EUETIB ESTADISTICA QP1314- Grupo T2

TEMA 3: Problemas de Variables Aleatorias y Modelos Discretos

1. Una aerolınea ha vendido mas billetes que asientos disponibles sus aviones para varios vuelosdeterminados (overbooking). En cada avion hay 50 asientos y ha vendido para cada vuelo 55billetes. Sea X la variable aleatoria ”numero de pasajeros que se presentan en el mostradorcon billete valido”. La distribucion de probabilidad de X viene dada en la siguiente tabla:

xi 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55

p(xi) 0.05 0.1 0.12 0.14 0.25 0.17 0.06 0.05 0.03 0.02 0.01

a) ¿Cuantos pasajeros como media se presentan en el mostrador?

b) ¿Cual es la probabilidad de que se pueda acomodar a todos los pasajeros?

c) ¿Cual es la probabilidad de que no todos los pasajeros tengan asiento?

2. Una companıa de seguros ofrece a sus asegurados varias opciones diferentes de pago dela prima. Para un asegurado seleccionado al azar, sea X el numero de meses entre pagossucesivos. La funcion de distribucion acumulada es

F (x) =

0 si x < 1

0,4 si 1 ≤ x < 30,6 si 3 ≤ x < 50,8 si 5 ≤ x < 71 si x ≥ 7

a) ¿Cual es la funcion masa de probabilidad de X?

b) Calculad p(4 < X ≤ 7).

3. Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una lınea de ensam-blaje es de 0,05. Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayosindependientes, calcula la probabilidad de que

a) entre diez unidades dos se encuentren defectuosas.

b) a lo sumo dos se encuentren defectuosas.

c) por lo menos una se encuentre defectuosa.

4. El gerente de un restaurante que solo da servicio mediante reservas sabe, por experiencia,que el 20 % de las personas que reservan una mesa no asistiran. Si el restaurante acepta 25reservas pero solo dispone de 20 mesas, ¿cual es la probabilidad de que a todas las personasque asistan al restaurante se les asigne una mesa?

5. Una empresa electronica observa que el numero de componentes que fallan antes de cumplir100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el numero promediode estos fallos es ocho,

a) ¿cual es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas?

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b) ¿y de que fallen no mas de dos componentes en 50 horas?

c) ¿cual es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas?

6. Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tuberıa local y 200 unidades de un proveedorde tuberıa del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo,

a) ¿cual es la probabilidad de que todas sean del proveedor local?

b) ¿cual es la probabilidad de que dos o mas piezas de la muestra sean del proveedorlocal?

c) ¿cual es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedorlocal?

7. Una gran tienda de artıculos electricos descubre que el numero X de tostadores vendidos porsemana obedece a una ley de Poisson de media 10. La ganancia de cada tostador vendido esde 3e. Sin embargo, un lunes se encuentran con que solo les quedan 10 tostadores, y que alo largo de esa semana no van a poder traer mas del almacen. Determinar la distribucion delas ganancias totales (en euros) en concepto de tostadores de pan a lo largo de esa semana.

8. Si la probabilidad de un cazador de acertar en el blanco es 1/5 y hace 10 disparos de formaindependiente, ¿Cual es la probabilidad de acertar por lo menos dos veces?

9. Una firma de pedidos por correo envıa una carta a sus clientes. La probabilidad de que uncliente elegido al azar conteste a esa carta es de 0,1

a) Halla la distribucion de probabilidad de la variable aleatoria X= numero de cartasque debe enviar hasta obtener exactamente una respuesta.

b) La esperanza y varianza matematica de X.

c) Halla la distribucion de probabilidad de la variable aleatoria Y = numero de cartas quedebe enviar hasta obtener exactamente k respuestas.

d) La esperanza y varianza matematica de Y .

10. En una ciudad se producen 2 incendios anuales por termino medio, ¿Cual es la probabilidadde que el proximo ano se produzcan mas de dos?

11. El 4 % de las reservas de un vuelo son no utilizadas. Segun esta observacion una companıaaerea vende 75 billetes para 73 plazas. ¿Cual es la probabilidad de que todos los pasajerosconsigan plaza?

12. Para averiguar el tamano N de una poblacion de lagartos se utiliza el metodo siguiente decaptura-marcaje-recaptura: se capturan k lagartos, se les marca y se les reincorpora a supoblacion. Un tiempo despues se realizan n avistamientos independientes de los que X esel numero de ellos que estan marcados.

a) Obtener una expresion para la probabilidad de que X = m.

b) Si k = 4 y m = 1, demostrar que la probabilidad es maxima cuando N = 4n.

c) Si N = 12, k = 4 y n = 3, ¿cual es la probabilidad de que los tres lagartos observadosesten marcados si sabemos que al menos uno de ellos lo esta?

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13. Una caja contiene 12 artıculos de los cuales 4 son defectuosos. Si se toma una muestra de 3,en un caso con reemplazamiento y en otro sin reemplazamiento, ¿cual sera la probabilidadde no incluir artıculos defectuosos en la muestra?

14. Para preparar una oposicion un opositor tiene que estudiar 100 temas. Durante las pruebasse escogen tres temas al azar, de los que el opositor puede elegir uno. Si el opositor haestudiado 75 temas calcula la probabilidad que tiene de aprobar.

15. Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta obtener dos seises. Sea X la v.a. que mideel numero de lanzamientos necesarios hasta que esto ocurre. Calcula p(X = 3) y p(X) > 4.

16. La probabilidad de que una persona que vive en Barcelona tenga perro se estima en 0,05.Encontrad la probabilidad de que la decima persona entrevistada al azar sea la quinta quetiene un perro.

17. Cierta area del este de Estados Unidos resulta, en promedio, afectada por seis huracanes alano. Encuentre la probabilidad de que para cierto ano esta area quede afectada por

a) menos de cuatro huracanes.

b) entre seis y ocho huracanes incluidos.

18. La probabilidad de que una persona muera de una cierta infeccion respiratoria es de 0,002.Encontrad la probabilidad de que mueran menos de cinco de los siguientes 2000 infectadosde esta forma.

19. Las llamadas de servicio llegan a un centro de mantenimiento con un promedio de 2,7llamadas por minuto. Encontrad la probabilidad de que:

a) lleguen no mas de cuatro llamadas en un minuto.

b) lleguen no menos de dos llamadas en cualquier minuto.

b) lleguen mas de diez llamadas en cinco minutos.

20. Una determinada empresa quiere aumentar su plantilla de vendedores en 20 personas, paralo que inserta un anuncio en prensa y se presentan 40 personas al proceso de seleccion.Determinar la probabilidad de que, despues de realizar todas las pruebas psicotecnicas deseleccion y haber seleccionado, por diferentes mecanismos, a las 20 personas solicitadas,entre ellas se encuentren las 10 mejores de las 40 personas que se presentaron.