

D)*Q/P=300*(1/2)=150,como se ve en la figura mediante la línea

recta del tiempo 0 a 0.5 meses.

3.Despues de terminada la corrida de producción, el inventario de

150 unidades se vende a la tasa de D=500 al mes. Por consiguiente,

este inventario se acaba en 150/500=0.3 mes, como se ilustra en la

figura mediante la línea recta del tiempo 0.5 a 0.8.

Para asegurarse que no hay déficits y también evitar niveles de

inventario innecesariamente altos, el siguiente pedido deberá

emitirse de tal forma que la producción se inicie en el tiempo 0.8

mes. El tiempo transcurrido de 0.8 mes, durante el cual el inventario

inicia en 0,llega a su valor máximo de 150 y disminuye nuevamente a

0,se denomina tiempo de ciclo, y se denota mediante T. En general, el

tiempo ciclo es la cantidad de tiempo necesario para agotar Q

unidades. Esto es,

Tiempo ciclo, T= Q/D = 400/500 =0,8 mes.

Recuerde que el tiempo guía es l=12/52=0.231 mes, así que el

siguiente pedido de producción debe colocarse en el tiempo T-L=0.8-

0.231=0.569 mes. Cuando el nivel de inventario llega a 0 en el

tiempo 0.8,todo el ciclo de inventario comienza nuevamente, como se

muestra en la figura.

Inventario150

0 0.5 0..8 0..13 0.16

Costo mensual total=(costo de organización mensual)+(costo de

conservación mensual) = K*(D/Q)

= 1000*(500/400) =$1250

Costo de conservación =(i*c)=(0.02*250)=5

Lote Económico de producción:

Q= 2DCRu/ CPu ( 1- d/p)= 2*6000*1000/(60*(1-500/800)) =

730.3 unidades

Inventario Máximo:

(p-d)(Q/p)=(800-500)(730.3/800)=273.86 unidades

Inventario Promedio:

(1/2)(p-d)(Q/p)=(1/2)(800-500)(730.3/800)=136.93 unidades.

Numero promedios de pedidos:

D/Q = 6000/730.3 =8.21 pedidos/año

Tiempo en que se termina el inventario (T):

T=Q/D = 730/6000 =0.121 año *12=1.46 meses

Tiempo en que se termina la producción (t):

t=Q/P =730.3/800 =0.9125 mes

Punto de nuevos pedidos (R ) :

R= D*L = (6000 unid/año)(1 /52 año) =115.38 unidades

Costo Anual: CRu(D/Q) + (1/2)(P-D)(Q/P)(CPu)

Costo anual: 1000(6000/730.3)+(1/2)(9600-6000)(730.3/9600)

(60)=$16431.6/año

Nota: Si se presentara descuento por cantidad se debe considerar en el costo total el costo de compra: C*D.

Problema 1.-Una empresa que se dedica a la fabricación de transformados metálicos debe comprar en el exterior una pieza de plástico que incorpora a sus productos, siendo su coste de adquisición de 0.125um/unidad. El consumo diario de dicha pieza es prácticamente constante y asciende a 178 unidades. Cada vez que se hace un pedido, éste tarda en llegar 7 días y se generan unos costes por emisión iguales a 500um. Un estudio realizado sobre los costes, cp, originados por el almacenamiento de las piezas de plástico en la empresa, revela que éstas suponen 1.25um/unidad y año. La empresa no viene practicando ningún método científico de gestión de stocks y parece ser que esto provoca unos gastos demasiado elevados en el departamento de aprovisionamiento. Debido a ello, el gerente solicita del mismo un estudio adecuado para la gestión de las diferentes materias primas y productos de fabricación ajena que son adquiridos por la empresa, entre los cuales se encuentra la pieza de plástico a la que venimos haciendo referencia. Para ellos, y dentro del estudio general encomendado, se desea conocer, para un período q, de 360 días laborables:- El tamaño del lote de pedido, Q*, que minimiza los costes totales de la gestión de inventarios de este producto.- El número de pedidos a realizar.- El período de reaprovisionamiento óptimo.- El punto de pedido.- El coste total de gestión, CT.Problema 2 .-Sony es una compañía especializada en música, durante el año pasado a realizado ventas por un monto de $500 000.Las ventas se producen a un ritmo constante durante el año. La Sony compra los discos a la CIA Disc SA. El precio de venta al menudeo es igual a 5/3 del costo original. El costo de pedido es de $80, independientemente de la magnitud del pedido. Los costos anuales de mantenimiento del inventario representan 10% del costo del nivel promedio de inventario.a)Cual es el valor en dólares de la cantidad de pedido optimo.b) Con cuanta frecuencia se deben colocar los pedidos cada añoc)¿Cual es la duración optima del ciclo?

Problema 3.-Specific Electric es un gigantesco fabricante de aparatos electrodomésticos en los EEUU. Utiliza motores eléctricos que compra a otra empresa a una tasa constante. Los costos totales de compras durante el año son de $2400000.Los costos de hacer pedidos son de $100 y los costos anuales de mantener inventario son el 20% del costo del inventario promedio.a)¿Cuál es el valor en dólares del tamaño económico del lote?b)¿Cuántos veces al año debe ordenarse ¿c) ¿Cuál es el tamaño optimo del ciclo en años y en días existen 250 días laborables?

Problema 4 .-La empresa TRANSPORTE S.A., está orgullosa de su programa de capacitación de seis semanas para todos sus nuevos conductores de camiones. Siempre que el tamaño de la clase, sea inferior ó igual 35 choferes, el programa de capacitación de seis semanas, le cuesta a TRANSPORTE S.A. unos 22.000 dólares por lo que se refiere a Instructores, Equipos, Etc. El programa de capacitación de TRANSPORTE S.A. debe darle a la empresa aproximadamente cinco nuevos conductores al mes. Después de finalizar el programa de capacitación, se les paga a los nuevos choferes 1.600 dólares mensuales pero no trabajan hasta que quede disponible una posición de tiempo completo de chofer. TRANSPORTE S.A., considera los 1.600 dólares mensuales cancelados a cada conductor ocioso como un costo de posesión necesario para mantener esa fuente de nuevos choferes de camiones capacitados disponibles para servicio inmediato. Considerando los nuevos choferes como unidades del tipo de inventario, ¿de que tamaño debería ser la clase de capacitación para minimizar los costos totales anuales de capacitación y de tiempo ocioso de los nuevos choferes? ¿Cuantas clases de capacitación deberá impartir la Empresa cada año? ¿Cuál es el costo total anual asociado con su recomendación? Problema 5 .-Suponga que usted esta revisando la decisión del tamaño del lote asociado con una operación de producción de 8000 unidades por año, con una demanda del producto de 2000 unidades por año, el costo de efectuar un pedido es de 300 dólares por pedido y el costo de almacenamiento es de 1.60 dólares la unidad por año. Considere además que la practica actual incluye corridas de producción de 500 unidades cada tres meses ¿recomendaría usted cambiar el tamaño del lote de producción actual? ¿porqué si y porqué no? ¿Cuánto se

podrá ahorrar al convertir la producción a su recomendación del tamaño del lote de producción?Problema 6 .-PUBLICACIONES C.A. produce libros para el mercado infantil cuya demanda anual constante se estima en 7.200 ejemplares. El costo de cada libro infantil es de 14,50 dólares. El costo de posesión se basa en una tasa anual del 18% y los costos de puesta en marcha de la producción es de 150 dólares por cada puesta en marcha de la producción. La imprenta tiene una capacidad de producción de 25.000 libros infantiles por año, con una operación de 250 días al año y plazo de entrega de una corrida de producción de 15 días. Utilizando el modelo de tamaño de lote de producción determine todos los parámetros.Problema 7 .- Una empresa distribuidora de rollos de cables quiere adoptar una política de inventarios que le permita minimizar el costo total esperado. La política a utilizar será la de comprar lotes de artículos utilizando una frecuencia entera óptima. La demanda de rollos prevista para el período se calcula que será de 400 unidades. Un proveedor ofrece un modelo de ese rollo a un precio unitario de $ 12 cuando la cantidad a comprar sea menor a 19 unidades, $ 10 cuando compre entre 20 y 79 unidades y $ 9.50 cuando compre mas de 79 unidades. El costo administrativo por realizar cada compra se calcula en $ 15. Para averiguar el costo de almacenaje se determino que tener un rollo almacenado en el deposito cuesta un 55% de su precio unitario, este porcentaje incluye seguros, custodia, valor de recuperación (valor de desecho del producto para la empresa, como por ejemplo una venta con descuento) y la tasa de descuento (el costo por tener invertido dinero en artículos almacenados y no por ejemplo en un plazo fijo). Determinar el lote óptimo de compraProblema 8 .-Una Empresa puede producir un artículo ó comprarlo a un comerciante. Si lo fabrica, a una tasa de 100 unidades por día, le costará 20 dólares cada vez que se preparan las maquinas. Si se lo compra al comerciante le costará 15 dólares cada vez que hace un pedido. El costo de mantener un articulo en existencia ya sea fabricado ó comprado es de 0.02 dólares la unidad por día. El uso que la Empresa hace del artículo se estima en 260.000 unidades al año. Suponiendo que no se permite ningún faltante, ¿Debe la compañía comprar el artículo ó producirlo? Problema 9 .-DIA SA esta evaluando una política de inventarios para implantar en

su nueva línea de producción de jugos, por datos de la empresa se tiene una demanda de 1300 botellas al mes, el costo de arranque del sistema de producción tiene un costo total de $600, además el conservar una caja en inventario tiene un costo de $2 por caja al mes. Las posibilidades de compra de diferente tipo de maquinaria, sus costos y capacidad de producción se dan a continuación:Tipo Costo

de Maquina

Costo de producción

Capacidadde producción/mes

A $2100 $4,5/unidad

4800 cajas

B $1800 $5/unidad

4200 cajas

C $3000 $5,5/unidad

3900 cajas

¿Que tipo de maquina debe comprarse? Problema 10.-La Ajax Manufacturing Company ha compilado la siguiente información concerniente al componente ·5643. El promedio de consumo es de 120 unidades diarias, con una desviación estándar de 50 unidades, basada en que la fabrica trabaja 250 días al año. El costo de adquisición por pedido es de $20. Los costos de mantenimiento de inventario son de $1 anual, y el tiempo de adelanto de adquisición es de 10 dias, y es constante. La compañía ha determinado que solo puede permitirse un agotamiento anual de las existencias. Calcule:a) Cantidad económica de pedido.b) Con un pedido de control de inventario de cantidad fija y ciclo

variable, calcúlese la cantidad de existencias de seguridad requerida y el punto de renovación de pedido.

c) Con un sistema de control de inventarios de cantidad variable y ciclo fijo, calcúlese la duración del periodo de revisión y las existencias de seguridad requeridas.

Problema 11.-Arco Incoporated ,tiene un consumo mensual de un producto de 125 unidades. Los costos cargados al inventario son de 25 por ciento del inventario promedio, y los costos de pedidos son de $15.Cada pieza cuesta$2 y su cantidad económica de pedidos es de 300 unidades. El

flete de un embarque de 300 unidades es de $95.si se embarcan 500 unidades, el flete es de $122.¿Debe comprarse la cantidad de 500 unidades a fin de aprovechar los ahorros de flete?Walter Vargas S.A. mantiene en su inventario un cierto tipo de llanta con las siguientes características:Ventas anuales promedio = 500 llantasCosto de ordenar = $10 por ordenCosto de mantener = 20% al año.Costo por artículo = $40 por llanta.Tiempo de entrega = 5 días.Desviación estandar de la demanda diaria = 1 llantaa)Calcúlese el lote económico.b) Para un sistema Q de control de inventarios, calcúlese el inventario de seguridad que se requerirá para niveles de servicio del 85%.c)Hallar el punto de reorden.d)Hallar el punto de reorden y el stock de seguridad del sistema P.

Problema 12.-Una tienda de venta de hamburguesas compra sus componente mas importante al precio de 0,50 /unidad. ,el costo de encargar el pedido a calculado que es de 7,además como el tiempo que permanece guardado es pequeño considera 0,1% /dia,la tienda por el tipo de negocio no tiene certeza en la demanda ,se calcula que puede vender 50 unidades al día, pero como esto no es seguro le otorga una varianza de 4 (unidades/día)2 ,además se demora en entregar el pedido medio día.

el nivel de servicio en las entregas por datos históricos es que de cada 100 pedidos 5 no son entregados.a.Hallar el lote económicob.Hallar el inventario de seguridad.c.Hallar le punto de reorden.d.Hallar el costo total

Problema 13.-Servis Lux, actualmente gasta $1200 por pedido, este gasto trata de cubrir la demanda de 1500 unidades al mes, en gastos de compra se tiene $1000 ,y para cubrir el costo de inventario se tiene un porcentaje de 5%/mes.a)¿Cuál es el lote a comprar?

b)¿Cuál es el costo unitario?c)¿Cuál es el costo total?d)Si se demoran en traer el pedido 2 semanas, ¿Cuál es el punto de reorden?

Problema 14.-Si ahora la demanda es probabilística con desviación estándar es de 100 unidades /mes, el nivel de servicio es de 90% .

a) Inventario de seguridadb) Hallar punto de reordenc) ¿Cuál es el costo de inventario de seguridad?

Problema 15.-La empresa Los Próceres esta evaluando dos políticas, una de las es la seguir comprando sus materiales al precio de $10 por unidad, mantener un costo de inventario de $6 por unidad al año. La demanda es de 500 unidades por trimestre, traer los pedidos acarrean un costo de $50 por pedido.La otra política es considerar la producción , el costo fijo de arrancar es de $150, la producción es de 2000 unidades al mes.¿Cuál política debe elegir?

Problema 16.-Talsa esta evaluando una política de inventarios para implantar en su nueva línea de producción de jugos, por datos de la empresa se tiene una demanda de 12000 botellas al mes, el costo de arranque del sistema de producción tiene un costo total de $400, además el conservar una caja en inventario tiene un costo de $1,2 por caja al mes. Las posibilidades de compra de diferente tipo de maquinaria, sus costos y capacidad de producción se dan a continuación:

Tipo Costo de Maquina

Costode producción

Capacidadde producción/mes

A $2000 $4/unidad 4800 cajas

B $1500 $3/unidad 4200 cajas

C $1200 $2,5 /unidad 3900 cajas

¿Que tipo de maquina debe comprarse?

Problema 17.-La empresa black esta evaluando dos políticas, una de las es la seguir comprando sus materiales al precio de $12 por unidad, mantener un costo de inventario de $8 por unidad al año. La demanda es de 400 unidades por trimestre, traer los pedidos acarrean un costo de $40 por pedido.La otra política es considerar la producción , el costo fijo de arrancar es de $250, la producción es de 2200 unidades al mes.a) ¿Cuál política debe elegir?b) De la política seleccionada hallar todos sus parámetros.

Problema 18.-Se consume materia prima de 12000 kilos por año. El costo fijo de cada orden es de $80 ,el costo anual de mantenimiento del inventario se estima en un 10% de la inversión que representa el inventario promedio, no se permite déficit, el precio de la materia prima es variable y esta dado por:

Orden en Kilos Precio por kilo

0 q < 6000 $2,706000 <= q < 10000 $1.7010000 <=q $1.00

¿Cuál es la política optima de pedido?

Problema 19.-Una compañía produce 40 carpetas personales por día. a pesar que su capacidad de producción es de 50 unidades diarias El costo para organizar o preparar una corrida de fabricación es $400 el costo por almacenar una carpeta durante un mes es de $10,los clientes piden 10 carpetas al dia. El costo eu na carpeta es de $12.(suponga un mes=30 días y que 360 días=1 año).

a) Cuales son las condiciones actuales de la empresab)¿Cuál es el tamaño optimo de corrida de producción?b)¿Cuántas corridas de producción se debe hacer al año?c)¿En que tiempo se acaba el inventario?d)¿Cuánto se demora la producción de un lote?E )Cual es el ahorro con la política optima

f)Que pasaría si puede comprar las carpetas al costo de $30?

Problema 20.-Se va construir una fabrica, uno de sus objetivos es tener siempre a sus clientes satisfechos en la entrega de sus pedidos, una unidad de materia prima ocupa 1,5 m2 y un producto terminado 3m2.Los datos presentados por el departamento de mercadotecnia sugieren una compra de materia prima semanal de 200 unidades, y una venta mensual de 500 unidades de productos terminados..Se tiene tres proveedores que nos abastecen con materia prima, actualmente se les compra 280 unidades cada quincena, pero uno de los proveedores nos propone una posibilidad de descuento si se le compra solo a él, el costo normal con que se compra actualmente es de $15 por unidad ,pero este precio puede bajar a $12 si se le compra como máximo 400 unidades, si se le compra mas de 400 el precio baja a $10. Cuesta $50 el gasto de hacer todo el tramite de realizar el pedido ( ya sea se compre a uno o a tres),la empresa considera un 15% el costo de conservar dinero inmovilizado en materia prima al mes. Cuando se inicie la producción el gasto de acomodar la línea, el personal y las herramientas ascienden a $750, además se tiene la posibilidad de adquirir dos tipos de maquinas ,la maquina 1 tiene capacidad para producir 2500 unidades a la semana ,y la otra una capacidad de 6700 unidades al mes. El costo unitario de producción en la maquina 1 es de $15 y en la maquina 2 es de $20, además se carga un 3% por mantenimiento de inventario al mes,. La empresa desea respuestas a las siguientes preguntas:a) Se acepta el descuento del proveedor.b) Cual debe ser el lote de comprac) Cual es el costo de comprad) Que maquina debe ser usada para la produccióne) Cual es el costo mínimo de producciónf) Cual es el costo total de la empresa (compra mas producción)g) Cual debe ser el área del almacén.

Referencia Bibliografica

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Iberoamerica, Mexico,1994

4.- HILLIER F. Y LIEBERMAN G. “Introducción a la Investigación de

Operaciones “,

McGraw-Hill, México.2001

ejercico 3

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